Смешанные задачи для системы уравнений Власова-Пуассона тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Беляева Юлия Олеговна

• Беляева Юлия Олеговна
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Беляева Юлия Олеговна

Оглавление

Введение

1 Стационарные решения системы уравнений Власова - Пуассона в бесконечном цилиндре е нулевым потенциалом самосогласованного электрического поля и ненулевым внешним магнитным полем

1.1 Функциональные пространства

1.2 Стационарные решения с носителями функций

плотностей распределения во внутреннем цилиндре

1.3 Стационарные решения с компактными носителями функций плотностей распределения

2 Классические решения системы уравнений Власова-Пуассона с внешним магнитным полем в бесконечном цилиндре

2.1 Постановка первой смешанной задачи для системы уравнений Власова-Пуассона в бесконечном цилиндре

2.2 Характеристики системы уравнений Власова с фиксированным потенциалом электрического поля

2.3 Носители функций плотностей распределения заряженных частиц

2.4 Априорные оценки решений системы уравнений Власова

2.5 Однозначная разрешимость первой смешанной задачи для системы уравнений Власова-Пуассона в бесконечном цилиндре

Литература

Введение

Актуальность темы исследования

В работе рассматривается первая смешанная задача для системы уравнений Власова-Пуассона в бесконечном цилиндре

Дф(х,г) = 4пе / ^ (V (х е (, 0 < г < Т), (0.1)

в

дг- + (V, Ух/в) + ^ (—Ухф + 1 [V, В], У/в) = 0 (0.2)

дг тр \ с )

(х е Я, V е м3, 0 < г < Т, в = ±1),

с начальными условиями

/в(х, V, г) |<=0 = /ов(х, V) (х е (5, V е м3, в = ±1) (0.3)

и краевым условием Дирихле

ф(х, г) = 0 (х е дЯ, 0 < г < Т). (0.4)

Здесь ( = СхМ, С с М2 — ограниченная область с границей дС е С д( = дСхМ, /в = /в(x,v,г) — функция плотности распределения положительно заряженных ионов, если в = +1, и электронов, если в = —1, в точке х со скоростью V в момент времени г; ф = ф(х,г) —потенциал самосогласованного электрического поля; Ух и — градиенты по х и V, соответственно; т+1 и т—1 — массы иона и электрона; е — заряд электрона; с — скорость света; В — индукция внешнего магнитного поля; (•, •) — скалярное произведение в М3; [ •, • ] — векторное произведение в М3.

Уравнение Пуассона (0.1) описывает закон Кулона. Правая часть этого уравнения — плотность суммарного электрического заряда в момент времени г в точке х.

I Гробочная ловушка

плазма магнитное поле

Рис

В работе [9] А.А. Власов получил уравнение, описывающее кинетику высокотемпературной плазмы. Он показал, что в случае высокотемпературной плазмы в кинетическом уравнении Больцмана можно отбросить интеграл столкновений, при этом взаимодействие между частицами осуществляется с помощью электрического поля, порождаемого этими частицами. Таким образом, в 1938 было получено бесстолкновительное кинетическое уравнение с самосогласованным электрическим полем или уравнение Власова. Обобщение теории, развитой А.А. Власовым и его учениками, изложено в монографии [10].

В последние несколько десятилетий уравнениям Власова уделяется достаточно большое внимание. Это связано с их многочисленными приложениями в физике плазмы (уравнения Власова-Пуассона, уравнения Власова-Максвелла), астрофизике (уравнения Власова-Пуассона с гравитационным потенциалом) и др. (см. [12], [27], [20], [21], [47] [17]). Изучение уравнений Власова позволило теоретически предсказать эффект бесстолкновительно-го затухания волн в плазме - эффект затухания Ландау (см. [14], [54], [16], [51]). В зависимости от различных физических постановок выделяют уравнения Власова-Пуассона, Власова-Максвелла, Власова-Эйнштейна, Власо-ва-Янга-Миллса и др.

Уравнения Власова-Пуассона в областях с границей описывают кинетику заряженных частиц высокотемпературной плазмы в установках, осуществляющих управляемый термоядерный синтез. Смешанные задачи для системы уравнений Власова-Пуассона в бесконечном цилиндре являются

моделью кинетики заряженных частиц плазмы в пробочной ловушке. На рисунке 0.1 представлено ее упрощенное схематическое изображение.

Уравнениям Власова посвящена обширная литература (см. [1] - [4], [6] - [11], [13], [15], [19], [22] - [26], [28] - [50], [52] - [60] и имеющуюся там библиографию). Далее будет приведен краткий обзор работ, посвященых исследованию уравнений Власова.

В середине 70-х годов прошлого столетия было положено начало одному из направлений в изучении уравнений Власова, основанное на следующем подходе. Рассматривалась задача Коши для уравнений Власова-Пуассона в координатном пространстве х € М3 и пространстве скоростей V € М3 при 0 < ^ < Т с начальными условиями вида:

/в(х, V, *) |<=0 = /ов(х, V) (х € (5, V € М3, в = ±1)

При х € М3, V € М3 и 0 <£<Т уравнение Пуассона может быть разрешено с помощью ньютоновского потенциала. Подставляя его в уравнение Власова, мы получим интегро-дифференциальное уравнение, содержащее ядро со слабой особенностью. Глобальная разрешимость таких уравнений со "сглаженным"ядром в условиях отсутствия внешнего магнитного поля изучалась в работах У. Брауна и К. Хеппа [39], В. П. Маслова [15] и Р. Л. Добрушина [11]. Существование глобального обобщенного решения задачи Коши для уравнений Власова-Пуассона было доказано А. А. Арсе-ньевым [2]. Далее уравнения с сингулярным ядром и существование глобального обобщенного решения в случае задачи Коши изучались Р. Дж. ДиПерна и П. Л. Лионсом [41], Э. Хорстом и Р. Хюнце [49] и др.

Глобальным классическим решениям задачи Коши для системы уравнений Власова-Пуассона посвящены работы Ю. Батта [31], Э. Хорста [48], К. Пфаффельмозера [55] и Дж. Шеффера [57]. Решения задачи Коши с малыми начальными данными рассматривались К. Бардосом и П. Дегондом [29] и др.

Стационарные решения имеют большое значение в изучении уравнений Власова. Существование стационарных решений, имеющих особую структуру, например, сферически симметричных решений, исследовано в рабо-

тах Ю. Батта, В. Фальтенбахера и Э. Хорста [33], Ю. Батта, И. Йорна и Ю. Ли [34], П. Браша [38] и др. Стационарные решения уравнений Власова рассматривались в работах В. В. Веденяпина [7], [8], Ю. Батта и К. Фабиана [32], К. Грингарда и П. А. Равьяра [44], Г. Райна [56], С. И. Похо-жаева [19] и др.

В областях с границей уравнения Власова исследованы значительно меньше. Глобальные классические решения в случае полупространства изучались Я. Гуо [46] и Х. Дж. Хуангом, Х. Х. Л. Веласкесом [50].

В общем случае вопрос о существовании классических решений смешанных задач для системы уравнений Власова-Пуассона является нерешенной проблемой [13].

Исходя из физического смысла, при исследовании различных задач для уравнений Власова-Пуассона необходимо учитывать следующие факторы. Один из них связан с определением понятия высокотемпературной плазмы. В работе [12] определение понятия плазмы сформулировано следующим образом. "Плазма — это ионизованный газ, состоящий из электронов и полностью или частично ионизованных атомов (ионов), движение которых и (как следствие) макроскопическое поведение всей плазмы определяется преимущественно коллективными процессами." В силу зарядовой нейтральности, необходимо рассматривать двукомпонентную модель плазмы. В установках, осуществляемых управляемый термоядерный синтез (токамаки, пробочные ловушки), для удержания плазмы строго внутри реактора используется достаточно большое внешнее магнитное поле. Если частицы плазмы попадают на стенки реактора, то происходит либо остывание плазмы, либо разрушение реактора. Поэтому важно рассматривать модель плазмы под действием ненулевого магнитного поля и исследовать такие решение, носители которых лежат на некотором расстоянии от границы рассматриваемых областей. Однако, в большинстве исследований по уравнениям Власова допускается ряд упрощений: рассматривается одно-компонентная плазма, магнитное поле В полагается равным нулю, а также допускается пересечение траекторий заряженных частиц с границей. Смешанные задачи для уравнений Власова-Пуассона, описывающих дву-

компонентную модель плазмы под действием внешнего магнитного поля, в случае полупространства и бесконечного цилиндра впервые исследовались в работах А.Л. Скубачевского [22], [23], [24], [25], [26].

В диссертации рассматривается вопрос о разрешимости первой смешанной задачи для системы уравнений Власова-Пуассона для двукомпонент-ной плазмы в бесконечном цилиндре, исследованы существование и единственность классических решений и построены классы классических стационарных решений с носителями, лежащими строго во внутреннем цилиндре.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Смешанные задачи для системы уравнений Власова-Пуассона»

Цель работы

Целью работы является исследование разрешимости первой смешанной задачи для системы уравнений Власова-Пуассона в бесконечном цилиндре, а также построение стационарных решений системы уравнений Власова-Пуассона в бесконечном цилиндре с нулевым потенциалом самосогласованного электрического поля. В обоих случаях нас интересуют решения, носители которых лежат на некотором расстоянии от границы цилиндра, что достигается за счет действия достаточно большого внешнего магнитного поля, направленного вдоль оси цилиндра.

Методика исследования Уравнения Власова являются нелинейными уравнениями в частных производных первого порядка, а уравнение Пуассона является эллиптическим уравнением второго порядка. Изучение смешанных задач для уравнений Власова-Пуассона в бесконечном цилиндре основано на комбинации методов исследования уравнений в частных производных первого порядка и краевых задач для эллиптических уравнений.

Новизна результатов В диссертации получены новые классы стационарных решений системы уравнений Власова-Пуассона с нулевым потенциалом внешнего магнитного поля. При этом, построенные решения удовлетворяют следующему свойству: носители функций плотностей распределения заряженных частиц лежат на некотором расстоянии от границы цилиндра.

Рассматривается первая смешанная задача для системы уравнений Вла-

сова-Пуассона в бесконечном цилиндре. Показано, что при достаточно большом магнитном поле характеристики уравнений Власова не пересекают границу цилиндра. Получены новые достаточные условия существования и единственности классического решения системы уравнений Власова-Пуассона с носителями плотностей распределения ионов и электронов, лежащими на некотором расстоянии от границы цилиндра.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Построен новый класс стационарных решений системы уравнений Власова-Пуассона в бесконечном цилиндре с нулевым потенциалом самосогласованного электрического поля, под действием внешнего магнитного поля, с носителями функций плотностей распределения, лежащими на некотором расстоянии от границы цилиндра.

2. Построен новый класс стационарных решений системы уравнений Власова-Пуассона в бесконечном цилиндре с нулевым потенциалом самосогласованного электрического поля, под действием внешнего магнитного поля, с компактными носителями функций плотностей распределения заряженных частиц.

3. Показано, что характеристики уравнений Власова с фиксированным потенциалом самосогласованного электрического поля и под действием достаточно большого внешнего магнитного поля не достигают границы рассматриваемой области.

4. Доказана разрешимость первой смешанной задачи для системы уравнений Власова-Пуассона в бесконечном цилиндре. Получены новые достаточные условия существования и единственности классического решения такой задачи, с носителями плотностей распределения ионов и электронов, лежащими строго во внутреннем цилиндре.

Теоретическая значимость

Диссертация имеет теоретический характер, а ее результаты применимы к исследованию смешанных задач для уравнений Власова-Пуассона в областях с границей.

Содержание работы

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 80 страниц с 2 рисунками. Список литературы содержит 60 наименований.

Глава 1 состоит из трех параграфов. Параграфы 1.2 и 1.3 посвящены стационарной системе уравнений Власова-Пуассона в бесконечном цилиндре.

В параграфе 1.1 вводятся функциональные пространства, используемые в диссертации: пространства Гёльдера Св(() функций в ((, где й = к + а, к = [й] > 0, 0 < а < 1; Сз+а(()) — замыкание в С2+а(() подмножества функций с компактными в ( носителями; пространства С([0,Т],Со+а(()) непрерывных по £ функций со значениями в С2+а((); ^((0,Т), С2+а(()) — пространство интегрируемых на (0,Т) функций со значениями в С2+а((); Сх М3) пространство ограниченных непрерывных функций в ( х М3, имеющих в (хМ3 все производные первого порядка, ограниченные и непрерывные в ( х М3, С1+а(() - пространство вектор-функций с координатами из С1+а (().

В параграфах 1.2 и 1.3 построены стационарные решения системы уравнений Власова-Пуассона для случая ^ = 0. В параграфе 1.2 сформулировано определение стационарного решения системы уравнений Власова-Пуассона, введено условие на магнитное поле: предполагается, что магнитное поле направлено вдоль оси цилиндра и является достаточно большим.

Леммы 1.1. и 1.2 посвящены следующим свойствам решений линейных уравнений в частных роизводных первого порядка (именно такими уравнениями являются стационарные уравнения Власова при ^ = 0): если некоторая функция класса С 1((( х Л) удовлетворяет стационарному уравнению Власова с нулевым потенциалом, то функция, являющаяся композицией этой и некоторой непрерывно дифференцируемой функции, также удовлетворяет стационарному уравнению Власова с нулевым потенциалом; произведение функций, удовлетворяющих стационарному уравнению Власова с нулевым потенциалом, также является решением этого уравнения. Эти свойства используются при построении решений, описанных в Теореме 1.2

и Теореме 1.3.

В Теореме 1.1 приведен результат, посвященный стационарным решениям системы уравнений Власова-Пуассона с нулевым потенциалом в бесконечном цилиндре. Решения, описанные в Теореме 1.1, построены А.Л. Ску-бачевским в работе [24].

В Теореме 1.2 построен новый класс стационарных решений уравнений Власова-Пуассона. В отличие от [24], здесь функции плотностей распределения заряженных частиц имеют вид произведения двух срезающих функций, аргументами которых являются не квадратичные функции, а многочлены четвертого или любого четного порядков. Такие решения имеют носитель, компактный в сечении цилиндра. Показано, что при достаточно большом магнитном поле эти решения обладают следующими свойствами:

/в е CTO(QxR3), supf С Q2SxBp/4, sup/в > a,

x,v

где a > 0, Bp(0) = {x е R3: |x| < p}, Qs = {x е Q: dist(x,dQ) > J}.

В Теореме 1.3 построены стационарные решения системы уравнений Власова-Пуассона для случая ф = 0 с компактными носителями функций плотностей распределения заряженных частиц. В отличие от решений, построенных в теоремах 1.1 и 1.2, здесь функции плотностей распределения имеют вид произведения пяти неотрицательных срезающих функций, аргументами которых являются первые интегралы стационарных уравнений Власова с нулевым потенциалом, которые выписываются в явном виде. Показано, что при достаточно большом магнитном поле эти решения обладают следующими свойствами:

/в е CTO(Q2SxR3), supp /в С Q2S,KxBp/4 и sup/в(x,v) >a.

x,v

где a > 0, Qs,K = {x е R3 : (xbx2) е G2s, |x3| < к}, Gs = {x' е G : disi(x', dG) > 5}.

Глава 2 состоит из пяти параграфов. В параграфе 2.1 дается формулировка первой смешанной задачи для системы уравнений Власова-Пуассона в бесконечном цилиндре. Классическим решением мы называем вектор-функцию {<p,fe}, для которой ф е C([0,T],C02+a(Q)), fe е C*(Q x R3 x [0,T]), и выполняются соотношения (0.1)-(0.4).

В этом же параграфе сформулированы условия на внешнее магнитное поле и начальные функции плотностей распределения заряженных частиц. В Условии 2.1 предполагается, что магнитное поле направлено вдоль оси цилиндра и является достаточно большим: В € С1+а((), В(х) = (0, 0, К) для х € (¿/4, где

16с / л/Зе.Л \

< К,

16сФ(т )( р + ^

б6

т_1

6, р, Л, К > 0 не зависят от х, а ф € С([0, го)) — неубывающая функция, заданная по формуле

ф(£) =

2-2 1 - сое

ст_ 1

£ € £ е

0,

т_ 1сп

бК т-1сп

бК

, го .

В Условии 2.2 предполагается, что начальные функции плотностей распределения заряженных частиц /0 € С1+а(М6) и вирр /0 С Р0, где

А) = ((¿0 П Вко) х Вр0,

60, к0, к, р0 > 0 таковы, что 6 < 60 < к0 < к — £/8, р0 < р, и (¿0 П ВКо = 0.

В параграфе 2.2 рассматриваются уравнения характеристик для уравнений Власова с фиксированным потенциалом электрического поля ^ € М2+а,д. Здесь М2+а,д — множество функций из пространства С([0,Т],С2+а(()), ограниченных положительной константой Л по норме Ь((0,Т),С2+а(()). Множество М2+а,д является полным метрическим пространством с метрикой, индуцированной нормой в С([0,Т],С2+а(()). Рассматриваются соответствующие уравнения характеристик:

¿Vе

= V в у ¿г ^ ' ¿г

с начальными условиями

^ ,т) + ттб ,В

Хв 1 т=0 х,У<!р 1 т=0 v,

для в = ±1, 0 <т<Т, х € ( и V € М3. На полуинтервале [0,Т<в (х^)), Тв(x,v) < Т, такая задача имеет единственное непродолжаемое решение.

1

Это решение мы обозначаем

(X в (х^,т ),^в (х^,т)).

В Лемме 2.1 показано, что для всех х Е 0, 0 < £ < Тв(х^) и | < р, характеристики Vе(х,^,г) ограничены:

IVе(х,V, £)| < Р1,

где р1 = р + т-7Д.

Далее, в Лемме 2.3 показано, что при выполнении Условия 2.1 решение (Хв(х,^,г(х,^,г)) на интервале [0,Тв(х^)), где Тв(х,^) < Т, обладает следующими свойствами: если х' Е , V Е Бр, то

Тв(x,v) = Т, |Хв/(x,v,т) - х'| < 5/8, а V/(х^,т) Е БР1

для всех т Е [0,Т). Здесь 5', таково, что С25/ = 0, 5;>5/2. Отметим, что в работе [26] в случае полупространства М+ = {х = (х1, х2, х3) Е М3: х1 > 0}, для соответствующего решения задачи Коши для уравнений характеристик оценивается лишь первая координата:

|Х^1(х, V, т) — х11 <5/8. В отличие от [26], в Лемме 2.3 рассматривается вектор

Хв/(х^,т) = (^(х^т), X^2(х, V, т)) .

В доказательстве Леммы 2.3 используется матрица Д(в), умножение на которую соответствует вращению на угол в на плоскости. При этом, в отличие от работы [24], здесь не используется лемма Гронуолла, дающая экспоненциальную оценку. Свойства матрицы Д(в) описаны в Лемме 2.2.

Из Леммы 2.3 следует, что характеристики уравнений Власова с фиксированным потенциалом не достигают границы цилиндра: для любых ф Е М2+а,д, х Е 0^/8 и V Е Бр, мы имеем

Тв(х, V) = то, Хв(х, V, т) Е 0зг/4, V/(х, V, т) Е Бр1, т Е [0, то).

Далее уравнения характеристик рассматриваются на интервале (0,£), 0 < £ < Т, с начальными условиями

Хв| , = у, кв| , = я, в = ±1.

У Iт= VIт = 1' ^

Такая задача имеет единственное непродолжаемое решение на полуинтервале (Тв(у^,£),£], где 0 < Тв(х, V) < £. Обозначим это решение через

(Xв (у,^£,т ),^в Ы,£,т)).

Аналогично Лемме 2.3. можно показать, что при выполнении Условия 2.1, на некотором интервале (Т^(у, #,£),£], где 0 < Тв(у^,£), решение (Х^(у^,£,т(у^,£,т)) обладает следующими свойствами: если у' € , q € ВР1, то

Тв(у, q, £) =0, (у, q, £, т) — у'| < 6/8, V/(у,^£,т) € Вр2,

для всех т € (0,£], где р2 = р1 + Л. Здесь 6', таково, что С2£/ = 0, 6'> 6/2. Это утверждение сформулировано в Лемме 2.4.

Из Леммы 2.4 будет следовать, что для ^ € М2+а>д, у € (7£/8, q € ВР1 и 0 < £ < Т мы имеем

ТвЫ,£) = 0, Хв(у,^£,т) € (3^/4, V/(у, q, £, т) € Вр2.

В параграфе 2.3 описано построение взаимнообратных отображений движения вдоль характеристик уравнения Власова с фиксированным ^ из пространства М2+а>д. Продолжая функции Х^(у, q, £, т), ^(у, q, £, т) по непрерывности в т = 0, мы будем полагать

Хв (у, q, £) = Xв (у, q, £, 0), V/ (у, q, £) = V? (у, q, £, 0). Для произвольно заданного 0 < £ < Т рассматривается отображение

заданное по формуле

£вДу,й = (XXв (у,д,£),17в (у,«,£))-

Здесь и определены следующим образом:

= ((3^/4 П Вк^ х Вр1,

= {(х, V): (х^) = (y,q) € ОД, 0 < 6 < к—6/8, к = к+Трь

Для любого 0 < t < T отображение Sf,t: ^ П0, заданное по фор-

Sf>i(x,v) = (X в (x,v,t),V/ (x,v,t))

муле

4 в ,i t, lit — I , ., ., ,, ,

^ Lp \ -AJ 1 ^ 1 " J 1 ' If

является обратным к Sft. Продолжим отображение Set по непрерывности в t = T. Показано, что функция S^,t(x, v) является непрерывно дифференцируемой по переменным x, v и t для любых t е [0,T] и (x,v) е а

По.

функция Sft(y,q) непрерывно дифференцируема по y, q и t на множестве

Предполагая, что выполнено Условие 2.1, в Лемме 2.5 показано, что при достаточно большом магнитном поле и фиксированном ф Е М2+а,д выполняется неравенство

dX в (x,v,t)

dxj

+

dV/ (x,v,t)

dxj

< со,

со = exp ( max + _ p2 (B)iT, T

[ ЗвЯ л/3 ер2 т—1 ст—1

(х, V) Е ^0, 0 < £ < Т, ; = 1, 2,3.

Здесь, в отличие от [24], константа с0 > 0 записана в явном виде.

В Лемме 2.6 доказано, что при выполнении условий на магнитное поле

и начальные функции плотностей распределения, функция б^Дх^))

имеет компактный носитель.

Далее в параграфе 2.3 определено решение /в(х^,£) задачи Коши для

уравнения Власова с фиксированным потенциалом в виде

ff (x,v,t) =

ч>

/0в(б^М) ((x,v) ЕР1, 0 < £ < Т), 0 ((х, V) Е (0 х М3) \Р0, 0 < £ < Т),

где £>0 = (075/8 П Бк1—¿/^ х Бр1, где 5 < к — 5/8, к = к + Тр1. В параграфе 2.4 установлены гёльдеровские оценки для функции

^(х, £) = / ^ в/в(х, v,£) ¿V (х Е 0, 0 < £ < Т).

Мз в=±1

Если условия на магнитное поле и начальные функции распределения выполняются, то для любого ф Е М2+а,д функция ^ Е С([0,Т],С£(00)). Это доказано в Лемме 2.7.

В Лемме 2.8 показано, что для любой функции ^ € М2+а,д мы имеем

11^Нь1((0,т),с*(д)) < с1т^,

где с1 = 2|ВР1 | ( 1 + 3а/2Сд)Т, с0 > 0-постоянная из леммы 2.5.

Далее, в Лемме 2.9 показано, что для любых ^>2 € М2+а,д и 0 < £ < Т мы имеем

0,£) — ^2 0,£)Ц < с2т1+<г —

((0,*),с 2(д)),

где с2 > 0 не зависит от и

В параграфе 2.5 доказана однозначная разрешимость первой смешанной задачи для системы уравнений Власова-Пуассона в бесконечном цилиндре. В Лемме 2.10 приведен результат, посвященный разрешимости вспомогательной задачи Дирихле для уравнения Пуассона в бесконечном цилиндре: для любой функции / € С0Г (() существует единственное решение и вспомогательной задачи

—Ди(х) = /(х) (х € (), и(х) = 0 (х € д().

При этом решение и € С2+а((() и ||и||С2+ст(¿¿) < с3||/||Са(д), где с3 > 0 не зависит от /.

Далее в Теореме 2.1 доказаны существование и единственность классического решения первой смешанной задачи для системы уравнений Власова-Пуассона в бесконечном цилиндре. Для каждой функции ^ € М2+а,д классическое решение вспомогательной задачи с правой частью вида

/ = 4пб^ (х, £),

мы обозначим через и^. Показано, что и^ € С([0,Т],С2+а(()). Вводя оператор А по формуле А^> = и ^, убеждаемся, что оператор А отображает пространство М2+а,д в себя. Дальнейшие рассуждения опираются на введение в метрическом пространстве М2+а,д эквивалентной метрики

р/2+а,Д(^1,^2) = йир (У^М) — ^2(^,£)|2+а ехР( —к£)) , 0<£<Т

где к > 0 достаточно велико, ф1,ф2 Е М2+а,д. Введение эквивалентной метрики отличает подход, использованный в диссертации, от работы [24]. Показано, что в такой метрике оператор А является сжимающим. Это доказывает, что первая смешанная задача для системы уравнений Власова-Пуассона в бесконечном цилиндре имеет единственное классическое решение, при этом его носитель лежит строго во внутреннем цилиндре.

Степень достоверности результатов, полученных в диссертации, обеспечивается строгостью приведенных доказательств, многочисленными выступлениями на семинарах, конференциях и школах, а также имеющимися публикациями в изданиях, которые индексируются международными базами данных.

Апробация работы Результаты, представленные в диссертационной работе, излагались в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН: на семинаре под руководством О.В. Бесова, на семинаре под руководством В.П. Лексина; в Институте математики им. С.Л. Соболева СО РАН на семинаре под руководством Г.В. Демиденко; на семинарах механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова: под руководством В.В. Власова, под руководством Г.А. Чечкина; в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН на семинаре по математической физике им. М.В. Масленникова под руководством В.В. Веденяпина и В.А. Дородницына; в Институте проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН на семинаре под руководством С. Ю. Доброхотова; в Российском университете дружбы народов на семинаре под руководством А.Л. Скубачевского; на Международной конференции "Распределенные компьютерные и коммуникационные сети: управление, вычисление, связь." (Москва, 2016); Восьмой международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, 2017); на XXVIII Крымской Осенней Математической Школе-симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам (Севастополь, 2017); на Шестидесятой Всероссийской научной конференции Московского физико-технического института (Москва, 2017); на XXV Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых уче-

ных - Ломоносов-2018, (Москва, 2018); на Международной конференции, посвященной 90-летию Владимира Александровича Ильина, Понтрягин-ские Чтения XXIX (Москва, 2018); на Пятой Международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования посвящённой 95-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л.Д. Кудрявцева (Москва, 2018); на Международной школе-конференции "Соболевские Чтения посвященной 110-летию со дня рождения С.Л. Соболева (Новосибирск, 2018).

Результаты диссертации были представлены в стендовом докладе и презентации PosterFlash на The Heidelberg Laureate Forum (2018, г. Хайдельберг, Германия) — встрече лауреатов Абелевской премии, Филдсовской медали, премий Неванлинны и Тьюринга с молодым поколением ученых.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [3,4,35,36] из списка литературы, а также в следующих тезисах конференций.

1. Belyaeva Yu. O., Skubachevskii A.L., Stationary solutions of the Vlasov equations for high temperature plasma, Материалы Девятнадцатой международной конференции "Распределенные компьютерные и коммуникационные сети: управление, вычисление, связь (DCCN-2016), РУДН, M., 2016, т. 3, с. 60 - 64.

2. Belyaeva Yu., Stationary Solutions of the Vlasov System under External Magnetic Field in the Half-Space, Восьмая международная конференция по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям. Москва, Россия, 13-20 августа 2017 г. Международный семинар "Дифференциальные уравнения и междисциплинарные исследования". Москва, Россия, 17-19 августа 2017 г.: тезисы докладов, РУДН, M., 2017, с. 22-23.

3. Belyaeva Yu., Stationary solutions of the Vlasov-Poisson system for two-component plasma in a half-space, Сборник материалов международной конференции КР0МШ-2017, XXVIII Крымская Осенняя Математиче-

ская Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам, Симферополь: ДИАЙПИ, 2017, с. 119- 121.

4. Беляева Ю.О., О стационарных решениях системы уравнений Власова-Пуассона в полупространстве, Материалы Международного молодежного научного форума "ЛОМОНОСОВ-2018"/ Отв. ред. И.А. Алешковский, А.В. Андриянов, Е.А. Антипов. [Электронный ресурс] - М.: МАКС Пресс, 2018.

5. Belyaeva Yu.O., Classical solutions of the Vlasov-Poisson equations with external magnetic field in an infinite cylinder, Современные методы теории краевых задач : материалы международной конференции Понт-рягинские чтения XXIX, посвященной 90-летию Владимира Александровича Ильина (2-6 мая 2018 г.), Москва: Издательство МАКС-Пресс, 2018, с. 247-248.

6. Беляева Ю.О., Об однозначной разрешимости системы уравнений Власова-Пуассона в бесконечном цилиндре, Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования: тезисы Пятой Международной конференции, посвящён-ной 95-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л.Д. Кудрявцева. Москва, РУДН, 26-29 ноября 2018 г., Москва: РУДН, 2018, c.117-118.

7. Belyaeva Yu.O., On the classical solutions of the Vlasov-Poisson system in an infinite cylinder, Соболевские Чтения, Международная Школа-Конференция посвященная 110-летию со дня рождения С.Л. Соболева, Новосибирск, Россия, 10-16 декабря, 2018, тезисы докладов, c.62.

Глава 1

Стационарные решения системы уравнений Власова -Пуассона в бесконечном цилиндре е нулевым потенциалом самосогласованного электрического поля и ненулевым внешним магнитным полем

1.1 Функциональные пространства

В этом параграфе будут введены функциональные пространства, используемые в диссертации.

Пусть 5 = к + а, к е Z, к > 0, 0 < а < 1, а П С Мп — область с границей класса дП е СОбозначим через Св(П) пространство Гельдера всех непрерывных функций в П, имеющих все непрерывные производные в П вплоть до порядка к, с конечной нормой

Mis = ||u||k + maxsup |x — y| a|Dau(x) — Dau(y)|,

|a|=k x=y

где

||u||k = max sup |Dau(x)|,

|a|<k x

( d \ai ( d \a« D=1^) -(dx;) ■a=(ab--.<a»)'м=«1 + ■■■+«>,

Замечание 1.1. В Cs(il) можно ввести эквивалентную норму

|Mis = ||u|k + |u|k+a,6

где

|u|k+a,b = max sup |x — y|—a|Dau(x) — u(y)|, 0 <b < 1,

|a|=k x=y, |x—y|<b

||u|S < ||u||s < k1 = k1(a) > 0 не зависит от u.

Замечание 1.2. Банахово пространство Ck+a (Rn) не является сепарабель-ным [5].

Введем пространство C 1(Q х R3) ограниченных непрерывных функций в QxR3, имеющих в QxR3 все производные первого порядка ограниченные и непрерывные в Q х R3. Аналогично будем определять пространство C 1(Q х R3 х [0,T]).

Под Ck (Rn), k Е N понимается пространство непрерывно дифференцируемых функций в Rn с компактными носителями.

Обозначим через C0(Q), s > 0, замыкание множества функций из Cs(Q) с компактными в Q носителями.

Будем обозначать Os(Q) пространство вектор-функций Y = (Y^ Y2, Y3) с координатами Y G Cs(Q) и нормой

з . 1

ат ^ i |2

|Y||в = max (Y)m, (Y)m = ( V max

0<m<k 1^Ы=т" 110 I

¿=1

для s = k G Z, 0 < k, l|Y||s = ||Y||k + (Y, (Y= {

Ik

^ ¿=1

для s = k + a, 0 < k G Z, 0 < a < 1.

Введем банахово пространство C([0,T], C0(Q)), непрерывных функций [0,T] G t ^ <^,t) G C0s(Q) с нормой

^кт = sup ||^(^,t)ys.

0<t<T s

Рассмотрим также банахово пространство Li((0,T),C0(Q)), сильно измеримых функций (0,T) Э t ^ G C0(Q) с конечной нормой

т

0

Будем обозначать W2k(Q), k G N, пространство Соболева функций из v G L2(Q) имеющих все обобщенные производные Dav G L2(Q), |a| < k, с нормой

i /* 2 1 1/2

||v|W2k(Q) = i X) / |D"v(x)|2d^ . |a|<k Q J

Обозначим W2 2 (dQ), k > 1, пространство следов на dQ функций из

rki

W2 (Q) с нормой

|Ы|»'Г1 («и ='Sf |w|Wi(Q) (w|dQ =

Обозначим = G C([0,T],Co(Q^ : |^|L1((0,T),C0S(Q)) < Щ, R >

0, s > 0. Ms,r является полным метрическим пространством с метрикой

1.2 Стационарные решения с носителями функций

плотностей распределения во внутреннем цилиндре.

Будем рассматривать стационарную систему уравнений Власова-Пуассона в бесконечном цилиндре:

—Дф(ж) = 4пе У ^ в/в(ж,^) ¿V, (1.1)

м3 в

(V, У/) + ^ (—У*ф + 1 [V, В (ж)], У= 0 (1.2)

(ж е о, V е М3, в = ±1), с краевым условием Дирихле

ф(ж) = 0 (ж е д)). (1.3)

Здесь д = СхМ, С С М2 — ограниченная область с границей дС е С дд = дСхМ, /в = /в(ж,^) — функция плотности распределения положительно заряженных ионов, если в = +1, и электронов, если в = — 1, в точке ж со скоростью V; ф = ф(ж) — потенциал самосогласованного электрического поля; Ух и Уу — градиенты по ж и V, соответственно; ш+1 и т— — массы иона и электрона; е — заряд электрона; с — скорость света; В — индукция внешнего магнитного поля; (•, •) — скалярное произведение в М3; [ •, • ] — векторное произведение в М3.

Определение 1.1. Решением задачи (1.1)-(1.3) будем называть вектор-функцию {ф,фв}, ф е С2+а(д), фв е С 1((5хМ3), удовлетворяющую уравнениям (1.1), (1.2) и краевому условию (1.3).

Введем следующие обозначения:

Вр(ж0) = {ж е М3: |ж — ж0| < р},

Вр = Вр(0), С = {ж' е С : ^(ж',дС) > 5},

; = {х е 5: dist(x,дQ) > 6},

где х = (хьх2) е м2, 6 > 0. Предполагая, что = 0, обозначим через 60 = 6о(6) > 0 наибольший радиус круга, вписанного в . В дальнейшем будем полагать, что 60 > 6.

Будем предполагать, что магнитное поле В удовлетворяет следующему условию.

Условие 1.1. Пусть В = (0,0, Н) для х е <5, где Н > 0 не зависит от х и выполняется неравенство

32 ^ < Н. (1.4)

во

Нас будет интересовать вопрос построения решений системы (1.1)-(1.2) с условием (1.3), при ф = 0, таким образом, чтобы носители функций плотностей распределения заряженных частиц фв(х,«) находились на некотором расстоянии от границы цилиндра Впервые обладающие таким свойством решения были построены А.Л. Скубачевским в работе [24]. Функции плотностей распределения построенного решения имели вид произведения двух срезающих функций, аргументы которых - первые интегралы уравнений (1.2) при ф = 0, имеющие вид квадратичных функций. При построении решений такого вида сначала искались решения уравнений (1.2) при ф = 0 в виде квадратичной формы с неопределенными коэффициентами. Ниже этот результат приведен в виде теоремы.

Теорема 1.1. Пусть условие 1.1 выполняется для некоторых 6, Н,р > 0, где 6 > 0 таково, что = 0 и 60 >6. Тогда для любого заданного а > 0 существует решение стационарной системы уравнений (1.1),(1.2) с краевым условием (1.3) вида

{0,фв}=^ (к-!2). ^ ((^ Х1+н2+(^ х2 - в«,)2)}

обладающее свойствами:

фв е хМ3), виррфв С ^хВр/4 и вирфв(х,«) > а.

ж,«

Здесь (•) и (•) - четные, неотрицательные функции, удовлетворяющие условиям:

(0) = 2а > 0, (0) = 1, вирр1 С (—р2/16, р2/16),

- 1 2 2\ 15рЛг>

вирр С (—ро,р0), где 0 <р 1 <р,р0 =

5 '

"1/2 ^ ("9 = ^ ("Н ' * = 1 2

Пусть <p(x) = 0 (x G (Q), тогда система (1.1)-(1.3) примет вид

J (Z1(x,v) " /"1(x,v))dv = 0, (1.5)

R3

(v, Vf) + " ([v,B], V*/в) =0 (1.6)

(x G Q, v G R3, в = ±1).

Уравнения (1.2) являются линейными однородными уравнениями в частных производных первого порядка. В параграфах 1.2 и 1.3 мы будем использовать следующие свойства решений таких уравнений.

Лемма 1.1. Пусть функция (x, v) G C 1((Q x R) удовлетворяет уравнению (1.6), тогда функция Фв(x, v) = (Св(x, v)), где G C 1(R), также удовлетворяет уравнению (1.6).

Доказательство. Утверждение леммы легко проверить, подставив функции Фв(x,v) = (Св(x,v)) в уравнение (1.6):

з ^ d^! eeh v д^! dí! _

tív в xi + v в v =

= f ((v, e) + emeM Vv ^в)) =0.

□

Лемма 1.2. Пусть функции (x,v),£в(x,v) G C 1((Q x R) удовлетворя-

;f (x, v) x Св

ют уравнению (1.6), тогда функция Фв(x,v) = (x,v) x (x,v) также удовлетворяет уравнению (1.6).

Доказательство. Утверждение леммы легко проверить, подставив функции Фв(х,«) = «в(х,«) х (х,«) в уравнение (1.6):

Е(Мй + М«Г) + ^ Е (М+ ^«Г) =

=«в ((«, ^«в)+(м, V, «в)) +

ств

+«в( V»«?)+ст ([«,в, V, «в я=0

□

В этом параграфе мы построим решения стационарной системы (1.1)-(1.3) при ф(х) = 0 таким образом, чтобы носители функций плотностей распределения заряженных частиц лежали строго во внутреннем цилиндре. В отличие от решения, построенного в Теореме 1.1, аргументами срезающих функций будут формы 4-го порядка и порядка 2т.

Зафиксируем а > 0. Пусть фв(-),Фв('),Фт(') е СТО(М) - неотрицательные, четные функции, такие, что

ф-1(0) = 2а> 0,ф2_1(0) = Ф-1(0) = 1,

1 ,+1( т ) _ 1 ./,-1

= ^-З), У = 1, 2,-,т), (т е

т+/12 3 т-1 ' чт-г

и носители функций фв(-),Фв('),Фт(■) содержатся в соответствующих множествах

виррф-1 С (—р2/16,р2/16),0 < р1 < р,

,-1 ^ Ро Р^ 15Р6о виррС (—, -2°),ро =

_„2т „2т

/ -1 / Ро Ро \ вирр фт С ( —-т, --т).

гт V 2т -1 ' 2т-1'

Теорема 1.2. Пусть выполнены условия теоремы (1.1), тогда построенные по заданному а > 0 функции

вв

{0,ф1в ■ ф2в} (1.7)

вв

{0,ф1в ■ /тв} (1.8)

/1в = < (М2),

/2^ = ( (в^ж1 + в^П + (ве~Х2 — \cme / Vcme

2m / n 1 \ 2m

о в ,e feeh Q Vm /£eh Q "

/m = ^mn -Xi + + -X2 — evi

V\ств у \ств

являются решениями стационарной системы уравнений (1.1)-(1.2), удовлетворяющими условию (1.3) и обладают свойствами:

/в Е CTO(QxR3), sup/ С Q2<5xBp/4, sup/в > a.

x,v

Доказательство. Построим стационарное решение уравнений (1.1), (1.2) вида (1.7), обладающее свойствами:

/в Е CTO(QxR3), supp/в С Q2^xBp/4 и sup/в(x,v) > a.

Решение уравнений (1.5), (1.6) будем искать в виде произведения двух срезающих функций, аргументами которых являются формы четвертого порядка. Частные решения уравнений (1.6) будем обозначать через фв(ж, V)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Беляева Юлия Олеговна, 2019 год

Литература

[1] Арсеньев А. А., О существовании обобщенных и стационарных статистических решений системы уравнений Власова в ограниченной области// Дифференц. уравнения. - 1979. - 15, №7. - С. 1253-1266.

[2] Арсеньев А.А., Существование в целом слабого решения системы уравнений Власова// Журн. вычисл. матем. и матем. физ. -1975.- 15, №1.- С. 136-147.

[3] Беляева Ю.О., Стационарные решения уравнений Власова для высокотемпературной двукомпонентной плазмы// Современная математика. Фундаментальные направления.-2016. -62. - С. 19 - 31.

[4] Беляева Ю.О., Скубачевский А.Л., Об однозначной разрешимости первой смешанной задачи для системы уравнений Власова-Пуассона в бесконечном цилиндре// Записки научных семинаров ПОМИ - 2018. -477. - С. 12-34.

[5] Бесов О. В., О некоторых свойствах пространства H(r1,...,rm) p// Изв. вузов. Матем. - 1960. - 1. - С. 16-23.

[6] Веденяпин В. В., Кинетические уравнения Больцмана и Власова// Физматлит. 2001 М., , 112 с.

[7] Веденяпин В. В., Краевая задача для стационарных уравнений Власова// Докл. АН СССР. - 1986. - 290, №4. - С. 777-780.

[8] Веденяпин В. В., О классификации стационарных решений уравнения Власова на торе и граничная задача// Докл. РАН. - 1992. - 323, №6. - 1004-1006.

[9] Власов А. А., О вибрационных свойствах электронного газа// ЖЭТФ. - 1938. -8, №3. - С. 291-318.

10] Власов А. А., Теория многих частиц// ГИТТЛ, М.- 1950.

11] Добрушин Р. Л., Уравнения Власова// Функц. анализ и его прил.-1979. - 13, №2. - 48-58.

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Ильгисонис В.В., Классические задачи физики горячей плазмы// М.: Издательский дом МЭИ.- 2016.

Козлов В. В., Обобщенное кинетическое уравнение Власова// УМН. -2008. - 63, №4(382). - С. 93-130.

Ландау Л. Д., О колебаниях в электронной плазме// ЖЭТФ. - 1946. - 16. - С. 574-586.

Маслов В.П., Уравнения самосогласованного поля// Итоги науки и техники. Сер. Соврем. пробл. матем. - ВИНИТИ, М. - 1978.- 11. -С. 153-234.

Маслов В. П., Федорюк М. В., Линейная теория затухания Ландау// Матем. сб., - 1985. - 127, №169 (4, №8). - С. 445-475.

Миямото К., Основы физики плазмы и управляемого синтеза// Физ-матлит, М.- 2007.

Назаров С. А., Пламеневский Б. А., Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей// Наука, М. - 1991.

Похожаев С. И., О стационарных решениях уравнений Власова-Пуассона// Дифференц. уравнения. - 2010. - 46, №4. - С. 527-534.

Райзер Ю.П., Физика газового разряда: Учеб. руководство// М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит. - 1987.

Сковорода А.А., Магнитные ловушки для удержния плазмы// М.: ФИЗМАТЛИТ. - 2009.

[22] Скубачевский А. Л., Об однозначной разрешимости смешанных задач для системы уравнений Власова-Пуассона в полупространстве// Доклады Академии Наук - 2012. - 443, № 4. - С. 431-434.

[23] Скубачевский А.Л., Смешанные задачи для уравнений Власова-Пуассона в полупространстве// Теория функций и уравнения математической физики, Сборник статей. К 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН Льва Дмитриевича Кудрявцева, Тр. МИАН.-МАИК, М. -2013. - 283. - С. 204-232.

[24] Скубачевский А.Л., Уравнения Власова-Пуассона для двукомпонент-ной плазмы в однородном магнитном поле// УМН. - 2014. - 69, №2. - С. 107-148.

[25] Скубачевский А.Л., Tsuzuki Y., Уравнения Власова-Пуассона для двухкомпонетной плазмы в полупространстве// Доклады Академии Наук. - 2016. - 471, №5. - С. 528-530.

[26] Скубачевский А.Л., Tsuzuki Y., Классические решения уравнений Власова-Пуассона с внешним магнитным полем в полупространстве// ЖВМ и МФ. - 2017. - 57, №3. - С. 536-552.

[27] Чен Ф., Введение в физику плазмы// Пер. с англ. М.: Мир. - 1987.

[28] Alexandre R., Weak solutions of the Vlasov-Poisson initial boundary value problem// Math. Methods Appl. Sci. - 1993. - 16, №8. - С. 587-607.

[29] Bardos C., DegondP., Global existence for the Vlasov-Poisson equation in 3 space variables with small initial data// Ann. Inst. H. Poincar^e Anal. Non Lin^eaire. - 1985. - 2, №2. - С. 101-118.

[30] Bardos C., Golse F., Nguyen, T.T., Sentis, R., The Maxwell-Boltzmann approximation for ion kinetic modeling//Physica D: Nonlinear Phenomena. - 2018. - 376-377. - С. 94-107.

[31] Batt J., Global symmetric solutions of the initial value problem of stellar dynamics// J. Differential Equations. - 1977. - 25, №3. - С. 342-364.

[32] Batt J., Fabian K., Stationary solutions of the relativistic Vlasov-Maxwell system of plasma physics// Chinese Ann. Math. Ser. B. — 1993. — 14, №3.

— C. 253-278.

[33] Batt J., Faltenbacher W., Horst E., Stationary spherically symmetric models in stellar dynamics// Arch. Ration. Mech. Anal. — 1986. — 93, №2. — C. 159-183.

[34] Batt, J., Jörn, E., Li, Y., Stationary Solutions of the Flat Vlasov-Poisson System//Archive for Rational Mechanics and Analysis. — 2019. — 231, №1. — C. 189-232.

[35] Belyaeva Yu.O., Stationary solutions of the Vlasov-Poisson system for two-component plasma under an external magnetic field in a half-space// Mathematical Modelling of Natural Phenomena. — 2017. — 12, №6. — C. 37-50.

[36] Belyaeva Yu. O., Skubachevskii A. L., On Classical Solutions to the First Mixed Problem for the Vlasov-Poisson System in an Infinite Cylinder// Doklady Mathematics. — 2019. — 99, №1. — C. 87-90.

[37] Ben Abdallah N., Weak solutions of the initial-boundary value problem for the Vlasov-Poisson system// Math. Meth. Appl. Sci. — 1994. — 17, №6.

— C. 451-476.

[38] Braasch P.,Semilineare elliptische Differentialgleichungen und das Vlasov-Maxwell-System// Dissertation, München. — 1997.

[39] Braun W., Hepp K., The Vlasov dynamics and its fluctuations in the 1/N limit of interacting classical particles// Comm. Math. Phys. — 1977. — 56, №2. — C. 101-113.

[40] Caprino S., Cavallaro G., Marchioro C., On a Vlasov-Poisson plasma confined in a torus by a magnetic mirror// J. Math. Anal. Appl. — 2015.

— 427, №1. — C. 31-46.

[41] DiPerna R. J., Lions P. L., Solutions globales dYequations du type Vlasov-Poisson// C. R. Acad. Sci. Paris S^er. I Math. - 1988. - 307, №12. - C. 655-658.

[42] Glassey R., Schaeffer J., On time decay rates in Landau damping// Comm. Partial Differential Equations. - 1995. - 20, №3-4. - C. 647-676.

[43] Golse F., The quantum N-body problem in the mean-field and semiclassical regime// Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. - 2018. - 376(2118). - C. 02-29.

[44] Greengard C., Raviart P.-A., A boundary value problem for the stationary Vlasov-Poisson equations: the plane diode// Comm. Pure Appl. Math. -1990. - 43, №4. - C. 473-507.

[45] Guo Y., Global weak solutions of the Vlasov-Maxwell system with boundary conditions// Comm. Math. Phys. - 1993. - 154, №2. - C. 245-263.

[46] Guo Y., Regularity for the Vlasov equations in a half space// Indiana Univ. Math. J. - 1994. - 43, №1. - C. 255-320.

[47] Hazeltine R.D., Meiss J.D., Plasma Confinement// Mineola, N.Y.: Dover Publications. - 2003.

[48] Horst E., On the classical solutions of the initial value problem for the unmodified non-linear Vlasov equation// I. General theory, Math. Methods Appl. Sci. - 1981. - 3, №1. - C. 229-248.

[49] Horst E., Hunze R., Weak solutions of the initial value problem for the unmodified non-linear Vlasov equation//Math. Methods Appl. Sci. - 1984. - 6, №1. - C. 262-279.

[50] Hwang H.J., Velazquez J.J.L., On global existence for the Vlasov-Poisson system in a half space//J. Differential Equations. - 2009. - 247, №6. -C. 1915-1948, ().

[51] Hwang H. J., Velazquez J. J. L., On the existence of exponentially decreasing solutions of the nonlinear Landau damping problem// Indiana Univ. Math. J. - 2009. - 58, №6. - C. 2623-2660.

[52] Hwang H. J., Regularity for the Vlasov-Poisson system in a convex domain// SIAM J. Math. Anal. - 2004. - 36, №1. - C. 121-171.

[53] Kiessling M. K.-H., Tahvildar-Zadeh A. S., On the relativistic Vlasov-Poisson system// Indiana Univ. Math. J. - 2008. - 57, №7. - C. 3177-3208.

[54] Mouhot C., Villani C., On Landau damping// Acta Math. - 2011. - 207, №1. - C. 29-201.

[55] Pfaffelmoser K., Global classical solutions of the Vlasov-Poisson system in three dimensions for general initial data// J. Differential Equations. -1992. - 95, №2. - C. 281-303.

[56] Rein G., Existence of stationary, collisionless plasmas in bounded domains// Math. Methods Appl. Sci. - 1992. - 15, №5. - C. 365-374.

[57] Schaffer J., Global existence of smooth solutions to the Vlasov-Poisson system in three dimensions// Comm. Partial Differential Equations. -1991. - 16, №8-9. - C. 1313-1335.

[58] Skubachevskii A.L., Nonlocal elliptic problems in infinite cylinder and applications// Discr. Contin. Dynam. Systems. Ser. S. - 2016. - 9, №3.

[59] Vedenyapin V., Sinitsyn A., Dulov E., Kinetic Boltzmann, Vlasov and Related Equations// Elsevier, Amsterdam. - 2011.

[60] Weckler J., On the initial-boundary-value problem for the Vlasov-Poisson system: existence of weak solutions and stability//Arch. Ration. Mech. Anal. - 1995. - 130, №2. -C. 145-161.