О спектральных характеристиках задач типа Штурма-Лиувилля с сильно сингулярными потенциалами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Савина, Елена Владимировна

• Савина, Елена Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Савина, Елена Владимировна

Стр.

Ведение

Глава I. Исследование спектральных характеристик оператора

Н(п,д) на полуоси. 15

§ 1. Постановка задачи.

§2. Получение уравнения для определения собственных чисел оператора Н(п,ц). 17

§3. Построение резольвенты оператора Й(к, т\ц). 26

§4. Природа спектра оператора Й{к, т;д).

Глава II. Исследование спектральных характеристик оператора

Й(к, т; д) на полуоси.

§ 1. Функции Вейля и другая форма резольвенты оператора Й(к, т; д).

§2. Построение спектрального семейства операторов Е(А) для оператора Й(к,т-,д).

§3. Разложение произвольной функции из £2(0;со) по спектру оператора Й{к,т\ц). 55

Глава III. Природа спектра оператора Й(к,т;0) при к + т - 2. 57

§ 1. Постановка задачи. 57

§2. Спектр оператора Й(2,0;0). 58

§3. Спектр оператора //(1Д;0). 65

§4. Спектр оператора Й(0,2;0). 71

§5. Спектр оператора Я'(1Д;0).

Глава IV. Асимптотическое поведение собственных функций спектральной задачи Штурма-Лиувилля для некоторых классов обобщенных весовых функций. 81

§ 1. Постановка задачи и формулировка основных результатов. 81

§2. Подготовительные леммы. 84

§3. Доказательство теорем 4.1.1 -4.1.2 в случае Д = (i = 1, р ). 90

§4. Доказательство теорем 4.1.1 -4.1.2 в случае Д ф (/ = 1, р). 103

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О спектральных характеристиках задач типа Штурма-Лиувилля с сильно сингулярными потенциалами»

Важную роль в математическом моделировании природных явлений играют решаемые модели. Они дают возможность понять основные черты явления. Это, в частности, модели, описывающие движение частиц в поле потенциала, сосредоточенного на некотором дискретном (конечном или бесконечном) множестве точек - месте расположения «точечных источников».

В этих моделях можно явным образом определить резольвенты и такие связанные с ними математические и физические характеристики, как спектр, собственные функции, их асимптотическое поведение и разложение произвольных функций из Ь2 по спектру исследуемой задачи.

В зависимости от характера изучаемых взаимодействий для этих моделей используются самые разные названия (смотри библиографию в [8]), включающие такие термины, как «точечные взаимодействия», «потенциалы нулевого радиуса», «сильно сингулярные потенциалы», «дельта-взаимодействия», «псевдопотенциалы Ферми».

Наиболее важные применения эти модели находят в физике твердого тела, например, модель Кронига-Пенни, в атомной и ядерной физике - описание коротко действующих ядерных сил, низкоэнергетических эффектов.

Основные квантово-механические системы, подходящие под указанные выше модели, на физическом уровне строгости в одномерном случае задаются одночастичным многоцентровым гамильтонианом вида -/'(*)+ *(*)/(*)+ Та Ах - *,)/(*), (ОЛ) бУ где через (-/'(■х) + ц(х)/) обозначен самосопряженный одномерный лапласиан в Ь2(К+) с областью определения Н2,2(Я+), 3 дискретное (конечное или счетное) подмножество в а1 - константа связи, приписанная точечному источнику, находящемуся в точке х, , а д(х - хг) - функция Дирака в точке х„ т.е., единичная мера, сосредоточенная в хг. Более того, в одномерном случае, в отличие от двумерного, оператор (- /" + <2/~)|с°°(л+и}> обладая четырехпараметрическим семейством самосопряженных расширений в пространстве Ь2(1?), имеет дополнительные типы точечных взаимодействий, так называемые 5'-взаимодействия, которые будут описаны ниже.

Пусть q(x), р(х) - вещественные функции, определенные на интервале Оа; Ъ), р(х) > 0 (-оо

Рассмотрим спектральную задачу Штурма-Лиувилля для уравнения /[у] = -у"(х) + q(x)y(x) = Лр(х)у(х) (а

Регулярный случай спектральной задачи Штурма-Лиувилля для уравнения (0.2), соответствующий q(x) е C(R ), р(х) е С (R ), изучен сравнительно давно и подробно изложен в монографиях [10], [11], [14], [30], [53], [56]. В то же время теоретической основой как регулярной, так и сингулярной спектральной задачи для уравнений (0.2) и уравнения Afl(xy, (0.3) где Н/ задается формулой (0.1), является общая спектральная теория симметрических и самосопряженных расширений операторов в гильбертовом пространстве.

Но далеко не всегда эта теория позволяет дать ответ на ряд вопросов, касающихся спектральных характеристик. К ним в наибольшей степени относятся вопросы, связанные с исследованием спектра с сильно сингулярным потенциалом (т.е. в том случае, когда коэффициенты являются обобщенными функциями), исследованием асимптотики собственных функций, соответствующих дискретному спектру, а также с разложением произвольных функций из L2(R) по спектру исследуемого оператора.

В отечественной литературе вопросам спектральной теории сингулярных дифференциальных операторов второго порядка посвящена монография Б.М.Левитана [34], где изложен иной метод обоснования теории, суть которого сводится к тому, что основные спектральные соотношения для сингулярного случая получены предельным переходом соответствующих соотношений для регулярного случая.

Вопросам исследования спектра в сингулярном случае посвящены работы многих отечественных и зарубежных математиков [7], [10], [15], [21], [26], [27], [29], [35], [40] (смотри также библиографию в [8]). В некоторых из них изучены также вопросы разложения произвольных функций из Ь2(К) по спектру исследуемого оператора. Вопросам же асимптотического поведения собственных функций, соответствующих дискретному спектру, посвящены работы, в которых коэффициентами в уравнении являются обычные функции из различных классов. Литература по этим вопросам обширна. Отметим прежде всего классические работы Штурма [65] и Лиувилля [63], а также работу В.А.Стеклова [51].

Во всех этих работах в предположении достаточной гладкости коэффициентов уравнений (0.2) и (0.3) и при выполнении условия было установлено:

1. Существует счетное множество собственных чисел Хп спектральной задачи

0 < т < р(х) < М

0.4) у] = -у" + д(х)у = Яр(х)у, а

0.5) ъ

§у2 (х)р{х)с1х = 1 а с единственной предельной точкой на +со.

2. Все собственные числа вещественны и при п —» оо

71

0.6) ь а У

3. Совокупность всех нормированных собственных функций равномерно по х и п ограничена, то есть sup шах \уп (х, рJ < С0 < со. (0.7) п а

В.А.Ильин и Н.Йо [25] показали, что если р(х) = 1, q{x) е L\(a,b), то для нормированных в L2(a,b) собственных функций любого самосопряженного расширения минимального оператора, порожденного дифференциальным выражением /[у], справедлива оценка (0.7).

В 1983 году М.М.Гехтманом, В.Я.Якубовым, Ю.Загировым [22] было установлено, что уже в классе непрерывных весовых функций формула (0.7) неверна, а имеет место неулучшаемая оценка тах\уп{х,р)

Затем было выяснено [20], что оценку (0.8), вообще говоря, нельзя улучшить даже на произвольном компакте [a; J3] с (а; Ь), и что существует всюду плотное в С[а; ь\ множество весовых функций р(х), ассоциированные с которыми собственные функции уп(х, р) спектральной задачи (0.5) качественно отличаются от собственных функций, соответствующих гладким весовым функциям.

Отметим полученные в последнее время результаты В.Я.Якубова [61], Г.А.Айгунова [2]-[6], Я.Г.Бучаева [16], в которых получены оценки собственных функций в соответствующих классах, значительно ослабляющие условия на весовую функцию. Следует также отметить работу А.Д.Назарова [37], в которой весовая функция р(х) является уже обобщенной функцией, что обобщает результаты, полученные авторами ранее.

Настоящая диссертационная работа примыкает к указанному кругу вопросов.

Приступим к подробному изложению содержания диссертации, состоящей из введения и четырех глав.

Пусть ккт- фиксированные целые неотрицательные числа, к + т = п, а\, а% - вещественные не равные нулю числа,

О < х\ < х2 < . < хк < оо и 0 < Ti < т2 < . < тт < оо -два непересекающихся набора фиксированных чисел, q(x) > 0 - непрерывная на полуоси х > 0 функция, удовлетворяющая условию x% + x2)dx«n. (0.9) о

Положим Х\ = (хь х2, ., хк), Х2 = (л:ь х2, ., хт), X = Х\ и Х2. Перенумеруем точки множества X в порядке возрастания и будем обозначать их в дальнейшем x¿, i=l,2, .,п.

В гильбертовом пространстве Z2(0, оо) определим множество D(n;q) условием:

D{n- q) = :У еН2,2(К+Х Х\ = 0 " / + Я(х)у е Ь2 (0,а>), j = xs, x¡ е Xi, x¡ = Ху, x¡ е Х2

В соотношении (0.10) под xs и понимаются точки, для которых выполняются, соответственно, условия: y'{xi + О) - y'(x¡ - О) = a¡y(xi)' xs, def y'(xi+0) = y'(x¡ -0) = /(*,-) (0 щ

На множестве функций £>(и;д)в пространстве Ь2(0, оо) посредством дифференциального выражения 1{у\ из (0.2) определим оператор Н{п\ формулой Н{П;д)/{х) = 1[/\ /еВ(щЧ). (0.13)

В первой главе диссертационной работы получено уравнение для определения собственных значений оператора Н(п;д) и в этом направлении доказана следующая

Теорема 1.2.1. Собственными числами оператора Н(п;д), определенного соотношением (0.13), являются отрицательные корни уравнения Л„(Л) = 0, где функция А„(Л) определена формулой (1.2.6).

Построена резольвента оператора Н(к,т;д), определенного в гильбертовом пространстве Ь2(0,ю) на множестве функций у 6 я2'2 (г \ х\ Яо) = о, 1[у] € Ь2 (0,+оо) у{х] + °) = у{х] -°):= Я*/=

0(к,т,д) = \ + о)- у'(х} - о) = а ]у(х] ), у = 1 ,к М у'{Х] + о) = у'{х] - о) = у(ху } У = к +1 ,к + т

0.14) у(ху + о)- у(ху - о) = а,у(ху )у = к + 1,к + т Показано, что оператор Н(к, т; д) самосопряжен и доказана следующая

Теорема 1.4.1. Спектр оператора Н{к,т\д) состоит из абсолютно непрерывной части, совпадающей с множеством [0, оо), и не более чем к+т отрицательных собственных чисел.

Во второй главе диссертационной работы рассмотрен другой подход к построению резольвенты оператора Н(к,т;д), основанный на методе, разработанном Вейлем, для чего построена функция Вейля, с помощью которой получены два линеино независимых решения задачи и Ф(хД), где

Л) е Ь2 (0, оо), ф(0, Л,) = 0, ф(0, х) £ Ь2 (0;+оо). С помощью полученных решений построена резольвента оператора Н(к,т;д).

В этом направлении доказана следующая

Теорема 2.1.1. Резольвента оператора Й(к, т; д) имеет вид 1

V =

0.15) где Д/1) е Ь2(0, оо), а функция (7(х, X) определена соотношением Х)ф(х, А),? > х. в(х,Г,А) =

0.16)

Построено спектральное семейство операторов Е(А) и доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.2.1. Пусть к + т = п, ^х) £ С0(-оо; +оо), тогда справедлива формула

А)/,/) =

0, о е А п (- оо; 0), Я Ф

20(сг) - +со~ / ф(х, сг) ГФ(/, а е А п [0; + оо) А(о-) о где 4, с к, Г, А, <2(сг), А(сг) определены в главе 2.

2.2.32)

Теорема 2.2.2. Спектр оператора Н{к,т\ц) (к + т = п) состоит из абсолютно непрерывной компоненты, совпадающей с полуосью [0; +оо), причем кратность спектра равна единице, и дискретной компоненты, которая содержит разве лишь конечное множество отрицательных чисел 4 е Г; при этом оператор Й(к,т;д) полу ограничен снизу.

Теорема 2.3.2. Пусть /(х) е /,2(0; +оо). Тогда справедливо равенство Парсева-ля-Стеклова: и/И2= I / (°-18> еДпГ Я- дп[0;+°о) ¿4°")

В третьей главе диссертационной работы подробно исследована дискретная компонента спектра оператора Й{к, т;0) в случае к + т — 2, причем показано, что спектр локализован, и исследована локализация спектра в зависимости от х, и а( (/ = 1,2).

Пусть к = 2, т - 0, то есть, рассмотрим оператор (а13(х - х1) + а23(х - х2 ))у, у(о) = 0. В этом случае уравнение для определения собственных чисел принимает вид

2,0 4^1' "^2 ) =

0.19) (№ + ах(рх }р2 (хх )) ■■ ¡¿V + а2

Подставляя эти выражения в (0.20), после несложных преобразований и подстановки

4л = ¿у, 5 > 0 получим уравнение для определения собственных чисел:

452 +2+а0) + а,а0 =

412/12 , (0.21) = ахе~1ях' (25 + а2) + а2е~Ъх2 (28-а^ + а^е'2^2'^

Справедлива следующая

Теорема 3.2.1. Спектр оператора Й(2,0;0) состоит из абсолютно непрерывной части, совпадающей с полуосью [0, со), и не более, чем двух отрицательных собственных чисел А, и Л2. Если выполнены условия

1) ах < 0, а2 < 0;

2) Ы < 1 а,

X1 X 1

4'

J 1 ? то собственных чисел ровно два и они находятся в интервалах а. а.+а,)2] { (ах+а2) и

16 у v

16

2. 4 если I «11 < | а21 или в интервалах

С 2 а. а1 + а2)

2 \

4 16 если | а\ | > | а2 и

1 +^2)2 16 а.

Если выполнены условия

4) аха2 <0;

5)-х\(Х\ -х2а2> 1; то собственное число одно.

Рассмотрим оператор

1,1;0)>> = -у" + ахд(х -х1)у + аг8'(х - х2 )>>,у(о) = 0. Уравнение для определения собственных чисел имеет вид ( л/Я = ¡я, я > 0):

2а, т! (

Б + 5 + —

V 2) V а2) ахе~гщ (а^ + 2) + а^е-2**2 (а, - 2 Справедлива следующая

0.22) v

Теорема 3.3.1. Спектр оператора #(1,1;0) состоит из абсолютно непрерывной части, совпадающей с полуосью [0, оо), и не более, чем двух отрицательных собственных чисел Яи Я2.

Если выполнены условия:

1) ах <0,а2< 0;

2) х\ I а\ I > 1;

3) аха2< 4, то собственных чисел ровно 2. Если выполнены условия

4) ах > 0,а2 < 0;

5) \аха2\ <4, то собственное число одно.

Рассмотрим оператор

Й(0,2;0)у = -у" + ~х1)у + а2д'(х - х2 )у, у(о) = 0. Как и выше, уравнение для определения собственных чисел приводится к виду (-ч/Я = /5,5 > 0): аха2 2^1 с 21

5 +- 5 + —

V а\) v а2)

0.23) -а^е'2щ + 2) + а^е1™2 (а^ - 2) + а^ Справедлива следующая

Теорема 3.4.1. Спектр оператора Й(0,2;0) состоит из абсолютно непрерывной части, совпадающей с полуосью [0, <х>) и не более, чем двух отрицательных собственных чисел. Если выполнено условие

1)«1<0, а2<0, то собственных чисел ровно два. Если выполнены условия

2) ах > 0, а2 < 0,

3) > \сс2\, то собственное число ровно одно. Рассмотрим оператор l,l;0) = -у" + cz¡Sr(x - хх )у + а2д(х - х2 )у.

Как и выше, получим следующее уравнение для определения собственных чисел оператора 7/'(l,l;0) (л/Х = is, s > 0): Í2 + a,s\ls + а0) =

0 24) -axselsXx (2s + a2)+ a2elsXl (2 - a^) - axa2sels{x2~xx\ Справедлива следующая

Теорема 3.5.1. Спектр оператора Я'(1,1;0) состоит из абсолютно непрерывной части, совпадающей с полуосью [0, <х>) и не более чем двух отрицательных собственных чисел Х\ и Л2. Если выполнены условия

1) ах < 0, а2 < 0;

2) а2(а\ +х2) <-1, то собственных чисел ровно два. Если выполнены условия

3) ах > 0, а2 < 0,

4) | а2 | («i + х2) > 1,

5) ах | а2 | > 4, то собственное число ровно одно.

Четвертая глава диссертационной работы посвящена вопросу асимптотического поведения собственных функций задачи Штурма-Лиувилля для некоторых классов обобщенных весовых функций.

Обозначим через С+[о;1] множество функций р(х), непрерывных на [0;1] и удовлетворяющих условию (0.4), а через УНа - множество функций из С+[0;1], пред ставимых в виде х) = /г(х) + у(х), (0.25) где к(х) € На, На- класс Гельдера, у(х) е V, V- класс функций ограниченной вариации:

Ша={/(х]/(х) = к(х) + ^х\НеНа^еУ (0.26)

Рассмотрим краевую задачу

-у"(х) = Л р

Я4 0 < х < 1, (0.27) 1

3<0)=J<1) = 0, (0.28) jp(x)y2(x)^ = l. (0.29) о

В соотношениях (0.27)-(0.29) <5(х) - функция Дирака, Д - произвольные вещественные числа, 0 = х0 < X! < . < хр < Xp+i = 1.

Для решения спектральной задачи (0.27)-(0.29) справедлива

Теорема 4.1.2. Пусть Дх) е VHa, ДА) -> оо при Я -> оо, тогда

1. iimMi4=0 равномерно пох е [0; 1]; 2. для любого шара S(pо, £) {е > 0) из существует весовая функция Дх, ро, s) е Н{а, A)nS(p0, s) такая, что lim-;—— > Ап.

1 -a U к~*° Я ~

На защиту выносятся следующие научные положения. Изучены спектральные характеристики одного класса дифференциальных уравнений Штурма-Лиувилля, коэффициентами которых являются обобщенные функции и в этом направлении

1. Доказано, что оператор Й(к,т;д) самосопряжен. Построена резольвента и показано, что оператор Й(к,т;д) ограничен снизу.

2. Проведено качественное исследование природы спектра оператора Й{к,т\д). В частности доказано, что спектр оператора состоит из абсолютно непрерывной части, совпадающей с полуосью X > 0, и не более чем п отрицательных собственных чисел (к + т = п).

3. В случае к + т = 2и^ = 0 спектр оператора Й(к, т; д) локализован в зависимости от чисел аь х, (/ = 1,2).

4. Получены разложения произвольной функции из Ь2(0;+оо) по спектру исследуемого оператора.

5. Исследовано асимптотическое поведение собственных функций задачи Штурма-Лиувилля для некоторых классов обобщенных весовых функций.

Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах по спектральной теории в МГУ им. М.В.Ломоносова, ДГУ, докладывались на двух научных конференциях и опубликованы в работах [44]-[50].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Савина, Елена Владимировна, 1999 год

1. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. - М.: Наука, 1979.

2. Айгунов Г.А. К вопросу об асимптотике нормированных собственных функций оператора Штурма-Лиувилля на конечном отрезке // УМН. -1997. Т. 52, №6. - С.147-148.

3. Айгунов Г.А. О максимальной возможной скорости роста решений задачи Коши и нормированных собственных функций для нелинейного уравнения Штурма-Лиувилля // Вестник ДГУ. Естеств. науки Махачкала. -1997.-Вып. 1.-С. 143-146.

4. Айгунов Г.А. Об ограниченности ортонормированных собственных функций одного класса операторов Штурма-Лиувилля с весовой функцией неограниченной вариации на конечном отрезке // УМН. 1996. - Т. 51, вып. 2.-С. 143-144.

5. Айгунов Г.А. Об одном критерии равномерной ограниченности нормированных собственных функций оператора Штурма-Лиувилля с положительной весовой функцией на конечном отрезке // УМН. 1997. — Т. 52, №2(314). -С. 149-150.

6. Алхасова С.С. Построение резольвенты обобщенной задачи Кронига-Пенни на полуоси // Функциональный анализ, теория функций и их приложения. Межвузовский сборник. Вып. 4. - Махачкала, 1979. - С. 28-38.

7. Альбеверио М., Гестези Ф., Хёг-Крон Р., Хольден X. Решаемые модели в квантовой механике. М.: Мир. - 1991.

8. Березин Ф.А., Фаддеев Л.Д. Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом//ДАН СССР.-1961.-Т. 137, №5.-С. 1011-1014.

9. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Асимптотика спектра дифференциальных уравнений // М.: ВИНИТИ. Итоги науки и техники. Математический анализ. 1977. - Т. 14.-С. 5-58.

10. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. (Учебное пособие). Л.: Изд-во ЛГУ, 1980.

11. Бродский A.M., Урбах М.И. О спектре поверхностных состояний кристаллов // В сб.: Задачи механики и математической физики. М.: Наука, 1976. -С. 43-52.

12. Ву Куок Тхань. Обобщение теоремы М.М.Гехтмана для нелинейного уравнения Штурма-Лиувилля // Вестник МГУ. Сер. I. Математика и механика. - 1990. - № 3. - С. 89-92.

13. Глазман И.М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов. М., 1963.

14. Геронимус Я.JI. Многочлены, ортогональные на окружности и на отрезке. -М.: Физматгиз, 1958.

15. Гехтман М.М. Об асимптотическом поведении нормированных собственных функций спектральной задачи Штурма-Лиувилля на конечном отрезке//Матем. сб.-1987.-Т. 133(175), №2.-С. 184-199.

16. Гехтман М.М., Станкевич Н.В. Спектральная теория некоторых неклассических дифференциальных операторов. (Учебное пособие). Махачкала, 1985.

17. Гехтман М.М., Загаров Ю.М., Якубов В.Я. Об асимптотическом поведении собственных функций спектральной задачи Штурма-Лиувилля // Функциональный анализ и его приложения. Махачкала. - 1983. - Т. 17, вып. 3.-С. 71-72.

18. Егоров Ю.В., Кондратьев В.А. О некоторых оценках собственных функций эллиптического оператора // Вестник МГУ. 1985. - Сер. 1: Математика и механика. - № 4.

19. Ильин В.А., Шишмарев И.А. Равномерные в замкнутой обладай оценки для собственных функций эллиптического оператора и их производных // Изв. АН СССР. Матем. - Т. 24, № 6. - С. 883-896.

20. Ио И., Ильин В.А. Равномерная оценка собственных функций и оценка сверху числа собственных значений оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом из класса ДО,/) // Дифф. уравнения. 1979. - Т. 15, № 7. - С. 1164-1174.

21. Кадиев Р.И. О собственных функциях и о собственных значениях одного класса операторов Шредингера с возмущениями нулевого радиуса. Махачкала, 1995. - Деп. в ВИНИТИ 21.08.95, № 2475-В95.

22. Кадиев Р.И. О спектре одного класса операторов Шредингера с конечным числом точечных взаимодействий. Махачкала, 1995. - Деп. в ВИНИТИ 14.02.95, №436-В95.

23. Като Т. теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

24. Китинявонг Тхепсаван. Авторская диссертация на соискание уч. степени канд. физ.-мат. наук. 1993.

25. Костюченко А .Г., Саргсян И.С. Распределение собственных значений. -М.: Наука, 1979.

26. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т 1. М.: Гос-техиздат, 1951.

27. Ладыженская O.A. О принципе предельной амплитуды // УМН. 1957. -Вып. 3.-С. 161-164.

28. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. М.-Л.: Гостехиздат, 1948.

29. Левитан Б.М. Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка. — М.: Изд-во технической литературы, 1950.

30. Назаров А.Д. Авторская диссертация на соискание уч. степени канд. физ.-мат. наук. 1982.

31. Назаров А.Д. Асимптотическое поведение нормированных собственных функций задачи Штурма-Лиувилля с обобщенным сингулярным потенциалом на конечном промежутке // Тез. докладов науч. конф., поев. 50-летию ДНЦ РАН. 1999. - Махачкала.

32. Назаров А.Д. О спектре задачи Штурма-Лиувилля с потенциалами нулевого радиуса на всей оси // Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения. Межвузовский сборник. Махачкала. - 1997. - С. 146155.

33. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

34. Нейман И. Математические основы квантовой механики. М.: Наука, 1964.

35. Пхомассон С. Авторская диссертация на соискание уч. степени канд. физ.-мат. наук. 1989.

36. Рахманов Е.А. О гипотезе В.А.Стеклова // Мат. сб. 1981. - Т. 114, № 2. -С. 269-298.

37. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т 2. -М.: Мир, 1978.

38. Рофе-Бекетов Ф.С. Самосопряженные расширения дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций. ДАН СССР, 1969. Т. 184. №5. С. 1034-1037.

39. Савина Е.В. Резольвента и спектр оператора Шредингера с точечными взаимодействиями // Вестник ДГУ. Естественно-технические науки. Махачкала. - 1995. - С. 42-46.

40. Савина Е.В. О природе спектра одного класса операторов типа Шредингера с потенциалом нулевого радиуса. Махачкала, 1996. - Деп. в ВИНИТИ 29.11.96 № 3462-В96. - 16 с.

41. Савина Е.В. Дискретный спектр одного класса операторов типа Шредингера с точечными взаимодействиями. Махачкала, 1998. - Деп. в ВИНИТИ 16.03.98 № 750-В98. - 17 с.

42. Савина Е.В. Асимптотическое поведение собственных функций задачи Штурма-Лиувилля на конечном отрезке для некоторых классов весовых функций // Вестник ДГУ. Естеств. науки. Махачкала: ИПЦ ДГУ. - 1998. - Вып. 4.

43. Савина Е.В. Асимптотическое поведение собственных функций спектральной задачи Штурма-Лиувилля для некоторых классов весовых функций. Махачкала, 1999. - Деп. в ВИНИТИ 10.02.99 № 450-В99. - 20 с.

44. Савина E.B. О скорости роста нормированных собственных функций задачи Штурма-Лиувилля на конечном промежутке с обобщенной весовой функцией // Тез. докладов науч. конф., поев. 50-летию ДНЦ РАН. Махачкала. -1999.

45. Стеклов В.А. Основные задачи математической физики. М.: Наука, 1983.

46. Суетин П.К. Проблема В.А.Стеклова в теории ортогональных многочленов // ВИНИТИ, Математический анализ. 1977. - Т. 15.

47. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды. Петроград, 1917.

48. Тамм И.Е. О возможности связи электронов на поверхности кристалла // Phys. 2, Soviet Union. 1932. - Т. 1, № 5.

49. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т. 2. М.: ИЛ, 1961.

50. Титчмарш Э.Ч. Теория функций. М.: Гостехиздат, 1951.

51. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. М.: ИЛ, 1962.

52. Якубов В.Я. Различные порядки роста нормированных собственных функций задачи Штурма-Лиувилля с непрерывным весом // Дифф. уравнения. 1993. - Т. 29, № 6. - С. 982-989.

53. Elbert A. Qualitative theory of differential equations // Amsterdam. 1981. -V. 30.-P. 153-180.

54. Weyl H. Uber gewohnliche Differential-gleichungen mit Singularen Stellen und ihre Eigenfunchkionen // Nachr. Acad. Wiss. Gottingen Math. Phys. Kl.1909. S. 37-64.

55. Weyl H. Uber gewohnliche Differentialgleichungen mit Singularitäten und die zugehörigen Entwiclungenwillkurlichen Funktionen // Math. Ann. 1910. -Bd. 68. - S. 220-269.

56. Weyl H. Uber gewohnliche Differentialgleichungen mit Singularen Stellen und ihre Eigenfunchkionen // Nachr. Acad. Wiss. Gottingen Math. Phys. Kl.1910.-S. 442-467.