Дисперсионные силы в слоистых проводящих структурах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Кашапов Рашид Наилевич

• Кашапов Рашид Наилевич
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Кашапов Рашид Наилевич

1.1 Дисперсионные силы

1.2 Графен

Глава 2. Эффект Казимира для набора плоскостей

2.1 Уравнения Максвелла для набора плоскостей

2.2 ТМ мода

2.3 ТЕ мода

2.4 Проводимость

2.4.1 Модель постоянной проводимости

2.5 Энергия Казимира в рамках модели постоянной проводимости

2.6 Предельные случаи для модели с постоянной проводимостью

2.6.1 Идеальная проводимость а ^ то

2.6.2 Малая проводимость а ^

2.7 Случай разных расстояний между плоскостями. Постоянная проводимость

2.7.1 2 плоскости

2.7.2 3 плоскости

2.7.3 4 плоскости

2.8 Сила Казимира

2.8.1 Предел идеальной проводимости а ^ то

2.8.2 Предел малой проводимости а ^

2.8.3 Модель постоянной проводимости

2.9 Полученные результаты

Глава 3. Силы Казимира — Полдера для набора плоскостей

3.1 Вывод аналитического выражения для сил Казимира-Полдера

3.1.1 ТМ мода: Нг =

3.1.2 ТЕ мода: Ег =

3.2 Анализ выражения для энергии Казимира - Полдера

3.2.1 Случай идеальной проводимости а ^ то

3.2.2 Одна плоскость М =

3.2.3 Предел больших и малых а

3.2.4 Бесконечное число плоскостей М ^ то

3.2.5 Предел больших и малых ё,

3.3 Полученные результаты

Глава 4. Энергия Казимира — Полдера при ненулевой температуре

4.1 Вывод аналитического выражения для свободной энергии Казимира - Полдера

4.2 Свободная энергия Казимира для набора плоскостей

4.3 Предел высоких и низких температур

4.4 Полученные результаты

5 Эффект Казимира и Казимира—Полдера для набора гра-

фенов

5.1 Проводимость

5.1.1 Модель постоянной проводимости

5.1.2 Модель Друде-Лоренца

5.2 Энергия Казимира в рамках модели Друде-Лоренца

5.2.1 Предел больших расстояний между плоскостями

5.2.2 Предел малых межплоскостных расстояний

5.2.3 Энергия взаимодействия между слоями

5.3 Численный анализ для энергии Казимира-Полдера

5.3.1 Атомная поляризация

5.3.2 Зависимость от количества плоскостей М

5.3.3 Зависимость энергии от расстояний между частицей

и набором плоскостей

5.4 Полученные результаты

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дисперсионные силы в слоистых проводящих структурах»

Введение:

Силы Ван дер Ваальса/Казимира являются доминирующим механизмом взаимодействия атомов, молекул и тел на расстояниях порядка ~ 0.3 ^ 500 нм, электрически нейтральных и не обладающих дипольным или более высоким мультипольным моментами, когда перекрыванием волновых функций можно пренебречь. Данные силы имеют принципиально квантовую природу, дальнодействующий характер - они убывают с расстоянием по степенному закону [1], [2].

В молекулярных газах, жидкостях, жидких кристаллах, коллоидных растворах и твердых телах силы Ван дер Ваальса/Казимира являются частью межмолекулярных взаимодействий. Например, в коллоидных растворах силы притяжения между частицами суспензии обусловлены силами Ван дер Ваальса/Казимира [3], в то время как силы отталкивания электростатическими силами дисперсных частиц [4].

Взаимодействие между телами на малых расстояниях, когда запаздыванием электромагнитного взаимодействия можно пренебречь, обычно называют силами Ван дер Ваальса. На больших расстояниях эффект запаздывания является существенным, и соответствующие силы называют силами Казимира. В частном случае взаимодействия атомов потенциал притяжения на малых расстояниях обратно пропорционален шестой степени расстояния, тогда как на больших расстояниях падает как седьмая степень расстояния. Параметр, разделяющий малые и большие расстояния, опре-

деляется граничными условиями модели, описывающей поверхность.

Силы Ван дер Ваальса/Казимира использовались для объяснения явлений во многих областях физики, начиная от коллоидных растворов и заканчивая квантовой хромодинамикой и космологией. Однако наиболее значимый эффект эти силы вносят в нанофизику, что и неудивительно, так как именно на наномасштабах сила Ван-дер-Ваальса/Казимира имеет превалирующее значение.

В 2004 г. А. К. Геймом и К. С. Новоселовым [5], [6] был получен моноатомный слой графита, получивший название графена. Его основное отличие от подавляющего большинства остальных материалов, это дву-мерность. Хотя на данный момент известны другие двумерные материалы (фосфорен, силицен), однако их общей проблемой является нестабильность. Графен считается перспективным материалом нового поколения. Это подтверждается присуждением Нобелевской премии А. К. Гейму и К. С. Новоселову за открытие этого материала.

Целью данной работы является исследование взаимодействия Ван дер Ваальса/Казимира в системе с произвольным числом проводящих плоскостей.

Для достижения цели диссертационной работы были поставлены следующие задачи:

1. получить выражение для энергии ВдВ/К набора проводящих плоскостей;

2. получить выражение для силы, действующей на каждую плоскость в наборе проводящих плоскостей;

3. получить выражение для энергии взаимодействия атома с набором проводящих плоскостей;

4. провести анализ полученных выражений для малых и больших расстояний между плоскостями и для разного количества плоскостей в наборе;

5. на основе полученных выражений для энергии ВдВ/К вычислить энергию связи между слоями графита и сравнить полученные данные с экспериментальными;

6. рассмотреть влияние температуры на энергию ВдВ/К для набора проводящих плоскостей.

Объектами исследования являются слоистые структуры, состоящие из проводящих плоскостей, в частности, набор плоских графенов.

Научная новизна работы состоит в получении впервые следующих научных результатов:

1. Для набора равноотстоящих проводящих плоскостей получена зависимость энергии ВдВ/К от числа плоскостей и их проводимости.

2. Получено выражение для силы ВдВ/К, действующей на каждую плоскость в наборе проводящих плоскостей. Показано быстрое уменьшение амплитуды силы при удалении от крайних плоскостей.

3. Исследованы свободная энергия ВдВ/К и энергия адсорбции атома набором проводящих плоскостей. Получены главные низкотемпературные поправки.

4. Показано, что в наборе проводящих плоскостей, при малых расстояниях 4 между ними, энергия ВдВ/К пропорциональна ^-5/2.

5. На основе полученной зависимости энергии ВдВ/К от числа плоскостей и проводимости показано, что энергия связи между слоями графита совпадает по порядку величины с энергией ВдВ/К.

Теоретическая и практическая значимость. Решение рассматриваемых в данном диссертационном исследовании проблем актуально как для фундаментальной физики, так и для дальнейшего развития нанотех-нологий. Общеизвестно, что главной тенденцией нанотехнологий является уменьшение размеров используемых устройств. Последнее повышает роль различных квантовых эффектов, таких как силы Ван дер Ваальса и Казимира. Полученные в диссертации результаты представляют интерес в физике адсорбции молекул, для уточнения структуры графита и взаимодействия между слоями графенов.

Методология и методы исследования. Методология диссертационного исследования базируется на результатах трудов по изучению казими-ровского взаимодействия и состоит в получении дисперсионных уравнений для собственных частот системы параллельных плоскостей путем решения уравнений Максвелла. Методами комплексного анализа аналитически находятся выражения для энергии и силы ВдВ/К для системы параллельных плоскостей. С использованием метода разрежения среды Лифшица аналитически вычисляется энергия взаимодействия атома или молекулы с совокупностью параллельных проводящих плоскостей (энергия Казимира-Полдера).

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Разработан метод вычисления энергии Ван дер Ваальса/Казимира (ВдВ/К) для набора проводящих параллельных плоскостей. На его основе получены аналитические выражения для энергии ВдВ/К набора проводящих плоскостей и силы действующей на отдельную плоскость при нулевой температуре.

2. Получено выражение, описывающее рост энергии ВдВ/К с увеличе-

нием числа плоскостей. В случае конечной проводимости для малых межплоскостных расстояний d получено, что энергия ВдВ/К пропорциональна d-2.

3. Для системы проводящих плоскостей получены общие выражения для свободной энергии ВдВ/К и Казимира-Полдера, которые зависят от числа плоскостей и их проводимости. Для энергии Казимира-Полдера в случае одной проводящей плоскости получено низкотемпературное разложение. Для конечной проводимости низкотемпературная поправка к энергии Казимира-Полдера пропорциональна Т2, а для идеальной проводимости эта поправка совпадает с известной зависимостью Т4.

Апробация. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и научных семинарах: Международная научная конференция по гравитации, астрофизике и космологии (Международная летняя школа по гравитации и космологии) (Казань, КФУ, 2014), Международная научная конференция "Quantum Field Theory and Gravity" 2014 (Томск, 2014), Международная научная конференция "9th Alexander Friedman International Seminar 3rd Symposium on the Casimir Effect" (Санкт-Петербург, 2015), Международная научная конференция "XII th International Conference on Gravitation, Astrophysics and Cosmology" (Москва, РУДН, 2015), Международная научная конференция "Quantum Field Theory and Gravity 2016" (Томск, 2016), Международная научная конференция "Colloquium on Group Theoretical Methods in Physics" (UFABC, Rio de Janeiro, Brasil, 2016), семинары кафедры теории относительности и гравитации Казанского федерального университета.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Основные результаты диссертации получены лично

автором.

Публикации. Основные результаты работы были напечатаны в 6 статьях, опубликованных в журналах списка ВАК [8], [9], [10], [11], [12], [13] и 2-х тезисах конференции [14], [15].

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Полный объем диссертации составляет 129 страниц, включая 21 рисунок. Список литературы содержит 96 наименований.

Глава 1. Современное состояние проблемы, задачи и методы

исследования

1.1 Дисперсионные силы

Первые модели взаимодействия появились вместе с атомистической теорией и сводились к непосредственному зацеплению частичек-атомов, имеющих форму крючков, шариков с зазубринами и т. д. Ньютон отмечает [16] "Мне кажется, что эти частицы имеют не только Vis inertiae, сопровождаемую теми пассивными законами движения, которые естественно получаются от этой силы, но также, что они движутся некоторыми активными началами, каково начало тяготения и начало, вызывающее брожение и сцепление тел...". В девятнадцатом веке были выяснены многие важные факты, обусловленные существованием сил межмолекулярного взаимодействия (Лаплас, Гаусс, Максвелл, Больцман, Ван дер Ваальс и др.).

Эндрюсом были проведены измерения изотерм углекислого газа [17], которые показали значительное отклонение, в области критических точек, от аналогичных кривых в случае идеального газа. Ван дер Ваальс в 1873 году вывел уравнение, которое приближенно описывало результаты Эндрюса,

(1.1.1)

При равенстве нулю параметров а и Ь, мы получаем классическое уравнение состояния идеального газа. Можно говорить, что параметр Ь имеет смысл объема атомов и связан с отталкиванием атомов на малых расстояниях. Наличие параметра а обусловлено силами притяжения атомов. Для двух атомов, обладающих сферической симметрией электронных оболочек, потенциал взаимодействия зависит лишь от расстояния между ними. В дальнейшем эти взаимодействия стали называть ван-дер ваальсовыми. Потенциал взаимодействия изображен на Рисунке 1.1:

Рейганум пытался объяснить природу взаимодействия Ван-дер-Ваальса и в 1912 году исследовал диполь-дипольное межмолекулярное взаимодействие. Однако, как выяснилось, диполь-дипольное взаимодействие зависело не только от ориентации атомов и молекул (в дальнейшем такой тип взаимодействия стали называть диполь-дипольным ориентационным взаимодействием), но и также было обратно пропорционально температуре. Ван-дер-Ваальсовые силы проявляются и при достаточно больших температурах, поэтому ориентационные взаимодействия (диполь-дипольное, квадрупольное и т. д.) не могут полностью объяснить межмолекулярное взаимодействие. С другой стороны, дипольный момент одного атома, молекулы, может индуцировать дипольный момент у другого атома, молекулы (в дальнейшем такой тип взаимодействия стали называть диполь-дипольным индуцированным взаимодействием) [18]. Хотя это взаимодействие по порядку величины уже меньше, но как оказалось, оно не зависит от температуры.

Однако и индуцированные, и ориентационные взаимодействия связаны с наличием у атомов и молекул дипольного момента. Как известно, подобный момент отсутствует у атомов инертных газов, хотя взаимодействие между атомами инертных газов не менее сильно, чем между полярными.

Это очевидно из факта существования кристаллов и жидкостей состоящих из инертных газов.

Окончательно природа межмолекулярных взаимодействий стала ясна после развития квантовой физики. Оказалось, что в силу принципа неопределенности, электронные оболочки атомов и молекул постоянно флуктуируют и даже при сферически симметричном распределении электронной оболочки, атом обладает мгновенным дипольным моментом, который при усреднении равен нулю, но уже усреднение квадрата дипольного момента будет не равно нулю. Качественно это можно понять из того факта, что нижний уровень энергии для осциллятора Е = 2 Нш. Дипольный момент первого атома поляризует второй атом или молекулу, и уже их взаимодействие плюс взаимодействие мгновенного дипольного момента второго атома с индуцированной поляризацией первого дают нужный вклад в межатомные и межмолекулярные взаимодействия, которые оказываются обратно пропорциональны расстоянию в шестой степени. Данные силы в дальнейшем стали называть диполь-дипольными дисперсионными силами. Общее и последовательное нерелятивисткое описание дисперсионных сил между атомами было дано Ф. Лондоном [19].

На расстояниях Я ^ Ао, где - время, за которое существенно изменяются флуктуирующие дипольные моменты системы, мы переходим к

Рис. 1.1: Вид потенциала межмолекулярного взаимодействия.

релятивисткому описанию. Из соотношения Гейзенберга АЪАЕ ~ | следует △ ~ ^, откуда △ ~ ^Т. Таким образом, когда расстояние становится большим, эффекты запаздывания становятся существенны. Казимир и Полдер [20], [21] показали, что в этом случае потенциал взаимодействия оказывается обратно пропорциональным расстоянию в седьмой степени. Эффект запаздывания можно интерпретировать и по-другому. Мгновенный дипольный момент первого атома, который индуцирует поляризацию у второго атома, при наличие эффектов запаздывания индуцирует поляризацию не мгновенно, а с запаздыванием.

Наличие сил притяжения между нейтральными атомами приводит, естественно, к появлению аналогичных сил и между любыми двумя макроскопическими телами, поверхности которых сближены до очень малых расстояний. Однако потенциал взаимодействия между телами можно вычислять как сумму взаимодействий для разных атомов, только в случае разреженных тел. В общем случае поведение сил Казимира/Ван дер Ваальса даже качественно нельзя описывать на основе аддитивного подхода [22], [23]. Это происходит потому, что атомы находясь вблизи друг друга, существенно меняют свойства своих электронных оболочек. Действительно, изменение электрических свойств среды в некоторой области приводит, в соответствии с уравнением Максвелла, к изменению флуктуационного поля и вне этой области. Поэтому, связанная с электромагнитным флуктуациям часть свободной энергии определяется свойствами вещества только в данной точке, приводя к неаддитивности энергии.

В 1948 г. Казимир [1] вычислил взаимодействие между двумя плоскими, идеально проводящими, незаряженными пластинами с учетом запаздывания. Казимир предсказал, что давление между двумя параллельными, нейтральными, бесконечно большими идеальными проводниками имеет

следующий вид:

п2 -с

Р (</) = РМ = - ^ , (1.1.2)

здесь (1 - расстояние между плоскостями, индекс 1(1 - используется для указания идеально проводящих плоскостей.

Уникальностью данной силы является то, что она представляет собой макроскопическое проявление квантовой физики. Дальнейшие иследова-ния показали, что она не зависит ни от масс, ни от зарядов, ни от других констант связи, а только от расстояния между телами и таких характеристик материала, как проводимость и диэлектрическая проницаемость.

Через несколько лет данная сила была измерена экспериментально [24]. Следует отметить, что эксперимент оказался в полном согласии с теорией. Для пластин площадью 1 см2, находящихся на рассотянии ё, = 0.5 мкм сила составила ~ 2 дин.

В дальнейшем, усилия были направлены на расчет сил Казимира при разных конфигурациях границ, для различных полей и топологий [25], различных граничных условий, таких как Дирихле (1.1.3), Неймана (1.1.4) и Робина (1.1.5):

Ф(Г)1* = 0, (1.1.3)

д Ф(Г)

дг

= 0, (1.1.4)

5

= 0, (1.1.5)

5

(«ИФМ +

здесь Ф(г) - некоторое поле, м(г-некоторая функция от координат, а Б -граничная поверхность. Рассматривались задачи с шероховатыми стенками, нестационарными границами и т. д.

В семидесятые годы активно изучался эффект Казимира в космологии, обусловленный отличием пространства от пространства Минковского, вследствие чего изменялся спектр нулевых колебаний. Этот факт имеет

большое значение для проблемы космологической постоянной [26].

Эффект Казимира оказался существенным при описании адронов (модель мешков). Конфайнмент обеспечивался отсутствием токов кварков через мешок, ограничивающий объем адронов, поэтому оказалось возможным вычислить энергию Казимира (для различных полей внутри адрона) и уточнить спектр адронов за счет добавления энергии Казимира.

Сила Казимира оказалась тесно связана с энергией вакуума, поэтому необходимо более подробно раскрыть понятие физического вакуума (в дальнейшем просто вакуум). Нужно различать несколько вакуумов, в зависимости от того, с какими полями они связаны. Так электромагнитное поле, в отличии от классических представлений, имеет состояние с наименьшей энергией (вакуумное состояние). Это является следствием принципа неопределенности. Из соотношений неопределенности Гейзинберга следует, что в состоянии вакуума поля совершают нулевые колебания, которые рассматриваются, как состояния с виртуально возникающими парами частица-античастица (виртуальные частицы). Благодаря неопределенности Гейзенберга, виртуальные частицы существуют очень короткое время. Поэтому, в случае вакуума, энергия электромагнитного поля является суммой энергий виртуальных фотонов, с коэффициентом 2 (из-за неравенства Гейзенберга)

я» = ^ Е ад, (1.1.6)

здесь 3 - обобщенный мультииндекс, а сумма в общем случае может включать и интегрирование. Виртуальные частицы взаимодействуют между собой и со свободными частицами. Так виртуальный фотон может породить электрон-позитронную пару, которая после аннигиляции породит новый виртуальный фотон и т. д. Очевидно, что при наличии внешнего электромагнитного поля (или нетривиальных граничных условий), происходит так

называемая поляризация вакуума (по аналогии с поляризацией диэлектриков).

Поле в вакуумном состоянии не может быть поставщиком энергии, но оно может быть причиной различных наблюдаемых физических явлений. Известно явление Лэмбовского сдвига, когда из-за взаимодействия с виртуальными фотонами изменяется уровень энергии электрона в атоме. Основной вклад в это изменение вносят первые члены суммы (1.1.6). Дело в том, что наиболее многочисленные коротковолновые высокочастотные виртуальные фотоны относительно слабо действуют на электроны, так как при действии быстроменяющейся силы за короткий период электроны сдвигаются незначительно.

Сам Казимир вычислял энергию вакуумных осцилляций при наличии границ. Как известно, поле в квантовой электродинамике представляет собой бесконечный набор осцилляторов. Как выяснилось, в случае вакуума, энергия поля в присутствии нетривиальных граничных условий не равна нулю (после перенормировки).

Однозначность процедуры вычитания расходимостей связана с наличием в эффекте Казимира щели между границами. При наличии щели между границами можно менять расстояние между ними и выделять, таким образом, часть энергии, зависящую от взаимного расположения границ. Именно эту конечную часть энергии и принято называть энергией Казимира для тел, разделенных щелью.

Физически ясно, что для волн, которые во много раз короче расстояния между пластинами, расположение тел не существенно, короткие волны не вносят вклад в интеграл, дающий силу.

В квантовой теории поля энергия определяется с точностью до аддитивной константы. Для получения конечной энергии используется процедура

нормального упорядочения, когда после коммутации операторов рождения и уничтожения в операторах физических величин, и приведения их (операторов рождения и уничтожения) к правильному порядку, оставшаяся после коммутации константа отбрасывается. Благодаря этому бесконечная часть энергии отсутствует. Плотность энергии вакуума становится равной нулю. Можно отметить, что только при нулевых значениях энергии вакуумное состояние инвариантно относительно группы преобразований Пуанкаре. Однако при появлении границ или других отличий от пространства Минковского, эта инвариантность очевидно исчезает.

Стоит отметить, что вакуумные осцилляции используются для объяснения большого количества явлений [3], [27], [28]. Здесь можно отметить и Лэмбовский сдвиг [29] [30], и аномальный магнитный момент у электрона, и многое другое.

Существуют различные подходы для вычисления сил Казимира. Первый подход был использован Казимиром [1] и называется методом суммирования спектра. Второй подход основан на рассмотрении флуктуации межмолекулярных сил. Общая теория межмолекулярных взаимодействий Ван дер Ваальса/Казимира была построена Лифшицем в 1955 году [2], на основе теории флуктуации Рытова [31]. По сути, эти два различных подхода к вычислению сил Ван-дер-Ваальса/Казимира приводят к одинаковым результатам.

В большинстве задач в явном виде найти спектр не удается. Поэтому был предложен метод, позволяющий обойти эту проблему [32]. Если разделить мультииндекс на две части J = (к)], где ] нумерует решения граничных уравнений, то можно найти такую функцию чтобы:

ФЦ*), ) = 0. (1.1.7)

Обычно такой функцией служит детерминант системы граничных урав-

нений.

Представляя (1.1.14), как сумму вычетов и, используя принцип аргумента, можно представить (1.1.14) в виде контурного интеграла. В итоге после интегрирования по частям мы получаем следующее выражение:

го

Ц2 СОБ^я)

Е(й) = ^у ^^ 1п(ф(4)(гА)). (118)

1-2

ил/

(к) 0

Рассмотрим более детально методику суммирования вакуумных осцил-ляций.

Сначала накладываются граничные условия (ГУ). В простейшем случае стандартными ГУ являются условия Неймана (1.1.4), Дирихле (1.1.3) или Робина (1.1.5). Однако для электромагнитного поля ГУ будут иметь более сложный вид, в общем случае ГУ можно представить в виде системы линейных уравнений, условием разрешимости этих уравнений является равенство нулю определителя К(\J,с1) = 0. Решениями этого уравнения являются \J - набор собственных чисел оператора. Эти числа соответствуют частотам нулевых осцилляций вакуума. Поэтому определитель К(\J, с1) можно использовать в формуле (1.1.8).

Ранее отмечалось, что (1.1.6) можно представить в виде интеграла, представляя (1.1.6) как сумму вычетов, соответствующих частотам вакуумных осцилляций. Рассмотрим этот метод более детально [32] .

Применяя принцип аргумента, получаем:

1 '' А^К^А = |> А,| -|>А

(е^) - (Е^)

V ^ ' ФМ,А г)=0 V ^ '

2т ] дХ

7 \ Л / Ф(<*,А7)=0 \ Л / Ф(<*,А7)=го

= (нули функции Л)) — (полюса функции К(с1, Л)). (1.1.9)

На Рис. (1.2) представлены основные этапы преобразования контура. В начале контур просто огибает все нули функции Ф( Л), затем этот контур

трансформируется в полуокружность с бесконечным радиусом и прямую, проходящую по оси ординат. Так как функция Ф( А) удовлетворяет условиям леммы Жордана, вклад от полуокружности стремится к нулю. Для удобства разобъем мультииндекс 3 на ], (п), где ] - нумеруют решения граничных условий, а п - связан с квантовыми числами.

Функция Ф(А), может содержать особенности на комплексной плоскости А, связанные с рассеянием, так и особенности для связных состояний. Если система содержит связные состояния, то их необходимо включить в формулу (1.1.6). В итоге эти связные состояния сократятся с вычетами в соответствующих точках, полученными при обходе контурами этих связных состояний. В итоге регуляризованная энергия может быть представлена в следующем виде:

.,2з

ЕМ = ^ Е(А?,М + т2)1 - =

3,{п

= £ £/(I А( А' + т>) 2 -."ЕШ^ (1.1.10)

(п) 7

Тогда мы получаем

с» . .

Е (») = £/<ЩА2 + т') 9 , (1111)

(п) т

Рис. 1.2: На рисунке изображена комплексная плоскость А, нули функции Ф(А) обозначены крестиком, связные состояния кружочком и контур, огибающий нули функции, направлен против часовой стрелки, т - масса соответствующего поля.

где соб(^ в) возникает из-за многолистности функции (Л2 + т2)2—в. Отметим, что если условию К((1, Л) = 0 тождественно удовлетворяет Л = 0, как тривиальное решение системы линейных уравнений, то в сумме (1.1.6) данное слагаемое отсутствует. По этой причине, необходимо исключить нулевое решение. Это легко достигнуть, домножив условие К(п)(с1 ,Х) = 0 на Л в необходимой степени.

Результат вычисления суммы (1.1.6) оказывается бесконечным, поэтому получившееся выражение 1.1.11 надо перенормировать, чтобы исключить все бесконечные вклады. В обычной квантовой электродинамике (КЭД) без границ, энергия определяется с точностью до аддитивной константы и бесконечная часть просто отсутствует. То есть, в КЭД, на фоне пространства Минковского, энергия вакуума считается равной нулю.

Казимир при вычислении энергии между двумя плоскими идеально проводящими пластинами интерпретировал эту часть как энергию вакуумных осцилляций пространства Минковского. В результате вычитания энергии нулевые колебания вакуума пространства Минковского оставалась некоторая часть, которая оказалась конечной. Это энергия оказывается потенциальной и соответствует притяжению между двумя пластинами.

В дальнейшем появилось несколько методов перенормировки вакуумной энергии. Наиболее известные из этих методов следующие: метод частотного обрезания, метод разделения точек и регуляризация при помощи дзета-функции, размерная регуляризация.

В методе частотного обрезания в сумму (1.1.6) эффективно добавляем экспоненту

Е» = - ^^зе—^. (1.1.12)

Эта регуляризация была использована Казимиром. Параметром регуляризации в этом случае, очевидно, будет 6. Этот метод является разновидно-

стью метода Дирихле для суммирования расходящихся рядов [33].

Метод расщепления точек основан на представлении вакуумного среднего [34] в следующем виде:

(0|((х)2|0) ^ lim G{x,x'), (1.1.13)

х'^х

где х' = х + е. Очевидно, параметр е играет роль ренормпараметра, ((х) -скалярное поле, G(x, хХ) - функция Грина этого скалярного поля.

Метод регуляризации дзета-функции это современный метод перенормировки суммы (1.1.6). Впервые этот метод был предложен Хокингом [35], [36] и независимо Доукером и Критчли [37]. Примеры применения данного метода для сил Казимира описаны в [38]. В рамках данного подхода

неполяризованная энергия имеет следующий вид:

u2s 1

ЕМ = - 2), (1.1.14)

здесь

с( - — 1) = ЕА"( 1—*'. (1.1.15)

является дзета-функцией оператора лапласовского типа, д - размерный параметр. Регуляризованная энергия Е(й) является аналитической функцией от параметра в, ряд в (1.1.14) сходится для в > 1. Чтоб вычислить перенормированную энергию, необходимо найти предел для в ^ 0 в выражении (1.1.14).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кашапов Рашид Наилевич, 2020 год

Литература

[1] Casimir, H. B. G. On the Attraction Between Two Perfectly Conducting Plates / H. B. G. Casimir // Proc. K. Ned. Akad. Wet. — 1948. — Vol. 51. — P. 793-795.

[2] Лифшиц, Е. Теория молекулярных сил притяжения между телами / Е. Лифшиц // ЖЭТФ. — 1955. — Т. 29. — С. 94-110.

[3] Milonni, P. W. The Quantum Vacuum. An Introduction to Quantum Electrodynamics. / P. W. Milonni. — Academic Press, New York, 1994. — 522 p.

[4] Зонтаг, Г. Коагуляция и устойчивость дисперсных систем. / Г. Зонтаг, К. Штренге. — Л:Химия, 1973. — 150 с.

[5] Two-dimensional atomic crystals / K. Novoselov, D. Jiang, F. Schedin et al. // PNAS. — 2005. — Vol. 102, no. 30. — P. 10451-10453.

[6] Electric field effect in atomically thin carbon films / K. Novoselov, A. Geim, S. Morozov et al. // Science. — 2004. — Vol. 306, no. 5696. — P. 666-669.

[7] Materials perspective on Casimir and van der Waals interactions / L. M. Woods, D. A. R. Dalvit, A. Tkatchenko et al. // Rev. Mod. Phys. — 2016. — Vol. 88. — P. 045003.

[8] Хуснутдинов, Н. Эффект Казимира для совокупности параллельных проводящих поверхностей / Н. Хуснутдинов, Р. Кашапов // ТМФ.— 2015. — Т. 183. — С. 491-500.

[9] Khusnutdinov, N. Casimir effect for a stack of conductive planes / N. Khus-nutdinov, R. Kashapov, L. M. Woods // Phys. Rev. D. — 2015. — Vol. 92. — P. 045002.

[10] Kashapov, R. The Casimir effect for planar layered system / R. Kashapov, N. Khusnutdinov, L. M. Woods // Int. J. Mod. Phys. A. — 2016. — Vol. 31, no. 02n03. — P. 1641028.

[11] Khusnutdinov, N. Casimir-Polder effect for a stack of conductive planes / N. Khusnutdinov, R. Kashapov, L. M. Woods // Phys. Rev. A. — 2016.— Vol. 94. — P. 012513.

[12] Khusnutdinov, N. The Casimir energy for two and three layers of graphens / N. Khusnutdinov, R. Kashapov, L. M. Woods // Вестник Томского Государственного Педагогического Университета. — 2014. — Vol. 12. — P. 132-135.

[13] Khusnutdinov, N. Thermal Casimir and Casimir-Polder interactions in n parallel 2d Dirac materials / N. Khusnutdinov, R. Kashapov, L. M. Woods // 2D Materials. — 2018. — Vol. 5, no. 3. — P. 035032.

[14] Хуснутдинов, Н. Р. Эффект Казимира для проводящих двумерных поверхностей // Сборник тезисов:15-я Российская гравитационная конференция. Международная конференция по гравитации, космологии и астрофизике / КФУ. — Казань: Фолиант, 2014.— С. 85.

[15] Kashapov, R. The zeta-function approach for Casimir effect with application to stack of conductive planes. // The Book: Abstracts and All That / CBPF. — Rio de Janeiro: Springer, 2016. — P. 23.

[16] Ньютон, И. Оптика / И. Ньютон; Под ред. Г. С. Ландсберг. — М:Гостехиздат, 1954. — 367 с.

[17] Эндрюс, Т. О. О непрерывности газообразного и жидкого состояния вещества. / Т. О. Эндрюс. — Москва, Ленинград: ГТТИ, 1933. — 124 с.

[18] Дебай, П. Избранные труды. Статьи 1909-1965. / П. Дебай; Под ред. И. Дзялошинский. — М.: Наука, 1987. — 560 с.

[19] Лондон, Ф. Общая теория молекулярных сил / Ф. Лондон // УФН.— 1937. — Т. 17, № 4. — С. 421-446.

[20] Casimir, H. B. G. The Influence of retardation on the London-van der Waals forces / H. B. G. Casimir, D. Polder // Phys. Rev. — 1948. — Vol. 73. — P. 360-372.

[21] Casimir, H. B. Influence of Retardation on the London van der Waals forces / H. B. Casimir, D. Polder // Nature. — 1946. — Vol. 158. — P. 787.

[22] Дзялошинский, И. Е. Общая теория ван-дер-ваальсовых сил / И. Е. Дзялошинский, Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский // УФН. — 1961.— Т. 73, № 3. — С. 381-422.

[23] Бараш, Ю. С. Силы Ван-дер-Ваальса / Ю. С. Бараш. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — 344 с.

[24] Sparnaay, M. Measurements of attractive forces between flat plates / M. Sparnaay // Physica.— 1958. —Vol. 24. — P. 751-764.

[25] Мостепаненко, В. М. Эффект Казимира и его приложения / В. М. Мостепаненко, Н. Н. Трунов // УФН. — 1988. — Т. 156, № 11. — С. 385426.

[26] Зельдович, Я. Б. Космологическая постоянная и теория элементарных частиц / Я. Б. Зельдович // УФН. — 1968. — Т. 95, № 5. — С. 209-230.

[27] Dutra, S. M. Cavity Quantum Electrodynamics. / S. M. Dutra. — A John Wiley and Sons, Inc., Publication, 2005.— 396 p.

[28] Гриб, А. А. Вакуумные квантовые эффекты в сильных полях / А. А. Гриб, С. Г. Мамаев, В. М. Мостепаненко. — М.: Энергоатомиздат, 1988. — 288 с.

[29] Лэмб, У. Е. Тонкая структура водородного атома. I / У. Е. Лэмб, Р. К. Ризерфорд // УФН. — 1951. — Т. 45, № 12. — С. 553-615.

[30] Lamb, W. Р. Fine structure of the hydrogen atom / W. Р. Lamb, R. Р. Retherford // Phys. Rev. — 1947. — Vol. 79. — P. 549.

[31] Рытов, С. М. Введение в статистическую радиофизику. Часть 1. Случайные процессы. / С. М. Рытов. — М.: Наука, Гл. Ред. физ.-мат. лит., 1976. — 494 с.

[32] Bordag, M Casimir energies for massive fields in the bag / M. Bordag, E. Elizalde, K. Kirsten et al. // Phys. Rev. D. — 1997. — Vol. 56. — P. 48964904.

[33] Харди, Г. Расходящиеся ряды / Г. Харди. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1951.— 504 с.

[34] Бирелл, Н. Квантованные поля в искривленном пространстве-времени / Н. Бирелл, П. Девис. — М.: Мир, 1984. — 356 с.

[35] Хокинг, С. В. Общая теория относительности / С. В. Хокинг, В. Из-раэля; Под ред. Я. А. Смородинского, В. Б. Брагинского. — М.: Мир, 1983. — 455 с.

[36] Hawking, S. W. Particle creation by black holes / S. W. Hawking // Comm. Math. Phys. — 1975. — Vol. 43, no. 3. — P. 199-220.

[37] Dowker, J. S. Effective Lagrangian and energy-momentum tensor in de Sitter space / J. S. Dowker, R. Critchley // Phys. Rev. D. — 1976.— Vol. 13. — P. 3224-3232.

[38] Advances in the Casimir effect. / M. Bordag, G. L. Klimchitskaya, U. Mo-hideen et al. — Oxford University Press, 2008. — 749 p.

[39] Бараш, Ю. С. Электромагнитные флуктуации в веществе и молекулярные (ван-дер-ваальсовы) силы между телами / Ю. С. Бараш, В. Л. Гинзбург // УФН. — 1975. — Т. 116, № 5. — С. 5-40.

[40] Nesterenko, V. V. Lifshitz formula by a spectral summation method / V. V. Nesterenko, I. G. Pirozhenko // Phys. Rev. A. — 2012. — Vol. 86.— P. 052503.

[41] Khusnutdinov, N. R. Zeta-function approach to Casimir energy with singular potentials / N. R. Khusnutdinov // Phys. Rev. D. — 2006. — Vol. 73. — P. 025003.

[42] Barton, G. Casimir energies of spherical plasma shells / G. Barton // J. Phys. A: Math. Gen. — 2004. — Vol. 37. — P. 1011-1049.

[43] Barton, G. Casimir effects for a flat plasma sheet: I. energies / G. Barton // J. Phys. A. — 2005. — Vol. 38, no. 13. — P. 2997-3019.

[44] Bordag, M. On the vacuum energy of a spherical plasma shell / M. Bordag, N. R. Khusnutdinov // Phys. Rev. D. — 2008. — Vol. 77. — P. 085026.

[45] Klimchitskaya, G. L. Comparison of hydrodynamic model of graphene with recent experiment on measuring the Casimir interaction / G. L. Klimchitskaya, V. M. Mostepanenko // Phys. Rev. B. — 2015.— Vol. 91.— P. 045412.

[46] Sernelius, B. E. Retarded interactions in graphene systems / B. E. Ser-nelius // Phys. Rev. B. — 2012. — Vol. 85. — P. 195427.

[47] Shtogun, Y. V. Many-body van der Waals interactions between graphitic nanostructures / Y. V. Shtogun, L. M. Woods // J. Phys. Chem. Lett. — 2010. —Vol. 1.—P. 1356-1362.

[48] Fialkovsky, I. V. Finite-temperature Casimir effect for graphene / I. V. Fi-alkovsky, V. N. Marachevsky, D. V. Vassilevich // Phys. Rev. B. — 2011. — Vol. 84. — P. 035446.

[49] Casimir interaction between a perfect conductor and graphene described by the Dirac model / M. Bordag, I. V. Fialkovsky, D. M. Gitman et al. // Phys. Rev. B. — 2009. — Vol. 80. — P. 245406.

[50] Bordag, M Thermal Casimir effect in the interaction of graphene with dielectrics and metals / M. Bordag, G. L. Klimchitskaya, V. M. Mostepa-nenko // Phys. Rev. B. — 2012. — Vol. 86. — P. 165429.

[51] Marachevsky, V. N. The Casimir effect: medium and geometry / V. N. Marachevsky // J. Phys. A. — 2012. — Vol. 45, no. 37. — P. 374021.

[52] Quantum field theoretical description for the reflectivity of graphene / M. Bordag, G. L. Klimchitskaya, V. M. Mostepanenko et al. // Phys. Rev. D. — 2015. — Vol. 91. — P. 045037.

[53] Bordag, M. Enhanced Casimir effect for doped graphene / M. Bordag, I. Fi-alkovskiy, D. Vassilevich // Phys. Rev. B. — 2016. — Vol. 93. — P. 075414.

[54] Bordag, M. Erratum: Enhanced Casimir effect for doped graphene [Phys. Rev. B 93, 075414 (2016)] / M. Bordag, I. Fialkovskiy, D. Vassilevich // Phys. Rev. B. — 2017. — Vol. 95. — P. 119905.

[55] Ландау, Л. Статистическая физика / Л. Ландау, Е. Лифшиц. — М.: Наука, Гл. ред физ.-мат. лит., 1978. — Т. V. — 496 с.

[56] Measurement of the elastic properties and intrinsic strength of monolay-er graphene / C. Lee, X. Wei, W. J. Kysar et al. // Science. — 2008. — Vol. 321, no. 5887. — P. 385-388.

[57] Гейм, А. К. Случайные блуждания: непредсказуемый путь к графену / А. К. Гейм // УФН. — 2011. — Т. 181, № 12. — С. 1284-1298.

[58] Generating quantizing pseudomagnetic fields by bending graphene ribbons / F. Guinea, A. Geim, M. Katsnelson et al. // Phys. Rev. B. — 2010. — Vol. 81. — P. 035408.

[59] Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene / K. Novoselov, A. Geim, S. Morozov et al. // Nature. — 2005. — Vol. 438. — P. 197-200.

[60] Новоселов, К. С. Электронный транспорт в графене / С. В. Морозов, К. С. Новоселов, А. К. Гейм // УФН. — 2008. — Т. 178, № 7. — С. 776780.

[61] Making graphene visible / P. Blake, K. Novoselov, A. Castro Neto et al. // Appl. Phys. Lett. — 2007. — Vol. 91, no. 6. — P. 063124.

[62] Young, A. F. Quantum interference and Klein tunnelling in graphene het-erojunctions / A. F. Young, P. Kim // Nat Phys. — 2009.— Vol. 5.— P. 222-226.

[63] Biased bilayer graphene: Semiconductor with a gap tunable by the electric field effect / E. Castro, K. Novoselov, S. Morozov et al. // Phys. Rev. Lett. — 2007. — Vol. 99. — P. 216802.

[64] Room-temperature quantum hall effect in graphene / K. Novoselov, Z. Jiang, Y. Zhang et al. // Science. — 2007.— Vol. 315, no. 5817. — P. 1379-1379.

[65] Quantum-hall activation gaps in graphene / A. Giesbers, U. Zeitler, M. Katsnelson et al. // Phys. Rev. Lett. — 2007. — Vol. 99. — P. 206803.

[66] Fine structure constant defines visual transparency of graphene / R. Raveendran-Nair, P. Blake, A. Grigorenko et al. // Science. — 2008. — Vol. 320, no. 5881. — P. 1308-1308.

[67] Falkovsky, L. A. Space-time dispersion of graphene conductivity / L. A. Falkovsky, A. A. Varlamov // Eur. Phys J. B. — 2007. — Vol. 56, no. 4. — P. 281-284.

[68] Gusynin, V. P. Transport of Dirac quasiparticles in graphene: Hall and optical conductivities / V. P. Gusynin, S. G. Sharapov // Phys. Rev. B. — 2006. —Vol. 73. —P. 245411.

[69] Gusynin, V. P. Magneto-optical conductivity in graphene / V. P. Gusynin, S. G. Sharapov, J. P. Carbotte // J. Phys.: Condens. Matter. — 2007.— Vol. 19, no. 2. — P. 026222.

[70] Ziegler, K. Minimal conductivity of graphene: Nonuniversal values from the Kubo formula / K. Ziegler // Phys. Rev. B. — 2007. — Vol. 75. — P. 233407.

[71] Ландау, Л. Теория поля / Л. Ландау, Е. Лифшиц. — М.: Физматлит, 2001. — Т. II. — 534 с.

[72] Джексон, Д. Классическая электродинамика / Д. Джексон.— М.: Мир, 1965. — 702 с.

[73] Ландау, Л. Электродинамика сплошных сред / Л. Ландау, Е. Лиф-шиц. — М. Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982. — Т. VIII. — 620 с.

[74] Стрэттон, Д. A. Теория Электромагнетизма / Д. A. Стрэттон. — Москва: Ленинград, 1948. — 539 с.

[75] Drosdoff, D. Casimir forces and graphene sheets / D. Drosdoff, L. M. Woods // Phys. Rev. B. — 2010. — Vol. 82. —P. 155459.

[76] Khusnutdinov, N.Casimir energy for surfaces with constant conductivity / N. Khusnutdinov, D. Drosdoff, L. M. Woods // Phys. Rev. D. — 2014.— Vol. 89. — P. 085033.

[77] Лифшиц, Е. М. Статистическая физика. Часть 2 / Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский. — М.: Наука, Гл. ред физ.-мат. лит., 1978. — 448 с.

[78] Khusnutdinov, N. R. The thermal Casimir-Polder interaction of an atom with a spherical plasma shell / N. R. Khusnutdinov // J. Phys. A. — 2012. —Vol. 45. —P. 265301.

[79] Риекстыныш, Э. Я. Асимптотические разложения интегралов. Т.1 / Э. Я. Риекстыныш. — Рига: Зинатне, 1974. — 392 с.

[80] Риекстыныш, Э. Я. Асимптотические разложения интегралов. Т.2 / Э. Я. Риекстыныш. — Рига: Зинатне, 1977. — 464 с.

[81] Риекстыныш, Э. Я. Асимптотические разложения интегралов. Т.3 / Э. Я. Риекстыныш. — Рига: Зинатне, 1981. — 370 с.

[82] Федорюк, М. В. Асимптотика, интегралы и ряды / М. В. Федорюк. — М.: Гл. Ред. физ.-мат. лит., 1987.— 544 с.

[83] Taft, E. A. Optical properties of graphite / E. A. Taft, H. R. Philipp // Phys. Rev. — 1965. — Vol. 138. — P. A197-A202.

[84] Klucker, R. Anisotropy in the optical transitions from the n and a valence bands of graphite / R. Klucker, M. Skibowski, W. Steinmann // Phys. Status Solidi B. — 1974. — Vol. 65, no. 2. — P. 703-710.

[85] Djurisic, A. Optical properties of graphite / A. Djurisic, E. Li // J. Appl. Phys. — 1999. — Vol. 85. — P. 7404-7410.

[86] Ab initio study of the optical absorption and wave-vector-dependent dielectric response of graphite / A. G. Marinopoulos, L. Reining, A. Rubio et al. // Phys. Rev. B. — 2004. — Vol. 69. — P. 245419.

[87] Tan, S. L. Long-range van der Waals forces between restricted-dimensional metals / S. L. Tan, P. Anderson // Chem. Phys. Lett. — 1983. — Vol. 97, no. 2-3. — P. 23-25.

[88] Бараш, Ю. С. Влияние тонких поверхностных слоев на ван-дер-ваальсово взаимодействие макроскопических тел и свойства жидких пленок / Ю. С. Бараш // Письма в ЖЭТФ. — 1987. — Т. 45. — С. 294296.

[89] Dobson, J. F.Asymptotics of the Dispersion Interaction: Analytic Benchmarks for van der Waals Energy Functionals / J. F. Dobson, A. White, A. Rubio // Phys. Rev. Lett. — 2006. — Vol. 96. — P. 073201.

[90] Prediction of dispersion forces: Is there a problem? / J. Dobson, K. Mclennan, A. Rubio et al. // Aust. J. Chem. — 2001. — Vol. 54. — P. 513-527.

[91] Van der Waals attraction between two conducting chains / D. Chang, R. Cooper, J. Drummond et al. // Phys. Lett. A.— 1971.— Vol. 37.— P. 311-312.

[92] Boström, M. Fractional van der Waals interaction between thin metallic films / M. Boström, B. E. Sernelius // Phys. Rev. B. — 2000. — Vol. 61.-P. 2204-2210.

[93] Schabel, M. C. Energetics of interplanar binding in graphite / M. C. Sch-abel, J. L. Martins // Phys. Rev. B. - 1992. - Vol. 46. - P. 7185-7188.

[94] Van der Waals density functional for layered structures / H. Rydberg, M. Dion, N. Jacobson et al. // Phys. Rev. Lett. - 2003.- Vol. 91.-P. 126402.

[95] Microscopic determination of the interlayer binding energy in graphite / L. Benedict, N. Chopra, M. Cohen et al. // Chem. Phys. Lett. - 1998. -Vol. 286, no. 5-6. - P. 490-496.

[96] Zacharia, R. Interlayer cohesive energy of graphite from thermal desorption of polyaromatic hydrocarbons / R. Zacharia, H. Ulbricht, T. Hertel // Phys. Rev. B. - 2004. - Vol. 69. - P. 155406.