Совершенствование дедуктивной подготовки студентов математических факультетов педвузов при обучении основам теории доказательств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 13.00.02, кандидат педагогических наук Тимофеева, Ирина Леонидовна

• Тимофеева, Ирина Леонидовна
• кандидат педагогических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат педагогических наук Тимофеева, Ирина Леонидовна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Теоретические основы дедуктивной подготовки будущих учителей математики

1.1. Дедуктивная подготовка будущих учителей математики.

1.2. Профессиональная направленность обучения основам теории доказательств и дедуктивной подготовки будущих учителей математики.

1.3. Пути повышения эффективности обучения основам теории доказательств студентов математических факультетов педвузов.

ГЛАВА 2. Содержание и методические особенности обучения основам теории доказательств на базе.натурального вывода.

• V . •

2.1. Многоуровневый подход при обучении основам теории доказательств на базе натурального вывода в курсе математической логики и на спецкурсах.

2.2. Методика введения основных понятий.

2.3. Методика доказательств наиболее важных теорем.

2.4. Методологическое значение сопоставления двух логических систем (классической и интуиционистской) при изложении основ теории доказательств.

2.5. Описание экспериментальной части исследования

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Совершенствование дедуктивной подготовки студентов математических факультетов педвузов при обучении основам теории доказательств»

Актуальность исследования. Важнейшей целью современной системы образования является формирование интеллектуально развитой личности. Поскольку повышение интеллектуального потенциала общества является необходимым условием его прогресса, задача развития мышления учащихся как средней, так и высшей школы остается всегда актуальной.

Высокая ответственность за развитие мышления учащихся средней школы лежит на школьном учителе, особенно учителе математики, что предъявляет повышенные требования к его профессиональной подготовке.

В условиях реформы отечественного образования возрастает актуальность проблемы совершенствования профессиональной подготовки будущих учителей математики, повышения уровня их профессиональной квалификации.

Важнейшую роль в процессе формирования будущего учителя математики играет логическая подготовка, от качества которой непосредственно зависит качество его специальной математической и методической подготовки, а значит и профессиональной подготовки в целом.

Решая задачи интеллектуального развития учащихся как средней, так и высшей школы, нужно иметь в виду, что уровень развития интеллекта, мыслительных способностей каждого человека так или иначе связан со способностью проводить дедуктивные рассуждения, т.е. рассуждать в соответствии с законами и правилами логики.

Обучение математике в силу самой специфики предмета предоставляет широкие возможности для развития дедуктивного мышления. Вместе с тем почти все специалисты сходятся во мнении, что изучение математики само по себе не обеспечивает должного развития дедуктивного мышления школьников и студентов, и что для их полноценной дедуктивной подготовки необходимо проводить специальную целенаправленную работу. Поэтому, для обеспечения соответствующего качества дедуктивной подготовки будущих учителей математики необходимо специально обучать их дедуктивным средствам, используемым в математике и пониманию сущности математического доказательства.

В связи с этим представляется важным выделение дедуктивной подготовки будущих учителей математики как важнейшей составляющей их логической подготовки, а также специальное ее исследование. Поскольку практика преподавания и исследования специалистов показывают, что уровень дедуктивной подготовки выпускников математических факультетов педвузов остается довольно низким, задача поиска путей совершенствования дедуктивной подготовки будущих учителей математики является особенно актуальной.

Повышение качества дедуктивной подготовки способствует более успешному решению таких важных проблем, как усиление профессионально-педагогической направленности, гуманитаризации и интенсификации специальной математической подготовки учителя математики. Д Особую роль в дедуктивной подготовке будущих учителей математики играет обучение основам теории доказательств в курсе математической логики, читаемом на математических факультетах педвузов. Этот курс не только оказывает существенное влияние на развитие общей математической культуры будущего учителя математики и способствует развитию его дедуктивного мышления, но и готовит его к будущей преподавательской деятельности.

Большие возможности по совершенствованию дедуктивной подготовки ^ представляет обучение основам теории доказательств на базе систем натурального вывода, обладающее рядом существенных преимуществ по сравнению с традиционным обучением. Дело в том, что в программу курса математической логики, читаемого на математических факультетах педвузов, входят логические исчисления. Традиционно эти исчисления излагаются в версии, предложенной Д.Гильбертом. В этих исчислениях математическое уточнение понятия доказательства представляет собой линейно упорядоченное множество (цепочку) формул, удовлетворяющих определенным условиям (линейный вывод). Ис-^ числения гильбертовского типа являются технически вполне удобными, если ставится лишь задача построения и изучения формальных дедуктивных систем с определенными свойствами.

Однако не менее важной для дедуктивной подготовки будущих учителей математики является задача непосредственного изучения дедуктивных средств, используемых в математических рассуждениях и организация правил вывода в некоторую систему. Для решения этой задачи существенно более удобными являются логические системы натурального вывода, предложенные Г.Генценом -крупным немецким логиком, учеником Гильберта. В этих системах уточнение понятия доказательства представляет собой частично упорядоченное в виде дерева множество формул, удовлетворяющих определенным условиям (вывод в виде дерева). Построение логических систем натурального вывода, их отличие от традиционно изучаемых исчислений гильбертовского типа подробно рассмотрено в главе 1 (разд. 1.3).

Одним из основных преимуществ обучения основам теории доказательств на базе натурального вывода по сравнению с традиционным обучением является естественность натурального вывода, позволяющего построить адекватные математические модели реальных математических рассуждений и доказательств. В определенной степени, средства натурального вывода позволяют моделировать и эвристическую деятельность по поиску и проведению доказательств. Натуральный вывод имеет также ряд других преимуществ, позволяющих усилить профессионально-педагогическую и гуманитарную направленность курса математической логики в целом.

В связи с этим представляется целесообразным и актуальным исследование возможностей повышения качества дедуктивной подготовки будущих учителей математики путем совершенствования содержания систематического курса и спецкурсов по математической логике. Такая возможность может быть реализована при построении обучения основам теории доказательств на базе натурального вывода.

Все изложенное определило выбор темы и актуальность научно-методического исследования; 'посвященного проблеме совершенствования дедуктивной подготовки студентов математических факультетов педвузов при обучении основам теории доказательств.

Проблемы профессиональной подготовки будущих учителей математики всегда интересовали крупных математиков-педагогов и ведущих отечественных исследователей в области методики преподавания математики.

Этим проблемам уделяли внимание выдающиеся отечественные математики-педагоги: А.Д.Александров, П.С.Александров, В.Г.Болтянский, Н.И. Башмаков, Н.Я.Виленкин, Б.В.Гнеденко, А.Н.Колмогоров, Л.Д.Кудрявцев, А.И. Мар-кушевич, П.С.Новиков, С.М.Никольский, А.Я. Хинчин, и др.

При разработке проблем специальной подготовки будущих учителей математики сыграли существенную роль работы по общей дидактике и педагогике С.И.Архангельского, И.Я.Лернера, В.П.Беспалько, В.А.Сластенина, М.Н.Скаткина и др.

Проблемы совершенствования математической и методической подготовки будущих учителей математики в педвузах в современных условиях нашли отражение в работах известных специалистов в области методики преподавания математики: И.И.Баврина, М.В.Воловича, В.А.Гусева, Г.Д.Глейзера, Г.В. Дорофеева, Ю.М.Колягина, В.И.Крупича, Г.Л.Луканкина, В.Л. Матросова, В.М. Монахова, А.Г.Мордковича, Г.И.Саранцева, З.И. Слепкань, И.М.Смирновой, A.A. Столяра, Н.А.Терешина, Л.М.Фридмана, P.C. Черкасова, С.И.Шварцбурда и др.

Проблемам профессионально-педагогической направленности специальной математической подготовки будущих учителей математики посвящены исследования Г.Л.Луканкина, А.Г.Мордковича, Т.А.Ивановой, А.Х. Назиева и др.

Разработке основ дифференцированного обучения математике посвящена докторская диссертация В.А.Гусева. Концепции дифференциации математического образования посвящены работы В.Г.Болтянского, Г.Д. Глейзера, Г.В. Дорофеева, Ю.М.Колягина, И.М.Смирновой и др. С концепцией уровневой дифференциации обучения в средней школе была связана идея перехода на многоуровневое высшее образование. Дифференциация обучения математике стала рассматриваться как один из основных путей личностно-ориентированного развивающего обучения. Проблемы формирования целостной личности при обу-™ чении математике и развития математических способностей исследовались В.В. Афанасьевым, В.А.Гусевым, Н.В.Метельским, А.М.Редьковой, И.М. Смирновой, М.И.Шабуниным и др.

Гуманитаризации математического образования посвящены многие работы крупных математиков, специалистов в области методики. В решение этой проблемы внесли вклад: А.Д. Александров, В.И.Арнольд, М.И.Башмаков, В.Г. Болтянский, Н.Я.Виленкин, М.Б.Волович, А.В.Гладкий, Г.Д.Глейзер, Б.В.Гнеденко, В.А.Гусев, Г.В.Дорофеев, Ю.М.Колягин, Г.Л.Луканкин, А.Г.Мордкович, И.Л. Никольская, И.М.Смирнова, Г.И.Саранцев, А.А.Столяр, Н.А.Терешин, Л.М.

Фридман, А.Я.Хинчин, Р.С.Черкасов и др.

За последние два десятилетия проблемам совершенствования подготовки учителей математики в педагогических вузах посвящено много фундаментальных исследований, в том числе докторских диссертаций И.И.Мельникова, А.Х.Назиева, А.И.Нижникова, И.С.Сафуанова, Ю.В. Сидорова, Е.И.Смирнова,

A.Г.Солониной, Н.Л. Стефановой, E.H. Перевощиковой, В.Т.Петровов,

B.А.Тестова, Л.В. Шкериной, А.В.Ястребова и др.

Проблеме развития логического мышления при обучении математике в школе и вузе придавали большое значение крупные отечественные и зарубежные математики-педагоги: Б.В.Гнеденко, Ф.Клейн, А.Н. Колмогоров, Л.Д. Кудрявцев, А.И.Маркушевич, Д.Пойя, Х.Фройденталь, А.Я.Хинчин и др.

Логическим проблемам математического образования посвятил целый ряд работ Г.В.Дорофеев, уделив особое внимание логико-языковому аспекту.

Многие из перечисленных выше исследователей в своих работах затрагива-^ ли различные аспекты логической подготовки будущих учителей математики.

Так, А.Х.Назиев рассматривал гуманитарный аспект логической подготовки. В.А.Тестов исследовал проблему формирования "математических схем мышления". В.Т.Петрова рассматривала среди принципов интенсификации обучения математике в вузе принцип разумной логической строгости, а также широкое использование аксиоматических и дедуктивных методов при построении математических курсов.

Большинство исследователей в области методики преподавания математики Щ' в той или иной степени рассматривали проблему обучения математическим доказательствам и развитию дедуктивного мышления. Особое внимание методике обучения поиску и проведению математических доказательств уделили известные отечественные и зарубежные методисты (М.Б.Волович, И.Лакатос, Д.Пойя, Г.А.Саранцев и др.).

Исследованию проблем логической подготовки будущих учителей математики предшествовали многочисленные исследования в области методики преподавания математики, посвященные логическому развитию школьников в процессе обучения математике. Среди них наиболее известными являются работы А.А.Столяра, И.Л.Никольской, М.Е.Драбкиной и др.

Так, И.Л.Никольская исследует понятие логической грамотности, уточняя его содержание и предлагая методику привития логической грамотности учащимся средней школы [145].

Большой интерес представляют работы известного специалиста в области методики преподавания математики А.А.Столяра, занимавшегося исследованием комплекса проблем, названных им "логическими проблемами преподавания". Особое внимание в своих работах А.А.Столяр уделяет проблеме специального изучения того, как проводятся рассуждения в математике и что такое доказательство, считая, что обсуждение этих вопросов с учащимися позволяет повысить уровень их логического развития [194, 198, 199].

Логическому развитию школьников свои диссертационные исследования посвятили: Э.И. Айвазян, О.В. Алексеева, К.О. Ананченко, Ю.А. Бурлев, В.Г. Еж-кова, Т.А. Кондрашенкова, Л.А.Латотин, Е.П.Маланюк, Б.Д.Пайсон, Л.Н. Удо-венко, И.Б.Юдина и др.

Логическая подготовка учителей математики явилась предметом специального исследования в диссертационных работах А.А.Столяра, М.Е. Драбкиной, Ю.А.Моторинского, Т.В.Морозовой, С.А.Севастьяновой и др.

Ю.А.Моторинский [136] исследовал возможность повышения уровня начальной логической подготовки студентов математических факультетов педвузов в рамках курса алгебры.

С.А.Севастьянова [176] исследовала проблему усиления действенного характера специальных логических знаний студентов математических факультетов педвузов путем реализации интегративного курса по логике с профессиональной направленностью. Т.В.Морозова [135] исследовала методологические аспекты логической подготовки учителя математики.

Во всех перечисленных работах дедуктивная подготовка будущих учителей математики не являлась предметом специального исследования, хотя и представляет собой основу логической подготовки в целом.

Особую роль в дедуктивной подготовке будущих учителей математики играет курс математической логики.

Одним из создателей курса математической логики, читаемого на математических факультетах педвузов, был выдающийся математик, логик и педагог П.С.Новиков. Этот курс впервые прочитан в ведущем отечественном педагогическом вузе - ныне МПГУ в 1961 г. Большой вклад в развитие этого курса и сохранение его лучших традиций сделали его последователи: Е.А.Щегольков, В.Л.Матросов, Ф.А.Кабаков, Ю.А.Макаренков. В последние годы курс математической логики усовершенствован с учетом тенденций развития современной математической логики. При этом сохранена основная концепция курса: значительную часть курса посвящать основам теории доказательств и придавать особое значение идейной стороне курса - проблемам оснований математики.

Следует отметить, что дедуктивная подготовка будущих учителей математики при обучении их основам теории доказательств в рамках курса математической логики на математических факультетах педвузов и возможности ее совершенствования до сих пор остаются практически не исследованными. Проблема исследования заключается в выявлении путей совершенствования дедуктивной подготовки будущих учителей математики в процессе обучения основам теории доказательств.

Объектом исследования является процесс обучения студентов математического факультета педвуза, рассматриваемый с позиций дедуктивной подготовки. Предметом исследования является содержание и методические особенности обучения основам теории доказательств на базе натурального вывода. Основная цель исследования - разработка содержания и методики обучения будущих учителей математики основам теории доказательств на базе натурального вывода с позиций совершенствования их дедуктивной подготовки. Гипотеза исследования состоит в следующем: изложение основ теории доказательств на базе натурального вывода в курсе математической логики или спецкурсе позволит повысить эффективность обучения основам теории доказательств и, тем самым, качество дедуктивной подготовки будущих учителей математики.

Цель, предмет и гипотеза исследования определили задачи исследования: -уточнить содержание дедуктивной подготовки как составляющей логической подготовки будущих учителей математики и определить роль обучения основам теории доказательств в процессе этой подготовки; -обосновать целесообразность специального изучения дедуктивных средств, используемых в математических рассуждениях, и формирования понятия математического доказательства различными путями и на разных уровнях; -выявить преимущества обучения основам теории доказательств на базе натурального вывода по сравнению с традиционным обучением и исследовать возможность усиления его профессионально-педагогической направленности; -разработать содержание и структуру изложения основ теории доказательств на базе натурального вывода, представив такую модификацию теории натурального вывода, которая была бы адаптирована к процессу обучения студентов педвузов и соответствовала задаче их дедуктивной подготовки (в частности, разработать систему понятий и теорем, определяющую структуру изложения теории доказательств на базе натурального вывода); -исследовать методические особенности обучения натуральному выводу и разработать соответствующие методические рекомендации (в частности, достичь методического эффекта путем разработки соответствующих математических средств, обеспечивающих упрощение излагаемого материала); -экспериментально проверить выявленные возможности обучения основам теории доказательств на базе натурального вывода и оценить эффективность такого обучения.

Для решения поставленных задач использованы следующие методы исследования'.

- анализ научно-методической и психолого-педагогической литературы по теме исследования;

- изучение и анализ научной литературы и учебных пособий по теории доказательств, математической логике и основаниям математики;

- изучение опыта работы отечественной высшей школы по преподаванию математической логики;

- обобщение собственного опыта работы в педвузе (18 лет в МПГУ) и представление его в виде публикаций [210-217];

- методы математической логики при проведении собственных исследований в области теории доказательств с целью решения некоторых задач по методике ее изложения; систематизация этих исследований и представление результатов в виде учебно-методического пособия для студентов математических факультетов педвузов [214];

- экспериментальная проверка основных положений исследования (констатирующий, поисковый, обучающий и контролирующий эксперименты).

Научная новизна и теоретическая значимость исследования заключаются в следующем:

1) разработаны требования к дедуктивной подготовке как важнейшей составляющей логической подготовки будущего учителя математики и определена роль обучения основам теории доказательств в процессе этой подготовки;

2) осуществлено сравнение различных подходов к формированию и изучению понятия доказательства как на интуитивном, так и на формальном уровне;

3) разработана концепция обучения будущих учителей математики основам теории доказательств;

4) выявлены преимущества обучения основам теории доказательств на базе натурального вывода по сравнению с традиционным обучением;

5) разработано и теоретически обосновано содержание обучения основам теории доказательств на базе натурального вывода, в частности: а) усовершенствованы система понятий, теорем, обозначений для адаптации математического материала к процессу обучения и соответствия цели дедуктивной подготовки будущих учителей математики; б) найдено решение ряда методических проблем изложения основ теории доказательств с помощью разработки соответствующих математических средств,'В частности, принципа индукции для деревьев натурального вывода, облегчающего доказательство ряда теорем;

6) разработана методика изложения основ теории доказательств на базе натурального вывода с позиций совершенствования дедуктивной подготовки будущих учителей математики.

7) теоретически обосновано усиление профессионально-педагогической направленности и повышение эффективности обучения студентов основам теории доказательств на базе натурального вывода.

Практическая значимость исследования состоит в следующем:

1) полученные результаты могут быть использованы преподавателями педвузов, читающими основной курс и спецкурсы по математической логике, а также студентами математических факультетов педвузов при изучении этих курсов;

2) некоторые результаты исследования могут быть использованы учителями средней школы для изложения элементов логики в классах с углубленным изучением математики и на факультативных занятиях по следующим темам: "Логические средства, используемые в математических доказательствах", "Что такое математическое доказательство?", "Как мы доказываем в математике?"

На защиту выносятся:

1) теоретическое обоснование трактовки понятия дедуктивная подготовка будущих учителей математики и роли обучения основам теории доказательств в этой подготовке;

2) содержание обучения основам теории доказательств на базе натурального вывода в курсе математической логики и спецкурсах;

3) методическое обеспечение процесса обучения будущих учителей математики основам теории доказательств на базе натурального вывода;

4) теоретическое обоснование усиления профессионально-педагогической направленности и повышения эффективности обучения студентов основам теории доказательств на базе натурального вывода.

Дальнейшим продолжением работы может служить разработка: а) содержания полного курса математической логики на базе натурального вывода и его методического обеспечения; б) системы задач и упражнений для практических занятий по теории доказательств на базе натурального вывода; в) содержания спецкурса, включающегорассмотрение проблем непротиворечивости и доказательство теоремы Генцена о непротиворечивости арифметики, базирующегося на натуральном выводе; г) методики обучения школьников дедуктивным средствам, используемым в математических рассуждениях и формирования у школьников интуитивного представления о доказательстве в виде дерева.

Апробация работы. Содержание, положения и результаты исследований докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

- Всероссийская конференция "Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков" (Дубна, 2000 г.);

- научно-методический семинар кафедры методики преподавания математики МПГУ (2001 г.);

- научно-методическое объединение и заседание кафедры математического анализа МПГУ (2000 г.);

- научная сессия математического факультетата МПГУ по итогам НИР(2001 г.). Внедрение результатов исследования осуществлялось на математическом факультете МПГУ в следующих формах:

- прочитан цикл лекций и проведен ряд практических занятий по натуральному выводу в рамках основного курса математической логики (2000 г.);

- прочитан спецкурс и проведен спецсеминар "Неклассические логики", в рамках которого изучались классическая и интуиционистская системы натурального вывода (2000 г.);

- прочитан спецкурс и проведен спецсеминар "Логические системы натурального вывода", целиком посвященные введению в теорию доказательств на базе натурального вывода (2001 г.).

Результаты исследования изложены в следующих публикациях'.

1 .Некоторые замечания о методе доказательства от противного. //Математика в школе. - 1994, № 3. - С. 36-38.

2. Об изучении логических систем натурального вывода в курсе математической логики в педвузах. //Проблемы совершенствования математической подготовки в школе и вузе, сб. статей, вып.5.-М. Прометей, 2000.- С.28—30.

3. Об одном из путей совершенствования логической подготовки будущих учителей математики. //Всероссийская конференция "Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков". Сб. материалов, Дубна, 2000. - М.: МЦНМО, 2000. - С.589-591.

4. О возможности повышения уровня логической подготовки студентов математических факультетов педвузов. //Проблемы и перспективы педагогического образования в XXI веке. Труды научно-практической конференции. - М.: Прометей, 2000. - С.263-265.

5. Логические системы натурального вывода. Введение в теорию доказательств. Учебно-методическое пособие. МПГУ. - М., 2000. - 90с. - Деп. в ИТОП РАО 23.10.2000, №20-2000.

6. О пропозициональных системах натурального вывода. МПГУ. - М., 2000. -73с. - Деп. в ВИНИТИ 05.10.00, № 2553-В00.

7. Конструктивное доказательство-теоремы о полноте классической пропозициональной системы натурального вывода. // Юбилейный сб. научных, трудов математического факультета МПГУ.-М.:Прометей, 2001.-С.83-89.

8. Принцип индукции для натуральных выводов. // Юбилейный сборник научных трудов математического ф-та МПГУ (к 100-летию факультета). - М.: Прометей, 2001. - С.131-137.

Структура и основное содержание диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографии и приложений. Во введении обоснованы выбор и актуальность темы исследования, определены предмет и объект исследования, сформулированы цель и гипотеза исследования, указаны задачи и методы исследования, раскрыты практическая значимость и научная новизна исследования, изложены положения, выносимые на

Заключение диссертации по теме «Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)», Тимофеева, Ирина Леонидовна

Основные результаты теоретической и экспериментальной частей исследования заключаются в следующем:

1. Уточнено понятие дедуктивной подготовки будущих учителей математики как составляющей их логической подготовки; определена роль теории доказательств (основного раздела математической логики) как теории систематизирующей, обобщающей и уточняющей интуитивные представления о математическом доказательстве, полученные студентами при изучении различных математических дисциплин.

2. Обоснована целесообразность формирования понятия математического доказательства различными путями и на разных уровнях.

3. Выявлены преимущества обучения основам теории доказательств на базе натурального вывода по сравнению с традиционным обучением.

4. Разработано и теоретически обосновано содержание обучения будущих учителей математики основам теории доказательств на базе натурального вывода в рамках курса математической логики и спецкурсов (в частности, разработана система понятий и теорем, адаптированная к учебному процессу)

5. Исследованы методические особенности и разработаны методические рекомендации по обучению основам теории доказательств на базе натурального вывода.

6. Экспериментальная часть исследования подтвердила: а) возможность и доступность обучения студентов педвуза основам теории доказательств на базе натурального вывода, как в рамках курса математической логики, так и на спецкурсах; б) повышение эффективности обучения при построении изложения основ теории доказательств на базе натурального вывода по сравнению с традиционным изложением.

7. Разработанная методика может быть использована преподавателями математической логики в педвузах при изложении основного курса и спецкурсов по математической логике. Некоторые учебно-методические материалы могут быть использованы учителями математики для разработки факультативных занятий в школе.

Таким образом, проведенное исследование подтвердило первоначально выдвинутую гипотезу исследования.

Заключение

Без дедуктивных рассуждений невозможно построение и развитие математики вообще и школьной математики в частности. Поэтому углубленное изучение дедуктивных математических рассуждений является важнейшей составной частью математического образования будущих учителей математики. В школе закладывается интуитивное представление о математическом доказательстве, приобретается опыт проведения доказательств. Школьники получают при этом образцы строгого, аргументированного, доказательного рассуждения. Такого рода опыт и знания имеют более высокую ценность, чем знание многих отдельных математических фактов.

Для того чтобы математически грамотно организовать учебную дедуктивную деятельность школьников, учитель математики сам должен обладать фундаментальными знаниями в области дедуктивных математических рассуждений. Такие знания будущий учитель математики получает при изучении основ теории доказательств, как в рамках курса математической логики, так и на спецкурсах и спецсеминарах. Обучение основам теории доказательств играет существенную роль в дедуктивной подготовке будущих учителей математики.

Опыт преподавания математической логики на математическом факультете МШ У, а также теоретическое и экспериментальное исследование автора показывает, что существует возможность совершенствования дедуктивной подготовки будущих учителей математики при обучении основам теории доказательств. Она заключается в нетрадиционном изложении основ теории доказательств на базе натурального вывода.

Список литературы диссертационного исследования кандидат педагогических наук Тимофеева, Ирина Леонидовна, 2001 год

1. Абрамов A.M. и др. Концепция развития школьного математического образования // Математика в школе. 1990, № 1. - с.2-14.

2. Алексеева О.В. Логическая подготовка младших школьников при обучении математике: Автореф. дис. канд. пед. наук.- М., 2000.- 24с.

3. Ананченко К.О. Обучение индуктивным и дедуктивным умозаключениям в курсе алгебры 8-летней школы: Автореф. дисс.канд. пед. наук -М., 1979. -20 с.

4. Андреев В.В. Профессиональная направленность обучения студентов педагогических вузов в курсе теории аналитических функций. Дисс. . канд. пед. наук.- М., 1993.-253 с.

5. Арнольд В.И. Для чего мы изучаем математику? // Квант-1993, №1/2.с.5-15.

6. Арнольд В.И. О преподавании математики // Успехи математических наук. -1998, т. 53, вып. 1 (319). -с.229-234.

7. Арнольд В.И. Математическая безграмотность губительнее костров инквизиции // Известия. 1998, №7 (16 января). - с.5.

8. Ахмедов Ж., Гусев В.А. Воспитание у студентов философских, психологических, математических представлений о проведении доказательств // Проблемы подготовки учителей математики. М.: МЗГПИ, 1979

9. Архангельский С.И. Лекции по научной организации учебного процесса в высшей школе. М.: Высшая школа, 1976. - 200с.

10. Ю.Архангельский С.И. Учебный процесс в высшей школе, его закономерные основы и методы. М.: Высшая школа, 1980. - 368с.

11. Бабанский Ю.К. Проблемы повышения эффективности педагогических исследований. М.: Педагогика 1982. - 192 с.

12. Бескин Н.М. Аксиоматический метод // Математика в школе. 1993, № 3 (с.25-30) и №4 (с.48-54).

13. Бирюков Б.В., Тростников В.Н. Жар холодных чисел и пафос бесстрастной логики. М.: Знание, 1977. - 192 с.

14. Н.Бирюков Б.В., Гусев В.А.,Столяр A.A. Роль логики и кибернетики в профессиональной подготовке учителя // Математика в школе-1982, № 1.-е.77-78.

15. Болтянский В.Г. Как устроена теорема? // Математика в школе. 1973. - №3. -С.41^9.

16. Болтянский В.Г. Об использовании логической символики при работе с определениями // Математика в школе. 1973, №5. - с.45-50.

17. Болтянский В.Г., Глейзер Г.Д. К проблеме дифференциации школьного математического образования // Математика в школе. 1988, №3. - с.9-13.

18. Болтянский В.Г., Глейзер Г.Д., Черкасов P.C. К вопросу о перестройке общего математического образования // Повышение эффективности обучения математике в школе / сост. Г.Д.Глейзер.-М.¡Просвещение 1984 С.231-238.

19. Брадис В.М. Воспитание логических навыков при обучении математике // Математика в школе. 1953. - №1- С.20-25.

20. Брадис В.М., Минковский B.JL, Харичева А.К. Ошибки в математических рассуждениях. М.: Просвещение, 1967. - 191с.21 .Бурбаки Н. Теория множеств. М.: Мир, 1965. - 456с.

21. Бурлев Ю.А. Формирование обобщенных дедуктивных умений в курсе геометрии восьмилетней школы. Автореф. дисс.канд. пед. наук.-М., 1984.-17с.

22. Вейль Г. Математическое мышление. Пер. с англ. и нем. / Под ред. Б.В.Бирюкова и А.Н.Паршина. М.: Наука, 1989. - 400 с.

23. Вейц Б.Е. Язык школьного курса математики //Математика в школе. 1977, №3. - с.42—46.

24. Виленкин Н.Я. Современные проблемы школьного курса математики и их исторические аспекты // Математика в школе. 1988, № 4. - с.7-14.

25. Виленкин Н.Я., Мордкович А.Г. Подготовку учителей математики на уровень современных требований. // Математика в школе. 1986, № 6. - с.7-14.

26. Виленкин Н.Я., Мордкович А.Г. О роли межпредметных связей в профессиональной подготовке студентов педагогических институтов // Проблемы подготовки учителей математики в пединститутах. Под ред. Н.Я.Виленкина, А.Г.Мордковича. М., МГЗПИ, 1989.

27. Волович М.Б. Наука обучать / Технология преподавания математики. М.: LINKA-PRESS, 1995. 280с.

28. Выготский JI.C. Мышление и речь // Собр. соч. в 6-ти томах. Т.2. -М., 1982. - С.5-361.

29. Вышенский В.А., Калужнин JI.A. О месте теории множеств и математической логики в преподавании математики в средней школе // Математика в школе. 1970. -№1, С.35^0.

30. Гальперин П.Я. Психология мышления и учение о поэтапном формировании умственных действий // Исследование мышления в советской психологии. -М.: Учпедгиз. 1958. 131с.

31. Гальперин П.Я., Талызина Н.Ф. Предисловие к книге: "Зависимость обучения от типа ориентировочной деятельности". М.:МГУ, 1968

32. Гейтинг А. Обзор исследований по основаниям математики. M.-JL: ОНТИ НКТП СССР, 1936.-96с.

33. Гейтинг А. Интуиционизм. Введение, пер.с англ. Под ред. и с коммент. A.A. Маркова. М.: Мир, 1965. - 200 с.

34. Генцен Г. Исследования логических выводов // Математическая теория логического вывода. -М.: Наука, 1967. С.9-74.

35. Гетманова А.Д. Учебник по логике. М.: Владос, 1994. - 303с.

36. Гржегорчик А. Популярная логика. М.: Наука, 1979. - 112 с.

37. Гильберт Д. Основания геометрии.-М.-Л.: ОГИЗ Гостехиздат, 1948. 492с.

38. Гильберт Д. Проблемы обоснования математики // 38. С.389-399.

39. Гильберт Д.,Аккерман В. О теоретической логики.-М.: ИЛ 1947-304с.

40. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. М.: Наука, 1979. - 560 с.

41. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Терия доказательств. М.: Наука, 1982.-653 с.43 .Гладкий A.B. Язык математической логики.-Калинин, 1977. В надзаг.: Калинин гос.ун-т. - 83с.

42. Гладкий A.B. Математическая логика. М.: Российск. гос. гуманит. ун-т. 1998.-480 с.

43. Гладкий A.B. Об уровне математической культуры выпускников средней школы // Математика в школе. 1990. - №4 - С.7-9.

44. Глейзер Г.Д. Цели общего образования в современном мире // Инновации и традиции в образовании. Белград, 1996. - С.93-104.

45. Глухов М.М. Алгебра высказыванийи двоичные функции. Учебное пособие по курсу математической логики. М.: Изд-во в/ч 33965, 1971. - 126 с.

46. Глухов М.М. Математическая логика. М.: Изд-вЪ в/ч 33965, 1971. - 232с.

47. Глухов М.М., В.А. Шапошников. Задачи и упражнения по математической , логике. М.: Изд-во в/ч 33965, 1984. - 100с.

48. Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире. -М.: Просвещение. 1985. 192с.

49. Гнеденко Б.В. Об образовании преподавателя математики средней школы // Математика в школе. 1989, №3. - С. 19-22.

50. Гнеденко Б.В. О математическом образовании в вузах в период научно-технического прогресса. Сб. науч.-мет. статей по математике. Вып. 7. М.: МВССО СССР, -1978

51. Горский Д.П. и др. Краткий словарь по логике.-М.:Просвещение, 1991.-208с.

52. Грабарь М.И., Краснянская К.А. Применение математической статистики в педагогических исследованиях.-Непараметрические методы. М.: Педагогика, 1977. - 136 с.

53. Градштейн И.С. Прямая и обратная теоремы. М.: Наука, 1973. - 128с.

54. Гусев В.А. Методические основы дифференцированного обучения математике в школе: Дисс. докт. пед. наук. М., 1990. - 364с.

55. Гусев В.А. Методическая подготовка будущих учителей математики в пединститутах // Совр. проблемы методики преподавания математики. М.: Просвещение, 1985, С.8-19.

56. Гусев В.А., Смирнова И.М. Магистрская диссертация по методике преподавания математики. Методические рекомендации.-М.:Прометей, 1996.-108 с.

57. Гусев В.А., Столяр A.A. Всесоюзная научная конференция "Проблемы совершенствования методической подготовки учителей математики в педвузе" // Математика в школе. 1976, № 1. - С.94-95.

58. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении. Логико-психологические проблемы построения учебных предметов. М.: Педагогика, 1972. - 424с.

59. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. М.: ИНТОР, 1996. - 544с.

60. Дорофеев Г.В. О правильности рассуждений и подробности изложения в решении задач // Математика в школе. 1982. №1. - С.44-47.

61. Дорофеев Г.В. Строгость определений математических понятий школьного курса с методической точки зрения // Математика в школе. 1984. -№3 -С.56-60.

62. Дорофеев Г.В. Язык преподавания математики и математический язык Н Современные проблемы методики преподавания математики. М., 1985. -С.38-54.

63. Дорофеев Г.В. Гуманитарно-ориентированный курс математики основа учебного предмета "Математика" в общеобразовательной школе // Математика в школе. - 1997, № 4. - С.59-66.

64. Дорофеев Г.В. Математика для каждого. М.: Аякс, 1999. - 292 с.

65. Дорофеева A.B. Гуманитарные аспекты преподавания математики // Математика в школе. 1990, № 6. - С. 12-13.

66. Драбкина М.Е. Логические упражнения по элементарной математике-Минск: Вышейша школа. 1965 160с.

67. Драбкина М.Е. О системе целенаправленных упражнений для формирования некоторых логических понятий при изучении математики в средней школе и педагогическом вузе: Автореф. дисс.канд. пед. наук.-Минск, 1971. 22с.

68. Драбкина М.Е. Основания арифметики.-Минск:Вышейша школа, 1967.-207с.

69. Жохов А.Л. Научные основы мировоззренчески направленного обучения математике в общеобразовательной и профессиональной школе. Автореф. дисс. докт. пед. наук. М., 1999. - 40с.

70. Ежкова В.Г. Методические аспекты освоения логических конструкций языка школьной математики. Автореф. дисс. канд. пед. наук. М., 1999. - 20с.

71. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика.-М.: Наука, 1979.-3 20с.

72. Ефремович В.А., Гладкий A.B. К вопросу о подготовке учителей математики в педагогических институтах // Математика в школе. 1989, № 3. - с. 15-19.

73. Иванова Т.А. Гуманитаризация математического образования. -Н.Новгород: Изд. НГПУ, 1998. 206 с.

74. Иванова Т.А. Теоретические основы гуманитаризации общего математического образования. Автореф. дисс. докт. пед. наук. М., 1998. - 41с.

75. Ивин A.A., Никифоров A.J1. Словарь по логике. М.: Владос, 1998. - 384с.

76. Икрамов Д. Развитие математической культуры школьников (языковой аспект): Дисс. докт. пед. наук. Сырдарья, 1983. - 349с.

77. Иляков В.А. Методика использования логико-математических понятий при изучении начал анализа в средней школе: Автореф. дисс. канд. пед. наук. -М., 1982.-22 с.

78. Калошина И.П., Харичева Г.И. Логические приемы мышления при изучении высшей математики. Воронеж, Воронеж, гос. ун-т, 1978. - 128с.

79. Калужнин Л.А. Элементы математической логики в школьном преподавании // Новое в школьной математике. М., 1972. - С. 147-165.

80. Калужнин Л.А. Элементы теории множеств и математической логики в школьном курсе математики. М.: Просвещение, 1978. - 88с.

81. Капиносов а.Н. Методика формирования умений проводить доказательные рассуждения при обучении математике в 4-5 (5-6) классах. Автореф. дисс. канд. пед. наук. -М., 1988.- 16с.

82. Кварацхелия Н.М. К понятию логической грамотности // Пути совершенствования обучения математике. Ташкент, 1985. - С.10-16.

83. Клайн М. Математика. Утрата определенности: Пер. с англ.-М.:Мир,1984-434 с.

84. Клайн М. Математика. Поиск истины: Пер. с англ. М.: Мир, 1988. -295с.

85. Климентов Н.Г., МоторинскийЮ.А., Пайсон Б.Д. О развитии логической грамотности студентов // Воспитание познавательной активности студентов172при комплексном воздействии учебных и внеучебных форм работы. -Барнаул, 1978. С.91-92.

86. Клини С. Введение в метаматематику. Пер. с англ. М.: ИЛ, 1957. - 526с.

87. Клини С. Математическая логика. Пер. с англ. М.: Мир, 1973. - 480 с.

88. Колмогоров А.Н. Современные взгляды на природу математики // Математика в школе. 1969, № 3. - С. 12-17.

89. Колмогоров А.Н. Элементы логики в современной школе // Математика в школе. 1971, № 3. - С.7-14.

90. Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии. М.: Наука, 1991.

91. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Введение в математическую логику. М.: Изд-во МГУ, 1982. - 120с.

92. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Математическая логика. Дополнительные главы. М.: Изд-во МГУ, 1984. - 120с.

93. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математики. 4.1. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся. М.: Просвещение, 1977-110с

94. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математики. 4.2. Обучение математике через задачи и обучение решению задач. М.: Просвещение, 1977- 143с.

95. Кондрашенкова Т.А. Методика формирования общелогических умений при обучении математике в 4-5 классах: Автореф. дисс. канд. пед. наук. М., 1981.-20с.

96. Кондрашенкова Т.А., Никольская И.Л. О межпредметном значении логической составляющей курса математики // Математика в школе. — 1980. №3 - С.62-68.

97. ЮО.Корельская Т.Д., Падучева Е.В. Обратная теорема. Алгоритмические и эвристические проблемы мышления. М.: Знание, 1978. - 62с.

98. Крелыптейн Б.И. Необходимые и достаточные условия в математике. М.: Учпедгиз, 1961. - 63с.

99. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. -М.: Просвещение. 1968. 431с.

100. Кудрявцев Jl.Д. Современная математика и ее преподавание. М.: Наука, 1980. - 143с.

101. Кудрявцев Л.Д. Мысли о современной математке и ее изучении. М.: Наука, 1967.- 162с.

102. Курдюмова H.A. О методических подходах к записи учебного материала // Математика в школе. 1983. -№3 - С.25-30.

103. Юб.Кутасов А.Д. Элементы математической логики. Пособие для учащихся 910 классов. М.: Просвещение, 1977. - 63с.

104. Ю7.Кушнер Б.А. Лекции по конструктивному математическому анализу. М.: Наука, 1973.-448с.

105. Кушнер Б.А. Аренд Гейтинг: краткий очерк жизни и творчества, с.121-135 //Методолгический анализ оснований математики. М.: Наука.-1988.-176 с

106. Лаврова H.H. Логическая подготовка студентов факультета начальных классов в вузовском курсе математики. Автореф. дисс. канд. пед. наук. -М., 1989.- 13 с.

107. Ю.Лакатос И. Доказательства и опровержения (Как доказываются теоремы). -М.: Наука, 1967. 162 с.

108. Ланда Л.Н. Умение думать. Как ему учить? М.: Знание, 1975. - 64 с.

109. Латотин Л.А. Развитие логики мышления учащихся 4-8 классов посредством изучения логических операций и отношений (на алгебраическом материале): Автореф. дисс. канд. пед. наук. Минск, 1982. - 17с.

110. Лернер И.Я. Процесс обучения и его закономерности. М.: Педагогика, 1980.- 176с.

111. Логика и компьютер: Моделирование рассуждений и проверка правильности программ /H.A. Алешина, A.M.Анисов, П.И. Быстров и др. М.: Наука, 1990.-238 с.

112. Логика и проблемы обучения / Под ред. Б.В.Бирюкова и В.Г.Фарбера. М. Педагогика, 1977. - 216 с.

113. Логический словарь ДЕФОРТ. М.: Мысль. 1994 - 268с.

114. Луканкин Г.Д. Научно-методические основы профессиональной подготовки учителей математики. Автореф. дисс. докт. пед. наук. Л., 1990. - 41с.174

115. Лютомский Г.В. Начала современного математического языка и математической логики на факультативных занятиях в 9 классе средней школы: Ав-тореф. дисс . канд. пед. наук. М., 1974

116. Мадер В.В. Введение в методологию математики.-М: Интерпракс,1995.-464 с.

117. Маланюк Е.П. Формирование логической грамотности учащихся I—IV классов в процессе обучения математике: Автореф. дисс. канд. пед. наук. Киев, 1979.-24с.

118. Маланюк Е.П., Маланюк М.П. О формировании логической грамотности школьников // Сов. педагогика. 1979. - №7. - С.69-74.

119. Манин Ю.И. Доказуемое и недоказуемое. М.: Сов. радио, 1979. - 168с.

120. Манин Ю.И. Вычислимое и невычислимое. М.: Сов. радио, 1980. - 128с.

121. Марков A.A. О логике конструктивной математики. Вестник МГУ, сер. ма-тем.-мех., №2. 1970. -С.7-29.

122. Маркушевич А.И. Об очередных задачах преподавания математики в школе // На путях обновления школьного курса математики. М.: Просвещение. 1978. -С.29—48.

123. Маслов С.Ю. Теория дедуктивных систем и ее применения. М.: Радио и связь, 1986.- 136 с.

124. Математическая логика и ее применение: Сб. статей: Пер. с англ. М.: Мир, 1965.-341с.

125. Математическая логика: Учеб. пособие /Л.А.Латотин, Ю.А.Макаренков, В.В.Николаева, А.А.Столяр; Под общ. ред. A.A. Столяра. Минск: Вышей-шая. шк., 1991.-269 с.

126. Математическая теория логического вывода. Сб. перев. под ред. А.В.Идельсона и Г.Е.Минца. - М.: Наука, 1967. - 352с.

127. Математический энциклопедический словарь. -М.: Сов. энцикл., 1988. -847 с.

128. Матросов В.Л. Теория алгоритмов. М.: Прометей, 1989. - 188с.

129. Мельников И.И. Научно-методические основы взаимодействия школьного и вузовского математического образования в России. Автореф. дисс. докт. пед. наук. М., 1999. - 41с.

130. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М. Наука, 1971. 2-е изд. М.: Наука, 1976. - 320с.

131. Методика преподавали математики в средней школе: Общая методика: Учеб. пособие для студ. пед. ин-тов /АЛ.Блох, Е.С.Канин, Н.Г.Килина и др.; Сост. Р.С.Черкасов, А.А.Столяр. М. Просвещение, 1985. - 236с.

132. Мордкович А.Г. Профессионально-педагогическая направленность специальной подготовки учителя математики в пед. институтах: Дисс. докт. пед. наук. М., 1986.-355 с.

133. Морозова Т.В. Начала логики и методологии как средство профессиональной подготовки учителя математики".: Автореф. дисс. канд. пед. наук. -СПб., 1998.-20с.

134. Моторинский Ю.А. Повышение уровня логического развития студентов математического факультета педагогического вуза при изучении темы • "Элементы математической логики".: Автореф. дисс. канд. пед. наук. М., 1987.-20с.

135. Монахов В.М. Совершенствование преподавания математики в свете требований реформы школы// // Математика в школе. 1984, № 6. - С.5-9.

136. Нагорный Н.М. Вместо предисловия ко второму изданию. C.VII-XLIV // Марков A.A., Нагорный Н.М. Теория алгорифмов. М.: Фазис, 1995, - 448с.

137. Назиев А.Х. Гуманитаризация основ специальной подготовки учителей математики педагогических вузов. Дисс. докт. пед. наук. М., 2000. -387 с.

138. Нижников А.И. Теория и практика проектирования методической системы подготовки современного учителя математики. Автореф. дисс. . докт. пед. наук. М., 2000. - 44с.

139. Никольская И.Л. Изучение логического следования и логической равносильности в VII классе // Математика в школе. 1977. -№1- С.37-39.

140. Никольская И.Л. Математическая логика: Учеб. для техникумов. М.: Высшая школа, 1981. - 127 с.

141. Никольская И.Л. О единой линии воспитания логической грамотности при обучении математике // Преемственность в обучении математике. М., 1978. - С.24-36.

142. Никольская И.Л. Привитие логической грамотности при обучении математике:. Дисс. . канд. пед. наук. М.: 1973. - 185 с.

143. Никольская И.Л. Знакомство с математической логикой. М.: Моск. психолого-социальный институт: Флинта, 1998 - 128 с.

144. Новиков П.С. Конструктивная математическая логика с точки зрения классической. М.: Наука, 1977., 328с.

145. Новиков П.С. Элементы математической логики. М.: Наука, 1973., 400с.

146. Новиков С.П. О состоянии математического образования в педвузах СССР // Математика в школе. 1989, № 3. - с.8-13.

147. Носович Г.Н. Формирование логических умений у студентов университета будущих учителей: Автореф. дисс.канд. пед. наук. - Иркутск, 1983. -16с.

148. Оганесян В.А. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л. Саннинский В.Я. Методика преподавания математики в средней школе.-М.: Просвещение, 1980. 368с.

149. Пайсон Б.Д. Развитие логического мышления с помощью средств дедуктивного вывода (на алгебраическом материале восьмилетней школы): Автореф. Дисс. . канд. пед. наук. -М.,. 1973. -26с.

150. Панов М.И. Гуманитаризация математики как аспект нового математического мышления // Диалектическая сущность нового мвшления. М.: Мысль, 1990. - с.244-265.

151. Парпиев Н.П. Логика и развитие мышления учащихся. Доклад о содержании книги, представленной на соискание ученой степени кандидата педагогических наук. Душанбе, 1969. - 79с.

152. Перевощикова E.H. Теоретико-методические основы подготовки будущего учителя математики к диагностической деятельности. Автореф. докт. дисс.пед. наук. Москва, 2000. - 46с.

153. Петрова В.Т. Научно-методические основы интенсификации обучения математическим дисциплинам в высших учебных заведениях. Автореф. дисс. . докт. пед. наук. М., 1998. - 40с.

154. Петрова Е.С. Система методической подготовки будущих учителей по углубленному изучению математики. Автореф. дисс. . докт. пед. наук. M., 1999.-38с.

155. Пиаже Ж. Структуры математические и операторные структуры мышления // Преподавание математики. Пособие для учителей. М., 1960. - С. 10-30.

156. Подгорецкая H.A. Изучение приемов логического мышления у взрослых. -М. Изд-во МГУ, 1980. -149с.

157. Подгорецкая H.A. Изучение приемов логического мышления у взрослых. Автореф. дисс. . канд. пед. наук. М., 1975. - 23с.

158. Пойа Д. Как решать задачу. Пособие для учителей. М.: Педагогика, 1976. - 206с.

159. Пойя Д. Математика и правдоподобные рассуждения: Пер. с англ. Изд. 2-е, испр. М.: Наука, 1975. - 463 с.

160. Пойа Д. Математическое открытие: Пер. с англ. М.: Наука. 1970. - 324с.

161. Полонский В.М. Оценка качества научно-педагогических исследований. -М.: Педагогика, 1987. 144с.

162. Постников А.Г. Культура занятий математикой (Из записок ученого). -М.: Знание, 1975.-64с.

163. Потоцкий М.В. Преподавание высшей математики в педагогическом институте. М.: Просвещение, 1975. - 208с.

164. Правиц Д. Натуральный вывод. М. ЛОРИ, 1997. - 108 с.

165. Программы педагогических институтов. Сборник №10. Математическая логика. М.: Просвещение, 1980. - 40с.

166. Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1983. - 560с.

167. Развитие логического мышления учащихся на уроках и во внеклассной работе по математике: метод, разраб. для учителей средней школы. Свердловск: Изд-во Свердл. пед.ин-та, 1974. - 254с.

168. Реньи А. Трилогия о математике. М.: Наука, 1983. - 560 с.

169. Роль логики в профессиональной подготовке учителя: предварительная публ. /Сост.: Бирбков Б.В., Столяр A.A., Латотин Л.А., Радьков A.M. M., Минск: 1981.-32с.

170. Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки. М: -Просвещение, 1987. - 160 с.

171. Саранцев Г.И. Обучение математическим доказательствам в школе. М.: Просвещение, 2000. - 174с.

172. Саранцев Г.И. Гуманизация образования и актуальные проблемы методики преподавания математики // Математика в школе. 1995, № 5. - с.36-39.

173. Сафуанов И.С. Генетический подход к обучению математическим дисциплинам в высшей педагогической школе.;Автореф. дисс. . докт. цед. наук. -М., 2000. 39 с.

174. СевастьяноваС.А. Совершенствование логической подготовки студентов математических факультетов педагогических вузов.: Автореф. Дисс. канд. пед. наук. СПб., 1996. - 25с.

175. Семенов Е.М. Логические упражнения на математическом материале. Часть 1. Пособие для студентов факультета педагогики и начального обучения. Свердловск, 1975. В надзаг.: Свердлов, пед. ин—т. - 114с.

176. Сидоренко Е.А. Общая теория логического следования // Теория логического вывода.- М., 1973. -С.14-50.

177. Слепкань З.И. Методическая система реализации развивающей функции обучения математике в средней школе: Автореф. дисс. докт. пед. наук в форме науч. докл. М.: 1987. - 47 с.

178. Слупецкий Е., Борковский Л. Элементы математической логики и теория множеств. Пер. с англ. М.: Прогресс, 1965. - 368с.

179. Смирнов C.B. Методы математической логики в преподавании общеобразовательных математических дисциплин: Сб. научн метод, статей. - М., 1983.-вып. 11. -С.51-57.

180. Смирнова И.М. Научно-методические основы преподавания геометрии в условиях профильной дифференциации обучения: Дисс. . докт. пед. наук. -М., 1994.-364 с.

181. Современные пролемы методики преподавания математики / Сост. Н.С.Антонов, В.А. Гусев. М.: Просвещение, 1985. - 304 с.

182. Солонина А.Г. Персонализированное обучение математике в педагогическом университете (на примере алгебры и теории чисел). Автореф. дисс. . докт. пед. наук. M., 1999. - 38с.

183. Сохор A.M. Объяснение в процессе обучения: элементы дидактической концепции. -М.: Педагогика, 1988.0 124 с.

184. Справочная книга по математической логике: В 4-х частях / под ред. Дж. Барвайса. М.: Наука, 1982-83.

185. Стефанова H.JI. Теоретические основы развития системы методической подготовки учителя математики в педагогическом вузе. Автореф. дисс. . докт. пед. наук. СПб. - 1996. - 32с.

186. Столл Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. М.: Просвещение, 1968.-231с.

187. Столяр A.A. Элементы математической логики в школах с математической специализацией//Обучение в математических школах.-М.,1965.-С. 126-154.

188. Столяр A.A. Методы обучения математике. Минск, 1966.

189. Столяр A.A. Как математика ум в порядок приводит. Минск: Вышейшая школа, 1982.-205с.

190. Столяр A.A. Логические проблемы преподавания математики. Минск: Вышейшая школа, 1965. - 205с.1

191. Столяр A.A. Логические проблемы преподавания математики: Автореф. .дисс. докт. пед. наук. М: 1967. - 37с.

192. Столяр A.A. Логико-математический язык в преподавании математики // Математика в школе. 1967, № 2. - с.27-30.

193. Столяр A.A. Логическое введение в математику. Минск: Вышейшая школа, 1972. - 222с.

194. Столяр A.A. О некоторых применениях логики в педагогике математики // Логика и проблемы обучения /Под ред. Б.В.Бирюкова, В.Г. Фарбера. М., 1977. - С.125-139.

195. Столяр A.A. Педагогика математики: Учеб. пособие для физ-мат. фак. пед. ин-тов. Минск: Вышейшая школа, 1986. - 413с.

196. Столяр A.A. Зачем и как мы доказываем в математике. Минск: Народная Асвета, 1987.- 143 с.

197. Столяр A.A. Роль математики в гуманизации образования. // Математика в школе. 1990, № 6. - с.5-7.201 .Строгалов A.C., Шеховцов С.Г. Интеллектуальная деятельность, обучение и образование. М.: Изд-во. РГГУ, 2000. - 50 с.

198. Стяжкин Н.И. Формирование математической логики.-М.:Наука,1967-508с.

199. Такеути Г. Теория доказательств. Перев. с англ., М.: Мир, 1978. - 412с.

200. Талызина Н.Ф. Теория поэтапного формирования умственных действий и проблема развития мышления // Советская педагогика 1967. №1. -С.28-32.

201. Талызина Н.Ф. Что значит знать? // Сов.педагогика.-1980- №8.-С.97-104.

202. Тарский А. Семантическая концепция истины и основания семантики // 206.- с.90-129.

203. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук: пер. с англ. М.: ИЛ, 1948. - 326 с.

204. Терешин H.A. Методическая система работы учителя математики по формированию научного мировоззрения учащихся: Дисс. в форме научного докл. докт. пед. наук. М., 1991. - 44 с.

205. Тестов В.А. Математические структуры как научно-методическая основа построения математических курсов в системе непрерывного обучения (школа-вуз). Автореф. дисс. докт. пед. наук. М., 1998. - 36с.

206. Ю.Тимофеева И.Л. Некоторые замечания о методе доказательства от противного. //Математика в школе. 1994, № 3. - С. 36-38.

207. Тимофеева И.Л. Об изучении логических систем натурального вывода в курсе математической логики в педвузах. //Проблемы совершенствования математической подготовки в школе и вузе, Сб. статей, вып. 5. М.: Прометей, 2000. - С.28-30.

208. Тимофеева И.Л. О возможности повышения уровня логической подготовки студентов математических факультетов педвузов. //Проблемы и перспективы педагогического образования в XXI веке. Труды научно-практической конференции. М.: Прометей, 2000. - С.263-265.

209. Н.Тимофеева И.Л. Логические системы натурального вывода. Введение в теорию доказательств. Учебно-методическое пособие. МПГУ. М., 2000. -90с. - Деп.в ИТОП РАО 23.10.2000, №20-2000.

210. Тимофеева И.Л. О пропозициональных системах натурального вывода. -МПГУ. М., 2000. - 73с. - Деп. в ВИНИТИ 05.10.00, № 2553-В00.

211. Тимофеева И.Л. Конструктивное доказательство теоремы о полноте классической пропозициональной системы натурального вывода. // Юбилейный сборник трудов математического ф-та МПГУ (к 100-летию факультета). -М.: Прометей, 2001. С. 83-89.

212. П.Тимофеева И.Л. Принцип индукции для натуральных выводов. // Юбилейный сборник научных трудов математического ф-та МПГУ (к 100-летию факультета). М.: Прометей, 2001. - С. 131-137.

213. Туркина В.М. Формирование общих приемов поиска доказательства математических утверждений: Автореф. Дисс.канд. пед. наук. Л., 1984. - 119с.

214. Удовенко Л.Н. Развитие логической культуры учащихся 5-6 классов средствами логического конструирования при обучении математике: Дисс. канд. пед. наук. М., 1996.-236 с.

215. Уемов А.И. Логические ошибки, как они мешают правильно мыслить. М.: Госполитиздат, 1958.- 119с.

216. Успенский В.А. Семь размышлений на темы философии математики // -Закономерности развития современной математики.-М.:Наука 1987,с.106-155.

217. Фарбер В.Г. О логических средствах школьной грамматики // Логико-грамматические очерки. М., 1961. - С.203-236.

218. Фетисов А.И. Элементы математической логики в преподавании математики // Известия АПН РСФСР. -1958. Вып.92. - С.149-199.182

219. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1. М.:Физматгиз, 1958 - 690 с.

220. Фреге Г. Избранные работы.-М.:Дом интеллектуальной книги, 1997. -160с.

221. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. М.: просвещение, 1983. - 160 с.

222. Фридман Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. -М., 1977.

223. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. 4.1-2. - М.: Просвещение, 1982. 4.2-М.: Просвещение, 1983. - 191с.

224. Фрейденталь X. Язык логики. М.: Наука, 1969. - 136с.

225. Хамов Г.Г. Методическая систама обучения алгебре и теории чисел в педвузах с точки зрения профессионально-педагогического подхода. СПб.: РГПУ, 1993.

226. Харичева Г.И. Формирование логических приемов мышления у студентов: Автореф. Дисс. канд. пед. наук. М., 1975. - 23с.

227. Харичева Г.И. Проверяется сформированность логического мышления //• Вестн. высш. шк. 1974. - №10. - С.76-78.

228. Харди Г.Г. Исповедь математика // Математика о математике: Сб. статей: Пер. с англ. / Перев. и сост. В.Н: Тростников. М.: Знание, 1967. - С.4-15.

229. Хинчин А.Я. Педагогические статьи.-М.:Изд-вод АПН РСФСР, 1963 -204с.

230. Холодная М.А. Психология интеллекта: парадоксы исследования. М.: Барс,. 1996

231. Цейтин Г.С. Теоремы о среднем значении в конструктивном анализе. Труды матем. ин-та АН СССР им. В.А.Стеклова. Т.67, изд. АН СССР. 1962. -С.362-384.

232. Черкасов P.C. О методической подготовке учителя математики в педагогическом вузе // Математика в школе. -1976 №5- С.80-84.

233. Черкасов P.C. Отечественные традиции и современные концепции в развитии школьного математического образования // Математика в школе. -1993, № 4 (с.73). №5 (с.75) и №6 с.7-14.

234. Черч А. Введение в математическую логику. Том первый. -М.: ИЛ, 1960. -484с.

235. Черч А. Математика и логика. С.209 в сб.Математическая логика и ее применения. М.: Мир, 1965. - 342с.

236. Шабунин М.И. Научно-методические основы углубленной математической подготовки учащихся средней школы и студентов вузов. Дисс. в форме науч. докл. докт. пед. наук. М.: 1994.

237. Шанин H.A. О конструктивном понимании математических суждений.

238. Труды матем. ин-та АН СССР им. В.А.Стеклова. Т.52, изд. АН СССР. 1958. С.266- 311.

239. Шапиро С.И. От алгоритмов к суждениям.-М.'.Советское радиоД973 -288с.

240. Швейцер А. Благоговение перед жизнью. М.: Прогресс, 1992 - 576 с.

241. Шевченко В.Е. Некоторые способы решения логических задач. Киев: Выща школа, 1979. - 80с.

242. Шенфилд Дж. Математическая логика. М.: Наука, 1975. 528 с.

243. Шиханович Ю.А. Введение в современную математику.-М.:Наука, 1965.-376с.

244. Шкерина JI.B. Профессионально-ориентированная учебно-познавательная деятельность студентов в процессе математической подготовки в педвузе. Автореф. дисс. докт. пед. наук. -М., 2000. -38с.

245. Эрдниев П.М. Преподавание математики в школе (Из опыта обучения методом укрупненных упражнений). М.: Просвещение, 1978.

246. Юдина И.Б. Элементы математической логики в курсе математики средней школы: Автореф. дисс. канд. пед. наук. М., 1965. - 20с.

247. Ястребов A.B. Моделирование научных исследований как средство оптимизации обучения студентов педвузов. Дисс. . докт. пед. наук. Ярославль, 1997.

248. Barnes W. Donald, Mack M. John. An Algebraic Introduction to Mathematical Logic. Graduate Text in Mathematics v.22. Springer-Verlag. New York Heidelberg Berlin, 1976, ISBN 0-387-90109-4, 122pp.

249. Dirk van Dalen. Logic and Structure. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 1997., 217pp.

250. Copi Irving. Symbolic Logic. MacMillan Publishing Co. Inc. London, 1979. ISBN 0-02-978740-8, 398 pp.

251. Gentzen G. Untersuchungen uberdas logishe Schliessen. I, II, Mathematische Zeitschrift, vol 39, 1934, pp.176-210, 405-443.

252. Goodstein R.L. Mathematical Logic. Leicester University Press, 1957, 162 pp.

253. Hamilton A.G. Logic for Mathematicians. Cambridge University Press. 1995, ISBN 0 521 36865,228 pp.

254. Jaskowsky S. On the rules of suppositions in formal logic. Studia Logica, no.l . Warsaw 1934.

255. Monk J. Donald. Mathematical Logic. Springer-Verlag. New York Heidelberg Berlin, 1976, ISBN 0-387-90170-1, 531pp.

256. Schutte K. Proof Theory. A series of Comprehensive Studies in Mathematics.v.225. 1977, ISBN 3-540-07911-4, 299pp. 261.Smullyan, Raymond M. First-Order Logic. Dover Publications Inc. New-York, ISBN 0-486-68370-2, 1995,158 pp.

257. Примеры доказательств в виде дерева

258. Пример 1. Рассмотрим доказательство одного из свойств делимости целых чисел.

259. Утверждение. Если хотя бы одно из двух чисел аи ¿ делится на с, то их произведение ab делится на с.

260. Символически это утверждение записывается так: с\а v c\b —>c\ab

261. При допущении с\Ь аналогично доказывается, что с\аЪ. Таким образом, в обоих случаях c\ab. Теорема доказана.

262. Теперь, восстанавливая пропущенные ссылки и логические переходы, запишем наше доказательство в виде дерева.

263. Сначала изобразим в виде дерева рассуждение разбором случаев:2 с\о.1 [,с\ь]'с | а V с | Ь.с\дЬ с\аЬ1. с\аЪс\ачс\Ь с\аЬ

264. Дереву (1) соответствует следующее дерево формул, т.е. можно считать, что дерево (1) построено по следующей схеме:12 Л.1 [В)]т1. A v В.1 J С С---(1) uС1. AvBz>C

265. Таким образом, в этом рассуждении были использованы два правила заключения: удаление дизъюнкции v v и введение импликации зв.

266. В дереве (1) были использованы обозначения ==ÍÍL и для деревьев выводас | ah c\abпредложения c\ab из допущений с\а и с\Ь соответственно.186

267. Построим теперь первое из этих деревьев (второе строится аналогично).а = Лос.32)аЬ = (к0с)ЬаЬ = {кф)с зк{аЪ = кс)^с.аЪ с\а с\а ->3к(а = кс) 3 к{аЬ = кс)3 к(а = кс)с | аЬс\аЬ

268. При построении дерева (2) на последнем шаге было использовано правило удаления квантора существования 3у:1. А(х) БхА(х) ™Вгде х не входит свободно в формулу В.

269. В дереве (2) формулы с | а -> 3к(а = кс) и = ¿е) -> с | аЬ являются символическими записями составных частей определения (утверждений, имеющих место в силу определения) отношения делимости и которые использованы в качестве допущений.

270. Если все деревья, приведенные выше, соединить воедино, то, очевидно, получится весьма громоздкое дерево. Приведем здесь лишь граф, отражающий структуру этого дерева как частично упорядоченного множества.

271. Пример 2. Рассмотрим доказательство еще одного простого свойства делимости целых чисел.

272. Утверждение Лат. каждое из чисел а и Ъ делится на с, то сумма а+Ь делится на с. Символически это утверждение записывается так:с\а & с\Ь с\а+Ь.

273. В сокращенном (свернутом) виде, отражая лишь два последних шага, дерево можно представить следующим образом.с\а а-^с.1 [Ь = к2с]2с\Ь 3 к(а = кс) с\а+Ъ---------------Э>41)3 кф = кс) с\а+Ь ---э,(2)с\а + Ь

274. Какие по форме записи доказательства представляются Вам более наглядными:а) в виде последовательности предложений (т.е. линейно упорядоченной системы предложений);б) в виде системы предложений, частично упорядоченной в виде дерева.

275. Как можно отразить логическую структуру, т.е. логические взаимосвязи между членами доказательства?

276. Какими логическими правилами (правилами вывода) Вы пользуетесь в неформальных математических рассуждениях?ответы записать в виде схем)

277. Что такое правильное и неправильное умозаключение (рассуждение)?

278. Как можно определить, является ли рассуждение правильным?

279. Как можно объяснить, в чем заключается ошибка в неправильном рассуждении?1. Анкета 2

280. Считаете ли вы курс математической логики нужным и полезным для общего математического развития, для дальнейшей преподавательской деятельности?

281. Прояснил ли курс математической логики для Вас сущность математического доказательства?

282. Расширил ли он Ваши знания о логических средствах, с помощью которых мы рассуждаем в математике?

283. С какими типами уточнения интуитивного понятия доказательства Вы познакомились в курсе математической логики?

284. Какая тема курса математической логики была для Вас наиболее понятной?

285. Какая тема курса была для Вас наиболее интересной?

286. Можете ли Вы определить с помощью некоторого общего метода, является ли данное математическое умозаключение правильным или ошибочным?

287. Можете ли Вы объяснить, в чем заключается логическая ошибка в рассуждениях, если оно ошибочно?

288. Можно ли воспользоваться знаниями, приобретенными в курсе математической логики, для обучения школьников элементам логики?

289. Хотели ли бы Вы продолжить знакомство с логическими системами натурального вывода?

290. Какие у Вас есть пожелания по совершенствованию содержания курса математической логики?

291. Следовательно, ее график не симметричен относительно оси ординат.

292. Список заданий для практических занятий и домашней работы

293. Доказать построением дерева Ыс-вывода1. КА&В^А "с 21) -п(А V В)2. КА^АчВ "с 22)3. 23) Ь„с (~тА\/В)=з(А=)В)4. ЬКс А з (-тЛ з В) 24) (Ач5. ^А=>(В=>А) 25)

294. ЬМс (Ь(ЬС))э((ЬВ)э(ЬС)) 26) К Ач^А "к7. 27) Ь„к Ьйэ^)э(^й)8. 28) Нэй)з((-Л з-.Я) => Л)9. 29) ЬНк (А^В)^(В^А)10. ^А=>А 30) ЬМ1 -.(-Л&-.£)=> ЛУЯ11. 31)12. 32)

295. Ь„с (Л з (Я => С)) =>(А&В=> С) 33)

296. Ь„с (Лэ(йэС))э(Вэ(/1эС)) 34) "к15. (А => В) => ((В С) => (А => С)) 35)16. 36)17. {А&ВчА&С)=>А&(ВчС) 37) Ь.

297. Ь„с А&(ВчС)=з(А&ВчА&С) 38) 1-Мк (^А=>А)=>А

298. Ь„с (>ív5&C)z)(^vj?)&(i4vC) 39)20. 40) (А=>В)=>(-,В&С=з-А&С)

299. Варианты контрольной работы1. Вариант .1 .Доказать построением вывода следующее утверждение Л=>(С=>Я), СЬ(Л=>Я)&С

300. Доказать построением дерева вывода следующее утверждение Л=>(С=>£), СЬ(Л=>Я)&С

301. Доказать, используя производные правила, Ь(А => В) и (-.В&С => -Л&С)

302. Доказать построением дерева вывода !-(Л => Я) => (-.Я&С => -Л&С)1. Вариант 2

303. Доказать построением вывода следующее утверждение С =>-.(Л v5), А Ь -,С

304. Доказать построением дерева вывода следующее утверждение

305. Доказать, используя производные правила, А&(ВчС) з ((В => С) => А&С)

306. Доказать построением дерева вывода А&{Вч С) з ((5 з С) з Л&С)1. Вариант 31 .Доказать построением вывода следующее утверждение В&^А, С => (Я =>А) ЬСиА

307. Доказать построением дерева вывода следующее утверждение В&-^4, С => (/? иА) ЬС =>А

308. Доказать, используя производные правила, А&В э(Сэ -<ВчС))

309. Доказать построением дерева вывода А&В :з (С з -.(Л => -.(Ж/С))

310. Решение задач из контрольной работы

311. Приведем решение одного из вариантов экспериментальной контрольной работы.

312. Задание 1. Доказать построением вывода следующее утверждение

313. А, В =эС, -rA v В hH С. Решение.

314. Следующая последовательность формул является искомым выводом в Н; в правом столбце комментарии, объясняющие присутствие в этой последовательности каждого из членов согласно определению Н-вывода.1. ((В dC)d (-Л vödQ) (аксиома по схеме А%)

315. А. з (-v4 => Q (аксиома по схеме А"0)3. А (гипотеза)4. —Л и С (3, 2; modus ponens)5. (В zd С) :э (-v4 v В z> С) (4, 1; modus ponens)6. В з С (гипотеза)7. -vi v В z> С (6, 5; modus ponens)8. -vi v В (гипотеза)9. С (8, 7; modus ponens)

316. Задание 2.Доказать построением дерева вывода следующее утверждение

317. A,BidC,-tA.VB hN C Решение.

318. Следующее дерево формул является искомым деревом вывода в Nj.

319. А Г-vil1 . Л, В zdC, -iAvB зеленые листья;-IAv В —L—/?.1. В "v m В з С -1/4., [->5] увядшие листья.1. J?1. С э'

320. Задание З.Доказать, используя производные правила, hK (S =>Л)=> (гтА&С =з В&(А =з С)) Решение. (1)

321. Для доказательства данного утверждения (1) в силу теоремы дедукции достаточно доказать утверждение (2).2. => А Ьк-ъ4&С => =з С)

322. Для доказательства утверждения (2) в силу теоремы дедукции достаточно доказать утверждение (3).3. -nBz>A, -А&С Ьк B8L{A =з С)

323. Для доказательства утверждения (3) в силу правила соединения гипотез достаточно доказать утверждение (4).4.-nBz>A, —А, С Ь-к BSl(A Z> С)

324. Для доказательства утверждения (4) в силу правила введения конъюнкции достаточно доказать утверждения (5), (5'). (5')-,BDA,-A, С \~к Aid С

325. Утверждение (5') имеет место в силу правила введения посылки.5. S =з А, -А, С \-к В

326. Для доказательства (5) в силу правила снятия двойного отрицания в К достаточно доказать утверждение (6).6. С Ьк -,-тЯ

327. Для доказательства (6) в силу правила контрапозиции достаточно доказать утверждение (7).7. S Z) А, -нЯ, С А

328. Утверждение (7) имеет место в силу производного правила Modus ponens. Таким образом, путем сведения данной задачи к более простым, с помощью нахождения соответствующих достаточных условий, утверждение (1) доказано.

329. Задание 4. Доказать построением дерева вывода (-■# =>А)=> (-Л&С => В&(А => С)).1. Решение.

330. Следующее дерево является искомым деревом вывода в Ык-Ь Ы & С.21. Ы&С.2- -иМ) ----— А ^Св л=>с1. В&(А^С)л •«(Л

331. В А) з (-Л & С з В & (Л => С))

332. Л.-тЛ&С] 2, [А]3, увядшие листья.

333. Примеры, поясняющие критику закона исключенного третьего Пример 1 (С.Клини).

334. Пусть Р некоторое свойство натуральных чисел, про которое известно следующее: если великая теорема Ферма верна (Г), то число 10 обладает свойством Р, если не верна (—|/г), то число 5 обладает свойством Р. Таким образом,

335. Г —> 3 пР(п). Принимая закон исключенного третьего цр, представителиклассического направления считают доказанным утверждение 3 пР(п).

336. Интуиционисты не воспринимают посылку Гу—Г, как нечто обоснованное, т.к. пока неизвестно, какой из дизъюнктивных членов верен. Если считать теорему Ферма доказанной, то в качестве Г можно взять любое другое неразрешимое предложение арифметики. Пример 2.

337. Примеры деревьев вывода в системах натурального вывода ^ и ^