Структура операторной алгебры, порожденной коммутативной алгеброй и отображением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Патрин Евгений Владимирович

• Патрин Евгений Владимирович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Патрин Евгений Владимирович

Список обозначений

Введение

1 Алгебра Ш^

1.1 Порождающее семейство частичных изометрий

1.2 С*-алгебра, порождённая отображением

1.3 Алгебра мультипликаторов

1.4 Определение алгебры Ш^ и структура

гильбертова пространства ¡2(Х)

2 Структурные свойства алгебры Ш^

2.1 Полугруппа мономов алгебры Ш^

2.2 алгебры Ш^

2.3 Ковариантные системы, ассоциированные с алгеброй Ш^

2.4 Тензорное произведение С*-алгебр, ядерные С*-алгебры

2.5 Блочные подалгебры алгебры Ш^

2.6 Условные ожидания в алгебре Ш^

2.7 Ядерность Ш^

3 Подалгебры и идеалы алгебры Ш^

3.1 Неподвижные подалгебры алгебры Ш^

3.2 Структура скрещенного произведения на алгебре Ш^

3.3 Идеалы в алгебре Ш^

3.4 Фактор-алгебра алгебры Шv по идеалу компактных операторов

3.5 Некоторые примеры алгебр Шv

Литература 102 Публикации автора по теме диссертации

Список обозначений:

Всюду в работе М, Ж, Ъ+ обозначают множества натуральных, целых и целых неотрицательных чисел соответственно, а С — поле комплексных чисел.

М ► — начало и конец доказательства А, В — произвольные С*-алгебры Х

А - С. 35 Ш^ - С. 42 Ш^ - С. 87 М(Х) - С. 39 Ы] - С. 38 Т^ - С

и _ с

врее(А) — спектр оператора А зр(/) _ с.до — спектр функции ]

а _ С

дх - С. 30 ф _ с. 30 ф-1[х] - С

ф-к[у] _ с

г - С. 58 р ^ ^ — С

скалярное произведение в гильбертовом пространстве

Введение

Общая характеристика работы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Структура операторной алгебры, порожденной коммутативной алгеброй и отображением»

Актуальность темы

Данная работа посвящена описанию структуры операторных алгебр, порожденных отображением и коммутативной алгеброй. Отправным пунктом является отображение произвольного счётного множества в себя, определяющее на пространстве /2-фупкций, заданных на этом множестве, оператор обратного образа, порождающий, в свою очередь, часть множества образующих. В качестве коммутативной алгебры берется алгебра мультипликаторов, порождённая алгеброй ограниченных функций на заданном множестве.

Толчок к исследованию операторных алгебр дали работы Мюррея и фон Неймана [41],[57],[58], где исследовались слабозамкнутые операторные алгебры (впоследствии названные алгебрами фон Неймана) и давалась первоначальная классификация факторов алгебр фон Неймана с тривиальным центром. В качестве примеров они рассматривали различные алгебры, отвечающие группе (унитарных операторов) и коммутативной алгебре (мультипликаторам). В современной терминологии такие алгебры трактуются как скрещенные произведения по некоторой динамической системе. Такие (групповые) системы возникают в математической физике при рассмотрении задач, связанных с обратимыми процессами (см., например, об-

зор [67]).

Первым примером С*-алгебры, порожденной изометричным, но не унитарным оператором, явилась алгебра Тёп лица. Согласно классическому определению алгебра Тёплица есть С^-подалгебра алгебры всех ограниченных операторов на пространстве Харди, порожденная всеми тёплицевыми операторами, которая совпадает с минимальной С*-подалгеброй, содержащей оператор умножения на г. Согласно теореме Кобурна [9],[10], алгебру Тёплица можно вложить в любую С*-алгебру, содержащую неунитарную изометрию. Поэтому ее можно рассматривать как универсальную алгебру, порожденную образующей U с соотношением U*U = I. Существует и появляется до сих пор огромное количество обобщений алгебры Тёплица. Большинство из них связано с исследованием С*-алгебр, порожденных коммутативной полугруппой изометрий. Можно упомянуть работы Дугласа, Мерфи, Давидсона и целый ряд других работ [3],[6],[15],[20],[27],[28],[29],[40],[60].

В ряде работ исследовались алгебры, порожденные некомму тирующим семейством изометрий [31],[62]. В недавней работе [35] X. Ли исследовал алгебры, порожденные некоммутативной полугруппой P с левым сокращением и единицей. Подобное внимание прежде всего объясняется возможностью приложений в математической физике, в частности к решению задач, связанных с необратимыми процессами в квантовой физике (см., например, [26],[42],[66]).

Исследования скрещенных произведений, отвечающих полу групповым динамическим системам, были инициированы работами В.А. Арзуманяна и A.M. Вершика [2],[61],[62]. Алгебру Арзуманяна-Вершика [23] можно определить как регулярное представление алгебры, порожденной бицикл и ческой полугруппой и коммутативной алгеброй.

Кунц в [12] впервые начал исследовать алгебру ОП7 п £ (М \ {1}) и порожденную семейством некомму тирующих изометрий, чьи проекторы на конечное подпространство в сумме дают единицу. С этой пионерской работы начались исследования алгебр, порожденных как изометриями, так и частичными изометриями, удовлетворяющими некоторым соотношениям.

Одним из обобщений является С*-алгебра Оа7 порожденная операторами частичной изометрии и2, ..., ип, удовлетворяющих соотношениям

п

и* и = Ащии* ■ Здесь А — п хп матрица, состоящая из нулей и единиц. 3=1

Если матрица А является единичной, то алгебра О а совпадает с алгеброй Купца Оп. Алгеб ра О а возникает при изучении топологических марковских цепей [13] и называется алгеброй Кунца-Кригера.

В работе [46] Пимзнер предложил новое семейство С *-алг ебр Ом, которые порождаются с помощью гильбертова бимодуля М над С * -алгеброй А. Эти алгебры обобщают алгебры Кунца-Кригера. Алгебры Кунца-Пимзнера исследовались во многих работах, в частности [17],[18],[33],[36],[47],[48].

Можно также упомянуть работы [7],[22],[37],[38]. Алгебры Теплица, Купца, Кунца-Кригера и Кунца-Пимзнера, так же как и алгебры, ассоциированные с операторами под сдвига [37], [38] могут быть представлены в виде граф-алгебр. Это алгебры, порожденные ориентированными графами в том смысле, что дуги и вершины графа интерпретируются как частичные изометрии, порождающие алгебру, с определенными графом соотношениями на проекторы на начальные и конечные подпространства [17],[32],[48]. Другое активно развивающееся направление исследований связано с

Оп

(доказывая единственность и простоту), Кунц в [12] рассматривал ее как скрещенное произведение иН^-алгебры по эндоморфизму по аналогии с

обычным скрещенным произведением. Пашке в [43] обобщил результат, используя ту же стратегию. Эндоморфизмы С*-алгебр стали использоваться различными авторами, например [19],[62]. Стэйси в [53] охарактеризовал скрещенное произведение в терминах ковариантного представления. Скрещенное произведение по полугруппе эндоморфизмов рассматривалось, например, в [5], [11]. В работах [21],[39],[52] рассматривалось частичное действие групп и частичное скрещенное произведение. В статье [1] предложен еще одна обобщающая конструкция, где эндоморфизм С*-алгебры строится с помощью оператора частичной изометрии.

В данной работе исследуется С*-алгебра Ш^, которая является обобщением С*-алгебры порожденной отображением р на счётном множестве X. Понятие С*-алгебры, порожденной отображением было введено в работах [24], [64].

Алгебра Ш^ является операторной алгеброй, порожденной семейством частичных изометрий и алгеброй мультипликаторов, или, что то же самое, полугруппой (с некоторой системой соотношений на образующие) и максимальной коммутативной подалгеброй. Исходными данными являются заданное отображение счётного множества в себя, определяющее на пространстве I2 оператор обратного образа индуцирующий семейство частичных изометрий, которое, вместе с мультипликаторами, составляют множество образующих. При этом проекторы на начальные и конечные подпространства частичных изометрий удовлетворяют определенным соотношениям.

Также можно сказать, что отображение р : X —> X порождает динамическую систему (Х,5,р)7 где 5 — считающая мера, 5(х) = 1 для всех х £ X.

Цель работы

Целью данной работы является исследование структуры операторной алгебры Шр, а также структуры ее фактор-алгебры Шр по идеалу компактных операторов.

Методика исследования

В работе применяются методы функционального анализа, гармонического

С

раторов.

Научная новизна

С

ми специального вида. В данной работе в динамической системе (X, 6, ф) отображение ф в общем случае не сохраняет тип меры.

Кроме того, алгебра содержит как подалгебру алгебру которая в некотором смысле может быть отнесена к алгебрам, порожденным семейством операторов частичной изометрии с соотношениями на соответствующие проекторы. В отличии от многих алгебр, порожденных частичными изометриями, не является граф-алгеброй.

Теоретическая и практическая значимость

С

денным конечным или счетным семейством частичных изометрий и максимальной коммутативной подалгеброй. Рассматриваются различные кова-риантные системы, ассоциированные сШр, и, соответственно, градуировки.

порожденные этими системами. Показывается, что эти алгебры являются ядерными. Рассматриваются некоторые примеры, в частности, показано, что для инъективного (не биективного) отображения алгебра Ш^ представляется в виде М(Х)Т, где М(Х) — максимальная коммутативная подалгебра в В(12(X)) и Т — алгебра Теплица. Полученные результаты могут быть использованы в теории операторных алгебр, а также в различных приложениях квантовой физики.

Апробация работы

Основные результаты данной работы были доложены на:

• Десятой международной Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы», Казань, 1-7 июля 2011 г.

•

конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы», Казань, 22 28 августа 2013 г.

2013г.

блемы естественных и гуманитарных наук», Зеленодольск, 2013 г.

• Двенадцатой международной Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы», Казань, 24 июня 4 июля 2015 г.

Публикации

По теме диссертации опубликовано восемь работ, в том числе четыре статьи в изданиях из списка ВАК. Соответствующий список приведен в конце работы.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, указателя обозначений, указателя терминов и списка литературы. Общий объем диссертации 112 страниц. Библиографический список содержит 69 наименований.

Результаты, выносимые на защиту

На защиту выносятся следующие основные результаты

1. Установлены основные свойства исследуемой алгебры.

2. Построены ковариантные системы на алгебре с действиями единичной окружности и бесконечномерного тора, получены соответствующие градуировки.

3. Определена структура неподвижных подалгебр относительно действия единичной окружности и бесконечномерного тора автоморфизмами алгебры

4. Определены главные идеалы фактор-алгебры Шу по идеалу компактных операторов. Описана структура центра фактор-алгебры.

Основное содержание работы

Первая глава носит вводный характер и состоит из четырех параграфов. В ней вводится основной объект исследования.

В первом параграфе вводится семейство частичных изометрий, являющееся частью множества образующих исследуемой алгебры. Дано отображение р : X —> X действующее на заданном счетном множестве X с конечной мощностью прообраза для любого элемента: Ух £ X, саМ(р_1[х]) < то, и отсутствием циклических элементов: Ух £ X, Уп £ М, роп(х) = х. В гильбертовом пространстве ) = {/ : X ^ С : ^ (х)\2 < то}, со

х£Х

стандартным скалярным произведением, оно порождает оператор : ) —> ) : Тр(/) := / о р — обратный образ р. Этот оператор, вообще говоря, неограничен, но замыкаем\ (Теорема 1.1.2.) Он, в свою очередь, порождает семейство частичных изометрий {Пк : к £ ърес(Ту*Ту) \ {0}} в ) и сам выражается через это семейство формулой: Ту = ^ у/к Пк) (Теорема 1.1.6.). Справедливы

кезрес(Т,/ Т^)\{0} соотношения: * = 0, при % =

Во втором параграфе описывается С*-алгебра порожденная этим семейством частичных изометрий. Эта алгебра ранее изучалась в работах [24],[64]. Основные понятия, которые использовались при её изучении, используются и в настоящей работе. Таковыми являются понятия элементарного монома как элемента семейства {Пк, Пк* : к £ ^рес(Ту*Ту) \ {0}}, монома конечного произведения элементарных мономов, индекса: по-

лагая для элементарных мономов ) := 1, ind(Uk*) := —1, индек-

сом т^У) ненулевого монома V называется сумма индексов элементарных мономов, участвующих в его представлении. Индекс нулевого монома полагается равным нулю. С*-алгебра А^ является ^-градуированной:

= ф (Лемма 1.2.1.), где А^пП — подространство порожденное мо-

иеъ

номами индекса п. Подалгебра А^о _ являет ся ЛЕ-подалгеброй^ (Лемма 1.2.2.) С*-алгебра А^ является ядерной, (Теорема 1.2.4.).

С

М(Х).

Рассмотрим С * -алгебру /ТО(Х) — ограниченных функций на множестве

Х

мерной нормой. Каждая функция ¡' из /ТО(Х) порождает оператор — мультипликатор

И1 : 12(Х) —^ 12(Х); И1 (д) := ¡д, где д £ /2(Х).

Отображение ¡' ^ М/ является точным *-представлением М : /ТО(Х) —> В(12(Х)), сохраняющим норму: \\М$|| = \Ц\\то. Алгебра мультипликаторов М(Х) — это образ алгебры ¡Ж(Х) при этом представлении. Алгебра М(Х) коммутативна.

Алгебра М(Х) является максимальной коммутативной подалгеброй в В(12(Х)), (Теорема 1.3.1.)-

Элементы семейства частичных изометрий {ик : к £ врес(Т^ *Т^) \{0}} в /2(Х), определенных в предыдущем параграфе взаимодействуют с операторами из алгебры М(Х) относительно умножения следующим образом:

икМ) = МтМ)ик, М1 ик* = ик*Мад, и*М)ик = Мфк(Леммы 1.3.4. и 1.3.5.), где отображение фк : ¡Ж(Х) —> ¡Ж(Х), определяется так:

7 Е / {у), сж^р 1[х}) = к, Фк{/){х):= { к

0, сат6.(р-1 [х]) = к

В четвертом параграфе определяется основной объект исследования данной работы С*-алгебра и описывается строение гильбертова пространства 12{Х).

Обозначим через Шу С*-подалгебру В{¡2{Х)), порожденную алгеброй М{Х) и семейством операторов частичной изометрии {ик

Алгебра М{Х) является максимальной коммутативной подалгеброй в Шу, (Теорема 1.4.1.)

Пространство 12{Х) разлагается в ортогональные прямые суммы подпространств инвариантных для операторов Ту*Ту : I2{Х) ~ ф 12{Хк),идля

keZ+

TVTV* : l2(X) =0 /f, где Vk e Z+, Xk := {x e X : card(p-1 [x]) = k},

keZ+

(мы полагаем l2(0) := {0}). l2(Xk) & {f e l2(X) : (Tv>*Tv>)(f) = kf}, и Vk e N, l2k := {f e l2(X) : (TvTv*)(f) = kf} = {f e l2(X) : supp(f) С

p 1[Xk] & Vx e Xk, f\v-i[x] = const}. Также полагаем: lf := (ф lf)

keN

Для всех x e X : p-l[x] = 0, векторы ex := -. ^ Sy об-

y/caid(p-1[x]) yev-1X]

разуют ортонормированный базис для lf^^i[x])- Здесь Sx e l2(X) : Vx,y e X, Sx(y) = Щ, символ Кропекера, образуют естественный ортонормированный базис пространства l2(X). Действие операторов частичной изометрии на базисных элементах имеет вид:

тт , ( ex, x e Xk; , I ^ x e Xk;

Uk (Sx) = < Uk* (ex) = <

{ 0, x eXk; { 0, x eXk.

Во второй главе Структурные свойства алгебры состоящей

из семи параграфов, описываются основные структурные свойства алгеб-

ры Ш^, в частности, описываются градуировки алгебры Ш^, порожденные ковариантными системами с группами окружности и бесконечномерногого тора. Для этого изучается структура полугруппы мономов исследуемой алгебры. Кроме того, в данной главе мы доказываем ядерность алгебры Ш^. С этой целью мы подробно изучим структуру подалгебры Мы показываем, что указанная подалгебра является индуктивным пределом блочных подалгебр, которые являются ядерными. Ядерность алгебры доказывается с использованием условного ожидания на подалгебру

В первом параграфе рассматривается полугруппа мономов алгебры .

Элементарным мономом алгебры Ш^ назовем любой элемент из множества {и }кем и {и* }кем и {М/ } / )■

Мономом алгебры Ш^ назовем любое конечное произведение элементарных мономов.

Длиной d(V) моном а V назовем наименьшее число операторов частичной изометрии (элементарных мономов из множества {ик}к£^и{ик*}к£м); участвующих в его представлении.

Определим индекс ind, для элементарных мономов, положив:

Ш(Щ) := 1, Ш(Щ*) := —1, Ш(М/) := 0.

Индексом ind(V), ненулевого монома V, назовем сумму индексов элементарных мономов, участвующих в его представлении. Индекс нулевого монома положим равным нулю.

Лемма 2.1.2. Индекс монома определен корректно (не зависит от его представления в виде произведения).

Если VI и V — два моном а, и VlV2 = 0, то М^^) = +

Скажем, что моном W положительно определен, если существует та-

то

кое произведение П МдкUjk'М9к элементарных мономов (Ujk' £ *},

к=1

/к ,9к £ НХ Ьто W = П Мдк ик 'М9к ж ( П Мдк ик 'М9к) > 0 для

к=1 к=1

любого I > 1. Минимальное из чисел т, участвующих в таком представлении положительно определенного монома назовем длиной положительно определенного монома ^ ^ ^^шначим d+(W).

Лемма 2Л.5. Пусть W — положительно определенный моном нулевого индекса, в представлении которого участвуют только операторы, частичной изометрии. Тогда, W — положительный оператор с конечным спектром и множество {$х}х£Х является подмножеством собственных векторов оператора W.

Обозначим через Моп^, — множество всех мономов. Оно является полугруппой относительно произведения. Пусть Моп+ — ее подполугруппа, состоящая из нулевого и всех положительно определенных мономов. Также введем подполугруппу мономов нулевого индекса Моп^,0. Пусть Моп+0 - подполугруппа полугруппы Моп+, состоящая из нулевого и всех положительно определенных мономов индекса ноль. Из леммы 2.1.5 следует, что Моп+0 является коммутативной подполугруппой полугруппы мономов Моп^.

Во втором параграфе вводится градуировка на алгебре Ш^.

Операторным пространством, называют замкнутое подпространство С*-алгебры. Обозначим через операторное пространство в Ш^.

порожденное мономами индекса п.

Теорема 2.2.1. Алгебра Шу является Ъ-градуированной алгеброй:

иеЪ

В третьем параграфе рассматриваются ковариантные системы, связанные с алгеброй

Ковариантной системой называется тройка {А, О, а), состоящая из С*-алгебры А, локально компактной группы О и непрерывного гомоморфизма а : О Лп^А).

Построим ковариантную систему {Шу, Т,а), где Т — единичная окружность на С. Сначала напомним общие определения.

Для каждого п £ Ж определяется спектральное подпространство

Ап := {А £ А : а{г){А) = гпА для г £ Т} и спектральный проектор

Рп : А —> А, Рп{А) := ! г-па{г){А) ¿г, А £ А.

Т

Образом проектора Рп является спектральное подпространство Ап. Подалгебра А0 является неподвижной подалгеброй для действия единичной окружности.

Определив действие единичной окружности а : Т —> Ли1{Шу) на мономах:

а{г){У) = гш(у} V

и далее по линейности получим

Теорема 2.3.1. Существует такое непрерывное представление группы Т в группу автоморфизмов алгебры что п-ое спектральное подпространство совпадает с операторным пространством

Таким образом Z-градуировка Ш^ согласована с ковариантной системой Ш T,a).

Z-градуировка Ш^ не является единственной.

Рассмотрим C0(N, Z) — аддитивную группу всех финитных отображений hsNbZ относительно поточечного сложения.

Каждое n e C0 (N, Z) имеет в ид n = ^ nk 5k, nk 6 ^^e £k : N —> Z :

keN

6k(m) := 5?.

Определим мультииндекс m-ind : Mon^ —> C0(N,Z), полагая: m-ind(^k) := 5k, m-ind(^k*) := —5k, m-ind(M/) := 0.

Мультииндекс монома V определим как сумму мультииндексов элементарных мономов, участвующих в его представлении.

Теорема 2.3.5. Мультииндекс монома определен корретно.

Следствие 2.3.6. Mon^ = Ц MonJ, где MonJ -

neC0(N,Z)

n.

Если Vi и V2 — два моном а, и V1 V2 = 0, то mind(Vi V2) = mind(Vi) +

m-ind(V2). Через Ш^п обозначим пространство, порожденное мономами из MonJ.

Рассмотрим := C(N, T) — компактную группу характеров дискретной группы C0(N, Z). Заметим, что является счётным декартовым произведением единичных окружностей с топологией Тихонова. По теореме Понтрягина C0(N, Z) изоморфна группе характеров

Обозначим через xn характе р соответствующий элементу

n e Co(N, Z).

Рассмотрим C* -алгебру C(TTO, Ш^) относительно поточечных сложения и умножения с равномерной нормой, \\f := sup{||/(z) || : z G и

естественной инволюцией f *(z) := f (z)*.

Определим действие т : —> Ли^С{Тто, Му)) : т{г\){/){г2) =

I {г1г2).

Для каждого монома V £ Му определим Му-значную функцию V £ С {Тто, Му), полагая: У г £ Тто, т {г) := хтШ(у){гV

Пусть Му — С*-подалгебра С{Тто, Му), порождённая множеством {V : V £ Мопу}.

Предложение 2.3.8. Алгебра Му инвариантна относительно действия V.

С*-алгебры Му и Му изоморфны.

Теорема 2.3.9. Существует такое поточечно непрерывное представление т : —> Ли1{Шу), что операторное пространств о в алгебреМу, порожденное мономами мулътииндекса п7 определяется действием группы Тто7 т. е.

= {А £ Му : А = у т{г){А)х~пШ^{г)}.

Суммируя все вышесказанное, сформулируем

Следствие 2.3.10. На, С *-алгебр е Му можно задать ковариантную систему {Му, ,т).

Таким образом, па алгебре Му можно задать еще и С0{М, Ъ)-

т

тора, а именно

пеС0(М,Ъ)

В четвертом параграфе приводятся определения, тензорного произведения С *-алгебр и ядер пых С *-алгебр.

С * -алг ебра А называется ядерной, если дл я любой С * -алг ебры В, на их алгебраическом тензорном произведении АО В, существует единственная

С

С

мой предел семейства ядерных алгебр ядерная алгебра.

В пятом параграфе рассматриваются блочные подалгебры алгебры Ш^ и доказывается ядерность алгебры

Бл,очной систем,ой ([4, У.4.1.1]) в алгебре всех ограниченных операторов на некотором гильбертовом пространстве Н называется семейство попарно ортогональных проекторов конечного ранга {Яг}-, удовлетворяющее свойству Я г = /.Оператор Т £ В (Н) называется блочно-диагоналъным от-г

носительно блочной системы если Т = ^ ЯТЯг-, т.е. QTQj = 0 при

г

г = Оператор Т называется блочно-диагонализуемым, если он является блочно-диагональным относительно некоторой блочной системы.

Пусть хх,к ~ индикатор множества ф-к [х]. Тогда оператор РХкк := МХхк £ Ш^0 является проектором на подпространство 12(ф-к[х]). Таким образом, при любом фиксированном алгебра Ш^ содержит блочную систему {РХ:к}х£х5 и любой моном нулевого индекса является блочно-диагонализуемым .

Пусть Ш^ - С*-алгебра, порожденная мономами нулевого индекса, в представлении которых участвуют частичные изометрии из конечного семейства {ик }к£{1,..,т}- Тогда имеем цепочку вложенных д руг в друга С * -алгебр, Ш£0 С Ш^0 С - •• С Ш^ С^ • • , и

Ш^,0 = У Ш^.

m£N

Каждую подалгебру Ш^ в свою очередь представим в виде прямого пре-

19

дела цепочки вложенных друг в друга С*-алгебр, М(уп01'1 С мУт)'2 С^ • • С Муо0 С • • • , т.е.

му) = и м$Г-

где М^ - С*-алгебра, порожденная мономами нулевого индекса, имею-

щими в своем представлении операторы частичной изометрии из множества {ик}к£{1...'1т} длиной не больше 2п. Исследуем структуру блочной подалгебРЫ Му,0 •

Теорема 2.5.2. Пространство 12{Х) представляется в виде ф Ип, где каждое Ип конечномерно, причем для, любого тип биограничение Ш(уПо'п \%1 С М&Ь{&т{Ип), С), где Мд&{к, С) — алгебра матриц к-го порядка.

Следствие 2.5.3. Каждая С*-подалгебра М(уп01'п является ядерной.

Теорема 2.5.4. С*-алгебра, Му,0 ядерна.

В шестом параграфе рассматриваются условные ожидания в алгебре

Они используются при доказательстве ядерности алгебры Му.

Если заданы С*-алгебры А и В и отображение ф : А —> В, то оно естественным образом индуцирует отображение

фп : М&1{п, А) М&1{п, В), фп ([А)]) = [ф(А)].

Пусть А и В — С*-алгебры и ф : А —> В — линейное отображение. Тогда ф положительно, если для любого А £ А+ ф(А) £ В+; п-положителъно, если фп положительно; и вполне положительно, если

фп п п

Условным, ожиданием, из С*-алгебры А в С*-подалге6ру В называется такое вполне положительное сжимающее отображение в : А —> В, что

в(В) = В и в(В1ЛВ2) = В1в(Л)В2 для любых В,В1,В2 £ В и А £ А (см.[4],[56]). Другими словами, условное ожидание является проектором единичной нормы из А в В.

Лемма 2.6.2. В алгебре Ш^ существует условное ожидание на подалгебру

Р : Ш Ш^0, Р0(Л) = У а(г)(Л)ф,(г)

т

гс^е ¡1 — нормированная мера Хаара на Т.

Существует также условное ожидание на неподвижную подалгебру Ш^0 относительно действия тора

Ро : Ш^ Ш^,о, Ро(Л) = I т(г)(Л)^ф),

т^

где ¡1 — нормированная мера Хара на

Лемма 2.6.3. В алгебре Ш^ существует условное ожидание на подалгебру мультипликаторов: Рм : Ш^ —> М (X).

В седьмом параграфе доказывается ядерность С*-алгебры Ш^ Теорема 2.7.1. Алгебра Ш^ &тах В, где В — произволъная С*-алгебра, является Ъ-градуированной алгеброй.

Здесь тах В, где В — пополнение алгебраического тензорного про-

изведения Ш^ (¿) В алгебр Ш^ и В по максимальной норме. Теорема 2.7.2. С*-алгебра Ш^ ядерна.

Третья глава «Подалгебры и идеалы алгебры Ш^.» состоит из пяти параграфов.

В ней рассматриваются некоторые подалгебры алгебры Ш^, в частности, показывается, что алгебра Купца и алгебра, порожденная оператором обобщенного сдвига, являются подалгебрами Ш^, если ф — инъекция. Кроме

того, рассматриваются идеалы алгебры Му, образы которых при фактор-отображении является главными идеалами в фактор-алгебре.

В первом параграфе рассматриваются неподвижные подалгебры Му,0 и Му,0 алгебры Му.

По построению для них выполнено Му,0 С Му,0. Рассмотрим случай, когда они совпадают.

Для любого фиксированного к £ N гильбертово пространство ¡2(Х) представляется в виде прямой суммы конечномерных подпространств 12(р-к [х]), х £ X. Зафиксируем произвольный базисный элемент 6Х и пекоторое к £ N. Рассмотрим все неуплотнимые цепи с началом в 6Х7 которые заканчиваются на элементах множества {5у}у£у-к[Х]. Мы будем называть к длиной неуп-лотнимой цепи. С каждой неуплотнимой цепью с началом в 6Х и концом в 1 — I — с&?&(р-к[х]), свяжем последовательность натуральных чисел

\А\...,зк О-

Предложение 3.1.1. Если, для любого х £ X и любого к £ N существует единственная последовательность (]1,]2,...,]к), соответствующая всем, неуплотнимым цепям с началом в 6Х и концом в 5у, где у £ р-к[х], то Му,о = Му,0.

Здесь= сах&(р-1[р(у)\),]2 = сах&(р-1[р2(у)]),...= с&г&(р-1[рк(у)}).

Му'0 = Му'0 Ау'0

коммутативна тогда и только тогда, когда любой элемент из X, р-эквивалентный в каком, либо порядке начальному элементу, сам, является, начальным,.

Следствие 3.1.3. Следуюище утверждения эквивалентны,: 1) отображение р — инъекция;

Му'0

Для случая Шу0 С Определим отображение

Ф : С0(М, Ъ) —> Ъ,

полагая Ф(^) = 1, п(к)5к) = ^2 п(к). Очевидно, что кег(Ф) является

подгруппой С0(М, Ъ).

Из следствия 2.3.10 вытекает, что неподвижная подалгебра кег(Ф)-

градуироваиа, т. е.

Шу0 = ^^

пбкег(Ф)

Во втором параграфе рассматривается структура скрещенного произведения на алгебре Ш^.

Показывается, что алгебру Ш^ при следующих условиях на отображение ф, а именно, когда ф - сюрьекция и 8ир{са^(ф-1[х]) : х £ X} < ж, можно рассматривать как полу групповое скрещенное произведение (по Стейси): Ш^ « Ш^0 ха N.

Здесь а £ Епё(Ш<Д У Л £ Ш^, а(Л) := иЛи*, где и := £ ик,

kGN

является,при указанных выше условиях на ф, изометрией: и * и = 1^2 (х).

Пусть п — невырожденное представление С*-алгебры А па гильбертово пространство И, и пусть а — *-эидоморфизм алгебры А. Невырожденность означает, что п(1) = , где I £ М(А) — алгебре мультипликаторов алгебры А (алгебра А является идеалом в алгебре М(А) и А = М(А), когда А унитальна). Тогда может существовать (но не обязательно) на В (И) *-эндоморфизм в : В (И) —> В (И), такой, что

в(п(Л)) = п(а(Л)) для всех Л £ А.

В этом случае существует такое семейство изометрий {Тг}г£1 на И, что п(а(Л)) = Тп(Л)Т* для любо го Л £ А. Говорят, что пара (п, {Тг}£1)

г

является ковариантным представлением (А,а) кратности саМ(1).

Из ковариантного представления кратности 1 можно построить ковари-антное представление произвольной кратности.

Определение [53]. Скрещенным произведением крат,ноет,и п С*-алгебры % и М, по *-эндоморфизму а при = 0 называется тройка (В,г%, {и}), где В — С *-алгебра, : % —> В — *-гомоморфизм, причем, г%(1М(%)) = 1м(В); }•' и^Ьу = Ь33I — семейство п изометрий в М(В), причем, вы,полнены, условия:

1. г%(а(А)) = и^ г%(А)Ьз* для, всех А е

з

2. для, любого ко вариантного представления (п, {Т}) пары (%,а) кратности п существует такое невырожденное представление п х Т алгебры, В, чт о (п х Т) о = пи (п х Т )(^) = Т для, любого г;

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Патрин Евгений Владимирович, 2016 год

Литература

[1] Antonevich, A.B. Crossed product of a C*-algebra by an endomorphism. coefficient algebras and transfer operators / Antonevich, A.B., Bakhtin, V.l., Lebedev, A.V. // [arXiv:math/0502415vl][math.OA]. 2005.

[2] Arzumanian, V. Star algebras associated with endomorphisms, in Operator algebras and group repr. / Arzumanian, V., Vershik, A. // Proc. of 1980

OAGR Conf. Vol. 1. Pitman, 1984. P. 17 27.

[3] Berger, C. A. Representation and index theory for C^-algebras generated by commuting izometries / Berger, C. A., Coburn, L.A., Lebow, A. // J. Funct. Anal. 1978. Vol. 27, no. 1. P. 51 99.

[4] Blackadar, B. Operator Algebras / B. Blackadar. Springer, 2006. Pp. 517.

[5] Boyd, S. Faithful representations of crossed products by endomorphisms / Boyd, S., Keswani, N., Raeburn, I. // Proc. Amer. Math. Soc. 1993. Vol. 118, no. 2. P. 427 436.

[6] Carmen, H.M. Properties of generalized Toeplitz operators / Carmen, H.M., Pedro, J.P. // Integral Equations Oper. Theory. 2001. Vol. 40, no. 1. P. 106 126.

[7] Cho, I. C*-algebras generated by partial isometries / Cho, I., Jorgensen. P. // J. Appl. Math. Compnt. 2008. Vol. 26, no. 1. P. 1 48.

[8] Choi, M.D. A simple C*-algebra generated by two finite-order unitaries / Choi, M.D. // Can J. Math. 1979. Vol. 31, no. 4. P. 867 880.

[9] Coburn, L. The C ^-algebras generated by an isometry / L.A. Coburn //I. Bull. Am. Math. Soc. 1967. Vol. 73. P. 722 726.

[10] Coburn, L. The C^-algebras generated by an isometry / L.A. Coburn //II Trans. Am. Math. Soc. 1969. Vol. 137. P. 211 217.

[11] Crossed products by semigroups of endomorphisms and Toeplitz algebras of ordered groups / Adji, S., Laca, M., Nilsen, M., Raeburn, I. // Proc. Amer. Math. Soc. 1994. Vol. 122, no. 4. P. 1133 1141.

[12] Cuntz, J. Simple C^-algebras generated by isometries / Cuntz, J. // Comm. Math. Phys. 1977. Vol. 57. P. 173 185.

[13] Cuntz, J. A class of C*-algebras and topological Markov chains / Cuntz. J., Krieger, W. // Invent. Math. 1980. Vol. 56, no. 3. P. 251 268.

[14] Dadarlat, M. Nonnuclear subalgebras of AF-algebras / M. Dadarlat // Amer. J. Math. 2000. Vol. 122, no. 3. P. 581 597.

[15] Davidson, K. Noncommutative disk algebras for semigroups / Davidson, K., Popescu, G. // Can. J. Math. 1998. Vol. 50, no. 2. P. 290 311.

[16] Davidson, Kenneth R. C^-Algebras by Example / Davidson, Kenneth R. — Fields Institute monographs, 1996.

[17] Deaconu, V. Cohomology of topological graphs and Cuntz-Pimsner algebras / Deaconu, V., Kumjian, A., Muhly, P. // arXi v: math/ 9901094vl [math. OA]. 1999.

[18] Doplicher, S. The C*-algebras of a hilbert bimodule / Doplicher, S.. Pinzari, C., Zuccante, R // Bolletino U.M.I. Serie VIII 1-B. 1998. P. 263 282.

[19] Doplicher, S. Endomorphisms of C^-algebras, cross products and duality for compact groups / Doplicher, S., Roberts, J.E. // Ann. of Math. 1989. Vol. 130, no. 2. P. 75 119.

[20] Douglas, R. On the C*-algebra of a one-parameter semigroup of isometries / R.G. Douglas // Acta. Math. 1972. Vol. 128, no. 1. P. 143 152.

[21] Exel, R. Circle actions on C*-algebras, partial automorphisms and generalized Pimsner-Voiculescu exact sequence / R. Exel // J. Funct. Anal. 1994. Vol. 122. P. 361 401.

[22] Exel, R. Partial dinamical systems and C*-Algebras generated by partial izometries / Exel, R., Laca, M., Quigg, J. // arXiv:funct-an/9712007.

[23] Exel, R. C^-algebras of irreversible dinamical systems / Exel, R., Vershik. A. // arXiv:math/0203185vl[math.OA]. 2002.

[24] Grigoryn, S. C*-algebras generated by mappings / Grigoryn, S.. Kuznetsova, A. // Lobachevskii J. of Math. 2008. Vol. 29, no. 1. P. 5 8.

[25] Grigoryn, S. On a class of nuclear C*-algebras / Grigoryn, S., Kuznetsova. A. // An Operator Theory Summer, Proceedings of the 23rd intenational conference on operator theory. Timisoara, Romania, 2012. P. 39 50.

[26] Horowski, M. Some integrable systems in nonlinear quantum optics / Horowski, M., Odzijewicz, A., Tereszkiewicz, A. // arXiv:math-ph/0207031. 2002.

[27] Jang, S. Uniquenees property of C^-algebras like the Toeplitz algebra / S.Y. Jang // Trends in Mathematics, Information Center of Mathematical Science. 2003. Vol. 6, no. 2. P. 29 32.

[28] Jang, S. Generalized Toeplitz algebra of a certain non-amenable semigroup / S.Y. Jang // Bull. Korean Math. Soc. 2006. Vol. 43, no. 2. P. 331 341.

[29] Ji, R. On the smoothed Toeplitz exthesions and K-theory / R. Ji // Proc. Amer. Math. Soc. 1990. Vol. 109, no. 1. P. 31 38.

[30] Johnson, B.E. Operators commuting with a von Neumann algebra modulo the set of compact operators / Johnson, B.E., Parrot, K.S. // J. Functional Analysis. 1972. Vol. 11. P. 39 61.

[31] Jorgensen, P. On C*-algebras generated by pairs of q-commuting izometries / Jorgensen, P., Proskurin, D., Samoylenko, Y. // ar Xi v : mat h. OA /0311115 v2. 2003.

[32] Kumjian, A. Notes on C^-algebras of graphs / A. Kumjian // Operator algebras and operator theory. 1997. P. 189 200.

[33] Kumjian, A. On certain Cuntz-Pimsner algebras, cross products and duality for compact groups / Kumjian, A. // Pacific J. Math. 2004. Vol. 214. P. 275 289.

[34] Kuznetsova, A. C*-algebra generated by mapping which has finite orbits / Kuznetsova, A. // Operator Theory, Operator Algebras and Applications. Vol. 242. — Birkhauser, 2014. — P. 229-242.

[35] Li, X. Semigroups C^-algebras and amenability of semigroups / Li, X. // [arXi v: 110 5.5 53 9v2] [mat h. OA]. 2012.

[36] Lledo, F. On th nuclearity of certain Cuntz-Pimsner algebras / Lledo, F., Vasseli, E. // [arXiv:math/0611520vl][math.OA].

[37] Matsumoto, K. On C*-algebras associated with subshifts / Matsumoto. K. // Internat. J. Math. 1997. Vol. 8. P. 357 374.

[38] Matsumoto, K. Relation among generators of C^-algebras associated with subshifts / Matsumoto, K. // Internat. J. Math. 1999. Vol. 10. P. 385 405.

[39] McClanachan, K. ^-theory for partial crossed products by discrete groups / K. McClanachan // J.Funct.Anal. 1995. Vol. 130. P. 77 117.

[40] Murphy, G. Ordered groups and Toeplitz algebras / G.J. Murphy // J. Oper. Theory. 1987. Vol. 18, no. 2. P. 303 326.

[41] Murray, F. On rings of operators / Murray, F., von Neumann, J. // Ann. Math. 1936. Vol. 37, no. 1. P. 116 229.

[42] Odzijewicz, A. Integrable multi-bozon systems and orthogonal polynomials / Odzijewicz, A., Horowski, M., Tereszkiewicz, A. // J. Phys. A. 2001. Vol. 34. P. 4353 4376.

[43] Pashke, W.L. The cross product by an endomorphism / Pashke, W.L. // Proc. Amer. Math. Soc. 1980. Vol. 80. P. 113 118.

[44] Pashke, W.L. K-Theory for actions of the circle group on C*-algebras / Pashke, W.L. // J. Oper. Theory. 1981. Vol. 6. P. 125 133.

[45] Phillips, C. Equivariant K-theory and freeness of group actions on C*-algebras / Phillips, C. // Lecture Notes in Math. Vol. 1274. SpringerVerlag, 1987.

[46] Pimsner, M.V. A class of C*-algebras generalizing both Cuntz-Krieger algebras and crossed products by Z / Pimsner, M.V. // Fields Inst. Commun. 1997. Vol. 12. P. 189 212.

[47] Pinzari, C. The ideal structure of Cuntz-Krieger-Pimsner algebras and Cuntz-Krieger algebras over infinite matrices. / Pinzari, C. // In Operator Algebras and Quantum Field Theory. National dei Lincei, Roma: International Press. Cambridge MA, 1997.

[48] Raeburn, I. Graph Algebras / I. Raeburn. American Mathematical Cociety, 2000. Pp. 117.

[49] Rießel, M. A. Proper actions of groups on C*-algebras / Rießel, M. A. // Mappings of Operator Algebras, Proc. Japan-US joint seminar. Vol. 1274. Birkhauser, 1990. P. 141 182.

[50] R0rdam, M. Classification of Nuclear C*-Algebras. Entropy in Operator Algebras / R0rdam, M., St0rmer, E. — Springer, 2002. — Pp. 198.

[51] Shelan, S. Masas in the Calkin algebra without the continiuum hypothesis / Shelan, S., Steprans, J. // J. Applied Analysis. 2011. Vol. 17. P. 69 89.

[52] Sieben, N. C*-crossed products by partial actions and actions of inverse semigroups / N. Sieben // Austral. Math. Soc. Ser. A. 1997. Vol. 63. P. 32 46.

[53] Stacey, P.J. Crossed product of C*-algebras by *-endomorphisms / Stacey. P.J. // J. Austral. Math. Soc. 1993. Vol. 54. P. 204 212. Series A.

[54] Stratila, S. Modular theory in operator algebras / Stratila, S.— Editura Academiei Republicii Socialistic Romania, 1981. — Translation from the Romanian by the author.

[55] Tomiyama, J. On the projection of norm one in W^-algebras / Tomiyama. J. // Proc. Japan Acad. 1957. Vol. 33. P. 608 612.

[56] Umegaki, U. Conditional expectations in an operator algebra, I / Umegaki, U. // Tohoku Math. J. - 1954. - Vol. 6. - P. 177-181.

[57] von Neumann, J. On rings of operators, III / J. von Neumann // Ann. Math. 1940. Vol. 41, no. 1. P. 94 161.

[58] von Neumann, J. On rings of operators, IV / J. von Neumann // Ann. Math. 1943. Vol. 44, no. 4. P. 716 808.

[59] Wasserman, S. Exact C*-algebras and related topics / Wasserman, S. // Lecture Notes Series. 1994. Vol. 19. Seoul National Univercity Research Institute of Mathematics Global Analis Research Center, Seul.

[60] Xia, J. The K-theory and the invertibility of almost periodic Toeplitz operators / J. Xia // Integral Equations Oper. Theory. 1988. Vol. 11, no. 2. R 267 286.

[61] Арзумапяп, В.А. Фактор-представления скрещенного произведения коммутативной С*-алгебры и полугруппы ее автоморфизмов / Арзу-манян, В.А., Вершик, A.M. // ДАН СССР. 1978. Т. 238, № 3. С. 513 516.

[62] Арзуманян, В.А. Операторные алгебры, ассоциированные с несингулярными эндоморфизмами пространства Лебега / Арзуманян, В.А. // Известия Академии Наук Армянской ССР. Математика. 1986. Т. 21, № 6. С. 596 616.

[63] Григорян, С.А. AF-подалгебры С*-алгебры, порожденной отображением / Григорян, С.А., Кузнецова, А.Ю. // Известия ВУЗов. Математика. 2010. Т. 54, № 3. С. 82 87.

[64] Григорян, С.А. С*-алгебры, порожденные отображениями / Григорян. С.А., Кузнецова, А.Ю. // Мат. Заметки. 2010. Т. 87, № 5. С. 694 703.

[65] Кузнецова, А.Ю. Об одном класе С*-алгебр, порожденных счетным семейством частичных изометрий / Кузнецова, А.Ю. // Известия НАН Армении. Матем. 2010. Т. 45, № 6. С. 51 62.

[66] Лебедев, A.B. Расширения С*-алгебр частичными изометриями / Лебедев, A.B., Одзиевич, А. // Матем. Сборник. 2004. Т. 195, № 7. С. 37 70.

[67] Лодкин, A.A. Структура и классификация факторов / Лодкин, A.A., Рубштейн, Б.А. // Итоги науки и техники. 1985. Т. 26. С. 127 176. Современные проблемы математики. ВИНИТИ.

[68] Рид, М. Методы современной математической физики / Рид, М., Саймон, Б. Москва: Мир, 1977. Т. 1 Функциональный анализ. С. 390.

[69] Штерн, А.И. Ядерные С*-алгебры и смежные вопросы / Штерн. А.14. // Итоги наукии техники, современные проблемы математики, новейшие достижения. 1985. Т. 26. С. 107 126.

Публикации автора по теме диссертации

[Статьи ь рецензируемых научных журналах, включенных в список ВАК]

[КП1] Патрин Е.В. Об одном классе С*-алгебр, порожденных семейством частичных изометрий и мультипликаторами / А.Ю. Кузнецова, Е.В. Патрин // Изв. вузов. Математика. 2012, №6, С. 44 55.

[КП2] Патрин Е.В. Об идеалах С*-алгебры порожденной семейством частичных изометрий и мультипликаторами / А.Ю. Кузнецова, Е.В. Патрин // Ученые записки Казанского Университета. 2015. Т.157, серия физ-мат, кн. 1, С. 51-59.

[КР1] Patrin Ye. V. On the ideals of C*-algebra generated by a family of partial isometries and multipliers / Knznetsova A. Yu and Patrin Ye. V. // Lobachevskii Journal of Mathematics 2015, 36 (4). P. 489-495.

[ПЗ] Патрин Е.В. О градуировках С*-алгебры порождённой отображением и алгеброй мультипликаторов /Патрин Е.В. // Ученые записки Казанского Университета. 2015. Т.157, серия физ.-матем., кн. 4, С. 56-66.

[ Публикации в других изданиях]

[ГКП] Патрин E.B. Об одном критерии неприводимости алгебры C* (X) / С.А. Григорян, А.Ю. Кузнецова, Е.В. Патрин //Изв. HAH Армении. Математика. 2014, т. 49, №1, С.75-82.

[KP2] Patrin Ye. V. On the structure of C*-algebra generated by a family of partial isometries and multipliers / Kuznetsova A. Yu and Patrin Ye. V. // Armenian Journal of Mathematics 2015, 7 (1). P. 50-58.

[КПЗ] Патрин E.B. Структура скрещенного произведения на С*-алгебре по-рожденой отображением / А.Ю. Кузнецова, Е.В. Патрин // Одиннадцатая международная казанская школ а-конференция Теория функций, ее приложения и смежные вопросы, Казань 2013.

[П1] Патрин Е.В. Идеалы С*-алгебры порожденной семейством частичных изометрий и мультипликаторами / Патрин Е.В // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского, том 50, С. 142-144, КФУ 2014.

[П2] Патрин Е.В. О некоторых идеалах С*-алгебры порожденной семейством частичных изометрий и алгеброй мультипликаторов //Патрин Е.В. // Двенадцатая международная казанская школа-конференция Теория функций, ее приложения и смежные вопросы, Казань 2015.