Численное моделирование электромагнитного управления вектором тяги плазменного двигателя тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Морозов, Александр Валерьевич

• Морозов, Александр Валерьевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Морозов, Александр Валерьевич

СОДЕРЖАНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОТОКА РАЗРЕЖЕННОЙ ПЛАЗМЫ, ИСТЕКАЮЩЕЙ ИЗ ЭРД

1.1. Математическое моделирование потока разреженной плазмы, истекающей из сопла щелевого типа

1.1.1. Физическая и математическая постановка задачи

1.1.2. Блочная «нуль-мерная» модель плазменной струи

1.1.3. Численная модель задачи Власова-Пуассона и алгоритм её решения

1.1.4. Результаты численного моделирования

1.2. Математическое моделирование потока разреженной плазмы, истекающей из сопла цилиндрического типа

1.2.1. Физическая и математическая постановка задачи

1.2.2. Блочная «нуль-мерная» модель потока плазмы

1.2.3. Результаты численного моделирования

1.3. Выводы ПО ГЛАВЕ 1

2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВОРОТА СТРУИ РАЗРЕЖЕННОЙ ПЛАЗМЫ, ИСТЕКАЮЩЕЙ ИЗ ЭРД

2.1. Физическая и математическая постановка задачи

2.2. Блочная «нуль-мерная» модель взаимодействия плоского потока плазмы с поперечным магнитным полем

2.3. Численная модель задачи и реализация алгоритма

2.4. Результаты численного моделирования

2.5. Управление углом поворота вектора тяги

2.6. Выводы по главе 2

3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРАВЛЕНИЕМ МОДУЛЯ ВЕКТОРА ТЯГИ ЭРД

3.1. Физическая и математическая постановка задачи

3.2. Блочная «нуль-мерная» модель управления вектором тяги ЭРД

3.3. Результаты математического моделирования

3.4. Выводы по главе 3

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Приложение 1. Решение двумерного уравнения Пуассона методом матричной прогонки

Приложение 2. Расчет траектории движения заряженной частицы в поперечном магнитном поле

Приложение 3. Расчет магнитного поля замкнутого контура с током и соленойда

Приложение 4. Расчет магнитного поля намагниченного цилиндра

Приложение 5. Решение уравнений Власова

~2 ~

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование электромагнитного управления вектором тяги плазменного двигателя»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность проблемы. Решение практических задач по исследованию и освоению космического пространства можно осуществлять с использованием электрических ракетных двигателей (ЭРД), в которых происходит ускорение ионизированного рабочего тела. В настоящее время в различных странах, включая Российскую Федерацию, проводятся интенсивные работы по созданию оптимальной конструкции ЭРД, предназначенного для этих целей. При этом актуальной задачей является управление вектором тяги движителя как по величине так и по направлению. Возможны чисто механические методы управления, когда поворачивается весь движитель вместе с соплом или создаются дополнительные управляющие сопла, однако такие способы управления вектором тяги оказываются достаточно громоздкими и энергозатратными. Более привлекательными могут оказаться электромагнитные методы управления. Например, поворот вектора тяги можно осуществлять с помощью поперечного магнитного поля. Возникающие в этом случае электромагнитные силы отклоняют поток заряженных частиц перпендикулярно вектору скорости и вектору индукции магнитного поля.

Экспериментально такие работы были впервые проведены в лаборатории Ю.В. Кубарева в 1963 г. (рис 0.2) [1] В результате было разработано устройство управления полетом ракеты с плазменным движителем, отличающееся тем, что для изменения направления полета ракеты путем поворота струи плазмы в нем установлена магнитная система, состоящая из нескольких электромагнитов, симметрично расположенных на кольцевой раме, укрепленной на сопле движителя (рис 0.1). Система позволяет создавать поперечное магнитное поле, отклоняющее поток плазмы на заданный угол. Изменение направления вектора тяги осуществляется без

механического поворота сопла движителя ракеты или включения дополнительных управляющих движителей. Однако надежной математической модели управления направлением вектора тяги плазменного движителя с помощью магнитного поля до сих пор не разработано. Между тем вычислительные эксперименты совместно с физическими экспериментами позволяют более эффективно осуществить оптимизацию системы электромагнитного управления поворота вектора тяги ЭРД. Сейчас уже существуют ряд ЭРД позволяющих непосредственно осуществлять управление потоком.

Рис.0.1 Источник плазмы с магнитной системой, управляющей и

вращающей струю

Полезно также отметить ряд работ по изучению движения плазменных

сгустков в поперечных магнитных полях [16], в которых эффекты

поляризации и дрейфа проявляются ещё в большей степени. В общем случае

плазменный поток в таком поле, как правило, движется по криволинейной

траектории. При некоторых условиях имеет место разделение потока: часть

его за счёт дрейфа продолжает движение в направлении инжекции, другая

часть, захваченная магнитным полем, движется вдоль магнитных силовых

линий. Применительно к рассматриваемому случаю движение плазмы в

поперечном поле соответствует значительному удалению отклоняющей

~ 4 ~

системы от ускорителя (МПДУ), или большой величине управляющего (поперечного) магнитного поля, воздействующего на струю. Проведенные исследования показывают, что решающую роль в механизме взаимодействия плазмы с магнитным полем играет величина этого поля и параметры плазменного потока - в первую очередь её плотность (концентрация частиц) и скорость. При увеличении этого поля (при прохождении струи отклоняющей системы) происходит частичное торможение плазмы -особенно на периферии потока. При выходе из этой области плазма ускоряется. С увеличением энергии переносного движения потока для сохранения его захвата криволинейным магнитным полем приходится увеличивать это поле. При этом дрейф в скрещенных магнитном и поляризационном полях не приводи к выбросу всей плазмы или её распаду. Это связано с тем, что роль поляризационного поля ослаблена каким-то существенным эффектом, так как согласно теории, развитой в [17], этой поляризации вполне достаточно, чтобы плазма «не замечала» изгибов магнитного поля.

Рис. 0.2 Управляющая магнитная система (УМС): не отклоненная и отклоненная струя плазмы поперечным магнитным

полем

Темой данной работы является создание численной модели взаимодействия потока плазмы, ее реализация виде прикладных программ и анализ полученных результатов задачи о струе плазмы, истекающей из сопла плазменного движителя и ее взаимодействия с магнитным полем. Основываясь на вышесказанном, можно сделать вывод о том, что задача моделирования электромагнитного управления вектором тяги является актуальной.

Практическая ценность. Применение численного моделирования динамики потока плазмы позволяет дополнить физические эксперименты и помочь объяснить полученные результаты, так как моделирование процесса позволяет проанализировать получаемые результаты для каждого параметра в отдельности. В данной работе исследования основывались на численном моделировании, что в условиях сложности поставленной задачи позволило получить метод исследования динамики струи плазмы исключительно с применением ЭВМ средней мощности, при этом оставляя свободу выбора геометрических размеров сопла, отношения температур ионов и электронов, отношения масс ионов и электронов, направленной скорости потока плазмы и магнитного поля. Практическая ценность полученных результатов выражается в том, что:

• разработанные в первой главе блоки прикладных программ по моделированию динамики потока плазмы, истекающей из ЭРД с прямоугольным и цилиндрическим соплом, могут найти применении при исследовании и оптимизации электрореактивных движителей, а также методов их диагностики.

• Математические и численные модели взаимодействия потоков разреженной плазмы с поперечным магнитным полем полезны при конструировании поворотных узлов вектора тяги ЭРД; при создании систем по нейтрализации энергетического заряда с высотных

спутников; при исследовании других систем, где встречается поток плазмы в поперечном магнитном поле.

• Математические и численные модели взаимодействия потока плазмы с ассиметричным магнитным полем могут найти применение при создании системы по управлению модулем вектора тяги ЭРД. Результаты выносимые на защиту. Основные результаты диссертации опубликованы в трех статьях [25-27] в журналах, входящих в перечень ВАК и 10 тезисах докладов международных научных конференций [34-43].

Диссертация состоит из введения, трех глав, списка используемых источников и приложений.

В первой главе рассматривается задача моделирования динамики потока плазмы для двигателей с соплом цилиндрической и щельевой геометрии. Изложение ведется в следующей форме: вначале формулируется физическая постановка задача, затем на ее основе строится математическая модель, включающая уравнения Власова для заряженных частиц и уравнения Пуассона. Далее приводится упрощенная нуль-мерная модель задачи, которая может быть использована для грубого качественного аналитического решения задачи. Далее описывается численная модель задачи и метод ее решения, основанный на методе крупных частиц Ю.М. Давыдова. Также приводится алгоритм решения задачи. При помощи разработанного программного обеспечения [30,32] на основе описанного алгоритма представлены и проанализированы полученные результаты. Использование симметрии задачи в отсутствии воздействия внешних сил, позволило перейти от случая с шестью фазовыми переменными к четырем фазовым переменным. Особое внимание уделено эволюции функции распределения.

Во второй главе для исследования поворота струи плазмы используется только сопло щельевого типа. В начале главы формируются постановка задачи, затем описывается математическая модель, которая аналогично первой главе состоит из системы уравнений Власова для заряженных частиц

обоих знаков и уравнения Пуассона. Отличие состоит в учете поперечного магнитного поля. Далее приводится нуль-мерная модель задачи, в результате которой получается наглядная зависимость влияния угла поворота от параметров задачи. Однако, так как в данной модели пренебрегается влиянием самосогласованного электрического поля, она может использоваться только для качественной оценки. Для решения поставленной изначальной задачи вводиться декартовая система координат. А в силу того что по оси Z отсутствуют внешние силы количество фазовых переменных удается уменьшить до четырех. Описывается алгоритм решения задачи, составленное программное обеспечение [31] и результаты численного моделирования. Как и в предыдущей главе исследуются зависимости профилей потенциалов, полей скоростей и функций распределений.

Третья глава диссертационного исследования посвящена решению задачи управления модулем вектора тяги. Для этого используется струя цилиндрической геометрии, проходящая внутри витка, цилиндра или соленойда с током. По своей структуре данная глава походит на предыдущие две главы. В ней также приводиться постановка задачи, метод ее решения на базе метода крупных частиц Ю.М. Давыдова, алгоритм и результаты полученные при помощи разработанной программного обеспечения [33]. Данную задачу также удается свести к 4х мерной в фазовом пространстве. В данной главе приводиться исследование влияния сложных неоднородных ассиметричных магнитных полей на параметры задачи и функции распределения заряженных частиц.

1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОТОКА РАЗРЕЖЕННОЙ ПЛАЗМЫ, ИСТЕКАЮЩЕЙ ИЗ ЭРД

В данной главе рассматривается задача моделирования динамики квазинейтральной струи плазмы, истекающей из сопла плазменного двигателя. Предполагается, что плазма состоит из электронов и однозарядных ионов. Для описания динамики потока сформирована модель, представляющая собой систему уравнений Власова для ионов и электронов и уравнение Пуассона. Рассматривались геометрические формы сопла в виде удлиненного прямоугольника и цилиндра, в обоих случаях удалось снизить размерность задачи. Если в общем случае задача шестимерная в фазовом пространстве и нестационарная, то в используемой геометрии она становится четырехмерной или пятимерной нестационарной. Для решения полученной упрощенной системы системы уравнений, записанной в безразмерном виде, сформирована вычислительная модель, основанная на методе крупных частиц Ю.М. Давыдова, дополненная решением уравнения Пуассона на каждом временном шаге методом конечных разностей или матричной прогонки. Разработаны и описаны алгоритмы решения данной задачи на основе описанных выше методов решения. Создано программное обеспечение, с помощью которого получены и проанализированы результаты численного моделирования, а именно влияние отношения температуры ионов и электронов, отношения масс, начальной скорости струи и размеров сопла на функции распределения заряженных частиц в установившемся потоке плазмы. Рассмотрены также профили концентраций и скоростей заряженных частиц в потоке, а также изолинии самосогласованного электрического поля. В данной главе также составлена нуль мерная «блочная» модель плазменной струи, позволяющая произвести быструю качественную оценку поведения струи при различных параметрах задачи.

1.1. Математическое моделирование потока разреженной плазмы, истекающей из сопла ¡целевого типа

1.1.1. Физическая и математическая постановка задачи

Рассматривается следующая физическая постановка задачи. В вакуумное пространство из сопла электрореактивного движителя (ЭРД) истекает квазинейтральная струя плазмы со скоростью Ио- Предполагается также, что частицы в плазме движутся в самосогласованном электрическом поле, влияние внешнего магнитного поля будет рассмотрено во второй и третьей главах. Начальное распределение ионов и электронов на срезе сопла максвелловское. Поведение частиц во времени I характеризуется радиус-вектором г и вектором скорости V. Задача состоит в изучении функции распределения однозарядных ионов (ФРИ)

/¿(г, V, £) и электронов (ФРЭ) /е(г,у,£), а также профилей скоростей и концентраций заряженных частиц в потоке и изолиний самосогласованного электрического поля.

Эволюция функции распределения заряженных частиц описывается с помощью кинетических уравнений Власова: [1,4]

О/ э/а э/

а = ,'е' О-')

где - результирующая сила, отнесенная к единице массы. Индекс / относятся к ионам, е - к электронам.

Уравнение (1-1) дополняется уравнением Максвелла для самосогласованного электрического поля:

УЁ = Ё = -Чср

£0

Е - напряженность электростатического поля; р - объемная плотность заряда; £0 - электрическая постоянная; <р - электростатический потенциал. Если подставить вторую формулу в первую, получим уравнение Пуассона:

(1.2)

В данном разделе рассмотрим струю, истекающую из сопла в форме удлиненного прямоугольника (рис 1.1). Для решения поставленной задачи вводится декартовая система координат, показанная на рис.1.1.: ось Ъ направлена вдоль удлиненной стороны прямоугольного сопла; У - вдоль вектора скорости потока; X - вдоль короткой стороны сопла, равной Ь. Такое сопло также называется соплом щелевого типа, тогда Ь - ширина щели.

Рис. 1.1 Расположение сопла в декартовой системе координат

Положение частицы в пространстве в общем случае будет определятся координатами х,у, ъ, а скорость - координатами ух, уу, уг. В силу того, что по оси Ъ на частицы не действует никаких внешних сил, суммарная компенсирующая сила по этой оси будет равна нулю. Тогда функции распределения частиц в этом случае будут зависеть только от четырех фазовых переменных и времени:

/а=/а(Х У.т>Хя>1?Уа,0. (1 3)

Запишем самосогласованную систему уравнений (1.1) - (1.2) в приведенной системе декартовых координат:

+ у у - д?а I ЕхЯа , ЕуЧа , дfa =0

дЬ Ха дх Уа ду та дуХа та дууа О-4)

д2<р д2<р ___^ у

Е = -Ч(р

па =

2кТ,

+ 00 +00

а

171

а

/а (X У> Ух> уу>

(1.5)

(1.6)

— 00 —00

Полученная система уравнений (1.3) - (1.6) составляет математическую модель данной задачи; начальные и граничные условия будут рассмотрены ниже.

Система уравнений, приведенная выше, приводилась к безразмерному виду. В качестве масштабов были взяты следующие:

' \ V

масштаб длины

масштаб скорости

масштаб концентрации масштаб потенциала

- ГДебая - х

(1.7)

1(Ъ

м,

= (2ктл'2

\та )

а = I, е.

М-п ^сопло

мф =

кТ1

(1.8)

(1.9) (1.10)

формулам размерностей,

Остальные масштабы находятся по соответствующих единиц. В результате система безразмерных уравнений будет иметь следующий вид:

дЬ дг

+

л

дА+ дА

дь + ^ дх

ТеЩ / д^ Т(гпе \Хе дх

+ ^ ду

2 \ ду.у. у ду.

= О

У и

а/л 1 щ£г£ ( а/е ^^ а/е

+ IV — 1 - - -— \ЕГ--+ Ех

Уе

ду

(1.11)

2 АтеТе

дУу

ду.

= О

Уе/

д2(р , д2ср

* + — = пе - щ;

дх2 " ду2 '"е (1-12)

Для решения системы дифференциальных уравнений математической модели, сформированной выше, необходимо задать начальные и граничные условия. Для уравнений Власова (1.4), (1.11) необходимо задать начальную функцию распределения для ионов и электронов. Кроме того, должно быть заданно граничное условие для ФРИ и ФРЭ на границах расчетной области.

~ 12 ~

Для решения уравнения Пуассона (1.5), (1.12) необходимы граничные условия для потенциала на срезе сопла и его значение на внешней границе расчетной области.

В качестве начального распределения частиц на срезе сопла было выбрано равновесное распределение Максвелла:

где п0 - концентрация частиц на срезе сопла.

Как показали методические расчеты, начальное распределение существенно влияет на процесс установления решения, но оказывает слабое влияние на стационарное решение.

Примем за начало отсчета потенциала поверхность на выходе сопла, таким образом на срезе сопла (р = 0. Так как расчетная область выбирается достаточно большой, а поток плазмы в конечном счете расспадается на внешней границе, в качестве граничных условий берутся значения концентрации и функций распределения окружающей среды, то есть, для вакуумного пространства: /а = 0, ср = 0.

/а = п0(та/(2пкТа))2 ■ ехр -

з

та(у - и0)2

2 кТа

(1.13)

1.1.2. Блочная «нуль-мерная» модель плазменной струи

В иерархии моделей описания плазменных систем «нуль-мерные» модели (блоки) находятся на самом низком уровне. Они допускают моделирование блоками и описание с помощью обыкновенных («нульмерных») дифференциальных уравнений. Несмотря на это такие модели в ряде случаев грубо позволяют описать плазменную систему в целом.

X

сопло

блоки (ионый и электронный)

Рис. 1.2 Схема потока истекающего из сопла щелевого типа

Истекающую струю представим в виде двух совмещенных блоков: ионного и электронного [6]. Учитывая, что масса электронов много меньше массы ионов (тг » те), а температура электронов, как правило, значительно больше температуры ионов (7^ < Те), нетрудно подсчитать, что средняя скорость электронов на четыре с лишним порядка превышает среднюю тепловую скорость ионов и их направленную скорость.

(уе) » (У;); и0 (1.14)

Из неравенства (1.14) следует, что в начальной момент времени электроны из электронного блока начинают улетать в окружающие пространство, вследствие чего электронный блок будет иметь меньшую концентрацию, чем ионный: п, > пе. Поскольку оба блока перемещаются вдоль оси У со скоростью и0, в этом направлении появляется плотность тока: )у = е(щ - пв)и0 = ещи0(1 - 6). ^ 15)

где 8 = Пе/п.

величина 8 определяется из условия, что возникающий в струе положительный потенциал препятствует дальнейшему обеднению электронного блока электронами.

Полный ток на единицу длины струи (единица длины вдоль оси Т) определяется выражением:

1ец= = ещ[]01(1- 8), [а/м] ^ 16)

Оценим возникающую разность потенциалов между осью симметрии и краем струи (центром и краем электронного и ионного блоков). Воспользуемся уравнением Максвелла:

fSd3=if

pdv

(1.17)

где Ё - вектор напряженности электрического поля; £0 - электрическая постоянная; р - объемная плотность заряда;

Выбираем замкнутую поверхность 8 с учетом симметрии задачи согласно рис. 1.3. в виде цилиндра 5 = 2БТ +

X

сопло

1-J

блоки (ионый и электронный)

/ St п Е Y

/ 1«

/ ч ST

Рис. 1.3 К расчету вектора Е Торцы цилиндра 5Т располагаются параллельно плоскости симметрии

потока. С учетом этого поверхностный интеграл: Ëds = 2 Eds =

2E(x)ST. Объемный интеграл: / pdv = / (щ — ne)edv = (n, — ne)eSr2x.

Приравнивая левую и правую части уравнения (1.17), имеем:

1

Е(х)=—ещ( 1-6)х /1Л8ч

£0 v

Приведя уравнение (1.18) к безразмерному виду (используя систему масштабов описанных в предыдущей главе), получим:

Е(х)=щ(1-0)х (1.19) График зависимости Е(х) приведен на рис. 1.4.

По формулам связи напряженности и потенциала, находим

распределение потенциала вдоль оси X (за ноль потенциала принят

потенциал на краях электронного и ионного блоков)

^ 2) ~ ^^ = ¡~L/2 EdX = ~2Г0еП^1~ ^ ~ х2)' откуда:

<Р(х) = ¿T^iC1 ~ (LV4 - (1-20)

1

^ =8—en^1~S)L2 (1.21)

Приведя уравнение (1.20) к безразмерному виду, получим:

<К*)=!(1-5)(12/4-*2) (1.22)

График зависимости (р(х) приведен на рис. 1.4. Формула (1.20) позволяет оценить максимальную разность потенциалов между центром струи и ее краем при различных значениях соотношения 8.

о

¡3

-О

&

о ж

зс

4» £

О.

сг то □с

-4 -3

-1

Рис. 1.4 Графики зависимости потенциала и электрического поля от х В данном параграфе рассмотрен простой пример «нуль-мерной» модели истечения струи плазмы из щелевого сопла электроракетного движителя. Далее в разделе 1.2.3 первой главы рассмотрены более совершенные модели, а в разделе 1.2.4 будет показано соотношение полученных результатов и более реалистических данных.

Кроме того, во второй главе будет исследована «нуль-мерная» модель о взаимодействии потока плазмы, истекающей из щелевого сопла ЭРД с поперечным магнитным полем.

1.1.3. Численная .модель задачи Власова-Пуассона и алгоритм

её решения

Для численного решения безразмерной системы уравнений (1.10) -(1.11) с начальными и граничными условиями используется модификация метода крупных частиц [3] для решения кинетических уравнений Власова, применяемая совместно с одним из сеточных методов решения уравнения Пуассона. Этот метод позволяет моделировать физический процесс установления функции распределения заряженных частиц в потоке плазмы.

Уравнение Пуассона решалось методом конечных разностей (FDM) с граничными условиями Дирихле и/или Неймана или методом матричной прогонки [5]. Реализация данных методов, применяемая в данной задаче приведена в приложениях 1 и 2. В ходе методических расчетов оба этих метода выдавали схожие результаты, не оказывающие заметного влияния на эволюцию функции распределения, поэтому вследствие лучшей сходимости и скорости счета в большинстве расчетов, приводимых в разделе 1.1.4, применялся метод матричной прогонки.

Динамика истечения плазмы из сопла в вакуум моделировалась итерационным решением системы уравнений (1.10) - (1.11) до установления структуры потока в пределах заданной расчетной области. Шаг по времени выбирался по результатам методических расчетов, в качестве начального значения бралось значение, удовлетворяющее условию Куранта:

(1.13)

где hr - шаг расчетной области XY, a hv — шаг в фазовом пространстве VxVy.

Размеры расчетной области подбирались таким образом, чтобы поток успевал распасться и интеграл функции распределения И fa(.x> У> vx> vy> t)dvxdvy на границах расчетной области был близок к нулю, так как точность метода во много зависит от размеров области с эйлеровой

сеткой, а численная диффузия идет в направлении сноса и слабо зависит от размерности фазового пространства.

Общий алгоритм решения состоит в решении уравнения Пуассона и нахождении значений напряженности электрического поля Ех, Еу, используемых далее при решении уравнений Власова и перераспределении электронов и ионов в фазовом пространстве, после чего данный алгоритм повторяется для каждого шага по времени. Таким образом в отличии от описанного ранее в главе 1.1.2 «нуль-мерной» модели данный метод позволяет достаточно точно исследовать влияние изменяющегося электрического поля на функции распределения.

В качестве входных параметров, варьировались следующие значения: ширина щелевого сопла, величина направленной скорости потока 11о, шаг по

времени, отношение масс т£/т и температур ^/т заряженных частиц.

е 1 е

Результатом расчетов, являются функции распределения заряженных частиц и значения потенциалов и напряженности электрического поля.

Для реализации численной модели задачи истечения разреженной плазмы из щелевого сопла был разработан программный блок, написанный на высокоуровневом языке программирования С# 4.0 с использованием библиотеки линейной алгебры МАРАСК. Для задания входных параметров и вывода результатов вычислений программа снабжена графическим интерфейсом. На рис. 1.5. приведен общий вид главного окна приложения, используемого как для ввода начальных параметров, так и для графического вывода результатов. В зависимости от выбранного пользователем режима программа способна отображать профили концентраций и потенциалов, строить векторные поля скоростей заряженных частиц и напряженности электрического поля, а также строить графики зависимостей различных величин от X, У.

Рис. 1.5 Вид главного окна программы В ходе вычислений результаты моделирования сохраняются автоматически через заданное в настройках время в бинарные сжатые алгоритмом Ъг\р2 файлы с расширением *.Ып. Полученные в результате работы программы значения функций распределения частиц и профили потенциалов и напряженности электрического поля также могут быть экспортированы в текстовые данные и сохранены в форматах *.cfg или *.сИт для обработки результатов и построения графиков в сторонних приложениях.

Алгоритм математического блока моделирования программы реализован согласно блок схеме, представленной на рис. 1.6.

Кглг/умг ч г «и РЛ v

Итгерация № 6348

Процесс üO/жгь Графики

Время и продолжительность расчета Время Шаг 0.00100 4-

Входные параметры даигателя Отношение масс Mt/Me 1835.00 С Отношение темп Б/Те 0 5000 * Скорость струи 4.00 *

Радиус сопла 13 *

Геометрия расчетной области x/v» y/w

Число узлов 51 С 75 С-

Шагпоосям 1.00 : 1.0С : Шаг скоростей 0.45 0.45 *

Границы довер расчетной области v&ci -9 : Vyi -ю : Ух2 9 : VV2 20 :

Точность и методы моделирования Предел Е ф-цци расп 0,0000100000

Предел I ф-ини расп Q.GQG010000Ü *

Предел IE ф-ции расп. О.ООО01ШЮО С

Й Двойная точность {""14 15 знаков)

CPU: 0% RAM: 54 340 KiB

Рис. 1.6 Блок схема работы программы для случая щелевого сопла

1.1,4 Результаты численного моделирования

С использованием описанной в предыдущем параграфе разработанной программы проведены серии численных расчетов. При проведении расчетов исследовались изменения функций распределения частиц и напряженности самосогласованного электрического поля в зависимости от различных значений направленной скорости потока, отношения масс и температур ионов и электронов, а также ширины щелевого сопла.

На рис. 1.7.а, 1.7.6, 1.7.в, 1.7.г приведены поля концентраций ионов при

различных параметрах задачи: отношении температур ионов Т^ и электронов

т

Те е = — , величины направленной скорости на срезе сопла и0 , ширины

Те

сопла Ь. При повышении начальной скорости и0 и отношения температур г, поля концентраций приобретают более остроконечную каплевидную форму, что связано с увеличением температуры электронов, которое оказывает влияние на распределение потенциала в потоке, приводя к образованию "ямы" отрицательного заряда (рис. 1.8.а). Как видно из рис. 1.8.б,в при уменьшении температуры электронов "яма" почти исчезает. Образующийся отрицательный потенциал притягивает ионы, тем самым увеличивая их скорость (рис. 1.10. в, г), что и оказывает влияние на поток ионов и его поле концентраций. На рис. 1.9. приведена зависимость максимума потенциала от У, при X = 0. Из графика видно влияние различных параметров на максимум потенциала, а именно: с увеличением направленной скорости и, происходит резкий рост максимум потенциала, а увеличение температуры электронов уменьшает потенциал и проводит к образованию большей "ямы" потенциала. При уменьшении ширины сопла Ь максимум потенциала становится меньше, что связанно с более быстрым рассеиванием ионов и электронов по оси X.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Морозов, Александр Валерьевич, 2013 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. В.А. Котельников, В.П. Ким, М.В. Котельников. Взаимодействие тел с потоками разряженной плазмы. М.:МАИ-ПРИНТ, 2009, с 140-143

2. ж. "Наука и технологии в промышленности", ООО "РУСИНТЕР" 2009, вып. 1 с. 12-17

3. Бабкин Г.В., Вахниченко В.В., Иванов В.А., Левицкий Ю.Е., Лукьященко В.И., Морозов Е.П. Антистатическая защита отечественных космических аппаратов. Состояния проблемы и перспективы её решения. Сб. Космонавтика и ракетостроение, ЦНИИМАШ, 2003 г., № 1 (30), с. 5-14.

4. Дегтярев В.И., Попов Г.В., Графодатский О.С., Исляев Ш.Н. Электризация спутника на круговой (около 20 тыс. км.) орбите. Преп. 14-88. Сибирский институт земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн. Иркутск, 1988.

5. Графодатский О.С., Исляев Ш.Н. Методы и средства защиты космического аппарата от электризации. Иследование по геоматизму, аэрономии и физике Солнца. М: Наука, 1989, вып. 86, С. 168-180.

6. Арцимович Л.А., Гродзовский Г.Л., Данилов Ю.И. и др. Научные результаты полета автоматических ионосферных лабораторий "Янтарь". Ученые записки ЦАГИ, 1976, Т. 1, № 3, с. 65.

7. A.C. (СССР) №166974 от 04.02.63 и №196183, пр. от 29.10.63. Кубарев Ю.В. Источник газоразрядной плазмы.

8. A.C. (СССР) №673118 от 06.01.77, №755171 от 03.04.78 и др. Кубарев Ю.В., Коршаковский С.И., Красненков М.А. Способ диагностики плазменной струи.

9. Кубарев Ю.В. Полеты на марс, электрореактивные двигатели настоящего и будущего. Наука и технологии в промышленности. 2006. №2, с. 19-35.

Ю.Кубарев Ю.В., Романовский Ю.А., Часовитин Ю.К. и др. Предварительные научные результаты исследовательской работы МПД-ускорителя в верхних слоях атмосферы. Материалы IV Всес. Конф. по плазменным ускорителям ионным инжекторам. М. 1978, С 209-211.

11. Cohen Н.А., Human J., Robson R.R. et all. Automatics charge control system for geosyncronous satillities/ Journ. of electrostatics, 1987, v. 20, № l,p. 141-154.

12. Schmidt G., Phys. of Fluids, V.3, No.6, p.961 -965, 1960 264.Eubank P. and Wilkerson Т., Phys. of Fluids, V.4,No.l 1, p. 1401-1411, 1961

13. СафроновБ.Г. и др. ЖТФ, 31, вып.6, с. 678-681, 1962

14. Демичев В.Ф. и др., Атомная энергия, 19, вып.4, 329-335, 1965

15.Войценя B.C. и др. В сб. «Физика плазмы и проблемы управления термоядерного синтеза». -Киев: Наукова думка, вып.4, с. 334-341, 1965

16. Синельников К.Д., Руткевич Б.Н. Лекции по физике плазмы, Харьков, с. 223-227,1964

17. Schmidt G., Phys. of Fluids, V.3, No.6, p.961 -965, 1960 264.Eubank P. and Wilkerson Т., Phys. of Fluids, V.4, No.l 1, p. 1401 -1411, 1961

18. Eubank P. and Wilkerson Т., Phys. of Fluids, V.4, No.l 1, p.1401-1411, 1961

19. Синельников К.Д. и др., ЖТФ, 33, вып. 9, с.1055-1058, 1963

20. М.В. Котельников, В.Ю. Гидаспов, В.А. Котельников. Математическое моделирование обтекания тел потоками бесстолкновительной и столкновительной плазмы. Изд-во Физматлит, 2010, 288 с. Поддержано РФФИ, грант № 08-08-13586 ОФИ-Ц.

21. Котельников В.А., Ульданов С.В., Котельников М.В. Процессы переноса в пристеночных слоях плазмы. М.: Наука, 2004г., 422с.

22. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Методы крупных частиц в газовой динамике. М.: Наука, 1982г., 392с.

23. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы математической физики, М.: Научный Мир, Москва, 2000г., 316с.

24. А.И. Морозов. Введение в плазмодинамику. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008г., 613с.

25. Морозов A.B. Котельников М.В. Котельников В.А. «О зондовых измерениях в следе спутника » Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск №44 за 2011 год. Объем статьи 9 страниц.

26. Морозов A.B. Котельников М.В. Котельников В.А. «Математическое моделирование потока разреженной плазмы, истекающей из плазменного двигателя. » Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск №50 за 2012 год. Объем статьи 8 страниц.

27. Морозов A.B. Котельников М.В. Котельников В.А. «Математическое моделирование поворота струи плазмы, истекающей из плазменного двигателя, поперечным магнитным полем.» Журнал «Вестник МАИ». 2013, т.20,№2, стр98-105.

28. Морозов A.B. Котельников М.В. Котельников В.А. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2011610442 «Программа обработки вольтамперных характеристик двух ориентированных цилиндрических зондов в потоке разреженной плазмы»

29. Морозов A.B. Котельников М.В. Котельников В.А. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2012661359 «Математическое моделирование взаимодействия потока разреженной плазмы с поперечным магнитным полем»

30. Морозов A.B. Котельников М.В. Котельников В.А. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2012661360 «Математическое моделирование потока разреженной плазмы, истекающей из сопла ЭРД прямоугольной формы»

31. Морозов A.B. Котельников M.B. «Зондовые измерения в следе спутника» Сборник трудов VIII Международной конференции неравновесным процессам в соплах и струях» 281-282 стр.', 2010г.

32. Морозов A.B. Котельников М.В. «Численное моделирование управления вектора тяги плазменного двигателя с помощью магнитного поля» Сборник тезисов «XXXVIII Международной (Звенигородской) конференции по физике плазмы и УТС». 223стр., 2011г.

33. Морозов A.B. Котельников М.В. «Исследование параметров плазмы в струе плазменного двигателя методами численного моделирования» Сборник тезисов «Материалы XVII международной конференции по вычислительной механики и современным прикладным системам». 562стр., 2011г.

34. Морозов A.B. Котельников М.В. «Математическое моделирование потока разряженной плазмы истекающего из прямоугольного сопла ЭРД» Сборник тезисов «10-я Международная конференция Авиация и космонавтика - 2011». 167стр., 2011г.

35. Морозов A.B. Котельников М.В. «О влиянии краевого и концевого эффектов на зондовые измерения в разреженной плазме» Сборник тезисов «XXXIX Международной (Звенигородской) конференции по физике плазмы и УТС». 176стр., 2012г.

36. Доклад «Численное моделирование потока разреженной плазмы, истекающего из цилиндрического сопла» Сборник тезисов «XXXIX Международной (Звенигородской) конференции по физике плазмы и УТС». 187стр., 2012г.

37. Морозов A.B. Котельников М.В. «Математическое моделирование потока разреженной плазмы, истекающего из цилиндрического сопла, в магнитном поле.» М.В. Котельников, A.B. Морозов, Сборник тезисов «Материалы IX международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях» 197 стр., 2012г.

38. Морозов A.B. Котельников M.B. «Численное моделирование струи разреженной плазмы, истекающей из цилиндрического сопла ЭРД.» М.В. Котельников, A.B. Морозов, Сборник тезисов «Материалы X международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях» 193 стр., 2013г.

39. Морозов A.B. Котельников М.В. «Компьютерное моделирование управления модулем вектора тяги ЭРД с помощью магнитного поля» Сборник тезисов «Инновации в авиации и космонавтике 2013». 182 стр., 2013г.

40. Морозов A.B. Котельников М.В. «Влияние величины и профиля осевого магнитного поля на модуль вектора тяги ЭРД» Сборник тезисов «Материалы XVIII международной конференции по вычислительной механики и современным прикладным системам». 182 стр., 2013г.

41. А.К. Андреев «Магнитостатика Феррорагнетиков» Издательство МАИ 2011гб 164 стр

42.0.М. Белоцерковский, Ю.М. Давыдов «Метод крупных частиц в газовой динамике» Изд. «Наука», г. Москва 1982г. 390 стр.

43.В.А.Котельников, М.В.Котельников, В.Ю. Гидаспов. «Математическое моделирование обтекания тел потоками столкновительной и бесстолкновительной плазмы» Изд. Физматлит, москва 20 Юг, 268 стр

44. Н.С.Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М.Кобельков «Численные методы» Москва Изд. «БИНОМ. Лаборатория знания» 2008 г,636 стр

45.0.М. Белоцерковский «Численное моделирование в механике сплошных сред» Москва Изд.Наука 1984г, 520стр

46.Н.Кролл, А.Трайвелпис «Основы физики плазмы» Изд. Мир, Москва, 1975г, 524 стр.

47. Ж.А.Биттенкорт «Основы физики плазмы» Молсква, изд. ФИЗМАТЛИТ, 2009г, 584 стр.

48.Ю.В. Кубарев., В.Н.Черник, Магнитоплазмодинамический ускоритель, его применение в наземных и космических условиях. 4.1. // Наука и технология в промышленности. 2008. №4 с.7-18

49. Ю.В. Кубарев, Ю.К. Часовитин «Основные результаты испытаний МПД-ускорителя в верхних слоях атмосферы» Материалы V Всесоюзной конф. По плазменным ускорителям и ионным инжекторам. М., 1982, с 142.

50. Синельников К.Д., Руткевич Б.Н. В сб. «Исследование плазменных сгустков», Киев: Наукова думка, 1965

51. Синельников К.Д., Руткевич Б.Н. Лекции по физике плазмы, Харьков, с 223-227, 1964

52.Спитцер Л., Физика полностью ионизированного газа, - М.:Мир, 1965

53.Александров В.Л., Герасимов В.Д. Попов Г.А. и др.. Эксперимент «Ариэль»: предварительные данные по инжекции плазмы в ионосфере.

54. Брухтий В.И., Глотова H.H., Поротников A.A., Пушкин Н.М. Эксперименты в космосе с использование торцевого плазменного ускорителя. // Материалы V Всес. Конф. По плазменным ускорителям и ионным инжекторам. М. 1982, с. 148

55.Арцимович Л.А., Гродзовский Г.Л., Данилов Ю.И. и др. Научные результаты полета автоматических ионосферных лабораторий «Янтарь». // Ученные записки ЦАГИ, 1976, Т.1,№3,с.65.

56. Иванов Т.В., Морозов А.И., Рылов Ю.П. и др. Применение плазменного ускорителя для воздействия на ионосферу земли. // Материалы IV Всес. Конф. По плазменным ускорителям и ионным инжекторам. М„ 1978, с 326-32

Приложение К Решение двумерного уравнения Пуассона методом матричной прогонки

Рассматриваемое уравнение:

д2ср д2ср 1 дю

+ + = (П1.1)

ду дх х ох

Где а = 0 для декартовых координат, и а = 1 для цилиндрических координат ( в этом случае осью Я является X, а осью 7. является У).

Граничные условия:

Первая граница: - Ъх {у)~ + ах (у}р = с, (у);

ох

Вторая граница: Ь2 (х)— + а2 {х)ср = с2 (х);

ду

Третья граница: Ь}{у)— + аъ (у)р = съ(у);

дх

Четвертая граница: - ¿>4 (*)— + д4 {х)ср = с4 (х).

ду

д<р

\х„ / = 0 ...Мх Расчетная сетка: = <

» К , у = О...Л^2

Разностная аппроксимация (П1.1):

<р,,,п ~2<Ри+<Р..,-1 | <Р,+1.У + | а 1 <р1+и -<Р,-и = ^

2,7 "1,1 Па,1

(П1.2)

Где: й,, = (х,+1 - х, X*, - ), = 0о+1 ~ ^ - 1 К, = (*,+! - ) ...граничных условий (с первым порядком аппроксимации):

П и ,

Первая граница: -Ъ{ ] -г——+ => = Д^и

хо)

_ __ _ (Х1 ~ Х0

1,7 «и ~ *о ) + ¿и ' и «и (*1 - *о ) + ¿>,7

<Р,,М2 - <Р,,Ыг-1

Вторая граница: -г---г + => = Хг,<Рыг-и + ^ ■

Третья граница: -—-г + = ¿>з,; => Уы^ =

Четвертая граница: - п-^ + а4 ,<р, 0 = ЬА, => ^ 0 = Ха,(Р,л + ,

(21 -*о)

64,

/¿4 , =

(21 -О )С4.)

Здесь / = 1 ...ТУ, -1, ] =

Запись (П1.2) в матричном виде (прогонка по индексу /):

---а-—

к

/7,

А/

+-—+

л., К

<р,-

1,7

1-а-

К

+ <Р.

'+1,7

1 + сг

/г,

'.7

1,1

А»

= "ЛЛ,-

С учетом условий на 2 и 4границах: Получается система вида:

(П1.3)

|-1д

1-а-

-7^(^,2 -(2-^Мл) 2,1

1+1,1

1-й ^

1 + а——

Л.+

2,1

'2,1 '

/ — 1.. • -1

к

V,-1,7

1-а-

/2

2^,7 "2^,7 +^,7-1)

/7,

2,7

Г л,, 1

+ ^.+1,7

= -ЛА»>

/ = -1, / = 2...Л^2 -2

<р,-

1,^2-1

1 -а-

А,

1,'

К,,

М2,

/ / \ \ Г ¿1,1

К*-2 1 К, _

А,

2,Л'г-1

В матричном виде:

Ф, = К 1><Р,.2>-<Р,,Ч1-2><Р,,К1-1}Г

Е2 - единичная квадратная матрица

2.ЛГ.-1

Л2., =

-(2-/4,,) 1

О О

"2,1 -2 1

'2,2

к к

2,2 2 2

О О

о о

1 -2

О О

К, н о . о

к

2,7 "2,7 2,7

1

-2

0.00

/г.

2,Л',-2 "2,ЛГ2-2 "2,N¡-2

1 -(2-Л,)

к И

Получается:

К,

\-а-

кп

£2Ф,_1-[2£2-Л2^1>,+

1 + а —

£2Ф,+1 / = 1...ЛГ,-1 (П1.4)

К (П1.4) следует прибавить условия на 1 и 3 границах:

Ф0=Х,Ф,+М1

Ф., =Х,ФА,_, +М

где:

>1.1 0

О X 1,2

о о

о о

о о

о о

Ал-,-1 0

0 *1,Л/2-1

^3.1 О О ^3,2

о о о о

о 0 . Хъ,щ-х О 0 0.0 Хъ„

Получается систему следующего вида:

-С0Ф0+50Ф1=-С0,

где:

С0 ^ Е1,В0 = Х^,С0 = Мх К

А. =

1 I' 1 -а—-

К..

£2,С, =2£2-Л2Д,,Д

1 +

Л

К

Е2, / =

С«, =^2» Л, =Х2^ЛГ, ="^2

Алгоритм матричной прогонки:

• Прогоночные коэффициенты:

а1=С0"1Л0=Х1, Д = Со1 ^ = М1

а

<+1

( Г л., 1 > Г Л,, 1

д = 2 Д2-Л2,Л,- X

1 ъ К,

V а,1 а>1

/г

к

2Е2 -Л2 Й, -

1 ^

1-аг—

К,

Л"1

£2ог,

1 -«-

к

ЕЛ + С,

(П1.5)

• Решение:

ФА, = ДЛ]+1 = (сА, -А„ащУ{Ам^щ +Сл,|)=(£2-Х2ал,),х(х2Дл,| +М2)

Решение на 2 и 4 границах находится из (П1.3) Для прогонки по у из (П1.2) имеем:

2<р,., - к.

2,7

А

+ <Ри+1 =-ЛА;С

учетом условий на 1 и 3 границах имеем систему:

+ ^1,7+1 =

<,7-1

"А,

/ 1 1 Л

Рал.

.1,7-1

(^2,7 - (2-^,7 Ку)-»?-^-С

1^3,7^^-1,7 -9N,-2

+ ^^-1,7+1 =

Д-1,7 +/"3,,

1 1

к к В матричном виде:

I-1 у

к2], 7 = 1. „ЛГ2-1

Е1 - единичная квадратная матрица (Л//-/)Х(А^-7); 1 1

= к

Г ] 2,7

'/г,7 ¥,-2,7 ' Л,-1,7

' 1 1Х

-н--

к к

л.,=

-!- 0 о

'1,2

"1,1 -2 1

Кл Кг

О

О

о

о о

А А К К

о о

о о

К,

\ -2

к

О О

о \

1,ЛГ,-2 "1,ЛГ,-2

о -!-

к

Л"1-2 \

(2-А7) к

А,=

Х\,1 1

К\ Кл

ООО

а,\

О

о о

о

о

«,1

о о о о

В результате:

О

а,N¡-2

О о

о ь

1 Хъ,1

И

-[2 Е1 -К, +«А>2>, + £,Ф/+1 = -^А„ У = 1..Л2 Следует добавить условия на 2 и 4 границах:

Ф0=Х,Ф1+М,

ФЛ, =Х2ФЛН+М2 где:

0.0 О

о ^2 2 . о о = . . ,

О 0 . О

_ 0 0.0

В результате система принимает вид:

-СоФо+ДоФ, =-С0> Л,Ф- С]Ф] + Вр^ = -О,, у = 1..тУ2-1

где:

С0 =Е2,В0 =Х,,С0 =М! Л, = , С, = 2ЕХ - (А,; + огАу , Я, = £,, (7, = , г

СЛ. А„2=Х2,0„2 =М2

Алгоритм матричной прогонки: • Прогоночные коэффициенты:

А< 0.0 о

о • О о

О 0 . о

0 0.0 х^

ах=С0'В0=Хх, /1Х=С?Е0=МХ

а,+] = (С; - А](Х])-' В] = (2Ех - (Л,,7 + >2,, " Е,а,)"',

=(С;-А1а)'1{А]Р] + С?>(2Ех -(л,,, +«А>2,7 -Е,«,)"' + С,) • Решение:

«ч = +0Ыг)=(Ех-ХгащУх{х2[3Ыг +М2)

Ф; =а]+ху]+х + Р]+х

Решение на левой и правой границах находится из соответствующих граничных условий:

Приложение 2. Расчет траектории движения заряженной частицы в поперечном магнитном поле.

Заданно: масса частицы т, ее заряд направленная скорость I), индукция магнитного поля В, линейный размер поля Ь. Требуется найти угол поворота частицы Аср.

т? <1 _ Сила Лоренца:

X X ш

X

___В- _

х х <8> х ^

X X X X /> /

х х х х/ X XXX /х X

Запишем 2й закон Ньютона для движения частиц по

X окружности

ьх

и2

т —

д

(дь И =

ти ~чв

'ЛИ. = Я - к

СОБ

£-А<р) = 8тАср = - =

Н hqB

Я ти

(П2.1)

При малых углах поворота:

Д<р[рад] =

НцВ ти

(П2.2)

Время поворота:

5ас ЯА(р тиА(р т

А1[с]=1Г = ЧГ = Цв1Г = ^вА(р

(П2.3)

Если магнитное поле не однородное, то аналогичные формулы приобретают вид интегральных соотношений, требующих численного интегрирования:

qB(h)dh

dcp =-—

rriiU

A(p = —[ B(h) dh

щи J0

Приложение 3. Расчет магнитного поля замкнутого контура с

током и соленоида.

П3.1) Расчет для контура с током:

t Z

K.cl(a,r ,z) :=

!-2-2

(h|<

L - meter I - amp