Совершенствование расчета сжатых и изгибаемых элементов деревянных конструкций на устойчивость тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Шорстов Роман Александрович

• Шорстов Роман Александрович
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Шорстов Роман Александрович

Введение

Глава 1. Состояние вопроса. Постановка задачи

1.1 Обзор публикаций по устойчивости сжатых стержней

1.2 Обзор работ по вопросам устойчивости плоской формы изгиба балок

1.3 Выводы по главе

Глава 2. Устойчивость центрально сжатых деревянных стоек переменного сечения

2.1 Вывод разрешающих уравнений для шарнирно опертого по концам стержня

2.2 Расчетные зависимости при вариантах закрепления «шарнир -защемление» и «защемление-защемление»

2.3 Расчетные зависимости для варианта закрепления «свободный край-защемление»

2.4 Устойчивость стержней двутаврового поперечного сечения

2.5 Выводы по главе

Глава 3. Оптимизация сжатых деревянных стоек переменного сечения по критерию максимума критической нагрузки

3.1 Оптимизация стержня при возможной потере устойчивости в одной плоскости

3.2 Оптимизация стержня при возможной потере устойчивости в двух плоскостях. Постановка задачи

3.3 Результаты решения задачи оптимизации стержня при возможной потере устойчивости в двух плоскостях

3.4 Выводы по главе

Глава 4. Устойчивость плоской формы изгиба балок с узким прямоугольным

поперечным сечением

4.1 Методика расчета

4.2 Случай действия равномерно распределенной по длине нагрузки

4.3 Учет вертикального смещения распределенной нагрузки относительно центра тяжести поперечного сечения

4.4 Шарнирно опертая по концам балка под действием сосредоточенной силы в середине пролета

4.5 Учет вертикального смещения нагрузки относительно центра тяжести для случая приложения сосредоточенной силы в середине пролета

4.6 Оптимизация положения точечных раскреплений растянутой от изгибающего момента кромки

4.7 Оптимизация положения точечных раскреплений сжатой от изгибающего момента кромки

4.8 Выводы по главе

Заключение

Список литературы

Приложение А. Программы расчета на ЭВМ

Приложение Б. Таблицы коэффициента, учитывающего раскрепление растянутой кромки балки

Приложение В. Внедрение результатов диссертационной работы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Совершенствование расчета сжатых и изгибаемых элементов деревянных конструкций на устойчивость»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Древесина на протяжении многих веков является одним из основных конструкционных материалов в строительстве, что обусловлено ее высокими физико-механическими и техническими качествами. На современном этапе развития строительной отрасли в области проектирования и возведения зданий и сооружений с использованием конструкций из дерева имеет место значительный прогресс благодаря применению клееных деревянных конструкций.

Для совершенствования проектных решений и снижения материалоемкости строительства требуется разработка и развитие научно-обоснованных методов расчета и оптимизации строительных конструкций. Во многих конструкциях используются элементы с постоянной по длине геометрией поперечного сечения, однако из соображений уменьшения расхода материала в некоторых случаях целесообразно применять элементы переменной жесткости. Для изгибаемых элементов анализ несущей способности помимо расчета на прочность должен включать расчет на устойчивость плоской формы деформирования.

Решение данной задачи требует от инженера-проектировщика умения корректно оценить реальную работу конструкции, учесть переменность размеров сечения, уровень и характер приложения внешней нагрузки, граничные условия, в том числе наличие раскреплений, связей жесткости и т.д. Создание рациональных и экономичных элементов деревянных конструкций возможно только при комплексном рассмотрении перечисленных вопросов.

Степень разработанности проблемы. Решению задач устойчивости сжатых и изгибаемых элементов постоянного и переменного по длине сечения посвящено множество работ, включая таких ученых, как Л. Прандтль, С. П. Тимошенко, А. С. Вольмир, А. Р. Ржаницын, И. И. Кулинич, М. Ю. Козельская, Н. И. Закиева, А. А. Карамышева, С. Б. Языев и др.

В действующих нормах проектирования деревянных конструкций (СП 64.13330.2017) для сжатых элементов с меняющейся по длине высотой

поперечного сечения переменная жесткость учитывается коэффициентом кжМ, который для различных вариантов закрепления предлагается определять по одной и той же расчетной формуле, с чем нельзя согласиться. Для изгибаемых элементов сплошного прямоугольного поперечного сечения подкрепление из плоскости изгиба в промежуточных точках растянутой кромки при расчете на устойчивость плоской формы изгиба в СП 64.13330.2017 учитывается коэффициентом кпМ, который не зависит от способа закрепления балки и характера действующей на нее нагрузки, что также является спорным.

Впервые на несовершенство норм проектирования деревянных конструкций в части расчета на устойчивость в своей кандидатской диссертации указал А.А. Журавлев. Однако его исследования были направлены на корректировку только коэффициента кжМ, учитывающего переменную жесткость изгибаемых элементов. Дальнейшие исследования по устойчивости плоской формы изгиба деревянных балок проводились А.А. Карамышевой, но она не анализировала влияние дополнительных раскреплений растянутой от изгибающего момента кромки на величину критической нагрузки.

Цель работы: совершенствование нормативных методик расчета на устойчивость сжатых и изгибаемых элементов конструкций из дерева, и разработка методов их оптимизации.

Задачи исследования:

- разработка алгоритмов расчета сжатых деревянных элементов переменной жесткости и получение зависимостей, пригодных для инженерных вычислений;

- решение задач оптимизации сжатых деревянных элементов переменного по длине сечения из условия максимума критической нагрузки;

- разработка алгоритмов расчета на боковое выпучивание балок с узким прямоугольным сечением с учетом промежуточных раскреплений растянутой от изгибающего момента кромки;

- сравнение результатов расчета балок на боковое выпучивание с положениями, представленными в действующих нормах проектирования деревянных конструкций и разработка рекомендаций по их корректировке;

- исследование влияния положения раскреплений растянутой и сжатой кромки из плоскости изгиба на величину критической нагрузки.

Научная новизна работы:

- предложены новые алгоритмы определения критической нагрузки для сжатых элементов переменного по длине поперечного сечения, позволяющие получить решение при произвольной геометрии стержня за счет использования безразмерных параметров;

- предложены новые алгоритмы оптимизации сжатых стержней переменного по длине сечения в том числе при различном закреплении в двух плоскостях;

- впервые разработаны алгоритмы расчета на боковое выпучивание изгибаемых элементов прямоугольного сечения при наличии промежуточных раскреплений растянутой от изгибающего момента кромки с учетом характера закрепления балки и действующей на нее нагрузки, позволяющие получить решение, не зависящее от геометрии балок;

- предложен способ повышения критической нагрузки для балок при боковом выпучивании за счет изменения положения промежуточных раскреплений.

Теоретическая значимость работы:

- предложена новая модификация метода конечных элементов, основанная на использовании безразмерных величин и позволяющая получить решение, справедливое для произвольной геометрии конструкции;

- показана возможность сведения задачи устойчивости плоской формы изгиба балки с промежуточными раскреплениями к задаче устойчивости тонкой пластины с введением поправочного коэффициента;

- установлено существенное влияние характера действующей нагрузки и закрепления балки на нормативный коэффициент кпМ, учитывающий раскрепление в промежуточных точках растянутой от изгибающего момента кромки.

Практическое значение работы:

- получены удобные для инженерных расчетов зависимости для расчета сжатых и изгибаемых элементов деревянных конструкций на устойчивость;

- для сжатых элементов переменного по длине сечения определены оптимальные по критерию максимума критической нагрузки соотношения между геометрическими параметрами при неизменном расходе материала;

- разработано программное обеспечение в среде МЛТЬЛБ для определения критической нагрузки и оптимизации сжатых элементов деревянных конструкций переменной жесткости, а также балок с промежуточными раскреплениями в растянутой от изгибающего момента кромке.

Методы исследования. Исследование базируется на численных методах строительной механики и теории упругости, методах нелинейной оптимизации конструкций. Для расчетов использованы метод конечных разностей и метод конечных элементов, реализация которых выполнена автором в пакете МЛТЬЛБ. Основные положения, выносимые на защиту:

- алгоритмы расчета на устойчивость сжатых деревянных стержней переменного сечения;

- полученные автором упрощенные зависимости, предлагаемые для использования в инженерных расчетах;

- алгоритмы и результаты решения задач оптимизации сжатых деревянных стержней переменной по длине жесткости;

- алгоритмы расчета на устойчивость плоской формы изгиба деревянных балок прямоугольного сечения с учетом промежуточных раскреплений в растянутой от изгибающего момента кромке;

- результаты исследования влияния положения промежуточных раскреплений балок на величину критической нагрузки.

Достоверность полученных результатов обеспечивается:

- строгой математической постановкой задачи, проверкой выполнения граничных условий, дифференциальных и интегральных соотношений;

- сравнением результатов с решениями других авторов и положениями действующих норм проектирования;

- сравнением с результатами расчета в программных комплексах ANSYS и ЛИРА-САПР.

Внедрение результатов работы. Разработанные автором программные продукты и рекомендации по расчету на устойчивость элементов деревянных конструкций используются в практике проектирования института ООО «Севкавнипиагропром».

Апробация работы. Результаты исследования докладывались на III Международной научной конференции «BuildlnTech BIT 2022. Инновации и технологии в строительстве» (г. Белгород, 2022), IV Всероссийской (национальной) научно-практической конференции «Современные проблемы материаловедения» (г. Липецк, 2023), Всероссийской (национальной) научно-практической конференции «Актуальные проблемы науки и техники» (г. Ростов-на-Дону, 2023).

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех глав, основных выводов, списка использованной литературы и приложений. Изложена на 122 страницах машинописного текста и содержит 58 рисунков и 17 таблиц.

Основное содержание работы.

Во введении обоснована актуальность проблемы и выбор направления исследования, сформулированы цели и задачи, основные положения, приведена краткая аннотация всех глав работы.

В главе 1 представлен литературный обзор по выбранному направлению исследования, в котором рассматриваются публикации по вопросам расчета на устойчивость сжатых деревянных стержней, а также деревянных балок.

В главе 2 решаются задачи расчета на устойчивость сжатых деревянных элементов с линейно меняющейся по длине высотой поперечного сечения. Выполняется сравнение результатов с положениями, представленными в действующих нормах проектирования деревянных конструкций, и вносятся предложения по их корректировке.

Глава 3 посвящена вопросам оптимизации сжатых элементов деревянных конструкций переменной жесткости. Решение задач оптимизации выполняется

численно и аналитически из условия максимума критической нагрузки с ограничением на расход материала.

В главе 4 изложены вопросы расчета на боковое выпучивание деревянных балок прямоугольного сечения с учетом промежуточных раскреплений в растянутой от изгибающего момента кромке. Производится анализ влияния характера нагружения балки и закрепления ее концов на коэффициент кпМ, который в действующих нормах предполагается не зависящим от данных факторов. Также в данной главе представлено исследование влияния положения промежуточных раскреплений из плоскости изгиба растянутой и сжатой от момента кромки на величину критической нагрузки.

В заключении приведены основные результаты и выводы по работе.

ГЛАВА 1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

1.1 Обзор публикаций по устойчивости сжатых стержней

Впервые задача устойчивости центрально сжатого стержня была поставлена Л. Эйлером (1744 г.). Им было получено выражение критической силы для консольного стержня постоянного сечения под действием продольной силы на конце. В основе решения Эйлера лежало приближенное дифференциальное уравнение устойчивости, в котором проводилась линеаризация выражения, определяющего кривизну изогнутой оси стержня. Долгое время существовали сомнения, вызванные корректностью данного подхода, более того, имелось даже мнение, что верный результат, полученный на основе решения линеаризованного дифференциального уравнения, был случаен.

Указанное мнение по отношению к результату Эйлера нельзя считать справедливым. В первую очередь, тогда еще не был разработан математический аппарат, позволяющий решить точное дифференциальное уравнение изгиба, теория эллиптических интегралов появилась позднее. Во-вторых, сам линейный подход, а также статический критерий Эйлера представляют отдельную ценность, которая в настоящее время не вызывает сомнений. По критерию Эйлера критическая нагрузка определяется как наименьшая нагрузка, при которой помимо основной формы равновесия (для стержня - прямолинейная) статически возможно существование смежной, бесконечно близкой к ней формы равновесия (для стержня - изогнутой). Необходимо отметить, что современную трактовку данного критерия сформулировал Ф. С. Ясинский. Спустя 100 лет после Эйлера указанная точка зрения была поддержана даже известным специалистом в области строительной механики А. Клебшем (1862 г.), имевшим в своем распоряжении таблицы эллиптических функций.

Решение точного дифференциального уравнения было впервые получено Ж. Лагранжем для случая шарнирно опертого по концам стержня при помощи рядов. Им была установлена зависимость между нагрузкой, длиной стержня и

стрелой прогиба, из которой при стреле прогиба, равной нулю, вытекало выражение для Эйлеровой силы. В дальнейшем на основе таблиц эллиптических функций было показано, что при незначительном увеличении сжимающей силы свыше критической наблюдается существенный рост напряжений.

Лагранжу также принадлежит постановка задачи о наивыгоднейшем очертании колонны. С точки зрения облегчения конструкции целесообразно применять сжатые стержни переменной жесткости с увеличением ее в зоне, где изгибающие моменты продольные силы оказываются наибольшими. Правда, изготовление стержней переменной жесткости требует более сложной технологии. Но для крупных сооружений это заведомо окупается экономией материала, затрачиваемого на конструкцию [1]. Довольно часто применяются составные стержни переменной жесткости, имеющие две или несколько ветвей. Такие стержни часто встречаются в конструкциях башен, мачтах, стрелах подъемных кранов и т.д.

Ряд задач, относящихся к устойчивости стержней переменной жесткости представлен в монографиях А.Н. Динника [2], А.С. Вольмира [1]. Для стержня со ступенчатым изменением жесткости при малом числе участков задача может быть решена аналитически и сводится к трансцендентному уравнению [3]. При непрерывном изменении жесткости стержня по степенному закону решение также может быть получено аналитически с использованием функций Бесселя либо степенных рядов [4].

Для аналитического решения дифференциального уравнения устойчивости с переменными коэффициентами также применяется метод осреднения, суть которого состоит в том, что исходная краевая задача для уравнения с переменными коэффициентами представляется через решение аналогичной краевой задачи для уравнения с постоянными коэффициентами. К основным способам такого представления относятся метод малого геометрического параметра и метод тензоров Грина. Первый метод был разработан Н.С. Бахваловым [5, 6]. Он приспособлен для случая периодической зависимости коэффициентов уравнений от координат. Второй метод применяется для линейных уравнений при

произвольной зависимости коэффициентов от координат, включая и периодическую. Данный метод базируется на интегральном представлении решения исходного линейного уравнения с переменными коэффициентами с использованием соответствующего тензора Грина и решением аналогичной задачи для уравнения с постоянными коэффициентами [7, 8, 9]. Один из примеров применения описанного метода для упругих стержней со ступенчатым изменением жесткости приведен в работе [10].

При сложных законах изменения жесткости, наличии нелинейности и ползучести непосредственное интегрирование уравнения изогнутой линии усложняется, и расчет на устойчивость следует проводить с использованием численных и численно-аналитических методов.

Вопросам применения приближенных методов к расчетам на устойчивость стержней переменной жесткости посвящено большое количество работ, включая публикации И. И. Кулинича [11, 12], М. Ю. Козельской [13, 14, 15], Н. И. Никоры [16, 17], А. Е. Дудник [18], Ю. В. Немировского и А. П. Янковского [19], Б.М. Языева [20], С. Б. Языева [21, 22], С. В. Литвинова [23] и др. К наиболее распространенным методам, используемым для решения данной задачи, относятся метод конечных разностей, метод Ритца-Тимошенко, метод Бубнова-Галеркина и метод конечных элементов.

Подробный обзор аналитических решений задачи оптимизации консервативно нагруженных сжатых стержней представлен в работах А.П. Сейраняна [24, 25]. В частности, данная проблема рассматривается в работах таких ученых, как Е.Л. Николаи [26], Н.Г. Ченцов [27], А. Ф. Смирнов [28], А.И. Лурье [29], О. Таджбах и Д. Келлер [30], Н.В. Баничук [31], В.Б. Гринев и А.П. Филиппов [32], В.А. Троицкий и Л.В. Петухов [33], Н. Ольхофф [34] и др.

Особенностью аналитических решений задачи оптимизации сжатой колонны является наличие точек с нулевой площадью, где будут возникать бесконечные напряжения. Таким образом, для создания реальных конструкций эти решения неприменимы. Решение с учетом ограничения на минимальную площадь поперечного сечения может быть выполнено с использованием численных

методов. Численные решения задач оптимизации сжатых стержней приведены в работах С. В. Ракши [35], А. И. Маневича [36], А. В. Муханова [37], А. С. Чепурненко и Б. М. Языева [38], Е. Д. Леонтьевской [39], Л.С. Ляховича [40] и др.

Для колонны сплошного круглого сечения, шарнирно опертой по концам, максимальная экономия материала, которой можно достичь при оптимизации ее формы, составляет 13,4% [41]. Соответствующее увеличение критической нагрузки в сравнении со стержнем постоянной жесткости при той же массе составляет 33%. В случае трубчатого или коробчатого сечения экономия в весе может оказаться значительно большей.

Несмотря на значительное число публикаций по устойчивости сжатых стержней переменной жесткости, действующие нормы проектирования деревянных конструкций СП 64.13330.2017 [42] в этом вопросе остаются весьма консервативными и не претерпевали изменений с 80-х годов прошлого века. В СП 64.13330.2017 содержатся указания по расчету деревянных стоек сплошного прямоугольного и двутаврового сечения при изменении высоты сечения по длине как линейной функции. Коэффициент продольного изгиба для таких конструкций дополнительно умножается на коэффициент кжМ, определяемый по табл. Г. 2. При этом спорным является положение о том, что для двух вариантов закрепления: «шарнир-шарнир» и «шарнир-защемление» коэффициент кжМ определяется по одной и той же расчетной формуле. Также в действующих нормах нет расчетной формулы для случая, когда по стержень по обоим концам заделан жестко.

Кроме того, представляет интерес решение задач оптимизации стержней с линейно меняющейся высотой поперечного сечения и определение области их эффективного использования.

1.2 Обзор работ по вопросам устойчивости плоской формы изгиба балок

Первые теоретические исследования по вопросам устойчивости плоской формы деформирования балок при изгибе были проведены Л. Прандтлем [43],

С. П. Тимошенко [44, 45, 46], Ф. Блейхом [47], А. Р. Ржаницыным [48, 49] и А. С. Вольмиром [1]. Одни из ранних работ, в которых к расчету балок на боковое выпучивание были применены численные методы, в частности метод конечных элементов, принадлежат M. Attard [50], C. Borri и H. W. Hufendiek [51], K. M. Hsiao и G.Y. Hou [52], P. Dumonteil [53].

В работах Н. Г. Агаева [54, 55] впервые рассмотрены задачи устойчивости плоской формы изгиба балок переменного сечения. Большое количество публикаций по боковому выпучиванию балок переменной жесткости принадлежит научной школе Б. М. Языева, включая работы А. А. Карамышевой [56, 57],

A. С. Чепурненко [58, 59], А. П. Лапиной [60], С. Б. Языева [61] и др.

Работа Н. Г. Агаева и Т. Х. Алиева [56] посвящена решению задачи бокового выпучивания балок с учетом неупругих свойств материала. Исследование устойчивости плоской формы деформирования при чистом изгибе балок из пластических и хрупких разупрочняющихся материалов проводится также в работе

B. В. Стружанова и Е. А. Бахаревой [57].

В статьях B. Heimeshoff [58] и И. С. Заривняк [59, 60, 61, 62] исследуются вопросы устойчивости составных деревянных балок, в которых отдельные слои связаны механическими связями. Утверждается, что предлагаемые подходы могут быть применены и в случае клеевого соединения слоев.

Устойчивость деревянных конструкций при длительных нагрузках рассматривается в работах К. П. Пятикрестовского [63], А. П. Лапиной [64]. Аналогичные задачи для полимерных балок решаются в работах И. М. Зотова [65, 66].

Большинство работающих в реальных условиях деревянных балок имеют раскрепления горизонтальными связями жесткости. При исследовании устойчивости таких конструкций возможны два различных варианта расчетных схем. Если жесткость связей достаточно велика, расчет может выполняться как для балок, имеющих в опорных сечениях вилкообразные устройства, а в пролете неподвижные точечные закрепления сжатой или растянутой зоны от бокового выпучивания [73]. Во втором случае предполагается, что общая система из балок м

связей жесткости между ними обладает боковой податливостью [74]. При этом используется приближенный метод, основанный на представлении связей жесткости в виде эквивалентной балки с приведенной жесткостью на изгиб. Такой прием применительно к конструкциям деревянных балок постоянного прямоугольного сечения был впервые применен в диссертационной работе M. Speich [75], а затем в работе А. А. Журавлева [76] был распространен на балки переменного по длине сечения.

Исследования устойчивости плоской формы изгиба балок с точечными подкреплениями проводились Б. Дурдневым [77] и А.Я. Дривингом [78]. В указанных работах вскрыты качественные закономерности характера потери устойчивости, и установлена зависимость критического параметра, соответствующего изгибающему моменту, от отношения пролета балки к высоте поперечного сечения при чистом изгибе.

В действующих нормах проектирования деревянных конструкций закрепления сжатой от момента кромки из плоскости изгиба в промежуточных точках считаются эквивалентными закреплению по всей высоте сечения. Подкрепления из плоскости изгиба в промежуточных точках растянутой кромки элемента учитываются путем умножения коэффициента устойчивости фм на коэффициент кпМ, зависящий только от отношения длины балки к высоте и числа промежуточных раскреплений. При этом спорным является положение о том, что коэффициент кпМ не зависит от способа закрепления концов балки, характера ее нагружения и формы эпюры изгибающих моментов.

Кроме того, положения СП 64.13330.2017 применимы только для случая равноотстоящих друг от друга и опорных сечений подкреплений. Представляет интерес исследование влияния положения точечных подкреплений на величину критической нагрузки.

1.3 Выводы по главе

Проведенный обзор показал, что несмотря на значительное число публикаций по проблеме устойчивости сжатых и изгибаемых деревянных элементов, некоторые вопросы остаются весьма плохо проработанными. Действующие нормы проектирования деревянных конструкций содержат спорные положения в части расчета на устойчивость сжатых стержней переменного сечения, а также анализа устойчивости плоской формы изгиба балок при наличии точечных подкреплений растянутой кромки из плоскости изгиба.

Для сжатых деревянных стержней переменного по длине сечения отсутствуют рекомендации по рациональным областям их применения и оптимальным соотношениям геометрических параметров.

ГЛАВА 2. УСТОЙЧИВОСТЬ ЦЕНТРАЛЬНО СЖАТЫХ ДЕРЕВЯННЫХ СТОЕК ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ

2.1 Вывод разрешающих уравнений для шарнирно опертого по концам

стержня

Рассматривается центрально-сжатая шарнирно опертая по концам стойка прямоугольного поперечного сечения (рис. 2.1), высота которого меняется по линейному закону. Закон изменения высоты можно записать в виде:

= ^ ). (2.1)

Рис. 2.1 - Расчетная схема

Материал стойки предполагаем упругим. Для определения критической нагрузки воспользуемся дифференциальным уравнением продольного изгиба стержня:

Е1(х)

йх2

+ = 0

(2.2)

с граничными условиями ш(0) = w(l) = 0.

Чтобы решение было справедливо при произвольной геометрии стержня, введем безразмерную координату % = х/1, % Е [0; 1]. Тогда выражение (2.1) примет вид:

И(х) = Ио(Р + (1- № ) = к0у(О. (2.3)

При потере устойчивости в плоскости хг в уравнение (2.2) в качестве осевого момента инерции следует подставлять момент инерции 1у, который определяется по формуле:

ЬИ3 ЬИ-3 п п п <у(<>)=-^ = -[1(р3(О = 10У(()3(а

1у(0 =

(2.4)

Переход от производной по х к производной по ^ в уравнении (2.2) выполняется следующим образом:

dw dw 1 dw

йх йх I ' д2™ 1 д2™

(2.5)

ах2 I2 а^2'

Подставив (2.5) и (2.4) в (2.2), получим:

„ 1 Е10<р3(£)—^т + ?™ = 0.

I2

(2.6)

или

<Р3(0

а?

+ Ы = 0,

(2.7)

где Л =

¥12 Щ

Критическая сила выражается через безразмерный параметр Л как:

ЯЕ/0

F =

fkP ¿2

У

(2.8)

Данная формула по структуре совпадает с формулой Эйлера. При £7(х) = const, т.е. Д = 1: Я = я2.

В действующих нормах проектирования деревянных конструкций [42] переменная жесткость стержня учитывается коэффициентом , зависящим от параметра Д. Данный коэффициент для шарнирно опертого по концам стержня выражается через параметр Я следующим образом:

Я(Д)

=

П

2

(2.9)

Для решения уравнения (2.7) воспользуемся методом конечных разностей. На отрезке [0; 1] вводится равномерная сетка с шагом Л . Разностная аппроксимация уравнения (2.7) для ¿-го узла записывается в виде:

<Р3(£) ц2-^ + = 0.

(2.10)

Составляя данное уравнение для всех узлов сетки, кроме крайних, в которых = = 0, получим систему линейных алгебраических уравнений:

([4]+Я[Е]){Х} = 0, (2.11)

где {X} = { ш2 ... шп-1}т, [Е] - единичная матрица,

[4] • л С2 = --2<р3(^) <р3(^) 0 0

<р3(^) -2^3(С2) <^2) 0 0 <р3(Сз) -2^3(Сз) ^3(Сз)

0

0

0

0

0 0 0

0 0 0

о ^3(fn-i) -2^3(fn-iX

Система уравнений (2.11) является однородной и имеет ненулевое решение только в случае равенства нулю ее определителя:

|[4]+Я[Е]| = 0. (2.12)

Соответствующий критической нагрузке параметр Я является минимальным собственным значением матрицы [4], взятым со знаком «минус»:

Я = тт(—£¿^(4)),

где eig(A) - функция, возвращающая собственные значения матрицы [А].

Расчет был реализован в среде МаЙаЬ. Первым этапом для оценки необходимого количество интервалов по ^ была решена задача для стержня постоянного сечения. В табл. 2.1 представлены значения параметра X при различном числе интервалов п по а также отклонение от точного результата, равного п2.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шорстов Роман Александрович, 2024 год

- —

>у

УX

0.9 0.8

0.7

% 06

Г?

* 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

(3

Рис. 2.6 - Зависимость коэффициента кжМ от параметра Р при потере устойчивости в плоскости хг для варианта закрепления «свободный край-

защемление»

Полученные зависимости справедливы также для шарнирно опертого по концам стержня с профилем, представленным на рис. 2.8.

0.95

0.9

>

0.85

0.8

0.75

0.7

0.65

автор

~ - нормы _____ У

/У

/У У/ уУУ *

// р

Л

у У у // У* /

/ /

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

(1

Рис. 2.7 - Зависимость коэффициента кжЦ от параметра $ при потере устойчивости в плоскости ху для варианта закрепления «свободный край-

защемление»

Рис. 2.8 - Шарнирно опертый по концам стержень двускатного профиля 2.4 Устойчивость стержней двутаврового поперечного сечения

Разработанная методика позволяет так же рассчитывать на устойчивость стержни двутаврового поперечного сечения с переменной высотой (рис. 2.9). При получении расчетных зависимостей будем пренебрегать моментом инерции стенки и считать, что толщина полок мала по сравнению с шириной. В этом случае при

потере устойчивости в плоскости ху переменная высота стержня не будет влиять на величину критической нагрузки, следовательно кжМ = 1.

Рис. 2.9 - Стержень двутаврового поперечного сечения с переменной высотой

Рассмотрим случай потери устойчивости в плоскости хг. Момент инерции относительно оси у с учетом принятых допущений определяется как:

ад2

1у(х) = 2Ь8-

(2.47)

где 5 - толщина полок.

Выражение (2.47) можно представить в виде (2.30), если положить = (Р + (1- ДХ)2. Дальнейшие вычисления выполняются аналогично стержням прямоугольного сечения с использованием уравнений, представленных в параграфе 2.3.

В действующих нормах расчета деревянных конструкций коэффициент кжМ для случаев закрепления «шарнир-шарнир» и «шарнир-защемление» определяется по формуле:

кжм = р. (2.48)

Для варианта «защемление-защемление» в СП 64.13330.2017 расчетная зависимость не приводится.

На рис. 2.10 приведена полученная автором зависимость для закрепления «шарнир-шарнир», а также прямая, построенная по формуле (2.48). При р < 0.5 погрешность формулы (2.48) превышает 5%. Вместо нее предлагается использовать следующее выражение:

кжМ = 0.0763Д2 + 0.829Д + 0.0932.

(2.49)

у <1

1

0.9 0.8 0.7 0.6 ^ 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Р

Рис. 2.10 - Зависимость коэффициента кжМ от ¡3 при закреплении «шарнир-

шарнир»

В табл. 2.5 представлено сравнение полученных автором коэффициентов кжИ для вариантов закрепления «шарнир-шарнир», «шарнир-защемление» и «защемление-защемление».

Табл. 2.5 - Сравнение коэффициентов кжМ для различных вариантов закрепления

стержня

автор

— нормы

- /V // г уф / —

/V у/ ✓

У/ ✓ ✓

/ / ✓ у

г у у

Р 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

ш-ш 0.2633 0.3504 0.4379 0.5267 0.6172 0.7097 0.8043 0.9011

ш-з 0.2506 0.3410 0.4314 0.5227 0.6153 0.7095 0.8054 0.9031

з-з 0.2434 0.3351 0.4266 0.5188 0.6122 0.7069 0.8031 0.9008

Разница между тремя рассмотренными вариантами закрепления относительно небольшая, но для повышения точности расчетов целесообразно для каждого из вариантов использовать свою формулу. Для варианта «шарнир-защемление» предлагаемая нами формула имеет вид:

кжМ = 0.0564Д2 + 0.8716Д + 0.0728. (2.50)

Для варианта «защемление-защемление» была получена следующая формула:

кжМ = 0.046402 + 0.88970 + 0.0624. (2.51)

Перейдем далее к варианту «свободный край-защемление». Для этого варианта в СП 64.13330.2017 приводится формула:

кжМ = 0.35 + 0.65^. (2.52)

На рис. 2.11 приведена полученная автором зависимость, а также прямая, построенная по формуле (2.52).

0.9

0.8

0.7

У

С1

0.6

0.5

0.4

0.3

-автор — нормы

у? У

Л У/

У У / / / //

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

(3

Рис. 2.11 - Зависимость коэффициента кжМ от ¡3 при закреплении «свободный

край-защемление»

Коэффициент кжМ для закрепления «свободный край-защемление» предлагается определять по формуле:

кжМ = -0.2004Р2 + 0.9256$ + 0.2693. (2.53)

2.5 Выводы по главе

Разработаны методики определения критических нагрузок для сжатых стержней с линейно меняющейся высотой поперечного сечения при произвольных вариантах закрепления на основе метода конечных разностей и метода конечных элементов. Выполнено сравнение с расчетными зависимостями, представленными в СП 64.13330.2017. В ряде случаев отклонение результатов превышает 5%. С использованием метода наименьших квадратов подобраны уточненные формулы.

Установлено, что для вариантов закрепления стержня «шарнир-шарнир», «шарнир-защемление» и «защемление-защемление» коэффициент кжМ, учитывающий переменную жесткость, отличается незначительно.

Итоговый проект изменений в табл. Е.2 СП 64.13330.2017 приведен в табл. 2.6. Предлагаемые откорректированные формулы выделены зеленым цветом.

Табл. 2.6 - Проект изменений в табл. Е.2 СП 64.13330.2017

Условия опирания элементов

кжЫ при проверке

элементов прямоугольно сечения

в плоскости ух

в плоскости Х2

в плоскости ух

в плоскости

Х2

(0.4 + 0.6Р)Р

0.4 + 0.6$

р

0.511602 + 0.50040 -

0.0103

0.130502 + 0.71930 + + 0.4079

0.076302 + 0.829¡3 + + 0.0932

(0.4 + 0.6$)Р

0.51502 + 0.50540 - 0.0157

0.4 + 0.60 -0.173102 + 0.7930 +

Р

+ 0.3783

0.056402 + 0.87160 + + 0.0728

ранее не было 0.515802 + 0.50370 -

0.0172

ранее не было -0.218602 + 0.86240 + 0.3499

ранее не было 0.046402 + 0.88970 +

+ 0.0624

0.07 + 0.93(1

0.66 + 0.34(1

0.35 + 0.65(1

-0.115802 + 1.08480 + + 0.028

-0.123602 + 0.50890 + + 0.612

-0.200402 + 0.92560 + + 0.2693

1

1

1

1

Примечание: Направления осей х,у,2 в СП 64.13330.2017 отличаются от принятых в диссертации

ГЛАВА 3. ОПТИМИЗАЦИЯ СЖАТЫХ ДЕРЕВЯННЫХ СТОЕК ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ ПО КРИТЕРИЮ МАКСИМУМА КРИТИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ

3.1 Оптимизация стержня при возможной потере устойчивости в одной

плоскости

Рассмотрим задачу оптимизации в следующей постановке. Стойка с линейно меняющейся в соответствии с уравнением (2.3) высотой поперечного сечения сжимается силой F. В качестве варьируемых параметров выступают высота h0 и отношение Д. Ширина поперечного сечения и длина стержня принимаются постоянными. Требуется найти такие значения h0 и чтобы при постоянной массе стержня критическая сила была максимальна.

Решим данную задачу сначала для случая, когда потеря устойчивости происходит в плоскости xz. Объем стержня можно вычислить по формуле:

h0+$h0 1 + р V = 0 lb = h0lb—у- = const. (3.1)

2 2

Выразим из (3.1) высоту h0 через объем:

2К

h0=Tb(rWy (32)

Критическая сила для стержня переменного сечения может быть вычислена по формуле:

п2Е10

Ш

где кжМ(Р) определяется по формулам, полученным в предыдущей главе диссертации.

Момент инерции 10 представим в виде:

bh3 b / 2V \3 2V3 1

JL Ij * d

(33)

(3.4)

) 3l3b2 (1 + B)3 y J

12 12\1Ь(1 + Р)) 313Ь2 (1 + Р)3' Тогда выражение для критической силы примет вид:

п2Е 2 V3 кжМ((1) п2Е 2 V3

(3.5)

кр (до2 З13ь2 (1 + ю3 З13ь2

Таким образом, задача поиска максимума критической силы сводится к поиску максимума функции f(P) = kжN(P)/(1 + P)3. На рис. 3.1 показаны графики зависимости целевой функции от параметра Р для вариантов закрепления «шарнир-шарнир», «шарнир-защемление» и «свободный край-защемление».

Из представленных графиков видно, что результаты для вариантов «шарнир-шарнир», «шарнир-защемление» отличаются незначительно. То же самое касается варианта «защемление-защемление». Для этих вариантов максимум критической силы достигается при р = 1, т.е. при постоянном сечении.

0.18

У **

/ /

/ / г

— шарнир-шарнир

— свободный край-защемление

ж* Ж * ж* ж * Ж т ж * ж* ж* ж *

Ж ¥ г * ♦ *

0.16 0.14 0.12 ^ 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

£

Рис. 3.1 - Зависимость целевой функции от параметра Р при потере устойчивости

в плоскости хг

Точка максимума для варианта «свободный край-защемление» может быть найдена аналитически. Для этого возьмем производную от целевой функции по @ и приравняем к нулю:

¿/з а+№ '

В итоге для нахождения оптимального значения $ имеем уравнение:

й к-цт л/

-^(1 + Р)-3кжИ = 0. (3.7)

Подставив (2.44) в (3.7), получим: d п

— (—0.И58В2 + 1.0848В + 0.028)-а$

-3(-0.1158$2 + 1.0848(1 + 0.028) = 0. (3 8)

(-0.2316$ + 1.0848)(1 + $) + 0.3474$2 - 3.2544$ - 0.084 = 0.

После упрощения получим квадратное уравнение, которое в диапазоне $ Е [0; 1] имеет корень $опт = 0.426. Критическая сила для стержня с оптимальным значением $ в 1.29 раз выше, чем для стержня постоянного сечения той же массы.

Рассмотрим также решение, когда коэффициент кжМ определяется по нормативной формуле кжМ = 0.07 + 0.93$. В этом случае, используя (3.7), получим:

0.93(1+ $)- 3(0.07 + 0.93$) = 0. (3.9)

Это уравнение даст нам $опт = 0.387.

Перейдем далее к случаю потери устойчивости в плоскости ху. В этом случае в формулу (3.3) в качестве момента инерции 10 следует подставлять момент инерции 12, определяемый по формуле:

Ь3к0 Ь3 2У Ь2У 1 ,

10=17 =-0 =---т-г =---. (3.10)

0 * 12 12 1Ь(1 + $) 61 1 + $ v У

Выражение для критической силы примет вид: _ п2Е Ь2У кжЫ($) _ п2Е Ь2У

Ркр = 'ТТ$~ = '( )

Таким образом, здесь в качестве целевой функции выступает f($) = кжМ($)/(1 + $). На рис. 3.2 представлены графики зависимости целевой функции от $ для различных вариантов закрепления стержня. Из представленных графиков

видно, что максимум целевой функции во всех случаях достигается, когда $ минимально.

Рис. 3.2 - Зависимость целевой функции от параметра $ при потере устойчивости

в плоскости ху

3.2 Оптимизация стержня при возможной потере устойчивости в двух

плоскостях. Постановка задачи.

Поскольку зависимости критической силы от параметра $ существенно отличаются при потере устойчивости в плоскостях ху и хг, интерес представляет решение задачи оптимизации с учетом возможной потери устойчивости как в плоскости ху, так и в плоскости хг. При решении данной задачи примем, что помимо $ и к0 может варьироваться также ширина сечения Ь.

Введем безразмерный параметр а = Ь/к0. Тогда объем стержня можно записать в виде:

9 1 + Р У = К21~Г

а.

(3.12)

Выразим из (3.12) к0:

ho =

Ч

2V

(3.13)

а(1 + Р)1'

Критическая сила при потере устойчивости в плоскости Х2 вычисляется как:

_п2Е10 _п2ЕУ2 к%Ь(0)

^ = й^2*^ = 1&а(1 + Ю2 (314)

При потере устойчивости в плоскости ху формула критической силы принимает вид:

л2Е1° Л2ЕУ2 кЖКЮ"

Кр ~^ху1)2кж"(Ю~ 314 Ц1У(1 + РУ (315)

Целевую функцию представим в виде:

г = тп[/1;Г2], (3.16)

где „ кХ%(Ю „

f1 = ..? , ; f2 =

№xza(l + 3)2 14у(1+Ю2'

Требуется найти такие а и чтобы целевая функция принимала максимальное значение.

3.3 Результаты решения задачи оптимизации стержня при возможной

потере устойчивости в двух плоскостях

Решение задачи нелинейной оптимизации выполнялось в среде Matlab с использованием пакета Optimization Toolbox для всех возможных сочетаний [ixy = [0.5; 0.7; 1;2] и ^xz = [0.5; 0.7; 1; 2]. В качестве оптимизационного метода использовался алгоритм последовательного квадратичного программирования (SQP) [43, 44]. Для 3 принимался диапазон возможных значений от 0.1 до 1, а для а - от 0.1 до 10. Полученные в результате оптимальные значения параметров а и 3 сведены в табл. 3.1.

Табл. 3.1 - Оптимальные значения параметров а и р при различных закреплениях

в двух плоскостях

0.5 0.7 1 2

0.5 а = 0.9817 Р = 0.9593 а = 0.7021 Р = 0.9593 а = 0.4877 Р = 0.9479 а = 0.2162 Р = 0.5036

0.7 а = 1.3957 Р = 0.9905 а = 0.9924 Р = 0.9801 а = 0.6865 Р = 0.961 а = 0.2998 Р = 0.4911

1 а = 2 Р = 1 а = 1.4309 Р = 0.9955 а = 0.991 Р = 0.9784 а = 0.4235 Р = 0.4742

2 а = 3.4156 Р = 0.7719 а = 2.4346 Р = 0.7671 а = 1.6883 Р = 0.7556 а = 0.731 Р = 0.3765

В табл. 3.1 серым выделены варианты, для которых оптимальный параметр р оказался близок к 1. Для этих вариантов использование переменного сечения неэффективно. Вообще говоря, для указанных вариантов ропт = 1, а аопт = ^ху/^хг (из условия равноустойчивости в двух плоскостях), в чем можно убедиться, если построить поверхности f(a,P). Одна из таких поверхностей, соответствующая = 1 и = 0.7, показана на рис. 3.3. Оптимальная точка, найденная при помощи МаНаЬ, отмечена красным маркером. Отклонение Р от 1 связано с тем, что касательная в отмеченной точке и при Р = 1 практически горизонтальна.

Из табл. 3.1 видно, что использование переменного сечения с линейным изменением высоты по длине эффективно, только когда хотя бы в одной из плоскостей стержень закреплен по схеме «защемление-свободный край». На рис. 3.4 - рис. 3.10 приведены поверхности для этих 7 вариантов по табл. 3.1.

Рис. 3.3 - Поверхность f(а, 0) при /1х2 = 1 и \1ху = 0.7

Рис. 3.4 - Поверхность /(а, при \1хх = 0.5 и (Аху = 2

Рис. 3.5 - Поверхность f(a, Р) при = 0.7 и (Аху = 2

Рис. 3.6 - Поверхность f(a, при цХ2 = 1 и цху = 2

Рис. 3.7 - Поверхность f(а, 0) при /1х2 = 2 и /1ху = 2

Рис. 3.8 - Поверхность f(а, 0) при /1х2 = 2 и /1ху = 1

Рис. 3.9 - Поверхность /(а, 0) при \1хх = 2 и (Аху = 0.7

Рис. 3.10 - Поверхность /(а, 0) при \1хх = 2 и (Аху = 0.5 Отметим, что на каждой из приведенных поверхностей имеется гребень, соответствующий равноустойчивому состоянию, на котором и находится

оптимальная точка. Положение этого гребня можно найти, если приравнять (3.14) и (3.15). В результате получим формулу:

дху

а = —-

дхг у

кжЫ(()

гху,„. (3.17)

Подстановка (3.17) в (3.16) приведет к следующему выражению для целевой функции:

г = ы

(3.18)

ДхуДхг(1 + Ю2 Продифференцируем (3.18) по ( и приравняем к нулю:

"кху Н^хг

жЫ и хг | "кжЫ и кжЫ + АО кжЫ

й( ж: й( ж а+ег-г^а+ю

df

2

М

кхУ кхг

жЫ жЫ

(3.19)

= 0.

После упрощений задача поиска оптимального ( сводится к уравнению:

/ 11 ху 11 хг \

Ж^Ы +^кЖУы) (1 + ()- 4кЖУыкхЫ = 0. (3.20)

При использовании зависимостей, представленных в действующих нормах

расчета деревянных конструкций, для некоторых вариантов закрепления решение

уравнения (3.20) может быть получено аналитически. Так, при дхг = дху = 2:

к£Ы = 0.07 + 0.93(;

кЖ?Ы = 0.66 + 0.34(;

^(0.66 + 0.346) "(0.07 + 0.936) \

—-— (0.07 + 0.93() +—-—-— (0.66 + 0.34() ) •

) (3.21)

•(1 + ()- 4(0.07 + 0.93()(0.66 + 0.34() = 0. (0.34(0.07 + 0.93() + 0.93(0.66 + 0.34()) • (1 + () --4(0.07 + 0.93()(0.66 + 0.34() = 0 После упрощений имеем квадратное уравнение, которое в диапазоне ( Е [0; 1] имеет корень ( = 0.3071. Данное решение несколько отличается от

результата, представленного в табл. 3.1, что объясняется различием нормативных и полученных нами формул коэффициентов кжМ. При поиске минимума функции (3.16) в Matlab с использованием нормативных формул было получено значение Р = 0.3072. По сравнению со стержнем постоянного сечения для оптимального стержня критическая нагрузка оказалась выше на 22%.

3.4 Выводы по главе

Аналитически и численно решены задачи оптимизации стержня прямоугольного поперечного сечения, высота которого меняется по линейному закону при возможной потере устойчивости в одной и в двух плоскостях. Для различных вариантов закрепления найдены оптимальные значения безразмерных геометрических параметров, обеспечивающие максимум критической нагрузки.

Установлено, что применение стержней с линейно меняющейся высотой целесообразно только в случае, когда по крайней мере в одной плоскости стержень закреплен по схеме «защемление-свободный край».

Показано, что при использовании стержней переменной жесткости прирост критической нагрузки может составить до 29% по сравнению со стержнями постоянной жесткости.

ГЛАВА 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОЙ ФОРМЫ ИЗГИБА БАЛОК С УЗКИМ ПРЯМОУГОЛЬНЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ

СЕЧЕНИЕМ

В настоящей главе будут рассмотрены вопросы устойчивости плоской формы изгиба балок прямоугольного поперечного сечения с учетом раскреплений в растянутой от момента кромке. В действующих нормах проектирования деревянных конструкций подкрепления из плоскости изгиба в промежуточных точках растянутой кромки элемента на участке 1р учитываются путем умножения коэффициента устойчивости <рм на коэффициент кпМ\

кпы = 1 +

1р к 0.142^ +1.76- +1.4ар - 1 к 1р р

2

т2

(4.1)

т2 + 1

где к - высота поперечного сечения, т - число подкрепленных (с одинаковым шагом) точек растянутой кромки на участке 1р (при т> 4 величина 2+1 принимается равной 1), ар = 0 для прямолинейных элементов.

На наш взгляд, спорным является положение о том, что коэффициент кпМ не зависит от способа закрепления концов балки и характера ее нагружения.

4.1 Методика расчета

Методику расчета рассмотрим на примере балки, испытывающей чистый

изгиб (рис. 4.1). Для определения критической нагрузки воспользуемся методом

конечных элементов. Балку будем моделировать ортотропной пластиной

размерами I на к и толщиной Ь. Пластина закреплена от прогиба в опорных

сечениях и в т равноотстоящих точках растянутой кромки. Чтобы решение было

справедливо при произвольной геометрии балки введем безразмерные координаты:

X у

*=Г'=у (42)

Также введем параметры (3 = 1/к, у = Ь/1, безразмерный прогиб = и безразмерный момент М = М/(Е±к2Ь), где Е± = 104 МПа - модуль упругости дерева вдоль волокон.

Рис. 4.1 - Расчетная схема при чистом изгибе Используемый конечный элемент показан на рис. 4.2. В каждом узле данного элемента имеется 3 степени свободы: безразмерный прогиб ^ и2 угла поворота

(X и (ру.

Рис. 4.2 - Используемый конечный элемент Для безразмерного прогиба примем следующую аппроксимацию:

Ш л) =fi+ fX + fsV + f^2 + ГбЛ2 + feto + М2Ч + ш2 + f^

+ fwV3+fnï3V+fi2^3. Или в матричном виде:

4ï,-n) = mif},

где {f} = {fi f2 ... fi2)T,

= [1 % л л2 %2л %л2 л3 %3л %л3].

Углы поворота определяются как:

dw dw <Р*=Ъ=РЪ =

= Р[0 0 1 0 2л Ç Ç2 0 3л2 Ç3 3%л2]{Н;

dw dW

(4.3)

(4.4)

(4.5)

(ру

дх

= [0 1 0 2% 0 л 2%л Л2 0 3%2л Л3Ш1

Коэффициенты ^ можно выразить через узловые перемещения, если подставить в (4.5) координаты узлов:

[С][П = { и} ^ {Г} = [С]-1{ и}, (4.6)

ш

[С2]

[Сз]

ш

где { U} =

,{Р0 = \

Wi

VÏ 9у.

X С] =

[Ci] = 1 ti

0 1

ль р

0

%

0 2 i

л21 toi 2Рль РЬ 0 ль

fo2 2Pfot л2

i3 0

3Ï2

л3

зрл2 0

Shi Ptï з$ль

fo3

3Pfo2

3

л3

Деформации в пластинке определяются как:

{ £} =

£X

у Уху,

= —z\

f d2w Л f d2w )

dx2 d(2

d2w n d2w

dy2 ? = — s l P2 У P dл2

d2w d2w

< dxdy} l2p d

= ^[В]{и},

(4.7)

где [В] =

д2{^} д^2 д2{^}

Р2 20

дт]2 д2{^}

[С]-1

д^дт] _

Связь между напряжениями и деформациями для ортотропной пластины записывается в виде:

{ о} =

О

х

о

у ху

= [ОШ

(4.8)

где [О] =

1

Е1 Е1У2 0

Е2У1 Е2 0

0 0 С(1-У1У2)

1 -