Согласованность, достижимость и управление показателями Ляпунова тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Зайцев, Василий Александрович

• Зайцев, Василий Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Зайцев, Василий Александрович

Введение.

Глава 1. Достижимость и ляпуновская приводимость.

§ 1. Основные определения и вспомогательные утверждения.

§ 2. Достижимые системы.

§ 3. Ляпуновская приводимость.

§4. Локальная управляемость показателей Ляпунова.

Глава 2. Согласованные системы.

§ 5. О согласованности и достижимости.

§ 6. Критерии согласованности.

§ 7. Согласованность стационарных систем.

Глава 3. Глобальная управляемость показателей.

§ 8. Управляемость показателей стационарных систем.

§ 9. Линейное уравнение с наблюдателем.

§ 10. О А-приводимости.

§ 11. Управление показателями кусочно постоянных систем.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Согласованность, достижимость и управление показателями Ляпунова»

Изучаемые в этой работе задачи можно рассматривать как естественное развитие основной тематики классической теории регулирования, состоящей в построении линейной обратной связи, стабилизирующей исходный объект. В классической постановке обычно изучаются стационарные объекты, поведение которых моделируется линейными дифференциальными уравнениями или системами линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и тем самым вопрос сводится к перемещению в заданное множество (например, в левую полуплоскость) корней характеристического многочлена матрицы системы.

В другой терминологии эти задачи можно интерпретировать как задачи управления показателями Ляпунова. Это позволяет расширить класс изучаемых объектов, включив в него нестационарные системы дифференциальных уравнений. Таким образом, появляется возможность привлечения активно развивающейся теории показателей Ляпунова и абстрактной теории динамических систем к изучению чисто управленческих задач.

Здесь получены утверждения, относящиеся к задачам управления (в локальной и глобальной постановке) показателями Ляпунова линейной управляемой системы с наблюдателем и задачам ляпуновской приводимости билинейной управляемой системы дифференциальных уравнений. В частности, доказаны: а) теорема о локальной ляпуновской приводимости билинейной управляемой системы и вытекающие из нее следствия о локальной управляемости показателей Ляпунова; б) теорема о глобальной управляемости показателей Ляпунова стационарной системы с наблюдателем; в) теорема о А-приводимости линейной управляемой системы и вытекающие из нее следствия о глобальной управляемости центральных и особых показателей; г) теорема о глобальной управляемости показателей Ляпунова двумерных кусочно постоянных систем.

Рассмотрим линейную управляемую систему х = А{г)х + в(г)и, х е к™, «еГ (0.1) с ограниченными и кусочно непрерывными на М. матрицами Л(-) и В(-). Систему (0.1) будем отождествлять с функцией I —у (А(2), В{1)). Аргумент когда это не вызывает недоразумений, будем опускать. Управление в системе (0.1) строится по принципу линейной обратной связи в виде и = {/(¿)ж. Исследуется вопрос об управляемости (в локальной и глобальной постановке) показателей Ляпунова Аi(A + В11), г — 1,., п замкнутой системы

X = + В^)и(г))х. (0.2)

Определение 0.1. Система (А, В) обладает свойством глобальной управляемости показателей Ляпунова, если для любого ц = ¡хп) € К™ существует кусочно непрерывная функция {/(•) = II(•,/л), такая что показатели Ляпунова Аг(А + Ви),., АП(А + В11) системы (0.2) удовлетворяют равенствам

Ам + ви) = ^, 3 = \ (0.3)

Определение 0.2. Система (А,В) обладает свойством локальной управляемости показателей Ляпунова, если найдется 5 > 0 такое, что всякому ¡1 = (цг,., (мп) £ Кга отвечает функция [/(•) = £/(•, /¿) (из некоторого фиксированного класса допустимых управлений), обеспечивающая равенства

АДА + ВЩ = АДА) + н, з = 1,., п, здесь АДА) — показатели Ляпунова системы х = А(г)х. (0.4)

Хорошо известен следующий факт: если матрицы А и В постоянны, т = 1 и det[jB, АВ,., Ап~1В] ф 0 (т. е. система (А, В) равномерно вполне управляема [58]), то (А, В) обладает свойством глобальной управляемости показателей Ляпунова. Показатели Ляпунова стационарной системы х = Ах — это вещественные части собственных значений матрицы А. Поэтому под глобальной управляемостью показателей стационарной системы понимается возможность выбора постоянной матрицы U так, чтобы характеристический многочлен х(А + BU, А) матрицы А + BU совпадал с наперед заданным многочленом п-й степени сг(А) = А + 7iA™1 + • • • + 7„ с вещественными коэффициентами 71,., 7„. В 1964 году теорема о глобальной управляемости показателей Ляпунова была доказана для произвольной стационарной системы (V. Popov [61, 62]): показатели системы (А, В) глобально управляемы тогда и только тогда, когда система (А, В) вполне управляема (га. е. rank[B, АВ,., Ап~1В] = п).

Работа П. Бруновского [57] явилась одной из первых работ по теории управления асимптотическими характеристиками линейной нестационарной системы (0.2). В ней было доказано, что если система (0.1) равномерно вполне управляема, а функции А(-) и В(-) непрерывно дифференцируемы и периодичны с периодом Т > 0, то (А, В) обладает свойством глобальной управляемости показателей Ляпунова, при этом для любого ц Е Rn функция U(-,fJ,), обеспечивающая равенства (0.3), также непрерывно дифференцируема и Т-периодична.

Задача управления показателями Ляпунова системы (0.1) без предположения периодичности представляет существенные трудности в связи с тем, что в общем случае система х — A(t)x может быть неприводимой (ляпуновским преобразованием х = L(t)y к системе у = Fy с постоянной матрицей F), оказывается далее, что в непериодическом случае она может быть неправильной [3] (см. также [16]). В такой ситуации наибольший интерес представляет задача о выборе такого допустимого управления, при котором замкнутая система становится приводимой (или правильной) и, следовательно, обладает (локально) управляемыми показателями.

В работе Е.Л. Тонкова [53] была рассмотрена произвольная нестационарная система (0.1) с равномерно непрерывными на К. функциями А(-) и В(-). В этой работе была доказана эквивалентность условий равномерной полной управляемости и равномерной стабилизируемости системы (0.2). Равномерная стабилизируемость означает, что для любого А > 0 существует непрерывное управление {/(•) = U(-, А), при котором всякое решение x(t) системы (0.2) удовлетворяет неравенству

1 \x(t)\ lim -In . , . ^ —А. t-s-Юо t — S p(s)|

Отсюда следует, что если система (0.1) равномерно вполне управляема, то показатели Ляпунова системы (0.2) можно сделать меньше любого наперед заданного отрицательного числа, т. е. переместить на какое угодно расстояние влево.

К вопросам управления показателями Ляпунова примыкают вопросы о размещаемое™ показателей Ляпунова системы (0.4) при различных возмущениях матрицы А. В задачах такого вида фиксируется множество допустимых управлений и исследуется множество возможных значений вектора показателей Ляпунова системы (0.2) (при B(t) = I) относительно допустимых управлений. В работе С.А. Гришина, Н.Х. Розова [9] показано, что линейная стационарная система (0.4) стабилизируема поворотами решений тогда и только тогда, когда след матрицы А меньше нуля, т. е. условие Sp А < 0 является необходимым и достаточным условием того, что при помощи малых в среднем возмущений-поворотов можно переместить показатели Ляпунова в левую полуплоскость. Затем в работе С.А. Гришина [10] аналогичное утверждение было доказано для нестационарных систем: необходимым и достаточным условием стабилизируемости (и перемещаемости показателей Ляпунова в левую полуплоскость) при помощи малых в среднем возмущений-поворотов является условие

Sp A(t) = & —i— / SpA(sWs<0. t-т-Юо t - T JT

В работах [47, 48] показано, что при помощи периодических малых в среднем возмущений постоянной матрицы А спектр показателей Л1?., Хп стационарной системы х = Ах можно переместить в любую точку множества К(Х) С К™, которое строится следующим образом: каждой из п\ перестановок набора (Ац,., А„) ставится в соответствие точка в Мга и за К(А) берется выпуклая линейная оболочка этих точек. В работе [17] строится множество спектр К С R2 характеристических показателей двумерной линейной стационарной системы х = Ах, к которой в моменты времени {tk}kLii tk —> оо, к оо применяются преобразования поворота Uk = U(oik) на угол «it, при всевозможных последовательностях Uk и некоторых последовательностях {^¿JfcLi- В работе [50] И.Н. Сергеевым рассматривались вопросы о точных границах подвижности показателей Ляпунова линейных систем при малых в среднем возмущениях. В этой же работе автором обсуждаются вопросы стабилизируемости.

Большинство из вышеупомянутых утверждений опираются на метод поворотов В.М. Миллионщикова [31]—[34] (см. также [16, 49]), который, напомним, состоит в следующем. Рассмотрим систему (0.4) с ограниченной и кусочно непрерывной на

К функцией А(-). Пусть а = sup |A(t)|. Зафиксируем t0 € BL Предположим, что на teR отрезке [t0, £0 + 1] определена матричная функция t —)■ P(t) Е Мп, удовлетворяющая условиям:

1. Р(-) непрерывно дифференцируема на [i0, to + 1];

2. P(t0) = /;

3. Существует S < - такое, что max \P(t)\ ^ S.

2 ie[to,io+i]

Из условий 1 — 3 на функцию Р(-) вытекает, что \P(t) — /| ^ 5 для всех t € [¿о, to +1], следовательно, существует Р1(-), причем |P1(i)| ^ --- ^ 2, t £ [t0, t0+l]- Таким

1 — д образом, определена функция

Ш * ¿Мо + 1], г К ) \ P{t)A{t)P~\t) + P{t)P-\t), t G [io,io + !]•

При t £ [to, ¿o + 1] имеем 2<K (1 + 8)a- |P1(i)| • \I - P{t)\ + aS + 25 ^ 2(1 + 8)a8 + aS + 28 < 2i(2a + 1).

Следовательно, sup \F(t) — A(i)| ^ 2J(2a + 1). На R рассмотрим систему ¿ек

У = F(t)y. (0.5)

Пусть X{t, .s) и Y(t, 5) — матрицы Коши систем (0.4) и (0.5) соответственно. Нетрудно проверить, что если t £ [to,to + 1], то Y(t, t0) = P(t)X(t,t0), в частности,

Поэтому для t0^T Y(t,r) =

Y(t0 + 1, t0) = P{t0 + l)X(t0 + Mo). (0-6) f X(.t,r), te[r,t0),

P{t)X(t,T), te[t0,*o + i],

X(t, to + l)P(t0 + l)X(t0 + 1, r), t > to + 1.

Из (0.6) следует, что если х(-) — произвольное решение системы (0.4), то решение у(-) системы (0.5) с начальным условием у(т) = х(г) удовлетворяет соотношению о + 1) = Р(*0 + 1)х(^о + 1). Систему (0.5) называют возмущенной по отношению к системе (0.4), при этом говорят, что к системе (0.4) применен поворот Р(£) на отрезке [¿0, ¿о + 1]

Здесь необходимо отметить, что метод поворотов применяется для изучения асимптотических свойств решений системы (0.4), при этом важен результат поворота, а не то, как ведут себя решения возмущенной системы на отрезке, на котором производится поворот. Поэтому вместо фразы к системе (0.4) применен поворот Р(£) на отрезке + 1] можно говорить, что к системе (0.4) применен поворот Р{и + 1) в момент + 1- Итак, метод поворотов основан на следующем свойстве системы (0.4): для любого е > 0 существует 8 = ^^—^ •т111{£> 2а+1} такое, что любому ¿о ^ М. и любой матрице Н £ В¿(7) ( Н = Р{Ьо + 1) ) отвечает кусочно непрерывная функция ф : + Ве С Мп ( ](¿) = ), обеспечивающая для матрицы Коши Z(t,s) системы г = (А(^) + выполнение равенства Мо) = + Мо)- (0.7)

Оказывается, что метод поворотов можно перенести на линейные управляемые системы. В работе [39] (см. также [40]) было доказано следующее утверждение.

Теорема 0.1. Пусть система (0.1) равномерно вполне управляема. Тогда всякому е > 0 и всякому достаточно большому а\ > 0 отвечает 6 = 6(е, oi) > 0 такое, что для любой матрицы Н Е С Мп, любого cr ^ (j\ и любого to £ К существует кусочно непрерывная функция U : [io,io + сг] —у Мт,п, sup ^ £, такая что для матрицы Коши Xu(t,s) системы (0.2) справедливо равенство

Xu(t0 + <х, t0) = HX(t0 + <т, U). (0.8)

Ясно, что равенство (0.7) можно получить как следствие равенства (0.8), где а = 1, U(t) = Q(t), B(t) = I, поскольку система х = A{t)x 4- Iu является сг-равномерно вполне управляемой [39, 40] для любого а > 0 (в частности, для <т = 1). На основе теоремы 0.1 было доказано [39], что если система (А, В) равномерно вполне управляема, то показатели системы (А, В) локально управляемы, причем малым изменениям показателей отвечают малые изменения управления.

В работах [41]—[44] изучается управляемая система с наблюдателем х = A(t)x + B{t)u, у = C*(t)x, {t, 1,и)е1х Rn х Rm. (0.9)

Управление в системе (0.9) строится в виде и = U(t)y. Исследуется вопрос о локальной управляемости показателей Ляпунова замкнутой системы х = (A{t) + B(t)U(t)C*(t))x, (0.10) где А : К. —> Мп, В : К. —> Мщт, С : К. —> Мп,к — ограниченные интегрально непрерывные функции, а допустимые управления U = U(t) £ Мт,к удовлетворяют ограничению |{7(£)| ^ 1. В этих работах вводится понятие согласованности системы (0.9), обобщающее понятие вполне управляемости (при С = I эти понятия совпадают). Система (0.9) названа равномерно согласованной, если «большая система» z = F(t)z + G{t)v, (t, z)elx Rn2, ueEnr, (0.11) где F(t) — A(t) —1[g) A*(t), G(t) — B(t) ® C(t), ® — символ прямого произведения [24, c.235] матриц, равномерно вполне управляема. Показано, что если система (0.9) равномерно согласованна, а система х = A(t)x диагонализируема (т. е. приводима ляпуновским преобразованием к системе с диагональной матрицей) или ее показатели Ai(A),., А„(А) устойчивы [см. [16, с.72]), то показатели системы (0.10) локально управляемы, т. е. всякому е > 0 отвечает S > 0 такое, что для любого /j, = (yul5. ,/лп) € Rn, |/х| ^ 5 найдется управление \U^(t)\ ^ е, обеспечивающее для всех i = 1,., п равенства А ДА + BU^C*) = Аг- + щ, где А ¡(А + BU^C*) — показатели Ляпунова системы (0.10) при U = U^it).

Пусть А(А) — верхний центральный показатель (см. [3, с.116]) линейной системы х = A(t)x. По определению к где X(t,s) — матрица Коши системы х = A(t)x. Показатель Л(А) удовлетворяет неравенству х(А) ^ Л(А), где х(^) = max{Ai(A),., Ата(А)}, и полунепрерывен сверху (в пространстве линейных систем с топологией равномерной сходимости на прямой R). В [42] показано, что равномерно согласованная система (0.9) обладает свойством локальной управляемости показателя Л(А) (т.е. равенство А(А-\-Ви$С*) — Л(А) + <5 имеет место при каждом 6 близком к нулю и некотором допустимом управлении [/¿(¿)); кроме того, Л(А) обладает свойством достижимости (т.е. х(А + В11вС*) ^ Л(А) — 8 при всех 5 близких к нулю).

Попытки освободиться от условия диагонализируемости или устойчивости показателей системы х = А{Ь)х (или хотя бы ослабить эти условия) предприняты в работах [25, 26]. В [26] показано, в частности, что при п — 2 и различных показателях Ляпунова Ах (А), А2 (А) свойство равномерной согласованности достаточно для локальной управляемости показателей Ах(А + В11ЦС), Аг(А + Ви^С).

В работах [45, 46, 55] исследуется семейство систем х = (А(/и) + В(?ш)иС*(/*и))х, (*,ж)б1хГ, ш е П, (0.12) где (О, р) — топологическая динамическая система, \17\ ^ 1. Введено свойство равномерной локальной управляемости показателей Ляпунова А; (си, II) системы (0.12) (равенства Аг(си, 17^) = \i(u), 0) + |J■i выполнены при некотором допустимом управлении ГУд = си) для всех ш £ П и любых достаточно близких к нулю /хг ) и показано, что большинство результатов работ [41]—[44] распространяется и на системы вида (0.12). В частности, в [46] показано, что если С(/*ш) = I и невозмущенная система (т. е. система (0.12) при II = 0) является системой с интегральной раз-деленностью [16, с.87], то свойство равномерной согласованности (которое при С = I эквивалентно свойству равномерной полной управляемости) является не только достаточным, но и необходимым условием равномерной локальной управляемости показателей Ляпунова.

Работы Д.М. Оленчикова [36]—[38] посвящены задачам управления показателями Ляпунова импульсной системы оо х = (А(г) + в$)ис*(г))х, и = ^ и{5(г - и), (0.13) г=—оо где 5(1,) — ¿-функция, а управляющими параметрами являются матрицы Щ, |£/г-| = 1 и моменты времени 0 < ¿г+1 — II ^/д. Наличие ¿-функций в коэффициентах приводит к необходимости определения решения системы (0.13). В работах Д.М. Оленчикова это делается методами нестандартного анализа. Показано, что большинство результатов работ [41]—[44] распространяется на систему (0.13). Задачам управления спектром характеристических показателей системы (0.2) посвящены работы Г.Г. Исламова [19, 20], в которых изучаются соответственно стационарные и периодические системы.

Пока мало изучен вопрос о глобальной управляемости показателей Ляпунова нестационарных систем и глобальной ляпуновской приводимости линейной системы в отсутствии геометрических ограничений на управления. В [51, с. 35] для системы (0.2) с коэффициентами класса С2п~1 при некоторых дополнительных предположениях доказана глобальная управляемость характеристических показателей. В работе [28] для системы (0.2) с непрерывной матрицей А(-) и равномерно непрерывной матрицей В(-) показано, что если система (А, В) равномерно вполне управляема, то для любого ¡л € К. найдется кусочно непрерывное управление £/д(2) такое, что А;(А + Ви^) — А; + ¡л, г = 1,., п, т. е. вектор (Ах(А),., А„(А)) показателей Ляпунова системы (0.2) глобально управляем вдоль вектора (1,.,1), а верхний центральный показатель Л(А) можно переместить в любую точку ц Е Е. Этот результат дополняет результат Е.Л. Тонкова [53] о равномерной стабилизируемо-сти системы (0.2). В работе [29] доказано утверждение о глобальной ляпуновской приводимости системы (0.2) при п = 2: если система (А, В) равномерно вполне управляема, а функция В(-) равномерно непрерывна, то для любой системы

У = Щ)У (0-14) с ограниченной кусочно непрерывной матрицей В{-) существует кусочно непрерывное и ограниченное управление II = {/(•), такое что система (0.2) с этим управлением кинематически подобна системе (0.14), т. е. существует преобразование Ляпунова х = Ь(1:)у, связывающее эти системы.

В работах И.В. Гайшуна [5, 6, 7] получены результаты о приводимости системы (0.2) (при т = 1) относительно различных групп преобразований (группы Ляпунова, экспоненциальной группы и др.) к системам эквивалентным скалярному уравнению п-го порядка с переменными коэффициентами (см. также библиографию в [7]). В работе Е.Л. Тонкова [63] получены результаты, дополняющие исследования И.В. Гайшуна, в частности, показано, что для любой системы ас = А(/*ш)х + Ь((^ш,х)еЕх(1х ИГ, (0.15)

АИ =

Оц(ш) 0 0 0

21М &М ■ 0 0 Ь(а,) = * гг-мМ ап-1,2(и) • /?„м 0

ЯгаМ ап гМ • апп(и>) АН

0.16) где функции А(-), Ь(-) непрерывны на О. и для всех (ш, г) Е !7х{1,2,., п} выполнены неравенства > 0, и для любого ^ = (^х,. ,/лп) Е найдется управление

V = и

Чм) х

0.17) такое, что система (0.15) замкнутая управлением (0.17) приводима ляпуновским преобразованием г = 8(ри})х (не зависящим от ц) к системе г = Е^г с постоянной матрицей р

О 1

0 . Иг •• 0

0 1 цп

Сформулированы условия приводимости произвольной системы (0.15) к системе вида (0.15) с матрицами (0.16). Отсюда получены условия глобальной управляемости показателей Ляпунова.

В этой работе изучаются билинейная управляемая система х = А0(/*и)х + и1А1(/гш)х -\-----1- игАг(/*си)х, (ж, и) Е

1п х Г"

0.18) и линейная управляемая система с наблюдателем х = А(?и)х + В(?и)и, у = С*(?ш)х, (х, и, г/)еГхГх К*, (0.19) параметризованные при помощи топологической динамической системы ($7, /*). Ниже приведены формулировки основных результатов работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, одиннадцати параграфов (нумерация параграфов сквозная) и списка литературы. Объем диссертации 102 страницы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Зайцев, Василий Александрович, 2000 год

1. Былое Б.Ф. О структуре решений системы линейных дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами // Мат. сб. - 1965. - 66. - № 2. -С. 215-229.

2. Былое Б.Ф. О приведении системы линейных уравнений к диагональному виду // Мат. сб. 1965. - 67. - № 3. - С. 338-344.

3. Былое Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова. М.: Наука, 1966. - 576 с.

4. Былое Б.Ф., Изобов H.A. Необходимые и достаточные условия устойчивости характеристических показателей линейных систем // Дифференц. уравнения. -1969. Т. 5. - № 10. - С. 1794-1803.

5. Гайшун И.В. Существование канонических форм линейных нестационарных систем управления относительно экспоненциальной группы // Дифференц. уравнения. 1998. - Т. 34. - №6. - С. 727-734.

6. Гайшун И.В. Управляемость характеристическими векторами линейных нестационарных систем // Дифференц. уравнения. 1999. - Т. 35. - № 1. - С. 24-29.

7. Гайшун И.В. Введение в теорию линейных нестационарных систем. Минск.: Ин-т математики HAH Беларуси, 1999. - 409 с.

8. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. - 576 с.

9. Гришин С.А., Розов Н.Х. Метод поворотов решений в задаче стабилизации неустойчивых положений равновесия линейных динамических систем / / Автоматика и телемеханика. 1975. - № 12. - С. 18-26.

10. Гришин С.А. Некоторые вопросы управления и устойчивости линейных систем // Дифференц. уравнения. 1982. - Т. 18. - № 11. - С. 1862-1868.

11. Зайцев В.А. Достижимость и локальная управляемость показателей Ляпунова систем со случайными параметрами // Изв. Ин-та матем. и информ. УдГУ. -Ижевск, 1998. Вып. 2(13). - С. 71-88.

12. Зайцев В.А., Тонкое E.JI. Достижимость, согласованность и метод поворотов В.М. Миллионщикова // Изв. вузов. Математика. 1999. 2 (441).- С. 45-56.

13. Зайцев В.А. Управление показателями Ляпунова стационарных систем с наблюдателем / / Тезисы докладов четвертой Российской университетско-академической научно-практической конференции, Ижевск, 23-24 апреля 1999 г. С. 33.

14. Зайцев В.А. Согласованность и управление показателями Ляпунова // Изв. Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск, 1999. - Вып. 2(17). - С. 3-40.

15. Зайцев В.А. Об управлении показателями Ляпунова и о А-приводимости // Вестник Удмуртского университета. Ижевск, 2000. - № 1. - С. 35-44.

16. Изобов H.A. Линейные системы дифференциальных уравнений // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Матем. анализ. 1974. - Т. 12. - С. 71-146.

17. Изобов H.A., Зверева Т.Е. Спектр характеристических показателей Ляпунова двухмерной стационарной системы при возмущениях-поворотах // Дифференц. уравнения. 1981. - Т. 17. - № 11. - С. 1964-1977.

18. Иванов А.Г., Тонкое Е.Л., Шнейберг И.Я. О мере множества глобально управляемых систем // Нелинейн. колебания и теор. управления. Ижевск, 1981. -№3. - С. 3-32.

19. Исламов Г.Г. Об управлении спектром динамической системы // Дифференц. уравнения. 1987. - Т. 23. - № 8. - С. 1299-1302.

20. Исламов Г.Г. Об одном свойстве мультипликаторов линейных периодических систем // Изв. ВУЗов. Математика. 1999. - № 2 (441).- С. 57-59.

21. Корнфелъд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория. М.: Наука, 1980. - 384 с.

22. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. - 476 с.

23. Култышев С.Ю., Тонкое Е.Л. Управляемость линейной нестационарной системы // Дифференц. уравнения. 1975. - Т. 11. - № 11. - С. 1206-1216.

24. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. - 280 с.

25. Макаров Е.К., Попова С.Н. О достаточных условиях локальной управляемости характеристических показателей Ляпунова двумерных систем с кратными показателями // Сб. статей поев. 60-летию со дня рождения проф. В.Г. Сприн-джука. 1997. - С. 75-77.

26. Макаров Е.К., Попова С.Н. О локальной управляемости характеристических показателей Ляпунова системы с некратными показателями // Дифференц. уравнения. 1997. - Т. 33. - №4. - С. 495-499.

27. Макаров Е.К., Попова С.Н. К методу поворотов для линейных управляемых систем // Доклады НАН Беларуси. 1998. - Т. 42. - № 6. - С. 13-16.

28. Макаров Е.К., Попова С.Н. О глобальной управляемости центральных показателей линейных систем // Изв. ВУЗов. Матем. 1999. -№ 2 (441).- С. 60-67.

29. Макаров Е.К., Попова С.Н. О глобальной управляемости полной совокупности ляпуновских инвариантов двумерных линейных систем // Дифференц. уравнения. 1999. - Т. 35. - № 1. - С. 97-106.

30. Миллионщиков В.М. О связи между устойчивостью характеристических показателей и почти приводимостью систем с почти периодическими коэффициентами // Дифференц. уравнения. 1967. - Т. 3. - № 12. - С. 2127-2134.

31. Миллионщиков В.М. Критерий малого изменения направлений решений линейной системы дифференциальных уравнений при малых возмущениях коэффициентов системы // Матем. заметки. 1968. - Т. 4. - № 2. - С. 173-180.

32. Миллионщиков В.М. Системы с интегральной разделенностью всюду плотны в множестве всех линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1969. - Т. 5. - №7. - С. 1167-1170.

33. Миллионщиков В.М. Грубые свойства линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1969. - Т. 5. - № 10. - С. 1775-1784.

34. Миллионщиков В.М. Доказательство достижимости центральных показателей линейных систем // Сиб. матем. журнал. 1969. - Т. 10. - № 1. - С. 99-104.

35. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1949. - 550 с.

36. Оленчиков Д.М. Нестандартный анализ дифференциальных уравнений с обобщенными коэффициентами. // Изв. Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск, 1995. - Вып. 1(5). - С. 3-50.

37. Оленчиков Д.М. Показатели Ляпунова импульсных систем. // Изв. Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск, 1996. - Вып. 2(8). - С. 69-84.

38. Оленчиков Д.М. Импульсное управление показателями Ляпунова. // Дифферент уравнения. 1997. - Т. 33. - № И. - С. 1576.

39. Попова С.Н. К вопросу об управлении показателями Ляпунова // Вестник Удмуртского Университета. Ижевск, 1992. - № 1. - С. 23-39.

40. Попова С.Н. Задачи управления показателями Ляпунова. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Ижевск, 1992.

41. Попова С.Н., Тонкое Е.Л. Управление показателями Ляпунова согласованных систем. I // Дифференц. уравнения. 1994. - Т. 30. - № 10. - С. 1687-1696.

42. Попова С.Н., Тонкое Е.Л. Управление показателями Ляпунова согласованных систем. II // Дифференц. уравнения. 1994. - Т. 30. - № 11. - С. 1949-1957.

43. Попова С.Н., Тонкое Е.Л. Управление показателями Ляпунова согласованных систем. III // Дифференц. уравнения. 1995. - Т. 31. - № 2. - С. 228-238.

44. Попова С.Н., Тонкое Е.Л. К вопросу о равномерной согласованности линейных систем // Дифференц. уравнения. 1995. - Т. 31. - № 4. - С. 723-724.

45. Попова С.Н., Тонкое Е.Л. Равномерная управляемость показателей Ляпунова // Успехи матем. наук. 1995. - Т. 50. - Вып. 4 (302). - С. 108-109.

46. Попова С.Н., Тонкое Е.Л. Согласованные системы и управление показателями Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1997. - Т. 33. - № 2. - С. 226-235.

47. Рахимбердиее М.И., Розов Н.Х. Распределение показателей Ляпунова линейных систем с периодическими коэффициентами, близкими в среднем к постоянным // Дифференц. уравнения. 1978. - Т. 14. - № 9. - С. 1710-1714.

48. Рахимбердиее М.И., Розов Н.Х. Поведение показателей Ляпунова линейных стационарных систем при малых в среднем периодических возмущениях коэффициентов // Дифференц. уравнения. 1978. - Т. 14. - № 10. - С. 1913-1914.

49. Сергеев И.П. К теории показателей Ляпунова линейных систем дифференциальных уравнений // Труды семинара им. И.Г. Петровского. 1983. Вып. 9. -С. 111-166.

50. Сергеев И.Н. Точные границы подвижности показателей Ляпунова линейных систем при малых в среднем возмущениях // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1986. Вып. 11. - С. 32-73.

51. Смирнов Е.Я. Некоторые задачи математической теории управления. Л.: ЛГУ, 1981. - 298 с.

52. Тонкое Е.Л. Управляемость нелинейной системы по линейному приближению // ПММ. 1974. - Т.38. - №4. - С.599-606.

53. Тонкое Е.Л. Критерий равномерной управляемости и стабилизация линейной рекуррентной системы // Дифференц. уравнения. 1979. - Т. 15. - №10. -С. 1804-1813.

54. Тонкое Е.Л. О множестве управляемости линейного уравнения // Дифференц. уравнения. 1983. - Т. 19. - № 2. - С. 269-278.

55. Тонкое Е.Л. Задачи управления показателями Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1995. - Т. 31. - № 10. - С. 1682-1686.

56. Функциональный анализ / Под ред. С.Г. Крейна. М.: Наука, 1972. - 544 с.

57. Brunovsky P. Controllability and linear closed-loop controls in linear periodic systems // J. of Diff. Equations. 1969. - V. 6. - P. 296-313.

58. Kalman R.E. Contribution to the theory of optymal control // Bol. Soc. mathem. mexic. 1960. - V. 5. - № 1. - P. 102-119.

59. Lillo J.C. Perturbations of nonlinear systems // Acta math. 1960. - 103. - №12. - P. 123-128.

60. Lillo J.C. Approximate similarity and almost periodic matrices // Proc. Amer. Soc. -1961. 12. - № 3. - P. 400-407.

61. Popov V.M. Hyp erst ability and optimality of automatic systems with several control functions // Rev. Roumaine Sci. Techn., Electrotechn. et Energ. 1964. - 9. - № 4. -P. 629-690.

62. Popov V.M. Hyperstabilitatea sistemelor automate. Editura Academiei Republicii Socialiste Romania. 1966. (Перевод с румынского: Попов В.М. Гиперустойчивость автоматических систем. М.: Наука, 1970. - 456 с.)

63. Tonkov Е. L. Uniform attainability and Lyapunov reducibility of bilinear control system // Trudy Inst. Mat. i Mekh. (Ekaterinburg) — 2000. V. 6.

64. Zaitsev V.A. On Controllability of Ergodic System Lyapunov Exponents // Nons-mooth and Discontinuous Problems of Control and Optimization / A Proceedeengs volume from the IFAC Workshop (Chelyabinsk, Russia, 17-20 June 1998). 1999. -P. 223-226.