Математическое моделирование электрогидродинамических поверхностных волн в жидкостях на пористой среде тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Миронова, Светлана Михайловна

• Миронова, Светлана Михайловна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Миронова, Светлана Михайловна

ВВЕДЕНИЕ

1 Моделирование волн на поверхности поляризующейся жидкости на 21 пористом основании

1.1 Уравнения электрогидродинамики

1.2 Граничные условия для электрических и гидродинамических 25 величин

1.3 Математическая модель распространения волн на поверхности 28 поляризующейся жидкости на пористом основании

2 Численное исследование волн на поверхности поляризующейся 39 жидкости на пористом основании

2.1 Численный метод исследования дисперсионного уравнения в случае поперечного электрического поля 2.2Результаты численного исследования дисперсионного уравнения для случая поперечного электрического поля 2.3Численное исследование дисперсионного уравнения в случае 56 продольного электрического поля

3 Волны на заряженной поверхности жидкого проводника на пористом 69 основании

3.1 Постановка задачи

3.2 Вывод дисперсионного уравнения

3.3 Численное исследование дисперсионного уравнения в 81 различных частных случаях

4 Распространение поверхностных волн на заряженной поверхности 91 цилиндрического столба жидкости, окружающей длинное пористое ядро

4.1 Построение математической модели распространения 91 поверхностных волн

4.2 Решение краевой задачи

4.3 Анализ модели и численное исследование дисперсионного 104 уравнения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование электрогидродинамических поверхностных волн в жидкостях на пористой среде»

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию распространения поверхностных волн в жидкостях, взаимодействующих с электрическим полем и граничащих со слоем пористой среды. Исследование поверхностных волн в жидкости, граничащей с пористой средой, представляет большой интерес для изучения природных явлений, а также во многих технологических процессах.

Волновые явления чрезвычайно широко распространены в природе и часто используются во многих технических устройствах и технологических процессах. Большой интерес представляют волны в средах, взаимодействующих с электрическим полем, в связи с различными практическими применениями. Эффекты, возникающие в жидких средах, взаимодействующих с электрическим полем, часто встречаются также во многих природных процессах, в частности, связанных с движением грунтовых вод, а также различных биологических жидкостей в живых организмах. Основными характеристиками распространения поверхностных волн являются частота и коэффициент затухания колебаний волны, в связи с этим в диссертации особое внимание уделено изучению именно этих величин.

Для решения конкретной задачи естествознания необходимо вначале построить ее математическую модель, т. е. совокупность дифференциальных уравнений и граничных условий, описывающих рассматриваемое явление. При этом одни обстоятельства считаются существенными и учитываются в модели, а другие - считаются несущественными и их не учитывают. В связи с этим каждая модель имеет свои границы применимости.

Как известно, поверхностные волны произвольного вида могут быть представлены в виде рядов или интегралов Фурье от гармонических составляющих. В связи с этим, исследование волн может быть сведено к изучению более простых, гармонических волн. Именно эти волны рассматриваются в диссертации.

Раздел гидродинамики, изучающий движение жидких сред, взаимодействующих с электрическим полем, называется электрогидродинамикой (ЭГД). Специфика электрических сил в ЭГД состоит в том, что они дают возможность управлять движением жидкости, в частности, влиять на характер распространения поверхностных волн.

Развитие гидродинамики жидких сред, взаимодействующих с электрическим полем, стимулируется в большой степени задачами управления поведения жидкостей в состоянии невесомости.

Распыление жидкости, возникающее при определенных условиях под действием электрического поля, широко используется в ряде отраслей промышленности, в частности, при проектировании электрокаплеструйных принтеров, а также для управления при помощи электрического поля процессом нанесения красящего вещества на поверхность.

Электрическое поле позволяет также интенсифицировать процесс тепло-и массопереноса в диэлектрических жидкостях, что представляет значительный интерес, в особенности при условиях невесомости.

Вышеприведенные примеры показывают, что исследование поверхностных волн в жидкостях, взаимодействующих с электрическим полем, имеет большой практический, а также теоретический интерес и является актуальным.

В работах [52, 57, 71, 74, 90-91, 97, 101, 105] описаны общие уравнения гидродинамики и движения жидкостей в пористых средах, а также общие модели гидродинамики.

В работе [105] построена математическая модель поверхности жидкости, взаимодействующей с электрическим полем, исследовано распространение нелинейных поверхностных гравитационных электрокапиллярных волн на поверхности слоя жидкого проводника.

В [31, 35, 37, 42, 45, 49, 53, 96, 109] исследованы волны и течения в слое жидкости на пористом основании при отсутствии электрического поля.

В [53] получено нелинейное уравнение для волн в пористых средах произвольной консолидации (относительной жесткости), насыщенных живой нефтью, то есть, содержащей газ.

Волны на поверхности струи жидкости, в том числе в электрическом и магнитном полях, рассмотрены в [38, 44, 75, 92,108, 129, 131,145].

В [38] во втором порядке малости по амплитуде осцилляции поверхностно однородно заряженной струи идеальной несжимаемой проводящей жидкости, движущейся с постоянной скоростью вдоль оси симметрии невозмущенной цилиндрической поверхности, получено аналитическое выражение для формы струи как функции от времени. Определены поле скоростей течения жидкости в струе и распределение электрического поля в ее окрестности.

Капиллярный распад цилиндрической конфигурации двух вязких несмешивающихся магнитных жидкостей изучен в статье [75].

Изучению влияния устойчивости неосесимметричных мод на закономерности распада струй объемно заряженных диэлектрических жидкостей с различными физическо-химическими свойствами посвящена работа [92].

Волны на жидкости с поверхностным электрическим зарядом и в жидких диэлектриках описаны в статьях [10, 12, 24-26, 28, 30, 36, 39, 43, 46-47, 76-77, 84, 86-88,98,100,104,106-107, ИЗ, 116,118-121, 127, 135-138, 143-144, 146].

Неустойчивость поверхности диэлектрической жидкости в электрическом поле рассмотрена в [98].

В докладе [100] рассматривается устойчивость жидкой струи электролита, помещенной во внешнее сильно осциллирующее потенциальное электрическое поле.

В работах [9, 11, 13-19, 21-23, 29, 34, 48, 93, 124] изучены волны на поверхности двухфазных сред и смесей.

В [14] краевая задача ставится для определения волнового движения, вызванного распространением гравитационной волны от свободной поверхности слоя двухфазной среды. Проблема решается аналитически в линейном приближении. Найдена форма свободной поверхности жидкости, фазовая скорость, частота и коэффициент затухания волны.

В [22] рассмотрена задача о распространении волн по свободной поверхности слоя двухфазной среды. В линейном приближении найдено аналитическое решение в виде затухающих установившихся волн. Определено дисперсионное соотношение, выражение для декремента затухания, а также форма свободной поверхности. Установлено, какое влияние на скорость волны оказывает дисперсная фаза.

Работа [48] посвящена исследованию поверхностных волн на заряженной границе раздела двух жидких сред.

Монография [93] посвящена изучению влияния вибраций на гидродинамические системы со свободной поверхностью жидкости или поверхностью раздела несмешивающихся жидкостей.

В [124] ставится краевая задача для определения волнового движения, вызванного распространением гравитационной волны от свободной поверхности слоя двухфазной среды. Решение ищется аналитически в линейном приближении. Изучены форма свободной поверхности, фазовая скорость, частота и коэффициент затухания волны.

В работах [15-22] исследованы поверхностные волны на слое дисперсионной жидкости.

Волны на поверхности намагничивающейся жидкости, включая пористую среду, изучены в [40, 56, 58, 61, 110 ,126, 132, 142].

В работах [1-8, 20, 27, 33, 54-55, 72, 78-81, 85, 103, 111, 114-115, 125, 130, 139] исследованы нелинейные поверхностные волны (при отсутствии пористой среды).

В статье [1] построено и проанализировано решение для линейных пространственных периодических волн в бесконечно глубокой жидкости.

Различные вопросы распространения поверхностных волн в основном в приложениях к геофизике рассмотрены в серии работ [2-8].

В [20] приведено точное аналитическое решение линейной задачи о распространении волн по свободной поверхности слоя вязкой жидкости с учетом условий прилипания на дне.

В работе [27] исследованы электрокапиллярные волны на поверхности идеальной жидкости, дан теоретический анализ влияния поверхностного электрического заряда на профиль нелинейных периодических гравитационно-капиллярных бегущих волн; приведен анализ геометрической формы волн.

В [78] Исследован линейный механизм генерации поверхностных гравитационных волн, связанный с наличием течения с постоянным горизонтальным сдвигом скорости в слое жидкости со свободной поверхностью.

В [80] в условиях резонанса Фарадея исследован срыв колебаний свободной поверхности однородной и границы раздела двухслойной жидкостей в прямоугольном сосуде.

Магнитогидродинамические поверхностные волны рассмотрены в [32, 59-70, 117,133, 135, 140-141].

В работах [59-70, 140-141] исследованы поверхностные волны, распространяющиеся в слоях жидкого проводника (металла) во внешнем магнитном поле.

В работах [82, 122] описаны волны на поверхности неоднородных (стратифицированных) жидкостей.

В [83] методом медленно меняющихся амплитуд рассчитано отражение поверхностных капиллярно-гравитационных волн от областей регулярной поверхностной конвекции в приближении идеальной и однородной вязкой жидкости.

Внутренние волны в пористых средах, насыщенных жидкостью, представлены в [50-51, 73, 82, 94-95, 99].

В [49] исследованы частотные зависимости скорости и затухания волн, распространяющихся вдоль границы насыщенной пористой среды и жидкости.

В [72] рассматриваются поверхностные и внутренние волны в слоистой идеальной жидкости при заданных перемещениях дна.

В статье [81] предложена математическая модель изменения напряженно-деформированного состояния и эволюция нелинейных волн в насыщенных пористых средах.

В [93] с использованием аппарата механики насыщенных пористых сред рассмотрено распространение гармонических поверхностных волн вдоль их свободной границы, а также на границе раздела пористой среды с жидкостью и на границе двух пористых полупространств.

Основные математические сведения о специальных функциях, использованных в диссертации, приведены в [100].

Следует отметить, что задача исследования распространения поверхностных волн в жидкостях, взаимодействующих с электрическим полем и находящихся на пористой среде, к настоящему времени не рассматривалась вообще. В связи с этим в диссертации были поставлены следующие цели.

Цель диссертационной работы

Построение и исследование математических моделей распространения поверхностных волн в жидкостях, взаимодействующих с электрическим полем и находящихся на пористой среде. В соответствии с поставленной целью было необходимо решить следующие задачи:

1. построить и численно исследовать математическую модель распространения поверхностных волн в диэлектрических жидкостях, взаимодействующих с электрическим полем и находящихся на пористой среде;

2. построить и численно исследовать математическую модель распространения поверхностных волн в электропроводных жидкостях с поверхностным зарядом, находящихся на пористой среде;

3. построить и численно исследовать математическую модель распространения поверхностных волн на заряженной поверхности цилиндрического столба проводящей жидкости, окружающей длинное пористое ядро;

4. построить математическую модель стоячих волн на поверхности слоя жидкости, находящейся на пористом основании в полости, имеющей форму прямого кругового цилиндра;

5. построить математическую модель стоячих волн в жидкости на пористой среде в сосуде, имеющем форму прямоугольного параллелепипеда;

6. разработать численный метод и соответствующий программный комплекс, позволяющие исследовать поведение решений дисперсионного уравнения, описывающего распространение волны.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. В диссертации впервые проведено исследование распространения волн в жидкостях с различными электрическими свойствами на пористой среде в электрическом поле. Этот вопрос имеет как самостоятельный научный интерес, являясь разделом механики и прикладной математики, так и в связи с разнообразными практическими приложениями, в частности, в химической технологии, экологии и геофизике. Основные результаты диссертации заключаются в следующем:

1. Впервые построена и численно исследована математическая модель распространения поверхностных волн в диэлектрических жидкостях, взаимодействующих с электрическим полем и находящихся на пористой среде.

2. Получено и численно исследовано дисперсионное уравнение, описывающее распространение поверхностных волн в диэлектрических жидкостях, взаимодействующих с поперечным к поверхности жидкости электрическим полем и находящихся на пористой среде. Исследовано влияние электрического поля на коэффициент затухания и частоту колебаний волны. Установлено, что с увеличением напряженности электрического поля при фиксированных прочих параметрах увеличиваются коэффициент затухания волны и частота волны. Установлено также, что с ростом волнового числа (уменьшения длины волны) коэффициент затухания сначала возрастает, а затем, по достижении максимального значения, убывает. При этом с ростом толщины свободного слоя жидкости значения коэффициента затухания волны уменьшаются, а значения частоты волны увеличиваются при фиксированных значениях прочих параметров. Частота волны с ростом волнового числа возрастает при каждом фиксированном значении толщины слоя свободной жидкости. С ростом пористости значения коэффициента затухания волны сначала возрастают, а по достижении точки максимума, убывают. С ростом пористости частота волны возрастает при фиксированных значениях толщины слоя свободной жидкости.

3. Численно исследовано дисперсионное уравнение для поверхностных волн в диэлектрических жидкостях на пористой среде в продольном к поверхности жидкости электрическом поле. Установлено, что зависимость коэффициента затухания волны и частоты колебаний волны от параметров, входящих в дисперсионное уравнение, аналогична случаю поперечного поля. Отличие состоит в немного меньших значениях коэффициента затухания и частоты волны при возрастании напряженности электрического поля и фиксированных значениях прочих параметров.

4. Впервые построена и численно исследована математическая модель распространения поверхностных волн в проводящих жидкостях, взаимодействующих с электрическим полем и находящихся на пористой среде.

5. Получено и численно исследовано дисперсионное уравнение, описывающее распространение поверхностных волн в проводящих жидкостях, взаимодействующих с электрическим полем и находящихся на пористой среде. Исследовано влияние поля на коэффициент затухания и частоту колебаний волны. Установлено, что с увеличением напряженности электрического поля при постоянных прочих параметрах уменьшается коэффициент затухания волны и частота волны. С ростом волнового числа (уменьшения длины волны) монотонно увеличиваются значения коэффициента затухания волны при фиксированном значении толщины пористого слоя. Частота волны с ростом волнового числа возрастает при фиксированном значении толщины слоя свободной жидкости. При увеличении толщины пористого слоя значения коэффициента затухания волны увеличиваются при каждом фиксированном значении волнового числа; при увеличении толщины слоя свободной жидкости значения частоты волны увеличиваются при каждом фиксированном значении волнового числа.

6. Впервые решена задача о распространении и неустойчивости волн на заряженной поверхности цилиндрического столба электропроводной жидкости, окружающей длинное пористое ядро. С использованием численных методов было найдено, что в области существования волн частота увеличивается, а коэффициент затухания уменьшается с увеличением радиуса жидкого столба при каждом заданном значении волнового числа и зафиксированных значениях прочих параметров. С ростом волнового числа значения коэффициента затухания волны при каждом заданном значении радиуса пористого ядра сначала резко возрастают, а затем монотонно убывают. Частота волны меняется очень слабо при изменении радиуса пористого ядра. С ростом радиуса жидкого столба максимальные значения коэффициента затухания волны уменьшаются. При каждом заданном значении волнового числа частота волны увеличивается с ростом радиуса жидкого столба. С ростом волнового числа значения частоты волны увеличиваются. Показано, что с ростом напряженности электрического поля максимальные значения коэффициента затуханий волны уменьшаются при каждом фиксированном значении волнового числа. С ростом напряженности электрического поля значения частоты волны уменьшаются. Показано, что при т = 1 затухание возмущений сильнее, а частота со(/с) волны больше, чем при т = О при каждом заданном к и одинаковых значениях прочих параметров. При т > 2 движение является апериодическим, с сильным затуханием всех возмущений.

7. Впервые построена математическая модель стоячих волн на поверхности слоя жидкости, находящейся на пористом основании в полости, имеющей форму прямого кругового цилиндра.

8. Впервые построена математическая модель стоячих волн в жидкости на пористой среде в полости, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда.

9. Для исследования поведения решений дисперсионных уравнений разработан специальный численный метод и соответствующий программный комплекс.

Методы исследования. Работа носит теоретический характер, основанный на использовании различных математических методов: метод разделения переменных для решения уравнений в частных производных, методы теории функций комплексной переменной, методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Для исследования поведения решений дисперсионного уравнения использовался комбинированный численный метод, основывающийся на методе половинного деления и модифицированном методе Ньютона. Численные расчеты проводились при помощи разработанных программ на языке Delphi.

Достоверность научных положений диссертации обеспечивается использованием хорошо известных уравнений Дарси движения жидкостей в пористых средах и других уравнений гидродинамики, уравнений Максвелла в электрогидродинамическом приближении, применением известных математических методов (включая численные методы), а также тем, что из полученных в диссертации результатов следуют как частные случаи результаты, полученные ранее в предположении отсутствия электрического поля и пористой среды.

В частности, из полученных результатов при условии, что толщина слоя пористой среды стремится к нулю, как частный случай следуют известные ранее результаты по распространению поверхностных волн на твердом непроницаемом основании. Для волн, распространяющихся по поверхности жидкого цилиндра при отсутствии электрического поля, как частный случай следует результат Релея.

В первой главе диссертации приведены общие уравнения гидродинамики, а также граничные условия для электрических и гидродинамических величин. Затем ставится задача о распространении волн на поверхности жидкого диэлектрика с постоянной диэлектрической проницаемостью, находящегося на слое диэлектрической пористой среды, насыщенной жидкостью.

Вторая глава диссертации посвящена решению задачи о распространении поверхностных волн в диэлектрических жидкостях, взаимодействующих с электрическим полем и находящихся на пористой среде. Получено дисперсионное уравнение для декремента волны, действительная и мнимая части которого дают выражения для коэффициента затухания и частоты колебаний волны. Приведен и описан численный метод, на основе которого проводилось исследование полученных в работе уравнений. Рассмотрен лишь частный случай бесконечной толщины пористой среды в связи с громоздкостью вычислений в общем случае. Отдельно исследованы случаи продольного и поперечного электрических полей, а также частный случай малой толщины слоя свободной жидкости. Зависимости коэффициента затухания и частоты колебаний волны от параметров, входящих в дисперсионное уравнение, исследованы численно, представлены на графиках и подробно описаны.

Во третьей главе диссертации решена задача о распространении поверхностных волн на поверхности проводящей жидкости, взаимодействующей с электрическим полем и находящейся на пористой среде.

Выведено дисперсионное уравнение для декремента волны. Рассмотрены частные случаи малых толщин пористого слоя и слоя свободной жидкости, а также малой толщины слоя свободной жидкости и относительно большой толщины пористой среды (малая длина волны). Зависимости коэффициента затухания и частоты колебаний волны от параметров, входящих в дисперсионное уравнение, представлены на графиках и подробно описаны.

В четвертой главе диссертации построена и исследована математическая модель распространения и неустойчивости волн на заряженной поверхности цилиндрического столба электропроводной жидкости, окружающей длинное пористое ядро. Полученное дисперсионное уравнение численно исследовано как для симметричных (ш=0), так и несимметричных (т>1) возмущений. Зависимости коэффициента затухания и частоты колебаний волны от параметров, входящих в дисперсионное уравнение, представлены на графиках, подробно описаны и проанализированы. Исследованы различные предельные случаи дисперсионного уравнения.

В приложении 1 построена и численно исследована математическая модель стоячих волн в слое жидкости на пористом основании в сосуде, имеющем форму прямоугольного параллелепипеда. Получено дисперсионное уравнение для декремента волны. Исследована зависимость коэффициента затухания волны и частоты колебаний волны от волнового числа (длины волны). Найден вид поверхности жидкости в данной математической модели.

В приложении 2 построена и исследована и численно математическая модель стоячих волн на поверхности слоя жидкости, находящейся на пористом основании в полости, имеющей форму прямого кругового цилиндра. Приведено дисперсионное уравнение для декремента волны. Исследована зависимость коэффициента затухания волны и частоты колебаний волны от волнового числа (длины волны). Найден вид поверхности жидкости в данной математической модели.

В приложении 3 приведен текст программы для численного исследования математической модели распространения поверхностных волн в диэлектрических жидкостях, взаимодействующих с поперечным к поверхности жидкости электрическим полем и находящихся на пористой среде.

В приложении 4 приведен текст программы для численного исследования математической модели распространения поверхностных волн в диэлектрических жидкостях на пористой среде в продольном к поверхности жидкости электрическом поле.

В приложении 5 приведен текст программы для численного исследования математической модели распространения поверхностных волн в проводящих жидкостях, взаимодействующих с электрическим полем и находящихся на пористой среде.

В приложении 6 приведен текст программы для численного исследования математической модели распространения волн на заряженной поверхности цилиндрического столба электропроводной жидкости, окружающей длинное пористое ядро.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

1. Построение и численное исследование математической модели распространения поверхностных волн в диэлектрических жидкостях в поперечном электрическом поле, находящихся на пористой среде. Дисперсионное уравнение для поверхностных волн. Зависимость частоты и коэффициента затухания волны от волнового числа. С увеличением напряженности электрического поля возрастают частота колебаний и коэффициент затухания волны. Частота волны увеличивается с увеличением пористости, а коэффициент затухания сначала возрастает, а по достижении максимума, убывает. С ростом толщины пористого слоя коэффициент затухания уменьшается, а частота волны возрастает при фиксированных значениях прочих параметров.

2. Численное исследование распространения поверхностных волн на поверхности диэлектрической жидкости в продольном электрическом поле, находящейся на пористой среде. Дисперсионное уравнение для поверхностных волн. Установлено, что зависимость коэффициента затухания волны и частоты волны от параметров, входящих в дисперсионное уравнение, аналогична случаю для поперечного поля. Отличие состоит в немного меньших значениях коэффициента затухания и частоты волны при возрастании напряженности электрического поля и фиксированных значениях прочих параметров.

3. Построение и численное исследование математической модели распространения поверхностных волн в проводящих жидкостях в электрическом поле, находящихся на пористой среде. Дисперсионное уравнение для поверхностных волн. С увеличением напряженности электрического поля при постоянных прочих параметрах уменьшаются коэффициент затухания и частота волны. С ростом волнового числа (уменьшения длины волны) монотонно увеличивается коэффициент затухания волны при фиксированном значении толщины пористого слоя. Частота волны с ростом волнового числа возрастает при фиксированном значении толщины слоя свободной жидкости. При увеличении толщины пористого слоя коэффициент затухания волны увеличивается при каждом фиксированном значении волнового числа; при увеличении толщины слоя свободной жидкости частота волны увеличивается при каждом фиксированном значении волнового числа.

4. Построение и численное исследование математической модели распространения и неустойчивости волн на заряженной поверхности цилиндрического столба жидкости, окружающей длинное пористое ядро. Частота волны увеличивается с ростом волнового числа, а коэффициент затухания сначала резко возрастает, а по достижении максимума - монотонно убывает. С ростом напряженности электрического поля частота волны и коэффициент затухания уменьшаются. С увеличением радиуса пористой среды частота волны изменяется слабо, а коэффициент затухания увеличивается.

5. Построение математической модели стоячих волн на поверхности слоя жидкости, находящейся на пористом основании в полости, имеющей форму прямого кругового цилиндра.

6. Построение математической модели стоячих волн в слое жидкости на пористом основании в полости, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда.

7. Численный метод, разработанный для исследования поведения решений дисперсионного уравнения в зависимости от значений параметров задачи.

8. Программный комплекс, разработанный для решения поставленных задач:

• две программы, написанные на языке Delphi, для численного расчета распространения волн на поверхности поляризующейся жидкости на пористом основании для случаев поперечного и продольного электрического поля;

• программа, написанная на языке Delphi, для численного расчета распространения волн на заряженной поверхности жидкого проводника на пористом основании;

• программа, написанная на языке Delphi, для численного расчета распространения поверхностных волн на заряженной поверхности цилиндрического столба жидкости, окружающей длинное пористое ядро.

Практическая значимость. Результаты исследований, проведенных в диссертации, имеют самостоятельный научный интерес, являясь разделами гидродинамики, а, кроме того, могут быть использованы для изучения некоторых природных явлений, а также расчета различных технических устройств и технологических процессов, в которых используются жидкости, взаимодействующие с электрическим полем и имеющие свободную поверхность. Например, в аппаратах химической технологии, в устройствах транспортирования диэлектрических жидкостей по трубам и каналам, в особенности в условиях невесомости.

Электрическое распыление жидкости широко используется во многих отраслях промышленности. Процессы распыления основаны на гидродинамической неустойчивости волн, распространяющихся на свободной поверхности жидкости.

В последнее время обнаружились новые способы интенсификации тепломассообмена в диэлектрических жидкостях с использованием электрического поля. Значение этого обстоятельства особенно велико в связи с тем, что электрическое поле позволяет управлять процессом тепломассообмена, даже в условиях невесомости.

Особенно интенсивно теплоотдача происходит при кипении жидкости, связанного с гидродинамической неустойчивостью волн, распространяющихся на поверхности раздела пара и жидкости. При этом слой пара обволакивает нагретую твердую поверхность, защищая жидкость от соприкосновения с ней. Неустойчивость поверхности раздела пара и жидкости приводит к ее деформации в виде волнообразной конфигурации, приводящей к возникновению пузырьков - кипению. Поперечное к поверхности жидкости электрическое поле дестабилизирует эту поверхность, что приводит к увеличению количества паровых пузырьков, а следовательно, к усилению интенсивности кипения. На этом эффекте основано широкое использование диэлектрических жидкостей в приложенном электрическом поле в разнообразных охлаждающих устройствах.

Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на следующих научных мероприятиях:

Международная научная конференция «Приоритетные направления развития науки, технологий и техники», 20-27 ноября 2009 г., г. Шарм-Эль-Шейх, Египет;

Международная научная конференция «Современные наукоемкие технологии», 10-17 апреля 2010 г, г. Тель-Авив, Израиль;

Всероссийская научно-практическая конференция «46-е Евсевьевские чтения», 20 мая 2010, г. Саранск;

Третья научно-практическая региональная конференция «Современные проблемы математического и информационного моделирования. Перспективы разработки и внедрения инновационных 1Т-решений», 14-15 апреля 2010 г., г. Тюмень;

Седьмая Всероссийская конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», 3-6 июня 2010 г, г. Самара;

Всероссийская научно-практическая конференция «Актуальные проблемы механики, математики, информатики», 12-15 октября 2010 г., г. Пермь;

Восьмая Всероссийская конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», 15-17 сентября 2011 г., г. Самара;

X Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, 24-30 августа 2011 г., г. Нижний Новгород;

Всероссийская с международным участием научно-практическая конференция «Математика и математическое моделирование», 13-14 октября 2011 г., г. Саранск;

II Всероссийская молодежная научная конференция «Современные проблемы математики и механики», 12-14 октября 2011 г., г. Томск.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 14 публикациях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, шести приложений, содержит 194 страницы машинописного текста, включая 41 рисунок. Список использованных источников состоит из 146 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Миронова, Светлана Михайловна

Выводы к главе 4. Исследовано распространение и неустойчивость волн на заряженной поверхности цилиндрического столба жидкости, окружающей длинное пористое ядро. Рассмотрена область длинных волн (О < к < 2 см-1), которая при симметричных возмущениях (т = 0) и достаточно слабых полях (0 < Е0 < 30 ед. СГС) делится критической точкой кс на два интервала. В интервале 0 < к < кс происходит апериодическое движение (/? < 0) с нарастающей амплитудой, приводящее к образованию капель. Рост амплитуды происходит с наибольшей скоростью при некотором к = кт, при котором |/?| достигает максимума. При этом жидкий столб распадается на капли размером Лт ~ 2п/кт. Из табл. видно, что Хт уменьшается с ростом Е0 (при неизменных значениях прочих параметров).

В интервале кс < к < 2 см-1 существуют затухающие волны, характер зависимости частоты со и коэффициента затухания /? которых от волнового числа к, для разных значений Е0, виден из графиков на рис. 3.3.1, 3.3.2. При к -> кс (Я -» Яс = 2п/кс) движение жидкости замедляется, то есть а) -» 0, /3 0, что связано с взаимной нейтрализацией стабилизирующего влияния на жидкий столб со стороны поверхностного натяжения и дестабилизирующего влияния поверхностной электрической силы.

При Е0 > 30 ед. СГС в интервале 0 < к < 2 см-1 появляются две критические точки к1с и к2с так, что в интервалах 0 < к < к1с и к 2с < к <2 см-1 существуют затухающие волны, а в интервале к1с < к < к2с движение апериодическое, приводящее к образованию капель. В концах интервала 0 < к < к1с, то есть при к -» 0 и к к1с справедливо ы(к) -» 0 и /?(&) 0, а внутри этого интервала непрерывные функции о)(к) > 0 и /3 (к) > 0 принимают некоторые максимальные значения.

При т = 1 затухание возмущений сильнее, а частота а) (к) волны больше, чем при т = 0 при каждом заданном к и одинаковых значениях прочих параметров.

В области существования волн частота а) увеличивается, а коэффициент затухания /? уменьшается с увеличением радиуса а0 жидкого столба при каждом заданном значении волнового числа к и зафиксированных значениях прочих параметров.

При т > 2 движение является апериодическим, с сильным затуханием всех возмущений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В первой главе даны основные уравнения, а также граничные условия для электрических и гидродинамических величин. Затем ставится задача о распространении волн на поверхности жидкого диэлектрика с постоянной диэлектрической проницаемостью, находящегося на слое диэлектрической пористой среды, насыщенной жидкостью.

Вторая глава диссертации посвящена решению задачи о распространении поверхностных волн в диэлектрических жидкостях, взаимодействующих с электрическим полем и находящихся на пористой среде. Записана система дифференциальных уравнений движения жидкости и соответствующие граничные условия. Решение уравнений ищется в виде затухающих бегущих волн. Получено дисперсионное уравнение для декремента волны, действительная и мнимая части которого дают выражения для коэффициента затухания и частоты колебаний волны. Рассмотрен лишь частный случай бесконечной толщины пористой среды в связи с громоздкостью вычислений в общем случае. Отдельно исследованы случаи продольного и поперечного электрических полей, а также частный случай малой толщины слоя свободной жидкости. Зависимости коэффициента затухания и частоты колебаний волны от параметров, входящих в дисперсионное уравнение, исследованы численно, представлены на графиках и подробно описаны.

В третьей главе диссертации решена задача о распространении поверхностных волн на поверхности проводящей жидкости, взаимодействующей с электрическим полем и находящейся на пористой среде. Выведено дисперсионное уравнение для декремента волны. Рассмотрены частные случаи малых толщин пористого слоя и слоя свободной жидкости, а также малой толщины слоя свободной жидкости и относительно большой толщины пористой среды (малая длина волны). Зависимости коэффициента затухания и частоты колебаний волны от относительно большой толщины пористой среды (малая длина волны). Зависимости коэффициента затухания и частоты колебаний волны от параметров, входящих в дисперсионное уравнение, исследованные численно, представлены на графиках и подробно описаны.

В четвертой главе диссертации построена и исследована математическая модель распространения и неустойчивости волн на заряженной поверхности цилиндрического столба электропроводной жидкости, окружающей длинное пористое ядро. Полученное дисперсионное уравнение численно исследовано как для симметричных (т=0), так и несимметричных (т>1) возмущений. Зависимости коэффициента затухания и частоты колебаний волны от параметров, входящих в дисперсионное уравнение, численно исследованы, представлены на графиках, подробно описаны и проанализированы. Исследованы различные предельные случаи дисперсионного уравнения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Миронова, Светлана Михайловна, 2012 год

1. Абрашкин, А. А. Пространственные волны на поверхности вязкой жидкости / А. А. Абрашкин // Известия РАН. МЖГ. 2008. - №6. - С. 8986.

2. Алешков, Ю. 3. Волны на поверхности слоя жидкости с деформируемым дном / Ю. 3. Алешков // «Потоки и структуры в жидкостях», Международная конференция «Потоки и структуры в жидкостях», 20-23 июня 2005 г. : материалы. М., 2005. - С. 167-169.

3. Алешков, Ю. 3. Волны на поверхности цилиндрического бассейна / Ю. 3. Алешков // Труды Средневолжского мат. об-ва. Саранск. - 2005. -Том 7, № 1. - С. 20-24.

4. Алешков, Ю. 3. Математическая теория волн на воде. / Ю. 3. Алешков // Сб. Кирин Николай Ефимович. СПб.: 2003. - С. 64-74.

5. Алешков, Ю. 3. Математическое моделирование физических процессов / Ю. 3. Алешков СПб, 2001. - 264 с.

6. Алешков, Ю. 3. Нелинейная теория взаимодействия волн с преградами / Ю. 3. Алешков // Труды Средневолжского мат. об-ва. Саранск. Том 6, № 1,2004.-С. 65-69.

7. Алешков, Ю. 3. Нелинейные поверхностные волны на слое двухфазной среды / Ю. 3. Алешков, Баринов В. А., Бутакова Н. Н. // Вестн. СПбУ. Сер. 1. Вып. 4 (№ 25). 2003. - С. 64-75.

8. Алиев, И. Н. Особенности комбинированной неустойчивости заряженный границы раздела движущихся сред / И. Н. Алиев, С. О. Юрченко, Е. В. Назарова // Инженерно-физический журнал. 2007. -Т.80. - №5. -С. 64-69.

9. Архипов, Д. Г. Моделирование длинных нелинейных волн на границе раздела горизонтального потока двухслойный вязкой жидкости в канале / Д. Г. Архипов, Г. А. Хабахпашев // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2005. - №1. - С. 143-158.

10. Баринов, В. А. Волны на свободной поверхности двухфазной среды / В. А. Баринов, Н. Н. Бутакова // Прикладная механика и техн. физика -2002. Т. 43. - № 4. - С. 27-35.

11. Баринов, В. А. Волны на свободной поверхности смеси с неоднородной концентрацией дисперсной фазы / В. А. Баринов, Н. Н. Бутакова // Вестник ТюмГУ. 2002. - № 3.

12. Баринов, В. А. Исследование распространения волн по свободной поверхности двухфазной жидкой смеси / В. А. Баринов, Н. Н. Бутакова // Вестник ТюмГУ. 2001. - № 2. - С. 182-190.

13. Баринов, В. А. Нелинейная задача о волнах на свободной поверхности двухфазной смеси / В. А. Баринов, Н. Н. Бутакова // Математическое и информационное моделирование. Тюмень: Изд-во Тюмен. ун-та, 2002. -Вып. 4.-С. 133-144.

14. Баринов, В. А. Поверхностные волны на слое вязкой жидкости ограниченной глубины / В. А. Баринов, Н. Н. Бутакова // Вестник Тюменского государственного университета. 2007. - №5. - С. 118-122.

15. Баринов, В. А. Поверхностные волны на слое дисперсной жидкости / В. А. Баринов, Н. Н. Бутакова // Математическое и информационное моделирование Тюмень: Изд-во Тюмен. ун-та, 2000. - С. 57-63.

16. Баринов, В. А. Пространственная задача о волнах на свободной поверхности двухфазной смеси / В. А. Баринов, Н. Н. Бутакова // Вестник ТюмГУ. 2002. - № 3.

17. Баринов, В. А. Распространение волн по свободной поверхности двухфазной смеси / В. А. Баринов, Н. Н. Бутакова// Изв. РАН. МЖГ. -2003.-№6-С. 94-102.

18. Батраков, А. В. Наблюдение динамики развития электрогидродинамической неустойчивости на поверхностижидкометаллического катода / А. В. Батраков, С. А. Попов, Д. И. Проскуровский // Письма в ЖТФ, 1993, Т. 19, В. 19. С. 66-70.

19. Белоножко, Д. Ф. Нелинейные периодические волны на заряженной поверхности вязкой жидкости конечной проводимости / Д.Ф. Белоножно, С.О. Ширяева, А.И. Григорьев // Журнал технической физики. 2005. -Т.75 - №2. - С. 37^14.

20. Белоножко, Д. Ф. Неустойчивость заряженной границы раздела двух несмешивающихся вязких жидкостей с учетом релаксации заряда / Д. Ф. Белоножко, А. И. Григорьев, С. О. Ширяева // Журнал технической физики. 1998. - Т. 68. -№ 9. - С. 13-19.

21. Белоножко, Д. Ф. Неустойчивость плоской границы раздела двух несмешивающихся проводящих вязких жидкостей в нормальном электростатическом поле / Д. Ф. Белоножко, А. И. Григорьев, С. О. Ширяева // Изв. РАН МЖГ, 1998, В. 6, С. 116-123.

22. Бутакова, Н. Н. Поверхностные волны на слое дисперсной жидкости // Международная конференция молодых ученых : материалы. / Ишим. -Изд-во Ишим. пед. ин-та, 2001. С. 146-148.

23. Васин, С. И. Пористая сферическая капсула в однородном потоке жидкости / С. И. Васин // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. № 4. Часть 3. Н.Новгород : Изд-во ННГУ им. Н. И. Лобачевского, 2011. - С. 675-676.

24. Владимиров, В. В. Плазменио-капиллярные волны на поверхности жидкого металла / В. В. Владимиров, П. М. Головинский // ЖТФ, 1983, Т. 53, В. 1, С. 128-133.

25. Волков, П. К. Моделирование движения жидкости в подземном пласте / П. К. Волков // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. № 4. Часть 3. Н. Новгород : Изд-во ННГУ им. Н. И. Лобачевского, 2011. - С. 689-691.

26. Габович, М. Д. Исследование нелинейных волн на поверхности жидкого металла, находящегося в электрическом поле / М. Д. Габович, В. Я. Порицкий // Письма в ЖЭТФ, 1981, Т. 33, В. 6. С. 320-324.

27. Гайлитис, А. Форма поверхностной неустойчивости ферромагнитной жидкости / А. Гайлитис // Магнитная гидродинамика, 1969, В. 1, С. 68-70.

28. Гершуни, Г. 3. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости / Г. 3. Гершуни, Е. М. Жуховицкий М.: Наука, 1972. - 392 с.

29. Горьков, Л. П. О режиме развития неустойчивости заряженной поверхности гелия / Л. П. Горьков, Д. М. Черникова // ДАН СССР, 1976, Т. 228, В. 4, С. 829-832.

30. Григорьев, А. И. Влияние диэлектрических проницаемостей жидкости и окружающей среды на устойчивость струи, движущейся параллельно внешнему однородному электростатическому полю / А. И. Григорьев,

31. С. О. Ширяева, Н. А. Полянцев // Электронный научный журнал «Исследовано в России» zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2011/011 .pdf

32. Григорьев, А. И. Капиллярные электростатические неустойчивости / А. И. Григорьев // Соросовский образовательный журнал. 2000. - Т. 6. -№6.-С. 37^3.

33. Григорьев, А. И. Нелинейный анализ временной эволюции неустойчивой плоской заряженной поверхности жидкости / А. И. Григорьев, С.О. Ширяева, Д.Ф. Белоножко, A.B. Климов// Журнал технической физики. 2005. - Т. 75. - №2. С. 19-27.

34. Григорьев, А. И. Неустойчивость заряженной плоской границы раздела сред по отношению к тангенциальному разрыву на ней зависящего от времени поля скоростей / А. И. Григорьев // ЖТФ, 2000, Т. 70, В. 1, С. 24-26.

35. Губайдуллин, А. А. Одномерные линейные волны с осевой и центральной симметрией в насыщенных пористых средах / А. А. Губайдуллин, О. Ю. Кучугурина // Итоги исследований : материалы. / Тюмень. -ТюмГУ, 1994.-С. 41-50.

36. Губайдуллин, A.A. Распространение волн вдоль границы насыщенной пористой среды и жидкости / А. А. Губайдуллин, О. Ю. Болдырева // Акустический журнал. 2006. - Т. 52. - №2. - С. 201-211.

37. Дразин, Ф. Введение в теорию гидродинамической устойчивости / Ф. Дразин; Пер. с англ. Под ред. А. Т. Ильичева. М.: ФИЗМАЛИТ, 2005. -288 с.

38. Дунин, С. 3. Нелинейные волны в пористых средах, насыщенных «живой» нефтью // С. 3. Дунин, В. Н. Николаевский // Акустический журнал. 2005. -Т. 51.-№5.-С. 74-79.

39. Дьяченко, А. И. Нелинейная динамика свободной поверхности идеальной жидкости / В. Е. Захаров, Е. А. Кузнецов // Физика Плазмы, 1996, Т. 22, В. 10, С. 916-928.

40. Жакин, А. И. О нелинейных равновесных формах и нелинейных волнах на поверхности феррожидкости (идеального проводника) в поперечном магнитном (электрическом) поле / А. И. Жакин // Магнитная гидродинамика, 1983, В. 4, С. 41^8.

41. Жилин, А. А. Изучение процессов пропитки и сушки пористых материалов / А. А. Жилин // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. № 4. Часть 3. Н. Новгород : Изд-во ННГУ им. Н. И. Лобачевского, 2011. - С. 777-778.

42. Задорожный, А. И. Анализ спектра колебаний намагничивающейся жидкости в диффузном приближении / А. И. Задорожный, В. И. Колесников // Обозрение прикладной и промышленной математики. -М., 2001. Т. 8. -С. 226-227.

43. Задорожный, А. И. Собственные колебания жидкости конечной электропроводимости при наличии внешнего магнитного поля / А. И. Задорожный, Р. А. Грунтфест. Новосибирск: ПМТФ. Т. 41, № 2. -2000.-С. 3-10.

44. Задорожный, А. И. Собственные колебания потока жидкого металла в неоднородном магнитном поле / А. И. Задорожный // XII зимняя школа по МСС, 25-31 января 1999. : материалы. / Пермь, 1999. С. 147.

45. Задорожный, А. И. Собственные колебания тонкого слоя жидкого металла конечной электропроводимости при наличии внешнего магнитного поля /

46. А. П. Задорожный, Р. А. Грунтфест, В. И. Колесников // Известия ВУЗов, Сев.-Кав. Регион, ест. Науки. № 3. - 1999. - С. 35-39.

47. Задорожный, А. И. Собственные колебания тонкого слоя жидкости конечной электропроводимости при наличии внешнего магнитного поля / А. И. Задорожный, Р. А. Грунтфест. Новосибирск: ПМТФ. Т.41, №6. -2000. - С. 27-35.

48. Задорожный, А. И. Эффект стабилизации собственных гравитационных колебаний двухслойной электропроводной вязкой жидкости горизонтальным магнитным полем / А. И. Задорожный // Вестник РГУ ПС. Ростов-на-Дону, 2004. - №1. - С. 87-92.

49. Зарубин, В. С. Математические модели термомеханики / В.С.Зарубин, Г. Н. Кувыркин. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 168 с.

50. Захаров, В. Е. Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости / В. Е. Захаров // ЖПМТФ, 1968, В. 2. -С. 86-94.

51. Захаров, Д. Д. Поверхностные и внутренние волны в стратифицированном слое жидкости и анализ импедансных граничных условий / Д. Д. Захаров // Прикладная математика и механика, 2006. - Т. 70. - №4. -С. 631-641.

52. Ильичев, А. Т. Уединенные волны в моделях гидромеханики /

53. A. Т. Ильичев. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 266 с.

54. Кажан, В. А. Капиллярный распад цилиндрической конфигурации двух вязких несмешивающихся магнитных жидкостей / В. А. Кажан,

55. B. М. Коровин // XI Международная Плесская конференция по магнитным жидкостям, Плес, сентябрь 2004. Иваново: Издательство Ивановского гос. энергетического ун-та. - 2004. - С. 227-232.

56. Калашник, М. В. Линейная динамика возмущений в течениях с постоянными горизонтальным сдвигом / М. В. Калашник, Д. Г. Ломинадзе, Г. Д. Чагелишвили // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2005. -№6. - С. 25-37.

57. Калашник, М. В. Линейный механизм генерации поверхностных гравитационных волн в течении с горизонтальным сдвигом / М. В. Калашник // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 2008. Т. 133. -№1. -С. 171-182.

58. Калиниченко, В. А. О прогрессивно-стоячих волнах Фарадея / В. А. Калиниченко, С. Я. Серж-Зенькович // Вестник Нижегородскогоуниверситета им. Н. И. Лобачевского. № 4. Часть 3. Н. Новгород : Изд-во ННГУ им. Н. И. Лобачевского, 2011. - С. 820-821.

59. Калиниченко, В. А. О срыве параметрических колебаний жидкости /

60. B. А. Калиниченко, С. Я. Секерж-Зенькович // Известия РАН. МЖГ. -2010.-№1.-С. 128-136.

61. Керимова, Ш. А. Математическая модель развития нелинейных волн в насыщенных пористых средах / Ш. А. Керимова, С. С. Аллахвердиева // Естественные и технические науки. 2009. - №4. - С. 402^108.

62. Кистович, А. В. Динамика гравитационно-капиллярных волн на поверхности неоднородно нагретой жидкости / А. В. Кистович, Ю. Ф. Чашечкин // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2007. -Т. 43. -№1. - С. 109-116.

63. Колмаков, Г. В. Длинноволновая структура на заряженной поверхности жидкости / Г. В. Колмаков, Е. В. Лебедева // ЖЭТФ, 1999, Т. 115. В. 1.1. C. 43^49.

64. Комиссарова, Г. Л. Свойства поверхностных волн в заполненном жидкостью упругом цилиндре / Г. Л. Комиссарова // Акустический журнал.- 2009. Т. 55. - №3. - С. 315-325.

65. Кузнецов, Е. А. О существовании гексагонального рельефа на поверхности жидкого диэлектрика во внешнем электрическом поле / Е, А. Кузнецов, М. Д. Спектор //ЖЭТФ, 1976, Т. 71, В. 1(7), С. 262-272.

66. Курочкина, С. А. Нелинейные периодические волны на заряженной поверхности слоя идеальной жидкости конечной толщины (01 ;03) / С. А. Курочкина, А. И. Григорьев // Журнал технической физики. 2005. -Т. 75.-№ 11.-С. 44-51.

67. Курош, А. Г. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош. М.: Наука, 1968. - 331 с.

68. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика: Учеб. пособие. В 10 т. Т. VI. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. -736 с.

69. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика: Учеб. пособие. В 10 т. Т. VIII. Электродинамика сплошных сред. / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. М.: Физматлит, 2005. - 656 с.

70. Любимов, Д. В. Динамика поверхностей раздела в вибрационных полях / Д. В. Любимов, Т. П. Любимова, А. А. Черепанов М.: Физматлит, 2003. -216 с.

71. Марков, М. Г. Распространение низкочастотных поверхностных волн вдоль плоских границ в насыщенных пористых средах / М. Г. Марков, И. А. Маркова, С. Н. Садовничий // Акустический журнал. 2010. - Т. 56. -№3.- С. 333-340.

72. Михайлов, Д. Н. Некоторые особенности продольных волн Френкеля-био в частично насыщенных пористых средах / Д. Н. Михайлов // Геофизические исследования. 2005. - №3. - С. 84-96.

73. Морозов, П. Е. Фильтрационные волны давления в пористых и трещинно-пористых средах / П. Е. Морозов // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. № 4. Часть 3. Н. Новгород : Изд-во ННГУ им. Н. И. Лобачевского, 2011. - С. 996-998.

74. Нигматулин, Р.И. Динамика многофазных сред / Р.И. Нигматулин. В 2-х ч. - М.: Наука, 1987. - 360с.

75. Поленов, В. С. Распространение волн в насыщенной жидкостью неоднородной пористой среде / В. С. Поленов, А. В. Чигарев // Прикладная математика и механика. 2010. - Т.74. - №2. -С.276-284.

76. Седов, Л. И. Механика сплошной среды. В 2-х т. / Л. И. Седов. М.: Наука, 1973.-536 с.

77. Справочник по специальным функциям / под ред. М. Абрамовича, И. Стигана. М.: Наука, 1979. - 830с.

78. Столяров, И. В. Распространение поверхностных волн в слое жидкости на пористом основании / И. В. Столяров, Н. Г. Тактаров // Известия АН СССР. МЖГ. 1987. - №5. - С. 183-186.

79. Стурова, И. В. Поверхностные волны от внешнего периодического давления в жидкости с неровным дном / И. В. Стурова // Прикладная механика и техническая физика. 2005. - №1. - С. 70-77.

80. Суворов, В. Г. К численному моделированию динамики жидкой проводящей поверхности в сильном электрическом поле / В. Г. Суворов // Письма в ЖТФ. 2000. - Т. 26. - В. 1. - С. 66-70.

81. Тактаров, Н. Г. Математическое моделирование электрокапиллярных явлений / Н. Г. Тактаров // «Современные проблемы электрофизики и электродинамики жидкостей», IX Международная научная конференция

82. Современные проблемы электрофизики и электродинамики жидкостей», 22 июня 26 июня 2009 г. : материалы. / СПб., 2009. - С. 61-65.

83. Тактаров, Н. Г. Поверхностные гравитационные электрокапиллярные волны / Н. Г. Тактаров // Успехи современного естествознания. М., 2004, №6, С. 17-20.

84. Тактаров, Н. Г. Поверхностные гравитационные электрокапиллярные волны на слое жидкого проводника / Н. Г. Тактаров, Э. Н. Егерева // Современные наукоемкие технологии. 2004, №5, С. 10-15.

85. Тактаров, Н. Г. Распад струи магнитной жидкости / Н. Г. Тактаров // Магнитная гидродинамика. 1975, №2, С. 35-38.

86. Тамм, И. Е. Основы теории электричества / И. Е. Тамм. М. : Наука, 1976. -616 с.

87. Феонычев, А. И. Устойчивость термокапиллярной конвенции и режимы течения жидкости при воздействии стоячих поверхностных волн / А. И. Феонычев // Инженерно физический журнал. - 2007. Т. 80. - №5. -С. 108-115.

88. Френкель, Я. И. К теории Тонкса о разрыве поверхности жидкости постоянным электрическим полем в вакууме / Я. И. Френкель // ЖЭТФ, 1936, Т. 6, В. 4, С. 347-350.

89. Черепанов, А. А. Поведение границы раздела жидкостей в вибрационном поле, поляризованном по кругу / А. А. Черепанов, Д. В. Шипулин // Конвекция в системах несмешивающихся жидкостей. Екатеринбург: РАН, 1999.-С. 134-154.

90. Черникова, Д. М. Гистерезис при развитии неустойчивости заряженной жидкой поверхности / Д. М. Черникова // ФНТ, 1980, Т. 6, В. 12, С. 15131521.

91. Шайдуров, В. А. Распространение модельных МГД волн вдоль тонких магнитных трубок / В.А. Шайдуров // Математические модели и методы их исследования. Красноярск. - 2001 - С. 258-263.

92. Ширяева, С. О. Влияние релаксации вязкости на величину инкремента неустойчивости Тонкса-Френкеля / С. О. Ширяева, О. А. Григорьев // Письма в ЖТФ, 1999, Т. 25, В. 2, С. 1-А.

93. Ширяева, С. О. Волновое движение в заряженной вязкоупругой жидкости / С. О. Ширяева, О. А. Григорьев, М. И. Муничев, А. И. Григорьев // ЖТФ, 1996, Т. 66, В. 10, С. 47-62.

94. Ширяева, С. О. О некоторых закономерностях реализации неустойчивости плоской заряженной поверхности жидкости / С. О. Ширяева, А. И. Григорьев, Д. Ф. Белоножко // ЖТФ, 1999, Т. 69, В. 7, С. 15-22.

95. Ширяева, С. О. Эффект динамического поверхностного натяжения и капиллярное волновое движение на заряженной поверхности жидкости / С. О. Ширяева, О. А. Григорьев, А. И. Григорьев // ЖТФ, 1996, Т. 66, В. 10, С. 31-46.

96. Янке, Е. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. М. : Наука, 1977. - 344 с.

97. Barinov, V. A. Waves on the free surface of a two-phase medium / V. A. Barinov, N. N. Butakova // J. of Appl. Mech. and Tech. Phys. 2002. - Vol. 43. - № 4. - Pp. 512-518.

98. Crapper, G. D. An exact solution for progressive capillary waves of arbitrary amplitude / G. D. Crapper // J. Fluid Mech, 1957, Vol. 2. P. 532-540.

99. Gailitis, A. Formation of the hexagonal pattern on the surface of a ferromagnetic fluids in an applied magnetic field / A. Gailitis // J. Fluid. Mech, 1977, V. 82, No. 3,P. 401-413.

100. He, J. Effects of viscosity on capillary wave instabilities of a planar liquid-metal surface in an electric field. / J. He, N. M. Miskovsky, P. H. Culter, M. Chung // J. Appl. Phys, 1990, V. 68, No. 4, P. 1475-1482.

101. Huebner, A. L. Instability and breakup of charged liquid jets / A. L. Huebner, H. N. Chu // J. Fluid Mech. 1971, V. 49, Pt. 2, P. 361-372.

102. Khenner, M. V. Stability of plane-parallel vibrational flow in a two-layer system / M. V. Khenner, D. V. Lyubimov, T. S. Belozerova, B. Roux // Eur. J. Mech. В/Fluids.-1999.-V. 18.-P. 1085-1101.

103. Korovin, V. M. Capillary disintegration of a ferrofluid cylindrical film magnetized to saturation by an axial magnetic field / V. M. Korovin // Technical Physics. The Russian Journal of Applied Physics. 2008. T. 53. № 5. P. 554— 561.

104. Korovin, V. M. Capillary instability of the cylindrical interface between ferrofluids in a magnetic field with circular field lines / V.M. Korovin // Technical Physics. The Russian Journal of Applied Physics. 2001. - T.46. -№12.-P. 1504-1513.

105. Melcher, J. R. Field-coupled surface waves / J. R. Melcher // MIT Press, Cambridge Mass, 1963. 190 p.

106. Melcher, J. R. Electrohydrodynamic and magnetohydrodynamic surface waves and instabilities / J. R. Melcher // Phys. Fluids Mech, 1961, V. 4, No 11, P.1348-1354.

107. Miskovsky, N. M. Electrodynamical study of the instability of a thin liquid metal film: Applications to planar liquid metal ion sources / N. M. Miskovsky, J. He, P. H. Culter, M. Chung // J. Appl. Phys, 1991, V. 69, No. 4, P. 19561961.

108. Taylor, G. I. The stability of a horizontal fluid interface in a vertical electric field / G. I. Taylor, A. D. McEwan // J. Fluid Mech, 1965, V. 22, part 1. P. 15.

109. Tonks, L. A theory of liquid surface rupture by a uniform electric field / L. A. Tonks // Phys. Rev, 1935. V.48. P.562-568.

110. Wright, J. Numerical studies of two-dimensional Faraday oscillations of inviscid fluids / J. Wright, S. Yon, C. Pozrikidis // J. Fluid Mech. 1999. - V. 402. - P. 1-32.

111. Zeleny, J. Instability of electrified liquid surfaces / J. Zeleny // Phys. Rev., 1917, V. 10, No. 1,P. 1-6.

112. Zubarev, N.M. Equilibrium configurations of charged conducting fluid jets / N. M. Zubarev, О. V. Zubareva // Труды конф. Progress in Nonlinear Science, Изд. НГГУ : H. Новгород., 2002. С. 293-296.

113. Список опубликованных работ по теме диссертации Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК

114. Миронова, С. М. Распространение волн на заряженной поверхности цилиндрического столба жидкости, окружающей длинное пористое ядро / С. М. Миронова, Н. Г. Тактаров // Известия РАН, Механика жидкости и газа.-2012.-№4.

115. Публикации в прочих изданиях

116. Миронова, С. М. Распространение поверхностных волн в слое жидкого диэлектрика на пористом основании / С. М. Миронова // Современные наукоемкие технологии. 2009. - № 9. - С.138-141.

117. Миронова, С. М. Исследование стоячих волн в слое жидкости на пористом основании в полости, имеющей форму параллелепипеда /

118. Тактаров, Н. Г. Математическое моделирование волн в слое жидкого диэлектрика на пористом основании / Н. Г. Тактаров, С. М. Миронова // Вестник мордовского университета. Сер. Физико-математические науки. - 2010. - №4. - С. 75-78.

119. Тактаров, Н. Г. Математическое моделирование поверхностных волн в слое электропроводной жидкости на пористом основании в электрическом поле / Н. Г. Тактаров, С. М. Миронова // Международный журнал экспериментального образования. 2010. - №2. - С. 8-14.

120. Миронова, С. М. Моделирование стоячих волн в слое жидкости в сосуде, имеющем форму параллелепипеда на пористом основании / С. М. Миронова // «Математика и математическое моделирование»,

121. Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Математика и математическое моделирование», 13-14 октября 2011 г.: материалы. Саранск, 2011. - С. 234-236.