Совершенствование методов расчета параметров нестационарных колебаний гибких вращающихся роторов на основе вычислительных комплексов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, кандидат технических наук Игумнов, Илья Николаевич

• Игумнов, Илья Николаевич
• кандидат технических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат технических наук Игумнов, Илья Николаевич

Введение.

1 Нестационарные колебания гибких вращающихся роторов.

1.1 Проблемы исследования нестационарных колебаний гибких вращающихся роторов.

1.2 Обзор научных публикаций.

1.3 Выводы по главе 1.

2 Метод расчета параметров нестационарных колебаний гибких вращающихся роторов.

2.1 Анализ влияния гироскопического момента, действующего со стороны диска на вал, при колебаниях различных роторов, используемых в настоящее время в авиационной промышленности.

2.2 Расчет нестационарных колебаний диска без учета массы вала.

2.3 Расчет нестационарных колебаний диска с учетом массы вала.

2.4 Обобщение механической модели ротора с диском, расположенным в середине вала, на случай произвольной конфигурации ротора.

2.5 Тестирование методики расчета нестационарных колебаний диска на основе построения механических моделей системы «ротор - диск».

2.6 Метод исследования закона движения произвольного сечения ротора при его нестационарных колебаниях.

2.7 Тестирование метода исследования нестационарных колебаний сечения ротора на основе программной системы DYNAMICS R3.1.

2.8 Выводы по второй главе.

3 Нестационарные колебания вращающегося ротора при различных режимах работы двигателя.

3.1 Определение параметров механической модели нестационарных колебаний диска ротора авиационного двигателя.

3.2 Исследование нестационарных колебаний дйска ротора авиационного двигателя при его разгоне.

3.3 Исследование колебаний диска при выбеге ротора.

3.4 Определение перемещений сечения ротора, соответствующего расположению опоры и сечения, соответствующего максимальному прогибу ротора по второй форме колебаний.

3.5 Исследование колебаний диска в случае обрыва лопатки на различных режимах работы двигателя.

3.7 Выводы по главе 3.

4 Исследование эффекта Зоммерфельда.

4.1 Исследование эффекта Зоммерфельда на основе механической модели, описывающей колебания диска с учетом массы вала.

4.2 Условия возникновения эффекта Зоммерфельда при различных массовых характеристиках ротора.

4.3 Исследование эффекта Зоммерфельда на реальном роторе. Влияние эксцентриситета диска на время выбега ротора.

4.4 Выводы по главе 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Совершенствование методов расчета параметров нестационарных колебаний гибких вращающихся роторов на основе вычислительных комплексов»

Одно из основных требований, которые предъявляются при создании газотурбинных двигателей, и в частности, авиационных двигателей, является требование минимального веса конструкции. Это требование приводит к необходимости снижения жесткости роторных систем двигателей и использованию гибких роторов, т.е. роторов первая критическая частота вращения которых меньше рабочих частот. При вращении таких роторов возникают их изгибные колебания, которые необходимо учитывать при разработке двигателей. Одной из основных задач при проектировании авиационных двигателей, судовых двигателей и установок, газотурбинных машин наземного применения является обеспечение возможности безопасного перехода через критическую скорость при разгоне и выбеге ротора.

Динамическая прочность деталей двигателей, содержащих гибкие роторы, обеспечивается путем правильного сочетания механических свойств материала при действии переменных напряжений с уровнем напряжений в рабочих условиях. Поддержание напряжений на допустимом уровне обеспечивается комплексом расчётно-экспериментальных работ, проводимых на всех этапах конструирования, доводки, производства и эксплуатации [ 1 ].

Наличие в двигателе роторов, всегда имеющих некоторую неуравновешенность, приводит к появлению переменных сил, частоты возбуждения которых равны частотам вращения роторов. При совпадении этих частот с собственными частотами колебаний роторов возникает резонансное (критическое) состояние двигателя, сопровождающееся значительным повышением деформации валов и переменных нагрузок на опоры и корпус. Задача исследования изменения этих деформаций и влияния на них конструктивных параметров роторов является одной из основных задач двигателестроения.

Диссертационная работа посвящена разработке методов исследования нестационарных колебаний гибких вращающихся роторов. Задача исследования нестационарных колебаний роторов является наиболее сложной задачей динамики роторов. В настоящее время чувствуется недостаток в эффективных инженерных методах исследования этих колебаний. Однако, важность создания таких методов очевидна. Существенную часть времени работы двигателя роторы подвержены именно нестационарным колебаниям. Такие колебания прежде всего происходят при разгоне ротора из состояния покоя до рабочих оборотов и при его выбеге, т.е. при уменьшении частоты вращения ротора после прекращения подачи топлива в камеру сгорания. В эти периоды работы двигателя возникают большие амплитуды колебаний отдельных поперечных сечений ротора. Наиболее важными являются исследования законов изменения амплитуд колебаний тех сечений ротора, в которых расположены диски, опоры, а также сечений, в которых возникают наибольшие прогибы ротора. Это связано, в частности, с необходимостью исключения задевания лопаток, установленных на дисках, за корпус двигателя, а также исключения соприкосновения валов в случае, когда один вал расположен внутри другого. Важным случаем нестационарных колебаний ротора является также случай возникновения вибраций вследствие отрыва одной или нескольких лопаток во время работы двигателя. В диссертационной работе особое внимание уделено также исследованию условий возникновения эффекта Зоммерфельда. Данный эффект заключается в том, что при больших значениях эксцентриситета или при малых значениях вращающего момента, действующего на вал ротора двигателя, угловая скорость ротора при разгоне увеличивается только до первой критической частоты вращения. После достижения ротором этой частоты вращения угловая скорость не возрастает, а вся затрачиваемая энергия тратится на увеличение амплитуды колебаний сечений ротора.

В работе [2] А. С. Кельзоном и Л. М. Малининым получено приближенное выражение для величины минимального вращающего момента, необходимого для преодоления эффекта Зоммерфельда. Это выражение получено при условии, что массой вала ротора можно пренебречь по сравнению с массой диска. В диссертационной работе показано, что такое упрощение задачи во многих случаях вызывает существенные погрешности получаемого решения. В работе получено уточненное выражение для рассматриваемой величины вращающего момента, которое учитывает массу вала ротора.

При разработке роторных систем используются специальные пакеты прикладных программ для расчета параметров вибраций роторов. На отечественных предприятиях в течение многих лет используются компьютерные программы, основанные на представлении колебаний ротора как поперечных колебаний стержня переменного поперечного сечения. В частности для исследования нестационарных колебаний ротора такая программа разработана в Московском государственном авиационном институте. Следует отметить, что вследствие упрощенного подхода к исследованию колебаний роторов в отдельных случаях имеет место расхождение экспериментальных данных и результатов расчетов по указанным программам.

В настоящее время в расчетах конструкций широко используются вычислительные комплексы, основанные на методе конечных элементов (ANSYS, NASTRAN). Эти комплексы позволяют производить расчеты с высокой степенью точности и учитывать практически все особенности конструкции. В связи с наличием гироскопического момента, действующего со стороны диска на вал вращающегося ротора, использование таких комплексов при расчете параметров вибраций роторов вызывает большие трудности. В настоящее время имеются компьютерные технологии расчета конечно-элементными комплексами отдельных параметров стационарных колебаний вращающихся роторов (критических частот вращения, сил в опорах при наличии дисбаланса). Описание технологии использования таких комплексов для расчета нестационарных колебаний роторов в литературных источниках не обнаружены. Значительная часть диссертационной работы посвящена разработке метода расчета нестационарных колебаний роторов на" основе конечно-элементных вычислительных комплексов и соответствующей компьютерной технологии расчета.

Результаты работы позволяют по заданным геометрическим характеристикам ротора и закону изменения вращающего момента определить закон изменения с течением времени амплитуды колебаний сечения ротора, в котором установлен один из дисков, при различных режимах работы двигателя. По известным значениям величины максимальной амплитуды колебаний при различных значениях эксцентриситета можно определить допустимые значения эксцентриситета при заданном значении зазора между лопатками диска и корпусом двигателя, определить время выбега ротора при различных значениях эксцентриситета дисков, коэффициент сопротивления при вращении ротора и др. В качестве примера на основе разработанного метода рассмотрены нестационарные колебания ротора одного из вертолетных двигателей, возникающие при его разгоне в реальных условиях.

Актуальность темы диссертации обуславливается необходимостью разработки методов и компьютерных технологий расчета параметров нестационарных колебаний гибких вращающихся роторов на основе конечно-элементных вычислительных комплексов, а также необходимостью уточнения условий возникновения эффекта Зоммерфельда.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложений, и списка использованной литературы.

Заключение диссертации по теме «Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры», Игумнов, Илья Николаевич

4.4 Выводы по главе 4.

1. Величина эксцентриситета диска влияет на время выбега ротора. Зависимость времени выбега ротора от эксцентриситета диска, полученная для конкретного двигателя позволяет по известному времени выбега определить эксцентриситет, а значит и дисбаланс диска.

2. Расчеты колебаний ротора одного из используемых в настоящее время двигателей показывает, что можно практически исключить возможность возникновения эффекта Зоммерфельда в авиационных двигателях. В рассмотренном двигателе эффект Зоммерфельда возникает только в том случае, если эксцентриситет одного из дисков будет в сотни раз превышать предельно допустимые значения.

3. Исследование условий возникновения эффекта Зоммерфельда при учете инертности вала дает возможность прогнозировать поведение ротора при разгоне, выбеге, а также имеет важное теоретическое значение.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа направлена на разработку методов расчета параметров нестационарных колебаний гибких вращающихся роторов на основе использования конечно-элементных комплексов.

В работе расширены возможности использования известного метода исследования нестационарных колебаний диска, установленного в середине вала постоянного поперечного сечения. Метод распространен на случай ротора произвольной конфигурации.

Метод, разработанный в диссертации является общим методом расчета нестационарных колебаний произвольного сечения ротора. Метод позволяет производить расчеты нестационарных колебаний не только на основе известных пакетов программ расчета, в которых ротор представлен как стержень переменного поперечного сечения, но также на основе конечно-элементных вычислительных комплексов, где ротор представлен как трехмерная, объемная модель.

Возможность определения зависимости перемещений и амплитуд нестационарных колебаний произвольных сечений ротора на основе разработанной технологии расчета позволяет оценивать и анализировать их на различных этапах доводки и испытаний двигателей (исключение соприкосновения валов в случае, когда один вал расположен внутри другого, анализ возможности задевания лопаток, установленных на дисках, за корпус двигателя, обеспечения необходимой прочности опор), моделировать различные случаи разбалансировки ротора, моделировать и изучать динамику ротора на различных режимах работы двигателя (при разгоне и выбеге ротора, при внезапной его разбалансировке, вызванной отрывом лопатки, и любых других случаях).

Предложенный в работе метод исследования условий возникновения эффекта Зоммерфельда при учете инертности вала дает возможность прогнозировать поведение ротора при разгоне, выбеге, а также имеет важное теоретическое значение.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Игумнов, Илья Николаевич, 2005 год

1. Динамика авиационных газотурбинных двигателей Текст. / Под ред. И. А. Биргера, Б. Ф. Шорра. М.: Машиностроение, 1981. - 232 с.

2. Кельзон, А. С. Управление колебаниями роторов Текст. / А. С. Кельзон, JI. М. Малинин Вибрационная техника. Вып. 18, 1992. - 120 с.

3. Диментберг, Ф. М. Колебания машин Текст. / Ф. М. Диментберг, К. Т. Шаталов, А. А. Гусаров М.: Машиностроение, 1964. - 307 с.

4. Ден Гартог Дж. Механические колебания Текст. М. : Физматгиз, 1960. -580 с.

5. Кии Н. Тонг. Колебания механических систем Текст. М. Машиностроение, 1964.

6. Магнус, К. Колебания Текст. М. : Мир, 1982. - 304 с.

7. Пиппард, А. Физика колебаний Текст. М. : Высшая школа, 1985. - 456с.

8. Стрелков, С. П. Введение в теорию колебаний Текст. М. : Наука, 1964. -438 с.

9. Андронов, А. А. Теория колебаний Текст. / А. А. Андронов, А. А Витт, С. Э. Хайкин М.: Физматгиз, 1959. - 915 с.

10. Болотин, В. В. Случайные колебания упругих систем Текст. М. : Наука, 1979. - 335 с.

11. Ганиев, Р. Ф. Колебания твердых тел Текст. / Р. Ф. Ганиев,

12. B. О. Кононенко М.: Наука, 1976. - 432 с.

13. Булгаков, Б. В. Колебания Текст. М. : Гостехиздат, 1954. - 891 с.

14. Бутенин, Н. В. Теория колебаний Текст. М. : Высшая школа, 1963.

15. Яблонский, А. А. Курс теории колебаний Текст. / А. А. Яблонский,

16. C. С. Норейко М.: Высшая школа, 1966. - 255 с.

17. Обморшев, А. Н. Введение в теорию колебаний Текст. М. : Наука, 1976.-276 с.

18. Вайнберг, Д. В. Механические колебания и их роль в технике Текст. / Д. В. Вайнберг, Г. С. Писаренко М.: Наука, 1965. - 276 с.

19. Пановко, Я. Г. Введение в теорию механических колебаний Текст. М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980. - 272 с.

20. Пановко, Я. Г. Основы прикладной теории колебаний и удара Текст. -J1.: Политехника, 1990. 272 с.

21. Бабаков, И. М. Теория колебаний Текст. М. : Наука, 1968. - 559 с.

22. Бидерман, В. JI. Теория механических колебаний Текст. М. : Высшая школа, 1980.-408 с.

23. Мандельштам, JI. И. Лекции по теории колебаний Текст. М. : Наука, 1972. - 470 с.

24. Тимошенко, С. П. Прочность и колебания элементов конструкций Текст. М.: Наука, 1975. 703 с.

25. Пальмов, В. А. Колебания упругопластических тел Текст. М. : Наука, 1979. - 328 с.

26. Филиппов, А. П. Колебания механических систем Текст. Киев. : Изд-во АН УССР, 1965.

27. Левитский, Н. И. Колебания в механизмах Текст. М. : Наука, 1988. —336 с.

28. Дондошанский В. К. Расчет колебаний упругих систем на электронно-вычислительных машинах Текст. М. - Л. : «Машиностроение», 1965. - 367 с.

29. Тимошенко, С. П. Колебания в инженерном деле Текст. / С. П Тимошенко, Д. X., Янг, У. Уивер М.: Машиностроение, 1985. - 472 с.

30. Вернигор, В. Н. Модальный анализ механических колебаний упругих систем Текст. / В. Н. Вернигор, А. Л. Михайлов Рыбинск : РГАТА, 2001. - 288 с.

31. Цзе, Ф. С. Механические колебания Текст. / Ф. С. Цзе, И. Е Морзе, Р. Т. Хинкл М.: Машиностроение, 1966. - 508 с.

32. Bishop, R. E. D., Johnson D. C. The Mechanics of Vibration, Cambridge, Univ. press, 1960. XII, 592 p.

33. Church, A. H. Mechanical Vibrations, New York, John Wiley & Sons, Inc.,1957.

34. Hansen, H. M. and Chenea P.F. Mechanics of Vibration, New York, John Wiley & Sons, Inc., 1956.

35. Myklestad, N. O. Fundamentals of Vibration Analysis, New York, McGraw-Hill Book Co., Inc., 1956.

36. Cole E. B. The theory of vibrations for engineers, London, Lockwood, 1957.

37. Вибрация в технике двигателей Текст. / Под ред. В. Н. Челомея. М. : Машиностроение, 1979.

38. Вибрации в технике Текст. : Справочник : в 6 т. / Под. ред. К. В. Фролова М. : Машиностроение, 1999.

39. Биргер, И. А. Расчет на прочность деталей машин: Справочник, 4-е изд., доп. Текст. / И. А. Биргер, Б. Ф. Шорр, Г. Б. Иосилевич, М. : Машиностроение, 1993.-639 с.

40. Прочность. Устойчивость. Колебания : в 3 т. / Под ред. И.А. Биргера, Я.Г. Пановко М. : Машиностроение, 1968.

41. Алексеев, С. П. Борьба с шумом и вибрацией в машиностроении Текст. / С. П. Алексеев, А. М. Казаков, Н. Н. Колотилов М. : Машиностроение, 1970. -208 с.

42. Левит, М. Е. Вибрация и уравновешивание роторов авиадвигателей. Текст. / М. Е. Левит, В. П. Ройзман. М.: Машиностроение, 1970. - 172 с.

43. Основы балансировочной техники Текст. / Под ред. В. А. Щепетиль-никова. М.: Машиностроение, 1975 - 680, [2].

44. Колесник, Н. В. Устранение вибрации машин Текст. М. - Л. : Маш-гиз, 1960. - 199 с.

45. Шатохин В. Ф. О частотных характеристиках ротора питательного наноса ПН-1500-350 Текст. Вестник машиностроения, 1999, №6, с. 13 - 19.

46. Черноусько, Ф. JI. Управление колебаниями Текст. / Ф. JL Черноусько, JI. Д. Акулов, Б. Н. Соколов. М.: Наука, 1980. - 384 с.

47. Ананьев, И. В. Колебания упругих систем в авиационных конструкциях и их демпфирование. Текст. / И. В. Ананьев, П. Г. Тимофеев М. : Машиностроение, 1965. - 526 с.

48. Исакович, М. М. Устранение вибраций электрических машин Текст. / М. М. Исакович, JI. И. Клейман, Б. X. Перчанок М. : Энергия, 1979. - 199 с.

49. Мэнли Р. Анализ и обработка записей колебаний Текст. М. : Машиностроение, 1980. - 230 с.

50. Шкаликов В. С. Измерение параметров вибраций и удара Текст. / В. С. Шкаликов, В. С. Пеллинец, Е. Г. Исакович, Н. Я. Цыган. М. : Машиностроение, 1972. - 368 с.

51. Иориш, Ю. И. Виброметрия Текст. М. : Машгиз, 1963. - 771 с.

52. Гик, JI. Д. Измерение вибраций Текст. Новосибирск. : Наука, 1972.292 с.

53. Максимов, JI. С. Измерение вибраций сооружений Текст. / JI. С. Максимов, И. С. Шейнин. JI. : Стройиздат, 1974. - 254 с.

54. Хронин, Д. В. Колебания в двигателях летательных аппаратов Текст. -М.: Машиностроение, 1980. 296 с.

55. Биргер, И. А. Прочность и надежность машиностроительных конструкций Текст.: Избранные труды. Уфа, ГМФМЛ, 1998. - 350 с.

56. Биргер, И. А. Расчет на прочность авиационных газотурбинных двигателей Текст. / И. А. Биргер, Н. И Котеров, и др. М. : Машиностроение, 1984. -208 с.

57. Научный вклад в создание авиационных двигателей. В 2-х книгах. Кн.1 Текст. / Под ред. В. А. Скибина и др. М.: Машиностроение, 2000. - 725 с.

58. Левин, А. В. Прочность и вибрация лопаток и дисков паровых турбин. Текст. / А. В. Левин, К. Н. Боргиланский, К. Консон Л. : Машиностроение, 1981.-710с.

59. Прочность паровых турбин Текст. / Под ред. Л. А. Шубенко-Шубина.-М.: Машиностроение, 1973.-456 с.

60. Маслов, Г. С. Расчеты колебаний валов Текст. : Справочник. М. : Машиностроение, 1980. - 151 с.

61. Дондошанский В. К. Динамика и прочность судовых газотурбинных двигателей Текст. Л.: Судостроение, 1972. - 336 с.

62. Лаппа, М. И. Гибкие роторы судовых турбин Текст. Л. : Судостроение, 1969.- 158 с.

63. Прокофьев, К. А. Вибрация деталей судовых турбоагрегатов Текст. / К. А. Прокофьев, Ю. А Самсонов, С. К. Чернов. Л . : Судостроение, 1966.

64. Хронин, Д. В. Теория и расчет колебаний в двигателях летательных аппаратов Текст. М.: Машиностроение, 1980. - 296 с.

65. Огуречников, А. Н. Динамические жесткости вращающихся валов Текст. : Труды МАИ, вып. 55. М. : Оборонгиз, 1956.

66. Бауер, В. О. Влияние конструктивных особенностей крепления дисков на критические скорости роторов Текст. : сб. «Прочность и динамика авиационных двигателей», вып. 4. М. : Машиностроение, 1966. - с.117 - 131.

67. Крюков, К. А. Табличный метод расчета критических угловых скоростей многодисковых роторов Текст. : Труды МАИ, вып. 55. М. : Оборонгиз, 1956.

68. Дондошанский, В. К. О вычислении «нечувствительных» скоростей вращения роторов Текст. «Вопросы судостроения», 1975, вып. 7, с. 156 - 161.

69. Зезин, Н. Л. Динамика ротора на опорах качения с зазорами, заполненными маслом Текст.: сб. : Колебания й прочность деталей двигателей летательных аппаратов. М. : МАИ, 1972. с. 54 65.

70. Хронин, Д. В. Конструкция и проектирование демпферных опор Текст. : Учеб. пособие / Д. В. Хронин, М. К. Леонтьев. М. : Изд-во МАИ, 1988. - 37 с.

71. Леонтьев, М. К. Проектирование динамических систем роторов ГТД. Конструкция и расчет демпферных опор Текст. : учеб. пособие М. : Изд - во МАИ, 1997.-56 с.

72. Шатохин В. Ф. Нестационарные колебания системы ротор опоры при сотрясении основания Текст. - Машиноведение, 1989, №2, с.78 - 83.

73. Диментберг Ф. М. Применение метода динамической жесткости для расчета связанных колебаний Текст. : сб. «Динамика и прочность коленчатых валов» ИМАШ, АН СССР, 1948.

74. Кемпнер, М. Л. Метод динамических податливостей и жесткостей для расчета изгибных колебаний упругих систем со многими степенями свободы Текст. : сб. «Поперечные колебания и критические скорости» изд. АН СССР, 1951.

75. Натанзон, В. Я. Влияние колебания корпуса на критические скорости ротора Текст. / Колебания в турбомашинах: сб. науч. тр. ИМ АН СССР. Москва. 1956. с. 49—56.

76. Гуров, А. Ф. Совместные колебания в газотурбинных двигателях Текст. -М.: Оборонгиз, 1962. 142 с.

77. Вернигор, В. Н. Технология расчета системы связанных роторов ГТД в среде ANSYS. Сборник трудов четвертой конференции пользователей программного обеспечения CAD FEM GMBH, М., 2004, с. 127 - 131.

78. Вернигор, В. Н. Метод решения задач динамики связанных роторов ГТД на основе конечно-элементных комплексов Текст. Вестник двигателестроения. №2,2004, с. 148-151.

79. Leontiev, M. К., Zvonarev S. L. Improvement of gas turbine engine dynamic structure with rotor rubbing through mathematical simulation. Proceedings of the international conference VIBRATION & NOISED. Venice, Italy, 1995, pp. 641-649.

80. Программная система для расчета и анализа турбомашин DYNAMICS R3.1. Текст. Руководство пользователя, 2002, 50 с.

81. Леонтьев, М. К. Модальный анализ в исследовании динамического поведения сложных упругоинерционных систем авиационных ГТД Текст. : сб. системный анализ динамики и прочности машин. Иркутский политехнический институт. Иркутск. 1988.

82. Леонтьев, М. К. Модальный синтез в исследовании динамического поведения сложных систем авиационных ГТД Текст. Изв. вузов, Авиационная техника, №1, 1988. с. 41-48.

83. Скубачевский, Г. С. Авиационные газотурбинные двигатели Текст. -М.: Машиностроение, 1974. 520 с.

84. Кельзон, А. С. Расчет и конструирование роторных машин Текст. / А. С. Кельзон, Ю. Н. Журавлев, Н. В. Январев Л., Машиностроение, 1977. - 288 с.

85. Кельзон, А. С. Динамика роторов в упругих опорах Текст. / А. С. Кельзон, Ю. П. Циманский, В. И Яковлев М., Машиностроение, 1977. - 288 с.

86. Натанзон, В. Я. Изгибные колебания коленчатых валов авиационных двигателей Текст. : сб. Динамика и прочность коленчатых валов изд. АН СССР, 1948.

87. Биргер, И. А. Прочность и надежность машиностроительных конструкций Текст.: Избранные труды. Уфа, ГМФМЛ, 1998. - 350 с.

88. Вернигор, В. Н. Об определении вектора дисбаланса деталей типа "диск" Текст. / В. Н Вернигор, Ю. А Зеленков. Проблемы машиностроения и надежности машин. АН СССР. N 5, 1991, с. 31 - 37.

89. Вернигор, В. Н. Использование метода дискретизации механических систем на основе модального анализа при исследовании колебаний машиностроительных конструкций Текст. Проблемы машиностроения и надежности машин, №3,2000, с. 16-23.

90. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика Текст. М. : Высшая школа, 1977. - 480 с.

91. Вернигор, В. Н. Исследование эффекта Зоммерфельда на основе механической модели вращающегося ротора Текст. / В. Н. Вернигор, И. Н. Игумнов -Проблемы машиностроения и надежности машин. №3 .2003. с. 3 8.