Управление асимптотическими инвариантами линейных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Попова, Светлана Николаевна

• Попова, Светлана Николаевна
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Попова, Светлана Николаевна

Список основных обозначений.

Введение

Глава I. Управляемость и согласованность

§1. Управляемость и равномерная полная управляемость.

§2. Согласованность.

§3. Следствия для динамической системы сдвигов

§4. Согласованность и управляемость

§5. Коэффициентные признаки согласованности

§6. Метод поворотов Миллионщикова для согласованных систем

Глава II. Локальная достижимость линейных управляемых систем

§7. Метод поворотов и локальная достижимость линейных однородных систем

§8. Управляемость и достижимость.

§9. Локальная достижимость относительно множества.

§ 10. Согласованность и достижимость

§11. Некоторые следствия из свойства достижимости

Глава III. Локальная управляемость асимптотических инвариантов

§ 12. Локальная и глобальная управляемость асимптотических инвариантов.

§ 13. Пропорциональная управляемость полного спектра показателей Ляпунова

§ 14. Одновременная локальная управляемость спектра и коэффициента неправильности Ляпунова правильных систем.

§15. Расчлененные линейные однородные системы

§16. Локальная управляемость показателей Ляпунова расчлененных систем

§17. Пропорциональная локальная управляемость показателей Ляпунова двумерных систем

§18. Необходимое условие устойчивости показателей линейной однородной системы

§19. Необходимость условия равномерной полной управляемости для локальной управляемости показателей Ляпунова

§ 20. Управление показателями Ляпунова почти периодического уравнения

Глава IV. Глобальная управляемость асимптотических инвариантов

§21. Глобальная достижимость, глобальная ляпуновская приводимость и глобальная управляемость асимптотических инвариантов

§22. Критерии равномерной полной управляемости

§23. Теорема о глобальной достижимости

§ 24. Глобальная ляпуновская приводимость периодических систем.

§25. Глобальная достижимость двумерных систем

§ 26. Глобальная приводимость линейных управляемых систем к системам скалярного типа. Управление свойствами правильности, приводимости и устойчивости показателей Ляпунова

§ 27. Глобальная управляемость полного спектра показателей Ляпунова, центральных, особых и экспоненциальных показателей

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Управление асимптотическими инвариантами линейных систем»

Одной из первых и наиболее важных задач классической теории автоматического регулирования была задача о стабилизации управляемого объекта, поведение которого описывается стационарной линейной системой х = Ах + Ви, х £ Rn, и G Rm, t е К, (0.1) где А и В — постоянные вещественные матрицы размеров п х п и пхт соответственно. Под стабилизацией этого объекта (или, что то же самое, системы (0.1)) понимается построение такой линейной обратной связи и — Ux с постоянной т х п матрицей U, что всякое решение замкнутой этим управлением стационарной системы x = {a + bu)x, жЕГ, ter, (0.2) по норме стремится к нулю при t —> +оо быстрее функции e~at, где неотрицательная величина а заранее задана. Поскольку обусловленное поведение решений системы (0.2) полностью определяется вещественными частями собственных значений матрицы а + bu, задача стабилизации сводится к перемещению в область са := {Л е С : Re Л < -а} комплексной плоскости всех собственных значений \i{A + BU) матрицы a+bu под воздействием стационарного матричного управления u.

Прямым развитием этой задачи стабилизации является задача о назначении спектра, в которой требуется обеспечить точные равенства

Лi(a + bu) = i = 1,., n, для произвольного наперед заданного набора комплексных чисел fi\, Ц2 fin.

В 1969 году в работе [181] П. Бруновский указал, что в течение длительного времени был известен следующий факт: в случае скалярного управления (т = 1) задача о назначении спектра разрешима в том и только том случае, когда п х п матрица ъ,аъ,а2ь,.,ап-1ь] обратима (здесь Ь:= В Е Мпд ). Отметим, что эта теорема может быть легко получена как следствие метода преобразования векового уравнения, предложенного в 1931 году великим русским механиком и кораблестроителем А.Н. Крыловым в работе [78] (см. также [32, с. 190-192]).

В начале 60-х годов В. М. Попов доказал [121,194], что необходимое и достаточное условие разрешимости задачи о назначении спектра при произвольном mE N совпадает с условием rank[£, АВ,., Ап~1В] = п (0.3) полной управляемости (Р. Калман, [189,190]) системы (0.1). Позднее М. Уонэм в своей работе [199] показал, что если числа ,., jin образуют спектр вещественного типа, т. е. такой, каким может обладать вещественная матрица, то матрица обратной связи U может быть выбрана вещественной.

Если мы ставим своей целью распространить этот результат на линейные нестационарные системы х = A{t)x + B(t)u, a;GRn, «GRm, t Е R, (0.4) то мы вынуждены сначала ответить на три вопроса: во-первых, из какого класса выбирать матрицу обратной связи U, во-вторых, что понимать под спектром замкнутой системы x = (A(t)+B(t)U)x, x€Rn,teR, (0.5) и, в-третьих, каким образом следует интерпретировать условие полной управляемости (0.3).

Наиболее просто эти вопросы решаются для периодических систем, в качестве спектра которых естественно рассматривать совокупность мультипликаторов т. е. собственных значений матрицы Х(и>,0) [39, с. 185]; здесь и — период системы (0.4), X(t,s) — матрица Коши свободной системы x = A(t)x, xeRn. (0.6)

Матричное управление U(-), вероятно, следует выбирать таким, чтобы замкнутая система (0.5) принадлежала тому же классу систем, что и свободная система (0.6).

В одной из первых работ по управлению асимптотическими характеристиками нестационарных систем [181] П. Бруновский показал, что для и-периодических систем (0.4) с непрерывно дифференцируемыми коэффициентами разрешимость задачи о назначении спектра при всяком наборе предписанных значений fij, i = 1,., п, образующих спектр вещественного типа, эквивалентна полной управляемости рассматриваемой системы. При этом матрица управляющего воздействия £/(•) может быть выбрана из множества w-периодических непрерывно дифференцируемых т х п матриц.

В случае нестационарных и непериодических систем самым естественным обобщением понятия спектра является понятие полного спектра показателей Ляпунова [88, с. 34] (см. также [57, с. 71-72]).

Определение 0.1 (A.M. Ляпунов, [88, с. 34]). Совокупность чисел Ai ^ . ^ А„ образует полный спектр показателей Ляпунова системы (0.6), если выполнены следующие условия:

1) показатель Ляпунова

А[ф=(Пт Jln||x(i)|| всякого нетривиального решения х(-) этой системы принадлежит множеству чисел {Ai,., An} ;

2) для произвольной фундаментальной системы решений (ФСР) ^i(-), Х2(-),. •. ,£п(') системы (0.6) имеет место неравенство п п

1=1 1=1

3) существует ФСР ., хп(-) системы (0.6) такая, что л

П П Х[хЦ = J2 i=l г=1

Эта ФСР называется нормальной.

Если система (0.6) стационарна, то ее полный спектр показателей Ляпунова состоит из набора вещественных частей собственных значений матрицы коэффициентов А [39, с. 138]. Если же матрица коэффициентов А(-) системы (0.6) имеет период о;, то ее мультипликаторы и характеристические показатели Ляпунова связаны равенствами

Xj = — In |/Xj|,- i = l,.,n.

L)

Следуя традиции асимптотической теории линейных систем, мы будем рассматривать однородные системы вида (0.6) с кусочно непрерывными и ограниченными на R коэффициентами. Совокупность всех таких систем обозначим Л4п. Чтобы замкнутая управлением и = U(t)x (0.7) система (0.4) принадлежала тому же классу Л4п, потребуем кусочной непрерывности и ограниченности матрицы В(-), и само матричное управление U(-) будем выбирать из множества КСтп(М.) кусочно непрерывных и ограниченных на числовой прямой т х п матриц.

Определение 0.2. Характеристические показатели линейной системы (0.5) называются глобально управляемыми, если для всякого набора вещественных чисел Ц\ ^ . ^ /in найдется кусочно непрерывная ограниченная матричная функция U(-) такая, что выполнены равенства i(A + BU) = т, i = 1,., п, где + BU) ^ . ^ \п(А + BU) — полный спектр показателей системы (0.5) при U = U(-).

Выясним теперь, как понимать условие (0.3) полной управляемости стационарных систем в случае произвольных линейных управляемых систем. Оказывается, что коэффициентное обобщение критерия полной управляемости (0.3) на произвольные нестационарные системы справедливо только в случае систем с аналитическими коэффициентами (А. Чанг, [182]). Для систем с гладкими неаналитическими коэффициентами имеет место лишь достаточное условие полной управляемости (Н. Н. Красовский, [76, с. 148]), которое состоит в том, что ранг матрицы управляемости

Q(t):= mt),Qi(t),.,Qn(t)}, где

Qo(t) := B{t), Qi(t) := A(t)Qi^(t) - Q^t), i = 1,., n, должен достигать в некоторой точке рассматриваемого промежутка наибольшего возможного значения, равного размерности системы п.

Различные эффективные условия полной управляемости линейной нестационарной системы (0.4) получали также В. Т. Борухов [15], JLE. Забелло [42], А. А. Леваков [84], С. А. Минюк [111], Л.И. Родина и Е. Л. Тонков [151] и другие авторы.

Если условие rankQ(t) = п для матрицы управляемости Q(t) выполнено при всех t G то система (0.4) является, во-первых, дифференциально управляемой [191,197] (см. также [30, с. 223]), и, во-вторых, по матрице управляемости можно построить нестационарное преобразование фазового пространства, приводящее эту систему к канонической форме, которая в случае га = 1 эквивалентна скалярному уравнению n-го порядка, а в случае га > 1 — системе нескольких независимых скалярных уравнений (Е.Я. Смирнов [165, с. 41-53],

И. В. Гайшун [30, с. 243-316]. Поскольку задача управления характеристическими показателями Ляпунова скалярного уравнения решается просто (добавлением к коэффициентам этого уравнения подходящих функций), для систем, у которых это приводящее преобразование оказывается ляпуновским или обобщенным ляпуновским преобразованием, могут быть получены достаточные условия управляемости полного спектра характеристических показателей.

Такие условия были получены в работах Е.Я. Смирнова [163-165] и В. А. Воловича [198] для систем (0.4) с матрицей А(-) класса и матрицей В(-) класса C2n~l(R). В работах И. В. Гайшуна [24-30] и Е. Л. Тонкова [195] для случая т = 1 было достигнуто существенное снижение требований к порядку гладкости коэффициентов системы (0.4), что позволило значительно расширить класс систем, охватываемых достаточными условиями управляемости показателей, которые основаны на приведении системы (0.4) к виду, эквивалентному скалярному уравнению.

Для произвольных систем вида (0.4) указанный подход, по-видимому, реализовать нельзя. Один из возможных альтернативных подходов был в свое время предложен Е. Л. Тонковым и оказался весьма плодотворным. Он основан на результатах его работы [171], где доказана эквивалентность условий равномерной полной управляемости в смысле Р. Калмана [189] исходной системы (0.4) и равномерной стабилизируемое™ замкнутой системы (0.5) в предположении равномерной непрерывности коэффициентов (близкие по смыслу результаты содержатся в работе [186] японских математиков М. Икеды, X. Маеды и Ш. Кодамы). Из этой теоремы следует, что если система (0.4) с равномерно непрерывными коэффициентами равномерно вполне управляема, то за счет выбора линейной обратной связи (0.7) характеристические показатели Ляпунова \{(А + BU), г — 1,., п, замкнутой системы (0.5) можно сделать меньшими любого наперед заданного отрицательного числа.

В связи с этим результатом Е. Л. Тонковым была поставлена задача о построении для равномерно вполне управляемой системы (0.4) обратной связи вида (0.7), которая бы обеспечила совпадение совокупности характеристических показателей Ляпунова системы (0.5) с заранее заданным набором вещественных чисел.

Напомним, что система (0.4) называется ^-равномерно вполне управляемой (Р. Калман, [189]), если существует такое число а > 0, что и матрица управляемости (матрица Калмана) to+tf

W(t0,t0 + #):= / X{t0,s)B(s)B*(s)X*(t0,s)ds to при всяком ^о ^ К- удовлетворяет неравенству

W(t0lt0 + d)2<xE, которое понимается в смысле квадратичных форм, т. е. для любого вектора выполнено неравенство

Первые результаты для задачи управления спектром в такой постановке были получены автором в работах [122,123], в которых рассматривался вопрос о локальной управляемости показателей.

Определение 0.3 [122]. Характеристические показатели Ляпунова системы (0.5) называются локально управляемыми, если для любого е > 0 найдется такое S = 6(e) > 0, что всякому набору вещественных чисел //1,., /2П, таких, что .max |/2,-| ^ S и А {(А) 4- /2г- ^ Аг-+1 (А) 4- /2г-+1 при всех г 6 {1,., п — 1}, отвечает кусочно непрерывная ограниченная матричная функция и^(-), удовлетворяющая условию ^ £ и обеспечивающая выполнение равенств

Ai(A + BU) = Ai(A) + //;, г = 1,., п; здесь А {(А) — показатели системы (0.6).

В [122,123] была доказана локальная управляемость характеристических показателей Ляпунова линейной системы (0.5) для равномерно вполне управляемой системы (0.4) при условии диагонализи-руемости свободной системы (0.6), а также локальная управляемость попарно различных значений показателей при условии приводимости системы (0.6) к некоторому блочно-треугольному виду (это условие выполнено, например, в случае устойчивости показателей Ляпунова системы (0.6)). Кроме того, в этих работах был рассмотрен вопрос об управлении некоторыми другими ляпуновскими инвариантами, в частности, центральными показателями Винограда и интегральной разде-ленностью решений.

Позднее локальная управляемость показателей Ляпунова изучалась в работах Е. Л. Тонкова и его учеников Д. М. Оленчикова и

В. А. Зайцева. В работах [115-118] Д. М. Олейниковым методами нестандартного анализа был осуществлен перенос ряда основных результатов о локальной управляемости показателей на системы с импульсной обратной связью оо u = U(t)y, 17(f) = £ Ui5(t-ti), г——оо где 5(t)— дельта-функция, а управляющими параметрами являются матрицы Ui и моменты времени fj. В статье Е. Л. Тонкова и В. А. Зайцева [48] рассмотрен вопрос об управлении показателями для билинейных систем х = (Aoifa) + щА^а) + . + urAr(fa))x, xGR", и = col(ub ., ur) e Rr, СГ G S, teR, параметризованных при помощи топологической динамической системы (Е, /*). В [175,195] Е. Л. Тонковым впервые поставлена задача о неупреждающем управлении показателями и получены первые результаты в этом направлении.

Свойство локальной управляемости характеристических показателей Ляпунова системы (0.5) эквивалентно открытости в точке U(t) = 0 отображения, которое каждому допустимому управляющему воздействию U(-) ставит в соответствие совокупность характеристических показателей Ляпунова системы (0.5) с таким U(-). Некоторые результаты о свойствах этого отображения содержатся в статьях П. Колониуса и В. Климана [183-185].

В связи с результатами об управлении центральными показателями и интегральной разделенностью решений, полученными в работах [122,123], был поставлен вопрос о локальной и глобальной управляемости не только полного спектра показателей Ляпунова, но и других инвариантов преобразований Ляпунова (иначе называемых ляпуновски-ми, или асимптотическими инвариантами).

Напомним некоторые понятия теории показателей Ляпунова.

Определение 0.4 (A.M. Ляпунов, [88, с. 42]). Линейное преобразование

У = Щх (0.8) называется преобразованием Ляпунова, если его матрица L(-) удовлетворяет условиям:

1) sup ПОДИ <00; ем

2) при каждом t £ R матрица L(t) обратима и sup ||L~1(i)|| < оо; tern

3) функция L(-) кусочно непрерывно дифференцируема на R, причем sup||L(i)|| < оо. ем

Матрица L(-) преобразования Ляпунова (0.8) называется матрицей Ляпунова.

Применение преобразования (0.8) к системе (0.6) переводит ее в систему у = D(t)y, у £ Rn, t £ R, (0.9) где

D(t) = L(t)A(t)L~l(t) + L(t)L~l(t), t £ R. (0.10)

Определение 0.5. Пусть (0.8) — преобразование Ляпунова. Матрицы А(-) и D(-), связанные соотношением (0.10), называются кинематически подобными, а соответствующие им системы (0.6) и (0.9) называются асимптотически эквивалентными (по Богданову) [13].

Замечание 0.1. В некоторых работах (см., например, [18, с. 12; 39, с. 159]) можно встретить иное определение асимптотической эквивалентности. На протяжении всей работы мы будем придерживаться определения Ю. С. Богданова.

Определение 0.6. Система (0.6) называется приводимой к системе (0.9), если она асимптотически эквивалентна этой системе. Система (0.6) называется приводимой, если она асимптотически эквивалентна некоторой автономной системе (0.9).

Определение 0.7. Система (0.6) называется правильной, если ее коэффициент неправильности Ляпунова

1 t ал{А) := Ai(A) + . + \п(А) - Иm - / SpA(s) ds оо t ^ равен нулю.

Хорошо известно, что преобразования Ляпунова образуют группу [1, с. 62; 12], а формула (0.10) задает действие этой группы на множестве Мп систем с ограниченными и кусочно непрерывными коэффициентами. Величины и свойства, сохраняющиеся под действием группы ляпуновских преобразований, называются ляпуновскими (асимптотическими) инвариантами.

К асимптотическим инвариантам относятся такие величины (свойства), как полный спектр показателей Ляпунова; свойства приводимости и правильности (A.M. Ляпунов, [88]); коэффициенты неправильности <7п О. Перрона [193] и <тг Д. М. Гробмана [36] (их определения приведены на с. 237), нижний показатель ф] := Ищ — In ||я(£)||

->■+00 t

О. Перрона [193]; нижний и верхний равномерные показатели

Шц LbM|,

- t—s—t+oo t — S i ,.1Ж11

B\x\ := lim -In . . ч.

П. Боля [179]; нижний и верхний центральные показатели rSSo J™ h £ln - ^ ™I" ■ ^ i J> ~

P. Э. Винограда [21]; верхний особый показатель

П\А) := lim —sup ln ||X((k + 1 )T, kT)||,

Т—Я-оо I к введенный впервые П. Бол ем [179], и, много позднее, но независимо от него, К. П. Персидским [120] (см. также [37]); экспоненциальные показатели

Н. А. Изобова [56,61,65]; свойство интегральной разделенности решений системы (0.6) (Б. Ф. Былов, [16]), заключающееся в существовании ФСР rci(-),. ,жп(-) этой системы, для которой при всех t ^ s выполняются неравенства

HWQII . IM0II - dcclt-s) к, . с некоторыми положительными постоянными с и d\ и многие-многие другие.

Огромное разнообразие асимптотических инвариантов линейных систем приводит к задаче об управлении не только отдельными инвариантами преобразований Ляпунова, а сразу всей их совокупностью.

Определение 0.8 [97]. Система (0.5) обладает свойством глобальной ляпуновской приводимости, если для любой системы z = F(t)z, z £ Rn, te R, (0.11) принадлежащей множеству J\4n систем с ограниченными и кусочно непрерывными коэффициентами, существует такое кусочно непрерывное и ограниченное управление £/(•), что система (0.5) с этим управлением асимптотически эквивалентна системе (0.11).

Ясно, что если система (0.5) обладает свойством глобальной ляпуновской приводимости, то всякий ее асимптотический инвариант выбором матричного управления £/(•) можно сделать совпадающим с любым допустимым наперед заданным значением (т. е. эта система обладает свойством глобальной управляемости каждого ляпуновского инварианта). Для дискретных систем вопрос о достаточных условиях глобальной ляпуновской приводимости рассматривался В. А. Луньковым в [87]. Некоторые результаты для систем с непрерывным временем были получены В. А. Зайцевым в [47,49-51].

Из результатов о локальной управляемости показателей Ляпунова, т. е. об открытости в точке U{t) = 0 £ Мгап отображения

U (Х\(А + BU),., Хп(А + BU)), вытекает открытость при Q(t) = 0 £ Мп отображения ставящее в соответствие всякой кусочно непрерывной и ограниченной матричной функции Q(-) полный спектр показателей Ляпунова возмущенной системы х = (A(t) + Q(t))x, х £ Rn, teR. (0.12)

С этими результатами тесную связь имеют результаты исследований в задаче об отыскании достижимых границ подвижности показателей системы (0.12), т.е. величин

7к(А) := inf A*(A + Q),

Г*(А) := sup + Q), Q где Q(-) предполагается принадлежащим какому-либо классу малости [18,57]. Наиболее полно изучены границы подвижности вверх старшего показателя Ап. Несколько менее — границы подвижности вниз младшего показателя Ai. Ранее всего был вычислен верхний центральный показатель введенный Р. Э. Виноградом в [21] как оценка сверху для старшего показателя системы (0.12) с малыми возмущениями. Достижимость этой оценки в классе малых возмущений доказана В.М. Миллионщиковым в [107]. Из этих двух работ вытекает, что

П(А) = lim sup{Aп{А + Q) : ||Q||C ^ е}.

S—Ш

В [107] В.М. Миллионщиковым получена также формула для вычисления младшего центрального показателя совпадающего с достижимой нижней границей младшего показателя системы (0.12) в классе малых возмущений. В [153] И. Н. Сергеевым показано, что оба центральных показателя достижимы также в классе бесконечно малых возмущений, т. е. справедливы равенства й(А) =Ы{\1(А + Я) : ^mJIQWII = 0},

Q(A) = sup{AB(A + Q) : Jim ||Q(t)|| = 0}.

Старший сигма-показатель , соответствующий классу сг-возмущений, т. е. возмущений, удовлетворяющих неравенству

IIQWH^iVoe-0*, 0, в котором Nq — положительная константа, зависящая от Q(-), вычислен Н. А. Изобовым в [56]. Старший экспоненциальный показатель Vo(A), соответствующий предельному классу всех экспоненциально убывающих возмущений и играющий важную роль в решении задач Ляпунова об устойчивости по линейному приближению, вычислен Н. А. Изобовым в [61], где получена также и формула для младшего экспоненциального показателя Aq(A).

В [153,156] И. Н. Сергеевым построены достижимые границы подвижности вверх для всех промежуточных показателей при малых и бесконечно малых возмущениях. В работах Н. А. Изобова [58-60] введено понятие минимального показателя линейной дифференциальной системы, представляющего собой достижимую границу подвижности вниз старшего показателя при малых возмущениях, дана формула для его вычисления в случае двумерной системы и оценка снизу в общем случае. В работах И.Н. Сергеева [158-162] вычислен минимальный показатель трехмерной системы, а также найдена достижимая граница подвижности вниз ее промежуточного показателя при малых возмущениях. Ранее в работе [157] И. Н. Сергеевым были полностью вычислены границы подвижности всех показателей линейной дифференциальной системы для возмущений, малых в среднем.

Обобщением задачи о вычислении достижимых границ подвижности показателей является задача о построении спектрального множества линейной дифференциальной системы, т. е. совокупности значений спектрального вектора (Ai(A + Q),., An(A + Q)), принимаемых им на всем множестве систем (0.12) с возмущениями из рассматриваемого класса. Впервые спектральное множество было полностью вычислено в работе М. И. Рахимбердиева и Н. X. Розова [150] для стационарной системы с малыми в среднем периодическими возмущениями. Спектральные множества систем с гробмановскими возмущениями вычислялись Н. А. Изобовым в [63,64]. Ряд результатов о спектральных множествах линейных сингулярных систем с экспоненциальными возмущениями получен в работах Н. А. Изобова и С. Г. Красовского [67,77,187]. Для случая малых возмущений весьма серьезные продвижения достигнуты в работах М. И. Рахимбердиева [144-149].

Вычисление точных границ характеристических показателей и построение спектральных множеств линейных дифференциальных систем с ограниченными возмущениями, не являющимися малыми, но удовлетворяющими некоторым дополнительным ограничениям, производилось в работах С. А. Гришина [34], Н. А. Изобова [62], Н. А. Изобова и Т.Е. Зверевой [66], А. Г. Суркова [166-169].

В заключение обзорной части введения отметим, что задачами стабилизации различных систем при различных предположениях в разное время занимались Э. Г. Альбрехт [2], П. Бруновский [20], С. А. Гришин и Н.Х. Розов [35], С. А. Гришин [34], Ю.Ф. Долгий [40], Л.Е. Забел-ло [43,45], В. А. Зайцев [49], Н. Н. Красовский [72-75], В.Н. Лаптин-ский [83], Г. А. Леонов [85], В. А. Луньков и Е. Л. Тонков [86], С. А. Нефедов и Ф. А. Шолохович [113], Ю. С. Осипов [73,119], И.Н. Сергеев [155] Е. Я. Смирнов [165], Е. Л. Тонков [175], Ф. А. Шолохович [178], R. Brockett [180], С. Е. Langenhop [192] и другие авторы. Некоторые утверждения об управлении мультипликаторами периодических систем получены В. Н. Лаптинским в работах [81,82]. Задачи управления приводимостью и правильностью решались Е. Я. Смирновым в [164, с. 33] и И. В. Гайшуном в [30, с. 310-311]. * *

Диссертация состоит из введения, четырех глав, включающих двадцать семь параграфов (нумерация параграфов сквозная), и списка литературы.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Попова, Светлана Николаевна, 2004 год

1. Адрианова Л. Я. Введение в теорию линейных систем дифференциальных уравнений: Учеб. пособие.— С.-Петербург: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 1992.— 240 с.

2. Альбрехт Э. Г. Об оптимальной стабилизации нелинейных систем // Прикл. матем. и мех.— 1961. — Т. 25, вып. 5.— С. 836-844.

3. Андреев Ю.Н. Алгебраические методы пространства состояний в теории управления линейными объектами (Обзор зарубежной литературы) // Автоматика и телемеханика.— 1977. — № 3. — С. 5 50.

4. Аносов Д. В. Гладкие динамические системы. Исходные понятия // Итоги науки и техники. Динамические системы-1.— М.: ВИНИТИ, 1985.—Т. 1.—С. 151-178.

5. Астровский А. И., Гайшун И. В. Управляемость линейных нестационарных систем в классе обобщенных функций конечного по-" рядка // Изв. РАН. Теория и системы управления.— 1998. —№ 2.— С. 24-30.

6. Барабанов Б. А. О крайних показателях Ляпунова линейных систем при экспоненциальных и степенных возмущениях // Дифферент уравнения.— 1984. — Т. 20, № 2. — С. 357.

7. Барабанов Е. А. Точные границы крайних показателей Ляпунова линейных дифференциальных систем при экспоненциальных и степенных возмущениях: Автореферат дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. / Бел. гос. ун-т.— Минск, 1984.— 14 с.

8. Барабанов Е.А., Вишневская О. Г. Точные границы показателей Ляпунова линейной дифференциальной системы с интегрально ограниченными на полуоси возмущениями // Докл. АН Беларуси. — 1997. — Т. 41, № 5.— С. 29-34.

9. Беклемишев Д. В. Дополнительные главы линейной алгебры.— М.: Наука, 1983.— 336 с.

10. Богданов Ю. С. К теории систем линейных дифференциальных уравнений //Докл. АН СССР. —1955. — Т. 104, № 6. —С. 813-814.

11. Богданов Ю. С. Характеристические числа систем линейных дифференциальных уравнений//Матем. сборник.— 1957. — Т. 41, № 4.— С. 481-498.

12. Богданов Ю.С. Асимптотические характеристики решений линейных дифференциальных систем // Тр. 4-го Всесоюз. матем. съезда, 1961: В 2 т. / АН СССР.— М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1964.— Т. 2.— С. 424-432.

13. Богданов Ю. С. Об асимптотически эквивалентных линейных дифференциальных системах // Дифференц. уравнения.— 1965.Т. 1, №6 — С. 707-716.

14. Богданов Ю.С., Мазаник С. А. Преобразования Ляпунова линейных дифференциальных систем // Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений: Сб. науч. тр.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988.—С. 9-13.

15. Борухов В. Т. К вопросу о необходимых условиях управляемости для линейных нестационарных динамических систем // Весщ АН БССР. Сер. ф1з.-мат. навук.— 1979. — № 6.— С. 27-30.

16. Былов Б. Ф. О приведении системы линейных уравнений к диагональному виду // Матем. сборник.— 1965. — Т. 67(109), № 3.— С. 338-344.

17. Былов Б. Ф. Обобщение теоремы Перрона // Дифференц. уравнения.— 1965. — Т. 1, № 12.— С. 1597-1600.

18. Былов Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости.— М.: Наука, 1966.— 576 с.

19. Былов Б. Ф., Изобов Н. А. Необходимые и достаточные условия устойчивости характеристических показателей линейной системы // Дифференц. уравнения.— 1969. — Т. 5, № 10.—С. 1794-1803.

20. Бруновский П. О стабилизации линейных систем при определенном классе постоянно действующих возмущений // Дифференц. уравнения.— 1966. — Т. 2, № 6.— С. 769-777.

21. Виноград Р. Э. О центральном характеристическом показателе системы дифференциальных уравнений // Матем. сборник.— 1957.Т. 42, №2.—С. 207-222.

22. Виноград Р. Э., Изобов Н. А. Решение задачи Ляпунова об устойчивости по первому приближению // Дифференц. уравнения.— 1970. — Т. 6, № 2.— С. 230-242.

23. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Качественная теория оптимальных процессов.— М.: Наука, 1971.— 508 с.

24. Гайшун И. В. Синтез Q -приводимых линейных нестационарных систем // Докл. НАН Беларуси. — 1998. — Т. 42, № 3. — С. 5-8.

25. Гайшун И. В. Существование канонических форм линейных нестационарных систем управления относительно экспоненциальнойгруппы // Дифференц. уравнения.— 1998. — Т. 34, № 6.— С. 727-734.

26. Гайшун И. В. Канонические формы, управление показателями Ляпунова и стабилизируемость линейных нестационарных систем // Изв. РАН. Теория и системы управления.— 1998. — № 6.— С. 2432.

27. Гайшун И. В. Управляемость характеристическими векторами линейных нестационарных систем // Дифференц. уравнения.— 1999. — Т. 35, № 1.— С. 24-29.

28. Гайшун И. В. О канонических формах линейных нестационарных систем управления // Труды Института математики НАН Беларуси. Минск.— 1999. — Т. 2. — С. 58-62.

29. Гайшун И. В. Канонические формы линейных нестационарных систем управления относительно различных групп преобразований // Автоматика и телемеханика.— 1999. — №2.— С.11-18.

30. Гайшун И. В. Введение в теорию линейных нестационарных систем.— Минск: Ин-т математики НАН Беларуси, 1999.— 409 с.

31. Гайшун И. В., Изобов Н. А. Исследования в Институте математики НАН Беларуси по дифференциальным и многопараметрическим системам // Весщ АН БССР. Сер. ф1з.-мат. навук.— 1998. — № 4.С.5-19.

32. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.— М.: Наука, 1967.— 576 с.

33. Гомес X. А. Стабилизация неустойчивых положений равновесия линейных управляемых ситем // Дифференц. уравнения.— 1983.Т. 19, №9.— С. 1644-1645.

34. Гришин С. А. Некоторые вопросы управления и устойчивости линейных систем // Дифференц. уравнения.— 1982. — Т. 18, № 11.С.1862-1869.

35. Гришин С. А., Розов Н. X. Метод поворотов решений в задаче стабилизации неустойчивых положений равновесия // Автоматика и телемеханика.— 1975. — № 12.— С. 18-26.

36. Гробман Д. М. Характеристические показатели систем, близких к линейным // Матем. сборник.—1952. — Т. 30, № 1. —С. 121-166.

37. Далецкий Ю. Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.— М.: Наука, 1970.—536 с.

38. Д'Анжело Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез.— М.: Машиностроение, 1974.— 287 с.

39. Демидович В. П. Лекции по математической теории устойчивости.— М.: Наука, 1967.— 472 с.

40. Еругин Н. П. Приводимые системы//Труды матем. ин-та АН СССР— М., 1946.— Т. 13.— 96с.

41. Забелло Л.Е. Об управляемости линейных нестационарных систем // Автоматика и телемеханика.— 1973. — № 8.— С. 13-19.

42. Забелло Л. Е. К теории управляемости нестационарных систем // Докл. АН БССР.— 1980. — Т. 24, № 6.— С. 497-499.

43. Забелло Л. Е., Мамрилла Ю. К управляемости линейной нестационарной системы // Вестн. Белорус, ун-та. Сер. 1. Физика. Математика. Механика. — 1980. — № 2.— С. 30-33.

44. Забелло Л.Е. Об управлении показателями Ляпунова в линейных непрерывных системах // Вестн. Белорус, ун-та. Сер. 1. Физика. Математика. Механика.— 1985. — № 2.— С. 55-58.

45. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. Метод пространства состояний.— М.: Мир, 1970.— 703 с.

46. Зайдев В. А. Согласованность и управление показателями Ляпунова // Известия Института математики и информатики УдГУ. Ижевск.— 1999. — Вып. 2(17).— С. 3-40.

47. Зайдев В. А., Тонков Е. Л. Достижимость, согласованность и метод поворотов В. М. Миллионщикова // Известия вузов. Математика.—1999. — № 2(441).— С. 60-67.

48. Зайдев В. А. Об управлении показателями Ляпунова и о А-приводимости // Вестник Удмуртского ун-та.— 2000. — № 1.— С. 3544.

49. Зайдев В. А. Согласованность, достижимость и управление показателями Ляпунова: Дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02.— Ижевск, 2000.— 102 с.

50. Зайдев В. А. Глобальная достижимость и глобальная ляпу-новская приводимость двумерных и трехмерных линейных управляемых систем с постоянными коэффициентами // Вестник Удмуртского ун-та. Серия "Математика". — 2003. — С. 31 -62.

51. Иванов А. Г. Линейные управляемые системы в пространстве Степанова.— Свердловск, 1985.— 32 с.— (Препринт / АН СССР.Уральский научный центр. Физико-технический институт).

52. Иванов А. Г., Тонков Е. JI. О равномерной локальной управляемости линейной системы // Дифференц. уравнения.— 1992. — Т. 28, № 9.— С. 1499-1507.

53. Иванов А. Г., Тонков Е. JT. Методы топологической динамики в задаче о равномерной локальной управляемости // Докл. РАН. — 1995. — Т. 340, № 4.— С. 467-469.

54. Изобов Н.А. О множестве нижних показателей линейной дифференциальной системы // Дифференц. уравнения.— 1965. —Т. 1, №4.—С. 469-477.

55. Изобов Н. А. О старшем показателе линейной системы с экспоненциальными возмущениями // Дифференц. уравнения.— 1969. — Т. 5, №7.—С. 1186-1192.

56. Изобов Н. А. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Итоги науки и техн. Мат. анализ. — М.: ВИНИТИ, 1974.— Т. 12. — С. 71-146.

57. Изобов Н. А. Минимальный показатель двумерной диагональной системы // Дифференц. уравнения.— 1976. — Т. 12, № 11.— С. 1954-1966.

58. Изобов Н. А. Минимальный показатель двумерной линейной дифференциальной системы // Дифференц. уравнения.— 1977. — Т. 13, № 5.— С. 848-858.

59. Изобов Н. А. Оценка снизу для минимального показателя линейной системы // Дифференц. уравнения.— 1978. — Т. 14, №9.— С. 1576-1588.

60. Изобов Н.А. Экспоненциальные показатели линейной системы и их вычисление // Докл. АН БССР.—1982. — Т. 26, № 1.— С. 5-8.

61. Изобов Н. А. Верхняя граница показателей Ляпунова дифференциальных систем с возмущениями высшего порядка // Докл. АН БССР. — 1982. — Т. 26, № 5.— С. 389-392.

62. Изобов Н. А. О характеристических показателях линейных систем с гробмановскими возмущениями // Дифференц. уравнения.— 1991. — Т. 27, №3.— С. 428-437.

63. Изобов Н. А. О существовании гробмановских спектральных множеств линейных систем положительной меры // Дифференц. уравнения.— 1991. — Т. 27, № 6.— С. 953-957.

64. Изобов Н. А. Исследования в Беларуси по теории характеристических показателей Ляпунова и ее приложениям // Дифференц.уравнения.— 1993. — Т. 29, № 12.— С. 2034-2055.

65. Изобов Н. А., Зверева Т. Е. Спектр характеристических показателей Ляпунова двухмерной стационарной системы при возмущениях-поворотах //Дифференц. уравнения.— 1981. — Т. 17, № 11.— С. 1964-1977.

66. Изобов Н. А., Красовский С. Г. О существовании линейной сингулярной системы с неограниченным по мере экспоненциальным характеристическим множеством // Дифференц. уравнения.— 1998. — Т. 34, №8.—С. 1049-1055.

67. Калман Р., Фал б П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем.— М.: Мир, 1971.— 400 с.

68. Кострикин А. И. Введение в алгебру.— М.: Наука, 1977.— 496 с.

69. Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений.— М.: Гостехиздат, 1956.— 392 с.

70. Красовский Н.Н. К теории оптимального регулирования // Прикл. матем. и мех.— 1959. — Т. 23, вып. 4. — С. 625-639.

71. Красовский Н.Н. О стабилизации неустойчивых движений дополнительными силами при неполной обратной связи // Прикл. матем. и мех.— 1963. — Т. 27, вып. 4.— С. 641-663.

72. Красовский Н.Н., Осипов Ю. С. О стабилизации движений управляемого объекта с запаздыванием в системе регулирования // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика.— 1963, № 6. — С. 3-15.

73. Красовский Н. Н. Проблемы управляемости, наблюдаемости и стабилизируемости динамических систем // Тр. II Всесоюз. съезда по теор. и прикл. механике, 1964: Обз. докл. Вып. I.— М.: Наука, 1965.— С. 77-93.

74. Красовский Н. Н, Проблемы стабилизации управяемых движений: Дополнение IV // Малкин И. Г. Теория устойчивости движения — М.: Наука, 1966. — С. 475-514.

75. Красовский Н. Н. Теория управления движением.— М.: Наука, 1968.—476 с.

76. Красовский С. Г. О спектральном множестве линейной сингулярной системы с совпадающими показателями // Весщ АН БССР. Сер. ф1з.-мат. навук.— 1999. — № 3.— С. 10-15.

77. Крылов А. Н. О численном решении уравнения, которым в технических вопросах определяются частоты колебаний материальных систем // Изв. АН СССР. Серия физ.-мат.— 1931. — С. 491-539.

78. Култышев С.Ю., Тонкое Е. JI. Управляемость линейной нестационарной системы // Дифференц. уравнения.— 1975. — Т. 11, № 7.— С. 1206-1216.

79. Ланкастер П. Теория матриц.— М.: Наука, 1978.— 280 с.

80. Лаптинский В. Н. Об одном способе стабилизации линейных периодических систем управления // Весщ АН БССР. Сер. ф1з.-мат. на-вук.— 1988. — № 5.— С. 14-18.

81. Лаптинский В. Н. Проекционный метод решения задачи стабилизации периодической системы управления // Докл. АН БССР.— 1988. — Т. 32, №8.— С. 681-684.

82. Лаптинский В. Н. Оптимальная стабилизация периодических систем управления // Дифференц. уравнения.— 1988. — Т. 24, № 12.— С. 2075-2083.

83. Леваков А. А. К управляемости линейных нестационарных систем // Дифференц. уравнения.— 1987. — Т. 23, № 5.— С. 798-806.

84. Леонов Г. А. Проблема Брокетта в теории устойчивости линейных дифференциальных уравнений // Алгебра и анализ.— 2001. -— Т. 13, вып. 4.—С. 134-155.

85. Луньков В. А., Тонков Е. Л. О стабилизации нестационарной системы // Автоматика и телемеханика.— 1974. — № 12.— С. 19 — 23.

86. Луньков В. А. О полной приводимости линейной системы управления // Известия Института математики и информатики УдГУ. Ижевск.— 1996. — Вып. 2(8).—С. 15-25.

87. Ляпунов А. М. Собр. соч.: В 6 т.— М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1956.— Т. 2.— 473 с.

88. Мазаник С. А. Преобразования Ляпунова линейных дифференциальных систем: Дис. . докт. физ.-мат. наук: 01.01.02.— Минск, 1999.—216 с.

89. Макаров Е. К. О дискретности асимптотических инвариантов линейных дифференциальных систем // Дифференц. уравнения.— 1998. — Т. 34, №10.—С. 1322-1331.

90. Макаров Е. К., Попова С.Н. О локальной управляемости характеристических показателей Ляпунова систем с некратными показателями // Дифференц. уравнения.— 1997. — Т. 33, № 4.— С. 495499.

91. Макаров Е. К., Попова С.Н. К методу поворотов для линейных управляемых систем // Докл. НАН Беларуси.— 1998. — Т. 42, №6.—С. 13-16.

92. Макаров Е. К., Попова С.Н. О глобальной управляемости полной совокупности ляпуновских инвариантов двумерных линейных систем // Дифференц. уравнения.— 1999. — Т. 35, № 1.— С. 97-106.

93. Макаров Е. К., Попова С.Н. О глобальной управляемости центральных показателей линейных систем // Известия вузов. Математика.— 1999. — № 2(441).— С. 60-67.

94. Макаров Е. К., Попова С. Н. Управляемость ляпуновских инвариантов линейных дифференциальных систем // Дифференц. уравнения.— 2001. — Т. 37, № 8.— С. 1146.

95. Макаров Е. К., Попова С. Н. О нормальности расчлененных ФСР линейных дифференциальных систем с устойчивыми показателями // Дифференц. уравнения.— 2002. — Т. 38, № 11.— С. 15761577.

96. Макаров Е. К., Попова С.Н. О достаточных условиях локальной пропорциональной управляемости показателей Ляпунова линейных систем // Дифференц. уравнения.— 2003. — Т. 39, №2.— С. 217-226.

97. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения— 2-е изд.— М: Наука, 1966.—532 с.

98. Массера X. JT. К теории устойчивости // Математика. Пери-одич. сб. переводов иностр. статей.— 1957. — Т. 1, JV5 4.— С. 81-101.

99. Миллионщиков В. М. Асимптотика решений линейных систем с малыми возмущениями // Докл. АН СССР.— 1965. — Т. 162, №2.—С. 266-268.

100. Миллионщиков В. М. О связи между устойчивостью характеристических показателей и почти приводимостью систем с почти периодическими коэффициентами // Дифференц. уравнения.— 1967. — Т.З, №12.— С. 2127-2134.

101. Миллионщиков В. М. Метрическая теория линейных систем дифференциальных уравнений//Матем. сборник.— 1968. — Т. 77, №2.—С. 163-173.

102. Миллионщиков В. М. Критерий малого изменения направлений решений линейной системы дифференциальных уравнений при малых возмущениях коэффициентов системы // Матем. заметки.— 1968. — Т. 4, вып. 2.— С. 173-180.

103. Миллионщиков В. М. Системы с интегральной разделенно-стью всюду плотны в множестве всех линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.— 1969. — Т. 5, №7.— С. 1167-1170.

104. Миллионщиков В. М. Грубые свойства линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.— 1969. — Т. 5, №10.— С. 1775-1784.Письмо в редакцию // Дифференц. уравнения.— 1970. — Т. 6, №8.— С.1532.

105. Миллионщиков В. М. Доказательство достижимости центральных показателей линейных систем // Сиб. матем. журн.— 1969.Т. 10, № 1.— С. 99-104.

106. Минюк С. А. К теории полной управляемости линейных нестационарных систем // Дифференц. уравнения.— 1990. — Т. 26, № 3.С. 414-420.

107. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений.— M.-JL: Гостехиздат, 1949.— 550 с.

108. Нефедов С. А., Шолохович Ф. А. Критерий стабилизируемое™ динамических систем с конечномерным входом // Дифференц. уравнения.— 1986. — Т. 22, № 2.— С. 223-228.

109. Нурматов А. М. Об экспоненциальных показателях треугольной системы и ее диагонального приближения // Дифференц. уравнения.— 1987. — Т. 23, № 5.— С. 814-818.

110. О ленчиков Д. М. Показатели Ляпунова импульсных систем // Известия Института математики и информатики УдГУ. Ижевск.— 1996. — Вып. 2(8).— С. 69-84.

111. Оленчиков Д. М. Импульсное управление показателями Ляпунова // Дифференц. уравнения.— 1997. — Т. 33, № 11.— С. 1576.

112. Оленчиков Д. М. Импульсное управление показателями Ляпунова. I // Фундам. и прикл. матем.— 2002. — Т. 8, № 1. — С. 151 -169.

113. Оленчиков Д. М. Импульсное управление показателями Ляпунова. II // Фундам. и прикл. матем.— 2002. — Т. 8, №2.— С. 171185.

114. Осипов Ю. С. О стабилизации управляемых систем с запаздыванием // Дифференц. уравнения.— 1965. —Т. 1, К2 5. — С. 605-618.

115. Персидский К. П. Об устойчивости движения по первому приближению // Матем. сборник. — 1933. — Т. 40, № 3.— С. 284-292.

116. Попов В. М. Гиперустойчивость автоматических систем.— М.: Наука, 1970.—335 с.

117. Попова С. Н. К вопросу об управлении показателями Ляпунова // Вестник Удмуртского ун-та.— 1992. — К21.— С. 23-39.

118. Попова С.Н. Задачи управления показателями Ляпунова: Дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02.— Ижевск, 1992.— 103с.

119. Попова С. Н. Управление показателями Ляпунова // Успехи матем. наук.— 1994. — Т. 49, № 4 (298).— С. 140.

120. Попова С.Н., Тонков Е. Л. Управление показателями Ляпунова согласованных систем. I // Дифференц. уравнения.— 1994. — Т. 30, № 10.— С. 1687-1696.

121. Попова С.Н., Тонков Е. Л. Управление показателями Ляпунова согласованных систем. II // Дифференц. уравнения.— 1994. — Т. 30, № 11.— С. 1949-1957.

122. Попова С.Н., Тонков Е. Л. Управление показателями Ляпунова согласованных систем. III // Дифференц. уравнения.— 1995. —Т. 31, №2.—С. 228-238.

123. Попова С.Н., Тонкое Е. JI. К вопросу о равномерной согласованности линейных систем // Дифференц. уравнения.— 1995. — Т. 31, № 4.— С. 723-724.

124. Попова С.Н., Тонков Е. Л. Равномерная управлемость показателей Ляпунова // Успехи матем. наук.— 1995. — Т. 50, № 4 (302).С. 108-109.

125. Попова С. Н., Тонков Е. Л. Согласованные системы и управление показателями Ляпунова // Дифференц. уравнения.— 1997. — Т. 33, №2.—С. 226-235.

126. Попова С. Н. О связи между различными видами управляемости асимптотических характеристик линейных систем // Дифференц. уравнения.— 2001. — Т. 37, № 6.— С. 850-851.

127. Попова С.Н. О глобальной управляемости полной совокупности ляпуновских инвариантов периодических систем // Известия Института математики и информатики УдГУ. Ижевск.— 2002. — Вып. 2 (25).—С. 79-80.

128. Попова С.Н. Об эквивалентности локальной достижимости и полной управляемости линейных систем // Известия вузов. Математика.—2002. — №6(481).—С. 50-53.

129. Попова С. Н. К свойству локальной достижимости линейных управляемых систем // Дифференц. уравнения.— 2003. — Т. 39, № 1.С. 50-56.

130. Попова С.Н. Об управлении коэффициентами неправильности линейных систем // Дифференц. уравнения.— 2003. — Т. 39, № 6.С. 858-859.

131. Попова С.Н. К свойству пропорциональной управляемости ляпуновских инвариантов линейных систем // Дифференц. уравнения.2003. — Т. 39, № 11.— С. 1578-1579.

132. Попова С.Н. Глобальная управляемость полной совокупности ляпуновских инвариантов периодических систем // Дифференц. уравнения. — 2003. — Т. 39, № 12.— С. 1627-1636.

133. Попова С.Н. Глобальная приводимость линейных управлявмых систем к системам скалярного типа // Дифференц. уравнения.— 2004. — Т. 40, № 1.— С. 41-46.

134. Попова С. Н. Одновременная локальная управляемость спектра и коэффициента неправильности Ляпунова правильных систем // Дифференц. уравнения. — 2004. — Т. 40, № 3.— С. 425-428.

135. Прохорова Р. А. О сведении линейных конечно-разностных уравнений к дифференциальным // Дифференц. уравнения.— 1989. — Т. 25, №5.—С. 780-785.

136. Рахимбердиев М. И. О линейных системах, связанных отношением почти приводимости с системами скалярного типа // Дифференц. уравнения,— 1977. — Т. 13, № 4.— С. 616-625.

137. Рахимбердиев М. И. Об условиях непрерывности старшего показателя линейного расширения динамической системы // Дифференц. уравнения.— 1988. — Т. 24, № 4.— С. 591-600.

138. Рахимбердиев М. И. Критерий экспоненциальной разделен-ности линейной системы // Дифференц. уравнения.— 1994. — Т. 30, №7.—С. 1279-1281.

139. Рахимбердиев М. И. Положительность и экспоненциальная разделенность семейства автоморфизмов векторного расслоения // Дифференц. уравнения.— 1999. — Т. 35, № 1.— С. 121-124.

140. Рахимбердиев М. И. Применение теории положительных операторов в исследовании грубых свойств линейной дифференциальной системы // Труды Института математики НАН Беларуси. Минск. — 2000. — Т. 4.—С. 136-139.

141. Рахимбердиев М. И., Розов Н. X. Распределение показателей Ляпунова линейных систем с периодическими коэффициентами, близкими в среднем к постоянным // Дифференц. уравнения.— 1978.Т. 14, №9.— С. 1710-1714.

142. Родина Л. И., Тонков Е. Л. Условия полной управляемости нестационарной линейной системы в критическом случае // Кибернетика и системный анализ (в печати).

143. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ.— М.: Мир, 1973.— 469 с.

144. Сергеев И. Н. Точные верхние границы подвижности показателей Ляпунова системы дифференциальных уравнений и поведение показателей при возмущениях, стремящихся к нулю на бесконечности // Дифференц. уравнения.— 1980. — Т. 16, № 3.— С. 438-448.

145. Сергеев И. Н. Инвариантность центральных показателей относительно возмущений, стремящихся к нулю на бесконечности // Дифференц. уравнения.— 1980. — Т. 16, № 9.— С. 1719.

146. Сергеев И. Н. Вопросы стабилизируемости и дестабилизируемое™ линейных систем малыми в среднем линейными возмущениями // Дифференц. уравнения.— 1982. — Т. 18, № 11.— С. 2012-2013.

147. Сергеев И. Н. К теории показателей Ляпунова линейных систем дифференциальных уравнений // Труды семинара им. И. Г. Петровского.— 1983. — Вып. 9.— С. 111 -166.

148. Сергеев И. Н. Точные границы подвижности показателей Ляпунова линейных систем при малых в среднем возмущениях // Труды семинара им. И. Г. Петровского.— 1986. — Вып. 11.— С. 32-73.

149. Сергеев И. Н. Оценка снизу для минимального показателя трехмерной системы // Дифференц. уравнения.— 1999. — Т. 35, № 10.С. 1387-1397.

150. Сергеев И. Н. Формула для минимального показателя диагональной трехмерной системы // Дифференц. уравнения.— 1999. — Т. 35, № 11.— С. 1576.

151. Сергеев И. Н. Метод поворотов и сингулярные числа трехмерных систем//Дифференц. уравнения.— 1999. — Т. 35, №12.— С. 1630-1639.

152. Сергеев И.Н. Оценка сверху для минимального показателя трехмерной системы // Дифференц. уравнения.— 2000. — Т. 36, № 1.— С. 114-123.

153. Сергеев И. Н. Формула для вычисления минимального показателя трехмерной системы // Дифференц. уравнения.— 2000. — Т. 36, №3.—С. 345-354.

154. Смирнов Е. Я. О стабилизации нестационарных линейных управляемых систем // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика.— 1970. —5.—С. 182-190.

155. Смирнов Е. Я. Некоторые задачи математической теории управления.— JT.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981.— 298 с.

156. Смирнов Е.Я. Стабилизация программных движений.— С.Петербург: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 1997.— 308 с.

157. Сурков А. Г. Точные верхняя и нижняя границы характеристических показателей двумерной системы с ограниченными возмущениями // Дифференц. уравнения.—1983. — Т. 19, № 9. — С. 1534-1541.

158. Сурков А. Г. Точные нижняя и верхняя границы старшего и младшего характеристических показателей двумерной системы с ограниченными возмущениями // Дифференц. уравнения.— 1983. — Т. 19, № 12.— С. 2065-2071.

159. Сурков А. Г. Точные границы характеристических показателей линейных систем второго порядка с ограниченными возмущениями // Дифференц. уравнения. — 1984. — Т. 20, № 5.— С. 792-797.

160. Сурков А. Г. О спектральном множестве линейных систем второго порядка с ограниченными возмущениями.— Минск, 1984.— 43 е.— (Препринт / АН БССР. Ин-т математики; № 22(207)).

161. Тонков Е. Л. Замечание об управляемости линейной периодической системы //Дифференц. уравнения.— 1978. — Т. 14, №9.— С. 1715-1717.

162. Тонков Е. Л. Критерий равномерной управляемости и стабилизация линейной рекуррентной системы // Дифференц. уравнения.— 1979. — Т. 15, №10.—С. 1804-1813.

163. Тонков Е. Л. О множестве управляемости линейного уравнения // Дифференц. уравнения.— 1983. — Т. 19, № 2. — С. 269-278.

164. Тонков Е. Л. К теории линейных управляемых систем: Дис. . докт. физ.-мат. наук: 01.01.02.— Свердловск, 1983.— 267 с.

165. Тонков Е. Л. Задачи управления показателями Ляпунова // Дифференц. уравнения.— 1995. — Т. 31, № 10.— С. 1682-1686.

166. Тонков Е. Л. Ляпуновская приводимость линейной системы, стабилизация и управление показателями Изобова // Труды Института математики НАН Беларуси. Минск.— 2000. — Т. 4.— С. 146-155.

167. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ.— М.: Мир, 1989. — 655 с.

168. Шилов Г. Е. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства.— М.: Наука, 1969.— 432 с.

169. Шолохович Ф. А. Об управляемости в гильбертовом пространстве // Дифференц. уравнения.— 1967. —Т. 3, № 3. — С. 479-484.

170. Bohl P. Uber Differentialgleichungen // J. reine und angew. Math.1913. — Bd. 144.— S. 284-318.

171. Brockett R. A stabilization problem // Open Problems in Mathematical Systems and Control Theory.— London: Springer, 1999.— P. 7578.

172. Brunovsky P. Controllability and linear closed-loop controls in linear periodic systems // J. of Different. Equat.— 1969. — Vol. 6, № 3.— P. 296-313.

173. Chang A. An algebraic characterization of controllability // IEEE Trans, on Automat. Control.— 1965. — Vol. AC-10, № 1.— P. 112-113.

174. Colonius P., Kliemann W. Minimal and maximal Lyapunov exponents of bilinear control systems // J. of Different. Equat.— 1993. — Vol. 101, №2.—P. 232-275.

175. Colonius P., Kliemann W. The Lyapunov spectrum of families of time-varying matrices // Trans. Amer. Math. Soc.— 1996. — Vol. 348.P. 1389-1408.

176. Colonius P., Kliemann W. Lyapunov exponents of control flows // Lyapunov exponents / Ed. L. Arnold, H. Crauel, J.-P. Eckmann.Berlin: Springer-Verlag, 1991.— P. 331-365.— (Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1486).

177. Ikeda M., Maeda H., Kodama S. Stabilization of linear systems // SIAM J. Contr.— 1972. — Vol. 10, № 4.— P. 716-729.

178. Izobov N.A., Krasovski S. G. On existence of a measure unbounded exponential spectral quantization on symplectic manifolds // Mem. Differential Equations Math. Phys.— 1998. — Vol. 13.— P. 140-144.

179. Kalman R. E. Contribution to the theory of optimal control // Boletin de la Sociedad Matematika Mexicana.— 1960. — Vol.5, №1.— P. 102-119.

180. Kalman R.E., Ho Y. C., Narendra K.S. Controllability of linear dynamical systems // Contr. Different. Equat.— 1963. — Vol. 1.— P. 189-213.

181. Kreindler E., Sarachik P. On the concepts of controllability and observability of linear systems // IEEE Trans, on Automatic Control.1964. — Vol. AC-9, № 2.— P. 129-136.

182. Langenhop C.E. On the stabilization of linear systems // Proc. Amer. Math. Soc.— 1964. — Vol. 15, № 5.— P. 735-742.

183. Perron O. Die Ordnungszahlen der Differentialgleichungssysteme // Math. Zeitschr.— 1929. — Bd. 31, h. 5.— S. 748-766.

184. Popov V. M. Hyperstability and optimality of automatic systems with several control functions // Rev. Roumaine. Sci. Techn., Electrotechn. et Energ.— 1964. — Vol. 9, № 4.— P. 629-690.

185. Tonkov E. L. Uniform attainability and Lyapunov reducibility of bilinear control system // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. Suppl. 1. — 2000. — P. S228-S253.

186. Vinograd R. E. Simultaneous attainability of central Lyapunov and Bohl exponents for ODE linear systems // Proc. Amer. Math. Soc.— 1983. — Vol. 88, № 4.— P. 595-601.

187. Weiss L. The concepts of differential controllability and differential observability // Journ. of Math. Anal, and Appl.— 1965. — Vol. 10, №2.—P. 442-449.

188. Wolovich W. A. On the stabilization of controllable system // IEEE Trans, on Automatic Control. — 1968. — Vol. AC-13, № 5. — P. 569572.

189. Wonham W. M. On pole assignment in multi-input controllable linear systems // IEEE Trans, on Automat. Control.— 1967. —Vol. AC-12, № 6.— P. 660-665.