Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных систем при специальных возмущениях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Сурин, Татьяна Леонидовна

• Сурин, Татьяна Леонидовна
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сурин, Татьяна Леонидовна

Введение

Список обозначений

Глава I. Асимптотические свойства систем Лаппо

Данилевского.

§ I.I. Общие сведения о системах Лаппо-Данилевского

§ 1.2. Показатели систем с функционально-коммутативной матрицей коэффициентов

§ 1.3. Показатели систем Лаппо-Данилевского с консервативной матрицей коэффициентов.

§ 1.4. Приводимость правильных систем Лаппо-Данилевского к блочно-диагональному виду

§ 1.5. Правильные системы Лаппо-Данилевского

Глава 2. - возмущения линейных дифференциальных систем.

§ 2.1. Неустойчивость показателей правильных линейных систем при -возмущениях

§ 2.2. Асимптотические инварианты систем Лаппо

Данилевского при ^Р -возмущениях.

§ 2.3. Влияние замены времени на показатели Ляпунова линейных дифференциальных систем

§ 2.4. Построение ^Р -возмущений, сохраняющих правильность линейных дифференциальных систем

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных систем при специальных возмущениях»

Многие задачи автоматики и телемеханики, теории колебаний и небесной механики приводят к исследованию систем дифференциальных уравнений с ведущей линейной частью. Одной из основных целей исследования таких систем является изучение асимптотического поведения их решений,

В основе современной асимптотической теории линейных дифференциальных систем лежат исследования А.М.Ляпунова, изложенные в его монографии "Общая задача об устойчивости движения". В этой работе A.M.Ляпуновым разработаны два метода исследования систем дифференциальных уравнений: первый или асимптотический метод Ляпунова и второй или прямой метод Ляпунова.

В основе первого метода Ляпунова лежит понятие характеристического числа. Характеристические числа ( в последнее время чаще привлекаются показатели Ляпунова, которые равны характеристическим числам, взятым с противоположным знаком) используются для выявления асимптотического поведения решений линейных дифференциальных систем. Линейная система не может иметь более кг ненулевых решений с попарно различными показателями [51, с.34] . Фундаментальная система решений линейной системы называется нормальной с.34] , если сумма показателей ее решений минимальна во множестве всех фундаментальных систем. Показатели ^ . - • 4 Xix нормальной упорядоченной системы называют показателями Ляпунова линейной системы или спектром системы. Спектром системы полностью определяется асимптотический характер семейства решений данной системы в смысле установления экспоненциальной устойчивости.

Особый интерес представляет задача нахождения и изучения поведения показателей Ляпунова непосредственно по коэффициентам системы (без построения ее решений). Если исходная линейная система стационарна, то показатели системы равны действительным частям собственных значений матрицы коэффициентов. Если же система не стационарна, то такой связи между показателями Ляпунова и собственными значениями матрицы коэффициентов, вообще говоря, не существует и задача вычисления показателей намного усложняется. В работах [6, 8") получены формулы, позволяющие выражать показатели линейной системы через ее коэффициенты и указаны возмущения системы, не меняющие ее показателей, но практическое применение этих формул затруднено их сложностью и наличием многих предельных переходов.

Основные сведения по теории показателей Ляпунова содержатся в монографии ^23*1 , в обзоре [47 ] , а также в циклах работ В.М.Миллионщикова, Б.Ф.Былова, Н.А.Изобова и др. (см. напр., [18, 24-25, 48, 56-58] ).

Ю.С.Богдановым описан способ распространения метода характеристических чисел Ляпунова на системы с ведущей нелинейной частью [Ю-П, 13-15] .

Показатели Ляпунова, а также другие асимптотические характеристики линейных систем являются инвариантами преобразования Ляпунова [ 51, с.42^ , т.е. преобразования вида X - L> ^ , где матрица Ц (-L.) удовлетворяет условиям upllL(t)H < - ^ , \\L~Xi)l\

•fee [О, + -U[0,+ c>oL о<=> ieto.+ HL

Ik c/t

QO

Существование таких преобразований позволяет, хотя бы в принципе, свести задачу вычисления показателей у исходной системы к аналогичной задаче для упрощенной, в том или ином смысле, системы. Систематическое развитие такого подхода приводит к теории асимптотической эквивалентности систем. Две линейные системы будем называть асимптотически эквивалентными [.12, 9, 16 ] , если существует преобразование Ляпунова, переводящее одну из них в другую. Иногда еще такие системы называют "кинематически подобными" [85, с.9зЗ (см. также [39, 88 , 94-95^ ). В то же время встречаются определения асимптотической эквивалентности, отличные от приведенного (ср. [23, с.12; 38, с.159; 89-90, 92, 98]).

Основной задачей теории асимптотической эквивалентности является разбиение всего множества систем на классы эквивалентных и изучение этих классов.

Простейшим классом являются приводимые системы, т.е. системы, приводимые с помощью преобразования Ляпунова к постоянным [51, с.4з] . А.М.Ляпуновым выделен один важный класс таких систем, а именно системы с периодическими коэффициентами [ 51, с .195] . Дальнейшее развитие теория приводимых систем нашла в работах

Н.П.Еругина [40-44] (см. также [47, 2, 5, 69 ] ).

В 1954 г. Б.Ф.Быловым введено понятие почти приводимости [ 18]. Линейная система X

0.1) называется почти приводимой к системе если для любого > О существует ляпуновсное преобразование ^ - L-gCb) ^ » переводящее ее в систему (B(t) * 0LT(f)) г с выполненным неравенством || || £ и просто почти приводимой, если при этом матрица в(-Ь) оказывается постоянной.

Первая журнальная публикация по почти приводимым системам, названным аппроксимативно подобными, принадлежит Лилло [ 93 . Понятие почти приводимости рефлексивно и транзитивно 18, 93~\ . В.М.Миллионщиковым [57][ установлена несимметричность отношения почти приводимости.

Следующий, более широкий класс, составляют правильные системы. Система называется правильной по Ляпунову [51, с.Зв^, если для нее выполнено равенство

-ь Z. Xl - й™ ~ L dt -О где X i (L =• 1, и ) - показатели Ляпунова,

АС-Ь)- матрица коэффициентов этой системы, О^л - коэффициент неправильности Ляпунова.

Приведем некоторые критерии 'правильности. Критерий Ляпунова [51, с.39] . Для правильности треугольной системы необходимо и достаточно существование у ее диагональных коэффициентов точных интегральных средних значений. Критерий Перрона 96 ] • Для правильности линейной системы необходимо и достаточно,чтобы показатели сопряженной системы были равны по абсолютной величине и противоположны по знаку показателям исходной.

Критерий Басова [4], Богданова [б] , Гробмана [Зб]. Линейная система является правильной тогда и только тогда, когда она обобщенно приводима, т.е. обобщенным преобразованием Ляпунова vj - S Ot) х (S&) кусочно-дифференцируема и преобразуется в систему

Критерий Винограда [ 30 ]. Для правильности линейной системы необходимо и достаточно существование точных показателей у решений некоторой нормальной системы X^tl-fj^W, . X^-t-i] и точных нулевых показателей у синусов углов между решением ХкСЬ)и линейным пространством к-1 предыдущих решений . , .

Из приведенных критериев видно, что для определения правильности системы необходимо знать фундаментальную матрицу решений, за исключением случая треугольной системы.

В последнее время выделены новые классы систем, как, напри

56 , 60] , Н.А.Изобова [29] , 37]. мер, в работах В.М.Миллионщикова Б.Ф.Былова [2l], Б.ЩДемидовича

Основу классификации Ляпунова составляют особенности поведения показателей систем разных классов под действием возмущений. Показатели линейной системы называют устойчивыми, если для любого £ > 0 найдется такое Ъ > О , что всякий показатель X и. Г любой возмущенной системы -tetto.—Ь (0>8)

Ц GlM 11 ^ » удовлетворяет неравенству rrvirt | - <£. Это понятие возникло из работы Перрона [96*] , впервые установившего, что показатели могут быть неустойчивыми. Известно (К.П.Персидский [бб] ), что для устойчивости показателей линейных систем с коэффициентами-функциями слабой вариации по Персидскому достаточна интегральная разделенность характеристических чисел, т.е. показатели приводимых систем устойчивы.

Показатели правильных систем, как показано в работах [28, 29, 31] , в общем случае неустойчивы.

Для оценки реакции неправильных систем на изменение матрицы коэффициентов привлекаются такие характеристики, как коэффициенты неправильности. Коэффициент неправильности С^д был введен ранее. Коэффициент неправильности Перрона [9б] линейной системы есть величина б"п = > где X., S . X*, показатели исходной системы, a juA . . ju^ показатели сопряженной системы d-ь <J

Коэффициент неправильности Гробмана [ 36] линейной системы есть величина = Ln-f т.лх-^Х i + Ъ'?^ » где \i и *b'L суть показатели соответственно I -го столбца фундаментальной матрицы

Ш) и I -ой строки обратной ей матрицы ХН("Ь)* Реализуется Ln-f на матрице Y,("b) » столбцы которой образуют нормальную систему решений [.36^ .

Коэффициенты неправильности строились также Р.А.Прохоровой [70^. В.М.Миллионщиковым введено в рассмотрение асимптотическое число с>„

Все коэффициенты неправильности являются неотрицательными величинами, для них справедливы следующие достижимые неравенства [23, с. 284]

О ^ £ dr ± YL i б'р ^ сУл 4 к сУР и для правильности линейной системы достаточно обращения в нуль хотя бы одного из них.

Показатели системы (0.2) с возмущениями аш $*||й(г)||е^г < «э (о.з) совпадают с показателями системы (0.1) при > C$V [зб] следовательно, и при [б, в] . Н.А.Изобов показал [ 4б| , что при > у исходной и возмущенной двумерных систем совпадают старшие показатели.

Критерий устойчивости показателей линейных систем был получен В.М.Миллионщиковым [ 5в] , Б.Ф.Быловым и Н.А.Йзобовым [24,2б] Для устойчивости показателей линейной системы необходимо и достаточно, чтобы она некоторым ляпуновским преобразованием приводилась к блочно-треугольному виду d рч

77 = Ки"

С= 4im ; U*. - вектор размерности П-*. , - ю. ), причем

I) блоки интегрально разделены, т.е. существуют константы я^с/хэ такие, что

I и (t , *) I"1 > d *'а'u t(-fc, t) || i * Г, К - v5m , где матрица Коши системы d -Ь '

2) для каждого блока верхний ££ и нижний u) ^ центральные показатели совпадают.

Целью настоящей работы является получение формул, позволяющих находить показатели Ляпунова линейных систем Лаппо-Данилев-ского, отличных, от стационарных, по матрице- коэффициентов, т.е. не прибегая к построению решений, изучение правильных систем этого класса, их реакций на специальные возмущения, а также изучение влияния специальных возмущений на показатели Ляпунова линейных дифференциальных систем.

Работы в указанном направлении включены в программу "Дифференциал" Академии Наук BCGP на I98I-I985 г.г. ххх

Диссертация состоит из двух глав, которые разбиты на параграфы. В первой главе "Асимптотические свойства систем Лаппо-Дани-левского" рассмотрена система

-P(th, (0.4)

X € , Р (t) - кусочно-непрерывная, ограниченная матрица Лаппо-Данилевского, т.е. ft ri P(-t) ^ Р(ъ) dnr = ^ olt P(t) . (0.5)

Для систем (0.4) с функционально-коммутативной матрицей коэффициентов получены формулы, по которым можно найти показатели Ляпунова этих систем: bZ -ШчГ(ъ) (i-iX) . где Х-, (."tl U - A, юЛ - собственные значения блоков блочно-треугольной матрицы

С - некоторая постоянная невырожденная матрица. Показано, что аналогичная формула справедлива и для систем с консервативной матрицей Лаппо-Данилевского

Gilt) (в этом случае -собственные значения блоков блочно-диагональной матрицы

Q«U)>.

Доказаны критерии правильности систем с функционально-коммутативной матрицей коэффициентов и систем с консервативной матрицей Cl(t) , а именно: система (I.I) с функционально-коммутативной матрицей коэффициентов (консервативной матрицей GL(t) ) правильна тогда и только тогда, когда существуют -т-fteX 1W где собственные значения матрицы Qt(t) и показатели этой системы можно найти по формуле:

XL - tin ( i- - v^)

L -ь -юо ь теоремы 1.6 и I.10).

Рассмотрен вопрос о канонической структуре матрицы Р It) правильной системы Лаппо-Данилевского. Показано, что если система (0.4) правильная, то существует Т ^ "t0 такое, что матрица Pit) ПРИ "Ь постоянным преобразованием приводима к блочно-диагональному виду, где размерность диагональных блоков равна кратности показателей системы (0.4) (теорема I.II). Приведен пример, подтверждающий существенность требования в условии теоремы правильности системы (0.4). Получены формулы, по которым можно находить показатели правильной системы Лаппо-Данилевского, не прибегая к построению фундаментальной матрицы решений \ к**. rReXiU)

L -Ь г где - собственные значения матрицы .

Доказан критерий правильности систем Лаппо-Данилевского: для правильности системы (0.4) необходимо и достаточно, чтобы существовали Т Ъ "Ьо и постоянное преобразование С , приводящее матрицу pit) при t Ъ \ к блочно-диагональному виду р« ш такому, что будет справедливо равенство tin ~ Я* IV) - t^ 1. Re (tl,

•t -•> oc * OO "t (J где \-L (ti , Xsj W - любые собственные значения одного и того же блока матрицы ~ ^ ^ ^ ^ • (теорема I.I5).

Совместно с системой (0.4) рассмотрена система * P(V> ^ , iceR (0.6) и доказано, что если система (0.4) правильная, то система (0.6) тоже правильная и ее показатели можно найти по формуле

Х\ - ^ X L ( L = v^ , где X i - показатели системы (0.4).

Во второй главе " ^р - возмущения линейных дифференциальных систем" совместно с системой

0.7) рассматривается система ii - ч>ш Pct^ ч , еН 6 где ^ (tV непрерывная скалярная функция такая, что

U - 4 • Показано, что показатели правильных систем оо

0.8)

0.7), вообще говоря, неустойчивы при ^ -возмущениях, а показатели правильных систем с матрицей Р("Ь) Лаппо-Данилевского устойчивы при -возмущениях. Приведены условия, которым должна удовлетворять матрица и функция чтобы системы (0.4) и (0.8) с функционально - коммутативными матрицами были асимптотически эквивалентны. Рассмотрены некоторые классы систем, показатели которых устойчивы при Ц^ -возмущениях, а именно: а) системы, матрица коэффициентов которых удовлетворяет условию где -fit)- строго возрастающая, дифференцируемая функция; б) системы с матрицей Р (t) , удовлетворяющей условию d t где ^ ("fc) строго возрастающая, дифференцируемая функция такая,

ЧТ0 "f ("t)

Lvh. --:- — А . ь-^^ t

Приведены условия, которым должна удовлетворять функция ^(V)» чт°бы показатели вполне правильных систем (0.7) и (0.8) совпадали. х х к

На защиту выносятся следующие результаты:

I. Теорема о приводимости правильных систем Лаппо-Данилевского постоянным преобразованием к блочно-диагональному виду, где размерность диагональных блоков равна кратности показателей

Л i. (л ^ <CM .

2. Метод вычисления показателей Ляпунова систем с функционально-коммутативной матрицей коэффициентов, с консервативной матрицей Лаппо-Данилевского, а также правильных систем Лаппо-Дани-левского по матрице коэффициентов.

3. Критерий правильности систем Лаппо-Данилевского.

4. Способ построения ^Р - возмущений, сохраняющих показатели линейных дифференциальных систем.

5. Теоремы об асимптотических инвариантах систем Лаппо-Данилев-ского при - возмущениях.

Результаты диссертации неоднократно докладывались на республиканском семинаре по обыкновеннвм дифференциальным уравнениям, на конференциях молодых ученых Белорусского государственного университета имени В.И.Ленина.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [iOI - 105] .

Автор выражает искреннюю признательность своему научному руководителю профессору Ю.С.Богданову за постоянную поддержку при выполнении данной работы.

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ. I» Х- - (х^ . j Х^1" - вектор-столбец с координатами х

П.

2• f\ •=. (c\i.) - матрица с элементами Q ( L - 1, /ь) (i = i,n/) , г- ^ d ^

3. t ~ единичная матрица.

4. /\т - транспонированная матрица А п,

5. Sp /Ч = 1L ali - след матрицы А •

Г 1-л «

6. Блочная п. к т. матрица, столбцы (блоки) которой суть к.у.rvvL матрицы

В частности, матрица с векторами-столбцами

X ~ ) * • * 1 З^к] •

7. Диагональная KLX.ru матрица:

А = clu^cu] .

8. Блочно-диагональная матрица

1

8

А - ^^[сц, • •., aj или

С = с/ьа^С^ . >? С к.] т

1 т

9. Верхне-треугольная или просто треугольная матрица

10. Нижне-треугольная матрица:

II. Квазитреугольная матрица:

12. Блочно-треугольная матрица:

13. Х^Ш - l -ый столбец матрицы Х("Ь) .

14. I -ая строка матрицы X.("fc) •

15. Ц ♦ || - символ для обозначения нормы.

16. cle-tK - определитель матрицы Д

17. (х, - 2L Х^ ^ - скалярное произведение векторов X и ^ J

Цх|| - - евклидова норма вектора X •

19. ЦА\\ mo-X- | a i,^ | - норма матрицы.

20. Показатель ил$1 верхний показатель функции X (■Ь) (скалярный или векторный):

К О] = ii^ i- ^)|x(tMl .

-*> оо X,

21, Характеристическая степень функции: к.

22. Если IT- , - натуральные и п. = 21 ^ » то принимается

• * обозначение ь

Ъ -£ Ч •

Г"1

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сурин, Татьяна Леонидовна, 1984 год

1. Алексеев В.М., Виноград Р.Э. К методу "замораживания". -Вестн. Моск. ун-та, сер. мат.,мех., 1966, № 5, с. 30-35.

2. Амелькин В.В., Гайшун И.В., Гайшун Л.Н. Приводимые вполне интегрируемые системы. Дифференц.уравнения, 1978, т.14, №3, с. 540-542.

3. Баскаков А.Г. Теорема о приводимости линейных дифференциальных уравнений с квазипериодическими коэффициентами. Укр. мат.ж., 1983, 35, № 4, с. 416-421.

4. Басов В.П. О структуре решения правильной системы. Вестн. Ленингр. ун-та. Сер.мат., физ. и хим., 1952, № 12, с. 3-8.

5. Блинов И.Н. Об одной качественной характеристике приводимых систем с квазипериодическими коэффициентами. Дифференц.уравнения, 1975, II, W 6, с. 955-960.

6. Богданов Ю.С. К теории систем линейных дифференциальных уравнений. Докл. АН СССР, 1955, 104, № 6, с. 813-814.

7. Богданов Ю.С. Нормы Ляпунова в линейных пространствах. -Докл. АН СССР, 1957, ИЗ, № 2, с. 255-257.

8. Богданов Ю.С. Характеристические числа систем линейных дифференциальных уравнений. Матем.сб., 1957, 41, №4, с.481-498.

9. Богданов Ю.С, Асимптотические характеристики решений линейных дифференциальных систем. Труды 1У Всесоюзного матем. съезда, 1961, 2, Л., "Наука", 1964, с. 424-432.

10. Богданов Ю.С. Применение обобщенных характеристичных чисел для исследования устойчивости точки покоя. Докл. АН СССР, 1964, 158, № I, с. 9-12.

11. Богданов Ю.С. Асимптотические характеристики нелинейных дифференциальных систем. Дифференц.уравнения, 1965, I, № I, с. 41-52.

12. Богданов Ю.С. Об асимптотически эквивалентных линейных дифференциальных системах. Дифференц. уравнения, 1965, I, Р 6, с. 707-716.

13. Богданов Ю.С. Обобщенные характеристичные числа неавтономных систем. Дифференц. уравнения, 1965, I, № 9, с. II40-II48.

14. Богданов Ю.С. О выявлении асимптотической устойчивости с помощью малых Л7с1 -чисел. Дифференц.уравнения, 1966 , 2,№3, с. 309-313.

15. Богданов Ю.С. Оценка обобщенных характеристичных чисел дифференциальных систем. Дифференц.уравнения, 1966, 2, Р 7,с. 927-933.

16. Богданов Ю.С. Метод инвариантов в асимптотической теории дифференциальных уравнений. Вестн. Белорусского ун-та, 1969, сер.1, физ., мат. и мех., с. 10-14.

17. Богданов Ю.С., Чеботарев Г.Н. О матрицах, коммутирующих со своей производной. Изв. высш.учебн. заведений. Математика, 1959, W 4, с. 27-37.

18. Былов Б.Ф. Об устойчивости характеристичных показателей систем линейных дифференциальных уравнений. Автореф.дисс.канд. физ.-мат.н., М., 1954 .

19. Былов Б.Ф. Преобразование времени в задачах об устойчивости по первому приближению. Дифференц. уравнения, 1965, I, № 9, с. II49-II54.

20. Былов Б.Ф. Почти приводимые системы. Сиб.матем.ж., 1966, 7, № 4, с. 751-784.

21. Былов Б.Ф. Обобщенно правильные системы. Дифференц.уравнения, 1971, 7, Ш 4, с. 575-591.

22. Былов Б.§. Обобщение критерия почти приводимости. Дифференц. уравнения, 1978, 14, Р 10, с. 1752-1759.

23. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости.М., "Наука", 1966, 576 с.

24. Былов Б.Ф., Изобов Н.А. Необходимые и достаточные условия устойчивости характеристических показателей диагональной системы. Дифференц. уравнения, 1964, 5, № 10, с. 1785-1793.

25. Былов Б.Ф., Изобов Н.А. Необходимые и достаточные условия устойчивости характеристических показателей линейной системы.- Дифференц. уравнения, 1969, 5, Р 10, с. 1794-1803.

26. Вылов Б.Ф., Ермолин B.C. О сопоставлении свойств решений квазитреугольных и квазидиагональных систем. Дифференц.уравнения, 1978, 14, № 9, с. 1696-1697.

27. Веременюк В.В. Некоторые вопросы теории устойчивости показателей Ляпунова линейных гамильтоновых систем. Дифференц. уравнения, 1982, 18, W- 2, с. 205-219.

28. Виноград Р.Э. Неустойчивость характеристических показателей правильных систем.-Докл. АН СССР, 1953, 91, Р 5, с.999-1000.

29. Виноград Р.Э. Отрицательное решение вопроса об устойчивости характеристических показателей правильных систем. Прикл.мат. и мех., 1953, 17, № 6, с. 645-650.

30. Виноград Р.Э. Новое доказательство теории Перрона и некоторые свойства правильных систем. Успехи мат. наук. 1954, 9, № 2, с. 129-136.

31. Виноград Р.Э. Неустойчивость младшего характеристического показателя правильной системы. Докл. АН СССР, 1955, 103, W 4, с. 541-544.

32. Виноград Р.Э. Необходимые и достаточные признаки поведения решений правильной системы. Матем. сб., 1956 , 38, W- I, с. 23-50.

33. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., ГЙТТЛ, 1954, 492 с.

34. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. М., Шиз матгиз , 1958. 274 с.

35. Гришин С.А. О некоторых свойствах отношения почти приводимости линейных систем дифференциальных уравнений. Дифференц. уравнения, 1969 , 5, №4, с. 749-750.

36. Гробман Д.М. Характеристические показатели систем, близких к линейным. Матем. сб., 1952, 30(72), вып.1, с. I2I-I66.

37. Демидович Б.П. Об одном обобщении критерия устойчивости Ляпунова для правильных систем. Матем. сб., 1965, 66(108), вып. 3, с. 344-353.

38. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М., "Наука", 1967, 472 с.

39. Елефтериади Ю.И. К задаче расщепимости линейных систем. -Дифференц.уравнения, 1977, 13, № 3, с. 416-426.

40. Еругин Н.П. Приводимые системы. Труды матем. ин-та АН СССР, 13, Л.-М., Изд-во АН СССР, 1946.

41. Еругин Н.П. О структуре решений инвариантной линейной системы дифференциальных уравнений. Докл. АН БССР, 1959, 3, № 2, с. 33-37.

42. Еругин Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами. Минск, АН БССР, 1963, 272 с.

43. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск, "Наука и техника", 1979, 744 с.

44. Еругин Н.П. Обыкновенные дифференциальные уравнения. В моногр. "История отечественной математики", т.4, кн.1, I9I7-I967. Киев, "Наук.думка", 1970, 883 с.

45. Золотарев Ю.Г., Харасахал В.Х. О структуре решений и правильности линейных дифференциальных уравнений. Изв.АН КазССР,Сер.мат. и мех., 1962, вып. 10(14), с. II-I6.

46. Изобов Н.А. Об устойчивости по первому приближению. -Дифференц.уравнения, 1966, 2, Р 7, с» 898-907.

47. Изобов Н.А. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В кн.: Математический анализ, т.12 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР Л.-М., 1974, с. 71-146.

48. Изобов Н.А. К теории характеристических показателей Ляпунова линейных и квазилинейных дифференциальных систем. Матем. заметки, 1980, 28, вып.З, с. 459-476.

49. Изобов Н.А. 0 слабо неправильных системах. Дифференц.уравнения, 1967, 3, Р 5, с. 787-795.

50. Лаппо-Данилевский И.А. Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Перев. с франц. Вступит.статья и ред. В.И.Смирнова, М., Гос-техиздат, 1957, 456 с.

51. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Собр. соч.: в 6-ти т. т.2, М.-Л., Изд-во АН СССР, 1956, 473 с.

52. Мазаник С.А. Об асимптотически эквивалентных двумерных линейных дифференциальных системах. Дифференц.уравнения, 1981, 17, № 2, с. 220-226.

53. Мазаник С.А. Об асимптотически эквивалентных линейных дифференциальных системах. Дифференц. уравнения, 1981, 17, № 5, с. 923-926.

54. Мазаник С.А. 0 построении эквивалентных дифференциальных систем с кусочно-постоянными матрицами. Докл. АН БССР, 1981, 25, Р 5, с. 399-401.

55. Миллионщиков В.М. Асимптотика решений линейных систем с малыми возмущениями. Докл. АН СССР, 162, Р 2, с. 266-268.

56. Миллионщиков В.М. Критерий устойчивости вероятного спектра линейных систем дифференциальных уравнений с рекуррентнымикоэффициентами и критерий почти приводимости систем с почти периодическими коэффициентами. Матем. сб., 1969, 78, Р 2, с. 179-201.

57. Миллионщиков В.М. О неустойчивости особых показателей и о несимметричности отношения почти приводимости линейных систем дифференциальных уравнений. Дифференц. уравнения, 1969, 5, № 4, с. 749-750.

58. Миллионщиков В.М. Грубые свойства линейных систем дифференциальных уравнений. Дифференц. уравнения, 1964, 5, № 10,с. 1775-1784.

59. Миллионщиков В.М. О типичности почти приводимых систем с почти периодическими коэффициентами. Дифференц.уравнения, 1978,14, № 4, с. 634-636.

60. Миллионщиков В.М. Статистически правильные системы. Матем. сб., 1968, 75(117), вып.I, с. I40-I5I.

61. Морозов В.В. О коммутативных матрицах. Уч.зап. Казан.ун-та, 1952, 112, кн.9, с. 17-20.

62. Парнев И.В. О некоторых классах матриц, коммутирующих со своими производными. Труды Рязан.радиотехн. ин-та, 1972,вып.42, с. 142-154.

63. Парнев И.В, К вопросу о приводимости некоторых классов функциональных матриц к треугольному виду. Труды Рязан.радиотехн. ин-та, 1974, вып.53, с. 85-91.

64. Парнев И.В. Одна теорема о функционально-коммутативных матрицах. Труды Рязан. радиотехн. ин-та, 1976, вып.69, с.78-81.

65. Персидский К.П. О характеристичных числах дифференциальных уравнений. Изв. АН КазССР, сер. мат. и мех., 1947, I, Р 42, с. 5-47.

66. Петровский Г.Н. Об одной системе линейных дифференциальных уравнений с толчками в заданные моменты времени. Вестн.Белорусского ун-та, СерЛ,мат.,физ. и мех., 1972, № 2, с. 7-10.

67. Петровский Г.Н. Некоторые свойства обобщенно ф -инвариантных систем линейных дифференциальных уравнений. Дифференц. уравнения, 1974, 10, № 2, с. 258-264.

68. Петровский Г.Н. 0 допустимых заменах времени. Дифференц. уравнения, 1977, 13, W 2, с. 265-270.

69. Пронькин B.C. О приводимости систем 3-го порядка с нечетными квазипериодическими коэффициентами. В кн.: Некоторые вопросы качественной теории дифференциальных уравнений и теории управления движением, Саранск, 1979, с. 66-68.

70. Прохорова Р.А. Оценка скачка старшего показателя линейной систем при экспоненциальных возмущениях. Дифференц. уравнения, 1976, 12, № 3, с. 475-483.

71. Рахимбердиев М.И. Об устойчивости особых показателей линейной системы и замыкании множества линейных систем с экспоненциальной дихотомией. I. Дифференц.уравнения, 1974, 10, № 4, с. 659-670.

72. Рахимбердиев М.И. Об устойчивости особых показателей линейной системы и замыкании множества линейных систем с экспоненциальной дихотомией. П. Дифференц.уравнения, 1974, 10, W 10,с. I797-1807.

73. Рахимбердиев М.И. Об одном отношении эквивалентности во множестве линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Изв. АН КазССР, сер.физ.-мат., 1977, № 3, с.55-59.

74. Рахимбердиев М.И. О линейных системах, связанных отношением почти приводимости с системами скалярного типа. Дифференц. уравнения, 1977, 13, IP 4, с. 616-625.

75. Рахимбердиев М.И., Розов Н.Х. Распределение показателей Ляпунова линейных систем с периодическими коэффициентами, близкими в среднем к постоянным. Дифференц. уравнения, 1978, 14,9, с. I7I0-I7I4.

76. Сергеев И.Н. Инвариантность центральных показателей относительно возмущений, стремящихся к нулю на бесконечности. -Дифференц. уравнения, 1980, 16, Р 9,с.719.

77. Сергеев И.Н. К теории показателей Ляпунова линейных систем дифференциальных уравнений. Труды семинара им.И.Г.Петровского, МГУ, 1983, № 9, с. III-I66.

78. Троицкий В.И. Исследование решений систем-трех линейных однородных дифференциальных уравнений, матрица которой коммутирует со своим интегралом. Труды Рязан.радиотехн. ин-та, 1974, вып.53, с. I09-115.

79. Фалько Н.С. О почти приводимых системах с квазипериодическими коэффициентами. Дифференц. уравнения, 1978, 14, Р 3,с. 467-473.

80. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. т.1 М. ГИТТЛ, 1951, 696 с.

81. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Перев. с английского М., "Мир", 1970,720 с.

82. Чеботарев Г.Н. О решении в замкнутой форме системы двух обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Труды Казанск. авиац. ин-та, 1956, 31, с. I07-III.

83. Чеботарев Г.Н. К решению в замкнутой форме краевой задачиРимана для системы rt пар функций. Уч.зап. Казан, ун-та,1956, 116 кн.4 с. 31-58.в С ой+с

84. Чеботарев Г.Н. О решении матричного уравнения 6 6- ~ ^- Докл. АН СССР, 1954, 46, Р 6, с. II09-III2.

85. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Перев. с англ. М., "Мир", 1964, 477 с.

86. Ascoli G. Sulle matrici permutabili con la propria derivata.-Rend. Semin. matem. Torino, 1950, v. 9, p. 24-5-250.87«Ascoli G. Remarques sur une communication de M.H.Schwerdtfeger.-Rend. Semin. matem. Torino, 1952, v.11, p. 335-336.

87. Berkey D.D. Block diagonal dominance and reducibility for linear differential systems.- J. Math. Anal, and Appl., 1976, v. 56, N 1, p. 233-251.

88. Gonti R. Sulla t-similitudine tra matrici e la stabilita dei sistemi differenziali lineari.- Atti Accad. Naz. Lincei Rend. CI. Sci. fis., mat. e natur., 1955, v.19, F-5, P- 247-250.

89. Conti R. Equazioni differential! lineari a asimtoticamente equivalenti a —0 .- Riv. mat. Univ. Parma, 1979, v.4-, P.5, P. 84-7-853.

90. Diliberto S.P. On systems of ordinary differential equations. Contrib. to the theory of non-linear oscillations.- Ann. Math. Stud., 1950, v.15, p. 1-38.

91. Hallam T.G. On the asimptotic equivalence of the bounded solutions of two systems of differential equations.- The Michigan Math. Jour.-, 1969, v.16, N 4-, p. 353-363.

92. Lillo J.G. Approximate similarity and almost periodic matrices. Proc. Amer. Soc., 1961, v.12, N 3, p. 4-00-4-07.94.. Markus L. Continuons matrices and the stability of differential systems.- Math. Z., 1955, Bd. 62, H.3, S.310-319.

93. Palmer K.J. On the reducibility of almost periodic systems of linear differential equations.- J. Dif. Eq. , 1980, v.36, N 3, p. 374—390.

94. Perron 0. Die Ordnungszahlen der Differentialgleichungssysteme. Math. Z., 1929, Bd.31, S. 74-8-766.

95. Perron 0. Ober eine Matrixtransformation. Math. Z., 1930, Bd.32 H.3, S. 465-4-73.

96. Staikos V.A. On the asymptotic equivalence of systems of ordinary differential equations.- Boll. Unione mat. ital., ser. Ill, 1967, An. 22, N 1, p.83-93.

97. Schwerdtfeger H. Sur les matrices permutubles avec leur de-rivee.- Rend. Semin. matem. Torino, 1952, v.11, p. 329-333.

98. Terracini A. Matrici permutabili con la propria derivata. Ann. mat. pura ed appl., 1955, 4-0, p. 99-112.

99. Сурин Т.JI. Скалярные преобразования систем Лаппо-Данилевского. Минск, 1983. - Юс. - Рукопись представлена ред-кол.ж. "Вестн. Белорусского ун-та". Деп. в БелНИИНТИ 04.07.1983 г., № 701 Бе-Д 83.

100. Сурин Т.Л. О преобразованиях линейных дифференциальных систем. Минск, 1983. - 12с. - Рукопись представлена редкол. ж. "Вестн. Белорусского ун-та". Деп. в БелНИИНТИ 04.07.1983 г., W- 705 Бе-Д 83.

101. Сурин Т.Л. Скалярные преобразования систем Лаппо-Данилев-ского. Вестн. Белорусского ун-та. Сер.1, физ.мат. и мех., 1984, Р I, с. 58-60.

102. Сурин Т.Л. Инварианты некоторых специальных возмущений линейных дифференциальных систем. Минск, 1984. - 15 с. -Рукопись представлена редкол.ж. "Вестн. Белорусского унта". Деп. в БелНИИНТИ 18.06.1984 г., № 892 Бе-Д 84.

103. Сурин Т.Л. О преобразованиях систем Лаппо-Данилевского. -Вестн. Белорусского ун-та. Сер.1, физ.,мат. и мех., 1984, Р 3, с. 64-65.