Бэровские классы показателей Ляпунова механических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, доктор физико-математических наук Галиуллин, Ильяс Абдэльхакович

• Галиуллин, Ильяс Абдэльхакович
• доктор физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Галиуллин, Ильяс Абдэльхакович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Дифференциальные уравнения второго порядка на многообразиях

§1. Показатели Ляпунова систем уравнений в вариациях для многообразий.

§2. Семейства дифференциальных уравнений и показатели Ляпунова как функции параметра.

§3. Векторные поля на касательном пространстве.

ГЛАВА II. Голономные механические системы

§1. Геометрические основы реономной динамики

§2. Показатели Ляпунова для механических систем.

ГЛАВА III. Правильные системы дифференциальных уравнений

§1. Точки непрерывности показателей Ляпунова правильных систем.

§2. Примеры.

ГЛАВА IV. Твердое тело с одной закрепленной точкой

§1. Силовые характеристики, вызывающие регулярную прецессию

§2. Структура потенциала и существование регулярных прецессий

ГЛАВА V. Уравнения в вариациях для регулярных прецессий

§1. Уравнения первого приближения для несимметричного твердого тела.:.

§2. Устойчивость симметричного твердого тела.

§3. Регулярная прецессия симметричного тела в ньютоновском центральном поле.

§4. Пример разрыва показателей Ляпунова для регулярных прецессий.

ГЛАВА VI. Устойчивость прецессионного движения планет

§1. Прецессия планет и ее характеристики

§2. Устойчивость прецессий планет Солнечной системы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Бэровские классы показателей Ляпунова механических систем»

Определенные в 1905г. Р.Бэром [1] классы измеримых функций представляют с одной стороны глубокий математический интерес, так как с их помощью можно фиксировать степень разрывности функции, заданной на метрическом или произвольном топологическом пространстве, а также дать описание множества точек разрыва.

С другой стороны, каждая такая функция, взятая в качестве характеристики некоторого естественно-научного объекта, отражает реакцию этого объекта на изменение его структуры, следовательно, бэровская классификация обладает прикладной значимостью.

Подобными функциями, в частности, являются характеристические показатели систем обыкновенных дифференциальных уравнений, введенные в 1892г. А.М.Ляпуновым [2], или их обобщение, данное в 1980г. В.М.Миллионщиковым [3]: показатели Ляпунова морфизмов в категории векторных расслоений.

Среди материальных объектов, движение которых описывается системами дифференциальных уравнений, выделяются механические системы, как известно [4], конфигурационным пространством у них служит гладкое многообразие. Показатели Ляпунова системы уравнений в вариациях, составленной для соответствующего невозмущенного решения, характеризуют степень устойчивости, а их бэровские классы отражают структурную устойчивость, например, когда система содержит параметры, эти классы являются характеристиками параметрической устойчивости.

Согласно Бэру функция, предельная для последовательности непрерывных функций, называется функцией первого класса. В общем случае она не является непрерывной, однако точек ее разрыва мало в том смысле, что они составляют множество первой категории, т.е. представимое в виде не более, чем счетного объединения нигде не плотных множеств [5]. Известно также [6], что в каждом замкнутом подмножестве области определения функции первого класса имеется хотя бы одна точка непрерывности.

Функция, являющаяся пределом последовательности функций первого класса, относится ко второму бэровскому классу. Она может быть разрывной всюду, как показывает ее классический пример -функция Дирихле.

Вообще, каждый последующий класс определяется аналогичным образом, а нулевой составляют непрерывные функции. Полагается также, что каждый бэровский класс вложен в предыдущий.

Определение класса функции, следовательно, устанавливает степень реакции свойств того или иного объекта, которые отражает данная функция. В качестве математического объекта могут быть выбраны морфизмы векторных расслоений, снабженные метрикой, индуцированной по базе, которая предполагается полным метрическим пространством, а в роли самих функций могут выступать показатели Ляпунова: соответствующее определение, обобщающее понятие характеристического показателя, ввел Миллионщиков [3], одновременно доказав теорему, устанавливающую их бэровский класс - второй.

Неулучшаемость этой оценки доказал в 1982г. М.И.Рахимбердиев [7], построив пример системы дифференциальных уравнений с показателями Ляпунова, не являющимися функциями первого класса.

Тот факт, что этот класс не нулевой, был установлен ранее в 1928г. О.Перроном [8], который привел пример, когда система, непрерывно зависящая от параметра, имеет точку разрыва характеристического показателя.

Оба указанных примера относятся к системам обыкновенных дифференциальных уравнений, определенных в Мп и записанных в нормальной форме, между тем как область применения теоремы Миллионщикова охватывает в числе прочих объектов динамические системы на многообразиях и дифференциальные уравнения произвольного порядка. Таковыми, в частности, являются лагранжевы уравнения движения механических систем, где каждое имеет второй порядок. Также характерной особенностью механических систем является то обстоятельство, что они как правило содержат параметры, часто существенно влияющие на одно из важнейших свойств движения - его устойчивость.

Характеристические показатели служат именно тем инструментом, с помощью которого оказывается возможным исследовать вопросы сохранения устойчивости при изменении структуры уравнений, например, при меняющихся параметрах.

Темой настоящей работы является структурная устойчивость механических систем, основанная на бэровской классификации показателей Ляпунова для систем уравнений движения.

Диссертация разделена на шесть глав.

В первой главе приводится определение показателей Ляпунова семейства эндоморфизмов метризованного векторного расслоения, в качестве которого далее везде выбирается система дифференциальных уравнений, притом непрерывно зависящая от параметров. Результат Миллионщикова [3] (1980г.) об их принадлежности второму бэровскому классу был сформулирован как для исходно линейных систем [9], так и для систем уравнений в вариациях, полученных линеаризацией задачи Коши [10], причем сама система полагалась определенной на дифференцируемом многообразии.

В 1988г. Миллионщиков исследовал случай [11], когда задано непрерывное отображение некоторого топологического пространства в базу векторного расслоения, что отвечает зависимости показателей Ляпунова от параметров. Областью определения показателей тогда служит именно указанное пространство, и как функции параметра они принадлежат второму бэровскому классу.

В первой главе диссертации излагается результат автора [12] о применении теоремы Миллионщикова к зависящим от параметра системам дифференциальных уравнений на многообразии и формулируется утверждение о принадлежности соответствующих показателей Ляпунова ( как функций параметра) второму бэровскому классу.

Подобные функции, как отмечалось, могут быть всюду разрывными, однако они "лучше", чем представители более высоких классов следующим: для них является типичной полунепрерывность сверху.

Типичность здесь понимается в смысле Бэра [5]. Имеется в виду, что указанное свойство выполняется на множестве точек, содержащем всюду плотное множество типа <2з ; так, в свою очередь, называется пересечение не более, чем счетной совокупности открытых множеств.

Следует заметить также, что вещественнная функция /, определенная на топологическом пространстве, называется полунепрерывной сверху [13], если для любого х из этого пространства и любого вещественного числа г, удовлетворяющего неравенству /(х) < г, существует такая окрестность и точки х, что /(ж') < г для любого х' Е II.

Наконец, в первой главе излагаются дифференциально-геометрические основы аналитической механики с той точки зрения, которая определена работами Ж.Клейна (1962-63) и К.Годбийона (1967-69). В частности, используется понятие дифференциального уравнения второго порядка на ( бесконечно ) дифференцируемом многообразии как векторного поля, которое с помощью так называемых вертикальных дифференциальных операторов приводит к уравнениям Лагранжа механической системы, записанным в локальных координатах. Формализованное определение механической системы позволяет сопоставить ей единственное уравнение второго порядка на соответствующем конфигурационном пространстве.

Тем самым выявляется путь, открывающий область применимости и дальнейшего развития результатов о бэровских классах показателей Ляпунова - по отношению к механическим системам.

Именно этим вопросам посвящена вторая глава диссертации.

В механике исходная система дифференциальных уравнений носит название уравнений движения, решение, исследуемое на устойчивость, называется невозмущенным движением, а соответствующая ему линеаризованная система в вариациях - уравнениями возмущенного движения первого приближения.

Матрица этой системы является постоянной, если невозмущенное движение стационарное, т.е. описывается постояннными значениями фазовых переменных, а система уравнений автономная, что имеет место всякий раз, когда соответствующая механическая система

- склерономная. Для консервативных систем, в частности, такое означает, что выражение кинетической энергии Т(сц, • • •, Чт, Чъ • • ■ ? Чт)

- Е о>у1{ч\1 • • • > Чт) 4Л1 и потенциальной энергии Щ^х,., дт) через обобщенные координаты и скорости не содержит время t.

В общем случае матрица системы уравнений первого приближения х = А{€)х - переменная, и в дальнейшем она полагается ограниченной на и кусочно-непрерывной. Зависимость А от времени имеет место, если даже исследуемое движение описывается совокупностью постоянных координат, но сама механическая система

- реономная; для консервативных систем функции Т и П тогда будут зависящими от £.

Как уже отмечалось, основы математической формализации механических систем описаны в [4], где рассмотрены именно склерономные системы.

Во второй главе диссертации аналогичное изучение проведено в отношении реономных систем. Кинетическая энергия и векторное поле, соответствующее активным силам, определены в этом случае на прямом произведении дифференцируемого многообразия Мт и вещественной прямой М = {£}. В связи с этим введено понятие неавтономного дифференциального уравнения второго порядка как векторного поля на прямом произведении касательного пространства Т(М) и прямой Е.

Как известно, классический вывод уравнений Лагранжа II рода предполагает рассмотрение вариаций обобщенных координат, что соответствует возможным, или виртуальным перемещениям - так определяются линейные части бесконечно малых перемещений в фиксированный момент времени. Сочетание подобного подхода к выводу уравнений движения с одной стороны и стремления перенести аппарат формализации механики на голономные системы привели здесь к необходимости ввести новые операторы вертикального варьирования и вертикального антиварьирования, а также внешнего варьирования, обобщающие вертикальные операторы [4] и оператор внешнего дифференцирования. С их помощью доказана теорема о том, что каждой голономной реономной механической системе отвечает неавтономное дифференциальное уравнение второго порядка. В качестве одного из результатов в локальных координатах касательногс расслоения выведены уравнения, имеющие вид классических уравнений Лагранжа II рода. Тем самым установлены геометрические основы голономной механики - как склерономных, так и реономных систем.

Представляющая математический интерес доказанная теорема дает при этом возможность применить результаты первой главы, а именно, утверждение о принадлежности показателей Ляпунова второму бэровскому классу, - к характеристическим показателям уравнений возмущенного движения первого приближения, составленным для голономных систем. Показатели, таким образом, оказываются функциями второго класса, если рассматривать их зависимость от структуры лагранжевых уравнений движения, в частности, от параметров, фиксирующих вид и структуру самих систем.

Значимость этого вывода для механики определяется тем, что следующая отсюда типичная полунепрерывность сверху характеристических показателей позволяет оценить реакцию свойства устойчивости движения данной механической системы на изменение ее структуры, если рассматривается старший показатель: в случае его отрицательности сохранение устойчивости для малых изменений является типичным по Бэру. Отрицательность младших показателей, в свою очередь, означает наличие устойчивого многообразия ( соответствующей размерности ) в фазовом пространстве линейной системы и, следовательно, типичность сохранения его устойчивости.

Ряд задач механики, рассмотренных в диссертации, показывает, что условие ограниченности матрицы выполняется в большом числе случаев, таким образом, результаты главы примените льны к широкому кругу ситуаций, когда исследуется устойчивость конкретных движений тех или иных механических систем.

В третьей главе диссертации рассматривается частная задача теории характеристических показателей, вообще возникающая всякий раз, когда исследуется разрывная функция, а именно, поиск ее точек непрерывности. В отношении показателей Ляпунова задача была впервые поставлена в 1985г. В.М.Миллионщиковым [14], при этом имелось в виду, что областью определения показателей служит все метрическое пространство Лп линейных систем дифференциальных уравнений вида х = А(Ь)х, х е Мп, £ е К+ с ограниченной и кусочно-непрерывной матрицей А.

Здесь предполагается, что характеристические показатели определены на метрическом подпространстве Лп систем, правильных по Ляпунову [2]. Это множество, как показано в работе, является плотным в себе, таким образом, понятие близости двух систем в метрике равномерной сходимости, т.е. в метрике объемлющего пространства, сохраняет свою интуитивную значимость для правильных систем дифференциальных уравнений.

Имеются различные критерии правильности; помимо классического определения А.М.Ляпунова следует отметить критерии О.Перрона [15], В.П.Басова [16], Р.Э.Винограда [17], работы Ю.С.Богданова [18], В. Ф. Бы лова [19], А.С.Галиуллина [20], Д.М.Гробмана [21], Б.П.Демидовича [22], Ю.Г.Золотарева и В.Х.Харасахала [23], другие исследования по теории правильных систем указаны в обзорах Н.А.Изобова [24,25].

Термин устойчивости применительно к характеристическим показателям в 1936г. ввел К.П.Персидский в [26], а в 1947г. он доказал [27] устойчивость показателей линейных систем с постоянными коэффициентами, периодических систем и вообще приводимых систем дифференциальных уравнений. Эти результаты означают, в сущности, что названные системы являются точками непрерывности показателей Ляпунова в Лп. Как показал в 1953г. Р.Э.Виноград, аналогичный вопрос для правильных систем решается отрицательно [28,29]: им был построен пример правильной системы, показатели которой менятся скачкообразно при переходе к близкой системе.

Необходимые и достаточные условия устойчивости показателей Ляпунова были найдены в 1969г. независимо В.М.Миллионщиковым [30], а также Б.Ф.Быловым и Н.А.Изобовым [31], причем в обоих исследованиях применялся метод поворотов Миллионщикова. В частности, точками непрерывности показателей являются так называемые системы с интегральной разделенностью [22,32]; это множество Тп, как показал В.М.Миллионщиков [33], совпадает с открытым ядром множества всех систем с устойчивыми характеристическими показателями в Лп .

Для функций второго класса известна теорема Бэра, согласно которой сужение этой функции на некоторое всюду плотное множество С типа в области определения непрерывно. В качестве такого множества в Лп может выступать именно подпространство Хп: будучи открытым, как показал Б.Ф.Былов [32], оно является пересечением счетного количества своих экземпляров, т.е. множеством кроме того, результат В.М.Миллионщикова [34] устанавливает, что множество Хп всюду плотно в метрическом пространстве Лп.

Что касается правильных систем, то даже сужения показателей Ляпунова на 7Zn в смысле бэровской классификации "не лучше" самих показателей в Лп - они также имеют второй бэровский класс, как это следует из работы М.И.Рахимбердиева [7]. В качестве множества, аналогичного С, в этом случае может выступать множество Tnr\1Zn , более того, каждая точка этого пересечения служит точкой непрерывности рассматриваемого сужения.

Целью исследования, изложенного в третьей главе, является определение достаточных условий для того, чтобы некоторая линейная система х = A(t) х, о которой известно, что она правильная, была точкой непрерывности функции, представляющей ограничение ( сужение ) показателя Ляпунова на 7Zn. Другими словами, -достаточные для того, чтобы система, близкая к правильной, имела близкие характеристические показатели при условии, что она также является правильной [35].

Исследование существенно использует доказанную О.Перроном возможность триангуляции матрицы А с помощью унитарной матрицы U(t), от которой требуется [32], чтобы она была по меньшей мере абсолютно непрерывна, и это вызвано тем, что такая функция имеет конечную производную почти в каждой точке. При этом следует заметить, что если дана последовательность матриц линейных систем Ат —У А, стремящихся к предельной матрице, то вообще нельзя утверждать, что соответствующая последовательность матриц, полученных триангуляцией Ат, является сходящейся. Удалось доказать однако, что не только из последовательности триангулирующих унитарных матриц ит выделяется сходящаяся подпоследовательность, но предельная матрица служит именно той, которая триангулирует А, если она абсолютно непрерывна.

Доказано также утверждение, представляющее математический интерес безотносительно к рассматриваемой проблеме, но играющее большую роль в процессе поиска достаточных условий для указанных выше точек непрерывности. Это утверждение связано с известным Л^-свойством Н.Н.Лузина [36], когда образ некоторого множества, имеющего меру нуль, также имеет меру нуль, что эквивалентно следующему: образ измеримого множества измерим [37]. Несмотря на то, что имеется результат А.Ф.Тимана [38], касающийся последовательности абсолютно непрерывных функций, но при определенных условиях, здесь это утверждение доказано без всяких ограничений: предел равномерно сходящейся на отрезке последовательности абсолютно непрерывных функций обладает N-свойством.

Наконец, вводится определение, имеющее логический исток в известной теореме Асколи-Арцела, которая дает условия, достаточные для того, чтобы из последовательности заданных на отрезке функций могла быть выделена равномерно сходящаяся подпоследовательность. Поэтому свойство, указанное в определении, названо свойством (АА), - оно имеет тот же смысл, однако функции могут быть заданы на прямой или полупрямой, где утверждение теоремы, как известно [39], перестает быть верным.

Итогом является теорема, устанавливающая достаточные условия, при которых характеристические показатели правильной системы изменяются непрерывным образом с переходом к близкой правильной системе: для некоторой окрестности данной системы любая последовательность, составленная из соответствующих перроновских матриц, должна обладать свойством ( АА ).

Под перроновской матрицей здесь подразумевается унитарная и абсолютно непрерывная матрица, триангулирующая матрицу системы с помощью перроновского преобразования [32].

Содержание теоремы отнюдь не носит экзотического характера, и проверка выполнения ее условия особенно доступна для систем второго порядка ( не говоря, разумеется, о первом ), для которых имеется хорошее описание соответствующих унитарных матриц как матриц поворота.

Техника подобной проверки продемонстрирована на примере; в этой главе их два: один воспроизводит отмеченный выше пример Р.Э.Винограда [28], и в дополнение к его исследованию здесь показано, что система, близкая к исходной, не является правильной. Основой второго примера служит система, построенная М.И.Рахимбердиевым [7], и именно в отношении этой системы доказывается, что существует подпоследовательность унитарных кусочно-дифференцируемых матриц, триангулирующих матрицу системы, такая, что сходится поточечно, но не равномерно. Таким образом, нарушается условие ( АА ), и как указывалось выше, показатели Ляпунова разрывны.

Далее в диссертации полученные результаты применяются к конкретным механическим системам, уравнения движения которых согласно гл. 2 являются динамическими системами на многообразиях, а именно, в качестве системы выбирается твердое тело с одной закрепленной точкой.

Предполагается, что система совершает заданное движение; тогда заданными являются некоторое многообразие, а в нем - либо кривая ( воспринимаемая как образ дифференцируемого отображения отрезка вещественной прямой ), либо подмногообразие, причем кривая должна быть интегральной для динамической системы на этом многообразии, структура которой именно является предметом определения. В отношении подмногообразия ставится та же задача, имеется в виду, что векторное поле ( в такой постановке этот термин служит синонимом динамической системы ) должно касаться [4] данного подмногообразия.

В классическом случае многообразием служит область евклидова пространства, а динамическая система - это дифференциальные уравнения, записанные в нормальной форме. Подобные задачи, называемые обратными, прежде ставились и были решены, как правило, в механике. По-видимому, первой из них следует считать задачу, решеннную И.Ньютоном, - об определении силы, под действием которой планеты движутся по эллиптическим траекториям согласно законам Кеплера.

Что касается обратных задач качественной теории дифференциальных уравнений, то здесь основополагающей явилась статья Н.П.Еругина [40] 1952г., где устанавливается наиболее общий вид систем уравнений, имеющих в качестве интегральной кривую на плоскости, а также в трехмерном пространстве. Для евклидова пространства произвольной размерности соответствующая структура правых частей системы была указана в 1967г. Р.Г.Мухарлямовым [41]. Наиболее полный обзор исследований по обратным задачам содержится в книгах [42,43] А.С.Галиуллина, - под его руководством это направление развивалось в нашей стране, - и в книге Р.М.Сантилли [44], где отражены, в основном, зарубежные исследования.

Определение структуры динамических систем на гладких многообразиях ( без предположения, что они вложены в Кт ) по заданной кривой или подмногообразию принадлежит автору [45,46] (1991г.). Метод основан на на том, что гладкое многообразие М локально диффеоморфно открытым множествам в евклидовом пространстве; это позволяет заданную кривую или подмногообразие перенести в Кто с помощью диффеоморфизмов : XIг —)• ^г(^г') Я Кт, £7г- С М. В Мт правые части дифференциальных уравнений тогда определяются с использованием известной техники [42,43]. Будучи по сути векторными полями в <£>¿(£7;), они далее переносятся т в Т(М) касательными отображениями ) к обратным диффеоморфизмам; доказаны утверждения, обеспечивающие склейку построенных локальных векторных полей в Т(М).

В диссертации рассматриваются определенного вида движения твердого тела и уравнения в вариациях вдоль соответствущих решений. Начальный этап исследования - выяснение вопроса о том, когда и при каких условиях эти движения существуют.

В четвертой главе, таким образом, решается обратная задача в той области механики, которая составляет динамику твердого тела. Динамическая система, изучаемая в главах 1,11,III, здесь представлена уравнениями Нильсена ( вариантом уравнений Лагранжа ), записанными относительно эйлеровых углов: ф - угла прецессии, 0 - угла нутации и - угла собственного вращения.

Эти переменные выступают в роли обобщенных координат и по сути являются локальными координатами карт многообразия всех положений твердого тела. Вообще, переход от декартовых координат точек некоторой механической системы к обобщенным, основан на теореме о неявной функции и поэтому носит локальный характер, - факт, часто "замалчиваемый" в ряде учебников по теоретической механике. Например, множество всех положений сферического маятника представляет собой сферу ( радиуса, равного длине маятника ), структура которой требует введения как минимум двух карт.

Для твердого тела многообразием служит прямое произведение тора на отрезок прямой: {Бф х 5^} х I, - где окружности соответствуют углам ф и (р, а отрезок I - значениям в е [0; 2тг]. Сама динамическая система на этом конфигурационном пространстве является в силу структуры уравнений Лагранжа-Нильсена именно дифференциальным уравнением второго порядка в смысле определения гл. II. В качестве интегральной кривой ниже везде выступает та, что в локальных ( обобщенных ) координатах имеет вид ф = (р = в = во, где постоянные сие и иог называются соответственно угловыми скоростями прецессии и собственного вращения, а величина во -постоянное значение угла нутации. Соответствующее этой кривой движение тела является одной из замечательных особенностей его поведения, будучи вторым по сложности после перманентных вращений, и носит название регулярной прецессии.

Регулярная прецессия твердого тела определяется как результат равномерного вращения относительно неподвижной оси пересекающей ее и фиксированной в теле подвижной оси, вокруг которой тело, в свою очередь, совершает равномерное относительное вращение. Этимологический смысл этого термина непосредственно связан с восходящей в древним векам историей изучения движения нашей планеты.

Во II веке до н.э. Гиппарх открыл получившее название прецессии явление медленного перемещения точек равноденствий по эклиптике в направлении с востока на запад. Динамическое объяснение сущности этого явления было впервые дано И.Ньютоном [47] в 1687г. Геометрическая интерпретация [48], которую предложил в 1857г. Л.Пуансо, показала, что Земля в некотором приближении ведет себя так же, как обыкновенный волчок, ось которого описывает в пространстве круглый конус. Это позволило перенести термин на соответствующее движение симметричного тела, закрепленнного в центре масс, - впервые оно было указано Л.Эйлером [49] в 1758г. -и на движение симметричного тяжелого волчка, закрученного вокруг своей оси. Аналитически регулярную прецессию волчка из эйлеровых уравнений вывели независимо и одновременно в 1860г.

Э.Дж.Раус [50] и Турнэр [51]. Спустя почти сто лет, в 1947г. Дж.Гриоли [52] открыл регулярную прецессию несимметричного тяжелого тела и с осью собственного вращения, перпендикулярной круговому сечению эллипсоида инерции. Как показал сам Гриоли, а также М.П.Гуляев [53], эта регулярная прецессия вместе с прежде известными исчерпывает множество всех таких движений твердого тела в однородном поле сил тяжести.

На протяжении ряда лет ставился вопрос о существовании регулярных прецессий в других силовых полях. Для сфероида с неподвижным центром в ньютоновском поле положительный ответ дали независимо Ф.Тиссеран [54] в 1885г. и Э.Дж.Раус [55] в 1892г., а для сфероида с произвольной точкой закрепления на оси симметрии - Х.Гюльден [56] в 1893г. Для произвольного симметричного тела в центральном ньютоновском поле ( аналог случая Лагранжа ) регулярную прецессию в 1962г. указал В.Н.Скимель [57]. Несимметричные тела в таком поле также совершают это движение: в 1968г. Э.Бентсик [58] открыл новый тип регулярной прецессии с осью собственного вращения, так же, как и в случае Гриоли, перпендикулярной круговому сечению элллипсоида инерции. Как показал в 1977г. В.М.Смотров [59], эта прецессия является единственно возможной для несимметричных тел в ньютоновском поле.

Помимо поля позиционных сил регулярные прецессии совершаются под действием гироскопических сил, а также в случае комбинации потенциальных и гироскопических сил. Электрически заряженное тело - как симметричное ( Дж.Гриоли [60], Г.Голдстейн [61] ), так и несимметричное ( Дж.Гриоли [62] ) - может совершать регулярную прецессию в однородном магнитном поле, а также в комбинационном поле гравитационных и лоренцевых сил ( Г.В.Горр и Н.В.Курганский [63] ).

Наряду с конкретного вида полями вызывала интерес проблема общей формулы главного момента сил, под действием которых совершается регулярая прецессия твердого тела. Такие формулы приводили Л.Пуансо [64] в 1853г. и В.Шелл [65] в 1880г. - для симметричного тела, а также Р.Граммель [66] в 1920г., Дж.Гриоли [67] в 1948г., В.М.Смотров [59] в 1977г. - для несимметричного. Однако во всех этих работах отсутствовал один принципиальный момент, впервые указанный Дж.Коломбо [68] в 1951г.: выражения для моментов сил, вызывающих регулярную прецессию, прежде распространялись на все пространство фазовых переменных, тогда как в общем случае эти выражения справедливы по меньшей мере на соответствующем интегральном многообразии, а на все пространство продолжаются произвольным образом с сохранением непрерывной дифференцируемости.

Для симметричного тела с таких позиций задача решена в упомянутой работе Дж.Коломбо и в статье автора [69] 1980г., а для тела с произвольным распределением масс - когда силы являются позиционными и, в частности, потенциальными - в 1987г. в работе автора [70]. Именно она составляет содержание главы IV диссертации, где произведено описание всех возможных регулярных прецессий твердого тела с одной закрепленной точкой и получены условия, накладываемые на параметры как тела и потенциала, так и регулярной прецессии, при которых это движение имеет место. При этом потенциал силового поля и(ф,9,(р) представлен в виде ( вообще, кратного ) ряда Фурье, коэффициенты которого связаны с указанными параметрами.

Известные регулярные прецессии обладали весьма характерным свойством, а именно, расположением оси собственного вращения перпендикулярно круговому сечению элллипсоида инерции ( что выполняется, очевидно, и для симметричного тела, где такой осью служит ось симметрии ). Исследование преследовало цель выяснить степень необходимости этого условия; оказалось, что указанное свйство имеет место всякий раз, когда потенциал не зависит хотя бы от какого-нибудь из углов Эйлера.

Доказано также отсутствие регулярных прецессий, когда потенциал зависит лишь от угла прецессии или от угла собственнного вращения. Для случая угла нутации, напротив, регулярная прецессия является характерным движением, - этот результат был получен еще Х.Гюльденом [71] в 1893г., а также Г.К.Сусловым [72] в 1902г. Далее, изучены соотношения между параметрами, в частности, величинами угловых скоростей ше и сиг , показано, что как правило они соизмеримы, если угол прецессии ф входит в формулу потенциала. Для каждого вида регулярной прецессии определено максимальное число независимых начальных значений.

Наконец, решена следующая ( обратная ) задача: показано, что любое тело, имеющее произвольную точку закрепления, способно совершать регулярную прецессию с произвольно заданной осью собственного вращения, или осью фигуры, - в потенциальном поле при надлежащем выборе потенциала.

Вместе с тем, заданная регулярная прецессия может не найти реализацию в данном силовом поле, если ограничиться классом потенциальных полей. Остается открытым вопрос, является ли регулярная прецессия характерным движением для полей более общего вида - обобщенно-потенциальных. Среди возможных направлений развития задачи существования регулярных прецессий необходимо отметить два. Одно из них связано с расширением понятия прецессии, имеется в виду выполнимость трех признаков рассматриваемого движения: постоянство угловой скорости прецессии, угловой скорости собственного вращения и постоянство угла нутации, -соответственно этому рассматриваются полурегулярные прецессии двух типов, а также обобщенные прецессии. Полученные к настоящему времени результаты изложены в монографии Г.В.Горра [73], собравшей его исследования и исследования его учеников.

Другое направление связано с изучением устойчивости известных регулярных прецессий и определением таких потенциалов, которые вызывают устойчивые или неустойчивые регулярные прецессии. В этой связи следует особо отметать обзор В.А.Сарычева [74], где в основном рассматриваются спутники, т.е. твердые тела в ньютоновском силовом поле.

Общий обзор исследований по истории открытия и исследования регулярных прецессий твердого тела составлен автором [75] в 1993г.

Вопросы устойчивости описанных здесь регулярных прецессий рассматриваются в пятой главе диссертации. Система уравнений в вариациях, которая указывалась в гл.1 и II, как отмечалось, носит название уравнений возмущенного движения первого приближения. Здесь невозмущенным движением служит выбранная регулярная прецессия с параметрами #о> (ро, а уравнения составляют систему шестого порядка; приведен их явный вид с конкретными выражениями для правых частей.

Эти выражения достаточно громоздкие, однако они упрощаются в случае, когда потенциал силового поля не зависит хотя бы от одного из эйлеровых углов. В число параметров системы входят характеристики твердого тела, в частности, моменты инерции А, В, С, центробежные моменты I), Е, Е, параметры прецессии, а также, вообще, параметры, входящие в выражение потенциала. В данном случае выполняется (гл. IV ): А = В, Е = 0, и соответственный вид приобретают коэффициенты линейной системы.

Они представляют собой непрерывные функции t и постоянны, лишь когда тело динамически симметричное, а потенциал зависит только от угла в. Тогда система имеет постоянную матрицу и является точкой непрерывности показателей Ляпунова, равно как и любая приводимая система ( теорема Персидского ). Например, таковой будет периодическая система, - если угловые скорости сие и иг соизмеримы, а силовая функция и(ф,9) или и(ф,(р) периодична по переменной ф или же угол ф не входит в выражение для силовой функции: и = и(9,(р).

Если же угловые скорости несоизмеримы, а потенциал U = 17(ф, 6, ср) - периодическая функция по ф и (р, то система является квазипериодической. Это частный вид почти периодических систем, в которых матрицей служит почти периодическая матричная функция [15]. Как известно, так называемые почти приводимые системы [24] обладают устойчивыми характеристическими показателями; связь между почти периодичностью и почти приводимостью установлена в статьях В.М.Миллионщикова [76] (1969г.) и В.Л.Новикова [77] (1972г.). В общем случае квазипериодическая система не имеет устойчивых характеристических показателей, и бэровский класс даже сужения показателей Ляпунова на множество квазипериодических систем согласно теореме Миллионщикова априори следует считать равным 2.

Результаты гл.III указывают достаточные условия для существования точек непрерывности показателей Ляпунова, определенных на множестве правильных систем, в качестве которых могут выступать уравнения возмущенного движения первого приближения, в частности, являющиеся квазипериодическими. Существование неправильных систем линейных уравнений с квазипериодическими коэффициентами было установлено в работе В.М.Миллионщикова [78] (1969г.). Если же система правильная квазипериодическая и для нее выполняется условие ( АА ) гл.III, то она является точкой непрерывности указанных сужений показателей Ляпунова. Это же справедливо, когда функция U не является периодической, но ее формула обеспечивает правильность системы.

Исследование устойчивости известных регулярных прецесиий твердого тела проводилось, в основном, либо для спутников: в работах В.В.Белецкого [79], В.Г.Демина [80], А.П.Маркеева [81], В.В.Румянцева [82], Ф.Л.Черноусько [83] и др., - либо, что обусловлено исторически, для тела в поле сил тяжести. Для симметричного волчка устойчивость по отношению к углу нутации доказал Э.Дж.Раус, это изложено, например, в [55] 1892г.; им был применен метод построения приведенной потенциальной энергии для стационарного движения системы, когда позиционные координаты и циклические скорости сохраняют постоянные значения. Окончательное решение задачи об устойчивости регулярной прецессии тяжелого волчка принадлежит В.Н.Скимелю [84] (1954г.), который построил связку интегралов согласно методу Четаева. Другим способом, используя известное дополнение А.М.Ляпунова к теореме Рауса утверждение об устойчивости по отшению к углу нутации и величинам угловых скоростей прецессии и собственного вращения, получил В.В.Румянцев [82] в 1967г.

Исследование устойчивости регулярной прецессии по Гриоли, последней в классе возможных в поле сил тяжести, провел сам Дж.Гриоли [85] в 1949г. Позже, в 1987г. А.З.Брюм [86], применяя первый метод Ляпунова, получил условия устойчивости регулярной прецессии тяжелого тела, при этом он рассматривал как волчок Лагранжа, так и тело с распределением масс по Гриоли. Уравнения в вариациях для системы, обобщающей эйлеровы уравнения движения, составили также Ю.П.Вархалев и Г.В.Горр [87]; ими был получен результат о том, что четыре из шести характеристических показателей равны нулю, т.е. имеет место критический случай, а для гироскопа Гриоли знаки двух показателей противоположны. Таким образом, во всех перечисленных исследованиях доказывается неустойчивость данной регулярной прецессии.

Весьма перспективным представляется использование прямого метода Ляпунова к изучению устойчивости рассматриваемого движения с произвольным потенциалом, когда уравнения первого приближения составляют периодическую или квазипериодическую систему. Для первой исследование устойчивости восходит к работам

A.Пуанкаре и А.М.Ляпунова, а в критических случаях существенные результаты получены Г.В.Каменковым [88], и для почти периодических систем - также в критических случаях - В.Г.Веретенниковым [89], а также В.Н.Серегиным [90].

В диссертации проведено детальное исследование устойчивости регулярной прецессии динамически симметричного тела в поле с потенциалом, представимым в виде II — и (в), где и - произвольная непрерывно дифференцируемая функция. Тогда система уравнений в вариациях имеет постоянную матрицу, и характеристические показатели суть постоянные числа.

Впервые в рассматриваемой форме задачу в 1962г. исследовал

B.Н.Скимель [57], как и Раус, воспринимая регулярную прецессию в качестве стационарного движения. Им были получены необходимые условия устойчивости в виде нестрогого неравенства относительно параметров задачи; строгое, - оно превращается в достаточное.

В отличие от указанной работы здесь используется первый метод Ляпунова, что соответствует общей теме диссертации, при этом исходные уравнения движения составлены, как и в гл.IV, относительно эйлеровых углов. Полученное необходимое условие устойчивости линеаризованной системы уравнений возмущенного движения, означающее неположительность показателей Ляпунова ( в тексте оно обозначено: 5 > 0 ), совпадает с тем, что привел В.Н.Скимель. Система, имеющая четвертый порядок, как оказалось, имеет два нулевых корня. В критическом случае между устойчивостью невозмущенного движения и нулевого решения соответствующей линейной системы связь непрямая даже для правильных систем; вне зависимости от устойчивости самой регулярной прецессии линейная система может быть или не быть устойчивой. Здесь показано, что это зависит от величины 5: при 5 > 0 характеристическое уравнение имеет два чисто мнимых корня, и система является устойчивой, при 5 = 0 все корни нулевые, и система неустойчива.

Дальнейшее исследование касается размерности многообразия в пространстве параметров, или границ областей устойчивости, когда край одного многообразия, на 1 меньшей размерности, содержит участки края другого многообразия, составляющего подмногообразие, размерности, меньшей на 2.

Полученные результаты имеют логическую связь с теоремой В.М.Миллионщикова [91] (1991г.), где по признаку устойчивости устанавливается множественное соотношение между системами дифференциальных уравнений и соответствующими им линеаризованными уравнениями в вариациях. Утверждается, что свойство данного решения системы быть устойчивым при устойчивости системы в вариациях является типичным по Бэру.

Также в пятой главе приведено полученное автором в 1995г. решение задачи об устойчивости регулярной прецессии симметричного твердого тела с закрепленной точкой в центральном ньютоновском силовом поле [92]. Эта задача была поставлена в 1962г. В.Н.Скимелем [57], который указал один случай устойчивости, а именно, когда эллипсоид инерции сжатый: С > А. Другой случай указал в 1967г. ВД.Иртегов для вытянутого эллипсоида, когда угловая скорость прецессии фиксирована некоторым соотношением [92], содержащим параметры поля и тела.

Здесь, введя специальные функции, удалось доказать, что при условии обращения в нуль второй и третьей производных приведенной потенциальной энергии четвертая производная имеет положительный знак; как известно, положительность второй производной этой функции обеспечивает устойчивость, ее отрицательность или не равенство нулю третьей производной - неустойчивость для рассматриваемого движения.

Таким образом, получено полное описание множества параметров, соответствующих устойчивым и неустойчивым регулярным прецессиям лагранжева волчка в ньютоновском поле сил. Полученный результат сопоставим с фактом устойчивости для тяжелого волчка Лагранжа, где однако положительна уже вторая производная приведенной потенциальной энергии ( как показано в книге Д.Р.Меркина [93] ).

Указанные выше специальные функции используются также для доказательства устойчивости регулярной прецессии симметричного тела в поле с потенциалом такого вида, что угол нутации не связан с величинами угловых скоростей прецессии и собственного вращения [70,92]. Таким образом, установленный под некоторым углом к оси симметрии поля этот волчок будет совершать устойчивую прецессию, сохраняя величину угла независимо от изменения угловых скоростей.

Следует подчеркнуть, что в этой задаче, так же как и в других задачах о регулярной прецессии волчка в осесимметричном поле, устойчивость подразумевается по отношению к этим перечисленным трем переменным включая угловую скорость нутации, т.е. к тем, относительно которых составлены лагранжевы уравнения движения.

В заключение пятой главы построен потенциал силового поля, в котором твердое тело совершает регулярную прецессию, при этом такую, что система уравнений в вариациях вдоль соответствующего решения имеет по меньшей мере старший показатель Ляпунова, который терпит разрыв при непрерывном изменении параметров поля. Этот пример демонстрирует то обстоятельство, что показатели механических систем принадлежат как минимум первому бэровскому классу. При построении потенциала была использована структура полученных в этой главе уравнений в вариациях для регулярных прецессий и их возможность приведения к треугольному виду, а также то, что потенциал зависит от всех эйлеровых углов и "потеря устойчивости" по сравнению с формулой mgl cos в определяется уже уравнениями первого приближения.

Вместе с тем, для потенциала U = U{9) в этой главе выведено неравенство, которое является достаточным условием устойчивости соответствующих регулярных прецессий. Оно имеет компактный вид: U'(во) cos^o > U"(6q) sin#0, - и немедленно приводит к доказательству устойчивости регулярных прецессий в случае Эйлера и в случае Лагранжа, а также может быть использовано при исследовании " регулярного" приближения прецессионного движения планет, так как для планеты, лишенной спутников или имеющей их в своей экваториальной плоскости первый член в разложении потенциала зависит лишь от угла нутации и, следовательно, допускает существование регулярной прецессии.

Именно изучению прецессий планет Солнечной системы посвящена шестая глава диссертации.

При этом планета моделируется твердым телом, имеющим форму сфероида, однородного или имеющего слоистую структуру; в этом случае потенциал сил солнечного притяжения представим в виде функции Uc{7), зависящей от косинуса угла между радиус- вектором центра масс с началом в центре Солнца и угловой скоростью вращения планеты вокруг собственной оси. Известная процедура осреднения [94] приводит к выражению для силовой функции U(6), где имеется зависимость лишь от угла между указанным вектором угловой скорости и тем направлением перпендикуляра к плоскости орбиты планеты, с которого обращение вокруг Солнца - по ходу часовой стрелки. Он далее полагается углом нутации, что исторически соответствует открытой в 1748г. Дж.Брадлеем нутации земной оси.

Это в свою очередь позволяет перенести на задачу изучения движения планет теорию, относящуюся к симметричному телу в осесимметричном поле. В качестве начального приближения тогда выбирается безнутационное движение, каковым может быть только регулярная прецессия. Подобный подход был впервые осуществлен в 1885г. Ф.Тиссераном [54] и независимо Э.Дж.Раусом [55] в 1892г., которые используя такую модель, получили значения для периода прецессии (ок. 26 тыс.лет), весьма близкие к тем, что приняты в настоящее время.

Строго говоря, в силу сделанного выше замечания о спутниках планет так можно рассматривать лишь прецессии Венеры, Марса, Юпитера и Урана, исключая Меркурий, имеющий практически шарообразную форму, и Сатурн, испытывающий сильное возмущающее воздействие со стороны Юпитера. Для Земли однако потенциал гравитационных сил Солнца и Луны 11с + ^л также представим в виде и (в) в результате осреднения лунного притяжения, что возможно благодаря прецессии орбиты земного спутника под действием солнечных сил (движение, которое носит название "лунной нутации" [95] ). Формулу для периода прецессии Земли на другие планеты распространил Ф.Голдрайх [96], и по ней, используя новейшие данные, можно оценивать реально имеющие место прецессионные движения планетных осей.

Систему Плутон-Харон в силу соотношения масс, по-видимому, следует считать двойным спутником Солнца, поэтому девятая планета здесь не рассматривается.

Исследование Нептуна и его спутника Тритона занимает в этой главе особое место. Удаленность от Солнца позволяет считать соответствующую составляющую прецессии пренебрежимой и рассматривать только влияние массивного Тритона. Именно такой подход выбран в статье Р.А.Джекобсона [97], опубликованной в 1990г. в преддверии полета КА "Вояджер-2" и посвященной системе Нептун-Тритон; предполагается, что эта система - замкнутая и поэтому постоянный общий кинетический момент осевого вращения Нептуна и орбитального движения Тритона соответствует оси прецессии.

Здесь утверждается другой взгляд, согласно которому Нептун прецессирует вокруг оси, перпендикулярной плоскости своей орбиты, т.е. сообразно воздействию Солнца, а Тритон играет "стимулирующую" роль, повышая угловую скорость прецессии. Основанием для такой точки зрения служит пример системы Земля-Луна, где несмотря на существование массивного спутника наша планета прецессирует именно относительно перпендикуляра к орбитальной плоскости, хотя на это движение доминирующим влиянием обладает Луна.

Аналогично, потенциал гравитационных сил, действующих на Нептун со стороны Тритона, выражается в виде ИтР = и(р), где р - угол между осью Нептуна и перпендикуляром к плоскости орбиты Тритона. Этот угол является одной из переменных, в которых записываются уравнения движения, а второй служит величина о -угловое расстояние проекции оси планеты на эту плоскость, отсчитываемое от линии узлов. Сами уравнения образуют систему второго порядка и были выведены В.В.Белецким [94]. Переменные р и а названы им эволюционными и были применены для получения формул, описывающих лунно-солнечную прецессию Земли.

В диссертации уравнения Белецкого применяются к системе Нептун-Тритон. Прецессия оси планеты здесь рассматривается в том приближении, которое определяет регулярную прецессию Нептуна как симметричного твердого тела, что соответствует решению уравнений в виде совокупности постоянных р = const; а — 7г/2. С использованием последних данных [98] отсюда находится угловая скорость прецесссии и ее период: ~ 50 тыс.лет.

Вопросам устойчивости посвящена вторая часть главы. При этом устойчивость ( по Ляпунову ) регулярных прецессий, которые "совершают" Венера, Земля, Марс, Юпитер и Уран, рассматривается по отношению к тем же переменным, что и для симметричного тела в гл.У, и с использованием того же метода: движение воспринимается в качестве стационарного и для него устанавливается минимум приведенной потенциальной энергии. В диссертации показано,что прецессионное движение перечисленных планет устойчиво; отсюда следует, в частности, что для объяснения известных отклонения планетных осей от перпендикуляра к плоскости эклиптики требуются более точные модели, нежели та, что принята здесь в качестве предметной.

Иной подход к прецессии Нептуна. Как отмечалось, регулярной прецессии отвечает особая точка системы дифференциальных уравнений в эволюционных переменных. Если в работе [94] В.В.Белецкий исследовал устойчивость с помощью анализа поведения вектора кинетического момента, то здесь применяются методы качественной теории дифференциальных уравнений. Для системы линеаризованной, как оказалось, точка является центром, а вопрос о сохранении типа при переходе от укороченной системы к полной решился на основе теоремы Ляпунова [99]. Согласно этой теореме достаточным условием существования центра служит наличие голоморфного первого интеграла определенного вида. Такой интеграл был найден В.В.Белецким [98]; как показано в диссертации, интеграл, записанный в переменных уравнений возмущеннного движения, имеет надлежащий вид. Прецессия Нептуна тогда является устойчивой.

Исследование устойчивости по Ляпунову во всех случаях продолжается до выяснения структурной устойчивости. Под этим понимается сохранение устойчивости при изменении правых частей системы дифференциальных уравнений, или - для дифференциальных уравнений на многообразиях - структуры векторного поля. Здесь имеется в виду, как правило, независимость свойства устойчивости от варьирования параметров. В этом смысле все прецессии планет, как показано в шестой главе, являются структурно устойчивыми.

Содержание главы изложено в статье автора [100].

Таким образом, общий результат исследований, приведенных в диссертации, заключается в следующем. Для механических систем - как склерономных, так и реономных - бэровский класс показателей Ляпунова определяется так же, как и для общих систем дифференциальных уравнений ( на многообразиях или в евклидовом пространстве ) и согласно теореме Миллионщикова равен 2; имеются механические системы, у которых этот класс равен 1. В то же время, совокупность систем с показателями класса 0 весьма широк и включает, в частности, те, которые в качестве уравнений в вариациях имеют системы уравнений возмущенного движения, составленные для регулярных прецессий твердого тела с потенциалом в виде отрезка ряда Фурье относительно любой пары эйлеровых углов. Структурная устойчивость, обусловленная частичным образом полунепрерывностью сверху характеристических показателей второго класса, становится определенной у систем с показателями Ляпунова, которые имеют нулевой класс.

Исследования автора, отражающие содержание диссертации, опубликованы в виде статей, а также тезисов научных конференций и приведены в списке литературы. Результаты были изложены в форме докладов на следующих научных совещаниях:

- V Всесоюзная Четаевская конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" ( Казань, 1987г. ) [101];

- Воронежская Зимняя математическая Школа ( Рамонь, 1990г. );

- Республиканская конференция "Динамика твердого тела и устойчивость движения" ( Донецк, 1990г. ) [102];

- семинар по классической и небесной механике, рук. В.Г.Демин ( Москва, МГУ, 1994г. );

- Международная конференция по функц. дифференциальным уравнениям и их приложениям ( Москва, 1994г. ) [103];

- II Симпозиум по классической и небесной механике ( Великие Луки, 1996г. ) [104];

- Международная конференция "Устойчивость, управление и динамика твердого тела" (Донецк, 1996г. ) [105];

- 34 научная конференция факультета физико-математических и естественных наук ( Москва, РУДП, 1998г. ) [106];

- III Международный Симпозиум по классической и небесной механике ( Великие Луки, 1998г. ) [107];

- семинар по качественной теории дифференциальных уравнений, рук. В.М.Миллионщиков, В.А.Кондратьев, Н.Х.Розов ( Москва, МГУ, 1998г. ) [12,35]; ( 1999г.) [108];

-Международная конференция по дифференциальным и функц. дифференциальным уравнениям ( Москва, 1999г. ) [109];

- VII Международная конференция "Устойчивость, управление и динамика твердого тела" (Донецк, 1999г. ) [110];

- семинар по аналитической механике и теории устойчивости, рук. В.В.Румянцев, В.В.Белецкий, А.В.Карапетян ( Москва, МГУ, 1999г. );

- семинар по динамике твердого тела, взаимодействующего со средой, рук. В.Г.Вильке, В.А.Самсонов ( Москва, МГУ, 1999г. );

- 36 Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин ( Москва, РУДН, 2000г. ) [111];

- семинар по динамике относительного движения, рук. В.В.Белецкий, Ю.Ф.Голубев, К.Е.Якимова, Е.В.Мелкумова ( Москва, МГУ, 2000г. );

- семинар по классической динамике, рук. Я.В.Татаринов, В.А.Прошкин ( Москва, МГУ, 2001г. ).

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Галиуллин, Ильяс Абдэльхакович

Заключение

В диссертации получены следующие результаты.

1. Дана модификация теоремы Миллионщикова о втором бэровском классе показателей Ляпунова эндоморфизмов метризованного векторного расслоения - применительно к семейству векторных полей на гладком многообразии.

2. Введено определение неавтономного дифференциального уравнения второго порядка на многообразии как векторного поля на прямом произведении действительной прямой и касательного пространства.

Доказана теорема об инъективности отображения множества реономных механических систем во множество неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка на многообразии.

3. Установлен второй бэровский класс показателей Ляпунова систем уравнений в вариациях, составленных для дифференциальных уравнений второго порядка на гладких многообразиях, тем самым -для конкретных движений голономных механических систем.

4. Найдены достаточные условия для точек непрерывности показателей Ляпунова, определенных на метрическом пространстве правильных систем дифференциальных уравнений с метрикой равномерной сходимости.

Проанализированы примеры точек разрыва характеристических показателей правильных систем.

5. Разработан метод построения на многообразии векторного поля ( динамической системы), касающегося заданной интегральной кривой. Определено выражение для главного момента сил, под действием которых твердое тело с одной закрепленной точкой при каких-либо начальных условиях совершает регулярную прецессию.

Для случая потенциального поля позиционных сил исследована структура силовой функции, обеспечивающей существование заданной регулярной прецессии; исследование устанавливает также размерность соответствующего интегрального многообразия.

6. Составлены уравнения возмущенного движения первого приближения ( уравнения в вариациях ) для регулярных прецессий.

7. Для случая автономной системы указаны характеристические показатели и проведено описание областей устойчивости в пространстве параметров.

8. Решена задача об устойчивости регулярной прецессии симметричного тела в центральном ньютоновском силовом поле.

9. Построен пример разрыва характеристических показателей для регулярных прецессий твердого тела, тем самым показано, что они относятся, как минимум, к первому бэровскому классу.

10. Определены характеристики прецессионного движения-ряда планет Солнечной системы в регулярном приближении и доказана их устойчивость, включая прецессию Нептуна под действием Тритона вокруг перпендикуляра к плоскости эклиптики.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Галиуллин, Ильяс Абдэльхакович, 2001 год

1. Baire R. Leçons sur les fonctions discontinues professées au Collège de France. Paris: Gauthier-Villars, 1905. 128p.

2. Рус.пер.: Бэр P. Теория разрывных функций. M.-Д.: ГТТИ, 1932. 133с.

3. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения // Собр.соч. Т.2. М.: АН СССР, 1956. 475с.

4. Миллионщиков В.М. Бэровские классы функций и показатели Ляпунова.! //Дифференц. уравнения. 1980. Т.16. N8. С.1408-1416.

5. Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. М.: Мир, 1973. 188с.

6. Окстоби Дж. Мера и категория. М.: Мир, 1974. 158с.

7. Хаусдорф Ф. Теория множеств. М.-Л.: ОНТИ-ГТТИ, 1937. 304с.

8. Рахимбердиев М.И. О бэровском классе показателей Ляпунова// Матем. заметки. 1988. Т.24. Вып.6. С.925-931.

9. Perron О. Uber Stabilität und asymptotisches Verhalten der Integrale von Differentialgleichungsystemen // Math. Z. 1928. Bd.29. S.129-160.

10. Миллионщиков В. М. Бэровские классы функций и показатели Ляпунова.!!. // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. N 9. С.1588-1598.

11. Миллионщиков В.М. Бэровские классы функций и показатели Ляпунова.Ш. // Дифференц. уравнения. 1980. Т.16. N 10. С.1766-1785.

12. Миллионщиков В.М. Показатели Ляпунова как функции параметра // Матем. сборник. 1988. Т. 137. N 3. С.364-380.

13. Галиуллин И.А. Применение теоремы В.М.Миллионщикова кк дифференциальным уравнениям второго порядка на многообразиях // Дифференц. уравнения. 1998. Т.34. N 6. С.818.

14. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. 752с.

15. Миллионщиков В.М. Некоторые задачи теории линейных дифференциальных уравнений // Успехи матем. наук. 1985. Т.40. Вып.5. С.241-242.

16. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472с.

17. Басов В.П. О структуре решения правильной системы // Вестник ЛГУ. N 12. 1952. С.3-8.

18. Виноград Р.Э. Новое доказательство теоремы Перрона и некоторые свойства правильных систем // Успехи матем. наук. 1954. Т.9. Вып.2. С.129-136

19. Богданов Ю. С. К теории систем линейных дифференциальных уравнений // Доклады АН СССР. 1955. Т.104. N 6. С.813-814.

20. Былое Б.Ф. О характеристических числах решений систем линейных дифференциальных уравнений // Прикл. матем. и механ. 1950. Т.14. Вып.4. С.341-352.

21. Галиуллин A.C. Некоторые вопросы устойчивости программного движения. Казань: Таткнигоиздат. 1960. 88с.

22. Гробман Д.М. Характеристические показатели систем, близких к линейным // Матем. сборник. 1952. Т.ЗО. N 1. С.121-166.

23. Демидович Б.П. Об одном обобщениии критерия устойчивости Ляпунова для правильных систем // Матем. сборник. 1965. Т.66. N 3. С.344-353.

24. Золотарев Ю.Г., Харасахал В.Х. О структуре решений и правильности системы линейных дифференциальных уравнений // Известия АН Каз. ССР. Сер. мат. и мех. 1962. Вып.Ю. С.11-16.

25. Изобов H.A. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Математический анализ. Т.12. М.: Изд-во ВИНИТИ, 1974. С.71-146.

26. Изобов H.A. Исследования в Беларуси по теории характеристических показателей Ляпунова и ее приложениям // Дифференц. уравнения. 1993. Т.29. N 12. С.2034-2055.

27. Персидский К. П. К теории устойчивости интегралов системы дифференциальных уравнений.4.2. // Известия физ.-мат. общ-ва при Казанск. ун-те, 1936-1937. Сер.З. 1938. Т.8. С.47-85.

28. Персидский К.П. О характеристичных числах дифференциальных уравнений // Избр. труды. Т.1. Алма-Ата: Изд-во "Наука" Каз. ССР, 1976. С. 146-185.

29. Виноград Р. Э. Отрицательное решение вопроса об устойчивости характеристических показателей правильных систем // Прикл. матем и механ. 1953. Т.17. N 6. С. 645-650.

30. Виноград Р.Э. Неустойчивость характеристических показателей правильных систем // Доклады АН СССР. 1953. Т.91. N 5. С.999-1002.

31. Миллионщиков В.М. Грубые свойства линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1969. Т.5. N 10. С.749-750.

32. Былое Б.Ф., Изобов Н.А. Необходимые и достаточные условия устойчивости характеристических показателей линейных систем // Дифференц. уравнения. 1969. Т.5. N 10. С. 1794-1803.

33. Вылов В.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова. М.: Наука, 1966. 576с.

34. Миллионщиков В.М. Метрическая теория линейных систем дифференциальных уравнений // Матем. сборник. 1968. Т.77. N 2. С.163-173.

35. Миллионщиков В.М. Системы с интегральной разделенностью всюду плотны в множестве всех линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1969. Т.5. N 7. С.1167-1170.

36. Галиуллин И.А. К характеристике точек непрерывности показателей Ляпунова правильных систем // Дифференц. уравнения 1998. Т.34. N 11. С.1574.

37. Лузин H.H. Интеграл и тригонометрический ряд. М.-Л.: Гостехиздат, 1951. 550с.

38. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. 480с.

39. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960. 624с.

40. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1964. 272с.

41. Еругин Н.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую // Прикл. матем. и механ. 1952. Т.16. N 6. С.659-670.

42. Мухарлямов Р.Г. Построение множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданные интегралы // Дифференц. уравнения. 1967. Т.З. N 2. С. 180-192.

43. Галиуллин А.С. Методы решения обратных задач динамики. М.: Наука, 1986. 224с.

44. Галиуллин А.С. Аналитическая динамика. М.: Изд-во РУДН, 1998. 441с.

45. Santilli R.M. Foundations of theoretical mechanics. I. The inverse problem in newtonian mechanics. New York-Heidelberg-Berlin: Springer-Verlag, 1978. 266p.

46. Галиуллин И.А. Построение динамических систем на многообразиях // Дифференц. уравнения. 1991. Т.27. N 12. С.2053-2058.

47. Галиуллин И.А., Зародов В.К. Дифференциальные структуры в теории обратных задач динамики. М.: Изд-во МАИ, 1994. 52с.

48. Newton Is. Philosophiae naturalis principia mathematica. Londini: Josephi Streater, prostant apud Sam. Smith., 1687. 510p. Рус. пер.: Ньютон Ис. Математические начала натуральной философии. Петроград: Тип. М.М.Стасюлевича, 1916. 620с.

49. Poinsot L. Precession des equinoxes. Paris: Mallet-Bachelier, Imprimeur-Libraire, 1857. 56p.

50. Euler L. Du mouvement de rotation des corps solides autour d'un axe variable // Mem. Acad. sci. Berlin ( 1758 ). 1765. P. 154-193.

51. Routh E.J. An elementary treatise on the dynamics of a system of rigid bodies. Cambridge: Macmillan, I860. 336p.

52. Toumaire Mémoire sur la rotation des corps pesant // С. г. Acad. sci. Paris. I860. T.50. P.476-481.

53. Grioli G. Esistenza e determinazione delle precessioni regolari dinámicamente possibili per un solido pesante asimmetrico // Ann. mat. pura ed appl. 1947. Ser.4. T.26. Fasc.3-4. P.271-281.

54. Гуляев M. П. О динамически возможных регулярных прецессиях твердого тела, имеющего одну закрепленную точку // Труды сектора мат. и мех. АН Каз. ССР. 1958. Т.1. С.202-208.

55. Tisserand F. Sur le mouvement de rotation de la Terre autour de son centre de gravité // C. r. Acad. sci. Paris. 1885. T.101. P.195-199.

56. Routh E.J. The advanced part of a treatise on the dynamics of a system of rigid bodies. London: Macmillan and Co, 1892. 431p. Рус. пер.: Раус Э.Дж. Динамика системы твердых тел. Т.2. М.: Наука, 1983. 544с.

57. Gyldén G. Undersôkning af fall, der rotationsproblemets lôsning kan uttryckas medelst reelt periodiska funktioner af tiden // Ofversigt af Kongl. Vetenskaps-Akademiens forhandlingar. 1893. Arg.50. N 2. P.63-75.

58. Скимель В.H. Об устойчивости некоторых движений гиростата // Труды КАИ. 1962. Вып.71. С.36-41.

59. Bentsik E. Su di un tipo di precessioni regolary per un corpo rígido asimmetrico soggetto a forze newtoniane // Rend. Sem. mat. Univ. Padova. 1968-1969. Vol.41. P.252-260.

60. Рус. пер.: Бентсик Э. Об одном виде регулярной прецессии несимметричного тела в поле сил ньютоновского притяжения // Механика. Период, сб. переводов иностр. статей. 1970. N 2. С.3-8.

61. Смотров В.М. Регулярные прецессии твердого тела с неподвижной точкой в ньютоновском поле сил // Теоретическая механика. Сб. научн.-метод, статей. 1977. Вып.8. С.70-77.

62. Grioli G. Moto attorno al baricentro di giroscopio soggetto a forze di potenza nulla // Rend. mat. e sue appl. 1947. Ser.5. Vol.6. Fase.3-4. P.439-463.

63. Goldstein H. The classical motion of a rigid charged body in a magnetic field // Amer. J. Phys. 1951. Vol.19. N 2. P.100-109.

64. Grioli G. Sul moto di un corpo rígido asimmetrico soggetto a forze di potenza nulla // Rend. Sem. mat. Univ. Padova. 1957. Vol.27. P. 90-102.

65. Горр Г.В., Курганский Н.В. О регулярной прецессии относительно вертикали в одной задаче динамики твердого тела // Механика тверд, тела. 1987. Вып. 19. С. 16-20.

66. Poinsot L. Théorie des cónes circulaires roulants // J. math. purés et appl. (I). 1853. T.18.P.41-70.

67. Schell W. Theorie der Bewegung und der Kräfte. Bd.2. Leipzig: B.G.Teubner, 1880. 618s.

68. Grammel R. Die Stabilität der Staudeschen Kreiselbewegungen // Math. Z. 1920. Bd.6. Heft 1/2. S. 124-142.

69. Grioli G. Precessioni regolari di un solido pesante asimmetrico // Atti Accad. Naz. Lincei. Rendiconti. Cl. fis.,mat. Ser.8. 1948. Vol.4 (1 sem.). Fase.4. P.420-423.

70. Colombo G. Osservazioni sulla stabilità dei moti merostatici di un giroscopio ed applieazioni ad un caso notevole // Rend. Sem. mat. Univ. Padova. 1951. Vol.20. Prt.l. P.59-77.

71. Галиуллин И.А. Обратные задачи динамики твердого тела с одной закрепленной точкой // Известия АН СССР. Механика тверд, тела. 1980. N 1. С.12-21.

72. Галиуллин И.А. Регулярные прецессии твердого тела с одной закрепленной точкой // Известия АН СССР. Механика тверд, тела. 1987. N 5. С.6-18.

73. Gylden H. Sur un cas général ou le problème de la rotation d'un corps solide admet des intégrales uniformes // C. r. Acad. sei. Paris. 1893. T.116. P.942-945.

74. Суслов Г.К. Основы аналитической механики. Т.2. Киев: Тип. Имп. ун-та св. Владимира Н.Т.Корчак-Новицкого, 1902. 287с.

75. Горр Г. В. Прецессионные движения в динамике твердого тела и динамике систем связанных твердых тел. Донецк: Изд-во ИПММ АН УССР, 1989. 67с.

76. Сарыче в В. А. Вопросы ориентации искусственных спутников / / Итоги науки и техники. Исследование космического пространства. Т.П. М.: Изд-во ВИНИТИ, 1978. 223с.

77. Галиуллин И.А. История открытия и исследования регулярных прецессий твердого тела // Исследования по истории физики и механики. 1993-1994. М.: Наука, 1997. С.191-218.

78. Миллионщиков В.М. О связи между устойчивостью характеристических показателей и почти приводимостью систем с почти периодическими коэффициентами // Дифференц. уравнения. 1967. Т.З. N 12. С.2127-2134.

79. Новиков В. Л. О неустойчивости характеристических показателей линейных дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами // Дифференц. уравнения. 1972. Т.8. N 5. С.795-800.

80. Миллионщиков В.М. Доказательство существования неправильных систем линейных дифференциальных уравнений с квазипериодическими коэффициентами // Дифференц. уравнения. 1969. Т.5. N 11. С.1979-1983.

81. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: Наука, 1965. 416с.

82. Демин В. Г. Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения. М.: Наука, 1968. 352с.

83. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космонавтике. М.: Наука, 1978. 312с.

84. Румянцев В.В. Об устойчивости стационарных движений спутников // Математические методы в динамике космических аппаратов. Вып.4. М.: Изд-во ВЦ АН СССР, 1967. 140с.

85. Черноусъко Ф.Л. Об устойчивости регулярной прецессии спутника // Прикл. матем. и механ. 1964. Т.28. Вып.1. С.155-157.

86. Скимель В.Н. К задачам устойчивости тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки // Прикл. матем. и механ. 1956. Т.20. Вып.1. С.130-132.

87. Grioli G. Questioni di stabilità riguardanti le precessioni regolari del solido pesante asimmetrico // Ann. Scuola normale superiore di Pisa. 1949. Ser.3. Vol.l. Fasc.1-4 (1947).

88. Брюм A.3. Исследование регулярной прецессии тяжелого твердого тела с неподвижной точкой первым методом Ляпунова // Механика тверд, тела. 1987. Вып. 19. С.68-72.

89. Вархалев Ю.П., Горр Г.В. Первый метод Ляпунова в исследовании асимптотических движений в динамике твердого тела // Механика тверд, тела. 1992. Вып.24. С.25-41.

90. Каменков Г.В. Устойчивость и колебания нелинейных систем // Избран, труды. Т.2. М.: Наука, 1972. 214с.

91. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1984. 320с.

92. Серегин В.Н. К исследованию колебаний неавтономных систем с почти периодическими коэффициентами // Темат. сб. научн. трудов МАИ "Некоторые проблемы механики". Вып.424. М.: Изд-во МАИ, 1977. С.3-7.

93. Миллионщиков В.М. Параметрическая устойчивость и устойчивость по Ляпунову // Дифференц. уравнения. 1991. Т.27. N И. С.2010.

94. Галиуллин И.А. Устойчивость регулярных прецессий симметричного тела в ньютоновском поле сил / / Космич. исследования. 1995. Т.ЗЗ. N 1. С.107-108.

95. Меркин Д.Р. Гироскопические системы. М.: ГИТТЛ, 1956. 299с.

96. Белецкий В. В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М.: Изд-во МГУ, 1975. 308с.

97. Ламб Г. Теоретическая механика. Т.З. М.: ОНТИ, 1936. 291с.

98. Голдрайх П. Наклонение спутниковых орбит относительно прецессирующей сжатой планеты // Приливы и резонансы в солнечной системе. М.: Мир, 1975. С.207-216.

99. Jacobson R.A. The orbits of the satellites of Neptune // Astron. Astrophys. 1990. Vol.231. N 1. P.241-250.

100. Tyler G.L., Sweetnam D.N. et al. Voyager radio science observations of Neptune and Triton //Science. 1989. Vol.246. P. 1466-1473.

101. Ляпунов A.M. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения // Матем. сборник. 1893. Т. 17. Вып.2. С.253-333.

102. Галиуллин И.А. К исследованию структурной устойчивости прецессионного движения планет // Астрон. вестник. 1999. Т.ЗЗ. N 1. С.1-7.

103. Галиуллин И.А. Бэровский класс показателей Ляпунова линейных механических систем // Тезисы докл. V Всесоюзн. Четаевской конф. "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" ( Казань, 1987 ). С.27.

104. Галиуллин И.А. История открытия и исследования регулярных прецессий твердого тела // Тезисы докл. Республ. конф. "Динамика твердого тела и устойчивость движения" ( Донецк, 1990 ). С.6.

105. Galiullin I.A. Construction of dynamical systems on manifolds // Intern. Conf. on functional differential equations and applications ( Moscow, 1994 ). Abstracts. P.29.

106. Галиуллин И.А. Устойчивость регулярных прецессий для планет солнечной системы // Тезисы докл. II Симпоз. по классической и небесной механике ( Великие Луки, 1996 ). С.23.

107. Галиуллин И. А. и др. Обратные задачи в описании регулярных прецессий гиростата // Тезисы докл. Междунар. конф. "Устойчивость, управление и динамика твердого тела" ( Донецк, 1996 ). С.25.

108. Галиуллин И.А. О показателях Ляпунова правильных систем уравнений в вариациях для дифференциальных уравнений на многообразиях // Тезисы докл. XXXIV научн. конф. ф-та физ.-мат. и естеств. наук РУДН ( Москва, 1998 ). С. 19.

109. Галиуллин И.А. Геометрические основы реономной механики // Тезисы докл. III Междунар. симпоз. по классической и небесной механике ( Великие Луки, 1998 ). С.47-48.

110. Галиуллин И.А. Устойчивость прецессии Нептуна в регулярном приближении // Дифференц. уравнения. 1999. Т.35. N 6. С.853.

111. Galiullin I.A. On the points of continuity of the Lyapunov exponents constrictions on the regalar systems set // Intern. Conf. on differential and functional differential equations ( Moscow, 1999 ). Abstracts. P.38-39.

112. Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия. М.: ИЛ, 1960. 113с.

113. Куратовский К. Топология. Т.1. М.: Мир, 1966. 594с.

114. Дъедонне Ж. Основы современного анализа. М.: Мир, 1964. 430с.

115. Добронравов В.В. Основы аналитической механики. М.: Высшая школа, 1976. 264с.

116. Татаринов Я.В. Лекции по классической динамике. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. 296с.

117. Кирпичников С.Н., Новоселоов B.C. Математические основы кинематики твердого тела. Л.: Изд-во ЛГУ, 1986. 249с.

118. Уиттекер К. Т. Аналитическая динамика. М.-Л.: ОНТИ, 1937. 500с.

119. Хорн Р., Джексон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. 655с.

120. Хирш М. Дифференциальная топология. М.: Мир, 1979. 280с.

121. Галиуллин A.C. Обратные задачи динамики: методы, перспективы // Успехи механики. 1989. Т.12. N 2. С.71-97.

122. Галиуллин И.А. Сокращение размерности пространства переменных при заданном интегральном многообразии // Темат. сб. научн. трудов МАИ "Устойчивость и колебания нелинейных механических систем". М.: Изд-во МАИ, 1987. С.31-33.

123. Отв. ред. Леонов Г.А.,Фрадков А.Л. Анализ и управление нелинейными колебательными системами: Сб. статей ( Сер. "Анализ и синтез нелинейных систем" ). СПб.: Наука, 1998. 252с.

124. Гюнтер Н.М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных. JI.;M.: Гостехиздат, 1934. 359с.

125. Горячев Д.Н. Некоторые общие интегралы в задаче о движении твердого тела. Варшава. 1910. 62с.

126. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т.1. Л.;М.: Гостехиздат, 1951. 476с.

127. Граммелъ Р. Гироскоп, его теория и применение. T.l. М.: Изд-во иностр. лит., 1952. 351с.

128. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. М.: Наука, 1972. 495с.

129. Самсонов В.А. О стационарных движениях симметричного твердого тела // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: Изд-во ВЦ АН СССР, 1982. Вып.2. С.6.70-79.

130. Яров-Яровой M.С. Об интегрировании уравнения Гамильтона-Якоби методом разделения переменных // Прикл. матем. и механ. 1963. Т.27, вып. 6. С.973-987.

131. Мак-Миллан В.Д. Динамика твердого тела. М.: ИЛ, 1951. 467с.

132. Salvadori L. Un'osservazione su di un criterio di stabilità del Routh // Rend. Accad. sei. fis. e mat. Napoli. 1953. Vol.20. Ser.4. P.269-272.

133. Руш H., Абетс П., Лалуа M. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980. 300с.

134. Карапетян A.B. Устойчивость стационарных движений. М.: "Эдиториал УРСС", 1998. 168с.

135. Архангельский Ю.А. Аналитическая динамика твердого тела. М.: Наука, 1977. 328с.

136. Vujicic V.A. Dynamics of rheonomic systems. Beograd: Matematicki institut, 1990. 96str.

137. Gray A. A trearise on gyrostatics and rotational motion. Theory and applications. London: Macmillan and Co, 1918. 530p.

138. Маров М.Я. Планеты Солнечной системы. M.: Наука, 1986. 320c.

139. Вулард Э. Теория вращения Земли вокруг центра масс. М.: Фитзматгиз, 1963. 142с.

140. Padova Е. Proprieta del moto di un согро di rivoluzione soggetto a forze che hanno la funzione potenziale H cos2$ // Atti Reale Accad. Lincei. Rendiconti. 1886. Ser.4. Vol.2 (1 sem.). P.135-168.

141. Paladini B. Sul movimento di rotazione che prende nei vuoto od in un fluido incompressible un corpo soggetto a forze di potentiale Щ cos2e + #2 cos6> // Atti Reale Accad. Lincei. 1888. Ser.4. Vol.4 (1 sem.). P.187-196.

142. Goldreich P. et al. Neptune's story // Science. 1989. Vol.245. N 4917. P.500-504.

143. Berry R. Searching for the "real" Triton // Astronom. 1989. Vol.17. N 2. P.20-26.

144. Берне Дж. Некоторые основные данные о спутниках // Система Сатурна. М.: Мир, 1990. С.296-325.

145. Eichelberger W.S., Newton A. The orbits of Neptune's satellite and the pole of Neptune's equator // Monthly notices Roy. astron. soc. London. 1926. Vol.86. N 5. P.276-294.

146. Герасимов И.А.,Мушаилов Б.P. Методы Пуанкаре и Ляпунова в небесной механике. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1992. 117с.

147. Палис Ж., ди Мелу В. Геометрическая теория динамических систем. М.: Мир, 1986. 301с.