Спектральный анализ одного класса дифференциальных операторов типа Штурма-Лиувилля с негладкими коэффициентами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Джабраилова, Лейла Мусаевна

• Джабраилова, Лейла Мусаевна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Джабраилова, Лейла Мусаевна

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава I. Изучение дискретной компоненты спектра оператора Н{е) § 1. Постановка задачи и формулировка

основного результата

§2. Построение решений i9(x,A) и <р(х,Л)

§ 3. Построение функций Блоха

§ 4. Построение резольвенты оператора Н{е)

§ 5. Доказательство первого утверждения теоремы 1.1

собственных чисел оператора Н(е)

Глава И.Изучение непрерывной компоненты спектра оператора Н{е)

§ 1. Формулировка основного результата

§2. Построение оператора ^(д)

§ 3. Случай двукратного спектра оператора Н{е)

§4. Разложение произвольных функций из 1/2(—оо,оо) по

обобщенным собственным функциям оператора Н{е).

Равенство Парсеваля - Стеклова

§5. Спектр оператора Hq(s)

Глава III. Спектральный анализ оператора L(a)

§ 1. Постановка задачи и подготовительные теоремы

2. Спектральный анализ оператора L(a) в случае а ^ 0.

Подготовительные леммы

§ 3. Построение разложения единицы Е(а)

оператора Ь(а) в случае а ^ 0

§4. Спектральный анализ оператора

Ь{а) в случае а < 0

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спектральный анализ одного класса дифференциальных операторов типа Штурма-Лиувилля с негладкими коэффициентами»

ВВЕДЕНИЕ

Решение многих модельных задач квантовой механики [2], связанных с исследованием свойств одномерных кристаллов, в линейном приближении, с математической точки зрения сводится к изучению спектральных характеристик в ¿2(—оо,оо) уравнения

В уравнении (0.1) потенциал д(х) является вещественной, периодической с периодом, равным ш > 0, функцией. В физической литературе уравнение (0.1) называется уравнением Хилла.

При условии суммируемости функции спектральные характеристики уравнения (0.1) изучались многими авторами. Итоги этих исследований подытожены в монографии Э. Ч. Титчмарша [39].

Установлено:

- спектр уравнения (0.1) полу ограничен снизу, абсолютно непрерывен и двукратен;

- спектр состоит из объединения отрезков (зон) Aj , разделённых интервалами (лакунами) Tj;

- число лакун, вообще говоря, бесконечно;

- длины лакун Т) при ] —оо стремятся к нулю;

- произвольная функция / е Ь2{—оо,оо) может быть представлена обобщенным интегралом Фурье как суперпозиция решений уравнения (0.1), соответствующих непрерывному спектру

у"(х) + д(х)у(х) = Ху{х), \х\ < оо,

(0.1)

оо

(0.2)

В дальнейшем, предполагая, что q{x) периодический потенциал является гладкой функцией, был уточнен порядок стремления к нулю длин лакун 7} У оо) ([26], [30], [35], [40]), а также установлены необходимые и достаточные условия на потенциал д(;г), при которых спектр уравнения (0.1) состоит только из конечного числа зон [14].

Поскольку периодический потенциал электрона в кристалле известен не точно, а исследовать количественно спектр уравнения (0.1) в общем случае весьма трудно, то Р. Крониг и В. Пенни [41] впервые ввели периодический потенциал

оо

д(х) = е ^^ 8(х — п).

п= — оо

В этой формуле е — произвольное вещественное число, а £)(ж) — функция Дирака.

Математически корректное истолкование уравнения Шредингера с сингулярным потенциалом впервые было осуществлено Ф. А. Бере-зиным и Л. Д. Фаддеевым [6], которые включили такие операторы в общую схему самосопряженных расширений симметрических операторов в гильбертовом пространстве.

Впоследствии спектральные свойства операторов с сингулярным

оо

потенциалом ^^ ап5(х — п) интенсивно изучались ленинградской

п= — оо

математической школой (обширный список работ этих авторов имеется в [2]).

М. М. Гехтман и И. В. Станкевич [10] - [12] исследовали спектр дифференциального уравнения Хилла с обобщенным периодическим потенциалом

оо

е) = д(ж) + £ ^ 6(х — п), х£ (—оо,оо). (0.3)

п= —оо

В формуле (0.3) — произвольная вещественная кусочноне-

прерывная периодическая функция с периодом, равным единице.

М. М. Гехтман и И. В. Станкевич показали, что в случае обобщенного потенциала Кронига - Пенни (0.3) остаются справедливыми все

утверждения теории Э. Ч. Титчмарша, кроме утверждения о стремлении к нулю длины интервала X,- при у —V оо.

В случае е ф 0 число лакун в спектре бесконечно и при ] —> оо длины лакун Tj стремятся к пределу, равному 2\е\. Затем М. Г. Га-сымов и Р. 3. Халилова [8] выяснили, что в случае уравнения

-у"(х) + д(х) у(х) = Хр(х) у(х), \х\ < оо, (0.4)

где функция р{х) определена на периоде формулой р(х) = р(х + 1)

Г г^2, V ф 1, 0 ^ ж < а < 1,

Р^ "11, а ^ ж < 1,

длины подпоследовательности лакун в спектре уравнения (0.4) при 3 —» оо стремятся к бесконечности.

Случай периодического потенциала, являющегося производной от некоторой монотонной функции, изучал В. А. Дмитрущенков [21], который показал, что в этом случае длины лакун в непрерывном спектре асимптотически ведут себя как коэффициенты Фурье периодического потенциала.

Необходимо отметить, что в случае конечного промежутка спектральные характеристики оператора Штурма - Лиувилля с потенциалом, являющимся производной от функции ограниченной вариации (включая и решение в терминах двух спектров обратной задачи спектрального анализа) были изучены В. В. Жиковым [23].

В случае реального кристалла возникает проблема описания влияния границы кристалла, которую можно учесть, предполагая, например, что потенциал вне кристалла равен константе г/, а внутри области занимаемой кристаллом, совпадает с периодическим потенциалом.

В 1932 г. И. Е. Тамм [36] рассмотрел такой кристалл и впервые показал, что наряду с известными в то время «зонными» состояниями электронов у поверхности кристалла могут существовать также состояния электронов совершенно иного типа. Эти поверхностные (таммовские) состояния электронов обладают дискретным энергетическим спектром и соответствующие собственные функции экспоненциально затухают по мере удаления от поверхности как в глубину кристала, так и в сторону вакуума.

Для количественного рассмотрения вопроса И. Е. Тамм исследовал спектральную задачу для уравнения Шредингера с потенциалом

и указал на возможность появления собственных чисел (поверхностных или таммовских уровней) в лакунах неограниченного кристалла.

Начиная с работы И. Е. Тамма [37], в физической литературе по теории твердого тела [22], [7], [32] значительное внимание уделяется поверхностным (таммовским) состояниям, что особенно существенно в связи с рядом конкретных экспериментальных эффектов, установленных в последнее время [22].

В одномерном случае при исследовании свойств кристаллов, связанных с влиянием границы, возникает задача изучения в 1/2 (—оо, оо) спектра уравнения

В формуле (0.6) потенциал Q(x,e,p(x)) определен формулой

В этой формуле е — вещественное число, q(x + 1) = q{x), q(x), р(х) — вещественные функции.

В случае р(х) — v — const спектральные характеристики задачи (0.6) были изучены М. М. Гехтманом и И. В. Станкевичем в цикле работ, подытоженных в [12]. А.Д.Назаров [28] рассмотрел спектр уравнения (0.6) с потенциалом

(0.5)

-у"(х) + Q(x,£,p(x))y(x) = Ху{х), \х\ < оо, (0.6)

(0.7)

р(х) = ах (х ^ 0)

и показал, что природа спектра в этом случае существенно зависит от знака числа а. Случай же комплексного числа а (1та ф 0) изучался Д. Е. Авроном [48].

В предположении, что р{х) также периодическая функция, спектр уравнения (0.6) изучался С. Пхоммасоном [31], а при условии \р(х)\ оо (х -» — оо) К. Тхепсаваном [25]. Настоящая диссертация примыкает к этому же кругу вопросов.

Сформулируем основные результаты, изложенные в диссертации.

Пусть £ — произвольное вещественное число, определим функцию

В дальнейшем, будем всегда предполагать, что р(х) — вещественная непрерывная функция, обращающаяся в тождественный нуль при х ^ х\ ^ 0), а д(х) — вещественная на полуоси х > 0 функция, периодическая с периодом, равным единице.

Рассмотрим в 1/2(—оо,оо) множество функций f(x), удовлетворяющих условиям (п = 1,2,...)

Методом [11] показано, что оператор Н(е) самосопряжен в Ь2(—оо, оо).

В физических работах [36] рассматривается обобщенный потенциал

(0.9)

Обозначим через ip(ж, Л) решение задачи Коши

—(р"(х, Л) + Q(x,p(x))<p(x, А) = Х(р(х, А) (|ж| < оо), ¥>(0,А) = 0, у>'(0,А) = 1,

а через -д(х, А) — решение задачи Коши

Л) + Q(x,p{x))'d(x, А) - Л) (|ж| < оо), 0(0, А) - 1, г9'(0, А) = 0,

Введем функцию комплексного переменного А

F(А) - 0(1, А) + у>'(1, А) + е<р( 1, А). (0.10)

В работе [11] показано, что функция F(А) —аналитическая функция порядка 1/2 на комплексной плоскости переменной А и уравнения F(А) = ±2 имеют только вещественные корни.

Обозначим через Aj {j — 0,1,2,...) нули функции F(А) — 2, а через fjLj (j = 0,1,2,... ) нули функции F(А) + 2. Тогда [11] числа Aj и ¡ij удовлетворяют неравенствам

-оо < А0 < fio ^ /¿i < Ai ^ А2 < • • • < fX2j ^

^ M2j+1 < ^ A2j+2 < ■ ■ ■

Более подробно см. [38, с. 351]. Числа A¿ и ¡ij разбивают вещественную ось на отрезки (интервалы) Лj и Tj (j = 0,1,2,... )

AJ = i г Л 1 . 0, , ! (/г = 0,1,2,...)

!(—оо, А0);

j=2fe + l (fe = 0,1,2,...) .

(Aj_i, Aj); j = (k = 1, 2,...)

Введем обозначения

A = (jAi; T = UTi- (°-И)

Определим функцию (Л ^ Л, Л ф Ь^)

т еу(1, Л) + А) - т?(1, Л) - л/^(А) - 4

=-Ща)-• (°л2>

обозначим через Ъз — нули функции <£>(1,Л).

В формуле (0.12) функция у/7г'2(Л) —4 является аналитической в комплексной плоскости Л с разрезами, совпадающими с Aj. На интервалах X) функция у/Г2(Х) — 4 принимает вещественные значения, причем

81ёп л/^2(Л)-4 = (-1)'" У = 0,1,2,...),

а на берегах разрезов Aj функция у\Р2(А) — 4 принимает чисто мнимые значения противоположных знаков, причем на верхних берегах разрезов А3- (] =0,1,2,...)

^2(А)-4 = (-1У+1 •

Получим [12], что на верхних берегах разрезов вдоль Aj

т2(\) = Р(Ь) + гЯ{Ь) (А = Ь + го). (0.13)

В формуле (0.13)

<2(Ь) = \/|^2(А) - 4|/2|<^(1, Ь)| > 0,

Р(Ь) = (-1УЫ1, Ь) + у>'(1, Ь) - 19(1, Ь)]/2|^(1, Ь)|.

Введем обозначения

(0.14)

вт л/Аа?!

1л(Х) = <р{х1, А) соб лГкхх — Л) ,

v а

и(Х) = ф'(х1, А) сое л/Хж1 + (р(х±, А)\/Азт У/Ххх,

/1\(А) = "&(х1, А) сое у/\х\ — ^'(хх, А) ^ ^

v А

А) = А) соя Л/АЖХ + г9(ж1, А)\/Азт у/\хх.

и определим функцию mi (Л) равенством

= -^¡j^ff. (о.«)

Располагая функциями mi (Л) и т2(Л) и применяя метод, впервые указанный Г. Вейлем [46] - [47], определяем решения ф{(х, А) (г — 1,2) уравнения

—у"(х) + Q{x1 е,р(х)) у{х) = Xу(х), \х\ < оо, х Ф п, п = 1,2,...

(0.16)

которые при Im А ф 0 удовлетворяют условиям

фг(х,Х) £ L2(-оо, 0), Фг(х, А) £ Ь2(0,оо),

(0.17)

г/>2(я,А) G Х2(0,оо), ^2(ж,А) £ L2(-oo,0).

В главе I диссертации построена резольвента оператора Н(е) и изучена дискретная компонента спектра оператора Н{е). Сформулируем основной результат главы I.

Теорема 1.1. Дискретная компонента спектра образует разве что конечное множество, совпадающее с множеством

J2 = Sdn(-oo,0)nT.

Во второй главе диссертации изучается непрерывная компонента спектра оператора Н(е).

Поскольку показано, что оператор Н{е) — самосопряжен, то для изучения природы спектра следует построить спектральное семейство проекционных операторов Е\ (—оо < А < оо). Пусть д = (а,/3) С (—оо, 0) ПЛ. Положим Е(а) = Ер - Еа.

Определим функцию

Й(Ь) = 1т г Вт о т1(А)'тг(Л) = (^Ц-Р^ + ОЧЬ) (0Л8)

Справедлива формула (/(ж) € Со(—оо,оо))

(Е( д)/,/) = 191{Ь)\(ФиЛ\2с1Ъ. (0.19)

А

Напомним, что если /ид принадлежат Ь2(—оо,оо), то

оо

(/,#)= J f(x)g(x)dx.

-оо

Если же А С (0, оо), д <Е Т (/(ж) е С0(-оо, оо)), то

(Я(д)/,/) = 19г(Ь)\(ф^1)\ЧЬ. (0.20)

А

Пусть А ^ 0, Л £ А, дсЛ. Положим 7711 (Ь) =Д1 + ¿д2, Д2 < 0,

т2(ь) = р(ь) + «д(ь), д(ь)>о, (0.21)

Дз(Ь) - (Д1 - Р)2 + (д2 - £)2, Аз(Ь) > 0.

(2.3.2)

Определим функции

ац(Ь) = |д2| + д(Ь), (0.22)

а12(Ь) = а2х(Ь) + Р|Д2[, (0.23)

а22(Ь) = д • (Д? +д|) + |д2| • (Р2 + д2). (0.24)

В М2 введем матрицу второго порядка

А=(ац (Ь) Й12(Ь) \ «21(Ь) а22(Ь)

(0.25)

и определим функции (/(ж) £ Со( — оо,оо))

оо

— оо оо

3(Ь)= I д{х,Ъ)/(х)ёх.

— оо

Ь) и ф(х,Ъ) — решения уравнения (0.16), удовлетворяющие условиям Коши

£(0, Ь) = Ь) - 0; $'(0, Ь) = ?(0, Ь) = 1. Введем еще вектор - функцию

Пусть А)0, А е Л, д

С А. Справедлива формула

(£(л)/,/) = ^у. (0.26)

д

Из формул (0.19), (0.20), (0.26) следует теорема 2.1, характеризующая непрерывную компоненту спектра оператора Н(е).

Теорема 2.1. Непрерывная часть спектра оператора Н(е) состоит из абсолютно непрерывной компоненты, совпадающей с множеством

ва = ((—оо, 0) П Л) и [0, оо),

причем на множестве (0, оо) ПА (множество Л определено формулой (0.11)) кратность спектра равна двум, а на множестве (0, оо) П Т и (—оо, 0) П Л — единице.

Теорема 2.2. Пусть /(ж) 6 1/2(—оо,оо). Справедлива формула Парсеваля - Стеклова

(/,/)= Е

tk €

+ Е / (/(^М)) |2с/Ь+

Л,-С(-оо,0) 7 Т5-С(0,оо)

(¿Ь

ТГ^ У Аз(Ь) '

7 ЛдС(О.оо)

В этой формуле через ^ обозначены нули функции ТУ (Л), элементы матрицы .А(Ь) определяются по формулам (0.21) - (0.24), функция Аз(Ь) формулой (0.21), а функции фг(х,х) (г = 1,2) условиями (0.17).

В § 5 главы II и в главе III рассмотрены частные случаи оператора Н{е), поясняющие общую теорию.

В § 5 главы II рассмотрен случай оператора Н(е), у которого

( 0, ж ^ 0

д(яг,е) = ^ £ « 6(х-п), х>0

к те=1

Показано, что в этом случае может быть разве что конечное число отрицательных собственных чисел (таммовских уровней).

В некоторых областях теоретической физики и теоретической химии [2] возникают задачи, связанные с моделированием поведения электронов в протяженных квантовых системах. Ввиду сложности исследования реальных задач для качественных энергетических оценок часто ([2], [24]) используют одномерное уравнение

п

-у"(х) + ~ хк)у(х) = ху{х), \х\ <.00. (0.27)

к=г

В уравнении (0.27) п € N — фиксированное число,

— оо < xi < х2 < • • ■ < хп < оо

ак (к = 1, 2,..., п) — некоторые заданные вещественные числа, отличные от нуля.

В диссертации (глава III) рассмотрен простейший случай п = 1, соответствующий оператор обозначен ь(а). Пользуясь методами, развитыми в гл. I - II, установлена формула Парсеваля - Стеклова, изучена природа спектра оператора Ь(а), детально выяснено, как меняются спектральные характеристики рассматриваемой модельной системы в зависимости от знака числа а.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [15] -[20] и неоднократно обсуждались на семинаре по спектральной теории дифференциальных операторов в Дагестанском государственном университете, на научном семинаре профессора Юдовича В. И. в Ростовском государственном университете, на научном семинаре профессора Жикова В. В. во Владимирском государственном педагогическом университете, а также на I Международной научно - практической конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Санкт - Петербург, 1996 г.).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Джабраилова, Лейла Мусаевна, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Алхасова С.С. Построение резольвенты обобщенной задачи Кронига - Пенни на полуоси // Межвузовский сб.: Функциональный анализ, теория функций и их приложения. Махачкала, 1979, Вып. 4. С. 28 - 38.

2. Алъбеверио С., Гестези Ф. и др. Решаемые модели в квантовой механике. — М: "Мир", 1991.

3. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. — М.: Наука, 1966.

4. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. — Киев: Наукова думка, 1965.

5. Березин Ф.А., Шубин М.А. Уравнение Шредингера. — М.: МГУ, 1983.

6. 6. Березин Ф.А., Фаддеев Л.Д. Замечания об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом // ДАН СССР. 1961. Т. 137, №4. С.1011 - 1014.

7. Бродский A.M., Урбах М.М. О спектре поверхностных состояний кристаллов. Задачи механики и математической физики. — М.: Наука, 1976. С. 43 - 52.

8. Гасымов М.Г., Халилова Р.З. О лакунах в спектре периодической задачи // Ученые записки АГУ им. Кирова, сер. физ - мат. наук. 1977, №3.

9. Гелъфанд И.М. Разложения по собственным функциям уравнения с периодическими коэффициентами // ДАН СССР. 1950. Т.73, №6. С.1117 - 1120.

10. Гехтман М.М., Станкевич И.В. Обобщенная задача Кро-

нига - Пенни // Функциональный анализ и его приложения. 1977. №1. С. 59 - 61.

11. Гехтман М.М., Станкевич И.В. Исследования спектральных характеристик некоторых операторов Штурма- Лиувилля, применяемых в теории кристаллов // Диф. уравнения. 1981. Т. 18, № 12. С. 2269 - 2270.

12. Гехтман М.М., Станкевич И. В. Спектральная теория некоторых неклассических дифференциальных операторов. Учебное пособие. — Махачкала: Даггосуниверситет. 1985.

13. Глазман И.М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов — М.: Наука, 1963.

14. Дубровин Б.А., Матвеев В.В., Новиков С.П. Нелинейные уравнения типа Кортевега - де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия // УМН. 1976. Т. 31, №1. С. 55 - 136.

15. Джабраилова Л.М. Спектральный анализ оператора Шре-дингера с точечным потенциалом // Махачкала. 1995, 22 стр., Деп. в ВИНИТИ, 10.4.95, №972-В95.

16. Джабраилова Л.М. Изучение спектра одного класса дифференциальных операторов Шредингера с потенциалом нулевого радиуса // Вестник ДГУ (Махачкала). 1996. Вып. 1, естеств.-тех. науки. С. 102 - 107.

17. Джабраилова Л.М., Айгунов Г.А. О спектре одного класса операторов Штурма-Л иувилля с обобщенным потенциалом // Вестник ДГУ (Махачкала). 1996. Вып.1, естеств.-тех. науки. С. 102 - 107.

18. Джабраилова Л.М., Айгунов Г.А. О спектре одного класса операторов Штурма - Лиувилля с обобщенным потенциалом // Известия высших учебных заведений. Северо - Кавказский регион. Естественные науки. 1997. Ростов. №1. С.З-6.

19. Джабраилова Л.М., Айгунов Г.А. Исследование дискретной компоненты спектра операторов Шредингера с обобщенным потенциалом // Махачкала, 1996 г., Деп. в ВИНИТИ, 19.12.96, №3717-В96.

20. Джабраилова Л.М.. Спектральный анализ операторов Штурма-Лиувилля с обобщенным потенциалом / / Санкт - Петербург, 1996, Тезисы I Международной научно - практической конференции "Диф. уравнения и их приложения", 2 стр.

21. Дмитрущенков В. А. О спектре обобщенного оператора Хил-ла // Функциональный анализ и его приложения. 1979. 13, вып. 4. С. 69 - 78.

22. Дэвисон С., Левин Дж.. Поверхностные таммовские состояния — М.: Мир. 1979.

23. Жиков В.В. Об обратных задачах Штурма - Лиувилля на конечном отрезке // Изв. АН СССР, сер. мат. 1967. Т. 31, вып. 5. С. 965 - 976.

24. Кадиев Р.И. Изучение спектральных характеристик одного класса операторов Шредингера с потенциалами нулевого ради- уса. Авт. дисс. на соискание уч. степени к.ф.-м.н., Махач- кала, ДГУ, 1995 г.

25. Киттинявонг Тхепсаван. Исследование спектральных характеристик одного класса дифференциальных операторов с обобщенными коэффициентами. Авт. дисс. на соискание уч. степени к.ф.-м.н. — Владимир. 1993 г.

26. Лазутин В.Ф., Панкратова Т.Ф. Асимптотика ширины лакун в спектре оператора Штурма - Лиувилля с периодическим потенциалом // ДАН СССР. 1974. Т. 215, №5. С. 1048 - 1051.

27. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию — М.: Наука, 1970.

28. Назаров А.Д. Изучение спектральных характеристик одного класса уравнений Штурма - Лиувилля с обобщенным потенциалом. Авт. дисс. на соискание уч. степени к.ф.-м.н. — Баку, 1982.

29. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы — М.: Наука, 1964.

30. Плаксина O.A. Характеристика спектра некоторых краевых задач для оператора Штурма - Лиувилля // УМН. 1981. Т. 36, вып. 2. С. 199 - 200.

31. Пхоммасон С. Исследование спектральных характеристик

одного класса одномерных уравнений Шредингера с обобщенным потенциалом. Авт. дисс. на соискание уч. степени к.ф.-м.н. Ростов, 1989.

32. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики— М.: Мир. Т. 4. Анализ операторов. 1982.

33. Рофе-Бекетов Ф.С. Признак конечности числа дискретных уровней, вносимых в лакуны непрерывного спектра возмущениями периодического потенциала // ДАН СССР. 1964. Т. 156, №3. С. 515-518.

34. Садовничий В.А. Теория операторов — М.: Изд. МГУ. 1979.

35. Таманян Г.Ю. О лакунах в спектре оператора Хилла // Изв. Вузов. Математика. 1986. № 6. С. 29 - 33.

36. Тамм И.Е. О возможной связи электронов на поверхности кристалла // Phys. 2, Sovijet Union. 1932. VI, 733.

37. Тамм И.Е. Собрание научных трудов. Т.1. — М.: Наука, 1975.

38. Титчмарш Э. Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка — М.: ИЛ. Т.1. 1960.

39. Титчмарш Э. Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка — М.: ИЛ. Т. 2. 1961.

40. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения — М.: Наука, 1985.

41. Kronig R. und Penny W.G. Quantun mechanics of electronsin krustall lattices // Proc. Royal. Soc. Ser. A, 130, 1930, 449-513.

42. Magnus W., Winkler W. Hills equations — New York. Interscince Wiely, 1966.

43. Schrodinger E. Quantisierung als Eigenwertproblem, Ann.d. Phys., Folge 1V79 (1959), 631-642, 483-527.

44. Seans P. Note of unigueness of the Green functions assosiated with certain differentials equations. Canadian J.Math., 2, 1950, P. 314-325.

45. Weyl H. Üben gewohnliche Differentialgleichungen mit Singularen Stellen und ihre Eigenfuncktioner//Nachr. Acad. Wiss.Gottingen Math. Phys. Kl. - 1909. - S. 37-64.

46. Weyl H. Üben gewohnliche Differential gleichungen mit Sin-gularitatten und die Zugehörigen Entwicklungen-willkurlic- hen Funktionen. // Math. Ann. - 1910. -Bd. 68 -S.220 - 269.

47. Weyl H. Üben gewohnliche Differentialgleichungen mit Singularen Stellen und ihre Eigenfuncktioner. Math. Phys. Kl. Nachr.Wiss. Gottingen - 1910. - S. 442 - 467.

48. Joseph E. Avron. On the Spectrum of with periodic and complex. J. Phiys. A: Math. Jten. Vol.12., N 12, 1979.