Применение метода начальных параметров к определению динамических состояний центрально-сжатых прямых неоднородных стержней тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Чадаев, Юрий Андреевич

• Чадаев, Юрий Андреевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Чадаев, Юрий Андреевич

Оглавление

Введение

1 Постановка задачи о сжато-изогнутом стержне

1.1. Основные гипотезы и вариационное уравнение

1.2. Дифференциальные уравнения состояния стержня

1.3. Последовательные приближения, модальное разложение и метод начальных параметров

2 Статические и динамические задачи для центрально-сжатых стержней 27 2.1. Определение продольной силы

2.1. Простейшая задача - плоский статический изгиб стержня постоянной продольной силой

2.1.1 Задача о шарнирно-опертом но двум концам стержне

2.1.2 Задача о защемленном одним концом стержне

2.1.3 Задача о стержне, защемленном одним концом и шарнирно-опертом другим

2.1.4 Задача о стержне, защемленном одним концом со скользящей заделкой на другом

2.2. Свободные поперечные колебания при продольной силе, не зависящей от времени (консервативные задачи)

2.2.1 Колебания шарнирно-опертого по краям стержня

2.2.2 Колебания стержня, защемленного одним концом

2.2.3 Колебания стержня, один конец которого защемлен, а на другом — скользящая заделка

2.3. Неконсервативная задача - стойка, защемленная в начале, нагруженная следящей нагрузкой на конце

2.4. Свободные поперечные колебания стержня при продольной силе, переменной по длине

3 Интервальные оценки критической силы для стержней переменной жесткости

3.1. Модификация алгоритма метода начальных параметров

3.2. Верификация метода

3.4. Оценка критической силы для стержня с непрерывным изменением

поперечного сечения

3.5. Методика интервальной оценки критической силы стержня переменного сечения

Выводы по разделу 3

Заключение и выводы

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение метода начальных параметров к определению динамических состояний центрально-сжатых прямых неоднородных стержней»

введение

Постоянное развитие отраслей промышленного, гражданского и энергетического строительства подразумевает наличие стержней в качестве основных несущих элементов строительных конструкций. Основной нагрузкой на вертикальные элементы каркаса строительного сооружения является вес элементов конструкции и пространственная система сил, обусловленная присоединением горизонтальных элементов каркаса, плит перекрытия, весом установленного оборудования и т. д. Таким образом, моделью каркасного здания является система упругих стержней, часть из которых нагружена продольными сжимающими и поперечными нагрузками. Несущая способность таких элементов зависит не только от площади их поперечного сечения, длины, условий закрепления, формы поперечного сечения, материала, но и от взаимного влияния простейших состояний: поперечного изгиба и продольного растяжения/сжатия. Общеизвестно, что при сжимающей продольной нагрузке при достижении ею определенной критической величины может произойти потеря устойчивости начального прямолинейного состояния и переход к криволинейной форме, в которой присутствуют силовые и кинематические факторы, характерные для состояния изгиба. Массовость применения модели требует учитывать как статический, так и динамический характер нагрузок.

Решение проблем прикладных задач устойчивости стержней встречается еще в работах JI. Эйлера, Д. Бериулли, Ж. Лагранжа, Ж. Даламбера. Более поздние научные исследования в этом направлении приведены в работах Кармана Т., Николаи ЕЛ., Тимошенко С.П., Шенли Ф., Рокара I I, Хоффа II., Джанелидзе Г.Ю., Пановко Я.Н., Феодосьева В.И, Толоконникова Л.Л., Вольмира A.C., Болотина В.В., Зубчанинова В.Г., Ржаницына А.Р.

Применительно к упругим стержням основные результаты, достигнутые в 30-х годах прошлого века, показали, что классический подход Эйлера, основанный на рассмотрении устойчивости статического состояния, в некоторых задачах приводит к парадоксальным результатам: например, «парадокс Николаи» заключается в том, что сжатый следящей силой и закрученный стержень всегда устойчив. Такого рода парадоксы привели к разделению задач устойчивости на консервативные и неконсервативные. Соответственно появились и новые методы решения неконсервативных задач, основанные на анализе малых колебаний стержня вокруг положения равновесия. Таким образом, к задачам теории устойчивости стержней оказались применимыми методы математической теории устойчивости движения [26]. Полученные в рамках динамического подхода новые решения приведены в монографиях В.В. Болотина [14] и A.C. Вольмира [20].

Другое направление развивалось в работах Т. Кармана и С.II. Тимошенко, в которых рассматривается устойчивость стержней за пределами упругости. В работе В.Г. Зубчанинова [34] рассмотрены современные концепции устойчивости за пределами упругости.

Следует отметить, что расчет на устойчивость давно стал неотъемлемой частью нормативной литературы [23,57.. .53], справочной литературы по расчетам на прочность [50], а также многочисленных учебников по сопротивлению материалов [2, 9, 22, 28, 33, 42, 71, 72, 77] и строительной механике [10, 21, 27, 35, 36, 37, 40, 49, 58, 67, 68, 73]. Известен ряд работ российских и зарубежных ученых, посвященных динамическим задачам [85. 87, 88, 89, 91, 92, 93, 94] и аналитическим решениям [84], изданным за рубежом.

В настоящее время развитие теории устойчивости стержней связано с учетом нелинейных и неупругих свойств материалов [11, 16, 29, 66, 87,92].

В то же время совершенствование методов расчета на устойчивость линейно-упругих стержней и стержневых систем не потеряло актуальности и сейчас. Разработка аналитических моделей, особенно в динамике, позволяет создавать эффективные алгоритмы, универсальные по отношению к условиям закрепления и нагружения стержней, например, при следящих и «мертвых» нагрузках. Кроме того, наличие таких моделей и алгоритмов для линейно-упругих стержней позволяет строить функциональные базисы для решения неупругих (как, например, в [31)) задач или начальных приближений для физически нелинейных задач. Таким обраюм, тема диссертации является актуальной и является развитием теории устойчивости упругих прямых стержней.

Целью диссертации является разрабо1ка эффективного алгоритма определения критической силы для С1ержней переменного поперечного сечения в динамической постановке.

Задачи диссертации:

1. На основании метода начальных парамефов (МНИ) разработать и верифицировать аналитические модели статики и динамики центрально-сжатого прямого стержня постоянного сечения.

2. Разработать и верифицировать модификацию МНП для моделирования стержней со ступенчатым изменением жесткости подлине.

3. Разработать методику оценки критической силы для стержня, образованного вращением плоской непрерывной кривой вокруг оси.

Теоретическая и практическая значимость работы.

1. Разработан новый метод интервальной оценки критической силы для стержня переменного поперечного сечения.

2. Получены универсальные аналитические решения, применимые для консервативных и неконсервативных постановок.

3. Решены задачи динамической устойчивости для конического стержня и стержня выпуклого и вогнутого профилей.

Практическую ценность работы представляет разработанная методика интервальной оценки критической силы в динамической постановке и результаты решения конкретных задач.

Методология и методы исследования.

В работе используется методология построения численной модели стержня переменного сечения на основании аналитических моделей. Для построения аналитических моделей использовались методы механики деформируемого твердого тела (МДТТ), теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории интегральных преобразований, ГГ - модели аналитических вычислений.

На защиту выносятся:

1. Аналитические модели статики и динамики центрально-сжатого прямого стержня, в том числе и с распределенной продольной нагрузкой.

2. МНП — модели стержней с кусочно-постоянным сечением.

3. МНП — модель стержня с непрерывным изменением сечения по длине.

4. Методика интервальной оценки критической силы для стержня переменного сечения.

Достоверность и апробация результатов:

Достоверность результатов обусловлена корректным применением методов МДТТ, математических методов и сравнением результатов с известными из литературы решениями других авторов.

Результаты работы докладывались на всероссийских и международных научных конференциях: «Современные проблемы математики, механики, информатики» (2010, ТулГУ), Инновационные наукоёмкие технологии: Теория, эксперимент и практические результаты (2010, 201 1, 2012, 2013, ТулГУ), Современное общество, образование и наука (2014, Тамбов), XVII Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 2013). Лниотация работы:

В настоящей работе рассматриваются задачи динамики для упругих неоднородных стержней. Основой работы является метод начальных параметров (МНП), подробно изложенный в [5] применительно к расчету ступенчатых валов. Отличием является использование модели стержня, учитывающей влияние продольной сжимающей нагрузки на деформации изгиба. Применение МНП позволило получить безразмерные аналитические решения стати-

ческих и динамических задач, универсальные по отношению к условиям закрепления. Неустойчивость в динамике трактуется как появление апериодической составляющей в спектре поперечных колебаний.

Получены решения консервативных и неконсервативных задач определения критической силы для прямого стержня. На основании этих решений и общего подхода МНП построен и верифицирован алгоритм анализа критической силы для стержня с кусочно-постоянным изменением жесткости по длине. Алгоритм обобщен на осесимметричные стержни с непрерывным изменением жесткости по длине путем погружения в систему описанных вокруг стержня цилиндров и вписанных в стержень цилиндров, что позволяет получить интервальные оценки критической силы.

1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О СЖАТО-ИЗОГНУТОМ СТЕРЖНЕ В этом разделе приводится геометрически нелинейная формулировка задачи о динамических состояниях прямого стержня. Нелинейность заключается в том, что при варьировании деформированного состояния в уравнении Лагранжа-д'Аламбера учитываются слагаемые, пропорциональные квадратам углов поворота. При вычислении напряжений по закону Гука нелинейными составляющими пренебрегаем. Формулируются уравнения состояния стержня и метод их решения, основанный на последовательных приближениях.

1.1. Основные гипотезы и вариационное уравнение.

Определим прямой стержень как деформируемое твердое тело. Пусть в трехмерном пространстве определена прямая, которую назовем осыо стержня, и плоская фигура А, ограниченная замкнутым плоским контуром С. Фигуре принадлежат все внутренние точки контура, включая и границу, так что А есть замкнутое множество точек на плоскости контура С. Определим положение геометрического центра тяжести фигуры следующим образом:

\(У-Уо )dA = 0; \{z<-z\} )dA = 0; ( 1.1 >

А А

где>/, z' - плоская декартова система координат с произвольным расположением начала в плоскости контура, у 'о, z '^координаты центра тяжести в этой системе. Перенося начало координат в центр ее тяжести, получим новую центральную систему координат, характерную тем, что в ней статические

моменты Sv = JudA; Su~^vdA, и = y'-y'Q , v = z'-z'a равны нулю.

А А

Определим направление осей центральной системы координат' из условия равенства нулю центробежного момента инерции сечения:

J yzdA = 0; ( 1.2)

А

тем самым определим главную центрачьную систему координат фигуры (у, z), которая получается из (и, v) плоским поворотом на угол:

а = arctg\--——

J - J

V и ии и п-

,/lT = jirdA; Jw = jv2d/l - 0; Juv = juvdA ( 1.3)

A A A

Здесь Jvy, Jm - осевые, Jm - центробежный моменты инерции в центральной системе координат. В главной центральной системе координат уравнения со-

стояния значительно проще, так как отличными от нуля будут только осевые моменты инерции. Эти элементарные рассуждения можно найти в любом учебнике по сопротивлению материалов, например, [1,2].

Пусть фигура А поступательно движется вдоль оси от начальной точки 0() до точки 0\ так, что ее центр тяжести всегда лежит на прямой. Тогда естественно назвать фигуру А поперечным сечением; контур С при этом заметает поверхность, называемую боковой поверхностью. Начальное и конечное положения поперечного сечения определяют торцевые поверхности. Если объем, ограниченный двумя торцевыми и боковой поверхностями, заполнить деформируемой твердой средой, то получим тело, называемое прямым стержнем. Мы будем рассматривать прямые однородные стержни, имея в виду, что поперечное сечение стержня постоянно и свойства материала не зависят от координат поперечного сечения; более того, примем, что длина стержня - расстояние между торцевыми сечениями - намного больше, чем характерный размер поперечного сечения в плане, за который примем большую сторону прямоугольника, описанного вокруг контура поперечного сечения. Тем самым в качестве объекта исследования принимаем прямой тонкий стержень.

Примем, что стержень нагружен распределенными но длине и сосредоточенными нагрузками, причем сосредоточенные силы и моменты могут быть приложены только по торцам стержня. Распределенные нагрузки будем считать гладкими непрерывными функциями продольной координаты в пределах отрезка [О, Ц, где Ь - длина стержня.

Примем, что справедливы гипотезы Бернулли [75]:

- поперечное сечение, плоское и ортогональное оси стержня в начальном состоянии, остается плоским и ортогональным к деформированной оси стержня и не изменяет поперечных размеров и формы (гипотеза плоских се-чений)\

- слои, параллельные оси стержня, не надавливают друг на друга, (иначе - на площадках с нормалями, ортогональными оси стержня, отсутствуют нормальные напряжения) (гипотеза ненадавтвания спосв).

Следствием первой гипотезы является линейное распределение продольных перемещений по плоскости поперечного сечения:

11(х,у,2) = и(х,О,О)-у01Ах)-2О„(х) ( 1.4)

где#/„#„ - углы поворота поперечного сечения относительно бинормали и нормали соответственно. Примем, что углы поворота есть первые производные по продольной координате от поперечных перемещений оси:

<Зу(х,0,0) а^хДО) &ь(х) =---; вп(х) =

дх

дх

( 1.5)

здесь и(х,у^), у{х,у,г), и>(х,у,г) - компоненты вектора перемещения точки с координатами (х,у, г) в главной центральной системе координат. В дальнейшем будем отсчитывать координату у вдоль оси с ортом нормали, а координату г

- вдоль оси с ортом бинормали, так что вь=в:, вп=0у\ «(х,0,0) =и(х), у(х,0,0) ^у(х), и>(х,0,0) =н>(л:).

Рассмотрим деформированное состояние стержня и его характеристику

- тензор деформации Коши-Грина [75]:

ди,- ди • дц. дщ 2ег = + —- + —- • —-дх I дх1 дх, дх]

( 1.6)

Здесьл-|=.х, л*2=у, л*з=г, и\=и(х,у,г), и2=у(х,у,г), и^=н'(х,у,г). Вычислим компоненты этого тензора:

2еп =2 — + дх

(диЛ А Гаи 1 ГЭиЛ

— + — + ——

\дх; 1 дх )

- 2

о дх

ду д\у

и{х) -у--2--

дх дх

д_ дх

. . 5у(лг) д\\'(х) и{х)~ у--г

дх

дх

-) 2 - ди д~у д = 2--у—--г—- + в: + в;.+

дх дх'

( ди

+ -

V

+ У

(дV

КОХ у

дх"

/я2 V О \У

дх<

„ ди Э~у ^ ди д~\у 2 у---~2г

+ в: + 0: =

дх дх'

дх дх'

+ 2

д V д IV

ох дх

1 >

¿7У<>) ду(х) 2е„ = —— + ——■ ду ду

уду у

+

ду(х) ду

+

Л")

д_ ду

. . ду СЬУ

и(х) -у--2-

дх дх

(—) \дх)

= -в-;

_ дм(х) дн>(,х) (ди

1е=--1---1- —

&

/л,Л2 /¿}v(Л-)^"

02

02

+

а

. . ду дж

и(х)-у---г —

дх дх

) о

V

V Эху

•I У\Х

+

глг(л-)

сг у

Г^.Л2

2е12 = —+

д и ду

ду ^ ди ди ду ду сНу дх\> дх дх ду дх ду дх ду

_ ду ^ду

дх дх

ду дх

(

ди дх

■У

д2у дх2

-52 ^

О И'

— г

дх2

У

ОУ

•"V

сх

ди

-л

сх

У

д2у

О П>

дх-

■ — г-

дх'

-е\з =

ди ^ дм? ^ ди ди ду ду дм д\\> дх дх дг дх дг дх дг

дг

(711' ^ дм'

дх дх

(7\\>

йс"

ди

У

д2у д^и^ дх~ дх~ J

Г1Г

~дх

ОН О V

дх дх2

I2 ^

с и

дх'

2*23

ду ^ дм ^ ди ди ^ду ду ^ д\\> д\у ду д\\> ^ дг ду дг ду сг оу ог су сх ох

(1.7)

Таким образом, все шесть компонент тензора конечных деформаций отличны от нуля при выполнении гипотезы плоских сечений без предположения о неизменности формы и размеров поперечного сечения. Если же принять его, то следует положить равными нулю компоненты е22, е^, е2з, которые определяют деформации поперечного сечения. Деформации е\2 и е^ определяют депланацию поперечного сечения и также должны быть положены равными нулю. Выражение для деформации ец=ехх может быть упрощено, если вспомнить физический смысл вторых частных производных от поперечных перемещений по продольной координате. Если первые производные есть углы поворота сечения, то кривизны деформированной оси могут быть записаны следующим образом:

д2у(х) <Э2м>(х)

( 1.8)

' Д1

(А") =

аг

0:

; л-лг(х)

1-0:

Если предположить малость углов поворота по сравнению с единицей, то вторые производные отождествляются с кривизнами оси в главных плоскостях инерции. Положим, что квадраты кривизн и произведения кривизн на углы поворота малы по сравнению с их первыми степенями. Тогда выражение для деформации ехх можно упростить:

ди(х) д"у(х) €(х) = е„.(х) = —--V

ах-

ах-

Э~У1>(х) 1 т 1 2/ Ч дх" 2 ^ '

= (х) - укху (X) - г к (X) + - в: (X) + - в; (X).

( 1.9)

Для вычисления нормальных напряжений в поперечных сечениях используем закон Гука при растяжении, причем пренебрежем нелинейной частью -квадратами углов поворота:

сг(х) = Е[еъ (х) - укху (х) - "Л-^ (х)]

(1.10)

Вместо уравнений движения используем вариационное уравнение Лагранжа - д'Аламбера:

- <$/( 0)^(0) - <ЧО)0,,(О) - МО)О-(О) -

- 36х(0)Мх(0)-двг(0)М:(0) - 8ву{<д)Муф) ~ -диЩЫЩ-дуЩдЛЦ-дпЩО-Щ-

(1.11)

Здесь /V, продольная и поперечные силы, Л/„ /Ц - крутящий

и изгибающие моменты на концах стержня, с}у, - распределенные но длине стержня нагрузки, т:, ту - распределенные по длине изгибающие моменты, символ 5 обозначает кинематически допустимую вариацию. Вычислим составляющие вариационного уравнения.

Элементарная работа внутренних сил:

I

При вычислении вариации деформации будем учитыват ь нелинейные слагаемые, что соответствует учету изменений формы и размера элементарного отрезка стержня при составлении уравнений движения.

В подынтегральной функции можно выделить четыре типа слагаемых: нулевой, первой, вт орой степени по у и г и произведение ху. В силу принятой системы координат с осями у и г - главными центральными осями инерции поперечного сечения - интегралы по площади поперечного сечения от слагаемых первой степени по х, у и произведения ху равны нулю (см. формулы ( 1.1) и ( 1.2)); интегралы от слагаемых нулевой степени равны площади сечения, а от слагаемых второй степени - главным центральным моментам инерции сечения. Тогда выражение (1.12) примет вид:

г

0 А

(1.12)

<5П = | {^оЕАб0 + 8кX},EJ.кX), + 8кx.EJ укх. \с1х +

+1 {б0.ЕАе0О. + 80уЕАв()0у .

(1-13)

Элементарная работа сил инерции (вариация кинетической энергии) имеет вид:

¿>Т = |'| ЗирА ис1А + ¿ырА V + <5и >рА

\\>

о и

с1х

= 11 р5(и - увъ - гвп(и - У@ь ~ + \ + 3\\'рАй>):/л- =

0 а ^ о

1 /.

= | (ЗирА и + д^рА V + Зи'рА й')с/х +1 (S0.pJ.d- + 80ур/ уву }/х (1.14)

о о

Первое слагаемое представляет вариацию кинетической энергии поступательного движения поперечного сечения, второе слагаемое - вариацию кинетической энергии поворота поперечного сечения относительно нормали и бинормали.

Оценим вклад второго слагаемого в общую кинетическую энергию. Для этого перейдем к безразмерной координате ^=х/1 и безразмерным перемещениям и=и/Ь, ш=у/Ь, со=м'/Ь и поделим оба слагаемых на рА:

ЗГ = рА121 (Зии + Зшш + 8соа))сЩ + рЛЩ 302 — вг + 8ву ~ в

О (Л

= рА /;

1<

8ий + 8тт + 8соо))с1д + П 80. '-у 0: + 80у 0У

I:

■

~> I 7 ~>

/

(1.15)

Ю о

Во втором слагаемом имеются множители г2~И~ и \\7lL - относительные радиусы инерции поперечного сечения, которые не превосходят отношения характерного размера поперечного сечения к длине. Но для тонкого стержня эта величина меньше 10"'; если считать, что ускорения и, а7,со и угловые

ускорения 0.,ву имеют один порядок, то вклад второго слагаемого не превосходит 10"" первого. Поэтому в дальнейшем будем учитывать только инер-

цию поступательного движения поперечного сечения:

¿

Jfc

Таким образом, вариационное уравнение Лагранжа-д'Аламбера в рамках принятых гипотез имеет вид: ь

\5sqEAsq + Sк:xx,EJ./сху + 8кх. /и 1,к\.. )с1х +

о

£

+

о

I.

+

j {S0zEAsoO: + 56yEA£Qev \bc +

J {SupA U + SvpA v + S\vpAw)dx

о

l

-\{5иЧд

д. + Svqy + Swq. + 80.m. + SO ym y)dx -о

-S0:(O)Mz(O)-S0y(O)My(O)--Su(L)N(L)-8\'(L)Q} (L)-Sw(^)Q:(L)~

-80z(L)Mz(L)-S0y(L)My(L) = O (] ]7)

Отметим, что кручение стержня не рассматривается. Теперь заметим, что слагаемые Ss0EA£q, SupAii, 8uqx, Su(0)N(0), Su{L)N(L) зависят от одной искомой функции и(х); 8кEJ,кxr, SvpAv, 8в.т=, Svqy, <5KO)0V(O), 80:(0)М ДО), Sv(L)Qy(L), 80Z(L)MZ(L) - от функции v(x), а слагаемые S/c^EJy/c^, SwpAw, 5вуту, Swq:, ¿^(0)^.(0), 80У(0)МУ(0), Sw{L)Qz(L), SOy(L)Mv(L) - только от и>(д-) и определяют три

простейших состояния стержня - динамическое растяжение (сжатие), динамический изгиб в плоскости ху, динамический изгиб в плоскости xz в линейной постановке, которые взаимно независимы. Остальные два слагаемых вариационного уравнения 80:ЕАео0: и80уЕА£о0у зависят от двух искомых

(JV UXV

функций: и{х) и одного из поперечных перемещений: 0. =—, 0у =—- и

dt • дх

определяют влияние состояния растяжения/сжатия на изгибы. Обратное влияние — изгибов на растяжение/сжатие — в такой постановке отсутствует; если учесть нелинейные слагаемые при вычислении напряжений, то влияние будет взаимным - растяжение/сжатие будет влиять на изгибы и наоборот, изгибы будут влиять на растяжение/сжатие.

Учитывая, что вариации искомых функций одновременно не равны нулю, вариационное уравнение (1.17) можно разделить на три, приравнивая нулю слагаемые при вариациях независимых функциях и связанных с ними:

I

|\58qEAsq - дирАй - 8ицх }с(х - 8и{0)/У(0) - 8и{ЦЬ!(1А = О о (1.18)

1

|д/сл. 1-и .к ху - 8\>рА\> + 80-ЕА£()6: - 8\>с/у - 80. т. }ск -

0

1

| Е.1 укх. - 8\\'рА \\> + 86у ЕА ?;()6] - Зиг/. - 80ут у }с1\ -о

-д*(0)О:(0)-56у(0)Му(0)-М1<Ши-Жу(Ь)МуЩ = 0 (1.19)

Вариационные уравнения (1.19) совпадают с точностью до обозначений и в дальнейшем будем использовать одно из них, обозначая поперечное перемещение V, угол поворота поперечного сечения <9, изгибающий момент М, поперечную силу £). Заметим также, что

ЕАе0 = \odA~N-

л (1.20)

-равно продольной силе. Тогда вариационное уравнение изгиба можно упростить:

I

| \SkEJk - 8\>рАу + 80- N -0- 8уду -8в-т)о1х-

о

- 8х'( О)0( 0) - 80{ 0) М (0) - М Ь )£>( Л) - 80( Л) М (I) = 0 (1.21)

Таким образом, первым этапом решения становится определение продольной силы из уравнения (1.18); затем, вторым этапом, определяются характеристики состояния изгиба.

1.2. Дифференциальные уравнения состояния стержня.

Для составления дифференциальных уравнений состояния стержня воспользуемся известным приемом: считая, что операции варьирования и дифференцирования коммутативны, в вариационных уравнениях (1.18) и (1.21) заменим вариацию деформации гЛ) на производную от вариации продольного перемещения по координате х, а вариацию кривизны к - на вторую производную от вариации поперечного перемещения, а затем понизим поря-

док производных от вариаций перемещений, используя формулу интегрирования по частям.

Преобразование уравнения растяжения/сжатия:

I

|{дефАе^ + дирАй - дицх}с1х - ¿м(0)/У(0) - Su(L)N(L) - О о

3£0ЕАе0 = 5и'ЕАи' - (¿¡и) ЕАи' :

Г/ ч' [V = ЕАи'-, сШ = ЕАи"с/х1

£ I

- = ЕАи'ЩдиЩ - £/4г/'(0)<5м(0) - + - = 0 => о о

=> {ЕАи" + рАи-дх)ди - 0;

\EAu\L) - М(1)]5и(Ь) = 0; [ЕАи'{0) + #(0)]<5и(0) = 0. (1.22)

Здесь и в дальнейшем (') обозначает частную или полную (но контексту) производную по координате х, () - то же но времени. Таким образом, из (1.22) вытекают:

- дифференциальное уравнение динамического растяжения/сжатия, так как

ЕАи + рАй- с7х.; - (1.23)

- силовые граничные условия на свободном конце - равенство нулю квадратной скобки при <5«(0) или Зи{Е), если перемещение на одном из торцев не задано ((5м(0)^0 или ди{Ь)Ф0):

ЕАу'Щ - М{1.) = Оили ЕАу\0) + Л^(0) = 0- (1.24)

- кинематические граничные условия, если задано перемещение одного или двух торцев(^(0)=0 или ди{Е)-0):

и(0) = м0или и{Ь) = ык. (1.25)

Могут быть заданы два кинематических (стержень, защемленный двумя концами) или два силовых условия (свободный стержень).

Аналогичные преобразования можно проделать и с вариационным уравнением изгиба (1.21).

Преобразуем интеграл, выражающий потенциальную энергию деформаций при изгибе в (1.21):

г, - сШ - Е3"'8х\

- ¿/(О)У(О) -^УсШ = ЕЛ'Щ(дч)Щ - 0)(^/(0) - . о

¿ о

(У, = £/у'"; (11) =

[ (<*>) = Г 1 - / ' .......^ = (/, (¿Ж, (Л) -

I I (1\'\ = (Л') с/л-; к, = '

-^(О^СО)-}^/^, - О)Л(О)-

о

I

о

л о

= - ЕЬ'ЩЗв(О) - + ЕЛ'"'(0)^(0) +

I.

+ йх

(1.26)

Преобразуем интеграл, выражающий работу продольной силы на перемещениях изгиба:

[(<*)' Ывск = \и = "в> сШ = с1х = {М'0+ | [ (IV = (<&)'<&; V = 8\>

I

= иЩУЩ - ¿У(0)К(0) - = ищвщ^щ -

УУ(О)0(О)<5»>(О) - ^(N'6 + Ыв')сЬ:

(1.27)

Сводя результаты преобразований 1.26), (1.27) в вариационное уравне-ние(1.21) и приводя подобные члены по 8у,8у(0), 86(0) и 86(1), полу-

чим:

+ Щ - £//(0)(<&) (0) -

- [Е.Л>'"(Ц&Щ - £7у'"(0)<5У(0)] +

+ ЫЩвЩд^Щ - #(0)0(0)^(0) -

- Л(О)0(О) - 30(О)М(О) - М^ЮЩ- 8вЩМЩ = 0 (1.28) Используя результаты преобразования, получим дифференциальное

уравнение динамического изгиба с учетом влияния продольной силы, так как <5^0:

ЕЬ™ + рАу - [ЛГ(*, ()в + Щх,П0'] = цу;. (1.29)

и условия на торцах стержня:

\FJv\L) - М(Ь)^Оа) = 0; [£/!>"(()) + Л/(0)}*?(0) = 0

[- + = о

[/•/у'"(0) - N(0)0(0) - 4>(0)]Л'(0) = о (1.30)

Если вариации Зу(Ь), 5в(0) и 30(Ь)Ф 0 (перемещения на торцах не

заданы), то из (1.30), приравнивая нулю множители при ненулевых вариациях, получим силовые граничные условия:

= 0; £/г"(0) + .-1/(0) = 0 - £/у'"(1) + ЫЩОЩ - (¿Щ = 0

£/у'"(0) - N(0)0(0) - £Р(0) = 0 (1.31)

Уравнение (1.29) отличается от приведенного в [20, 14] одним слагаемым, а именно, , которое учитывает возможное изменение продольной силы по координате, что подтверждает Рис. 1.1, приведенный в [20], но дополненный приращением величины продольной силы.

О»(с /0/(1х)с1х

Ы+(с1\' с1х)с!х

В [201 величина фиктивной поперечной нагрузки, связанной с продольной силой, определялась в предположении, что ее величина неизменна при переходе от х к х+с1х. Если продольная сила зависит от координаты, то на правом конце элементарного отрезка сЬс ее дифференциал будет равным

сШ =-с1х. Тогда приращение произведения N 6 будет равным

с1х

А(Ы6)

N ■

сШ сЬс

Зх

а М / 6 +— с!х

Зх

NО

с1х

в + Ы

сШ_

(¡Х

с1х

(1.32)

где опущен член порядка (с!ху. Приращение вектора N0 направлено по нормали к деформированной оси стержня и может быть интерпретировано как распределенная вдоль оси стержня поперечная нагрузка, связанная с искривлением оси.

Таким образом, (1.29) более корректно, нежели приписывание зависимости от Л' коэффициенту Р (продольной силе) в уравнении состояния

+ /V = 0 [20, формула (3.40)].

Отметим особенность краевых условий для поперечных сил (строки 2 и 3 в (1.31)). Второе слагаемое в левой части этих уравнений имеет смысл проекции продольной силы на нормаль к деформированной оси стержня (см.

Р - сжимающая сила на торце

I* - единичный вектор касательной в деформированном состоянии

/г - единичным вектор нормали в деформированном состоянии

ш

Рис. 1.2. К смыслу слагаемого N{1)-6(1) в формуле (1.31).

Рис. 1.2). Очевидно, что при следящей (тангенциальной) нагрузке, когда вектор Р направлен вдоль вектора касательной /*, эта проекция равна нулю. Так как дифференциальные уравнения состояния стержня одинаковы при мертвой и следящей нагрузке [14], то это составляет отличие консервативной и неконсервативной задач.

v(0) = vo; 0(0) = 0Q; v(L) = vk; O(L) = 0k. (i.33)

Таким образом, для анализа состояния стержня в рамках принятых гипотез мы имеем два уравнения, оба второго порядка по времени. Одно уравнение, (1.23), имеет второй порядок по координате, второе, (1.29), - четвертый порядок. Возможные граничные условия для первого уравнения ланы формулами (1.24), (1.25), для второго - (1.31) и (1.33). Начальные условия для первого уравнения имеют вид:

u(x,0) = U(x); ii(x,0) = Uv(x), (1.34)

для второго -

v(x,0) = K(x); £(x,O) = 0(x);v(x,O) = Fr(x); 0(х,О) = 0(/(х). (1.35)

Следуя [17, 5], планируем использовать для исследований метод начальных параметров; для этого преобразуем (1.23), (1.29) в системы уравнений первого порядка по координате. Введем обозначения: N(xJ) = EAU(XJ);

6(xj) = v'(x,t); M(x,t) = -EJ0'(x,t); Q(xJ) = M'(x,t)' (l .36)

Тогда вместо (1.23) получим:

и =

а вместо (1.29) -

А

~ЕЛ

М

N' - рЛй = с/х ,

(1.37)

v' = 0; 0' =--; M' = Q;

FJ

N(x t)

Q' = N'(xJ) ■ 0 + —^ M - pAv = q.

* EJ 1 (1.38)

Система уравнений(1.37)- линейная с постоянными коэффициентами; система уравнений (1.38) - линейная с переменными коэффициентами, причем коэффициенты зависят как от координаты, так и от времени.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Чадаев, Юрий Андреевич, 2014 год

ЛИТЕРАТУРА.

1. Александров А. В., Лащенков Б. Я. О применении энергетического метода в задачах устойчивости упругих систем. — «Строительная механика и расчет сооружений», 1965, № 5.

2. Александров A.B., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов. — М.: Высшая школа, 2000. — 560 с.

3. Алфутов Н. А. Определение верхнего критического давления для консольной оболочки с подкрепленным краем. — «Изв. АН СССР. Механика», 1965, №5, с. 115—118.,

4. Алфутов Н. А., Балабух Л. И. Энергетический критерий устойчивости упругих тел, не требующий определения начального напряженного состоянии. — «ПММ», 1968, т. XXXII, вып. 1,с. 703—707.

5. Бабаков И.М. Теория колебаний. - М.: Дрофа, 2004. - 591 с.

6. Бабаков И.М. Теория колебаний. - М.: Дрофа, 2004. - 591 с.

7. Безухов Н.И. Устойчивость и динамика в примерах и задачах: Учеб. пособие для строит, спец. вузов / Н.И. Безухов, О.В. Лужин, Н.В. Колкунов. -М.: Высшая школа, 1987. - 264 с.

8. Белоусов В.П. Устойчивость стержней постоянного поперечного сечения, испытывающих одновременное действие осевых сил и сил собственного веса. В кн.:Вопр.прикл.математики и механики. Алма-Ата, 1976, вып.З, с. 17-26.

9. Беляев Н. М. Сопротивление материалов. — М.: Физматгиз, 1976. -— 856 с.

10. Бидерман В. Л. Статика тонкостенных систем. М., «Машиностроение», 1947. 488 с.

11. Бидерман В. Л. Устойчивость стержня из неогуковского материала. «ММТ», 1968, № 3, с. 54—62.

12. Болотии В. В. О сведении трехмерных задач теории упругой устойчивости к одномерным и двухмерным задачам. — В кн.: Проблемы устойчивости в строительной механике. М., Стройиздат, 1965, с. 186—196.

13. Болотин В. В. О вариационных принципах теории упругой устойчивости. В кн.: Проблемы механики твердого деформируемого тела. Л., «Судостроение», 1973, с. 83—88.

14. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. -М.: Физматгиз, 1961.-341с.

15. Болотин В.В. О понятии устойчивости в строительной механике. В кн.: Пробл.в устойчивости строи г.механики. М., 1965.

16. Борисевич, А. А. Оптимизация нелипейно-упругих стержневых систем по методу локальных линеаризованных областей / А. А. Борисевич. - Брест: Издательство БрГТУ, 2001. - 104 с.

17. Васина М.В. Численно-аналитический метод определения форм свободных колебаний пространственно-криволинейных неоднородных стержней / Дисс. на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук - Тула, 2011 — 129с.

18.Владимиров B.C. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1981. -512с.

19.Власов В. В. Устойчивость упругих систем. Ч. 1 Устойчивость стержней. М.:МАИ, 1979.-78с.

20. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. - М.: Паука, 1967. -984 с.

21. Воронцов Г. В. Современные методы расчета стержней и стержневых систем и пластин на устойчивость: учеб. пособие. Новочеркасск П.Г1.Н, 1979. 96с.

22.Горшков А. Г., Трошин В. Н., Шалашилин В. И. Сопротивление материалов: Учеб. пос. 2-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 544 с.

23. ГОСТ 25.504-82. Расчеты и испытания на прочность. Методы расчета характеристик сопротивления усталости. - Введен 1983 - 01 - 07. - Москва: Издательство стандартов, 1982.-81 с.

24.Грязев М.В., Желтков В.И., ВасинА.А., ВасинаМ.В. Прикладные задачи механики деформируемого твердого тела. Часть 1. Статика стержней. -Тула, изд. ТулГУ, 2011. - 112с.

25. Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов. — М.: Высшая школа, 1989.— 622 с.

26.Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. - М.: Наука, 1967.-472с.

27.Джанелидзе Г.Ю., Пановко Я.И. Статика упругих тонкостенных стержней. // JI.-M.: ОГИЗ, 1948.-208с.

28. Долипский Ф.В., Михайлов М.Н. Краткий курс сопротивления материалов: Учеб. пособ. для машиностроит. вузов. — М.: Высш. школа, 1988. — 432 с.

29. Доронин C.B., Чурсина Т.А. Моделирование нелинейного поведения несущих конструкций в задачах анализа риска и обеспечения безопасности технических систем // Вычислительные технологии и математические модели в науке, технике и образовании: тез. докл. конф. / ИВТ СО РАН. Новосибирск, 2002. 65 с.

30. Есипов A.A. О зависимости критической нагрузки при продольном сжатии стержня от длины. Изв.Сев.-Кавказ.науч.центра высш.школы. Естеств.науки, 1980, JI 3.

31.Желтков В.И. Экспериментально-теоретическое обеспечение динамических задач линейной вязкоупругости. / Дисс. на соискание ученой степени докт. физ.-мат. наук - Тула, 2000. - 262с.

32.Желтков В.И., Чадаев 10.А. Динамические состояния продольно-сжатых неоднородных стержней // Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии. Издательство: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Государственный университет - учебно-научно-производственный комплекс" (Орел), 2014 - Вып. 4 - с. 3-7

33.Заславский Б. В. Краткий курс сопротивления материалов: Учебн. для авиац. специльн. вузов. — М.: Машиностроение, 1986. — 328 с.

34.3убчанинов В.Г. Сопротивление материалов. // Тверь: ТГТУ, 2005. -305с.

35. Ицкович Г.М., Минин Л.С, Винокуров А.И. Руководство к решению задач по сопротивлению материалов. — М.: Высшая школа, 1999. — 592 с.

36. К.П.Горбачев, Е.Г.Краснов, В.В.Субботницкий и др. Основы механики деформируемого твердого тела. -Владивосток: Изд-во «Уссури», 1998. -166с.

37. Киселев В.А. Строительная механика: Спец. курс. Динамика и устойчивость сооружений / В.А. Киселев. - М.: С гройиздат, 1980.- 616 с.

38. Крюков Е.П. К вопросу об устойчивости консольных стержней при нагрузке, распределенной на части длины. Сб.тр. Всес.заоч. политехи.ин-та, 1973, вып.81

39. Куприянов В. В. , Суреараччи Д. Р. Классификация дискостержневых конструкций. /7 Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвуз. сб. науч. трудов./ Под ред. д. т. п. С. П. Кривошапко. -М. : Изд-во РУДЫ, 1996. -Вып.6.

40.Леонтьев H.H. Основы строительной механики стержневых систем: Учеб. для строит, спец. вузов. / H.H. Леонтьев, Д.Н. Соболев, A.A. Амосов. - М.: Изд-во АСВ, 1996.-541 с.

41. Маньковский В. А. Расчет на устойчивость. Севастополь, 1971. -67с

42. Миролюбов И.Н. и др. Пособие к решению задач по сопротивлению материалов. — М.: Высшая школа, 1985. — 399 с.

43. Митропольский Н.М. Приближенные расчеты прямых стержней на устойчивость от нагрузки, приложенной по длине стержня. Тр. Моск.ин-та инж.ж.-д.транс., 1950, вып.74.

44. Николаи E.JT. Труды по механике, М.:Гостехиздат, 1955.

45. Павлова, Т.А. Сравнение динамических явлений в балке при внезапных изменениях условий опирания // Вибрационные машины и технологии: сб. науч. тр. / Курск, гос. техн. ун-т. Курск, 2005. С. 94-99.

46. Пановко Г.Я., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем.

- М.: Наука, 1967.-429 с.

47. Попов H.H., Расторгуев Б.С, Динамический расчет железобетонных конструкций. Москва : Стройиздат 1974. с.206.

48. Попов H.H., Расторгуев Б.С. Динамический расчет висячих конструкций.

- М.: Стройиздат, 1966. - 83 с.

49.Постнов 13.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. - Л.: Судостроение, 1974. - 274с.

50.Прочность. Устойчивость. Колебания. / Справочник в 3-х т. // Т.З. Под ред. H.A. Биргера и Я.Г. Пановко. - М.: Наука, 1968. - 567с.

51. Расторгуев Б.С. Динамика железобетонных плит при взрывных нагрузках,// Аварии и Катастрофы. Предупреждение и ликвидация последствии ,том 6. М: издательство Ассоциации строительных ВУзов, 2003, с. 343365.

52. Расторгуев Б.С. Предельные динамические нагрузки для каркасных производственных зданий при внешних взрывах // Труды МИСИ -Динамика железобетонных конструкций и сооружений при интенсивных кратковременных воздействиях- М: МИСИ, 1992, с. 18-37.

53. Рекомендации по защите высотных зданий от прогрессирующего обрушения. М., 2006.

54. Рекомендации по защите жилых зданий с несущими кирпичными стенами при ЧС. М., 2002.

55. Рекомендации по защите жилых каркасных зданий при чрезвычайных ситуациях. М., 2002.

56. Рекомендации по защите монолитных жилых зданий от прогрессирующего обрушения. М., 2005.

57. Рекомендации по предотвращению прогрессирующих обрушений крупнопанельных зданий. М., 1999.

58. Ржаницын А.Р. Строительная механика. Учеб. пособие для строительных специальностей вузов. 2-ое изд., переработ. М.: Высшая школа, 1991. -439с.

59. Ржаницын А.Р. Устойчивость равновесия упругих систем. - М.: ГИТТЛ, 1955.-476с.

60. Рогицкий С. А. Новые методы расчета на прочность и устойчивость, Свердловск, 1961.

61. Рокар Н. Неустойчивость в механике.// М.: Иностр. лит., 1959.

62. Рудицын М.Н., Артемов П.Я., Любошиц М.Н. Справочное пособие по сопротивлению материалов. — Минск: Выш. школа, 1970. — 628 с.

63. Сборник задач по сопротивлению материалов. Под редакцией Вольмира А.С.-М.: Наука, 1984.

64. Светлицкий В. А. Механика гибких стержней и нитей.— М.: Машиностроение, 1978.-222 с.

65. Сегаль А. И. Высотные сооружения. Расчет на прочность, жесткость, и устойчивость. -М.; Высшая школа, 1976. —43с.

66. Сидорович, Е. М. Нелинейное деформирование, статическая и динамическая устойчивость пространственных стержневых систем / Е. М. Сидорович. - Минск: БГПА, 1999. - 200 с

67. Смирнов А.Ф., Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H. Строительная механика. Стержневые системы. М., 1984

68. Смирнов А.Ф., Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений. М., 1984

69.Соболев В.И. Программный комплекс "MATHCAD" в освоении курса строительной механики. Изд. ИрГТУ, 2009- 32с

70. Соболев В.И. Расчет стержневых систем на вибрационную нагрузку с использованием программного комплекса «РОСТВЕРК». Изд. ИрГТУ 2009 -32с

71. Старовойтов Э. И. Сопротивление материалов. —Гомель: БелГУТ, 1999.219 с.

72. Сгепин П. А. Сопротивление материалов. - М.: Высш. школа, 1987. - 367 с. 13.

73.Строительная механика стержневых систем и оболочек / Под ред. Ю.И.Бу генко. - К.: Высшая школа, 1980. - 488 с.

74. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек / С.П. Тимошенко - М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит, 1971. - 807 с.

75.Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. - М.; Высшая школа, 1979-580с.

76.Труфанов Н.А, Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. Метод геометрического погружения в теории упругости./Шардаков И.Н.// Екатеринбург: УрО РАН, 1999. 298с.

77.Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. - М.: Изд. МГТУ, 1999.- 591 с.

78.Хофф Н. Продольный изгиб и устойчивость. // М.: Иностр. лит., 1955.

79.Чадаев Ю.А. Изгиб стержня при продольной силе, линейно зависящей от координаты. // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Изд-во ТулГУ, 2015.-Bi.in. 1 ч.1.-С. 71-82

80.Чадаев Ю.А. Определения спектра поперечных колебаний стержней, нагруженных продольной нагрузкой // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. Изд-во ТулГУ, 2014. - Вып. 1 ч.1. - С. 225-231

81.Чадаев Ю.А. Поперечные колебания составных стержней, сжатых продольной нагрузкой // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Изд-во ТулГУ, 2014.-Вып. 1 Ч.5.-С. 3-10

82. Шенли Ф. Теория неупругой колонны. // Сб. Переводов «Механика», №2, М.: Иностр. лит., 1951.

83. Эйлер Леонард. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума либо минимума. Русское изд. ГТТИ, 1934. Подлинник издан в Лозанне в 1744г.

84.Elishakoff I, Pellegrini F. Exact solutions for buckling of some divergence-type nonconservative systems in terms of Bessel and Lommcl functions. 1988. Computer methods in applied mechanics and engineering, 66, North-Holland.

85. Fedotov, I., Shatalov, M.A, Fedotova, T. & Tenkam, H.M. (2010). Method of Multiple Orthogonalities for Vibration Problems, Current Themes in Engineering science 2009:Selected Presentations at the World Congress on Engineering 2009, AIP Conference Proceedings, Vol. 1220, 43-58, ISBN 978-0-7354-07664, American Institute of Physics.

86. Fung, Y.C. & Tong, P. (2001). Classical and Computational Solid Mechanics, World Scientific, ISBN 978-981-02-3912-1, Singapore.

87. Gai, Y„ Fedotov, I. & Shatalov, M. (2007). Analysis of a Rayleigh-Bishop Model For a Thick Bar, Proceedings of the 2006 IEEE International Ultrasonics Symposium, 1915-1917, ISBN 1-4244-0201-8, Vancouver, Canada, 2 - 6 October, 2006, Institute of Electrical and Electronics Engineers.

88. Graff, K.F. (1991). Wave Motion in Elastic Solids, Dover Publications, ISBN 978-0-486-66745-6, New York.

89. Grigoljuk, E.I. & Selezov, I.T. (1973). Mechanics of Solid Deformed Bodies, Vol. 5, Non-classical Theories of Rods, Plates and Shells, Nauka, Moscow. (In Russian).

90. Love, A.E.H. (2009). A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity, 2nd (1906) Edition BiblioLife, ISBN 978-1-113-22366-1.

91. Mindlin, R.D. & McNiven, H.D. (1960). Axially symmetric waves in elastics rods. Journal of Applied Mechanics, Vol. 27, 145-151, ISSN 00218936.

92. Porubov, A.V. (2003). Amplification of Nonlinear Strain Waves in Solids, World Scientific, ISBN 978-981-238-326-3, Singapore.

93.Yang B. Stress, Strain, and Structural Dynamics: An Interactive Handbook of Formulas, Solutions, and MATLAB Toolboxes // Bingen Yang - Academic Press. 2005. p. 960.

94.Yoo CH. Stability of structures: principles and applications // Chai H. Yoo, Sung C. Lee. - Elsevier Inc. 201 1. p. 523.

\

\