Кинетика флуктуационных процессов в нелинейных системах, далеких от равновесия тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Сафонов, Алексей Владимирович

• Сафонов, Алексей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сафонов, Алексей Владимирович

1 Введение

1.1 Постановка задачи.

1.2 Современное состояние проблемы.

1.3 Содержание работы.

2 Статистические характеристики эффекта задержки распада шумом неустойчивых состояний.

2.1 Эффект задержки шумом распада нестабильных состояний.

2.2 Времена распада в случае симметричного потенциала

2.3 Времена распада в случае антисимметричного потенциала

2.4 Потенциальный профиль с барьером.

2.5 Дисперсия Времени Первого Достижения

2.6 Выводы.

3 Времена установления стационарной неравновесной плотности броуновских частиц в среде с источниками и стоками.

3.1 Точное решение уравнения ЭФП в случае постоянного потенциального профиля с учетом источника и стока частиц.

3.2 Обобщение метода отыскания временных характеристик на случай систем с источниками и стоками частиц.

3.3 Связь временных характеристик в системах с нулевым и ненулевым стационарным потоком.

3.4 Примеры вычисления времен установления стационарных неравновесных плотностей броуновских частиц в конкретных потенциалах.

3.5 Выводы.

4 Эффект ускорения диффузии в наклонных периодических потенциалах.

4.1 Постановка задачи.

4.2 Эффективный коэффициент диффузии в кусочно-линейном наклонном периодическом потенциале.

4.3 Произвольный потенциал. Случай высоких барьеров.

4.4 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Кинетика флуктуационных процессов в нелинейных системах, далеких от равновесия»

Задача об исследовании влияния шума на характеристики различных физических систем представляет в настоящее время значительный интерес (см., напр., [1]-[10]). Это связано с тем, что его присутствие в сложных нелинейных системах становится причиной существенных изменений в их поведении. Только в случае достаточно малой интенсивности шума и для систем, имеющих единственное устойчивое состояние равновесия, флуктуации являются мало возмущающим фактором, приводящим лишь к незначительным отклонениям некоторой физической величины от своего среднего значения [11]. Однако, в широком круге задач физические системы имеют несколько локально устойчивых и неустойчивых состояний равновесия. В этом случае под воздействием шума может произойти переход из одного состояния равновесия в другое, распад метастабильного или нестабильного состояния и т.д. Таким образом, роль флуктуаций в неравновесных системах во многом становится определяющей. Одной из эффективных моделей для анализа индуцированных шумом переходных процессов в подобных системах является модель броуновского движения частиц в вязкой среде в потенциальном поле сил [6], [8]-[10],[12].

В настоящей работе изучается кинетика флуктуационных процессов в нелинейных динамических системах, далеких от равновесия, в рамках модели одномерной броуновской диффузии. 4

1.1 Постановка задачи

Рассмотрим динамическую систему, описываемую уравнением Ланжеве-на: где х - изображающая точка (некоторая физическая величина), характеризующая состояние системы, U(x) - потенциал, характеризующий саму систему, 7] - коэффициент эквивалентной вязкости, £(<) белый гауссо-вый шум, < £(t) >= 0, < £{t)£(t + в) >= 2qS(e)/r], q - интенсивность шума. Поведение такой системы определяется воздействием двух сил -регулярной dU(x)/r]dx и случайной £(t).

Если х - это координата броуновской частицы, то уравнение (1.1) описывает броуновское движение в потенциальном поле сил U(x), в среде настолько вязкой, что инерционностью (массой) частицы можно пренебречь. Поэтому уравнение (1.1) называют уравнением броуновской диффузии.

Данное уравнение описывает множество различных процессов в таких областях физики как лазерная физика [7],[8],[13], динамический хаос [14],[15], радиотехника [8],[9],[16],[17], обработка сигналов [18],[19], физика диэлектриков [8],[20], динамика солитонов [21],[22], фазовые переходы [23], [24], геофизика [25], физика джозефсоновских переходов [2], [26], [27] диффузия в твердом теле [28], физика плазмы [29] и пр. Кроме того, оно широко используется в химии [30],[31] и биофизике [32],[33].

В большинстве интересных с физической точки зрения случаев потенциал U{-г), описывающий конкретную систему, имеет ряд минимумов и максимумов, которым соответствуют устойчивые состояния динамических систем (см. Рис.1.1). Это могут быть, например, различные амплитуды колебаний напряженности электрического поля в лазерах, или различные фазовые состояния вещества, или различные режимы динамических систем (хаотический и ламинарный) и т.д. В отсутствии флук-туаций попавшая в один из локальных минимумов броуновская частица оставалась бы там бесконечно долгое время. Однако под воздействием случайной силы <f(/) она может преодолеть потенциальный барьер и попасть в соседний минимум потенциала. Совершая таким образом индуцированные шумом переходы, частица будет диффундировать в потенциальном профиле, большую часть времени находясь вблизи его ми5 нимумов. Таким переходам броуновской частицы через потенциальные барьеры соответствуют переходы динамических систем из одного состояния в другое (смена режимов генерации, фазовые переходы, переходы из ламинарного режима в хаотический, глобальные изменения климата и т.д.) Их также называют термически активированными переходами, имея ввиду, что во многих задачах и, в частности, в случае задачи о броуновской диффузии, интенсивность шума берется пропорциональной температуре: q = кТ.

Из-за воздействия флуктуаций время, за которое происходит индуцированный шумом переход, или, другими словами, время пребывания системы в одном из устойчивых состояний является случайной величиной. Поэтому при решении различных физических задач возникает вопрос о ее статистических характеристиках, которые определяются нестационарной плотностью вероятности W(x,t) нахождения броуновской частицы в точке х в момент времени t. Как известно (см., напр., [8],[9]), функция W(x,t) описывается уравнением Фоккера-Планка, соответствующим уравнению (1.1): dW{x,t) dt д dU(x)

W(x,t), (1.2) дх rjdx 2 дх2 где введено обозначение D = 2q/rj, с соответствующими граничными условиями, например, W(±oo,f) = 0. 6

Уравнение (1.2) в литературе известно также как уравнение Смолу-ховского. Дело в том, что уравнением Фоккера-Планка (УФП) иногда называют уравнение соответствующее более общему случаю, когда, интенсивность белого шума в (1.1), а следовательно и величина D, является некоторой функцией от координаты D = D{x). Тогда уравнение для плотности вероятности будет иметь следующий вид: dW(x,t) dt д dU(x) 02 D{x) дх rjdx дх2 2

W(x,t). (1.3)

Однако, в силу того, что при помощи известной замены переменных [8],[9] уравнение (1.12) сводится к уравнению (1.2) где D = const (произвольная константа) мы можем без потери общности рассматривать только уравнение (1.2) и называть его уравнением Фоккера-Планка.

Если предположить, что в начальный момент времени t = 0 броуновская частица находилась в точке с координатой х = хо, то за начальное условие УФП (1.2) следует взять: W(x, 0) = 6(х — х0). В этом случае решением УФП будет плотность вероятности переходов W{x, t) = W(xo\x, t), являющаяся функцией Грина этого уравнения. Поэтому если за начальное условие взять некоторое произвольное распределение 0) Wo(a:), то решением УФП будет со

Wo{xo)W(xo\x,t)dxo.

-оо

Таким образом зная решение УФП (1.2) с дельтаобразными начальными условиями, т.е. плотность вероятности переходов, мы можем определить решение УФП с любыми заданными начальными условиями.

УФП (1.2) есть линейное уравнение в частных производных параболического типа с переменными коэффициентами. С помощью замены переменных (см., напр., [34]) это уравнение сводится к уравнению Шре-дингера: dW(x,t) dt и к уравнению диффузии: 7

Стационарное решение УФП (1.2) легко найти из условия dW(x,t)/dt -0. В результате, как и следовало ожидать, мы получим распределение Больцмана, где вместо температуры стоит интенсивность шума:

1.4)

Помимо систем, описываемых уравнением (1.1) и соответствующим ему УФП (1.2) для плотности вероятности W(x,t), в данной работе рассматриваются системы с источниками и стоками частиц, часто используемые в качестве моделей при описании, например, процессов ядерного синтеза [35, 36], диффузии протеинов в микропорах [37], фотопроцессов на поверхности раздела "газ-твердое тело" [38] и пр. Основная проблема, возникающая при исследовании подобных систем, связана с невозможностью введения для них уравнения, подобного уравнению Ланжевена (1.1) для систем без источников, что приводит, в частности, к значительным сложностям при численном моделировании происходящих в них физических процессов [39]. Вместо уравнения Ланжевена описание подобных систем происходит на языке концентрации броуновских частиц p[x,t), диффундирующих в заданном потенциальном профиле U(x), которая при наличии внешнего источника -s(ir, t) описывается неоднородным УФП (см., напр., [40], [41]):

1.5) которое в таком виде называют еще неоднородным уравнением диффузии. Здесь G(x, t) - поток вещества:

G(x,t) = -j p{x,t) + dx дх

1.6)

D - коэффициент диффузии (во многих задачах принимается, что D = 2kT/h), <р(х) = ^^ = - безразмерный потенциальный профиль, а s(x,t) - функция источника или стока. Будем считать, что s(x,t) > 0. Тогда s(x, t) это число частиц в единицу времени, рождающихся в точке х в момент времени t. Пусть в такой системе задан сток при х —> +оо (т.е. U(x) —>■ —оо при х -4 +оо). В этом случае в ней может возникнуть 8 стационарная неравновесная концентрация частиц pst(x), зависящая от источника и стока [40], которая, в силу неравновесности системы, уже не будет совпадать с распределением Больцмана (1.4), как это было в случае систем с конечным числом частиц. Другим отличием систем с источником и стоком частиц является тот факт, что стационарный поток вещества в них будет отличен от нуля.

Задачей данной работы является исследование особенностей поведения статистических характеристик индуцированных шумом переходных процессов в сильно неравновесных динамических системах, описываемых различными потенциальными профилями U(x), их зависимость от интенсивности шума и начального пложения броуновской частицы. Для различных типов потенциалов и начальных положений броуновских частиц вводят различные временные характеристики переходных процессов: время первого достижения броуновскими частицами заданных границ, время перехода через потенциальный барьер, время жизни мета-стабильного состояния, время распада нестабильного состояния и др. Поясним более подробно, что подразумевается под каждой из этих временных характеристик.

Время релаксации - есть характерное время за которое в системе устанавливается стационарное распределение (1.4) если в начальный момент времени распределение W(x, 0) не совпадало со стационарным. Обратимся к потенциальному профилю изображенному на Рис.1.1. Пусть изначально система находилась в состоянии Л, то есть W(x, 0) = $(х — А), тогда вероятность того, что частица находится в области минимума А равна:

С течением времени начальное распределение W(x, 0) будет расплываться, при t оо установится больцмановское распределение (1.4) и вероятность Ра{Ь —> оо) станет равной:

Таким образом, в процессе релаксации исходного распределения к стационарному вероятность Ра{1) меняется от Ра(0) = 1 до некоторого значения Ра{оо) (см.Рис.1.2). Назовем временем релаксации характерное с 9 время установления стационарного значения вероятности Разумеется, вместо вероятности Ра{1) можно взять вероятность того что частица будет находится и на другом интервале, например, вблизи минимума В. Тогда при тех же начальных условиях VK(x,0) = 8(х — А) вероятность Pe(t) = J^cW(x,t)dx будет увеличиваться от Pg(0) = 0 до стационарного значения Pg(oo). В любом случае будем считать, что время релаксации есть характерное время установления стационарного значения вероятности того, что броуновская частица находится в некотором заданном интервале. Определим его, пользуясь правилом равновеликого прямоугольника: j?(P(t)-P(oo))dt

Р(0)-Р(оо) ' W U j

Аналогично можно ввести время релаксации и для систем с источниками и стоками частиц . Только в этом случае будет происходить установление не вероятности Рл(0, а стационарной неравновесной концентрации броуновских частиц pst(x), которая возникает в подобных системах.

Время первого достижения - есть время за которое броуновская частица стартующая из некоторой точки х = xq впервые пересечет одну или две заданные границы расположенные в некоторых произвольных точках ху и х2 (zi < х0 < х2). Время первого достижения (ВПД) есть

10 случайная величина для которой можно ввести плотность вероятности w(t) и определить (см., напр., [42]) среднее время первого достижения (СВПД): уоо t>=Ti(x0,xl,x2) = J tw(t)(It, (1.8) и его дисперсию (ДВПД): а2 = T2{xo,xl,x2) - 7i(xo,xi, л;2)2, (1.9) где со

T2(x0,xi,x2) = / t2w(t)cIt. Jo

Рис. 1.3:

Пусть в потенциальном профиле изображенном на Рис. 1.1 броуновская частица в начальный момент находится в точке х = А и требуется найти СВПД границ С1 и С. Можно показать (см., напр., [9]), что если найти решение УФП Wi(x,t) для потенциального профиля U\(x), который при С < х < С совпадает с исходным потенциальным профилем, а за границами х = С и х = С имеются бесконечно глубокие потенциальные ямы (или, другими словами, в точках х = С ш х = С находятся поглощающие границы, см. Рис.1.3), то искомое СВПД будет равно:

Г00

Т(А,С,С) = / PM(t)dt, (1.10)

Jo

11 где fUi(0 = f. Wi(x,t)dx j с есть вероятность того, что броуновская частица будет находится вну

Рис. 1.4: три интервала [С1,С] потенциального профиля Ui(x). Эта вероятность меняется от РАх(0) = 1 до РЛ1(оо) = 0 (см. Рис.1.4) и СВПД (1.10) есть характерное время релаксации вероятности Ра\(1) к стационарному значению, определенное по правилу равновеликого прямоугольника.

Кроме того, можно показать (см., напр., [9]) что упомянутое выше распределение ВПД w(t) равно производной от вероятности Рм(1) : i \ dPAlt \ w{t) =

Заметим, что поскольку аналитическое выражение в квадратурах для СВПД в случае произвольной формы потенциального профиля давно известно (о чем подробнее будет сказано в следующем пункте), именно эта временная характеристика чаще всего используется авторами при изучении флуктуационных процессов в различных динамических системах. При этом зачастую остается без внимания тот факт, что СВПД дает о них весьма ограниченную информацию. Действительно, как следует из определения, при вычислении СВПД пренебрегается возможностью того,

12 что частица может вернуться в интервал решения, после того, как однажды покинет его. Подобная идеализация, как это было показано, например, в работе [43], в некоторых задачах может приводить к серьезным ошибкам. Поэтому, для того, чтобы учесть обратный поток вероятности, вводят еще одну временную характеристику, называемую нелинейным временем релаксации (НВР), являющуюся средним временем пребывания частицы внутри интервала решения и вычисляемую независимо от того, как много раз броуновская частица покидала интервал и возвращалась обратно. Определяется НВР следующим образом: пусть P(t) -это вероятность того, что частица находится внутри интервала решения. В начальный момент Р(0) = 1. Со временем частица покинет неустойчивое состояние, поэтому Р(оо) = 0. Чтобы учесть тот факт, что во время процесса распада частица может несколько раз пересекать границу интервала решения, определим НВР как время установления вероятности

Если частица пересекает границу интервала решения лишь однажды, время (1.11) совпадает с СВПД. В противном случае выражение (1.11) учтет обратный поток вероятности через границу интервала решения и будет существенно отличаться от СВПД. Таким образом, СВПД является частным случаем IIBP (1.11), а именно случаем, в котором мы пренебрегаем обратным потоком вероятности.

Под временем перехода через потенциальный барьер обычно подразумевают СВПД границы, находящейся за потенциальным барьером, если в начальный момент броуновская частица находится в добарьерной области. Например, для потенциального профиля U(x), изображенного на Рис. 1.1 за время перехода А В через потенциальный барьер С можно принять СВПД Т(А, -оо, В) границы расположенной в х = В из точки х = А. В этом случае временем перехода через потенциальный барьер С будет характерное время установления стационарного значения вероятности

P(i) :

1.11)

МО

Ра 2(0) = 1,

РА2( оо) = 0,

13 в потенциальном профиле Ui(x) полученном из исходного U(x) путем добавления бесконечно глубокой потенциальной ямы в точке х = В (см.Рис.1.5)

U2(x) С А

С В х

Рис. 1.5:

Время жизни метастабильного состояния есть характерное время нахождения броуновской частицы вблизи локального минимума, который находится намного выше остальных минимумов мультистабиль-ного потенциального профиля. Рассмотрим, например, двухуровневую бистабильную систему, описываемую потенциальным профилем U^x), изображенном на Рис. 1.6. В таком потенциальном профиле при t -4 оо состояние А можно считать менее устойчивым, чем состояние В, потому что из стационарного распределения (1.4) следует, что Рм{оо) < РвДоо), где

Но это не значит, что броуновская частица, перескочив из минимума А в В, никогда не вернется назад. Просто время ее пребывания вблизи В будет больше, чем вблизи А. При достижении динамического равновесия

14

Ц(х)

А С В

Рис. 1.6: в системе число переходов из Л в В и назад приблизительно одинаково, так как поток вероятности через барьер равен нулю. Однако, если минимум А расположен намного выше В, так что Ра4(00) <С Рв^оо), то время пребывания броуновской частицы в минимуме В будет намного больше, чем в А. Тогда состояние А можно назвать метастабильным, в том смысле, что совершив переход из А в В броуновская частица практически никогда не вернется из более стабильного состояния В. В этом случае характерное время пребывания броуновской частицы в минимуме А есть время жизни метастабильного состояния. Поскольку минимум В находится намного ниже Л, то можно вообще исключить его из рассмотрения и заменить исходный потенциальный профиль Ui{x) профилем Us(x), имеющим бесконечно глубокую яму при х —> оо (см.Рис.1.7).

За время жизни метастабильного состояния можно, таким образом, принять характерное время релаксации вероятности к своему стационарному значению Раь(оо) = 0. Если исходный потенциальный профиль имеет больше двух локальных минимумов, то мета-стабильному состоянию может соответствовать профиль имеющий два потенциальных барьера (см.Рис.1.8). В этом случае, за время жизни метастабильного состояния принимается характерное время релаксации с

15

Рис. 1.7: вероятности Pa6(i) соответствующей потенциалу Ue(x), изображенному на Рис.1.8:

PM(t) = Jc W6(x,t)dx, к стационарному значению Рле(оо) = 0.

Нестабильные состояния образуются из метастабильных, если положить равной нулю высоты потенциальных барьеров в потенциальных профилях Ub(x) и U6(x), описывающих метастабильные состояния (см. Рис.1.9,1.10).

Времена распада нестабильных состояний определяются аналогично временам жизни метастабильных состояний, как характерные времена установления стационарных значений вероятностей РА7{1) и PA%{t):

МО = f° w7(x,t)dx, РА7{0) = 1, РА7{оо) = о

J—со

PM(t) = £ Ws(x, t)dx, PAS{0) = 1, Pas(oo) = 0

Границы С и С выбираются согласно условиям конкретной задачи. Кроме того, в некоторых задачах времена распада нестабильных состояний определяются как СВПД границ С и С.

Таким образом, любая из вышеперечисленных временных характеристик, используемых для решения различных задач, может быть опре

16

Рис. 1.8: делена, как время установления стационарного значения вероятности нахождения броуновской частицы (либо стационарного значения концентрации броуновских частиц) на соответствующем интервале потенциального профиля.

Кроме самих временных характеристик случайных процессов, происходящих в системах, далеких от равновесия, в настоящей работе исследуется выражаемый через них эффективный коэффициент диффузии броуновских частиц, диффундирующих в наклонных периодических потенциалах, являющихся адекватной моделью, успешно используемой при исследованиях в твердотельной [8] и джозефсоновской [44] электронике, химической физике [45] и биофизике [46], [47]. Для его определения вновь рассмотрим модель одномерного сверхвязкого движения броуновских частиц, в периодическом потенциале V(x) с периодом L в присутствии белого гауссовского шума и постоянной внешней силы F, описываемого уравнением Ланжевена (1.1), в котором U(x) = V(x) — Fx. Соответствующая плотность вероятности W(x,t) подчиняется уравнению Фоккера-Планка: dW(x,t) д dt дх

Vb)-F + glx

W(x,t) (1.12) с граничными условиями 1У(±оо,<) = 0. Если первоначально все частицы были сосредоточены в точке х = х0, то со временем начальная

17

Рис. 1.9: дельтаобразная плотность вероятности W(x, 0) = 6(х — х0) начнет смещаться под действием постоянной внешней силы и расплываться из-за наличия шума. На больших временах можно рассмотреть плотсность вероятности Was(x,t) (см. Рис.1.11), усредненную по многим периодам потенциала V(x), которая будет ассимптотически стремиться к гауссов-скому распределению:

Was{x,t) = exp [~(x-vt)2/4Defft]

1.13)

4тг Defft где v - это скорость сноса, a De/f - эффективный коэффициент диффу x2(t) >-< x(t) >2 зии:

Def / = lim

1.14) являющийся предметом нашего интереса. Его величина может быть определена, если известны СВПД Tt(x0 х0 + L) и ДВПД Ат2(х0 Хо + L), о чем подробнее будет сказано в следующем пункте.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Сафонов, Алексей Владимирович

4.4 Выводы

Итак, в настоящей главе впервые:

Обнаружен эффект ускорения диффузии броуновских частиц в ступенчатом кусочно-линейном потенциальном профиле и предложен физический механизм его возникновения.

Получено аналитеческое выражение для эффективного коэффициента диффузии в ступенчатом кусочно-линейном потенциале для случая малого шума и большого наклона.

Вычислено максимальное значение эффективного коэффициента диффузии в ступенчатом кусочно-линейном потенциале.

Получены условия напараметры потенциала и интенсивность шума, при которых возникает эффект ускорения диффузии.

Полученные результаты обобщены на случай произвольной формы потенциального профиля.

91

Глава 5 Заключение.

Итак, в настоящей работе впервые:

1. Выведены точные аналитические выражения для СВПД и НВР распада неустойчивых состояний, описываемых полиномиальными потенциальными профилями, в которых возникает эффект ЗРШ. Обнаружено различие между теорией и результами численного эксперимента в случае распада нестабильно состояния, описываемого потенциальным профилем с ямой. Предложен физический механизм для объяснения этого различия.

2. Исследована ДВПД для ряда конкретных потенциалов, в которых возникает эффект ЗРШ. Показано, что ДВПД является немонотонной функцией интенсивности флуктуаций. Предложен физический механизм для объяснения этой немонотонности. Найдены оптимальные условия для наблюдения эффекта ЗРШ, когда среднее время распада нестабильного состояния максимально, а дисперсия времени распада - минимальна.

3. Получено точное нестационарное решение неоднородного уравнения диффузии в модельной задаче с постоянным потенциалом, источником и стоком частиц. На основе полученного решения исследованы времена установления стационарных неравновесных плотности и потока броуновских частиц в системе с постоянным потенциалом, источником и стоком частиц. Показано, что во внутренних точка среды поток устанавливается быстрее, чем плотность частиц.

92

4. Получены точные аналитические выражения для времен установления стационарных неравновесных плотностей броуновских частиц, диффундирующих в произвольном потенциале в присутствии источника и стока частиц.

5. На основе выявленной связи между временными характеристиками систем пулевым и ненулевым стационарным потоком частиц предложена модификация хорошо известного метода Крамерса для нахождения СВПД и НВР в системах с потенциалом произвольной формы, справедливая для произвольного соотношения высоты потенциального барьера и интенсивности флуктуаций.

6. Обнаружен эффект ускорения диффузии броуновских частиц в ступенчатом кусочно-линейном потенциальном профиле и предложен физический механизм его возникновения.

7. Получено аналитическое выражение для эффективного коэффициента диффузии в ступенчатом кусочно-линейном потенциале для случая малого шума и большого наклона. Для данного потенциала вычислено максимальное значение эффективного коэффициента диффузии при возникновении эффекта ускорения диффузии и получены условия на параметры потенциала и интенсивность шума, при которых данный эффект возникает. Полученные результаты обобщены на случай произвольной формы потенциального профиля.

93

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сафонов, Алексей Владимирович, 2006 год

1. H.Hofmann, F.A.1.anyuk, Mean First Passage Time for Nuclear Fission and the Emision of Light Particles //Phys.Rev.Lett. -2003. -V.90 -P.132701-1-132701-4.

2. A.Pankratov, Form and width of the spectral line of a Josephson flux-flow oscillator //Phys.Rev.B -2002. -V.65 -P.054504-4-054504-9.

3. J.Ankerhold and P.Pechukas, Quantum fluctuating barriers //Europhys. Lett. -2000. -V.52 -P.264-270.

4. P.J.Colmenares and W.Olivares-Rivas, Smoluchowski hypernetted chain theory descriptionof the dynamics of ions confined in charged micropores //Phys.Rev.E -1999. -V.59 -P.841-849.

5. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. От диссипативных структур к порядку через флуктуации.- М: "Мир". -1979.-512 Р.

6. Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы. -М.: "Мир" -1987. -397 С.

7. Хакен Г., Синергетика.- М.: "Мир". -1980. -404 С.

8. Risken Н. The Fokker-Planck Equation. Methods of Solution and Applications Berlin: Springer-Verlag. -1989. -472 P.

9. Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике.- М: Сов. радио -1961. -558 С.

10. Hanggi P., Talkner P., Borkovec М. Reaction rate theory: fifty years after Kramers //Rev.Mod.Phys. -1990. -V.62. -P.251-341.94

11. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Статистическая физика, Ч.1.- М.: "Наука". -1976. -584 С.

12. Гардинер К.В., Стохастические методы в естественных науках, М.:"Мир" -1986. -526 С.

13. Colet P., et al. Relaxation from a marginal state in optical bistability //Phys.Rev.A -1989. -V.39 -P.149-156.

14. Hirsch J.E., Iluberman B.A., Scalapino D.T. Theory of intermittency //Phys.Rev.A -1982. -V.25. -P.519-532.

15. Аишценко B.C., Нейман А.Б. Статистические свойства эффекта перемежаемости в квазигиперболических системах //ЖТФ -1990. -Т.1 Вып.1 -С.3-14.

16. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С. Введение в статистическую радиофизику и оптику- М.:"Наука". -1981. -640 С.

17. Малахов А.Н., Флуктуации в автоколебательных системах.-М. "Наука" -1968. -660 С.

18. Dykman M.I., et al. Stochastic resonance: linear response and giant nonlinearity //J.Stat.Phys. -1993. -V.70 -P.463-478.

19. Shulgin В., Neiman A., Anishchenko V.S. Mean switching frequency locking in stochastic bistable systems driven by periodic force //Phys.Rev.Lett. -1995. -V.75 -P.4157-4163.

20. Gerling R.W. Langevin model for rotational diffusion of molecules unaxial rotator in an N-fold potential //Z.Phys.B. -1981. -V.45 -P.3948.

21. Marchesoni F., Sodano P., Zannetti M. Supersymmetry and bistable soft potentials //Phys.Rev.Lett. -1988. -V.61. -P.1143-1146.

22. Risken H., Leiber Th. Decay rates for a class of bistable potentials: parabolic to welge-shaped form //Phys.Rev.A -1989. -V.40 -P.1582-1589.95

23. Nicolis C. Long term climatic transitions and stochastic resonance //J.Stat.Phys. -1993. -V.70 -P.3-14.

24. Barone A., Cristiano R., Silvestrini P. Supercurrent decay in underdumped Josephson junctions: nonstationary case //J.Appl.Phys. -1985. -V.58 -P.3822-3826.

25. А.Л.Панкратов, М.М.Цветкова, Индуцированные шумом переходы в точечном джозефсоновском контакте, //Актуальные проблемы статистической радиофизики. -2004. -Т.З -С.???.

26. Бокштейн Б. С., Бокштейн С. 3., Жуховицкий А. А. Термодинамика и кинетика диффузии в твердых телах. -М.: "Металлургия" -1974. -280 С.

27. Биберман Л.М., Воробьев B.C., Якубов И.Т. Кинетика неравновесной низкотемпературной плазмы. -М.: "Наука" -1982. -186 С.

28. Туницкий Н.Н., Каминский В.А., Тимашев С.Ф. Методы физико-химической кинетики. -М.:"Химия". -1972. -198 С.

29. Samanta A., Ghosh S.K. Exact results on diffusion from a piecewise linear potential well //J.Chem.Phys. -1992. -V.97 -P.9321-9323.

30. Ewens W.T. Matematical population genetics.- Berlin: Springer. -1979. -251 P.

31. Jung P. Threshold devises: fractal noise and neural talk //Phys.Rev.E -1994. -V.50 -P.2513-2522.

32. Miyazava T. Theory of the one-variable Fokker-Planck equation //Phys.Rev.A -1989. -V.39 -P.1447-168.96

33. J.D. Bao and Y.Jia, Determination of fission rate by mean last passage time //Phys.Rev.C -2004. -V.69. -P.027602-1-027602-4.

34. D.Boilley, B.Jurado, and C.Schmitt, Simple relations between mean pssage times and Kramers' stationary rate //Phys.Rev.E -2004. -V.70. -P.056129-056133.

35. J.T.Hynes //Annu.Rev.Phys.Chem. -1985. -V.36.

36. М.Г.Кучеренко, К вопросу о кинетике молекулярной десорбции //Вестник ОГУ -2002. -Т.5. -С.92-97.

37. P.Reimann, G.J.Schmid, P.Hanggi, Universal equivalence of mean frst-passage time and Kramers rate //Phys.Rev.E -1999. -V.60. -P.R1-R4.

38. А.А.Дубков, А.Н.Малахов, О стационарном неравновесном распределении плотности числа частиц, формируемом источниками и стоками. //Изв. ВУЗов. Радиофизика -2000. -Т.43. -С.814-822.

39. Я.Б. Зельдович, А.Д. Мышкис Элементыматематической физики. -М.: Наука, 1973.

40. Тихонов В.И. Достижение границ марковским случайным процессом //Известия вузов. Радиоэлектроника -1972. -Т.15 -С.413-422.

41. N.V. Agudov and A.N. Malakhov, Decay of unstable equilibrium and nonequilibrium states with inverse probability current taken into account //Phys.Rev.E-1999. -V.60 -P.6333-6342.

42. К.К.Лихарев, Введение в динамику джозефсоновских переходов. -М.: "Наука". -1985.

43. P.Fulde, L.Pietronero, W.R.Schneider, and S.Strassler, Problem of Brownian motion in a periodic potential. //Phys.Rev.Lett. -V.35. -1975. -P. 1776-1779.

44. K.Wiesenfeld, D.Pierson, E.Pantazelou, C.Dames, and F.Moss, Stochastic resonance on a circle. //Phys.Rev.Lett. -V.72. -1994. -P.2125-2129.97

45. Ch.Kurrer and K.Shulten, Noise-induced synchronous neuronal oscillations //Phys.Rev.E -V.51. -1995. -P.6213-6218.

46. Понтрягин JI.C., Андронов A.A., Витт A.A. О статистическом рассмотрении динамических систем //ЖЭТФ. -1933. -Т.З. -Вып.З. -С.165-121.

47. Н.В. Агудов, А.Н. Малахов //Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1993 Т.36, С.148-166.

48. A.N.Malakhov and A.L.Pankratov //Physica A, 1996, 229

49. Malakhov A.N., Time scales of overdamped nonlinear Brownian motion in arbitrary potential profiles, //CHAOS. -1997. -V.7 -P.488-504.

50. A. N. Malakhov and A. L. Pankratov //Adv. in Chem. Phys., -2002. -V. 121, -P.357-438.

51. Arecchi F.T., Politi A., Ulivi L. Stochastic-time Description in unstable and multistable systems //II Nuovo Cimento В -1982. -V.71 -P.119-154.

52. Dayan I., Gitterman M., Weiss G.H. //Phys.Rev.A -1992. -V.46 -P.757.

53. Casado J.M., Morillo M. Distribution of escape times in driven stochastic model //Phys.Rev.E -1994. -V.49 -P.1136-1139.

54. Mantegna R.N., Spagnolo B. Noise enhanced stability in an unstable system //Phys.Rev.Lett. -1996. -V.76 -P.563-566.1. Gammaitoni1., Hanggi P., Jung P. and Marchesoni F., //Rev.Mod.Phys., -1998. -V.70. -P.223.

55. Mantegna R.N., Spagnolo B. and Trapanese M. //Phys.Rev.E, -2001. -V.63. -P.011101. //Rev.Mod.Phys., -1998. -V.70. -P.223.

56. B.И.Тихонов, В.И.Доронин, В.А.Сатосин // Изв. Вузов МВССО СССР (Радиотехника и электроника), -1974. -Т.19, -СЛ.

57. B.Linder, M.Kostur, and L.Schimanky-Geier, Optimal diffusive transport in a tilted periodic potential //Fluct.Noise Lett. -2001. -V.l. -P.R25-R39.98

58. P.Reimann, C.Van den Broeck, H.Linke, P.Hanggi, M.Rubi, and A.Perez-Madrid, Giant acceleration of free diffusion by use of tilted periodic potentials //Pliys.Rev.Lett. -2002. -V.87. -P.010602.

59. R.L.Stratonovich, Oscillator synchronization in the presense of noise, in Non-linear transformations of stochastic processes ed. by P.I.Kuznetzov, R.L.Stratonovich, and V.I.Tikhonov, Pergamon Press, Oxford, 1965.

60. P.Reimann, C.Van den Broeck, H.Linke, P.Hanggi, M.Rubi, and A.Perez-Madrid, Thermal diffusion in a tilted periodic potential: enhancement, universality, and scaling //Phys.Rev.E -2002. -V.65. -P.0311104.

61. G.Costantini and F.Marchesoni, Threshold diffusion in a tilted washboard potential, Europhys. Lett. 48 (1999). 491-497.

62. E.IIeinsalu, R.Temmelo, and T. Ord, Diffusion and current of Brownian particles in tilted piecewise linear potentials: Amplification and coherence, Phys. Rev. E 69 (2004) 021111.

63. E.Heinsalu, T. Ord, and R.Temmelo, Diffusion and coherence in tilted piecewise linear double-periodic potentials, Phys. Rev. E 70 (2004) 041104.

64. N.V.Agudov, R.Mannella, A.V.Safonov, B.Spagnolo, Noise delayed decay of unstable states: theory versus numerical simulations //J.Phys.A -2004. -V.37. -P.5279-5287.

65. Н.В.Агудов, А.В.Сафонов, Среднее и дисперсия времени неустойчивых и метастибильных состояний //Актуальные проблемы статистической радиофизики. -2003. -Т.2. -С. 118-124.

66. Н.В.Агудов, А.В.Сафонов, Времена установления стационарного неравновесного распределения броуновских частиц //Труды (пятой) научной конференции по радиофизике, посвященной 100-летию со дня рождения А.А.Андронова. -2001. -с.201-202.99

67. H.В.Агудов, А.В.Сафонов, Время установления стационарной неравновесной плотности броуновских частиц в среде с источником и стоком. //Изв. ВУЗов. Радиофизика -2003. -Т.46. -С.82-90.

68. Kramers Н. Brownian motion in a field of force and the diffusion model of chemical reactions //Physica -1940. -V.7. -P.284-304.

69. N.V.Agudov and A.V.Safonov, Relaxation times in systems with zero and non-zero stationary flow. //Fluct.Noise Lett. -2003. -V.3. -P.L107-Ll 12.

70. N.V.Agudov and A.V.Safonov, Acceleration of diffusion in subcritically tilted periodic potentials. //Fluct.Noise Lett. -2005. (в печати)

71. N. V. Agudov and A. N. Malakhov, Int. J. Bifurcation and Chaos, 5, 531 (1995)

72. N. V. Agudov, Phys. Rev. E, 57, 2618 (1998)

73. Haake F., Haus J. W., Glauber R. Passage-time statistics for decay of unstable equilibrium states //Phys.Rev.A -1981. -V.23 -P.3255-3271.

74. Suzuki M. Theory of instability, nonlinear brownian motion and formation of macroscopic order //Phys.Lett.A -1978. -V.67A -P.339-341.

75. S. Grandshteyn and I. M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products. Academic Press, New York, 1980.

76. N. V. Agudov and B. Spagnolo, AIP Conference Proseedings, v. 502, 272-277, eds. D. S. Broomhead, E. A. Luchinskaya, P. V. E. McClintock, T. Mullin, Melville, New York (1999).

77. N. V. Agudov and B. Spagnolo, Phys. Rev. E 64, 035102(R) (2001).

78. А.Н.Малахов //Изв. ВУЗов. Радиофизика, Время релаксации концентрации вещества в среде с произвольно меняющимся в пространстве коэффициентом диффузии. 1997. -Т.40. -С.886-895.100