Энергия казимировского взаимодействия в квантовой теории поля на решетке тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Улыбышев, Максим Владимирович

• Улыбышев, Максим Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Улыбышев, Максим Владимирович

Введение

1. Решеточное представление черн-саймонсовского действия.

1.1 Черн-саймоновские граничные условия и эффект Казимира

1.2 «Вильсоновский мешок» и решеточные вычисления для максвелл-черн-саймонсовской теории

2. Описание эффекта Казимира на решетке для идеальных проводников и диэлектриков--------------------------------------------------------------------—.

2.1 Реализация граничных условий для проводников на решетке —

2.2 Диэлектрики на решетке----------------------------------.

2.3 Наблюдаемая для вычисления энергии основного состояния

3. Алгоритмы и описание программ-------------------------------.-.

3.1 Описание алгоритмов

3.2 Анизотропная решетка------------------------------------------—.

4. Непрерывный предел и результаты численных расчетов -.

4.1 Непрерывный предел

4.2 Результаты численных расчетов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Энергия казимировского взаимодействия в квантовой теории поля на решетке»

В последние несколько лет эффект Казимира и другие макроскопические квантовые эффекты привлекают большое внимание как теоретиков, так и экспериментаторов и специалистов в современных технологиях. Это, без сомнения, связано с тем существенным прогрессом в изучении физики микро-и нано-масштабов, который наблюдается в последнее время, и осознанием важности и актуальности возникающих при этом задач. Хорошо известно, что на этих масштабах электростатические и вакуумные эффекты становятся крайне существенными, зачастую играющими доминирующую роль. Причем в силу того, что без специального подбора геометрии или материалов взаимодействующих тел вакуумные силы будут силами притяжения, то они являются существенной преградой к построению нормально функционирующих микро- и нано- механизмов [1]. Именно в связи с этим велись и ведутся целенаправленные поиски [2, 3] таких комбинаций материалов для взаимодействующих тел, которые дают отталкивающие вакуумные силы. Естественно, при наличии таких отталкивающих сил (в основном они возникают в случаях, когда взаимодействуют тела из материалов со специально подобранными показателями диэлектрической проницаемости) эта динамика становится более сложной, с возможностью организации устойчивого равновесия. Буквально в последние 2 года отталкивающие силы были наконец найдены в эксперименте [31], благодаря чему сейчас наблюдается всплеск интереса к казимировской тематике.

Таким образом, основные задачи, относящиеся сейчас к сфере вычисления вакуумных сил, могут быть сформулированы следующим образом: одновременный учет сложной формы взаимодействующих тел и их электромагнитных свойств, главным образом, диэлектрической проницаемости. Кроме того, часто необходимо также принимать во внимание температурные и радиационные поправки. Определенный интерес вызывает также эффект Казимира для черн-саймонсовских поверхностей, в связи с тем, что некоторые перспективные тонко-пленочные материалы могут достаточно хорошо описываться дополнительным черн-саймонсовским членом в действии для электромагнитного поля. Кроме того, эффект Казимира играет важную роль в феноменологических полевых моделях типа модели мешков [13, 14].

Интерес к универсальным численным алгоритмам определения вакуумных сил вызван в первую очередь типом экспериментальных задач, исследуемых в этой области в настоящее время. Прогресс в технике измерений сверхмалых сил [8, 20], а также в создании наноструктур заранее заданной формы привел к тому, что сейчас уже доступно исследование каз'имировских сил между поверхностями сложной формы. Причем особый интерес вызывают такие пары взаимодействующих поверхностей, которые могут применяться в перспективных микромеханических устройствах (например, реечная передача, рассматриваемая в данной работе). Точных аналитических методов вычисления вакуумных сил для таких сложных геометрий не существует, а приближенные методы не дают удовлетворительной точности. Поэтому на первый план выходит разработка универсальных численных алгоритмов, работающих для всех типов поверхностей и материалов.

Одной из наиболее распространенных вычислительных схем, позволяющей одновременно учитывать произвольную форму граничных поверхностей, конечную температуру и петлевые поправки, является квантовая теория поля (КТП) на решетке. Задачей данной работы будет разработка решеточных методов расчета казимировских сил и применение этих методов к интересным с экспериментальной точки зрения и до сих пор исследованным лишь приближенно геометриям взаимодействующих тел.

К настоящему моменту уже разработан ряд точных и приближенных методов расчета вакуумной энергии. Перечислим здесь некоторые из них.

Исторически самым первым методом, предложенным еще в работе Лиф-шица, является нахождение функции Грина по заданной геометрии и диэлектрическим свойствам тел. Затем по функции Грина вычисляется компоненты тензора энергии-импульса:

1) х=х'

Т"" = (д^д" - дхд что позволяет либо подсчитать энергию в виде интеграла

Е = I Т°°е*®, (2) либо подсчитать действующую на каждое отдельное тело силу:

Г (3) V где Э - поверхность, ограничивающая тело. Естественно, конечные выражения в первом случае получаются только после некоторой процедуры перенормировки (во втором случае вакуумная функция Грина дает нулевой вклад в интеграл по замкнутой поверхности, поэтому дополнительного вычитания не требуется). Для первого же случая, процедура вычитании заключается в следующем: из получившихся компонент тензора энергии-импульса вычитается сумма их значений, вычисленных для каждого тела по отдельности. После этого в каждой компоненте тензора энергии-импульса остается только вклад от взаимодействия тел. Необходимо отметить, что в такой процедуре принципиально теряется вакуумное "самодействие"изолированного тела. То есть невозможно вычислить, например, силу, растягивающую шар. Таким образом, данная процедура перенормировок дает возможность вычислять только силы, с которыми изолированные тела действуют друг на друга.

Основным недостатком этого метода является невозможность явного аналитического вычисления функции Грина для сколь-нибудь сложной геометрии взаимодействующих тел. В настоящее время аналитически решен лишь ряд задач для тел простейшей форме (плоскости, шары, цилиндры в различных комбинациях). В то же время, разработаны высокоэффективные методы численного счета функции Грина для произвольной геометрии и электромагнитных свойств взаимодействующих объектов. На этом подходе базируется наиболее распространенный в настоящий момент подход к точному численному расчету вакуумных сил, представленный, например в работах [4, 5]. Недостатки данной схемы:

1) Метод работает, только если можно явно выписать уравнения в частных производных для функции Грина. Если стоит задача, например, непертурба-тивным образом (вне рамок теории возмущений) учесть петлевые поправки, то применить этот подход станет невозможно. А такая необходимость существует, например, в упомянутых выше моделях мешков.

2) Алгоритмы для параллельного вычисления функции Грина хоть и разработаны к настоящему времени, однако они в любом случае менее эффективно наращивают производительность с ростом числа процессоров, чем решеточные алгоритмы. Действительно, монте-карловское вычисление континуального интеграла (на чем базируется КТП на решетке) представляет из себя усреднение некоторой наблюдаемой по ансамблю конфигураций. В случае распараллеливания этой операции, каждый процессор просто независимо генерирует свою последовательность конфигураций, а итоговый ответ получается просто из усреднения результатов всех процессоров. Таким образом, обмен между разными потоками во время вычислений по сути не нужен и эффективность распараллеливания максимальна.

Другим хорошо разработанным на сегодняшний день методом является подход, предложенный в работах [6, 7]. Здесь вакуумная энергия получается как энергия взаимодействия между мультиполями, сгенерированными квантовыми флуктуациями. Кратко этот метод может описан следующим образом: выписывается эффективный лагранжиан для токов в вакууме (это можно сделать, так как известен лагранжиан для электромагнитного поля, взаимодействующего с токами, и известно, как поле выражается через токи и функцию Грина). Далее 4-векторы токов раскладываются по электрическим и магнитным мультиполям, и действие также переписывается в терминах мультиполей. В численных расчетах, естественно, порядок мультипольного разложения ограничивается. В итоге в теории в континуальных интегралах получаем гауссовы интегралы по мультиполям, которые берутся точно и становится возможным получить энергию в виде бесконечного, но довольно быстро сходящегося ряда, как показано в работе [6]. Недостатки данного метода повторяют недостатки подхода с вычислением функции Грина, с дополнительным замечанием, что этот метод был протестирован только для взаимодействия двух проводящих сфер. Насколько быстро будет сходиться ряд для энергии,,т.е. насколько высокие порядки мультипольности надо будет учитывать для сложных поверхностей, типа реечной передачи (см. рис 1)- в данный момент неясно.

Рис. 1: "Гребенка" - поверхность одной из сторон реечной передачи.

Еще одним численным методом, позволяющим в пределе получить точный ответ, является вычисление энергии Казимира в "wordline" - подходе к квантовой теории поля [10]. Однако этот метод неприменим для диэлектриков, а работает только для идеальных проводников, так там пока разработаны вычислительные приемы, позволяющие определить силу казимировского взаимодействия только при одном типе граничных условий, наложенных на поле: (f>{x)\s = 0 (граничные условия Дирихле)

В качестве приближенного способа оценки силы казимировского взаимодействия используется так называемое "PFA" - Proximity Force Approximation [16]. Это вычислительно очень простой и во многих случаях хорошо работающий способ. Он состоит в следующем: вся поверхность взаимодействующих тел разбивается на бесконечно малые плоскопараллельные участки, как это показано, например, на рисунке 2. Для каждого из этих участков энергия принимается равной энергии казимировского взаимодействия двух плоскостей соответствующей площади. После интегрирования по всей интересующей нас поверхности приближенно получаем полную энергию Казимира. Это простейший вид данного приближения. Иногда рассматривают еще поправ

Рис. 2: Пример разбиения поверхностей для метода РЕА вычисления энергии Казимира. ки к РГА-приближению, получая несколько более точный, но гораздо более сложный алгоритм [17]. В В общем, область применения такого подхода, однако, сильно ограничена. Практически, так можно рассчитывать вакуумные силы только в том случае, если речь идет о телах, разделенных узкой щелью не очень сложной формы. В современных экспериментах уже достигнута достаточная точность, чтобы видеть отклонения от этого приближения [12]. Образец использования этого приближения на примере вычисления энергии взаимодействия плоскости и шара можно найти в приложении 1.

Резюмируя вышесказанное, можно отметить, что все перечисленные методы расчета казимировских сил имеют свои недостатки и пока не сложилось явного доминирования какого-то подхода. Таким образом, новые схемы, обладающие достаточной общностью и простотой могут быть востребованы. Как уже было сказано выше, КТП на решетке представляет из себя инструмент, обладающий необходимой общностью (учет диэлектрической проницаемости, конечной температуры и т.д.). Кроме того, в этой области уже разработано огромное число эффективных вычислительных методов, которые можно было бы применить к новой задаче. Дополнительной мотивацией к выполнению данной работы послужили следующие факты:

1) В основном практические решеточные вычисления до сих пор велись в неабелевых теориях (как правило, Би(2) и 811(3)). Соответственно, для них разработаны наблюдаемые и определена процедура непрерывного предела. Эффект Казимира интересен в первую очередь в электродинамике, и процедура непрерывного предела здесь, как будет показано, нуждается в существенной модификации, по сравнению с традиционными моделями.

2) В последнее время* растет интерес к решеточным наблюдаемым высших размерностей. До сих пор основным объектом в квантовой теории поля на решетке была вильсоновская петля - одномерный интеграл от калибровочного поля по контуру. А уже, например, в работе [11] рассматриваются наблюдаемые размерности 2 (поверхности). Черн-саймонсовское действие представляет из себя интеграл по замкнутой трехмерной поверхности в четырехмерном пространстве, поэтому решеточное представление для него дает пример наблюдаемой размерности 3, причем наблюдаемой, имеющей ясный физический смысл.

3) Черн-саймонсовское действие встречается во многих моделях, относящихся к физике твердого тела. С разработкой решеточного представления для него в некомпактной электродинамике, вообще говоря, появляется инструмент не только для казимировских, но для любых непертурбативных расчетов в моделях с такими поверхностями.

В качестве тестовых рассмотрены простейшие задачи о казимировском взаимодействии двух плоско-параллельных пластин с различными граничными условиями. Эти задачи сравнительно легко исследуются аналитически, что делает их замечательными тестами для предлагаемого метода. Оценки точности нашего метода, полученные из сравнения с аналитическим ответом могут быть использованы для оценки систематической ошибки в более сложных случаях.

В первой части работы обсуждаются общие вопросы постановки задачи о казимировском взаимодействии черн-саймопсовских поверхностей в решеточном формализме. Разрабатывается решеточное представление черн-саймонсовского действия в некомпактной электродинамике на решетке. Определяется наблюдаемая — "Вильсоновский мешок" — аналог вильсоновской петли, позволяющий получать энергию казимировского взаимодействия, также как вычисление вильсоновской петли на решетке дает энергию взаимодействия точечных зарядов. Во второй части описывается, как в некомпактной КЭД на решетке можно описать проводники и диэлектрики, формулируется наблюдаемая для получения энергии основного состояния. Показывается как можно учитывать диэлектрическую проницаемость реальных материалов, зависящую от частоты. В третьей части работы описываются решеточные алгоритмы и комплекс программ, непосредственно реализующий расчеты. Кроме того, в этой главе описывается, формализм деформированной решетки, позволяющий гораздо точнее описывать геометрию задачи и ускорять вычисления. В четвертой части обсуждается непрерывный предел и представляются численные результаты в сравнении с аналитическим ответом. Кроме того, разработанный в первых главах формализм применяется к задаче о реечной передаче. Это задача о казимировском взаимодействии двух гребенок, подобных изображенной на рисунке 1, обращенных зубцами друг к другу. Из-за специфической формы поверхностей энергия Казимира должна меняться при их касательном смещении, именно эти касательные казимировские силы и вызывают интерес. В частности, исследование такой системы отмечено как перспективное в работе [18]. До сих подобные системы рассчитывались только в рамках РЕА - приближения, поэтому проводится оценка насколько это приближение адекватно в действительности. В заключительной части обсуждаются полученные результаты и перспективы дальнейшего применения предлагаемого метода.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Улыбышев, Максим Владимирович

Заключение

В данной работе был предложен метод вычисления казимировской энергии, базирующийся на решеточных вычислениях в КЭД. Метод был разработан для трех видов взаимодействующих тел: для проводников, диэлектриков и для черн-саймонсовских поверхностей.

В случае черн-саймонсовских поверхностей были скомбинировали две идеи: генерация граничных условий дополнительным черн-саймонсовским действием и концепция решеточного "вильсоновского мешка" (решеточное представление замкнутой трехмерной поверхности в четырехмерном пространстве). Эта комбинация дала нам определение квантовой наблюдаемой для казимировской энергии. После этого было разработано решеточное представление черн-саймонсовского действия, и весь подход был протестирован для случая взаимодействия двух плоскопараллельных пластин. Получено хорошее согласие с аналитическим ответом.

Для проводников и диэлектриков также была предложена новая наблюдаемая, позволяющая на решетке получить распределение вакуумного ожидания плотности гамильтониана. Метод был, аналогично черн-саймонсовским поверхностям, протестирован для взаимодействия двух плоскостей. Кроме того, он был применен для исследования задачи о касательных казимиров-ских силах между поверхностями сложной формы. Впервые за рамками РРА-приближения получена энергия казимировского взаимодействия поверхностей сложной формы в зависимости от их касательного смещения.

Большим преимуществом данного подхода является его универсальность при учете геометрии, температурных поправок и электромагнитных свойств тел. В дальнейшем он может быть применен для следующих вычислений:

• Исследование казимировского взаимодействия между поверхностями сложной формы, интересными с экспериментальной точки зрения

• Вычисление температурных поправок к казимировской силе. Это довольно легко выполнять из-за конечного размера решетки по времени — тем самым автоматически моделируется некоторая конечная температура.

• Исследование радиационных поправок при включении в решеточную модель фермионов.

С вычислительной точки зрения дальнейшее развитие данных методов может идти по двум путям.

Первый путь — это обобщение подхода для неабелевых полей. В принципе, так как наблюдаемая 2.11 написана в терминах плакетных переменных, то ее можно точно в таком же виде перенести и в компактные теории, в том числе и в компактные неабелевы теории.

Второй путь — увеличение производительности. Для некомпактной электродинамики здесь есть довольно значительные возможности. Во-первых можно попытаться применить пшШ1еуе1-алгоритмы [40, 41, 42], давно и с успехом используемые в КТП на решетке. Во-вторых, можно воспользоваться тем фактом, что интеграл для наблюдаемых с евклидовым действием в экспоненте 1.7 по сути является гауссовым, так как это действие является квадратичной формой для линковых переменных. Соответственно, зафиксировав калибровку, его можно вычислить и точно, обратив матрицу, определяющую квадратичную форму после фиксации калибровки. Естественно, вид этой квадратичной формы будет зависеть, в общем случае, от вида граничных условий и геометрии взаимодействующих тел, поэтому аналитически один раз и для всех случаев обратить матрицу этой квадратичной формы нельзя. Подсчет количества операций, потребных для обращения матрицы показывает, что при явном учете трансляционной инвариантности системы по времени (тела не движутся) и по одной из пространственных координат, обращение матрицы будет работать быстрее, чем монте-карловское вычисление многомерного интеграла. Так как многие экспериментальные ситуации обладают такими свойствами (например, гребенка трансляционно инвариантна по одному из пространственных измерений), то в разработке такого вычислительно приема есть смысл.

Для черн-саймонсовского действия увеличение производительности (то есть возможность работать с большими Л) может быть получена путем генерирования конфигураций уже с вставленными черн-саймонсовскими поверхностями, при этом плотность вакуумной энергии взаимодействия считается также, как для проводников или диэлектриков — с помощью наблюдаемой 2.11.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Улыбышев, Максим Владимирович, 2010 год

1. E. Buks and M. L. Rouks, Phys. Rev. B63 (2001) 033402.

2. T. H. Boyer, Phys. Rev. A 9(1974) 2078.

3. C.-G. Shao et. al, Phys. Rev. A 74 (2006), 012103.

4. A. Rodriguez et. al., Phys. Rev. A 76 (2007) 032106.

5. A. Rodriguez et. al., Phys. Rev. Lett. 99 (2007) 080401.

6. T. Emig et. al., Phys. Rev. Lett. 99 (2007) 170403.

7. T. Emig and R. L. Jaffe, J. Phys. A 41 (2008) 164001.

8. H. B. Chan et. al., Phys. Rev. Lett. 101(2008), 030401.

9. T. Emig et. al., Phys. Rev. Lett. 96 (2006) 08040.

10. H. Gies, K. Langfeld, L. Moyaerts, JHEP 018 (2003) 0306.

11. H. Neuberger, R. Narayanan arXiv: 1009.3915 hep-lat].

12. K. Milton, J. Phys. A 37 (2004) 209.

13. S. Kahana and G. Ripka, Phys. Lett. B 155 (1985) 327.

14. A. Hosaka and H. Toki, Phys. Rept. 277 (1996) 65.

15. M. Bordag, U. Mohideen and V. M. Mostepanenko, Phys. Rept. 353 (2001) 1.

16. Б. В. Дерягин, И.И. Абрикосова and Е.М. Лифшиц, Quart. Rev. Chem. Soc. 10 (1958) 295; УФН 64 (1958) 493.

17. Во Е. Semelius and С. Е. Ramon-Velazques, Phys. Rev. A 78 (2008) 03214.18 19 [20 [21 [22 [23 [24 [25 [26 [27 [28 [29 [30 [31 [32 [33 [34

18. R. Buscher and T. Emig, Phys. Rev. A 68 (2004) 062101.

19. D. Ceperley, Rev. Mod. Phys. Vol.67 (1995), No 2, p. 279. Chiu et. al., Phys. Rev. B 81 (2010) 115417.

20. A. Lambrecht and V. N. Marachevsky, IJMPA Vol 24 (2009), No 8, p. 1789. N. Seiberg, Phys. Lett. 148 (1984) 456. M. Luscher, Phys. Lett. B 78 (1978) 465. M. Bordag and D. V. Vassilevich, Phys. Lett. A 268 (2000) 75.

21. E. Elizalde and D. V. Vassilevich, Class. Quant. Grav. 16 (1999) 813. M. Marino, Rev. Mod. Phys. 77 (2005) 675.

22. Ю. М. Макеенко, УФН 143 (1984) 6.

23. A. Hasenfratz, Р. Hasenfratz, Nucí. Phys. В 193 (1981) 210.

24. С. Г. Мамаев, Н. Н. Трунов, ТМФ 38 (1979) 345.

25. М. Creutz, В. Freedman, Annals of Physics 132 (1981) 427.

26. E. V. Shuryak, Nucl. Phys. В 242 (1984) 393.

27. P. Majamdar, Nucl. Phys. В 119 (2003) 1021.

28. H. Meyer, JHEP 01 (2003) 038.

29. M. Lusher arXiv:hep-lat/0108014vl.