Когомологии и спектральный синтез β-равномерных алгебр тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Хорькова, Тамара Анатольевна

• Хорькова, Тамара Анатольевна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Хорькова, Тамара Анатольевна

Список обозначений

Введение

1 /^-равномерные алгебры 11 Введение.

1.0 Равномерные алгебры.

1.1 Компактификация Стоуна — Чеха.

1.2 Алгебра Ср( 12).

1.3 /3-непрерывные мультипликативные функционалы на Ср{£1)

1.4 /^-равномерные алгебры.

1.5 Ортогональные меры и множества пика.

1.6 /3-равномерные алгебры Дирихле и максимальные /^-равномерные алгебры.

1.7 Максимальные множества антисимметрии для /^-равномерных алгебр.

2 /3-аменабельные алгебры 33 Введение

2.1 когомологии.

2.2 /?-полные Д-бимодули.

2.3 /?-аменабельные алгебры.

3 /^-равномерные алгебры на локально компактных абелевых группах

Введение

3.1 Локально компактные абелевы группы.

3.2 Пространство M{G).

3.3 /3-равномерные инвариантные алгебры на локально компактных абелевых группах.

3.4 /3-равномерные инвариантные алгебры и спектральный синтез

3.5 Алгебры обобщенных аналитических функций

3.6 Множества антисимметрии

3.7 Инвариантные относительно сдвигов

-равномерные максимальные алгебры Дирихле.

3.8 Точечные дифференцирования в /^-равномерных алгебрах на локально компактных абелевых группах.

3.9 Точечные дифференцирования в идемпотентах для алгебры ll(S) 66 Список литературы.

Список обозначений:

Л — /^-равномерная алгебра на локально компактном пространстве Г2 (21) Лоо — алгебра Л, наделенная равномерной топологией (22) Лх — пространство всех мер из М(Г2), ортогональных к алгебре Л (24) Af — замыкание в Cp(F) сужения алгебры Л на множество F (27)

As — пополнение алгебры обобщенных полиномов, порожденных полугруппой S, в /3-топологии (49)

В$ — замыкание алгебры обобщенных полиномов, порожденных полугруппой S, в равномерной норме (алгебра обобщенных аналитических функций) (57) В — алгебра всех ограниченных операторов на L2(£l,[i,) (36)

В1 (Л, X) — пространство внутренних дифференцирований со значениями в X (34) В1 {Л, X*) — пространство внутренних дифференцирований со значениями в X* (35) Сь(П) — пространство всех непрерывных, ограниченных комплекснозначных функций на локально компактном пространстве Q (15)

Со(Г2) — функции из C(,(Q), которые обращаются в ноль в бесконечности (16)

Соо(^) ~ функции из Сь{&) с компактным носителем (16)

Ca(fi) — алгебра Сь(О), наделенная /3-топологией (17) дЛ — /3-граница Шилова алгебры Л (22) дЛоо — граница Шилова алгебры А» (22)

G — группа характеров локально компактной абелевой группы G (46)

Gs — замыкание группы G в пространстве M(Bs) (компактификация Бора группы G с помощью полугруппы S) (58)

S — подполугруппа группы характеров G (49)

X — компактификация Стоуна - Чеха локально компактного пространства П (15)

Хоо — одноточечная компактификация Чеха локально компактного пространства Q (16) М(Л) — пространство всех (3-непрерывных линейных мультипликативных функционалов /3-равномерной алгебры Л (22)

М(Лоо) — пространство линейных мультипликативных функционалов алгебры Л^ (22) M(Bs) — пространство линейных мультипликативных функционалов алгебры (58) M(G) — пространство всех конечных регулярных борелевских мер на локально компактной абелевой группе G (47)

М{ХЖ) — пространство всех регулярных конечных мер на компакте (19) М(0) — пространство всех регулярных конечных борелевских мер на локально компактном пространстве (19) Q — сг-компактное множество (14)

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Когомологии и спектральный синтез β-равномерных алгебр»

В сороковых годах прошлого века И. М. Гельфандом была создана теория коммутативных банаховых алгебр. Согласно этой теории, каждой коммутативной (полупростой) банаховой алгебре можно поставить в соответствие некоторую банахову алгебру функций па локально компактном пространстве с нормой не слабее равномерной.

Спустя более десяти лет работами Г. Е. Шилова были заложены основы теории равномерных алгебр, банаховых алгебр непрерывных функций на компактных множествах, наделенных равномерной нормой. Теория коммутативных банаховых алгебр, в частности теория равномерных алгебр, пролила свет на ряд разделов математического анализа, выявила их алгебраическую сущность.

Позднее появляются работы Э. Бишопа, А. Глисона, Дж. Вернера, А. Броудера, Т. Гамелина, Е. А. Горина и других, обогатившие теорию равномерных алгебр.

В середине семидесятых годов прошлого века Р. Баком в работе "Bounded continuous functions on a locally compact space", опубликованной в мичиганском математическом журнале, начато исследование /3-равномерных алгебр, то есть алгебр функций на локально компактном пространстве, наделенных топологией с помощью непрерывных функций, обращающихся в ноль на бесконечности (/3-топологии, построение этой топологии будет описано далее). Такие алгебры являются естественным обобщением равномерных алгебр, и, как показано в этой работе, из каждой равномерной алгебры можно получить нетривиальную /^-равномерную алгебру. Работы последующих исследователей /3-равномерных алгебр посвящались, с одной стороны, распространению результатов из теории равномерных алгебр на /^-равномерный случай, а с другой стороны, выяснению таких свойств этих алгебр, у которых нет аналогов для равномерных алгебр (см. [31],

Данная работа посвящена исследованию свойств /5-равномерных алгебр. В ней рассматриваются два типа задач: распространяются известные утверждения из теории равномерных алгебр на /^-равномерный случай, и доказываются утверждения, которые справедливы только для /3-равномерных алгебр.

Интерес к изучению /3-равномерных алгебр связан с возможностью приложения их к вопросам С*-алгебр, теории динамических систем, теории функций многих комплексных переменных, теории локально выпуклых алгебр на локально компактных группах.

Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы.

Первая глава, состоящая из семи параграфов, посвящена описанию свойств /?-равномерных алгебр. В ней, наряду с известными результатами, есть новые утверждения, в частности, показано, как из равномерных алгебр строить /3-равномерные алгебры.

Пусть О. — локально компактное множество. Множество называется ег-компактным, если Q = Ц?=1 К, где Fn с Fn+ j и каждое Fn — компактное множество. Везде в этой работе под локально компактным множеством будем подразумевать о-компактное мноэ/сество.

Пространство Сь(П) всех непрерывных, ограниченных комплекснозначных функций на локально компактном пространстве Q является банаховым пространством относительно равномерной нормы oo = sup|/(x)|. п

Если также определить произведение двух фуикций, как поточечное умножение, то Ci(Sl) становится банаховой алгеброй. Функция е(х') = 1 является единичным элементом этой алгебры, т.е. — унитальная алгебра. Тогда Со(Г2) — подалгебра всех функций из Cb(fl), обращающихся в нуль в бесконечности, есть замкнутый идеал.

Линейный функционал <р : Cb(Q) —> С называется мультипликативным, если Wife) = Каждый линейный ненулевой мультипликативный функционал является непрерывным с единичной нормой. Множество X всех мультипликативных линейных функционалов образует замкнутое в *-слабой топологии подмножество единичного шара пространства Сь(Л)*, сопряженного к Сь(О). Так как шар в Сь{$1)* компактен в этой топологии, то X — компактное множество. С помощью х Е О, можно определить мультипликативный функционал 8Х : Сь(£1) —> С, полагая <5Х(/) = /(х), для всех / G Сь(П). Поэтому можно считать, что fi есть локально компактное подмножество множества X.

Преобразованием Гелъфаг1да функции / из С'ь(0.) называется функция / на f(ip) — <£>(/). Очевидно, что fg = fg, т.е. это преобразование сохраняет мультипликативность. Из определения *-слабой топологии следует, что / непрерывная функция на X. Поэтому преобразование Гельфанда порождает гомоморфизм между алгебрами Сь(П) и С(Х). Если алгебру С(Х) наделить равномерной нормой, то этот гомоморфизм станет изометрическим изоморфизмом между алгебрами С&(0) и С(Х). Отождествляя х и 5Х, можно полагать, что Сь(Г2) есть сужение алгебры С(Х) на множество J7 в X и изометрический изоморфизм порождается оператором сужения / —» /|п- Отсюда нетрудно увидеть, что П всюду плотно в Л" (в противном случае из леммы Урыеона следовало бы, что существует нетождественная непрерывная функция на X, равная единице на £7). Множество X называется компактификацией Cmoy}ia-4exa локально компактного пространства

С помощью функций из Со(П) определим на Сь(П) семейство полунорм {Pg}gec0(n), полагая

P9(f) = НЛ/lloo.

Определенная таким образом топология называется /? - топологией на В дальнейшем банахову алгебру Сь(П), наделенную /^-топологией, будем обозначать Cp(Q) (см. [28], [31]). Отметим, что /3-топология является локально выпуклой топологией, порожденной семейством полунорм {Pa}g(zc0(п). Поскольку функция д — maxi<i<n \gi\, Для любого конечного семейства {<?г}"=и также принадлежит пространству Co(fi), и открытое множество

Ug,e = {/ € СЬ(П) : Р9(1) < в} содержится в ПГ=г то за базу окрестностей нулевой функции можно брать множества вида ип-£, £ > 0, д 6 Со(Г2).

Первые три параграфа посвящены различным определениям, используемым в этой работе. В остальных параграфах описываются границы Шилова, пространства мультипликативных функционалов и структура максимальных множеств антисимметрии /3-равномерных алгебр.

Во второй главе исследуются гомологические свойства /^-равномерных алгебр. В ней вводится понятие /3-когомологий и в терминах /3-когомологий находится критерий аменабельности /3-равномерных алгебр.

Отметим, что понятие аменабельности было введено Б. Джонсоном.

Основным результатом второй главы является теорема 2.3.1. Пусть Л есть /3-равномерная алгебра. Тогда следующие условия эквивалентны:

Ь) Л — (3-аменабелъная алгебра. Данное утверждение есть аналог теоремы М. Шейнберга для равномерных алгебр

В середине шестидесятых годов Р. Аренсом и И. Зингером в работе "Generalized analytic functions" было начато исследование алгебр непрерывных функций на локально компактных абелевых группах, инвариантных относительно сдвигов. Эта работа дала толчок возникновению теории обобщенных аналитических функций, позволяющей с единой точки зрения взглянуть на теорию почти периодических функций на вещественной прямой, теорию функций на полидисках и гармонический анализ на компактных абелевых группах.

В третьей главе диссертации исследуются /^-равномерные алгебры функций на локально компактных абелевых группах, инвариантных относительно сдвигов.

Пусть G — группа характеров группы G. Пусть M{G) — пространство всех конечных регулярных борелевских мер на G. Каждый характер ^ из G определяет мультипликативный функционал ipx : M(G) —»■ С а) А = СР{П) см. [22]).

Таким образом, группа характров G вкладывается в пространство мультипликативных функционалов банаховой алгебры мер M(G).

Преобразованием Фурье-Стильтьеса меры ц из M(G) называется комплекснозначная функция ft на G такая, что

Ях) = / jg

Отображение fx —> fx порождает непрерывный гомоморфизм из банаховой алгебры M(G) в банаховую алгебру Cb(G). Если [х ф 0, то fx ф 0, т. е. это отображение является инъек-тивным (см. [19], стр. 251).

Спектром меры ц из M(G) (Sp(/x)) называется множество тех х из G, для которых

Ях) ^ о.

Преобразованием Фурье функции / из Lx{G,da) называется функция / на G, такая что / I-Xda. Jg

Преобразование Фурье переводит произведение-свертку в L1 (G, da) в поточечное произведение в Cb(G). Также отметим, что преобразование Фурье является изометрическим линейным отображением между пространствами L2(G, da) и L2(G, da) — гильбертовыми пространствами суммируемых в квадрате функций (теорема Планшереля).

В третьем параграфе третьей главы исследуется ряд свойств /^-равномерных алгебр инвариантных относительно сдвигов на локально компактной абелевой группе G.

В четвертом параграфе вводится понятие полугруппы спектрального синтеза. Основным результатом является следующая теорема:

Теорема 3.4.1. Пусть А — максимальная инвариантная относительно сдвигов /3-равномерная алгебра на локально компактной абелевой группе G, спектр которой есть полугруппа S. Следующие условия эквивалентны: a) A — As; b) S — полугруппа спектрального синтеза.

В конце четвертого параграфа приводится пример полугруппы не являющейся полугруппой спектрального синтеза. В последних параграфах диссертационной работы исследуются границы Шилова и точечные дифференцирования инвариантных /^-равномерных алгебр и алгебр, порожденных полугруппами.

Основные результаты диссертационной работы были доложены на:

• первой молодежной научной конференции «Тинчуринские чтения», Казань, 2006;

• научном семинаре кафедры математического анализа механико-математического факультета Казанского государственного университета в 2007г. (руководитель — д.ф-м.н., профессор А. Н. Шерстнев);

• третьей молодежной научной конференции «Тинчуринские чтения», Казань, 2008;

• Воронежской зимней математической школе - конференции С. Г. Крейна - 2008г.

• научном семинаре Института математики НАН Армении по банаховым алгебрам и комплексному анализу, Ереван, 2008г.

• четвертой молодежной научной конференции "Тинчуринские чтения", Казань, 2009г.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Хорькова, Тамара Анатольевна, 2009 год

1. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. / У. Бра-телли, Д. Робинсон - М.: МИР, 1982.

2. Гамелин Т. Равномерные алгебры. / Т. Гамелин Нью-Йорк, Челси, 2-ое изд., 1984.

3. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. / Дж. Гарнетт М.: МИР, 1984.

4. Гичев В. М. Инвариантные алгебры функций на группах Ли. / В. М. Гичев // Сиб. Матем. Журнал. 1979. - Т. 20. - т. - С. 23-36.

5. Гичев В. М. Пространство максимальных идеалов инвариантных алгебр. / В. М. Гичев // Функциональный анализ и его приложения. 1979. - Т. 13. - №3. - С. 75-76.

6. Горин Е. А. Максимальные инвариантные алгебры в алгебрах с инволюцией. / Е. А. Горин, В. М. Золотаревский // Матем. сб. 1971. - Т. 85. - №3. - С. 373-387.

7. Горин. Е. А. Подалгебры конечной размерности. / Е. А. Горин // Матем. заметки. 1969. - №6:3. - С. 321-328.

8. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций / К. Гофман М.: ИЛ, 1963.

9. Гршлорян С. А., Максимальные алгебры обобщенных аналитических функций. / С. А. Григорян // Известия Академии Наук Армянской ССР. 1981. - Т. 16. - №5. -С. 168-183.

10. Григорян С. А. Об алгебрах на обобщенном аналитическом диске. / С. А. Григорян // ДАН Армянской ССР. 1985. - Т. 80. - №3. - С. 108-111.

11. Понтрягин JI. С. Непрерывные группы. / Л. С. Понтрягин М.: МИР, 1973.

12. Рид М. Функциональный анализ. / М. Рид, Б. Саймон М.: МИР, 1977.

13. Розенберг A. JI. Инвариантные алгебры на компактных группах. / A. JI. Розенберг // Матем. сб. 1970. - Т. 81. - №2. - С. 176-184.

14. Рудин У. Функциональный анализ. / У. Рудин М.: МИР, 1975.

15. Хелемский А. Я. Банаховы и полинормированные алгебры. / А. Я. Хелемский М.: Наука, 1989.

16. Хелемский А. Я. Гомология в банаховых и топологических алгебрах. / А. Я. Хелемский Изд. Московского университета, 1986.

17. Хилле Е. Функциональный анализ и полугруппы. / Е. Хилле, Р. Филлипс М.: ИЛ, 1962.

18. Хьюитт Е. Абстрактный гармонический анализ. / Е. Хьюитт, К. Росс М.: Мир, 1975,- Т.1.

19. Хьюитт Е. Абстрактный гармонический анализ. / Е. Хьюитт, К. Росс М.: Мир, 1975 - Т.2.

20. Шейнберг М. В. Гомологические свойства замкнутых идеалов, обладающих ограниченной аппроксимативной единицей. / М. В. Шейнберг // Вестн. МГУ, сер. Матем., Мех. 1972. - т. - С. 39-45.

21. Шейнберг М. В. Инъективные модули над банаховыми алгебрами. / М. В. Шейнберг // Вестн. МГУ, сер. Матем., Мех. 1971. - №3. - С. 53-58.

22. Шейнберг М. В. Об одной характеристике C(Q) в терминах групп когомологий. / М. В. Шейнберг // УМН. 1977. - Т. 32. - №5 (197). - С. 203-204.

23. Arens R. Generalized analytic functions. / R. Arens, I. Singer // T.A.M.S. 1956. - V. 81. - P. 379-393.

24. Batikyan В. T. Point derivations on algebraic extension of Banach algebra. / В. T. Batikyan // Lobachevskii Journal of Math. 2005. - V. 6. - P. 33-37.

25. Besicovich A. Almost periodic functions. / A. Besicovich London, Cambridge University Press, 1932.

26. Bohr H. Almost periodic functions. / H. Bohr NY, 1947.

27. Bonsall F. Complete normed algebras. / F. Bonsall, T. Duncan Berlin: Springer, 1973.

28. Buck R. C. Bounded continuous functions on a locally compact space. / R. C. Buck // Michigan Math. Journal. 1958. - V. 5. - №2. - P. 95-104.

29. Giles R. A generalization of the strict topology. / R. Giles // T.A.M.S. 1971. - V. 161, November. - P. 467-474.

30. Gillman L. Rungs of continuous functions. / L. Gillman, M. Jerison Prinston, N.J., 1960.

31. Hoffman K. Fatou's theorem for generalized analytic functions. / K. Hoffman // Ser. Analyt. Func. Pringston, NY. - 1958. - V. 2. - P. 227-232.

32. Hoffman K. Maximal subalgebras of С(Г). / К. Hoffman, I. Singer // Amer. J. Math. -1957. V. 79.

33. Johnson R. Cohomology on Banach algebras. / R. Johnson Mem. Amer. Math. Soc., 1972. - №127.

34. К de Leeuw. Quasi-invariance and measures on compact groups. / К de Leeuw, I. Glicksberg // Acta Math. 1963. - V. 109. - P. 179-205.

35. Rider D. Translation invariant Diriclet algebras on compact groups. / D. Rider // P.A.M.S. - 1966. - V. 17. - №5. - P. 977-985.Публикации автора по теме диссертации

36. Grigorian S. A. Point derivations on semigroup algebras. / S. A. Grigorian, T. A. Khorkova // Izv. NAN Armenii. Math. 2006. - V. 41. - №4. - P. 1-22.

37. Хорькова Т. А. Об однородных /^-равномерных алгебрах на локально компактных абелевых группах. / Т. А. Хорькова // Тез. докл. Воронеж: ВорГУ. 2008. - С. 145-146.

38. Караханян М. И. Об одном характеристическом свойстве алгебры C(fl)p. / М. И. Караханян, Т. А. Хорькова // Сиб. матем. журнал. 2009. - Т. 50. - Ш. - С. 96-106.