Спектральные методы исследования теоретико-механических моделей гироскопических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат наук Нгуен Вьет Хоа

• Нгуен Вьет Хоа
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Нгуен Вьет Хоа

ОГЛАВЛЕНИЕ

' Введение

Глава 1. Спектральный вариант метода усреднения при анализе гироскопических систем, описываемых регулярно возмущенными системами дифференциальных уравнений

периодической матрицей

1.1. Введение

1.2. О почти приводимости некоторых классов неавтономных регулярно возмущенных теоретико-механических моделей гироскопических систем дифференциальных уравнений с периодической

1 матрицей при наличии предельной

матрицы простой структуры

Т"

• 1.3. Об особенностях приводимости неавтономных

I

„-1! систем дифференциальных уравнений

с периодической матрицей при наличии

у матрицы Д, кратного спектра

1.4. О приводимости квазилинейных систем с периодической матрицей при наличии у матрицы \ произвольной

жордановой структуры

Глава 2. Асимптотический анализ теоретико-механических

моделей гироскопических систем с полиномиальной матрицей

2.1. Введение

2.2. О приводимости некоторых классов теоретико-механических моделей гироскопических систем с полиномиальной матрицей при наличии определяющей матрицы \

простой структуры

2

2.3. Алгоритм приводимости линейных и квазилинейных неавтономких систем дифференциальных уравнений с полиномиальной матрицей при стабильном кратном спектре определяющей матрицы \

Глава 3. Исследование теоретико-механических моделей гироскопических систем с полиномиально периодической матрицей

3.1. Введение

3.2. Исследование линейных и квазилинейных теоретико-механических моделей гироскопических систем с полиномиально периодической матрицей при наличии некратного стабильного спектра

матрицы простой структуры

3.3. О некоторых теоретико-механических моделей гироскопических систем с полиномиально периодической матрицей при наличии матрицы \ (/) фикцированной

жордановой структуры (при т <, -1)

3.4. Анализ квазилинейных неавтономных теоретико-механических моделей гироскопических систем

с полиномиально периодической матрицей при наличии у матрицы Ад (/) стабильного кратного спектра и различной жордановой структуры (т £ 1; т = 0)

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спектральные методы исследования теоретико-механических моделей гироскопических систем»

Введение

Представленная работа посвящена исследованию различных (в том числе и отличных от ранее известных) теоретико-механических моделей современных гироскопических и некоторых электромеханических систем, реализуемых в виде линейных и квазилинейных неавтономных систем обыкноветшых дифференциальных уравнений с периодической матрицей (при наличии малых возмущений), а также нового класса систем с полиномиальной и полиномиально периодической матрицей.

Разработаны эффективные методы анализа указанного класса систем, включая вопросы устойчивости, которые являются обобщением и развитием известных [4-6, 8, 10, 16, 31, 33, 35, 40, 42, 49-53] и более современных методов [17-23] (см. подробнее [54-61]).

Термин гироскоп (т.е. буквально - «прибор, обнаруживающий вращение») был введен в науку французским физиком Фуко (1852) для обозначения созданного им прибора, основной частью которого был быстро вращающийся ротор [62-64]. С помощью гироскопа впервые удалось обнаружить факт суточного вращения Земли непосредственным лабораторным опытом. Термин гироскоп применяется теперь в более широком смысле для обозначения приборов, в которых используются свойства быстро вращающегося тела.

Рассмотрим для примера движение твердого тела в однородном силовом поле (см., например, [63]). Напомним, что движение свободного твердого тела описывается при помощи шести обобщенных координат, например, трех декартовых координат одной из точек тела (чаще всего это - координаты центра масс) и трех углов Эйлера, определяющих положение твердого тела в заданной системе координат, связанной с одной из точек тела и движущейся поступательно [62-64]. Однако возможен выбор и других шести обобщенных координат. Для вывода уравнений движения свободного тела используют теорему о движении центра масс и теорему об изменении момента количества движения системы относительно центра масс [62-64]. Обычно

ротор гироскопа выполняется в виде однородного тела вращения, и поэтому его экваториальные моменты инерции равны между собой.

Пусть эллипсоид инерции1 в неподвижной точке - эллипсоид вращения, а центр масс тела лежит на оси симметрии эллипсоида вращения2 (этим свойством обладает тело, имеющее ось симметрии, проходящую через неподвижную точку). Твердое тело, имеющее ось симметрии и вращающееся вокруг одной из точек на оси симметрии, называется гироскопом. Обычно в технических приложениях используются гироскопы, выполненные в виде тел вращения, котором сообщается большая начальная угловая скорость вокруг оси симметрии. Напомним, что астатический гироскоп — гироскоп, у которого центр масс совпадает с неподвижной точкой. В противном случае его называют тяжелым гироскопом или волчком [63]. Астатический гироскоп с тремя степенями свободы еще называют свободным гироскопом. Вращающийся вокруг вертикальной оси волчок, называют «спящим».

Как показано в [63] в однородном силовом поле возможно вращение гироскопа, совершающееся без нутаций, которое называется регулярной прецессией. Нутация (от лат. ИШаге - колебаться) - слабое нерегулярное движение вращающегося твёрдого тела, совершающего прецессию. Напоминает «подрагивание» оси вращения и заключается в слабом изменении так называемого угла нутации между осями собственного и прецессионного вращения тела. Прецессия гироскопа наблюдается спустя некоторое время после его запуска, когда его вращение начнёт замедляться. Первоначально ось вращения гироскопа вертикальна. Затем его верхняя точка постепенно опускается и движется по расходящейся спирали. Это и есть прецессия оси гироскопа. Для ее наблюдения можно также толкнуть ось вращающегося гироскопа - начнётся прецессия.

1 Эллипсоид инерции - геометрическая фигура в виде поверхности второго порядка, которая характеризует момент (тензор) инерции / твёрдого тела относительно его центра масс.

2 Эллипсоид вращения (сфероид) - фигура вращения в трёхмерном пространстве, образованная при вращении эллипса вокруг одной из его главных осей. Примеры: нормальный сфероид — сфера, вытянутый эллипсоид вращения, сплюснутый эллипсоид вращения.

Особым случаем регулярной прецессии является вращение гироскопа вокруг неподвижной оси. Если центр масс гироскопа совпадает с неподвижной точкой, то возможно перманентное вращение тела вокруг некоторой произвольной оси при заданной начальной угловой скорости.

Перейдем к рассмотрению движения гироскопа в кардановом подвесе [6264]. Карданов подвес - универсальная шарнирная опора, позволяющая закреплённому в ней объекту вращаться одновременно в нескольких плоскостях (см. ниже рисунок). Главным свойством этого подвеса является то, что если в нем закрепить вращающееся тело, то оно будет сохранять направление оси вращения независимо от ориентации самого подвеса.

М7 р17

Рис. Гироскоп в кардановом подвесе.

Возьмем, например симметричный гироскоп - вращающееся вокруг оси симметрии твердое тело, закрепленное в одной точке, для которой эллипсоид инерции представляет собой эллипсоид вращения. Центр масс тела лежит на оси симметрии (оси фигуры) эллипсоида. Такой гироскоп называется астатическим, т.к. его центр масс совпадает с неподвижной точкой. Астатический гироскоп с тремя степенями свободы часто называют свободным гироскопом.

Ось фигуры астатического гироскопа сохраняет неподвижное направление в инерциальном пространстве. Точнее, ось симметрии гироскопа остается все

время неподвижной, если на астатический гироскоп не действуют никакие другие силы, кроме однородных сил тяжести и в начальный момент эта ось не была подвергнута возмущению. При аналогичных условиях ось симметрии тяжелого гироскопа описывает прямой круговой конус вокруг вертикальной оси. Угловая скорость прецессии зависит от величины смещения центра тяжести вдоль оси симметрии, веса гироскопа и его кинетического момента. Именно эти свойства гироскопов позволяют решить задачу определения местоположения объекта в пространстве [62-64]. Для этого надо уметь регистрировать и интерпретировать показания гироскопа.

В гироскопе на кардановом подвесе информацию о положении объекта в (инерциалыюм) пространстве содержат в себе углы а и Р поворотов кардановых колец (см. Рисунок): а - определяет поворот внешнего кольца относительно объекта, на котором установлен гироскоп, а угол /7 -определяет поворот внутреннего кольца вокруг заданной оси (см. подробнее, например, в [63]). Эти углы легко определяются по показаниям прибора. Для этого достаточно, например, укрепить на заданных осях потенциометрические (или индуктивные) датчики, статоры которых скреплены соответственно с объектом и наружным кольцом, а роторы - с наружным и внутренним кольцом. Тогда рассогласования углов а и 0 между роторами и статорами могут быть преобразованы в электрические сигналы, уровни которых взаимно однозначно связаны с величинами этих углов. Как правило, для получения информации о положении объекта в пространстве используют несколько, например, два гироскопа, при этом второй гироскоп повернут относительно первого на угол л/2. При этом существует однозначная связь между относительными углами поворотов колец карданова подвеса гироскопа и углами Эйлера у/, &,(р (см. подробнее [62-64]). Повороты на углы Эйлера у/,Э,ф могут быть материализованы при помощи карданова подвеса. Часто вместо углов Эйлера используют углы а,р,(р. В астрономии и географии углам а и /? соответствует долгота и

широта места земной поверхности [63]. В теории гироскопов углам а и ¡3 обычно присваиваются названия угла прецессии и угла нутации соотвественно. А угол <р - угол собственного вращения.

Движение твердого тела с одной неподвижной точкой может быть сведено к трем вращательным движениям [62-64]. Все оси вращения пересекаются в неподвижной точке О, связанной с телом. На основании теоремы о сложении вращений относительно пересекающихся осей абсолютная угловая скорость тела ю равна геометрической сумме угловых скоростей переносного и относительных вращений [63]. Откуда легко получить кинематические уравнения Эйлера для компонент вектора (о [63].

Динамические уравнения Эйлера следуют из теоремы об изменении момента количества движения [62-64]:

с1К

-+ сохК = М,

Л

где К и М - момент количества движения тела и главный момент внешних сил, они вычисляются относительно неподвижной точки тела. В этой формуле учтено, что система координат связана с вращающимся телом. При этом обычно выбирают главные оси инерции в качестве осей подвижной системы координат. В этом случае: Кх=1хсох, Ку = 1усоу, К2 = 12со2.

Допполнив полученную таким образом систему динамических уравнений Эйлера системой кинематических уравнений Эйлера, связывающих углы Эйлера с соотвествующими компонентами сох,соу,со2, получим систему

уравнений полностью определяющую движение тела с одной неподвижной точкой. Но к ним необходимо еще присоединить шесть начальных условий для угловых скоростей и их первых производных. Заметим, что найти решение такой системы уравнений в общем виде, т.е. при любых начальных условиях и моментах инерции, не представляется возможным [63].

Уравнения движения твердого тела в рассматриваемом случае могут быть получены другим способом. Для составления уравнений Лагранжа вводятся

обобщенные координаты цт, находится выражение для кинетической энергии Т и обобщенных сил Qm, затем получают уравнения:

дТ

L dt

s дТ\

А у

а*.

■ = Q •

В случае твердого тела с одной неподвижной точкой за обобщенные координаты могут быть приняты, например, углы Эйлера у/,х%ф или углы а,(3,(р. В принципе, соотвествующие уравнения Лагранжа могут быть получены из уравнений Эйлера (см., например, [63]).

Запишем итоговые уравнения движения твердого тела в форме Лагранжа [63]:

{jx^x sin /?sin ф + Iycoy sin Pcos (p + Izcox COS P)=Qa, di

— \Ix(ox eos (p-Iycoy sin (p)- Ixcoxásin ^»cos P + Iza>zásm.p ■

- Iyú)yá cos p eos (p = Qe,

dt

Обобщенные силы могут быть выражены через проекции главного момента внешних сил М [63]:

Qa =(Мхъ'т<р+Мусоь(р)$'тР+Мхсо&р,

Qp =Мхсо5<р+МуБт<р,

Поскольку точка О неподвижна и поэтому работа главного вектора внешних сил всегда равна нулю.

Заметим, что использование уравнений Эйлера особенно полезно при исследовании движения изолированного твердого тела. Однако, в ряде случаев можно пренебречь массой кардановых колец и тогда гироскоп можно рассматривать как одно тело - ротор. Уравнения движения при этом проще выводятся в форме уравнений Эйлера.

Теперь запишем, наконец, дифференциальные уравнения движения гироскопа в кардановом подвесе (гироскоп установлен на неподвижном основании) (см. подробнее в [62-64]) в форме Лагранжа [63]:

— [P{fi)á + С(ф + á sin /l)sin р] = Мг (á), dt

Q/3 - (Я, - А - С, )sin рcos pá2 - C(ásin P + ф)аcos p = -aGeos p + Mx(fi\> С ^ (á sin p + ф) = My (cp, ф).

В этом уравнении: á - угловая скорость вращения наружного кольца карданового подвеса вокруг оси Oz\ ¡5 - угловая скорость внутреннего кольца (гирокамера участвует в переносном движении вместе с наружным кольцом и относительном движении с угловой скоростью р относительно наружного кольца); А, В, С - главные моменты инерции ротора относительно точки О; Ai, В\, С\ - главные моменты инерции гирокамеры для точки О; Аг, В2, Сг - главные моменты инерции гирокамеры для наружного кольца. При выводе полагается, что ротор симметричен относительно своей оси вращения и его экваториальные моменты инерции равны А = В; С - момент инерции относительно оси Оу; P{j3)=C2 +Bisin2/3+{A + C^coiJ3\ Q = A + A1; G -сила тяжести; MX,MZ - моменты сил сопротивления в осях подвесах; Му -суммарный момент, действующий на ротор, зависящий от угла поворота <р и угловой скорости ф.

Кроме того полагается, что главные оси инерции гирокамеры направлены по осям x,y,z.

Сделаем некоторые предварительные полезные замечания о полученных в настоящей работе новых и актуальных результатах.

Настоящая диссертация посвящена исследованию различных (в том числе и отличных от ранее известных) теоретико-механических моделей современных гироскопических и некоторых электромеханических систем, реализуемых в виде линейных и квазилинейных неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с периодической матрицей

(при наличии малых возмущений), а также нового класса систем с полиномиальной и полиномиально периодической матрицей. С этой целью особое внимание уделно разработке новых аналитических спектральных и асимптотических методов исследования теоретико-механических моделей гироскопических систем с периодической, полиномиальной и полиномиально периодической матрицей с учетом одного из вариантов метода расщепления.

Так, например, в 1-ой главе с помощью разработанных нами методов рассмотрено стационарное вращение бесконтактного гироскопа в переменном магнитном поле, которое описано с помощью линеаризованной системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1 -го порядка. А во 2-ой главе разработанные нами методы применены к анализу малых колебаний оси гироскопа (нутация), которые могут быть описаны системой обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка.

Один из важнейших выводов, который следует из нашей работы: линеаризация задач теории (в общем случае - нелинейных) колебаний приводит к отсутствию устойчивых состояний движения в зонах (областях) резонанса, что означает, по сути, потерю таких решений. Более того: идеи линеаризации абсолютно неприменимы для решения многих проблем, с которыми физика постоянно сталкивалась и продолжает сталкиваться [6267]. Вместе с тем данная проблема периодически возникает при решении различных прикладных задач в различных областях техники, механики, физики, электроники, биологии и медицины (см., например, [5, 33, 40, 41, 5053, 65-70]).

Отметим лишь некоторые из таких задач (см., например, [51, 65-70]):

а) бесконтактное ориентирование, удержание и управление микродеталями при сборке различных устройств и приборов (роботизация);

б) селективное разделение различных порошков (магнитных, ферромагнитных);

в) сверхчувствительные датчики полей (электрических, магнитных, оптических, тепловых, акустических и др.);

г) взвешивание, удержание и перемещение различных объектов (одиночных молекул, гироскопов, транспорта на магнитном подвесе);

д) создание ловушек частиц различного типа с широким диапазоном размеров (от нано до макро, включая клетки, электроны, ионы, атомы и молекулы) и изучение свойств и динамики отдельных частиц в таких ловушках, электродинамическое удержание плазмы;

е) получение автономных, устойчивых, осциллирующих систем, в частности: самоустойчивой плазмы, устойчивых треков волноводных и квазиволноводных мод в нестационарных тонкопленочных и жидкостных волноводах.

Известно, что решение таких задач даже в первом приближении наталкивается на серьезные математические и физические проблемы. Так физическая проблема заключается в том, что в области взвешивания частиц при отсутствии источников поля (электрического, магнитного или гравитационного) могут существовать единственно особые точки - седловые [62]. В этих точках частица в одном направлении будет втягиваться в область взвешивания, а в другом выталкиваться. Более того, согласно теореме Ирншоу (1842) в статике устойчивое удержание частицы просто невозможно. А в динамике нестабильное равновесие может стать устойчивым (Браунбек, 1939). В динамике же исследование подобных задач наталкивается с одной стороны на серьезные проблемы физической интерпретации, а с другой - на математические трудности их решения (см., например, [5, 8, 17, 20, 31-35, 40, 50, 51, 60, 62, 65-67]). Основная проблема, как известно, связана с тем, что до настоящего времени нет общей теории колебаний сильно нелинейных систем (при отсутствии малого параметра) и в появлении различных особенностей [62-67].

Важно также отметить, что для решения поставленных задач теоретической механики нами был эффективно применен метод

приближенного решения данных задач, основанный на оригинальном методе расщепления [17-23].

Итак, можно констатировать, что в настоящей диссертации представлен новый метод исследования задач теории линейных и квазилинейных колебаний в зонах близких к резонансу, позволяющий найти устойчивые состояния движения некоторых динамических систем в этих областях. Этим определяется актуальность, новизна и практическая значимость настоящей работы.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Изучение значительной части современных гироскопических систем может быть сведено к анализу соответствующих модельных неавтономных линейных и квазилинейных систем дифференциальных уравнений.

Исследование систем дифференциальных уравнений указанного класса с помощью известных [4-6, 8, 10, 16, 31, 33, 35, 40, 42, 49-53] аналитических или асимптотических методов весьма затруднён и мало эффективен и поэтому в последнее время такие системы стали изучаться с помощью численных методов, что имеет свои недостатки.

Для более тщательного анализа теоретико-механических моделей гироскопических систем и соответствующих вопросов теории дифференциальных уравнений, включая вопросы устойчивости, необходимо хорошо обоснованное сочетание аналитических и численных методов. Преобладание одного из этих методов будет только тормозить развитие данной теории.

В последние время в качественной и прикладной теории дифференциальных уравнений стал заметен дефицит аналитических и асимптотических методов.

В данной работе особое внимание уделяно разработке новых аналитических спектральных и асимптотических методов для исследования

теоретико-механических моделей гироскопических систем с периодической, полиномиальной и полиномиально периодической матрицей с учетом одного из вариантов метода расщепления, разработанного в работах [17-23].

Следует отметить, что известен только ряд теорем [10, 40] об исследовании систем вида х=(4,+Я(*))л: с почти постоянной матрицей, где возможно применение спектрального метода.

Отметим также, известную теорему Флоке - Ляпунова [10, 40], в которой говорится о возможности преобразования линейной периодической системы х = Л(()х с помощью невырожденной замены х = Р{[)у к эквивалентной

системе с постоянной матрицей вида у = Су, что позволяеть судить о характере поведения её решения с учетом структуры спектра матрицы С, одноко данная тоерема не является конструктивной, так как до настоящего времени не разработан алгоритм построения нужной замены.

Можно показать, что спектральный подход к анализу неавтономных систем вида х = А^)х в общем случае, является неверным.

Например, анализ системы вида х = А(г)х; х(?0)=х0 [42, с. 123] с

периодически матрицей

п ((-1-2соз4/) (-2 + 28т4/)^

им ею щей

постоянный спектр ЛА12 =-1, лежащей в левой полуплоскости, не гарантирует

устойчивости её решения.

С помощью метода показателей Ляпунова доказано [42], что тривиальное решение этой системы является неустойчивым.

Заметим, что анализ даже простейшей линейной системы х = Л(/)х с

периодической матрицей, описывающей многие циклические процессы, например (при некоторых допущениях) движение Луны (уравнение Матье или Хилла), различных гироскопических устройств вызывает заметные трудности.

Важнейшим моментом качественного анализа неавтономных динамических линейных и квазилинейных систем дифференциальных уравнений являются вопросы устойчивости их решения.

Несмотря на заметное число классических и современных работ по теории устойчивости, основы которой изложены в трудах А. Пуанкаре, А. М. Ляпунова, Н. Г. Четаева, И. Г. Красовского, Д. Р. Меркина и ряда других авторов, в настоящее время имеется определенный дефицит достаточно эффективных и конструктивных аналитических методов исследования устойчивости.

Представленная диссертационная работа, посвящена анализу некоторых классов неавтономных систем дифференциальных уравнений, используемых в качестве теоретико-механических моделей ряда современных гироскопических устройств и некоторых других процесов, для изучения которых предложены достаточно эффективные методы и алгоритмы для анализа устойчивости решения квазилинейных неавтономных систем вида х = А(()х:+/(*,/); х(/0) = х0 для трех важнейших классов систем дифференциальных уравнений указанного типа с периодической, полиномиальной и полиномиально периодической матрицей [17-23].

Изучен ряд нетривиальных физических примеров.

1. Исследовано стационарное вращение бесконтактного гироскопа в переменном магнитном поле [17], которое может быть описано с помощью линеаризованной системы:

х = (Л0+г?4 (/))*; («О2);

А0 =

/П О

чо о,

А(()= ; /? (/) = (1—бш2 4- О,5/гу —1) БШ 2аХ\

V Ру) г\ч )

где со - частота магнитного поля, Я0 - амплитуда колебаний магнитного поля, п - частота нутационных колебаний тела, 1} - моменты инерции относительно его осей (у = 1,2,3), £ - величина, определяемая

поляризуемостью тела относительно его осей, е>0 - безразмерный малый параметр.

2. Малые колебания оси гироскопа (на стадии его разгона) с переменным кинетическим моментом (при наличии позиционных сил) могут быть описаны [18] (при некоторых допущениях) модельной неавтономной системой дифференциальных уравнений {аг+(/г+/)/7+£иа+£12У# = 0;

р-^к+^а+^а+к^р = о|, где аир- малые углы отклонения оси гироскопа

от некоторого невозмущённого положения, Ь - характеризует начальное значение вектора кинетического момента, слагаемые (А^аг+А^/?) и

(к^а+к^Р) - описывают действие позициошгьтх сил.

Цель работы

Целью настоящей диссертации является анализ современных теоретико-механических моделей гироскопических систем, реализуемых в виде систем дифференциальных уравнений с периодической матрицей (при наличии малых возмущений) и менее изученных систем с полиномиальной и полиномиально периодической матрицей, а также развитие и обобщение известных [4-6, 8, 10, 16, 31, 33, 35, 40, 42, 49-53] и разработка более современных методов [17-23], отражающих поведение различных гироскопических систем и некоторых физических, биологических и социальных процессов.

Отметим, что предложенные в диссертации аналитические спектральные методы для изучения модельных систем дифференциальных уравнений с периодической, полиномиальной и полиномиально периодической матрицей (при наличии особенностей различного типа и матрицы \ различной жордановой структуры) удобны и эффективны как для приближенного качественного исследования таких систем, так и для более точного численного анализа [54-61].

То есть в диссертации предложено оптимальное сочетание аналитических спектральных и асимптотических методов для анализа указанных теоретико-механических моделей гироскопических систем, что является существенным развитием и обобщением известных классических методов [4-6, 8, 10, 16, 31, 33, 35,40,42, 49-53] и метода расщепления [17-23].

Методы исследования

В представленной работе использованы предложенные автором современные методы исследования теоретико-механических моделей гироскопических систем и качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости и наиболее существенные моменты последнего варианта метода расщепления (изложенного в работах [17-23]), важной составляющей теории регулярных возмущений.

Научная новизна основных результатов работы состоит в следующем

1. Для неавтономных систем дифференциальных уравнений с периодической матрицей вида:

(где матричный ряд Л (/,£:) = /!„г* из Т - периодических достаточно

гладких матриц Ак (?) сходится абсолютно и равномерно по некоторой норме

при достаточно малых с (|^|«1) и при />0, функция /(х,/) является

достаточно гладкой в области Л:{|;с|<Л; />о}), и постоянная матрица \

различной жордановой структуры), моделирующих динамику большого класса гироскопических систем, показана возможность приведение таких систем к более простым эквивалентным системам с почти постоянной диагональной или «блочно диагональной» матрицей [56, 57, 61].

X

Используемый при этом в работе метод можно считать спектральным аналогом известного метода усреднения [5, 8] и обобщением метода расщепления (на данный класс систем), изложенный в работах [17-23].

При анализе таких систем вида (1) получен ряд новых результатов [56, 57, 61], что обобщает или дополняет известные результаты [5, 8, 10,40].

Построено асимптотическое представление решения для данного класса линейных систем (1) с периодической матрицей при наличии регулярных возмущений.

Исследовано стационарное вращение бесконтактного гироскопа в переменном магнитном поле [17], которое может быть описано с помощью линеаризованной системы дифференциальных уравнений:

р(^) = (1-^)а5т2 й*+0,5гй>(£-1)зт2й*; г(0 = р^-Оэт2 ах;

Х = 11И3-, £ = а3/а,; е = ахН1И> 0; 0. = Ы /„

где со - частота магнитного поля, #0 - амплитуда колебаний магнитного

поля, П - частота нутационных колебаний тела, I. - моменты инерции

относительно его осей (у = 1,2,3), £ - величина, определяемая

поляризуемостью тела относительно его осей, е>0 - безразмерный малый параметр. Изучены различные режимы его работы и найдены соотвествующие области устойчивости.

2. Класс неавтономных систем дифференциальных уравнений с полиномиальной матрицей вида: с

х =

*('о) = *о; /(0,0*0; тем-, 1>10>\), (2)

Ч *=о )

(где матричный ряд Л(1) = ^Лкгк сходится абсолютно и равномерно при

*=о

t>t0> 1, функция /{х, 0 является достаточно гладкой в области П:{|дг|<Л; />1}) и матрица Д, различной жордановой структуры)

молелирует другие типы и режимы работы гироскопических систем, например, на стадии их разгона.

Для этого класса систем показана возможность его приведение к более простым эквивалентным системам с почти диагональной или «блочно диагональной» матрицей [54, 55].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Нгуен Вьет Хоа, 2015 год

Литература

[1] Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений, М.: ИЛ. 1954.216 с.

[2] Бободжанов A.A., Ломов С.А. Асимптотическое интегрирование задачи Коши со счетно кратным спектром // «Математические заметки». 1984. Т. 35 вып 1. С. 63-82.

[3] Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука. 1972. 232 с.

[4] Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: МИР. 1968. 464 с.

[5] Волосов В.М., Моргунов Б.К. Метод усреднения в теории нелинейных колебательных систем. М. МГУ. 1971.440 с.

[6] Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука. 1974. 336 с.

[7] Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука. 1977. 304 с.

[8] Гребеников Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах. М.: Наука. 1986. 256 с.

[9] Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука. 1988. 548 с.

[10] Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука. Изд-во МГУ. 1998. 480 с.

[11] Елисеев А.Г., Ломов С.А. Теория сингулярных возмущенный в случае спектральных особенностей предельного оператора // «Математический сборних». 1986. Т. 131. № 4. С. 544-557.

[12] Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука. 1976. 576 с.

[13] Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчислени. М.: Наука. 1986. 272 с.

[14] Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир. 1972. 740 с.

[15] Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ. 1958. 476 с.

[16] КоулДж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир. 1972. 276 с.

[17] Коняев Ю.А., Мартыненко Ю.Г. Об устойчивости стационарных вращений симметричного твердого тела в переменном магниттом поле // Прикладная математика и механика. 1987. Т.51. №3. С. 375-381.

[18] Коняев Ю.А., Мартыпенко Ю.Г. Исследование устойчивости неавтономных систем дифференциальных уравнений квазиполиномиального типа // «Диффенциальные уравнения». 1999. Т. 34. № 10. С. 1427-1429.

[19] Коняев Ю.А. Асимптотические и аналитические методы решения некоторых классов прикладных модельных задач. М.: Изд-во РУДН. 2005. 160 с.

[20] Коняев Ю.А. О некоторых методах исследования устойчивости // «Математический сборник». 2001. Т. 192. № 3. С. 65-82.

[21] Коняев Ю.А. Асимптотика решений дифференциальных уравнений с полиномиально периодическими коэффициентами // «Вестник МЭИ». 1996. № 6. С. 79-88.

[22] Коняев Ю.А., Федоров Ю. С. Асимптотический анализ некоторых классов сингулярно возмущенных задач на полуоси // «Математические заметки». 1997. Т. 62 вып 1.С. 494-501.

[23] Коняев Ю.А. Об одном методе исследования некоторых задач теории возмущений // «Математический сборник». 1993. Т. 184. № 12. С. 133-144.

[24] Коняев Ю.А., Безяев В.И., Романова. Е.Ю. Об особенностях анализа начальных и краевых задач для полиномиальных систем // «Дифференциальные уравнения». 2010. №10. Т. 46. С. 1508-1512.

[25] Коняев Ю.А. Достаточные условия устойчивости решений некоторых классов обыкновенных дифференциальных уравнений в критических случаях // «Дифференциальные уравнения». 1990. Т. 26. № 4. С. 709-712.

[26] Коняев Ю.А. Метод унитарных преобразований в теории устойчивости // «Изв. ВУЗ. Математика». 2002. № 2. С. 41-45.

[27] Коняев Ю.А. О начальных и многоточенных краевых задачах для неавтономных систем с полиномиальной матрицей и их приложениях // «Современная математика. Фундаментальные направления». 2010. Т. 35. С. 78-85.

[28] Коняев Ю.А., Безяев В.И., Филиппова О.Н. Асимптотический анализ регулярно и сингулярно возмущенных задач и их приложения в биологии // «Современная математика. Фундаментальные направления». 2010. Т. 37. С/ 16-28.

[29] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука. 1984. 832 с.

[30] Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука. 1978. 280 с.

[31] Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Л. ОНТИ. 1935. 386 с.

[32] Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы. М.: Изд-во МГУ. 1965. 554 с.

[33] Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука. 1987. 304 с.

[34] Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука. 1981.400 с.

[35] Найфе А. Введение в методы возмущений. М.: Мир. 1984. 536 с.

[36] Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Основы теории специальных функций. М.: Наука. 1974. 304 с.

[37] Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. М.: Наука. 1978.376 с.

[38] Пугагев B.C. Об асимптотических представлениях интегралов систем линейных дифференциальных уравнений, содержащих параметр // «Изв. АН СССР». Серия математически 1941. Т. 5. № 1. С. 75-84.

[39] Раппопорт И.М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений. Изд-во АН УССР. 1954. 258 с.

[40] Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. М.: Наука. 1971. 288 с.

[41] Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. М.: Мир. Т. 4.1982.300 с.

[42] Былое Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и её приложенния к вопросам устойчивости. М.: Наука. 1966. 756 с.

[43] Сафонов В. Ф. Регуляризованные асимптотические решения сингулярно возмущенных задач в критическом случае // «Изв. ВУЗ. Математика». 1994. № 5. С. 41-48.

[44] Территин X.JJ. Асимптотическое разложение решений систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, содержащих параметр // Сборних «Математика». 1957. Т. 1. № 2. С. 29-59.

[45] Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука. 1980. 496 с.

[46] Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1983. 352 с.

[47] Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир. 1970. 720 с.

[48] Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир. 1964. 477 с.

[49] Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука. 1972. 720 с.

[50] Митинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. М.: Наука. 1976. 670 с.

[51] Воробьев В.А., Меркурьев И.В., Подалков В.В. Погрешности волнового твердотельного гироскопа при учете нелинейных колебаний резонатора // Гироскопия и навигация. 2005. № 1 (48). С. 15-21.

[52] Донник A.C., Меркурьев И.В., Подалков В.В. Влияние поступательной вибриции основания на динамику волнового твердотельного гироскопа // Гироскопия и навигация. 2007. № 1. С. 63-68.

[53] Меркурьев И.В., Подалков В.В. Динамика микромеханического и волнового твердотельного гироскопов. М.: Физматлит. 2009. 228 с.

[54] Нгуен Вьет Хоа. Об асимптотической приводимости некоторых классов модельных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с квазиполиномиальной матрицей // Вестник РУДН. Серия: Математика. Инфоматика. Физика. 2012. №2. с 12-17.

[55] Коняев Ю.А., Мергия В.Б., Нгуен Вьет Хоа. О регулярных и сингулярных возмущенных модельных системах ОДУ полиномиального типа с особенностями // Вестник РУДН, серия: Математика. Информатика. Физика. 2012. №3. с. 20-24.

[56] Нгуен Вьет Хоа. Спектральной вариант метода усреднения для линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с периодической матрицей. Тезисы докладов Всероссийской конференции с международным участием // «Информационно - телекоммуникационные технологии и матаматическое моделирование высокотехнологичных систем». РУДН. 2012. с 356-358.

[57] Нгуен Вьет Хоа. Алгебраические методы приводимости регулярно возмущенных модельных линейных периодических систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестник РУДН, серия: Математика. Информатика. Физика. 2013. №2. с. 22-27.

[58] Нгуен Вьет Хоа. Аналитические методы исследования устойчивости линейных и квазилинейных систем с полиномиально периодической матрицей // Вестник РУДН, серия: Математика. Информатика. Физика. 2013. №4. с. 18-23.

[59] Нгуен Вьет Хоа. Об устойчивости квазилинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с полиномиально периодической матрицей. Сборник научных трудов участников международной конференции // «Интеграционные процессы в естественнонаучном и математическом образовании». Москва. РУДН. 2013. с. 407-412.

[60] Konyaev Yu.A., Salimova A.F., Nguyen Viet Khoa. The Algorithm of Reducibility of Inhomogeneous Systems with Polynomially Periodic Matrix on the Basis of Spectral Method // Bulletin of PFUR. Series Mathematics. Information. Sciences. Physics. 2013. №4. c. 11-17.

[61] Коняев Ю.А., Нгугн Вьет Xoa. Спектральный анализ некоторых классов неавтономных систем с периодической и полиномиально периодической

матрицами // Вестник национального исследовательского ядерного университета «МИФИ». 2014. Том 3. №3, с. 1-7.

[62] Николаи E.JI. Теория гироскопов. Л., М.: ОГИЗ. Гос. Издат. Технико-теоретической литературы. 1948. 171 с.

[63] ЛунцЯ.Л. Введение в теорию гироскопов. М.: Наука, 1972, 296 с.

[64] Метелицын И.И. Избранные труды. Теория гироскопа. Теория устойчивости. М.: Наука. 1977. 130 с.

[65] Широносов В.Г. Резонанс в физике, химии и биологии. - Ижевск. Издательский дом "Удмуртский университет", 2000/01. 92 с.

[66] Егоров A.A. Датчики: принципы работы и области применения // Chip News: Инженерная микроэлектроника. 2009. № 5. С. 23-36.

[67] Егоров A.A. Теория абсорбционного интегрально-оптического датчика газообразных веществ // Оптика и спектроскопия. 2010. Т. 109. № 4. С. 672-

[68] Егоров A.A. Исследование бифуркационных процессов в многомодовом оптическом волноводе со статистическими нерегулярностями // Квантовая Электроника. 2011. Т. 41. № 10. С. 911 -916.

[69] Егоров A.A. Основы теоретического анализа нерегулярных интегрально-оптических волноводов как нелинейных динамических диссипативных систем // Научная Сессия НИЯУ МИФИ-2013, г. Москва, 1 - 6 февраля 2013 г., Конференция «Методы математической физики и математическое моделирование физических процессов». - М.: НИЯУ МИФИ, 2013. Т. 3. С.

682.

е/