Алгебраические и геометрические свойства систем, получаемых методом сдвига аргумента тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Коняев, Андрей Юрьевич

• Коняев, Андрей Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Коняев, Андрей Юрьевич

1 Введение

2 Предварительные сведения и обозначения

2.1 Принятые обозначения и определения.

2.2 Теорема Жордана-Кронеккера и некоторые ее следствия

2.3 Полные коммутативные наборы и критерий Болсинова

2.4 Представления минимальной размерности и системы корней некоторых простых алгебр Ли.

3 Бигамильтоновы цепочки и обобщенный метод сдвига аргумента

3.1 Бигамильтоновы векторные поля.

3.2 Бигамильтоновы цепочки. Их свойства и теорема существования

3.3 Обобщенный метод сдвига аргумента. Псевдомногочлены

3.4 Обобщенный метод сдвига аргумента и плоские пучки на коалгебрах Ли

4 Секционные операторы

4.1 Определение, теорема существования и явная формула для секционных операторов. Примеры.

4.2 Алгоритм определения секционности оператора.

4.3 Секционные операторы и метод сдвига аргумента. Теорема Мещерякова в общем случае.

4.4 Секционные операторы на коалгебрах фробениусовых алгебр Ли.

4.5 Параметры секционного оператора. Однозначность их восстановления в простом случае

5 Бифуркационная диаграмма и отображение момента для некоторых простых комплексных алгебр Ли

5.1 Функции, полученные методом сдвига аргумента, как функции на ^ 0 0.

5.2 Некоторые свойства сингулярных элементов простых комплексных алгебр Ли.

5.3 Бифуркационная диаграмма и дискриминант спектральной кривой на простой алгебре д

5.4 Метод сдвига аргумента для субрегулярных полу простых элементов простой алгебры Ли. Центры централизаторов элементов такой алгебры.

5.5 Бифуркационная диаграмма £ и дискриминант спектральной кривой И для представления минимальной размерности алгебр з1(п 4-1), зо(2п + 1), зр(2п) и д2.

5.6 Спектральная кривая йо(2п) в представлении минимальной размерности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгебраические и геометрические свойства систем, получаемых методом сдвига аргумента»

Интегрируемые системы на пространствах, двойственных к алгебрам Ли, являются областью, где интенсивные исследования ведутся математиками самых разных специальностей - алгебраистами, геометрами, специалистами по дифференциальным уравнением (более подробный обзор темы можно найти, например, в книге [1]). Главной причиной столь пристального внимания к подобным системам, является тот факт, что сложнейшие динамические эффекты в них оказываются тесно взаимосвязаны как с геометрией потоков, так и с их алгебраическими свойствами.

Одним из основных структур, которые играют определяющую роль в подобных системах являются скобки Пуассона. Рассмотрим действительное многообразие М и кольцо гладких (вообще говоря комплекснознач-ных) функций на этом многообразии, которое обозначим через С°°(М). Говорят, что на многообразии задана скобка Пуассона, если помимо коммутативной структуры кольца, на С°°(М) имеется билинейная кососим-метрическая операция { , }, удовлетворяющая тождеству Якоби {д, /г}} + {К {/, 9}} + {9, Л) = О, V/, д, /г 6 С°°(М) (1) и правилу Лейбница

Ш, Ь} = /{д, Н} + {/, Ь}д, V/, д,Ье С°°(М). (2)

Пару многообразие М и заданная на нем скобка будем называть пуассо-новым многообразием.

Используя тождество Лейбница, достаточно легко можно показать, что для любой пары функций /, д е С°°(М) их скобка Пуассона в локальных координатах имеет вид

9}=<А,6/,йд>1 (3) где (1(1/ и в.д — дифференциалы функций / и д, А — гладкое бивектор-пое поле на многообразии, определение которого не зависит от функций /, д, а треугольные скобки обозначают операцию подстановки в бивектор, как полилинейное отображение, пары ковекторов. Описанный бивектор Л называется тензором Пуассона.

Фактически скобка Пуассона задает на линейном пространстве гладких функций на многообразии структуру бесконечномерной алгебры Ли.

Если скобка двух функций равна нулю, то в силу данного замечания корректно употреблять термин коммутирующие функции. Функции, лежащие в центре этой бесконечномерной алгебры Ли, называются функциями Казимира. Кроме этого отображение sgrad / : С°°(М) —> С°°(М), действующее по правилу sgrad f(g) — {д, /}, для любого / является дифференцированием кольца С°°(М). Отсюда немедленно вытекает, что sgrad / — векторное поле. Всякое векторное поле, представимое в таком виде для некоторой функции /, мы будем называть гамильтоновым, а саму функцию / - гамильтонианом. Иногда нам будет удобно записывать гамиль-тоново векторное поле v в виде v = Adf, (4) где А — тензор Пуассона соответствующей скобки, а сама запись означает подстановку ковектора d/ в качестве первого аргумента в А как в билинейное отображение. Иногда для дифференциального уравнения, записанного в таком виде, применяется термин уравнение Эйлера.

Опишем несколько видов пуассоновых многообразий, которые будут встречаться далее в работе. В первом случае М — вещественное аффинное пространство, а тензор Пуассона соответствующей скобки является постоянным в естественной системе координат, согласованной с векторным пространством, ассоциированным с аффинным. Такой тензор мы будем обозначать через Ас, где индекс с от английского constant.

Во втором случае М — вещественное аффинное пространство, а тензор Пуассона линеен, то есть скобка двух линейных функций является линейной функцией (под линейными функциями понимаются элементы пространства, двойственного к ассоциированному векторному пространству, рассматриваемые как функции на М). Это равносильно тому, что компоненты тензора А (для этого тензора мы не резервируем отдельного обозначения) в естественной системе координат являются однородными линейными полиномами от координатных функций. Хорошо известно, что, если на аффинном пространстве М задана линейная скобка Пуассона, то ассоциированное с ним векторное пространство может быть естественным образом отождествлено с коалгеброй (под коалгеброй мы понимаем пространство линейных функционалов на алгебре без какой-либо дополнительной структуры) некоторой подходящей алгебры Ли д, причем тензор А в координатах оказывается естественным образом связан со структурными константами д: х) = с^хк,х е д*, с^ — структурные константы (отметим, что индексы у тензора Пуассона в данном случае внизу, так как исходным объектом является пространство ковекторов). В инвариантной форме эта формула записывается в виде =< Я, [(А/, ад] >,хе г,/,<7 е причем (1/, 6.д £ 0**, которое естественным образом отождествляется с 0. Подобные скобки получили название скобок Пуассона-Ли. В дальнейшем мы будем опускать термины "векторное пространство ассоциированное с аффинным"и, допуская некоторую вольность, говорить о пуассоновом многообразии д*. Кроме этого, в работе будут встречаться пуассоновы многообразия где д — простая комплексная алгебра Ли. В этом случае будет подразумеваться, что вместо самой алгебры и двойственного к ней пространства мы рассматриваем их овеществления.

Вернемся к определению структур, необходимых для формулировки основных результатов работы. Две скобки Пуассона называются согласованными, если любая их линейная комбинация с постоянными коэффициентами является скобкой Пуассона. Очевидно, что линейная комбинация двух скобок по-прежнему является билинейной кососимметрической операцией на кольце гладких функций, а значит условие согласованности эквивалентно тождеству Якоби для этой линейной комбинации. Обозначим тензоры Пуассона скобок через Л\ и Л2- В этом случае в локальных координатах условие согласованности имеет вид:

ЭАУ Дка 8Л{к л га , дЛ\г л .'¡а дА% лка , дЛ{к л{а , ОЛ'Г л] су п (5)

Тройку многообразие М и две согласованные скобки Пуассона Л\ и Л2 мы будем называть бипуассоновым многообразием.

Одним из наиболее часто встречающихся в литературе примеров би-пуассонова многообразия является следующий. Рассмотрим на д* в дополнение к линейному тензору Пуассона постоянный тензор, который получается из данного замораживанием аргумента. То есть соответствующая ему скобка имеет вид 9} =< а, [с1/, йд] >, а € 0*, /,д Е С°°(М), причем а — некоторый фиксированный элемент коалгебры. Чтобы отличать данный случай от общего, соответствующий тензор Пуассона мы будем обозначать через Ла, где а € 0*. Легко проверяется, что Л и Ла согласованы.

В дальнейшем, однако, мы будем рассматривать не этот классический пример, а более общий случай: на 0* помимо линейной будет задана некоторая согласованная с ней постоянная скобка (фактически некоторый коцикл, во вторых когомологиях алгебры д). Такая скобка в общем случае (достаточно рассмотреть коммутативную алгебру Ли) не задается фиксированным элементом коалгебры.

Прежде чем перейти к методу сдвига аргумента, который фигурирует в заглавии работы, необходимо ввести понятие секционного оператора. Этот термин впервые был введен А.Т.Фоменко для общих алгебр Ли и симметрических пространств (В.В.Трофимова и А.Т.Фоменко [24]).

Частными случаями таких операторов являются оператор, обнаруженный С.В.Манаковым для уравнений движения многомерного твердого тела [17], а также многопараметрические серии операторов фи,ь,п, опи~ санные А.С.Мищенко и А.Т.Фоменко для вещественных и комплексных полупростых алгебр Ли [19]. Чуть позже общие секционные операторы Фоменко были введены им для произвольного линейного конечномерного представления произвольной конечномерной алгебры Ли (например, книга [25]). Оказалось, что семейства общих секционных операторов часто порождают интересные динамические системы на орбитах представлений. Далее А.Т.Фоменко показал, (см. [24]), что в случае симметрического пространства максимального ранга, секционные операторы тесно связаны с тензором кривизны симметрического пространства. При этом само название "секционные операторы "было обусловлено их алгебраическими свойствами. Затем довольно неожиданно оказалось, — это было обнаружено А.В.Болсиновым [10], — что секционные операторы напрямую связаны также с секционной кривизной римановых метрик в проблеме изучеюш геодезических эквивалентных метрик, то есть метрик с общими геодезическими (так что изначально термин "секционные"операторы оказался выбранным очень удачно).

Итак, классическое определение секционного оператора следующее. Рассмотрим полупростую комплексную алгебру Ли 0 и отождествим ее с 0* при помощи формы Киллинга. Самосопряженный относительно формы Киллинга оператор ф : 0 —> 0 называется секционным с параметрами a,b, если он удовлетворяет тождеству фх,а] = [х,Ь\,\/х Е 0. (6)

Рассмотрим квадратичную функцию / = | (</>£, х), где круглые скобки означают скалярное умножение в метрике Киллинга. Благодаря тожеству (6) векторное поле v = Adf оказывается гамильтоновым относительно

Для полупростых элементов а € g, подобные системы получили название систем типа твердого тела. Именно для их интегрирования впервые появился метод сдвига аргумента (в русскоязычной литературе встречается также термин "метод сдвига инвариантов", а в англоязычной употребляется сразу два перевода — argument shift method и argument translation method). В работе C.B. Манакова [17] этот метод был сформулирован в частном случае, когда тождество (6) выполняется для кососимметриче-ских матриц х для симметрических а и 6, с дополнительным условием, что все собственные значения а попарно различны. Явная формула для этого оператора ф : so(n) —> soin) в случае, когда матрица а и 6 одновременно приведены к диагональному виду с а\,., ап и bi,., bn на диагоналях (почему такое приведение возможно, будет понятно из результатов четвертой главы диссертации), имела вид (фХ)^ = где x G so(tl). Позже А.С.Мищенко и А.Т.Фоменко в работах [19] - [20], вскрыли алгебраический механизм интегрирования, который стоял за обнаруженным Манаковым эффектом. Это позволило им проинтегрировать системы, задаваемые сразу несколькими сериями секционных операторов на комплексных и вещественных алгебрах Ли. При этом пример Манакова вошел в так называемую нормальную серию секционных операторов в качестве частного случая.

Перейдем теперь непосредственно к обсуждению метода сдвига аргумента. Опишем сначала его классический вариант. Как и раньше считаем, что задана полупростая (вообще метод верен работает для редук-тивных алгебр Ли, однако всюду далее нам удобно будет формулировать его для полупростых алгебр Ли) комплексная алгебра Ли 0, которая отождествлена со своей коалгеброй при помощи формы Киллинга. Рассмотрим на g уравнение Эйлера, задаваемое квадратичным гамильтонианом / = !(</>£,£•), где ф — секционный оператор с параметрами а, 6. Отождествление с коалгеброй позволяет снабдить кольцо полиномиальных функций на 0 пуассоновой структурой. Центром этой бесконечномерной алгебры Ли является кольцо инвариантов присоединенного представления, которое в случае простой алгебры Ли g представляет собой свободно порожденное кольцо, степень трансцендентности которого совпадает с рангом и, следовательно, индексом д [27]. Обозначим это число через п.

Пусть Ii, .,/п — полиномиальные порождающие этого кольца, степени которых равны di, .,dn соответственно. Рассмотрим следующее разложение di j=о

По сути fij представляет собой j—ю производную Ii вдоль а. Одним из основных результатов работы [19] является доказательство коммутативности функций f^. Более того, оказывается, что, когда а — регулярный элемент алгебры g (централизатор элемента, обозначаемый через да, имеет минимальную возможную размерность, то есть в данном случае п), то дифференциалы функций fij дают полный набор интегралов. Это означает, что в точке общего положения дифференциалы этих функций порождают максимальное изотропное пространство относительно бивектора Л в данной точке. В дальнейшем, однако, вопросы полноты затрагиваться за редким исключением не будут.

Оказалось, что полученные подобным образом функции представляют значительный интерес не только в качестве примера интегрируемых систем, но и как алгебраические объекты. Дело в том, что можно рассмотреть алгебру полиномов с порождающими fij, которую мы обозначим через Т^ (в данном случае верхний индекс означает classical, то есть речь идет о классическом методе сдвига аргумента). Заметим сразу, что подобное обозначение корректно, то есть определение алгебры зависит только от элемента а Е д и не зависит от выбора порождающих в кольце инвариантов: рассмотрим другой набор порождающих в кольце инвариантов 1'п. Известно, что они выражаются полиномиальным образом через Ii, поэтому функции, полученные разложением их в ряд по Л, будут выражаться через fij. Рассуждая аналогичным образом относительно Ii получаем, что определение Т^ действительно не зависит от выбора порождающих. В работе [13] этим подалгебрам было дано название подалгебр Мищепко-Фоменко. Легко видеть, что классический метод сдвига аргумента обобщается на любую алгебру Ли g, для которой кольцо полиномиальных инвариантов коприсоединенного представления свободно порождается некоторым набором Д,., 1п, где п — индекс д.

Полученные алгебры функций обладают большим количеством интересных свойств. Так, Э.Б.Винбергу удалось показать [13], что для случая регулярного полупростого a G g квадратичные функции из этой алгебры можно с сохранением коммутативности поднять в универсальную обертывающую алгебру. В свою очередь Л.Г.Рыбникову [22] удалось сделать это уже для всей Т^ получив тем самым в универсальной обертывающей алгебре квантовый аналог систем типа твердого тела. Кроме этого Тарасову A.A. [40] удалось показать, что в случае регулярных полупростых а получаемая подалгебра является максимальной коммутативной по включению. Позже этот результат был обобщен в работе [41] на случай произвольного регулярного элемента а и алгебр Ли g, удовлетворяющих некоторым геометрическим и алгебраическим условиям. Примечательно, что класс алгебр Ли, удовлетворяющих этим условиям заведомо больше класса полупростых алгебр Л pi.

Кроме изучения свойств полученных объектов интенсивно велась деятельность по обобщению метода сдвига аргумента, как метода получения коммутативных полиномов (помимо описанного ниже существует еще одно обобщение, которое позволяет получать так называемые предельные подалгебры Мищенко-Фоменко, [13] [38], однако в данной работе оно обсуждаться не будет). Легко видеть, что описанная выше схема применима к произвольному (не обязательно полиномиальному) набору инвариантов il, В этом случае, однако, функции Д,- также не являются полиномами (хотя по-прежнему будут коммутировать). Первым эту трудность удалось преодолеть А.В.Браилову, который предложил следующую схему. Рассмотрим в окрестности регулярной точки a G g* произвольной алгебры Ли g гладкие функции Казимира линейной скобки Л (в силу линейности тензора Пуассона их можно выбрать таким образом, что их дифференциалы будут рациональными функциями, хотя в данном случае это не имеет никакого значения). Обозначим их через Ii,., /п, где п — индекс алгебры Ли g, то есть, по сути, коразмерность орбР1ты общего положения коприсоединенного представления. Рассмотрим следующее разложение э то есть мы поменяли в классррческой схеме а и х местами. В отлрхчие от классического метода сдвига аргумента, данный ряд может быть бесконечен, однако полученные функции являются полиномами и коммутируют. Как и в классическом случае, можно рассмотреть алгебру коммутирующих полиномов, порожденную /¿j, которую мы будем обозначать через Т1аос, где loe происходит от английского local, а сам метод будем называть локальным методом сдвига аргумента. Отметим, что обозначение корректно и определение подалгебры не зависит от выбора функций Казимира в окрестности точки а. Действительно, пусть IГп — некоторый отличный от исходного набор независимых функций Казимира в окрестности точки а. Тогда каждая из этих функций некоторым образом выражается через /i,., /п, и, стало быть, ее к—я производная в точке а выражается через производные Д,., 1п степеней, не превосходящих /с, а определение Т1°с действительно не зависит от выбора независимых функций Казимира в окрестности точки а. Кроме этого, легко видеть, что в случае, когда а — регулярный элемент полупростой комплексной алгебры Ли, то Т{ос = 3=1.

Главным недостатком локального метода сдвига аргумента является тот факт, что он позволяет построить коммутативную алгебру полиномов только для регулярных элементов алгебры Ли 0. Эту трудность преодолевает обобщенный метод сдвига аргумента, речь о котором идет в третьей главе диссертации. Для формулировки сути этого метода нам потребуются понятия бесконечных и конечных бигамильтоновых цепочек не бипуассоновом многообразии (встречается также термин бигамильтоновы иерархии) - понятия, пришедшие из теории бесконечномерных гамильто-новых систем, в частности теории солитонов и уравнений Кортевега-де Фриза (пдробный обзор работ на тему бесконечных бигамильтоновых цепочек и их связи с так называемой схемой Ленарда-Магри можно найти в работе [31]). Бесконечную последовательность функций /о, /i, ••• на бипуассоновом многообразии М, Л\, Ai мы будем называть бесконечной би-гамилътоновой цепочкой, если для функций из этой последовательности выполнена следующая система соотношений

О = Ai d/o Ai dfj = A1dfj+1, j> 0.

Конечный набор функций /ь называется конечной бигамилътоновой цепочкой, если для функций из него выполнена следующая система соотношений

0 = Ai d/o /g4

A2áfj - Axdfr+ъ k-l<j>0, y }

7) причем данная последовательность не может быть началом какой-либо более длинной конечной или бесконечной бигамильтоновой цепочки. Оказывается, последовательности по j функциий фигурировавших в определении классического метода сдвига аргумента, задают бигамильтоновы цепочки для А\ = А и Л2 = Аа- Аналогичным образом (только для Ai = Аа и А2 = А) функции из определения локального метода сдвига аргумента также задают подобные цепочки.

Основная идея обобщенного метода сдвига аргумента, о котором речь пойдет ниже, представляет собой в некотором смысле развитие идеи формального метода сдвига аргумента для полей С и R, предложенного К.М.Зуевым и А.В.Болсиновым в работе [11]. Суть формального метода заключается в следующем. Рассмотрим произвольную алгебру Ли g над произвольным полем характеристики нуль. На пространстве полиномов от элементов g можно ввести две пуассоновы структуры А и Аа, аналогично тому, как это делалось ранее (дифференцировать многочлен можно над полем произвольной характеристики). Рассмотрим Ann а — так мы обозначаем централизатор элемента а относительно коприсоединенного действия алгебры Ли q на двойственном к ней пространстве. Элемент а считаем регулярным, поэтому Anna — коммутативен. Сам формальный метод сдвига аргумента представляет собой рекуррентный алгоритм, цель которого -получить набор коммутирующих полиномов (при этом желательно, чтобы дифференциалы которых в точке общего положения порождают пространство, максимально изотропное относительно А). На первом этапе алгоритма берутся линейные функции, то есть элементы /¿о 6 Anna. Затем, на каждом следующем этапе (j > 0) из уравнений Adfl3 = Aadfij+i по уже известным J]j предполагается находить fij+i■ Вообще говоря, данный метод не обязан работать, так как на каждом этапе предстоит решать систему линейных уравнений с вырожденной матрицей коэффициентов, однако в рамках работы [11] К.М.Зуеву и А.В.Болсинову удалось показать, что для регулярного а подобный алгоритм позволяет получать коммутативный набор полиномов (кроме этого в работе был сформулирован критерий полноты подобных систем, то есть условие того, что дифференциалы порождают в точке общего положения максимально изотропное относительно А подпространство). В случае, когда а — регулярный элемент коалгебры комплексной или вещественной алгебры Ли 0*, алгебра, порожденная полученными формальным методом полиномами, совпадает с Раос.

Теперь перейдем к описанию результатов, полученных в данной работе. В третьей главе диссертации формулируется так называемый обобщенный метод сдвига аргумента. Этот метод позволяет всякому постоянному тензору Пуассона Лс на коалгебре произвольной комплексной или вещественной алгебры Ли д поставить в соответствие некоторую коммутативную подалгебру в алгебре всех полиномиальных функций на 0* (иногда, правда, тривиальную), которую мы будем обозначать через Тс и называть обобщенной подалгеброй Мищенок-Фоменко.

Сама алгебра строится рекуррентным образом. На первом этапе берется произвольная полиномиальная функции Казимира /о скобки Лс-На каждом следующем этапе (7 > 0) предполагается решать систему *Дсс1/^+1 = Ад/7. Так как в левой части стоит постоянный тензор Пуассона, то для решения можно использовать метод неопределенных коэффициентов. Алгебра, порожденная fj для всевозможных /о, и есть Тс (по аналогии с Аа, когда постоянная скобка будет задаваться некоторым фиксированным элементом а коалгебры Ли, данную алгебру будем обозначать через По сути данный метод представляет собой небольшую модификацию формального метода сдвига аргумента для нерегулярных элементов а коалгебр произвольных алгебр Ли над 1 и С. Легко видеть, что в случае, когда постоянная скобка задается некоторым регулярным элементом а Е 0*, то Т1°с = Та, а если определена классическая подалгебра Мищенко-Фоменко то С Ра (то есть употребление термина 11 обобщенный"в данном случае оправдано). В остальных случаях, однако, возникает вопрос об условиях, при которых данный метод работает. Выяснению этого вопроса и посвящена большая часть третьей главы диссертации.

В первых разделах; третьей главы рассматриваются вопросы, касающиеся бесконечных бигамильтоновых цепочек на бипуассоновом многообразии М,А\,А2 в самом общем случае. Во-первых, пусть в окрестности точки х е М задана функция Казимира /о скобки А\, когда найдется подходящая бигамильтонова цепочка /о,/¿,.? Во-вторых, если рассмотреть всевозможные функции, входящие в бесконечные бигамильтоновы цепочки, то какое подпространство в Т*М они порождают? Оказывается, ответы на эти вопросы довольно нетривиальны (более того, в работах по бипуассоновой геометрии часто встречаются общие неверные утверждения, касающиеся именно этих вопросов). Рассмотрим пучок пуассоновых структур АА\ + /¿>4.2, А, ц е С. Для формулировки основных результатов нам потребуется теорема Жордана-Кронеккера 2.1, обсуждаемая во второй главе диссертации (эта теорема описывает канонический вид, к которому пару произвольных кососимметрических тензоров можно привести в точке), а также понятие кораспределения — так мы будем называть соответствие х —» Ух С Т*М, х Е М, то есть, по сути, объект, двойственный к распределению. Соответственно будем говорить, что кораспределение гладко (интегрируемо), если распределение V* гладко (интегрируемо). На многообразии М нам потребуется Определим два гладких кораспределения: через обозначим кораспределение, порождаемое дифференциалами функций Казимира всех регулярных скобок пучка, а через В — пересечение кораспределения 71 и кораспределения, порожденного функциями Казимира скобки Л\.

Первое кораспределение заведомо интегрируемо. Функциональная алгебра, дифференциалы элементов которой порождают это распределение хорошо известна - это объединение функций Казимира так называемых регулярных скобок пучка (то есть скобок, коранг которых в точке Р минимально возможный). Подробнее об этом написано, например, в книге[23] - в определении этой функциональной алгебры есть свои тонкости. Относительно интегрируемости второго кораспределения ничего, вообще говоря, сказать нельзя посколько оно представляет собой пересечение двух интегрируемых кораспределений, которому соответствует сумма распределений. В свою очередь, вполне может так случиться, что сумма двух интегрируемых распределений будет распределением неинтегрируемым (достаточно взять два векторных поля в трехмерном пространстве, порождающих неинтегрируемое двумерное распределение). Следующая теорема показывает, однако, что кораспределение В интегрируемо, а также дает ответ на сформулированные выше естественные вопросы

Теорема 1.1 Пусть Р € М — регулярная точка для Л\ и в окрестности этой точки определены функции Казимира, дифференциалы которых независимы и порождают кораспределение Кег^. Кроме этого считаем, что в окрестности Р структура Л\ и Л2 в смысле теоремы Жордана-Кронеккера 2.1 одинакова. Тогда найдется для точки Р найдется такая окрестность, что:

1) В ней существует такая функциональная подалгебра что Т)Я\ = В (то есть кораспределение интегрируемо).

2) Для всякой бесконечной бигамильтоновой цепочки /¿; определенной в этой окрестности, функция /о £ Я\

3) Для всякой / 6 найдется бесконечная бигамилътонова цепочка /{, для которой /о = / и все функции определены на той же окрестности Р, что и /.

4) Дифференциалы функций, входящих во всевозможные бигамиль-тоновы цепочки, начинающиеся в Ох, порооюдают в данной окрестности кораспределение Я

Последний пункт показывает, что в некотором смысле все скобки пучка АД1 + 11А2 равноправны, то есть для построения бигамильтоновых цепочек можно использовать любые две скобки пучка. Кроме этого из данной теоремы легко вытекает, что для регулярной скобки А\ в качестве начала бигамильтоновой цепочки можно брать любую ее функцию Казимира.

Рассмотрим теперь бипуассоново многообразие 0* с А\ — Ас и Ач = А. Как говорилось раньше, нашей целью является получение полиномиальной алгебры поэтому разумно сформулировать естественный вопрос: к какому классу принадлежат функции, которые входят в бесконечные бигамильтоновы цепочки для д*,Ас,А и, если он отличен от полиномов, то какие условия надо наложить дополнительно, чтобы Тс как можно более большой (в каком смысле - станет ясно ниже)?

Снова рассмотрим вопрос в окрестности некоторой точки Р € 0*. Будем говорить, что / - локальный псевдомногочлен па окрестности некоторой точки Р £ д*, если ограничение функции на листы скобки Ас в этой окрестности дает полиномиальные функции. Степенью псевдомногочлена будем называть максимальную степень полиномов, получающихся ограничением на эти самые слои. Тогда выполнена следующая теорема:

Теорема 1.2 Пусть / — псевдомногочлен степени Л и известно, что система

Да/ = Ас&д разрешима. В этом случае

1) Всякое решение д данной системы является псевдомногочленом степени не выше <1 + 2

2) При I > О всякая функция /], входящая в бигамильтонову цепочку (конечную и бесконечную), является псевдомногочленом степени не выше 21.

Из того, что в фиксированной системе координат, согласованной с расслоением скобки Лс (то есть первые п координат задают координаты на трансверсальном к слоям диске, а оставшиеся координаты - на самом слое), функции Казимира Лс представляют собой функции, зависящие от первых п координат, получаем, что данные функции есть псевдомногочлены нулевой степени. Таким образом, все функции, входящие в бига-мильтоновы цепочки (необязательно, кстати, бесконечные), представляют собой псевдомногочлены.

Перейдем ко второй части вопроса: легко видеть, что Тс по сути "полиномиальная часть" функциональной алгебры , то есть все функции из обобщенной подалгебры Мищенко-Фоменко порождают кораспределение, содержащееся в 71. Таким образом, чтобы 3~с была максимально "большой", нужно, чтобы дифференциалы функций из нее порождали все кораспределение 71. Достаточным условием (прояснить необходимость этого условия не удалось) этого, как показывает следствие из теоремы 1.2, доказанное в третьей главе, является полиномиальная порожденность В, то есть существование набора полиномов, дифференциалы которых в некоторой окрестности Р порождают все это кораспределение. Эти результаты завершают исследование вопроса применимости обобщенного метода сдвига аргумента.

Заключительная часть третьей главы посвящена одному очень интересному применению понятрш псевдомногочленов. Будем говорить, что Л Р1 Лс задают кронекеров пучок (смысл этой термршологрш раскрывается во второй главе, где обсуждается теорема Жордана-Кронекера), если все скобки данного пучка, отличные от нулевой, имеют одинаковый ранг. В свою очередь говорят, что пучок пуассоновых структур на бршуассоновом многообразрш плоский в окрестности точки Р, если в некоторой системе координат в этой окрестности обе скобки приводятся к постоянному виду. Вопрос плоскости тех или иных пучков исследовался многими авторами - подробный обзор работ приводится в статье Се1Гапс1 I., Zakharevich I. [31], смотри также [32], [33]. Прр1 этом, как показывала практика, многие согласованные скобки на коалгебрах Ли оказывались плоскими - например, плоскими являются пучки, задаваемые тензорами Л и Ла для регулярного полупростого а на коалгебрах простых комплексных алгебр Ли. До последнего времени, однако, не было ртзвестно прршеров неплоских пучков на коалгебрах, что заставляло многих специалистов высказывать гипотезу о том, что задаваемые Л я Ла пучки всегда плоскрте. В данной диссертации удалось привести пример к этой гипотезе, причем ключевую роль в примере играет следующая теорема.

Теорема 1.3 Пусть на бипуассоновом многообразии д*, А, Лс пучок, задаваемый Л и Лс плоский. Тогда в окрестности точки общего положения локальные функции Казимира А можно выбрать в виде псевдомногочленов степеней не выше 21\,.21}г, где 2ц + 1, ■ •■,2г/с + 1 — размеры кронеккеровых блоков из теоремы Жордана-Кронекера 2.1.

Используя это необходимое условие плоскости, удается привести пример неплоского пучка.

Теорема 1.4 Пучок на коалгебре пятимерной алгебры Ли (в обозначениях работы [29]), задаваемый А и Аа для регулярного элемента а — (1,0,0,0,0) в некотором фиксированном базисе, неплоский.

Четвертая глава работы посвящена изучению квадратичных функций, входящих в Тс, а также обобщению понятия секционных операторов. Начнем непосредственно с определения последних. В отличие от обобщения понятия секционного оператора, проведенного А.Т.Фоменко, как уже говорилось выше, для произвольного представления произвольной алгебры Ли [25] с некоторыми дополнительными условиями на сами параметры секционного оператора, мы проводим обобщение для одного единственного представления - комприсоединенного (именно оно дает естественное обобщение многих бигамильтоновых свойств секционных операторов), однако никаких условий на параметры не накладываем. Итак, симметрическая квадратичная форма ф на линейном пространстве д* называется секционным оператором ф : д* —>■ д, если для некоторых фиксированных элементов а е д* и /? Е д и этой формы для произвольных х е д* и 7 6 0 выполняется тождество: а, [фх, 7] >=< х, {/3,7] > .

Легко видеть, что, в полупростом случае, отождествляя алгебру и коал-гебру при помощи формы Киллинга, данное тождество превращается в [фх, а] = [х,—Ь], где Ь — элемент д, в который при отождествлении алгебры и коалгебры перешел элемент ¡3. Пару а, (3 будем, по аналогии с классическим случаем, называть параметрами секционного оператора. Большая часть четвертой главы посвящена решению вопросов существования секционных операторов, а также описанию их свойств. Образ Ла > д* обозначим через Та, а через N будем обозначать трансверсальное к образу пространство. Кроме этого определим две подалгебры:

1) содержащую аннулятор подалгебру вида

Ьа = {£ € Q | (adja, 77) = 0 для всех 77 <Е д' = [д, 5]}.

2) дАппа = {£ е 0 | [£, Anna] = 0} — централизатор аннулятора Anna, и каждому элементу a Е 0* поставим в соответствие подалгебру да =

ЬаПдАппа.

Теорема 1.5 Необходимым и достаточным условием существования секционного оператора ф с заданными параметрами а Е д*, (3 Е д, является включение /3 Е даВ классической работе А.С.Мищенко и А.Т. Фоменко [19], равно как и для дальнейших обобщений для секционного оператора предъявлялась явная формула. Оказывается похожие формулы существуют и в общем случае. Рассмотрим пространство N — дополнение к Та в В свою очередь в 0** = д возникают пространства Т^ и N1, состоящие из линейных функционалов, зануляющихся на Та и N соответственно. По определению тензора Аа получаем, что определено отображение А~г, действующее из Та в N-1. Обозначение корректно, так как для любого х Е Та верно, что

АаАа —

Теорема 1.6 Пусть х = х\ + x<i Е д* — разложение произвольного элемента х, такое что х\ Е Та, Х2 Е N. Корректно определено omo6paoice-ние А"1 : Та —► N1-. Тогда ф{х) = —а&pA~lxi + A'1 &dpx2 4- Dx где D — произвольный самосопряженный оператор, образ которого содержится в Ann (а). Если ввести обозначения В = —adpA~l : Та g и С = А~1adJ : g* —» N1- и учесть, что (Втг)* = С, то формулу для ф моэюно переписать так: a) ф = Вп + С(id - тг) 4- D, b)ф = С + (id - п*)Втг + D, c) ф = Втг + {Втг)* - тг*Втг 4 D, d) ф = С + С* - тг*С 4 D.

При помощи секционного оператора ф можно определить квадратичную функцию / = т}(фх,х). Рассмотрим уравнение Эйлера на 0* с гамильтонианом /:

Дс1/ = ас\фхх (9)

Относительно данной системы возникает несколько естественных вопросов. Секционные операторы в работах [17], [19],[20] задавали системы, интегрируемые при помощи метода сдвига аргумента, которые также были гамильтоновы относительно скобки Ла. Является ли система уравнений Эйлера на д с квадратичным гамильтонианом, задаваемым общим секционным оператором, гамильтоновй относительно Ла (общие постоянные структуры Лс в данном разделе рассматриваться не будут) или любой другой скобки задаваемого Л и Ла пучка? Какие заведомо имеются интегралы у системы (9) для секционных операторов в общем виде?

Следующие теоремы дают ответ па вопрос об интегрируемости системы (9)

Теорема 1.7 Пусть ф — секционный оператор с параметрами а,(3. Тогда линейная функция /3(х) — {/3, х) является интегралом гамильтоно-вой системы (9).

Теорема 1.8 Пусть для параметров секционного оператора ф выполнено соотношение аё^а = 0. Тогда функции из Та являются интегралами системы (9)

Теорема 1.9 Пусть д — фробениусова алгебра Ли, и ф — секционный оператор с параметрами а и ¡3, причем а € д* — элемент общего положения. Определим оператор В, : д* —д* по формуле В, = АА~Х. Тогда система уравнений Эйлера (9) имеет коммутирующие интегралы вида 9к(х) — Ьг ^(х) и А-(гс); где /¿(ж) — однородный полином степени к + 1, который однозначно определяется равенством (¿/¿(ее) = В,*к{3.

В классической работе Э.Б.Винберга [13] было показано, что в случае классических секционных операторов на полупростой алгебре при условии полупростоты параметра а все однородные квадратичные функции из задаются секционными операторами. Оказывается, аналогичное утверждение верно и в общем случае

Теорема 1.10 Произвольный однородный квадратичный полином f из Та (разумеется, если таковой имеется) задается секционным оператором, то есть представляется в виде f = | < х, фх >, где ф — секционный оператор с некоторыми параметрами а,/3.

Следующие две теоремы отвечают на первый из поставленных выше вопросов, касающийся гамильтоновости потока Adf относительно других скобок пучка пуассоновых структур на д*, задаваемого А и Аа

Теорема 1.11 Пусть для параметров а и (3 секционного оператора ф выполнено соотношение ad= 0; т.е. j3 Е Ann (а). Тогда уравнение (9) может быть записано в виде d (х + Аа) = &в*фххр(х + Аа), т.е. является гамильтоновым относительно скобки А + ХАа с гамильтонианом fx(x) = \{фх, х) — А(3{х), для любого А € С.

Теорема 1.12 Пусть а Е Q* — регулярный элемент и ¡3 Е Anna. Тогда система (9) гамильтонова относительно Аа

Оставшаяся часть четвертой главы посвящена изучению частных свойств секционных операторов. М.В Мещеряковым [18] было показано, что тождество [фх, а] = [х, Ъ] является характеристическим свойством операторов Ф '• 3 5 на полупростых алгебрах Ли, для которых соответствующие уравнения Эйлера х = [фх, х] являются гамильтоновыми относительно всех скобок вида пучка пуассоновых структур, задаваемых А и Аа- Оказывается похожий результат верен для более широкого класса алгебр Ли.

Теорема 1.13 Пусть для некоторого самосопряженного оператора ф уравнениях = &d^xx гамильтоновы относительно Аа, т.е. существует функция Н такая, что ad^Xx = ad^a. Тогда отображение фАа Q —> 9 является дифференцированием алгебры Ли д. В частности, если все дифференцирования алгебры Ли внутренние, то ф — секционный оператор.

Как уже упоминалось выше, в теории проективно эквивалентных метрик оказывается важен вопрос однозначности определения параметров секционного оператора. В рамках работы для простой комплексной алгебры Ли g (а, следовательно, и для всех ее вещественных форм) доказывается следующая теорема.

Теорема 1.14 Пусть ф — секционный оператор с параметрами а:Ь, причем а — регулярный полупростой элемент картановской подалгебры [) и Ь ф Ха. Тогда всякая другая пара параметров р, д для оператора ф получается из данной одновременным умножением элементов а,Ъ на некоторый ненулевой скаляр, то есть р = ¡ла, д = /лЬ для некоторого

А^О.

Как следствие из этой теоремы получается результат, касающийся однозначности определения алгебр Т£

Теорема 1.15 Пусть Т^ = Т^ для некоторого регулярного полупростого а. Тогда р = ¡ла для некоторой константы /л.

Отметим, что доказательство основного факта при этом опирается на замечательное свойство корней простой комплексной алгебры Ли, заслуживающее отдельного упоминания. Рассмотрим набор чисел А = {Аа}аед, в котором элементы занумерованы корнями из Д. Для этого набора на картановской подалгебре можно записать систему линейных уравнений: а(Ь) - Ааа(а) = 0 (10) решением которой будет пара элементов а, Ь € I). Легко видеть, что система избыточна - количество уравнений превосходит количество неизвестных (которых, в данном случае, 2п штук).

Теорема 1.16 Пусть не все числа из набора А равны между собой и система (10) совместна, причем в решении {а, 6} элемент а — регулярен. Тогда всякое другое решение р, д данной системы получается из а, Ъ умножением на скаляр, то есть р = /ла, д = ¡лЪ} где ¡л € С.

Наконец, последним результатом четвертой главы является алгоритм, который позволяет ответить на вопрос: является данная симметрическая билинейная форма на д секционным оператором?

Последняя пятая глава посвящена по сути изучению геометрических свойств Т%. Одним из объектов изучения является бифуркационная диаграмма, которая представляет собой множество сингулярных значений отображения момента. Данное множество мы условимся обозначать через Е. В терминах отображения момента исследовано большое количество как классических интегрируемых случаев — Эйлера, Лагранжа, Ковалевской, геодезический поток на п—мерном эллипсоиде, — так и современных (подробнее смотри книгу [Т]). Кроме этого бифуркационная диаграмма оказывается полезна при вычислении так называемых меченных молекул и атомов - инвариантов интегрируемых по Лиувиллю систем.

Известно, что в случае некоторых действительных систем малой размерности, биффуркационная диаграмма совпадает со спектральной кривой лаксова представления системы, то есть точки диаграммы - это в точности такие значения интегралов, при которых соответствующая кривая Я(Х,/а) = 0 имеет особенность [2]. Кроме этого Ю.А. Браилову [3] удалось доказать следующий замечательный факт: для представления минимальной размерности 5/(п +1) и функций, полученных методом сдвига аргумента для регулярного полупростого а, бифуркационная диаграмма совпадает со спектральной кривой соответствующего лаксова представления системы. В работе Ю.А.Браилова и А.Т.Фоменко [5] была высказана гипотеза о том, что данный результат остается верным для представлений минимальной размерности других простых алгебр Ли.

Бифуркационная диаграмма, как образ некоторого алгебраического множества при полиномиальном отображении из одного линейного пространство в другое, не обязана быть замкнутой, поэтому естественно рассматривать ее замыкание в смысле обычной топологии £. В свою очередь дискриминант спектральной кривой Д~(А,/х), который мы будем обозначать через И2 (в обоих случаях 2 — не параметр, а просто индекс), также не обязан быть замкнутым множеством, так как из текста станет ясно, что он представляет собой образ проекции алгебраического множества из

СН+2 в СЛГ

Теорема 1.17 д обозначает одну из четырех изучаемых алгебр: б1(п + 1), яо(2п-|-1), зр{2п) и £/2 • Пусть р — представление д минимальной размерности, элемент а € д — регулярный (необязательно полупростой), в кольце инвариантов $ фиксированы порождающие II,., 1п — некоторые непостоянные коэффициенты характеристического многочлена представления минимальной размерности (они подробно описываются в пятой главе), а функция порядка произвольна. Пусть — дискриминант спектральной кривой Дг(А, /¿) = 0; определенной по этим параметрам. Тогда для замыкания бифуркационной диаграммы I] отображения момента Ра, также построенного по эти параметрам, выполнено: Ё

Теорема 1.18 Пусть теперь д = 5о(2п) и а — регулярный элемент такой, что пфаффиан на нем в представлении минимальной размерности не обращается в ноль. Тогда дискриминант Д^ спектрально кривой Дг(А,//) = 0 совпадает со всем пространством

В рамках доказательства этой теоремы использовалась методика, изначально применявшаяся В.В.Тарасовым для доказательства максимальности Т^- В частности, как следствие, удалось доказать следующие интересные алгебраические факты.

Теорема 1.19 Пусть а — субрегулярный полупростой элемент простой комплексной алгебры д.

1) Т^ свободно порождена и алгебраически замкнута как подкольцо в кольце многочленов от элементов д.

2) Подалгебра Та, построенная обобщенным методом сдвига аргумента, совпадает с Т

Теорема 1.20 Пусть д — простая комплексная алгебра Ли, а (Е ^ — полупростой элемент, а Д, .,/п — порождающие кольца инвариантов присоединенного представления данной алгебры. Тогда д.1\(а),., б.1п(а) порождают центр централизатора да.

Как оказалось, последний факт не верен, если отказаться от условия полупростоты: удалось показать, что подобное свойство не выполнено для субрегулярного нильпотентного элемента алгебры #2. В связи с данным результатом, естественно возникает вопрос: что за пространство порождают дифференциалы инвариантов и когда оно совпадает со всем центром.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Коняев, Андрей Юрьевич, 2010 год

1. Борисов А.В., Мамаев И.С., Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике // 470 стр., Москва (1999)2¡ М. Audin Spinning Tops: A Course Of Integrable Systems. // Cambridge University Press, 150 стр. (1999)

2. Браилов Ю. А. Геометрия сдвигов инвариантов на полупростых алгебрах Ли.// Математический сборник РАН, т 194, №11, стр. 2-16 (2003)

3. Brailov A.V., Complete integrability with noncommuting integráis ofcertain euler equations // Lecture Notes in Mathematics, Volume 1214, 1986

4. Болсинов А. В. Согласованные скобки Пуассона на алгебрах Ли иполнота семейств функций в инволюции // Изв. АН СССР. Сер. матем., 55 (1991), вып. 1, 68-92.

5. Болсинов А.В., Фоменко А.Т., Интегрируемые гамильтоновы системы // Ижевск, 2 тома, 1999.

6. Болсинов А. В. Полные инволютивные наборы полиномов в пуассоновых алгебрах: доказательство гипотезы Мищенко Фоменко // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. 2005, вып. 26, М.: МГУ стр. 87-109

7. Bolsinov А.V., Oshemkov A. A., Bi-Hamiltonian structures andsingularities of integrable systems // Regular and Chaotic Dynamics, Volume 14, Numbers 4-5, 2009

8. Bolsinov A.V., Kiosak V., Matveev V.S., A Fubini theorem for pseudoRiemannian geodesically equivalent metrics // Journal of the London Mathematical Society, vol 80. 2009, pp. 341-356

9. Болсинов А. В., Зуев К. M. Формальная теорема Фробениуса и методсдвига аргумента // Матем. заметки 2009,т. 86 номер 1, стр. 3-13

10. Винберг Э.Б., Онищик А.Л., Семинар по группам Ли и алгебраическим группам // Москва, 1988, 344 стр.

11. Винберг Э. Б. , О некоторых подалгебрах универсальной обёртывающей алгебры. // Изв. АН СССР Сер. Мат., 54. №1 М. 1990, стр. 3-25

12. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: методы и приложения // 2-е изд. М.: Наука, 1986.

13. Dubrovin В., Bihamiltonian structures and Frobenius manifolds, LectureCourse Notes, Summer School and Conference on Poisson Geometry, ICTP, Trieste, 04-22 July 2005

14. Джекобсон H. Алгебры Ли // Москва: Издательство "Мир", 355 стр.1964)

15. Манаков C.B. Замечание об интегрировании уравнений Эйлера динамики n-мерного твердого тела// Функц. анализ и его приложения, 10(1976), вып. 4, 93-94.

16. Мещеряков М.В., О характеристическом свойстве тензора инерциимногомерного твердого тела // УМН, 38(1983), вып. 5 (233), 201202.

17. Мищенко A.C., Фоменко А.Т. Уравнения Эйлера на конечномерныхгруппах Ли // Известия АН СССР, 42(1978), вып. 2, 396-415.

18. Мищенко A.C., Фоменко А.Т. Интегрируемость уравнений Эйлерана полупростых алгебрах Ли // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. М.; изд-во МГУ, 1979, вып.19, с. 3-94.

19. Прасолов В. В., Многочлены // 2-е изд. М.: МЦНМО, 336 стр. (2001).

20. Рыбников Л. Г., Метод сдвига инвариантов и модель Годена //Функц. анализ и его прил., 2006, т.40, номер 36 стр. 30-43

21. Трофимов В. В. Фоменко А. Т. Алгебра и геометрия интегрируемыхгамильтоновых дифференциальных уравнений // М.: Факториал, 1995

22. Трофимов В.В., Фоменко А.Т. Групповые неинвариантные симплектические структуры и гамильтоновы потоки на симметрических пространствах// Труды семинара по векторному и тензорному анализу. М.; изд-во МГУ, 1983, вып. 21, 23-83.

23. Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения.М.: Издательство МГУ, 1988, 414 с.

24. Фоменко А. Т., Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы // Ижевск: Ижевская республиканская типография, 252 стр. (1999)

25. Хамфрис Дж., Введение в теорию алгебр Ли и их представленийМосква: МЦНМО, (2003)

26. Kurtzke Jr. J. F., Centralizers Of Irregular Elements In ReductiveAlgebraic Groups // Pacific Journal Of Mathematics, vol. 104, №1 (1983) стр. 133-154

27. Patera J., Sharp, R. T., Winternitz, P., Zassenhaus, H. Invariants of reallow dimension Lie algebras // J. Mathematical Phys. 17 (1976), no. 6, 986-994.

28. Короткевич А. А. Интегрируемые гамильтоновы системы на алгебрахЛи малой размерности // Мат. сборник, 200:12 (2009), 3-40.

29. Gelfand I.M., Zakharevich I., Webs, Lenard schemes, and the localgeometry of bi-Hamiltonian Toda and Lax structures // Selecta Mathematica, New Series, Vol. 6, №2, 2000.

30. Zakharevich I., Kronecker webs, bihamiltonian structures, and themethod of argument translation // Transformation Groups, Volume 6, Number 3, 2001, pp. 267-300

31. Turiel F.J., Classification Locale Simultane de Deux FormesSymplectiques Compatibles // manuscripta math. 82, 349 -362 (1994)

32. Элашвили А.Г., Фробениусовы алгебры Ли // Функц. анализ и его