Описание броуновского движения и диффузии как немарковских случайных процессов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Скрипкин, Алексей Владимирович

• Скрипкин, Алексей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Скрипкин, Алексей Владимирович

Введение.

Глава 1. Теоретическое описание броуновского движения и диффузии.

1.1. Классическое описание броуновского движения.

1.2. Обобщенное уравнение Ланжевена. Броуновское движение как немарковский процесс.

1.3. Современные исследования испарения капель аэрозоля и процессов диффузии.

Глава 2. Математическое описание немарковских процессов, задаваемых линейными интегральными преобразованиями.

2.1. Стохастические дифференциальные уравнения.

2.2. Описание немарковского процесса, задаваемого линейным интегральным преобразованием.

2.3. Описание немарковского процесса типа фликкер-шума.

Глава 3. Применение интегральных операторов Вольтерра второго рода для описания одномерного броуновского движения и флуктуаций температуры поверхности.

3.1. Вязкость и теплопроводность в полупространстве.

3.2. Статистические характеристики флуктуаций скорости и температуры поверхности.

Глава 4. Движение сферической броуновской частицы в вязкой среде как немарковский процесс.

4.1. Сферическая частица в вязкой среде.

4.2. Движение свободной частицы в вязкой среде.

4.3. Описание движения осциллятора в вязкой среде.

Глава 5. Статистическое описание осциллятора, находящегося под воздействием флуктуирующего коэффициента трения.

5.1. Уравнение броуновского движения, учитывающее флуктуации коэффициента трения.

5.2. Спектральная плотность флуктуаций кинетических коэффициентов.

5.3. Математическое моделирование движения броуновской частицы под действием постоянной силы.

5.4. Осциллятор в среде с флуктуирующим коэффициентом трения.

Глава 6. Описание процессов диффузии при промощи линейных интегральных операторов.

6.1. Диффузия пара, находящегося над поверхностью жидкости, занимающей полупространство.

6.2. Диффузия пара, находящегося над поверхностью капли жидкости, имеющей сферическую форму (общая постановка задачи).

6.3. Квазистационарный случай.

6.4. Случай диффузии над поверхностью сферической капли с изменяющимся радиусом.

Глава 7. Случайные процессы в реологических средах, описываемых интегральными преобразованиями.

7.1. Описание реологических сред с помощью идеальных элементов.

7.2. Интегральные модели.

7.3. Реологические среды при наличии случайных напряжений.

7.4. Реологические среды при наличии случайных деформаций.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Описание броуновского движения и диффузии как немарковских случайных процессов»

Актуальность темы. Изучение броуновского движения является одной из важных задач теоретической физики. Хаотическое движение взвешенных в жидкости или газе частиц было открыто в 1827 г. Р. Броуном, а первое последовательное объяснение такого движения было дано А. Эйнштейном и М. Смолуховским в 1905 г. на основе молекулярно-кинетической теории.

Развитие теории броуновского движения и диффузии продолжались на протяжении всего XX века. В 1918 г. В. Шоттки теоретически предсказал и получил основные закономерности «броуновского движения» тока электровакуумных приборов (дробовой эффект), которое вскоре было обнаружено и исследовано экспериментально. У. Вейсс, П.С. Райзеборо, П. Хангги, Р. Мор-гадо, Ф.А. Оливьера, А. Хансен в 1960—1990-е гг. занимались обобщениями динамического уравнения броуновского движения (уравнения Ланжевена), в том числе изучая хаотическое перемещение взвешенных частиц при воздействии внешних потенциальных полей.

Теория броуновского движения и диффузии была развита А.Н. Колмогоровым, Н. Винером, Ю.Л. Климонтовичем, Г.Г. Батруни, А.Н. Морозовым, Ю.И. Яламовым и др.

Теория броуновского движения в сильной степени способствовала обоснованию и развитию статистической физики. Кроме того, она имеет важное практическое значение. В частности, указанные выше шумы электронных приборов определяются случайным движением переносчиков заряда. Броуновское движение ограничивает точность измерительных приборов. Например, «броуновское движение» зеркальца оптического гальванометра определяет предел точности данного прибора. Увеличение сопротивления растворов электролитов по сравнению с теоретическим во многом объясняется хаотическим движением ионов. Диэлектрические потери в диэлектриках определяются случайным движением молекул, обладающих дипольным моментом. Теория броуновского движения играет все большую роль в задачах физической кинетики, гидродинамики, радиофизики и других разделах теоретической физики.

Однако хорошо разработанная за последнее столетие теория броуновского движения и диффузии является приближенной. И хотя в большинстве практически важных случаев существующая теория дает удовлетворительные результаты, в некоторых случаях она может потребовать уточнения. Так, экспериментальные работы, проведенные в начале XXI века в Политехническом университете Лозанны, Университете Техаса и Европейской молеку-лярно-биологической лаборатории в Гейдельберге (под руководством С. Дженей) показали отличие поведения броуновской частицы от теоретически предсказываемого теорией Эйнштейна—Смолуховского, что было особенно заметным при увеличении размеров частиц. Исследования затрагивали также анализ движения окружающих частиц среды и показали существенное взаимное влияние движения броуновской частицы и вызываемое ею движение частиц среды друг на друга, то есть наличие «памяти» у броуновской частицы, или, другими словами, зависимость ее статистических характеристик в будущем от всей предыстории ее поведения в прошлом. Данный факт не учитывался в теории Эйнштейна - Смолуховского.

Таким образом, становится актуальной разработка теории броуновского движения и диффузии, которая бы учитывала указанные выше экспериментальные факты. Это, однако, требует изменения математического метода теоретического описания броуновского движения. Так, наличие «памяти» в движении броуновской частицы не может быть описано с помощью дифференциальных уравнений, в связи с чем необходимо использовать интегральные операторы, ядра которых принципиально могут учесть указанную «память» броуновской частицы. Актуальность исследования повышается важностью модели броуновского движения при исследованиях во многих областях теоретической физики.

Цель работы состоит в изучении броуновского движения, распространения тепла, поведения осциллятора в вязкой среде и в среде с флуктуирующим коэффициентом трения, изучении процессов диффузии и случайных процессов, происходящих в реологических средах, при помощи интегральных стохастических уравнений, и получении статистических характеристик изучаемых немарковских случайных процессов.

Научная новизна. В диссертации получила развитие теория броуновского движения и диффузии.

1. Показано, что использование интегральных операторов точнее описывает поведение броуновской частицы и осциллятора при учете увлечения ими частиц среды, а также в случае флуктуирующего кинетического коэффициента трения.

2. Проведено описание испарения с поверхности плоскости и капли при наличии флуктуаций потока частиц.

3. Найдены статистические характеристики для реологических сред, подверженных случайным напряжениям и деформациям.

Практическая значимость. Результаты исследований могут служить теоретическим обоснованием при разработке новых методов, использующих модели броуновского движения или осциллятора. В частности, полученные результаты могут иметь существенное значение при описании и разработке устройств демпфирования колебаний, при получении сред с микроструктурой, объектов нанотехнологий или высоконадежных электронных компонентов и др.

Полученные результаты статистического описания процессов диффузии могут служить основой при изучении объектов, находящихся в состоянии капельного аэрозоля, для анализа или прогнозирования их поведения. В частности, найденные результаты имеют значение при оценке среднего времени исчезновения тумана в метеорологических исследованиях.

Исследование реологических сред, подверженным случайным воздействиям, может найти применение при техническом или технологическом анализе объектов, обладающих вязкоупругим свойством и подверженным случайным воздействиям, например, при исследовании изменения свойств бетона, находящегося во флуктуирующем температурном поле, например при резких перепадах температуры, или изучении концентрированных растворов полимеров, используемых при получении новых материалов с заданными свойствами.

Достоверность полученных результатов и выводов подтверждается их согласованностью с общими положениями статистической физики, физической кинетики, теории вязкоупругости, теории колебаний, а также согласованностью результатов расчетов с известными экспериментальными данными.

На защиту выносятся:

1. Результаты исследования одномерного броуновского движения и явлений теплопроводности при наличии внешних случайных динамических или тепловых воздействий.

2. Результаты описания броуновского движения сферической частицы и движения осциллятора в вязкой среде при учете увлечения ими частиц среды.

3. Результаты статистического описания процессов испарения частиц пара с плоской поверхности жидкости или сферической капли, учитывающие флуктуации потока частиц через поверхность раздела фаз, вызванные случайными изменениями температуры, концентрации и др.

4. Результаты исследования поведения стержней из реологических материалов, подверженных воздействию случайных одномерных воздействий (напряжений или деформаций).

Апробация работы. Результаты диссертационной работы доложены и обсуждены на конференции Второй Всероссийской молодежной научной школы «Микро-, нанотехнологии и их применение» (Черноголовка, ИПТМ РАН, 2005 г.); Четвертой Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике» (Москва, МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2007 г.); Второй Всероссийской конференции «Волновая динамика машин и конструкций» (Нижний Новгород, 2007 г.)

Общее содержание работы. Первая глава работы посвящена общему описанию теоретических сведений, необходимых для решения рассматриваемых в диссертации задач, а также анализу имеющихся научных работ, в которых при описании случайных физических процессов методами статистической физики и физической кинетики встречаются интегральные уравнения.

Во второй главе рассмотрен метод, использующий интегральное представление случайных процессов, и позволяющий найти новые эффекты, не получаемые при описании тех же физических задач с помощью стандартных методов физической кинетики и статистической физики. Найдены общие выражения для характеристических функций случайных физических процессов, описываемых линейными интегральными преобразованиями. Рассмотрено описание процесса, имеющего характер фликкер-шума, и встречающегося в физических системах различной природы (проводников тока, растворах электролитов, вязких средах и др.)

В третьей главе решены одномерные задачи броуновского движения и распространения тепла при учете неизбежных флуктуаций импульса или температуры. Показано, что полученные результаты отличаются от аналогичных результатов, получающихся при использовании методов классической статистической физики. В частности, спектральная плотность в области низких частот в классическом случае стремится к постоянной величине, а учет увлечения окружающих частиц среды приводит к ее обратно пропорциональной зависимости от частоты.

В четвертой главе при учете увлечения броуновской частицей и осциллятором частиц вязкой среды проведено описание флуктуаций их скорости. Найдено, что сопротивление среды в этом случае перестает быть пропорциональным скорости, а зависит от трех слагаемых (первое пропорционально скорости, второе - ее производной, а третье представляет собой интеграл абелевого типа и содержит информацию о «памяти» движения броуновской частицы). Для осциллятора показано, что при малых радиусах частиц, когда классическое рассмотрение приводит к слабо выраженному резонансу, учет увлечения частиц приводит к ярко выраженному резонансу. Также найдено, что с увеличением размера частиц характер резонанса становится схожим, при этом классическому случаю соответствует большее амплитудное значение. Показано, что классическому случаю соответствуют более высокие резонансные частоты.

В пятой главе решена задача о движении броуновской частицы и осциллятора, подверженных экспериментально наблюдаемым флуктуациям кинетического коэффициента трения, имеющих характер фликкер-шума. В результате численного расчета нелинейного стохастического интегрального уравнения получены статистические характеристики флуктуаций импульса и координаты броуновской частицы и осциллятора (математическое ожидание, дисперсия, спектральная плотность). Проведено сравнение характеристик классического осциллятора и осциллятора, подверженного воздействию флуктуирующего коэффициента трения.

В шестой главе рассмотрен процесс испарения частиц с плоской поверхности и поверхности сферической капли в окружающую среду при наличии всегда существующей случайной составляющей их потока, вызванной флуктуациями температуры, концентрации у поверхности и др. Найдены статистические характеристики случайных физических процессов, описывающих рассматриваемые задачи (поток массы, концентрация частиц на границе жидкой и газообразной фазы, количество массы, испарившейся с единицы площади за время протекания процесса). Проведен численный расчет процесса испарения капли в атмосфере при учете изменения ее радиуса из-за наличия массового потока через ее поверхность. По результатам большого количества независимых численных реализаций процесса испарения найдено распределение количества полностью испарившихся («схлопнувшихся») капель в зависимости от времени.

Седьмая глава посвящена рассмотрению реологических стержней, подверженных случайным воздействиям, которые могут возникнуть из перепадов температур или плотностей материала. При этом вместо традиционно используемых дифференциальных моделей реологических материалов (Фойхта—Кельвина, Максвелла и др.) были использованы интегральные модели, связывающие деформации материала и возникающие в нем напряжения с помощью операторов Вольтерра второго рода, что позволяет более точно описывать случайные процессы в вязкоупругих средах в случае, если характерные времена флуктуаций внешних динамических воздействий меньше времен релаксации материала. Ядра интегральных уравнений обобщали дифференциальные подходы путем деления экспоненциальной функции на степенную. Найденные статистические характеристики флуктуаций деформации материала при случайном внешнем напряжении сравнивались с аналогичными характеристиками для модели Фойхта — Кельвина.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 11 работ, из которых 9 статей, в том числе 5 — из перечня ВАК.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, семи глав и заключения. Общий объем составляет 128 стр., включая 47 рисунков, 7 стр. библиографии, содержащей 84 наименования.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Скрипкин, Алексей Владимирович

Основные результаты диссертации, изложенные в работах [74 — 84], заключаются в следующем.

1. Проведено общее математическое описание случайных физических процессов, задаваемых с помощью линейных интегральных преобразований. Рассмотрен пример описания такого процесса (фликкер-шум, встречающийся в физических системах различной природы), в котором использован интегральный оператор с ядром абелевого типа.

2. Рассмотрена задача о движении плоской поверхности в среде, занимающей полупространство, а также задача о теплопроводности в такой среде. При учете случайных динамических (или соответственно тепловых) воздействий на поверхность (в виде белого шума) найдены статистические характеристики флуктуаций скорости (или температуры) поверхности, такие как характеристическая функция, спектральная плотность и др. Показано, что даже в таких, относительно простых, случаях рассматриваемые флуктуации требуют применения немарковской теории случайных процессо, а спектральная плотность флуктуаций скорости и температуры поверхности имеет характер фликкер-шума.

3. Проведено описание движения сферической броуновской частицы, учитывающее увлечение такой частицей окружающих ее частиц вязкой среды. Показано, что эти флуктуации представляют собой немарковский случайный процесс и имеют характерные особенности, отличающие их от флуктуаций при классическом рассмотрении. Проведено также описание находящегося в вязкой среде осциллятора и сравнение резонансных кривых для осцилляторов в классическом случае и при описании с помощью получаемых в работе интегральных уравнений Вольтерра второго рода.

4. Выполнено исследование броуновского движения при учете флуктуаций коэффициента трения. Построена математическая модель флуктуаций кинетических коэффициентов, спектральная плотность которых имеет экспериментально наблюдаемый характер фликкер-шума. Проведено описание осциллятора, подверженного воздействию детерминированной, случайной и возвращающей сил, и находящегося в среде с флуктуирующим коэффициентом трения.

5. Рассмотрены процессы диффузии частиц пара над плоской поверхностью жидкости и поверхностью сферической капли с учетом флуктуаций. потока частиц с указанных поверхностей, вызванных случайными изменениями температуры, концентрации и др. Исследованы статистические особенности испарения пара с поверхностей при данных условиях. Найдены соответствующие характеристики флуктуаций физических величин, описывающих рассматриваемые процессы, в числе которых поток массы через границу раздела жидкости и пара, а также концентрация у поверхности жидкости и масса испарившейся жидкости с единицы площади к некоторому моменту времени. Найдено распределение количества исчезнувших (полностью испарившихся) капель аэрозоля в зависимости от времени.

6. С использованием интегральных моделей реологических сред найдены статистические характеристики деформаций и напряжений в реологическом стержне при наличии случайных динамических воздействий. Проведено сравнение найденных характеристик с аналогичными величинами, получаемыми при использовании широко распространенных дифференциальных моделей (таких, как модель Фойхта-Кельвина).

14. Lee К., Duchamp M., Kulik G., et al. Uniformly disspressed deposition of colloidal nanoparticles by boiling. // Applied Physics Letters. 2007. V. 91. №17. P.173112.

15. Weiss U. Quantum Dissipative Systems. - Singapore: World Scientific, 1999.-462 p.

16. Riseborough P.S., Hanggi P., Weiss U. Exact results for a damped quantum-mechanical harmonic oscillator. // Phys.Rev. A. 1985. V. 31. № 1. P. 471 — 478.

17. Morgado R., Oliveira F.A., Batrouni G.G., Hansen A. Relation between anomalous and normal diffusion in systems with memory. // Phys. Rev. Lett. 2002. V. 89. P. 100601.

18. Bao J.D., Zhuo Y.Z. Investigations of anomalous diffusion for nuclear fusion reactions. // Phys. Rev. Lett. 2003. V. 91. № 6. P. 064606.

19. Haus J.W., Kehr K.W. Diffusion in regular and disordered lattices. // Phys. Rep. 1987. V. 150. P. 263-406.

20. Revelli J.A., Budde C.E., Prato D., Wio H.S. Bulk-mediated surface diffusion: non-Markovian desorption dynamics. // New Journal of Physics. 2005. V. 7. P. 16-36.

21. Revelli J.A., Budde C.E., Prato D., Wio H.S. Bulk-mediated surface diffusion: non-Markovian desorption with finite first moment. // Eur. Phys. J. B. 2003. V. 36. P. 245.

22. Bao J.-D., Hanggi P., Zhuo Y.-Z. Non-Markovian Brownian dynamics and nonergodicity. // Phys. Rev. E. 2005. V. 72. P. 061107.

23. Халмош П. Лекции по эргодической теории. — М.: Наука, 1969. — 136 с.

24. Аносов Д.В., Синай Я.Г. Некоторые гладкие эргодические системы. // Успехи математических наук. 1967. Т. 22, в. 5. С. 107— 172.

25. Морозов А.Н. Теория броуновского движения: Метод многомерных функций распределения. - М.: Изд-во МГТУ, 1993. — 84 с.

26. Морозов А.Н. К теории получения кинетических уравнений для двумерной функции распределения // Математические методы и физико-механические поля. Киев, 1990. Вып. 32. С. 67 — 73.

27. Морозов А.Н. О применении двумерной функции распределения в теории броуновского движения // Вестник МГТУ, Машиностроение. 1991. №4. С. 50-61.

28. Морозов А.Н. К теории получения уравнения диффузии для двумерной плотности броуновских частиц // Математические методы и физико-механические поля. Киев, 1991. Вып. 34. С. 105-110.

29. Морозов А.Н. О некоторых решениях уравнения диффузии для двумерной плотности броуновских частиц // Математические методы и физико-механические поля. Киев, 1995. Вып. 38. С. 121 — 125.

30. Морозов А.Н. Применение многомерных характеристических функций при описании немарковских случайных процессов // Вестник МГТУ, Машиностроение. 1997. №1. С. 22 - 32.

31. Морозов А.Н. Описание броуновского движения как немарковского случайного процесса // Вестник МГТУ, Машиностроение. 1996. №2. С. 65 -73.

32. Морозов А.Н. Применение теории немарковских процессов при описании броуновского движения // ЖЭТФ. 1996. Т. 109, вып. 4. С. 1304 - 1315.

33. Hooge F.N., Gaal J.L. Fluctuations with a 1/f spectrum in the conductance of ionic solutions and in the voltage of concentration cells // Philips research reports. 1971. V. 26. №2. P. 77 - 90.

34. Berg R.J. van, Devos A., Degoede J. Electrical noise in solutions of hydrochloric acid in ethanol // Physics letters A. 1989. V. 139. №5, 6. P. 249 - 252.

35. Морозов A.H., Турчанинов C.O. Макроскопические флуктуации коэффициента диффузии и низкочастотные шумы в электролитах // Биофизика. 1992. Т. XXXVII, вып. 4. С. 667 - 668.

36. Морозов А.Н., Кудрявцев B.C. Применение уравнения диффузии для двумерной плотности при описании распределения примесей после кристаллизации // Вестник МГТУ, Приборостроение. 1992. №4. С. 114 — 121.

37. Спектроскопия оптического смешения и корреляция фотонов. Под ред. Г. Камманса, Э. Р. Пайка. - М.: Наука, 1978. - 584 с.

38. Анисимов М. А., Кияченко Ю. Ф., Николаенко Г. JL, Юдин И. К. Измерение вязкости жидкостей и размеров взвешенных частиц методом корреляционной спектроскопии оптического смешения. // Инж.-физ. журн. 1980. Т. 38. №4. С. 651 -655.

39. Measurement of Suspended Particles by Quasi-Elastic Light Scattering. Ed. В. E. Dahneke. // New York: John Wiley, 1983. - 584 p.

40. Light Scattering and Photon Correlation Spectroscopy. Eds. E. R. Pike, J. B. Abbiss. - Netherlands, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1997. — 470 p.

41. Yudin I. K., Nikolaenko G. L., Kosov V. I., et al. A compact photon-correlation spectrometer for research and education. // Int. J. Thermophys. 1997. V. 18. №10. P. 1237- 1248.

42. Гусев А.И. Наноматериалы, наноструктуры, нанотехнологии. — М.: Физматлит, 2007. - 416 с.

43. Аналитическая химия. Проблемы и подходы. Том 2. / Под ред. Келне-ра Р. - М.: Мир, 2004. - 728 с.

44. Jeney S., Lukic В., Kraus J.A., et al. Anisotropic memory effects in confined colloidal

45. B.B.Mandelbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature. — San Francisco: Freeman, 1982.- 480 p.

46. Chen C.C., Daponte J., Fox M. Fractal Feature Analysis and Classification in Medical Imaging // IEEE Trans, on Medical Imaging. 1989. V. 8. P. 133 - 142.

47. Wein L.M. Brownian Networks With Discretionary Routing // Operations Research. 1990. V.39. № 2. P. 322 - 340.

48. Brekke K.A., Oksendal B. Optimal Switching in an Economic Activity Under Uncertainty // Siam Journal of Control and Optimization. 1994. V. 32. № 4. P. 1021-1036.

49. Osborne M.F.M. Random Nature of Stock Market Prices // Journal of Economics and Business. 1972. V. 6. P. 220 — 233.

50. Фукс H.A. Испарение и рост капель в газообразной среде. — М.: Изд-во АН СССР, 1958.-91 с.

51. Яламов Ю.И., Галоян B.C. Динамика капель в неоднородных вязких средах. — Ереван: Луйс, 1985. - 208 с.

52. Волков А.Н. Введение в кинетическую теорию разреженного газа. Ч. II. - СПб, Изд-во Бал. гос. техн. ун-та, 2006. — 276 с.

53. Фукс H.A. О скорости испарения капелек в атмосфере газа // ЖЭТФ, 1934. - Т. 4, вып. 7. - С. 747 - 759.

54. Яламов Ю.И., Кузьмин М.К. Влияние кинетических граничных условий на нестационарный рост и испарение капель // ДАН, 2003. — Т. 392. — №1. С. 44-47.

55. Яламов Ю.И., Кузьмин М.К. К проблеме нестационарного роста и испарения капель // ТВТ, 2003. - Т. 41. - №5. - С. 779 - 784.

56. Яламов Ю.И., Кузьмин М.К. Скорость нестационарного испарения сферической капли с учетом скачков концентрации и температуры вблизи ее поверхности // ЖТФ, 2005. - Т. 75, вып. 3. - С. 30 - 35.

57. Козырев A.B., Ситников А.Г. Испарение физической капли в газе среднего давления // Успехи физических наук, 2001. — Т. 171, №7. - С. 765 — 774.

58. Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы: теория и применение в физике, химии и биологии. — М.: Мир, 1987. — 400 с.

59. Морозов А.Н. Метод описания немарковских процессов, задаваемых линейным интегральным преобразованием // Вестник МГТУ, Естественные науки. 2004. №3. - С. 47 - 56.

60. Бочков Г.Н., Кузовлев Ю.Е. Новое в исследованиях l^niyMa // Успехи физических наук. 1983. Т. 141. —С. 151-176.

61. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. — М.: Наука, 1981.-800 с.

62. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. -М.: Наука, 1984. - 342 с.

63. Волтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1982. — 304 с.

64. Вибрации в технике. Справочник. Т. 1. — М.: Машиностроение, 1978. -560 с.

65. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы: Справ, пособие. - Киев, Наук, думка, 1986. - 542 с.

66. Hooge F.N., Kleinpenning T.G.M., Vandamme L.KJ. Experimental studies on 1/f noise // Reports on progress in physics. 1981. V. 44. № 5. P. 479 — 532.

67. Зубарев Д.Н. Неравновесная статистическая термодинамика. — М.: Наука, 1971.-416 с.

68. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1977.-736 с.

69. Рубинштейн Л.И. Проблема Стефана. — Рига: Звайгзне, 1967. — 458 с.

70. Реология: Теория и приложения. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1962.-824 с.

71. Ржаницын А.Р. Теория ползучести. - М.: Изд-во литературы по строительству. 1968. —415 с.

72. Ишлинский А.Ю. Работы по прикладной механике. Кн. 1. Механика вязкопластических и не вполне упругих тел. — М.: Наука, 1986. - 359 с.

73. H.A. Barnes, J.F. Hutton, К. Walters. An Introduction to Rheology. — Amsterdam: Elsevier Science, 1989. - 210 p.

74. Морозов A.H., Скрипкин A.B. К вопросу об описании кинетических процессов в средах с микроструктурой. // Микро-, нанотехнологии и их применение: Тезисы Второй Всероссийской молодежной научной школы. — Черноголовка: ИПТМ РАН, 2005. - С. 44 - 45.

75. Морозов А.Н., Скрипкин A.B. Применение уравнения Вольтерра второго рода для описания вязкого трения и теплопроводности. // Вестник МГТУ. Сер. Естественные науки. 2006. №3. С. 62 - 71.

76. Морозов А.Н., Скрипкин A.B. Движение сферической броуновской частицы в вязкой среде как немарковский процесс. // Вестник МГТУ. Сер.

Естественные науки. 2006. №4. С. 3 — 15.

77. Морозов А.Н., Скрипкин A.B. Использование уравнения Вольтерра второго рода для описания движения плоской поверхности и сферической броуновской частицы. // Необратимые процессы в природе и технике: Труды Четвертой Всероссийской конференции 29-31 января 2007 г. — М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. - С. 22 - 25.

78. Морозов А.Н., Скрипкин A.B. Применение линейных интегральных преобразований для описания немарковских случайных процессов. // Электронный журнал «Исследовано в России». 2007. Т. 10. С. 1243-1251. http://zhurnal.ape. relarn.ru/articles/2007/l 19.pdf

79. Морозов А.Н., Скрипкин A.B. Описание упругих волн в реологических средах с использованием интегральных преобразований. // Волновая динамика машин и конструкций: Тезисы Второй Всероссийской конференции. - Нижний Новгород, 2007. - С. 66.

80. Морозов А.Н., Скрипкин A.B. Статистическое описание осциллятора, находящегося под воздействием флуктуирующего коэффициента трения. // Вестник МГТУ. Сер. Естественные науки. 2008. №2. С. 3 — 15.

81. Морозов А.Н., Скрипкин A.B. Броуновское движение как немарковский случайный процесс // Необратимые процессы в природе и технике: Сборник научных трудов. Вып. II. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. С. 108 -145.

82. Михеева H.A., Морозов А.Н., Скрипкин A.B. Использование линейных интегральных операторов для описания процессов диффузии // Необратимые процессы в природе и технике: Труды Пятой Всероссийской конференции 26-28 января 2009 г. Ч. I. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. С. 27-30.

83. Михеева H.A., Морозов А.Н., Скрипкин A.B. Описание процессов диффузии при помощи линейных интегральных операторов // Вестник МГТУ. Сер. Естественные науки. 2009. №1. С. 3 - 20.

84. Морозов А.Н., Скрипкин А.В. Применение интегральных преобразований для описания броуновского движения как немарковского случайного процесса // Известия вузов. Физика. 2009. №2. С. 66 - 74.

Заключение