Профессионально-ориентированная методическая система обучения основам математической логики и теории алгоритмов учителей математики в педагогических вузах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 13.00.02, доктор педагогических наук Игошин, Владимир Иванович

• Игошин, Владимир Иванович
• доктор педагогических наук
• 2002

Оглавление диссертации доктор педагогических наук Игошин, Владимир Иванович

Введение

Глава I . МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЛОГИЧЕСКОМ И ЛОГИКО-ДИДАКТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ

1.1. О системном подходе в образовании

О системном подходе вообще. Системный подход в образовании. О системе школьного математического образования. О системе подготовки учителей математики. Место математической логики и теории алгоритмов в системе подготовки учителей математики.

1.2. Мышление, язык, логика

Мышление. Мышление и язык. Мышление и язык и логика.

1.3. Логика и интуиция в математике и в математическом образовании

Логика в математике. Интуиция в математике. Логика или интуиция ? Научное познание и учебный процесс. Логика и интуиция в обучении математике. Краткие выводы.

1.4. Традиционная логика и логика математическая

О традиционной логике. От традиционной логики к математической логике. Математическая логика: логика или математика? От традиционной логики к логике математической в учебном процессе.

1.5. Математическая логика в обучении математике и в образовании учителя

Принципы логики в подготовке учителя математики. Роль математической логики в профессионально-педагогической направленности подготовки учителя математики. Применение математической логики к логико-лингвистическому анализу математического текста. Роль логики в преодолении ошибок в математических рассуждениях. Обучение логике в процессе обучения математике.

1.6. Роль математической логики в гуманизации и гуманитаризации математического образования

Гуманизация общего образования. Гуманизация математического образования. Гуманитаризация образования и гуманитарный характер математики.

1.7. Математическая логика и философия

Основной вопрос философии. Законы диалектики. Теория познания.

1.8. Дидактические принципы в обучении основам математической логики и теории алгоритмов

Принцип направленности процесса обучения на подготовку высококвалифицированного учителя математики (или принцип профессионально-педагогической направленности обучения в педвузе). Принцип научности. Принцип наглядности. Принцип связи теории с практикой. Принцип индивидуального подхода в 063'чении. Принцип сознательности, активности и прочности усвоения знаний. Принцип контроля и самоконтроля в учебнс .t процессе.

1.9. О психолого-педагогических закономерностях и концепциях при обучении основам математической логики и теории алгоритмов

Закономерности внимания. Закономерности восприятия. Закономерности усвоения учебного материала и его запоминания. Закономерности мышления в учебном процессе. О ступенях абстракции знаний и уровнях усвоения знаний. Психолого-педагогические концепции обучения. Теория развивающего обучения.

Глава II . ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ОРИЕНТИРОВАННЫМ КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОМ ЛОГИКИ И ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ - ЯДРО ЛОГИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ

2.1. ХАРАКТЕРИСТИКА БАЗОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ МЕТОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ОБУЧЕНИЯ ОСНОВАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ И ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ

2.1.1. Цели обучения

2.1.2. Содержание обучения

Принципы отбора содержания обучения основам математической логики и теории алгоритмов в педвузе. Программа общего курса математической логики и теории алгоритмов. Перечень учебных вопросов. Перечень дополнительных вопросов по курсу математической логики и теории алгоритмов.

2.1.3. Методы обучения

Общедидактические методы обучения. Частнодидактические методы обучения. Методы обучения отдельным темам и вопросам курса математической логики и теории алгоритмов.

2.1.4. Средства обучения

Учебник "Математическая логика и теория алгоритмов". Сборник задач " Задачник-практикум по математической логике". Тетрадь с печатной основой по математической логике. Методическое пособие "Контактные схемы - элементы ЭВМ". Автоматизированная контролирующая система.

2.1.5. Формы обучения

Лекции. Практические занятия. Самостоятельная работа. Контроль знаний. Курсовые работы. Дипломные работы.

2.2. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МЕТОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ОБУЧЕНИЯ ОСНОВАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ И ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ

2.2.1. Базовый курс математической логики и теории алгоритмов

Содержание. Средства обучения. Сочетание форм обучения.

2.2.2. Углублённый курс математической логики и теории алгоритмов

Содержание. Средства обучения. Сочетание форм обучения.

2.2.3. Математическая логика и теория алгоритмов в системе подготовки учителей математики в классических университетах

Содержание. Средства обучения. Сочетание форм обучения.

2.2.4. Обучение школьников основам математической логики и теории алгоритмов

Содержание. Средства обучения. Формы обучения.

2.3. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ФОРМИРОВАНИЮ СОДЕРЖАНИЯ И МЕТОДИКЕ ИЗЛОЖЕНИЯ ОСНОВ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

2.3.1. Вопросы методики обучения основам алгебры высказываний

Высказывания и операции над ними. Формулы алгебры высказываний. Тавтологии алгебры высказываний. Логическая равносильность формул. Нормальные формы для формул алгебры высказываний. Логическое следование.

2.3.2. О других разделах курса

Алгебра высказываний. Булевы функции. Формализованное исчисление высказываний. Логика предикатов. Аксиоматические теории. Формальные аксиоматические теории. Основы теории алгоритмов. Математическая логика и компьютеры, информатика, искусственный интеллект.

Глава III . ЛОГИКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ КУРСОВ ПЕДВУЗА - ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ

3.1. ОСНОВНЫЕ АКСИОМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ, ЛЕЖАЩИЕ В ОСНОВЕ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ, И ИХ СВОЙСТВА (ОСНОВАНИЯ И МЕТАМАТЕМАТИКА ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ)

3.1.1. Математическая логика и геометрия

Понятие доказательства - фундаментальная составляющая аксиоматической теории. Основные этапы развития аксиоматического метода в науке и учения об обосновании геометрии. Построение евклидовой геометрии на основе системы аксиом Гильберта. Свойства аксиоматической евклидовой геометрии, построенной на основе системы аксиом Гильберта. Построение евклидовой геометрии на основе системы аксиом Вейля. Свойства аксиоматической евклидовой геометрии, построенной на основе системы аксиом Вейля. От геометрии Евклида к геометрии Лобачевского.

3.1.2. Математическая логика и алгебра

Математическая логика как алгебраическая наука. Математическая' логика в педвузовском курсе алгебры и теории чисел. Что и как мы доказываем в школьном курсе алгебры ? Аксиоматическое построение числовых систем и свойства этих аксиоматических теорий. (Система натуральных чисел. Кольцо целых чисел. Поле рациональных чисел. Поле комплексных чисел. О дальнейших обобщениях понятия числа.)

3.1.3. Математическая логика и математический анализ

Аксиоматическая теория действительных чисел - фундаментальная основа математического анализа. Другие аксиоматические теории, лежащие в основе математического анализа. Нестандартный подход к математическому анализу как синтез логики и анализа.

3.1.4. Математическая логика и другие курсы педагогического вуза

Математическая логика и психолого-педагогические основы обучения математике. Математическая логика и методика преподавания математики. Математическая логика и история и методология математики.

3.2. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ АКСИОМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ, СВЯЗАННЫЕ С ЛОГИКОЙ И ШКОЛЬНЫМ КУРСОМ МАТЕМАТИКИ

3.2.1. Аксиоматическое построение канторовской ("наивной") теории множеств 2СЭ

Построение выводог (доказательств) из систем аксиом. Равносильность систем аксиом. Непротиворечивость систем аксиом. Независимость систем аксиом. Категоричность систем аксиом.

3.2.2. О теории мощностей множеств

Равномощные множества и мощность множества. Счётные множества. Множества разной мощности. Континуальные множества. Последовательность (ряд) кардинальных чисел. Арифметика кардинальных чисел. Континуум-гипотеза.

3.2.3. К теории упорядоченных множеств

Понятие упорядоченного множества. Свойства элементов и подмножеств упорядоченного множества. Плотные и непрерывные упорядоченные множества. Ещё три условия для упорядоченных множеств. Вполне упорядоченные множества. Гомоморфизмы, изоморфизмы и вложения упорядоченных множеств. Решётки как упорядоченные множества. Решётки как алгебры. Примеры решёток. Булевы алгебры. Булевы алгебры и математическая логика.

3.2.4. Аксиоматизация понятия величины

Аксиоматика системы положительных скалярных величин. Величины и числа. Непротиворечивость аксиоматической теории положительных скалярных величин. Категоричность аксиоматической теории положительных скалярных величин.

3.2.5. Аксиоматическое построение теории аристотелевых силлогизмов

Первоначальные понятия, аксиомы и правила вывода. Первые следствия из аксиом. Вывод аристотелевых силлогизмов.

3.2.6. Взгляд на основания стереометрии с теоретико-множественной точки зрения

3.3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ИЗЛОЖЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ВОПРОСОВ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ

3.3.1. Логика равносильных преобразований уравнений и неравенств при их решении

Рациональные неравенства. Иррациональные неравенства. Логарифмические неравенства. Неравенства, содержащие модули. Уравнения, содержащие модули.

3.3.2. О логике определений, теорем и доказательств в курсах алгебры и анализа

О формулировках определений основных понятий и теорем математического анализа. Необходимые и достаточные условия. Множества и логика в анализе.

3.3.3. О логике решения геометрических задач на построение

Аксиоматический аспект. Анализ и доказательство в процессе решения. О логике алгебраического метода. Логическая схема применения геометрических преобразований.

3.3.4. О логике геометрических определений, теорем и доказательств

Существование и единственность нулевого и противоположного векторов. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Внутренняя и граничная точки геометрической фигуры. Признак равенства нулю смешанного произведения трёх векторов. О составлении треугольника из трёх отрезков. Логические аспекты теории трёхгранных углов. Доказательства и классификации с помощью разбора случаев.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Профессионально-ориентированная методическая система обучения основам математической логики и теории алгоритмов учителей математики в педагогических вузах»

Актуальность исследования. Перемены, происходящие в России, в немалой степени затрагивают и сферу образования, как среднего так и высшего. Отказ от единой общеобразовательной школы, дифференциация образовательных учреждений, концепция личностно-ориентированного образования, его гуманизация и гуманитаризация призваны произвести решительную переориентацию методической системы обучения на приоритет развивающей функции обучения по отношению к его информационной функции.

Современная психолого-педагогическая наука выделяет следующие важнейшие качества, которые определяют уникальность личности и которые должен развить процесс обучения: мышление, понимание, рефлексия, коммуникация. Подробнее - методы мышления, способы порождения и употребления знаний, техника понимания других и себя, способы коммуникации и действия. Важнейшим компонентом школьного образования, в значительной мере способствующим развитию мышления, является учебный предмет "Математика". Именно в процессе его изучения формируются способности к абстрагированию и абстрактное мышление, дедуктивное и алгоритмическое мышление, многие качества мышления, такие, как гибкость, сила, конструктивность, критичность и т.д. Подобную направленность обучения математике имел в виду ещё Л.Н.Толстой: "Математика имеет задачей не обучение исчислению, но обучение приёмам человеческой мысли при исчислении.1 Эта роль математики в образовании осознаётся и в наши дни: ".ряд качеств мышления, - говорится в Письме МО РФ № 484/11 от 18.05.1994 "О преподавании математики в общеобразовательных учреждениях", - необходимых любому человеку в его будущей деятельности, в том числе и на гуманитарном поприще, формируется наиболее эффективно во время занятий математикой, причём в определённых годами проверенных возрастных рамках, на определённом фактическом материале, при выполнении и фиксации интеллектуальных и практических действий, известных лишь учителям-математикам".

Тем не менее, как хорошо известно, уровень математической подготовки в настоящее время заметно снизился. Причём этот уровень снизился не только по части фактического освоения математических знаний, но и в значительной мере по части развития логического мышления учащихся, по части освоения ими "приёмов человеческой мысли". По нашему убеждению это связано со значительным снижением уровня логической подготовки будущих учителей математики. Ядро этой подготовки - педвузовский курс математической логики и теории алгоритмов, не имеющий явной ретроспективы в школьном курсе математики, - оказался в наибольшем отрыве от реальных потребностей будущего учителя математики, наименее

1 Толстой Л.Н. Педагогические сочинения. - М.: Педагогика, 1989, с.244. направленным на его будущую педагогическую деятельность. Он оказался оторванным не только от школьного курса математики, но и изолированным от других педвузовских математических курсов. Именно в этом мы видим главную причину неполноценности логической подготовки будущих учителей математики, а как следствие этого, - слабое развитие мышления и логической культуры у их будущих учеников.

Математическая логика стала входить в высшее математическое образование после Второй мировой войны. В 1950-е гг. она была включена в программы университетов, а в 1960-е — в программы педагогических институтов СССР. Известным советским математиком академиком П. С. Новиковым была разработана первая программа данного курса1 и написан первый учебник по данной дисциплине для педагогических вузов.2 Существенный вклад в методику преподавания данной дисциплины в педвузах внесли учёные Mill У. В 1989 г. курс теории алгоритмов был выделен в самостоятельную учебную дисциплину. Программа этого курса была разработана членом-корреспондентом РАН, академиком РАО Л

В.Л.Матросовым и Е.А.Щегольковым . Учебник, написанный в соответствии с этой программой академиком В.Л.Матросовым4, является лучшим по данной дисциплине в системе отечественного высшего педагогического образования.

Начиная с 1970-х гг. элементы математической логики вводятся в школьное образование. Сначала они включаются в факультативные курсы для учащихся 8 классов, а в 1980-е гг. входят составной частью в новый школьный курс информатики.

Тем не менее, до настоящего времени проблемой комплексной постановки профессионально-ориентированного курса математической логики и теории алгоритмов в педагогических вузах практически не занимались. Фактически он находился в фарватере аналогичного университетского курса и опирался на пособия, созданные для университетского образования, хотя несомненно, что в образовании будущих учителей должны доминировать совсем иные грани этой дисциплины, нежели в образовании будущих учёных-математиков. С введением в педагогических вузах курса информатики и созданием в них кафедр информатики и вычислительной техники математические кафедры многих педагогических вузов постарались перебросить на них не совсем удобный курс

1 Новиков П. С. Математическая логика / Программы педагогических институтов.- M.: Просвещение, 1965.

2 Новиков П. С. Элементы математической логики. - M.: Наука, 1973.

3 Матросов B.JI., Щегольков Е.А. Теория алгоритмов / Программы педагогических институтов. - М.: Изд-во МГПИ "Прометей", 1989.

4 Матросов В. Л. Теория алгоритмов. - M.: Изд-во МГПИ "Прометей", 1989. - 188 с. математической логики и теории алгоритмов. В результате роль логики для математики ещё более ослабла и отошла в глазах студентов на второй план. Важнейшей стала роль логики для сфер, связанных с компьютерами. Думается, что такой подход является не научным и преходящим.

В последнее время круг лиц, интересующихся основами математической логики, довольно сильно расширился. В немалой степени этому способствовало и широчайшее внедрение компьютеров во все сферы жизни. Математическая логика изучается в технических и гуманитарных вузах, в техникумах, в училищах и колледжах. Элементы математической логики вошли в курс информатики средней школы, а в лицеях, гимназиях и некоторых школах логика изучается в качестве самостоятельного предмета. В современном стандарте школьного математического образования явно выделены элементы математической логики в 10-11 классах профильной школы. Уровень компетентности выпускника математического факультета педагогического вуза в вопросах математической логики должен быть таким, чтобы он сумел квалифицированно обеспечить потребности всех указанных категорий учащихся в изучении данной математической дисциплины, уметь квалифицированно использовать логику в процессе обучения математике, понимать роль математической логики в компьютерах и информатике.

Итак, актуальность исследования определяется следующими мотивами: снижение уровня развития логического мышления школьников; слабая логическая подготовка будущих учителей математики как следствие отсутствия методической системы такой подготовки в педвузах; значительное расширение в последнее время круга лиц, интересующихся основами математической логики в связи, в частности, с широчайшим внедрением компьютеров во многие сферы жизни; явное введение элементов математической логики в программу профильной школы.

Проведённый анализ показал, что в настоящее время имеется ряд противоречий, связанных с логико-дидактической подготовкой будущих учителей математики. Важнейшим из них является противоречие между той объективной ролью, которую играет логика в профессиональной педагогической деятельности учителя математики, и отсутствием в педагогическом вузе при подготовке будущих учителей математики такой методической системы обучения, которая демонстрировала бы им эту роль и учила эффективно использовать логику как дидактический инструмент в процессе преподавания математики.

Компонентами этого основного противоречия являются, в частности, следующие:

- противоречие между содержанием курса математической логики педагогического вуза и фактическим логическим содержанием школьного курса математики;

- противоречие между содержанием курса математической логики педагогического вуза и слабым его использованием в других математических и психолого-педагогических курсах педвуза.

Выявленные противоречия позволяют сформулировать проблему: какой должна быть методическая система логико-дидактической подготовки студентов-математиков в процессе их обучения в педвузе, чтобы в этом процессе достигался достаточный для современной школы уровень сформированности таких основ профессионального мастерства учителя математики, которые позволили бы ему успешно развивать мыслительные способности и логическую культуру будущих учеников в процессе их обучения математике?

Объектом исследования является математическая подготовка будущих учителей математики в педагогических вузах.

Предмет исследования - логическая и логико-дидактическая составляющие математической подготовки будущих учителей математики в педагогических вузах.

Цель исследования -разработка методологических и теоретических основ логической и логико-дидактической подготовки будущих учителей математики в педагогических вузах, обоснование необходимости создания и создание методической системы обучения основам математической логики и теории алгоритмов, профессионально ориентированной на подготовку будущих учителей математики в педагогических вузах.

Гипотеза исследования. Создание профессионально-ориентированной методической системы обучения основам математической логики и теории алгоритмов будущих учителей математики в педагогических вузах возможно лишь на основе предварительного глубокого и всестороннего анализа роли и значения логики в профессионально-педагогической деятельности учителя математики.

Методическая система обучения основам математической логики и теории алгоритмов будущих учителей математики будет профессионально ориентирована, если каждый её компонент (цели, содержание, методы, средства и формы обучения) будет направлен на будущую педагогическую деятельность обучаемого.

Такая методическая, система будет наиболее эффективной, если: курс математической логики и теории алгоритмов будет проектироваться как системообразующая и методологическая дисциплина в системе профессионально-математической подготовки будущего учителя математики;

- будут разработаны профессионально-ориентированные средства обучения теоретическим вопросам, решению задач и средства контроля усвоения знаний;

- идеи и методы математической логики будут отчётливо выделены и представлены во всех математических курсах педвуза;

- в каждом математическом курсе педвуза будут проанализированы логические основания соответствующего раздела школьного курса математики;

- в курсе методики преподавания математики будут отчётливо показаны логико-дидактические аспекты обучения школьников математике.

Основные задачи исследования. Установленные объект, предмет, цель и гипотеза исследования потребовали решения в ходе него следующих конкретных задач, которые разделились на три группы.

1) Задачи теоретико-методологического характера:

- выявление роли логики и языка в мыслительных процессах;

- выявление роли логики и интуиции в математическом творчестве и в математическом образовании;

- определение места и роли математической логики в психолого-педагогических концепциях обучения математике, в самом процессе обучения математике, в гуманизации и гуманитаризации математического образования, в системе подготовки учителя математики; обоснование системы целей в качестве исходной основы проектирования курса математической логики и теории алгоритмов как системообразующего методологического курса в системе подготовки учителей математики; *

- разработка принципов отбора содержания курса математической логики и теории алгоритмов в соответствии с обоснованными целями и отбор самого содержания.

Эти задачи решаются в главе I и в первой половине главы II диссертации.

2) Задачи, связанные с практической реализацией концепции профессионально-ориентированного курса математической логики и теории алгоритмов для студентов педагогических вузов:

- разработка профессионально-ориентированных средств обучения теоретическим вопросам курса математической логики и теории алгоритмов, решению задач и средств контроля усвоения знаний (как бескомпьютерных, так и с использованием компьютеров);

- описание методов и форм обучения с использованием разработанных средств.

Решению этих задач посвящена вторая половина главы II диссертации.

3) Задачи о взаимосвязях педвузовского курса математической логики и теории алгоритмов с другими курсами педвуза и со школьным курсом математики:

- методическая разработка логических оснований педвузовских курсов математики и их пролонгация на соответствующие разделы школьного курса математики;

- выявление логико-дидактических аспектов обучения различным разделам школьного курса математики.

Этим задачам посвящена глава III диссертации.

Методологические и теоретические основы исследования составляют:

- современные теории построения высшего педагогического образования

И.И.Баврин, В.П.Беспалько, С.И.Архангельский, Н.Ф.Талызина, Б.С.Гершунский, В.В.Давыдов, В.В.Краевский, Н.В.Кузьмина, В.Л.Матросов, Ю.Г.Татур);

- теория системного подхода в образовании и её применение к обучению математике (В.И.Крупич, В.С.Леднев, В.М.Монахов, А.И.Нижников, А.М.Пышкало);

- теория деятельностного подхода и развивающего обучения (Л.С.Выготский, В.В.Давыдов, Л.В.Занков, Н.Ф.Талызина и др.);

- концепция профессионально-педагогической направленности обучения математике будущих учителей (А.Г.Мордкович, Г.Г.Хамов и др.);

-работы по философии и методологии математического познания и математического образования (А.Д.Александров, Н.Я.Виленкин, М.Б.Волович, Г.Д.Глейзер, Б.В.Гнеденко, В.А.Гусев, Г.В.Дорофеев,

A.Н.Колмогоров, Ю.М.Колягин, Л.Д.Кудрявцев, Г.Л.Луканкин, А.Х.Назиев,

B.А.Успенский, А.Я.Хинчин, Ж.Адамар, Г.Вейль, Д.Гильберт, М.Клайн, А.Пуанкаре, Б.Рассел, У.У.Сойер, Г.Фройденталь);

-научные исследования в области математической логики и теории алгоритмов (Ю. Л. Ершов, Ю.И.Журавлёв, А.И.Мальцев, В. Л.Матросов, П.С.Новиков и др.);

- теоретические исследования по проблемам логико-дидактических аспектов обучения школьников математике (Н.М.Бескин, В.Г.Болтянский, А.В.Гладкий, Я.И.Груденов, В.А.Далингер, Л.А.Калужнин, В.М.Монахов, И.Л.Никольская, Г.И.Саранцев, А.Д.Семушин, А.А.Столяр, В.А.Успенский, И.М.Яглом).

Решение поставленных задач потребовало привлечения следующих методов исследования: изучение и анализ философской, психолого-педагогической и методической литературы, научной литературы монографического характера и научных статей по математической логике, теории алгоритмов и смежным математическим дисциплинам, работ по истории математики, вузовских и школьных программ, учебников и учебных пособий как для студентов вузов, так и для учащихся школ, изучение и анализ педагогического опыта отечественных и зарубежных преподавателей высшей школы, а также собственного опыта работы автора в школах и педагогическом институте (университете); интервьюирование и тестирование учащихся и студентов; широкий педагогический эксперимент по проверке основных теоретических положений исследования и эффективности разработанной педагогической системы.

Достоверность результатов исследования обеспечивается: обоснованностью и чёткостью выбранных методологических, математических, историко-математических, психолого-педагогических и методических позиций, положенных в основания исследования; корректным применением к исследуемой проблеме системного, деятельностного, культурологического и исторического подходов, а также комплекса методов, адекватных объекту, предмету, цели и задачам исследования; достаточной продолжительностью опытно-экспериментальной работы в процессе личного преподавания и преподавания по разработанной системе коллегами из многих педагогических вузов страны, имевшими возможность использовать в своей работе разработанные автором пособия; логической непротиворечивостью проведённых рассуждений; согласованностью полученных выводов с положениями базисных наук и принципиальной согласованностью с собственным опытом работы и опытом коллег из различных педагогических вузов страны.

Основные этапы исследования. С 1978 г. автором читались курсы математической логики и теории алгоритмов, научных основ школьного курса математики, современных основ школьного курса математики, числовых систем, дискретной математики, геометрии, многочисленные специальные курсы, связанные с логикой и логико-дидактическими аспектами преподавания математики, в Саратовском государственном педагогическом институте, а в последние годы — в Саратовском государственном университете. С первых же лет работы с курсом математической логики и теории алгоритмов ощутилась нехватка пособий по данному курсу, предназначенных для обучения будущих учителей математики. В то же время недостатка в научно-монографической литературе по математической логике не было никогда.

В 1978-1985 годах происходило изучение этой литературы, имеющихся программ и учебных пособий, осуществлялся психолого-педагогический анализ имеющейся базовой модели методической системы обучения основам математической логики и теории алгоритмов. Одновременно в процессе педагогической работы происходила выработка собственной методической концепции обучения основам математической логике и теории алгоритмов будущих учителей математики, основанная на существенной переработке и корректировке всех основных элементов базовой модели. В это же время в соответствии с проделываемой корректировкой происходил активный отбор задач, их систематизация, составление новых задач, предназначенных для практических занятий со студентами педвуза. В результате был подготовлен сборник задач [За]. После нескольких лет работы с "Задачником" стало ясно, что необходимо организующее ядро формирующейся методической системы. Таким ядром должен был стать учебник, который наиболее целостно и адекватно отразил бы методическую концепцию автора. В 1988-1990 годах такой учебник был написан ив 1991 г. издан [2а].

В конце 80-х - начале 90-х годов в педвузы пришли первые компьютеры (ЭВМ): "Искра", "Поиск", "Ямаха", IBM. В 1986 году автором была разработана обучающе-контролирующая программа по теме "Алгебра высказываний" на языке PASCAL для отечественного компьютера [28а]. Затем была разработана тестовая контролирующая программа по всему курсу математической логики и теории алгоритмов, которая на протяжении ряда лет активно функционировала в классе "Поиск" в СГПИ. В настоящее время система работает на PC IBM.

Одновременно происходило дальнейшее совершенствование методической системы преподавания. Разрабатывались и читались спецкурсы, курс "Числовые системы" [6а], проводились спецсеминары, писались курсовые и дипломные работы, осмысливались различные аспекты влияния логики на преподавание математики, логические аспекты курса геометрии и других математических теорий, связанных со школьным курсом математики. В результате были существенно модифицированы старые и разработаны новые системы задач практически по всем разделам курса математической логики и теории алгоритмов, разработана методика изложения таких теоретических вопросов, которые получили недостаточное развитие в учебнике. Разработана и издана в 1996 г. и переиздана в 1999 г. тетрадь с печатной основой по математической логике [4а], брошюра [5 а], представляющая собой методическую переработку §5 "Задачника".

Возникла настоятельная необходимость в систематизации и обобщении всех накопленных материалов и наработок. Такая работа была проделана в 1996-2001 гг. Был окончательно обобщен опыт обучения студентов в соответствии с разработанной методической системой, результаты исследований и анализа экспериментов оформлены в диссертационную работу, изложены в монографии [1а].

Научная новизна результатов исследования заключается в том, что в нём: предложена концепция системообразующей роли курса математической логики и теории алгоритмов в системе подготовки учителей математики в педагогических вузах;

- установлено, что этот курс будет выполнять системообразующую роль, если он будет сконструирован так, что во главу угла будет поставлена профессионально-педагогическая направленность курса;

- установлено, что профессионально-педагогическая направленность курса математической логики и теории алгоритмов состоит в том, что он не может замыкаться в кругу абстрактно-математических понятий, а должен иметь максимальный выход на школьную математику, на педагогическую деятельность учителя математики;

- проанализирована структура взаимосвязи логики и интуиции в математическом творчестве и в процессе обучения математике, на основании чего обоснована роль математической логики в обучении математике и в образовании учителя математики и сформулированы принципы логики в обучении математике и в образовании учителя математики; выявлена роль математической логики в гуманизации и гуманитаризации математического образования и общего образования;

- разработана профессионально-ориентированная методическая система обучения основам математической логики и теории алгоритмов будущих учителей математики и информатики в педвузах, включающая в себя: формулировку целей обучения; выработку принципов отбора содержания и его отбор в соответствии с целями и принципами; создание адекватных средств обучения - учебника, сборника задач, тетради с печатной основой, средств контроля за усвоением знаний; разработку методики изучения всех тем курса и форм обучения материалу;

- разработаны методические рекомендации по межпредметным связям курса математической логики с основаниями других педвузовских математических курсов, а также со школьным курсом математики.

Теоретическая значимость исследования состоит в том, что его результаты позволяют по-новому взглянуть на курс математической логики и теории алгоритмов в системе подготовки учителей математики в педагогических вузах, а именно как на системообразующий курс этой подготовки. Постановка данного курса с чётко выраженной профессионально-педагогической направленностью, проникновение его идей и методов во все математические и методические курсы педагогического вуза служит одним из важных факторов подготовки таких учителей, которые будут в состоянии осуществить реальный переход к новой парадигме образования, преобразовав обучение математике в образование с помощью математики, и воспитывая тем самым мыслящих граждан нашего общества.

Практическая значимость исследования определятся тем, что в нём разработана во всех своих составных частях реально работающая на практике методическая система обучения будущих учителей математики основам математической логики и теории алгоритмов. Основными элементами этой системы являются учебник [2а], сборник задач [За], тетрадь с печатной основой [4а], изданные массовыми тиражами и доступные многим педвузам России и стран СНГ. Дополнительные методические разработки, связанные с изложением теоретического материала, новыми циклами задач, представлены в подготовленных к печати в расширенном и переработанном варианте учебнике и сборнике задач. Разработана программа и методические рекомендации по двухуровневому (базовому и углублённому) изучению курса математической логики и теории алгоритмов в педвузах [25а]. Разработана тестовая контролирующая система по базовому курсу математической логики и теории алгоритмов, которая может функционировать как в компьютерном варианте, так и в бескомпьютерном (на бумажных носителях) [32а], [33а].

На защиту выносятся:

- концепция системообразующей роли курса математической логики и теории алгоритмов в системе подготовки учителей математики в педагогических вузах;

- положение о профессионально-педагогической направленности курса математической логики и теории алгоритмов при обучении учителей математики;

- принципы логики в обучении математике и в подготовке учителей математики.

Апробация работы. Различные аспекты исследования и его результаты неоднократно докладывались автором и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

- на Всероссийском (в прошлом ~ Всесоюзном) научном семинаре преподавателей математики педагогических вузов под руководством заслуженного деятеля науки Российской Федерации доктора педагогических наук профессора А.Г.Мордковича (Ульяновск, 1991; Рязань, 1991; Москва, 2000; Вологда, 2001);

- на республиканской научно-практической конференции "Актуальные вопросы математики, информатики и вычислительной техники в учебном процессе школы и педвуза " (Тирасполь-Кишинёв, 1987);

- на межвузовской научно-методической конференции "Организация самостоятельной работы студентов и управление учебным процессом в условиях перестройки высшего образования" (Стерлитамак, 1988);

- на Международных конференциях по современной алгебре и математическому образованию (Венгрия, Сегедский университет, 1983; Чехословакия, Прага, Карлов университет, 1986; Братислава, Братиславский университет, 1988);

- на научном семинаре кафедры алгебры университета "Паисий Хилендарский" (Болгария, Пловдив, 1989);

- на Всероссийских математических чтениях, посвященных памяти М.Я.Суслина (Саратов, 1989, 1991);

- на Всероссийской научно-практической конференции "Новая аттестационная технология абитуриентов" (Москва, Mill У, 1993);

- на 3-ей сессии Всероссийского научного семинара "История цивилизаций: проблемы исследования и преподавания" (Балашов, БГПИ, 1996);

- на Международной научно-практической конференции "Школьное математическое образование на пороге XXI века" (Самара, 1998);

- на Герценовских чтениях (Санкт-Петербург, РГПУ, 2000); на Всероссийской конференции "Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков" (Дубна, 2000);

- на Международном конгрессе "Наука и образование на пороге Ш тысячелетия" (Минск, 2000);

- на научно-методическом семинаре преподавателей математики физико-математического факультета СГПИ "Педвуз и школа" (Саратов, 1985-2000).

Внедрение результатов исследования в практику. Разработанными автором учебником и сборником задач по курсу математической логики и теории алгоритмов, ввиду их издания массовыми тиражами, получили возможность пользоваться подавляющее большинство педагогических вузов России и стран СНГ. Так что через них авторская концепция в основных своих чертах была внедрена в практику преподавания многих отечественных педвузов.

Этими же пособиями пользовались и некоторые школы при изучении данного курса на факультативах и спецкурсах. Наиболее эффективной при проведении занятий со школьниками города Саратова (особенно, специализированных школ, гимназий, лицеев и колледжей) оказалась тетрадь с печатной основой по математической логике.

Разработанная методическая система обучения основам математической логики и теории алгоритмов внедрялась на протяжении двадцати лет в учебный процесс Саратовского государственного педагогического института, дневного и заочного отделений. Особую помощь методические пособия автора оказали студентам заочной формы обучения, не имеющим возможности достаточно широкого контакта с преподавателем. После вхождения в 1999 году пединститута в состав классического Саратовского университета эта система продолжает работать в рамках педагогического отделения механико-математического факультета СГУ. В соответствии с разработанной методикой автором излагается не только курс математической логики и теории алгоритмов, но и курсы геометрии, числовых систем, дискретной математики.

Материалы исследования использовались при чтении спецкурсов и проведении спецсеминаров, при написании студентами курсовых и дипломных работ.

Автор неоднократно выступал перед учителями Саратова и Саратовской области в рамках областного института повышения квалификации работников образования и Соросовских научных конференций (1997, 1999).

По материалам диссертационных исследований опубликовано 40 работ, в том числе монография [1а], учебник [2а], сборник задач [За], тетрадь с печатной основой [4а], программа курса [25а], восемь статей в центральной печати и межвузовских сборниках научных работ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)», Игошин, Владимир Иванович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведённое теоретическое и экспериментальное исследование в соответствии с целями и задачами исследования дало следующие научные результаты.

1) На основании анализа философских, психологических и педагогических теорий мыслительной деятельности выявлена и обоснована роль логики в процессах мышления, в математическом творчестве и в математическом образовании. Во всех указанных сферах логика самым тесным образом связана с языком и интуицией, но занимает в них своё особое место.

2) Выявлена и обоснована роль математической логики в процессе обучения математике и развития логического мышления учащихся, в психолого-педагогических концепциях обучения математике, в гуманизации и гуманитаризации математического образования. На основании полученных выводов обоснована системообразующая и методологическая роль математической логики в системе подготовки учителя математики, который мог бы в процессе своей будущей педагогической деятельности решать одну из задач воспитания и развития с помощью математики — развивать мыслительные способности учащихся.

3) Обоснована система целей обучения основам математической логики и теории алгоритмов будущих учителей математики в качестве исходной основы проектирования профессионально-направленного курса математической логики'и теории алгоритмов как системообразующего методологического курса в системе подготовки учителей математики в педвузах.

4) Сформулированы принципы отбора содержания профессионально-ориентированного курса математической логики и теории алгоритмов в соответствии с обоснованными целями обучения. Произведён отбор содержания, в результате чего составлена программа базового и углублённого курса математической логики и теории алгоритмов для будущих учителей математики и информатики.

5) Разработаны профессионально-ориентированные средства обучения теоретическим вопросам: курса математической логики и теории алгоритмов и решению зад£ч, включающие в себя учебник, сборник задач, методическое пособие, тзтрадь с печатной основой.

6) Разработана тестовая контролирующая система, предназначенная для контроля уровня усвоения знаний по всему курсу математической логики и теории алгоритмов и работающая как в компьютерном, так и в бескомпьютерном вариантах, на бумажных носителях.

7) Разработаны и апробированы методы и формы обучения основам математической логики и теории алгоритмов с использованием разработанных средств обучения.

8) Осуществлена методическая разработка логических оснований курсов математики педагогического вуза и их последующая пролонгация на соответствующие разделы школьного курса математики. В математических курсах педвуза выявлены и методически разработаны те их разделы, в которых роль логики выступает наиболее отчётливо и эффективно. Это, прежде всего, - основания геометрии и основания анализа (числовые системы). К ним добавлен ещё ряд аксиоматических теорий, связанных со школьным курсом математики и логикой, - теория множеств и теория мощностей множеств, теория упорядоченных множеств, теория величин и теория аристотелевых силлогизмов.

9) Выявлены и методически разработаны логико-дидактические аспекты обучения различным разделам как школьного, так и педвузовского курсов математики.

Проведённое теоретическое исследование в рамках решения всех поставленных задач и его экспериментальная проверка позволяют сделать вывод о том, что поставленные задачи решены, а выдвинутая гипотеза в целом подтверждена.

В планах дальнейшей деятельности автора в рамках тематики данного исследования - издание переработанного учебника и переработанного сборника задач по курсу математической логики и теории алгоритмов для студентов педвузов, написание и издание учебного пособия по математической логике и теории алгоритмов для учащихся старших классов, содержащего теоретический и задачный материал, разработка и дальнейшее совершенствование информационных (компьютерных) технологий по курсу математической логики и теории алгоритмов, реализующих разработанные автором подходы к методике изучения этого курса.

Государственный образовательный стандарт 2000 года подготовки учителей математики и информатики предусматривает разделение курса математической логики и теории алгоритмов на два курса, введение курсов числовых систем и дискретной математики. Эти закономерные шаги ставят логику в системе подготовки учителей на долженствующее ей место и позволят значительно усилить их логическую подготовку. Автор надеется, что его многолетние исследования и результаты, как уже полученные, так и будущие, будут содействовать достижению этих целей.

Список литературы диссертационного исследования доктор педагогических наук Игошин, Владимир Иванович, 2002 год

1. Абрамов A.M. Логические основы курса планиметрии / Мат. в школе, 1974, № 5, с.51-62.

2. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. М.: Сов. радио, 1970. - 152 с.

3. Александров А.Д. О геометрии / Математика в школе, 1980, J\Ta 3, с. 56 62.

4. Александров А.Д. О понятии множества в курсе геометрии / Математика в школе, 1984, № 1, с. 47 52.

5. Александров А.Д. Основания геометрии. М.: Наука, 1989.

6. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. М.: Наука, 1990.

7. Александров П.С. Понятие множества / Математика в школе, 1972, № 4, с. .

8. Аристотель. Сочинения в 4-ёх томах. М.: Мысль, 1976-1981.

9. Асмус В.Ф. Проблема интуиции в философии и математике. М.: Мысль, 1965.

10. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Части 1 и 2. М.: Просвещение, 1986, 1987.

11. Аут К.Х., Виленкин Н.Я. О роли основных принципов дидактики в преподавании школьного курса математики / Математика в школе, 1987, № 1, с.41-44.

12. Ахманов А.С. Логическое учение Аристотеля. М., 1960.

13. Байдак В.А. Обучение доказательству теорем: теорема, доказательство теоремы, методы доказательства теорем / Соврем, проблемы методики преподавания математики. М.: Проев., 1985, с. 178-184.

14. Белевич А.А. От традиционной логики к логике математической на уроках информатики. Материалы X Междунар. конф. "Применение новых технологий в образовании", 30.VI - 3.VII.1999, Троицк, с. 40-41.

15. Беляев Е.А., Перминов В.Я. Философские и методологические проблемы математики. М.: изд. МГУ, 1981.

16. Беран Л. Упорядоченные множества / Пер. с чешек. М.: Наука, 1981. - 64 с.

17. Берталанфи Л. Общая теория систем обзор проблем и результатов / В кн.: Системные исследования, М.: Наука, 1969, с.30-54.

18. Бескин Н.М. Аксиоматический метод / Мат. в школе, 1993, №3, с.25-29; №4, с.48-54.

19. Более подробный классифицированный список литературы по теме диссертации содержится в монографии автора 1а. (см. стр., 363 ниже, где в отдельный список выделены работы автора по теме диссертации).

20. Беспалъко В.П. Основы теории педагогических систем. Воронеж: ВГУ, 1977. - 304 с.

21. Беспалъко В.П., Тагпур Ю.Г. Системно-методическое обеспечение учебно-воспитательного процесса подготовки специалистов. М.: Высш. шк., 1989. - 144 с.

22. Бет А. Размышления об организации и методе преподавания математики / В сб.: Преподавание математики. М.: Учпедгиз, 1960, с.31-40.

23. Бирюков Б.В. Как возникла и развивалась математическая логика / Вопросы философии, 1959, № 7, с. 112- 121.

24. Бирюков Б.В., Гусев В.А., Столяр А.А. Роль логики и кибернетики в профессиональной подготовке учителя / Математика в школе, 1982, №1, с.77-78.

25. Богомолов A.M., Салий В.Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. М.: Наука-Физматлит, 1997. - 368 с.

26. Болтянский В.Г. Как устроена теорема ? / Мат. в школе, 1973, № 3, с. 41 49.

27. Болтянский В.Г. Использование логической символики при работе с определениями / Математика в школе, 1973, JV8 5, с. 45 50.

28. Болтянский В. Г. Фигурная скобка в определении модуля / Мат. в шк., 1979, №6, с.47-48.

29. Болтянский В.Г. Ещё раз о фигурной скобке / Мат. в школе, 1988, № 2, с. 29 31.

30. Брадис В.М. и др. Ошибки в математических рассуждениях. М., 1967. - 191 с.

31. Бронштейн И.Н., Лопшиц A.M. Не изгонять из школы идеи аксиоматического метода / В сб.: На путях обновления школьного курса математики. М.: Проев., 1978, с. 26-27.

32. Бурбаки Н. Архитектура математики / В кн.: Н.Бурбаки. Очерки по истории математики. М.: ИЛ, 1963, с. 243-259.

33. Вальциферов Ю.В. Элементы алгебры логики / Информатика, 1998, № 27.

34. Вейлъ Г. О философии математики. М -Л.: Гостехтеоретиздат, 1934.

35. Вейлъ Г. Симметрия / Пер. с англ. М.: Наука, 1968. - 192 с.

36. Вернер А.Л., Кантор Б.Е., Франгулов С.А. Геометрия. Части 1 и

37. СПб.: Специальная литература, 1997.

38. Виленкин Н.Я. О понятии величины / Математика в школе, 1973, № 4, с. 4-7.

39. Виленкин Н.Я. Современные проблемы школьного курса математики и их исторические аспекты / Математика в школе, 1988, № 4, с.7-14.

40. Виленкин Н.Я., Дуничев К.И., Калужнин JI.A., Столяр А.А. Современные основы школьного курса математики. М., 1980.

41. Виленкин Н.Я., МорОкович А.Г. Подготовку учителей математики на уровень современных требований / Математика в школе, 1986, № 6, с.6-10.

42. Виленкин Н.Я., Шварцбурд С.И. Высказывания, выражения, переменные / Математика в школе, 1970, JV® 3, с. 34.

43. Винер Н. Кибернетика. М.: Сов. радио, 1968.

44. Выготский Л.С. Мышление и речь. Соч., т.2. М: 1982.

45. Выготский JI.C. Педагогическая психология. М., 1991.

46. Высокий Б.Ф. Факультативный курс по изучению понятий логики / Математика в школе, 1977, N* 4, с. 48-52.

47. Вышенский В. А., Калужнин Л. А. О месте теории множеств и математической логики в школьном курсе математики / Математика в школе, 1970, 1, с. 35.

48. Гейтинг А. Интуиционизм. М.: Мир, 1965.

49. Гетманова А.Д. и др. Логика (10-11 классы). М.: Дрофа, 1995.

50. Гильберт Д. Основания геометрии / Пер. с нем. М.-Л., 1948.

51. Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. М., 1972.

52. Глейзер Г.Д., Калина А. О возможностях логического построения школьных курсов геометрии / Математика, 2000, № 14, с. 1-4.

53. Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире. М.: Просвещение, 1985.

54. Гохман А.В., Спивак М.А., Розен В.В., Салий В.Н., Житомирский Г.И., Рыжков А.Г., Шимельфениг О.В. Сборник задач по математической логике и алгебре множеств. Саратов: изд.СГУ, 1969. - 92 с.

55. Гончаров С.С., Ершов Ю.Л., Самохвалов К.Ф. Введение в логику и методологию науки. М.: Интерпракс, 1994.

56. Груденов Я.И. Изучение определений, аксиом, теорем. М.: Просвещение, 1981. - 95 с.

57. Груденов Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике. М.: Педагогика, 1987.

58. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики. М.: Просвещение, 1990. - 224 с.

59. Грэй П. Логика, алгебра и базы данных / Пер. с англ. М.: Машиностроение, 1989.

60. Гусев В.А. Цели обучения математике в средней школе / В сб.: Психолого-педагогические основы обучения математике в средней школе. Вып. 1.-М.: Прометей (МПГУ), 1992, с. 3 23.

61. Гусев В.А. Рассуждения и доказательства в курсе "Геометрия 69" / Школьное мат. образование на пороге XXI века. Тез.докл.межд. научно-практ.конф. Самара, 1999, с. 54-55.

62. Гусев В.А. О современном состоянии подготовки учителей в России / Материалы межвуз. научно-методич. конф., поев. 110-летию со дня рожд. В.М.Брадиса. Тверь: ТГУ, 2000, с. 12-18.

63. Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения: Опыт теоретического и экспериментального психологического исследования. М.: Педагогика, 1986. - 240 с.

64. Далингер В.А. Обучение учащихся доказательству теорем. Омск: ОГПИ - НГПИ, 1990. - 127 с.

65. Декарт Р. Правила для руководства ума. M.-JL: Соцэкгиз, 1936.

66. Дорофеев Г.В. Строгость определений математических понятий с методической точки зрения / Математика в школе, 1984, № 3, с. 56-60.

67. Дорофеев Г.В. К концепции математического образования / Математика в школе, 1989, № 2.

68. Дорофеев Г.В. О принципах отбора содержания школьного математического образования / Математика в школе, 1990, JV2 6, с. 2-5.

69. Дорофеев Г.В. Гуманитарно ориентированный курс основа учебного предмета "математика" в общеобразовательной школе / Математика в школе, 1997, № 4, с. 59-66.

70. Дорофеев Г.В. Непрерывный курс математики в школе и проблема преемственности / Математика в школе, 1998, JV2 5, с.70-76.

71. Дорофеев Г.В. Математика для каждого. М.: Аякс, 1999. - 292 с.

72. Дорофеева А.В. Гуманитарные аспекты преподавания математики / Математика в школе, 1990, JV2 6, с. 12 13.

73. Дубнов Я.С. Беседы о преподавании математики. М., 1965.

74. Ершов А.П. Компьютеризация школы и математическое образование / Математика в школе, 1989, № 1, с. 14.

75. Загвязинский В.И., Гриценко Л.И. Основы дидактики высшей школы. Тюмень, 1987.

76. Займан Дж. Современная квантовая теория. М.: Мир, 1971.

77. Зализняк А.А. Лингвистика по А.Т.Фоменко / Успехи мат. наук, 2000, 55, № 2, с.162-188.

78. Занков JI.B. Избранные педагогические труды. М., 1990.

79. Земляков А.Н. Геометрия в 9 классе. М.: Просвещение, 1985.

80. Иве Г., Нъюсом К.В. О математической логике и философии математики / Пер. с англ. М., 1968

81. Искусственный интеллект. В 3-х кн. Справочник. / Под ред. Д.А.Поспелова. М., 1990.

82. Калбертсон Дж.Т. Математика и логика цифровых устройств / Пер. с англ. М.: Просвещение, 1965. - 268 с.

83. Калужнин Л.А. Элементы теории множеств и математической логики в школьном курсе математики. М.: Просвещение, 1978. - 88 с.

84. Карпенков С. Концепции современного естествознания. М.: Академ. проект, 2000.

85. Кац М., Улам С. Математика и логика (ретроспектива и перспектива). М.: Мир, 1971.

86. Кварацхелия Н.М. К понятию логической грамотности / В сб.: Пути совершенствований обучения математике. Ташкент: ТГПИ, 1985, с. 10-16. ,

87. Крейдлин Г.Е., Шмелёв А.Д. Языковая деятельность и решение задач / Математика в школе, 1989, № 3, с. 39-45.

88. Клайн М. Логика против педагогики / Математика (Сб. науч.-методич. статей), вып.З. М.: Высш.шк., 1973, с. 46-61.

89. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, т.1. -М.: Мир, 1978.

90. Когаловский С.Р. О развивающем обучении математике / В кн. 90., с. 192-205.

91. Когаловский С.Р., Шмелёва Е.А., Герасимова О.В. Путь к понятию. (От интуитивных представлений к строгому понятию). Иваново, 1998. -208 с.

92. Колмогоров А.Н. Жизнь и мышление с точки зрения кибернетики / В кн.: Опарин А.И. Жизнь, её соотношение с другими формами материи. М.: изд-во АН СССР, 1962, с.1-11.

93. Колмогоров А.Н. Диалектико-материалистическое мировоззрение в школьных курсах математики и физики / Квант, 1980, № 4, с. 15-18.

94. Колмогоров А.Н. Математика наука и профессия. - М.: Наука, 1988. - 288 с.

95. Колмогоров А.Н. Математика в её историческом развитии. М.: Наука, 1991. - 224 с.

96. Колягин Ю.М. Луканкин Г.Л. Основные понятия современного школьного курса математики. - М.: Просвещение, 1974. - 382 с.

97. Коменский Я. А Великая дидактика / В кн.: Я.Коменский, Д.Локк, Ж.-Ж.Руссо, И.Г.Песталоцци. Педагогическое наследие. М.: Педагогика, 1989.

98. Кондрашенкова Т.А., Никольская И.Л. Формирование общелогических умений при обучении математике в IV V классах / В сб.: Самостоятельная деятельность учащихся при обучении математике. - М.: Просвещение, 1985, с. 45 - 65.

99. Коэн П.Дою. Теория множеств и континуум-гипотеза / Пер. с англ.- М.: Мир, 1969. 348.

100. Кудрявцев Л.Д. Мысли о современной математике и её изучении.- М., 1977. 112 с.

101. Кузьминский ММ. Элементы логики в преподавании геометрии / Математика в школе, 1953, № 1, с. 39-43.

102. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высшая шк., 1979.

103. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. М.: Наука, 1975.

104. Лакатос И. Доказательства и опровержения: как доказываются теоремы. М., 1976.

105. Ландау Э. Основы анализа. (Действия над целыми, рациональными, иррациональными, комплексными числами) / Пер. с нем. М.: ГИИЛ, 1947. - 184 с.

106. Лебедева В.П., Орлов В.А., Панов В.И. Психодидактические аспекты развивающего образования / Педагогика, 1996, N 6, с.25-30.

107. Леонтьев А.Н., Гальперин П.Я. Теория усвоения знаний и программированное обучение / Сов. педагогика, 1964, JV2 10.

108. Лернер И.Я. Поиск доказательств и познавательная самостоятельность учащихся / Советская педагогика, 1974, № 7, с. 28-37.

109. Лернер И.Я. Дидактическая система методов обучения. М., 1976.

110. Лиман М.М. О методе приведения к противоречию / Математика в школе, 1953, № 1.

111. Лысова Н.М. Доказательство геометрических теорем методом от противного / Математика в школе, 1972, № 2, с.30-34.

112. Логика. Спецвыпуск газеты "Информатика", 1995, JV2 39-40.

113. Логика и компьютер: моделирование рассуждений и проверка правильности программ. М.: Наука, 1990. - 240 с.

114. Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики / Пер.с англ. М.: ИЛ, 1959.

115. Луке Л.Н. Аксиоматическая основа преподавания математического анализа / Психолого-педагогические основы преподавания математических дисциплин в пединституте. Обучение и развитие / Тезисы Все-росс. межвуз. сем. Ульяновск: УлГПИ, 1991, с. 70.

116. Майер Р.А. Обучение использованию логико-математической символики при решении текстовых задач / В кн.: Роль и место задач в обучении математике (под редакцией Ю.М.Колягина). М. 1973.

117. Маликов Т.С. Логический и интуитивный компоненты в определениях математических понятий / Математика в школе, 1987, № 1, с. 44-48.

118. Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции. М.: Наука, 1965.

119. Малютин В.В., Брановский Ю.С. Объективный контроль знаний и его реализация в программе TEST / В кн.: Педагогическая информатика. М: ИНИНФО, 1994, № 3, с.39-47.

120. Манин Ю.И. Доказуемое и недоказуемое. М.: Сов. радио, 1979. - 167 с.

121. Мантуров О.В., Исаева М.А. Об аксиоматическом методе в школьном курсе геометрии / Математика в школе, 1988, № 3, с. 38-41.

122. Матросов В. Л. Теормя алгоритмов. — М.: Изд-во МГПИ "Прометей", 1989.- 188 с.

123. Меморандум американских математиков / Математика в школе, 1964, № 4, с.90-92; В сб.: На путяк обновления школьного курса математики. М.: Просвещение, 1976, с.207-210.

124. Метелъский Н.В. Психолого-педагогические основы дидактики математики. Минск: Выш. шк., 1977.

125. Метелъский Н.В. Дидактика математики. Минск: БГУ, 1982.-256 с.

126. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика (Ю.М.Колягин и др.} М.: Просвещение, 1975. - 462 с.

127. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. Сост.: Р.С.Черкасов, А.А.Споляр. М.: Просвещение, 1985. - 336 с.

128. Миракова Т.Н. К вопросу о построении логико-языковой" линии в гуманитарно ориентированном курсе / Школ. мат. образование на пороге XXI века. Тез. докл. межд. научно-практ. конф. Самара, 1999, с. 65-66.

129. Монахов В.М. Что такое новая информационная технология обуче8ния / Математика в школе, 1990, № 2, с.47-52.

130. Морделл Л. Размышления математика. М. Знание, 1971.

131. Мордкович А.Г. О профессионально-педагогической направленности математической подготовки будущих учителей / Математика в школе, 1984, № 6, с. 42-45.

132. Мордкович А.Г. О профессионально-педагогической направленности математической подготовки студентов / Советская педагогика, 1985, № 12, с. 52-57. 1

133. Мордкович А.Г. Обеспечивая педагогическую направленность / Вестник высшей школы , 1985, № 12, с. 22-26.

134. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка. М., 1984.

135. Неискашова Е.В. Идеи нестандартного анализа в истории науки и в преподавании / Математика в школе, 1999, № 3, с. 76-79

136. Никольская И.Л. О факультативном курсе "Элементы логики" / Математика в школе, 1972, № 1, с. 59-60.

137. Никольская И.Л. Изучение логического следования и логической равносильности в 7 классе / Математика в школе, 1977, № 1, с. 37-39.

138. Никольская И.Л. Об изучении некоторых логических понятий на уроках математики / В сб.: Из опыта преподавания математики: 6-8 классы / Сост. М.Р.Леонтьева. М.: Проев., 1977, с. 18-26.

139. Никольская И.Л. О единой линии воспитания логической грамотности при обучении математике / В сб.: Преемственность в обучении математике. -М.: Просвещение, 1978, с. 24-36.

140. Никольская ИЛ., Семёнов Е.Е. Учимся рассуждать и доказывать. М., 1989.- 192 с.

141. Никольская ИЛ., Тараканова З.П. Аналитическая геометрия (Программированное пособие). М.: Высш.шк., 1970. - 800 с.

142. Новиков П. С. Элементы математической логики. М.: Наука, 1973.

143. Павлов В. А. О контроле за усвоением учащимися элементарных логических понятий / Математика в школе, 1975, № 4, с. 33-34.

144. Паскаль Б. Мысли. С.-Пб., 1888.

145. Педагогика: педагогические теории, системы, технологии. М.: Академия, 1999. - 512 с.

146. Песин И.Н. Об использовании некоторых символов математической логики в преподавании / Мат. просвещение, 1958, № 3, с. 195 200.

147. Пикус АЛ. Об одном способе обоснования геометрических построений на плоскости и в пространстве / Мат. просвещение, 1958, № 3, с. 201-208.

148. Плохинский НА. Биометрия. М.: изд. МГУ, 1970. - 367 с.

149. Погорелое А.В. Геометрия. М.: Наука, 1983.

150. Погребысский И.Б. Готфрид Вильгельм Лейбниц. М.: Наука, 1971.

151. ПойаД. Как решать задачу ? / Пер. с англ. М.: ГУПИ, 1961.-208 с.

152. ПойаД. Математическое открытие / Пер. с англ. М.: Наука, 1970. - 452 с.

153. ПойаД. Математика и правдоподобные рассуждения / Пер. с англ. М., 1975.-464 с.

154. Потоцкий М.В. Слово учителя в преподавании математики / Мат. в школе, 1977, № 1.

155. Преподавание математики. / Пер. с франц. М., 1960.

156. Проблемы Гильберта. М.: Наука, 1969.

157. Прудников В.Е. Чебышёв учёный и педагог. - М., 1964.

158. Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1983. - 560 с.

159. Пышкало A.M. Методическая система обучения геометрии в начальной школе. Авторский доклад по монографии "Методика обучения элементам геометрии в начальных классах," представленной на соискание учёной степени доктора педагогических наук. М., 1975.

160. Расёва Е., Сикорский Р. Математика метаматематики / Пер.с англ. М.: Наука, 1972. - 592 с.

161. РенъиА. Трилогия о математике. М.: Мир, 1980. - 376 с.

162. Репьёв В.В. Общая метсщика преподавания математики. М., 1958.

163. Розен В.В. Дедуктивные умозаключения. Саратов: изд. СГУ, 1990. - 52 с.

164. Рубцов В.В. Развитие образовательной среды региона. М., 1997.

165. Руденко В.Н. Использование метода от противного при решении геометрических задач в 4-5 (5-6) классах / В кн.: Из опыта преподавания математики в средней школе. М.: Просвещение 1979, с. 118-126.

166. Рузавин Г.И., Таванец П.В. Основные этапы развития формальной логики / В кн.: Философские вопросы современной формальной логики. М., 1962. С.16

167. Рыбников К.А. Геометр; хя: наука и учебная дисциплина / Математика в школе, 1983, № 6, с.56

168. Рыжик В.И. 25000 уроков математики. М.: Просвещение, 1993. - 240 с.

169. Рыжова Н.И., Швецкпй М.В. Упражнения по основам формальной символической логики. СПб.: РГПУ, 1998. - 104 с.

170. Садовничий В.А. Математическое образование: настоящее и будущее / Математика, 2000, № 40, с. 1-6.

171. Салий В.Н. Решётки с единственными дополнениями. М.: Наука, 1984. 128 с.

172. Самохин А.В. Проблема четырёх красок: неоконченная история доказательства / Соросовский образовательный журнал, 2000, т. 6, № 7, с. 91 -96.

173. Саранцев Г.И. Обучений доказательству / Математика в школе, 1996, № 6, с. 16-20.

174. Саранцев Г.И. Формирование математических понятий / Математика в школе., 1998, № 6, с.27-30.

175. Саранцев Г.И., Лунина Л. С. Обучение методу аналогии / Математика в школе, 1989, № 4, с.42-46.

176. Семёнов АЛ., Успенский В.А. Математическая логика в вычислительных науках и вычислительной практике / Вестник АН СССР, 1986, № 7, с. 93-103.

177. Серее В. Аксиоматика и элементарная геометрия / Математика в школе, 1967, № 6, с. 45-55.

178. Сивянкова А.Ф. О некоторых вопросах методики решения задач при развивающем обучении геометрии в 6 классе / В кн.: Из опыта преподавания математики в средней школе. М.: Просвещение 1979, с. 126-132.

179. Скаткин М.Н. Проблемы современной дидактики. М., 1980.

180. Сойер У. У. Прелюдия к математике. М.: Просвещение, 1972. -192 с.

181. Сойер У. У. Интуитивное понимание математического доказательства / Математика в школе, 1991, № 2, с. 75-77.

182. Сосина Н.А., Широкова Т.А. Элементы логики в школьном курсе математики / Шк.мат. образование на пороге XXI века. Тез. докл. межд. научно-практ. конф. Самара, 1999, с.113.

183. Столяр А.А. К изучению элементов математической логики в средней школе с математической специализацией / В сб.: Обучение в математических школах. М.: Проев., 1965.

184. Столяр А.А. Логико-математический язык в преподавании математики / Математика в школе, 1967, № 2, с.27.

185. Столяр А.А. Применение современного математического языка в школьном курсе математики / В кн.: Лин. алгебра и геометрия. М.: Просвещение, 1967, с.294-318.

186. Столяр А.А. О логических блоках Дьёнеша / Мат. в школе, 1969, № 5, с.92 94.

187. Столяр А.А. Педагогика математики. Минск: Выш. шк., 1974. - 384 с.

188. Столяр А.А. О некоторых применениях логики в педагогике атематики / В кн.: Логика и проблемы обучения. М.: Педагогика, 1977, с 125-139.

189. Столяр А.А. Зачем и как мы доказываем в математике. Минск: Нар. асвета, 1987.

190. Столяр А. А. Роль математики в гуманизации образования / Математика в школе, 1990, № 6, с. 5 7 .

191. Стюарт Я. Концепции современной математики. Минск: Выш. шк., 1980.-384 с.

192. Субботин A.JI. Теория силлогистики в современной формальной логике. -М., 1965.

193. Талызина Н.Ф. Теория поэтапного формирования умственных действий / Нар. образование, 1967, № 7.

194. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. / Пер. с англ. М.: ГИТТЛ, 1948. - 327 с.

195. Тестов В.А. Стратегия обучения математике. М.: Тех. шк. бизнеса, 1999.-304 с.

196. Трахтенброт Б.А. СК воспитании математико-логической культуры учащихся. В кн.: Олимпиады. Алгебра. Комбинаторика. Новосибирск: Наука (Сиб. отд.), 1979, с. 26-53.

197. Успенский В.А. О месте знаков "<" и ">" в школьном курсе / Математика в школе, 1978, № 3, с. 39-40.

198. Успенский В.А. Теорема Гёделя о неполноте. М.: Наука, 1982.

199. Успенский В.А. Что такое нестандартный анализ ? М.: Наука, 1987. -128 с.

200. Фарбер И.Е. Очерки вузовской педагогики. Саратов: изд-во СГУ, 1984.

201. Фейнберг E.JJ. Кибернетика, логика, искусство. М.: Радио и связь, 1981. - 144 с.

202. Фейтаг К. Математические доказательства и обоснования / Мат. в шк., 1984, № 4, с.71-73.

203. Фетисов А.И. Элементы логики в преподавании математики / Изв. АПН РСФСР. Вопросы общей методики математики. М.: изд. АПН РСФСР, 1958, вып. 92, с. 149-198.

204. Феферман С. Числовые системы. (Обоснования алгебры и анализа) / Пер. с англ. М.: Наука, 1971.

205. Фирсов В.В., Боковнев OA., Шварцбурд С.И. Состояние и перспективы факультативных занятий по математике. М.: Просвещение, 1977.

206. Флоренский ПА. Столп и утверждение Истины, т.1. М.: Правда, 1990. -490 с. (Факсимильное издание 1914 г.)

207. Фреге Г. Мысль: логическое исследование / В кн.: Философия, логика, язык. М., 1987, с. 18-47.

208. Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств / Пер. с англ. -М.: Мир, 1966. 556 с.

209. Фройденталъ Г. Математика как педагогическая задача. Части 1,2. М., 1982, 1983.

210. Фурман А.А. Основные проблемы аксиоматического построения физических теорий. Томск: изд. ТГУ, 1966. - 124 с.

211. Фуше А. Педагогика математики. М.: Просвещение, 1969. - 128 с.

212. Хамов Г.Г. Методическая система обучения алгебре и теории чисел в педвузе с точки зрения профессионально-педагогического подхода. С.-Пб.: РГПУ, 1993. - 142 с.

213. Хинчин А.Я. Математика как профессия. М., 1980.

214. Чуприкова Н.И. Умственное развитие и обучение. (Психологические основы развивающего обучения). М.: Столетие, 1995.

215. Щедровицкий Г.П. и др. Педагогика и логика. М.: Касталь, 1993. - 416 с.

216. Щербаков Р.Н., Пичурин Л.Ф. Значение аксиоматики в современном школьном курсе геометрии / В сб.: Воспитание учащихся при обучении математике / Сост. Л.Ф.Пичурин. М.: Просвещение, 1987, с. 11-17.

217. Эдельман С.Л. Математическая логика. М., 1975.

218. Эйнштейн А. Собрание научных трудов в 4 т. М.: Наука, 1967. Т.4: а) Пролог, с. 152-155; б) Письмо к Герберту Сэмьюэлу, с.328-329.

219. Элъконин Д.Б. Послесловие к т.4 Собр.соч. Л.С.Выготского. М.: Педагогика, 1984.

220. Эрдниев П.М. Аналогия в математике. М.: Знание, 1970. - 32 с.

221. Эрдниев П.М. О взаимосвязи логики и психологии в решении вопросов методики математики / Математика в школе, 1977, № 6, с.68-70.

222. Эрдниев Б.П. О технологии творческого обучения математике / Математика в школе, 1990, № 6, с. 15-18.

223. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике. М.: Просвещение, 1986. - 256 с.

224. Яглом И.М. Аксиоматические обоснования евклидовой геометрии / В сб.: Новое в шк. математике. М.: Знание, 1972, с. 40-63.

225. Яновская С.А. Методологические проблемы науки. М.: Мысль, 1972. -280 с.

226. Ястребов А.В. Научное мышление и учебный процесс — параллели и взаимосвязи. Ярославль: Я! НУ, 1997. - 137 с.

227. Kalman J.A.A. Two-axiom definition of lattices / Rev. roum. math, pures et appl., 1968, 13, № 5, 669-670:

228. McKenzie R. Equational bases for lattice theories / Math.Scand., 1970, 27, № 1,24-38.