Схемы расщепления в смешанном методе конечных элементов и их применение для моделирования геотермальных процессов на суперЭВМ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат наук Воронин, Кирилл Владиславович

• Воронин, Кирилл Владиславович
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Воронин, Кирилл Владиславович

Оглавление

Введение

Глава 1 Постановка задачи и ее аппроксимация

1.1 Постановка задачи

1.2 Дискретизация по пространству

1.3 Полудискретная система

1.4 Дискретизация но времени. Схема с весами

Глава 2 Схемы расщепления для вектора теплового потока

2.1 Схемы расщепления с треугольной факторизацией

2.1.1 Схема на основе попеременно-треугольной факторизации

2.1.2 Схема на основе факторизации типа БЗОЯ

2.2 Схемы расщепления на основе алгоритма Удзавы

2.3 Схемы расщепления на основе скалярных схем расщепления для дивергенции теплового потока

2.3.1 Двумерный случай

2.3.2 Трехмерный случай

2.3.3 Аппроксимация потоковых схем расщепления на основе схем для дивергенции теплового потока

2.4 Устойчивость схем расщепления. Априорные оценки

2.4.1 Устойчивость в полунорме для потоковых схем расщепления. Общие результаты

2.4.2 Априорные оценки глобальной устойчивости для потоковой схемы расщепления на основе схемы переменных направлений

2.4.3 Априорные оценки глобальной устойчивости для потоковой схемы расщепления на основе схемы Дугласа-Гана

Глава 3 Вычислительные эксперименты

3.1 Сравнение схем по точности

3.1.1 Двумерный случай

3.1.2 Трехмерный случай

3.2 Априорные оценки и гладкость начальных данных

3.3 Сравнительный анализ производительности параллельных

реализаций с MPI и ОрепМР

3.3.1 Описание MPI реализации

3.3.2 Описание MPI/OpenMP реализации с "почтальонами"

3.3.3 Сравнительный анализ параллельных реализаций: MPI, "простой" MPI/OpenMP реализации и MPI/ ОрепМР с "почтальонами"

Глава 4 Численное моделирование термохронологии аккреционно-коллизионных процессов в литосфере Земли

4.1 Термохронологические реконструкции для нсопротсрозойской активной континентальной окраины Сибирского кратона

4.1.1 Физическая модель

4.1.2 Математическая модель

4.1.3 Результаты моделирования

4.2 Моделирование термохронологии косой позднепалеозойской коллизии в зоне Таймыр-Северноземельской складчатости

4.2.1 Физическая модель

4.2.2 Математическая модель

4.2.3 Результаты моделирования

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Схемы расщепления в смешанном методе конечных элементов и их применение для моделирования геотермальных процессов на суперЭВМ»

Введение

В настоящее время многие математические модели сложных физических явлений включают тем или иным образом описание процессов теплопере-носа. Такие модели в основном записываются в виде систем дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка, так как в этих терминах формулируются основополагающие физические законы сохранения. Естественным образом при этом возникает необходимость введения потоковых переменных, которые во многих приложениях также могут быть нужны для сравнения с результатами измерений физических приборов. Преимуществом сеточных систем, полученных после аппроксимации таких моделей, является их консервативность, т.е. выполнение законов сохранения на дискретном уровне. Одним из наиболее распространенных подходов к построению таких численных методов является смешанный метод конечных элементов (МКЭ). Для нестационарных задач после применения смешанного МКЭ для аппроксимации по пространству возникает система обыкновенных дифференциальных уравнений, для аппроксимации которой по времени применяется метод конечных разностей. В данной диссертации подобный подход применяется к системе дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка в терминах "температура - тепловой поток", описывающей процесс теплопереноса. В результате применения смешанного

МКЭ главным уравнением становится нестационарное векторное уравнение для теплового потока. Вопрос построения численных алгоритмов для решения уравнения для теплового потока на основе представления многомерного оператора в виде произведения одномерных в литературе рассмотрен относительно слабо. Известный подход, основанный на треугольной факторизации оператора, позволяет построить схемы расщепления для вектора теплового потока, однако эти схемы показывают недостаточно хорошую точность.

Данная диссертация посвящена исследованию вопроса построения эффективных численных алгоритмов в виде схем расщепления для вектора теплового потока при использовании смешанного МКЭ для аппроксимации по пространству. Центральная идея предложенного в работе подхода заключается в построении потоковых схем расщепления на основе скалярных схем расщепления для дивергенции теплового потока. Этот подход позволяет сконструировать целый класс новых алгоритмов, а также провести их численный и теоретический анализ. Особое внимание уделено возможности реализации построенных алгоритмов на многопроцесор-ных вычислительных системах, позволяющих решать сложные прикладные задачи со многими миллионами неизвестных. Среди приложений, в которых процессы теплопереноса играют главную роль, можно отметить, в частности, представленные в диссертации задачи моделирования термохронологии аккреционно-коллизионных процессов в литосфере Земли. В этих задачах динамика изменения температуры является одним из основных факторов, оказывающих влияние на формирование геологического состава рассматриваемых участков земной коры.

Далее по традиции приводятся некоторые соображения по поводу ак-

туальности рассматриваемой тематики, формулируются цели исследования, а также кратко отмечается научная новизна результатов. Кроме того, будет приведено описание содержания диссертации по главам с обзором литературных источников.

Актуальность данной тематики обусловлена следующими факторами. Во-первых, это существование практической потребности в моделировании процессов нестационарной диффузии и теплоперсноса как составной части сложных физических явлений. Зачастую связь между уравнениями в соответствующих математических моделях осуществляется не через температуру, а через ее градиент - тепловой поток. Поэтому такие модели обычно записываются в терминах систем дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка в смешанной постановке, где температура и тепловой поток являются независимыми переменными. К задачам, для которых естественно использовать смешанную постановку, можно отнести, например, задачу Стокса квазистационарного движения вязкой несжимаемой жидкости, уравнения тепловой конвекции в приближении Обербска-Буссинеска или неизотермическую многофазную фильтрацию. Одним из наиболее распространенных подходов к аппроксимации по пространству задач в смешанной постановке является используемый в диссертации смешанный метод конечных элементов. Для аппроксимации по времени в нестационарных задачах часто применяется классический метод конечных разностей. Однако в случае решения задачи теплоперсноса в смешанной постановке возникает необходимость решения векторного уравнения для теплового потока. Основную трудность представляет вопрос, как избежать обращения возникающего многомерного векторного оператора, тем или иным образом

заменив его на произведение одномерных операторов. Известный подход, основанный на треугольной факторизации оператора, позволяет построить схемы расщепления для теплового потока, однако эти схемы показывают недостаточно хорошую точность. В диссертации для решения этого вопроса предложен новый подход к построению схем расщепления для вектора теплового потока.

Во-вторых, численные алгоритмы должны быть надежны, т.е. иметь строгое теоретическое обоснование в виде априорных/апостериорных оценок или теорем о сходимости решения, полученного с помощью предложенных численных методов, к точному решению исходной задачи в некоторых нормах. Многие известные к настоящему моменту методы либо демонстрируют не слишком хорошую точность, либо их применение к решению прикладных задач недостаточно обосновано теоретически.

В-третьих, необходимыми требованиями к современным вычислительным алгоритмам являются экономичность и возможность реализации на суперЭВМ. Для решения сложных прикладных задач с достаточной точностью зачастую требуется использовать сетки с очень маленькими шагами по пространству, так что для расчетов необходимо использовать вычислительные системы с общей и распределенной памятью. Численные алгоритмы, полученные с помощью предложенного в данной диссертации подхода, обладают естественными возможностями для эффективного распараллеливания.

Цель представленной диссертационной работы - создание эффективных численных алгоритмов решения задач тенлопереноса в смешанной постановке с применением современных суперЭВМ.

Научная задача - разработать и исследовать подход к построению

численных алгоритмов для решения задачи теплопереноса па основе смешанного метода конечных элементов и скалярных схем расщепления для дивергенции теплового потока и создать эффективные реализации алгоритмов для проведения расчетов на современных суперЭВМ с общей и распределенной памятью. Это включает в себя следующие задачи:

1. Разработка схем расщепления для вектора теплового потока в двумерном и трехмерном случаях для решения задач теплопереноса.

2. Исследование аппроксимации, устойчивости и сходимости схем расщепления для вектора теплового потока, построенных с помощью предложенного подхода.

3. Разработка эффективных параллельных реализаций предложенных численных алгоритмов для проведения расчетов на современных многопроцессорных вычислительных системах.

4. Применение разработанных потоковых схем расщепления к решению прикладных задач моделирования термохронологии аккреционно-коллизионных процессов в литосфере Земли.

Теория и методы исследования. Теоретической основой решения поставленной научной задачи являются:

- смешанный метод конечных элементов (смешанный МКЭ), применяемый для аппроксимации по пространству;

- теория разностных схем на основе конечно-разностного подхода для аппроксимации по времени;

- схемы расщепления для решения уравнений математической физики.

При разработке параллельных реализаций предложенных в диссертации численных алгоритмов применялись технологии MPI и ОрепМР.

Для решения системы линейных алгебраических уравнений в рефе-ренсной схеме Кранка-Николсон использовалась функциональность PAR-DISO из библиотеки Intel® MKL.

Верификация разработанных численных алгоритмов проводилась как на серии тестовых расчетов с известными аналитическими решениями, так и на двумерных и трехмерных прикладных задачах численного моделирования термохронологии аккреционно-коллизионных процессов в литосфере Земли.

На защиту выносятся следующие результаты, соответствующие паспорту специальности 01.01.07 - вычислительная математика.

1. Новый подход к построению схем расщепления для теплового потока в смешанном методе конечных элементов для задач теплоперено-са в смешанной постановке, основанный на использовании скалярных схем расщепления для дивергенции теплового потока.

2. Априорные оценки устойчивости для температуры и теплового потока по начальным данным в подпространстве и по правой части для потоковых схем расщепления, построенных с помощью предложенного подхода на основе схемы переменных направлений и Дугласа-Ганна для дивергенции теплового потока в двумерном и трехмерном случаях, соответственно.

3. Параллельные реализации построенных схем расщепления для теплового потока с использованием технологий MPI, ОрепМР и MPI/ ОрепМР, предназначенные для решения двумерных и трехмерных

задач теплопереноса на современных суперЭВМ с общей и распределенной памятью.

4. Разработанные на основе предложенного подхода двумерные и трехмерные вычислительные модели динамики термохронологии аккреционно-коллизионных процессов в некоторых регионах литосферы Земли.

Научная новизна.

1. С использованием смешанного метода конечных элементов для аппроксимации по пространству и конечно-разностной аппроксимации по времени предложен новый принцип построения схем расщепления для вектора теплового потока па основе скалярных схем расщепления для дивергенции теплового потока.

2. Установлены априорные оценки равномерной устойчивости по начальным данным и по правой части для температуры и теплового потока для потоковых схем расщепления на основе схемы переменных направлений и схемы Дугласа-Ганна для сеточной дивергенции теплового потока в двумерном и трехмерном случаях, соответственно. Кроме того, приведены результаты численных экспериментов, демонстрирующих, что требования повышенной гладкости начального теплового потока в условиях соответствующих теорем действительно необходимы для сходимости.

3. Разработаны высокопроизводительные параллельные реализации предложенных схем расщепления на основе технологий MPI и ОрепМР, позволяющие для проведения расчетов использовать современные суперЭВМ с общей и распределенной памятью.

4. Построенные схемы расгцеплення для вектора теплового потока применены при численном моделировании аккреционно-коллизионных процессов в литосфере Земли в Татарско-Ишимбипской шовной зоне и в области Таймыр-Северноземельской складчатости.

Личный вклад соискателя. Основные теоретические результаты диссертации, касающиеся предложенного нового подхода к построению потоковых схем расщепления и его исследования, получены соискателем. Кроме того, соискатель самостоятельно выполнил все численные эксперименты для сравнения предложенного подхода с известными ранее, а также разработал параллельные реализации потоковых схем расщепления, показавших лучшую точность в тестовых расчетах, для проведения численного моделирования процессов теплопереиоса в смешанной постановке на современных суперЭВМ с общей и распределенной памятью. Прикладные задачи из области моделирования термохронологии аккреционно-коллизионных процессов были решены в ходе совместной работы над Интеграционными проектами СО РАН №54 и №76. В сотрудничестве с участниками Интеграционного проекта соискатель разработал вычислительную модель для решения поставленных задач. Кроме того, соискатель также участвовал в обсуждении постановок задач и анализе полученных результатов.

Научная значимость. Предложенный принцип конструирования схем расщепления для теплового потока в смешанном методе конечных элементов для задач теплопереноса позволяет построить и провести анализ целого класса потоковых схем расщепления. Кроме того, в рамках этого подхода можно в единообразной форме рассматривать также известные ранее схемы расщепления для теплового потока. На основе разложения

на сеточном уровне теплового потока на соленоидальную и потенциальную составляющие были получены априорные оценки равномерной устойчивости по начальным данным для теплового потока.

Практическая значимость. Построенные с помощью предложенного в диссертации подхода на основе скалярных схем расщепления для дивергенции теплового потока потоковые схемы расщепления для смешанного МКЭ показывают хорошую точность и могут быть использованы при решении прикладных задач. Разработанные параллельные реализации потоковых схем расщепления позволяют существенно ускорить процесс моделирования, а также эффективно решать прикладные задачи большого размера с использованием суперЭВМ. Результаты численного моделирования термохронологии аккреционно-коллизионных процессов в литосфере Земли позволили проверить ряд геологических гипотез о значении динамики температурного поля в рассматриваемых физических процессах.

Апробация результатов. Результаты, представленные в диссертации, докладывались на международных конференциях "First Russian-French Conference on Mathematical Geophysics, Mathematical Modeling in Continuum Mechanics and Inverse Problems" (Biarritz, 2012), "The China-Russian Workshop on Computational Methods" (Beijing, 2012), "Mathematical and Numerical Aspects of Waves (WAVES-2013)" (Gammarth, 2013), "75th EAGE Conference к Exhibition incorporating SPE EUROPEC 2013" (London, 2013), "76th EAGE Conference к Exhibition" (Amsterdam, 2014), "6th Conference on Finite Difference Methods: Theory and Applications" (Lozenetz, 2014), "International Conference On Craton Formation and Destruction" (Beijing, 2011), "European Geosciences Union General Assembly

2012" (Vienna, 2012), "Goldschmidt Conference" (Firenze, 2013), "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики", (Новосибирск, 2014), "Методы создания, исследования и идентификации математических моделей" (Новосибирск, 2013), "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач" (Новосибирск, 2012), "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2010, 2012, 2013), всероссийских конференциях "Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования" (Новосибирск, 2012), III Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование развития северных территорий Российской федерации" (Якутск, 2012),"Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и решение задач математической физики", посвященной памяти К.И. Бабен-ко (Абрау-Дюрсо, 2012), "Современные проблемы математического моделирования" (Абрау-Дюрсо, 2013), "Конференция молодых учёных ИВ-МиМГ СО РАН" (Новосибирск, 2010, 2012, 2013, 2014), па всероссийском научном совещании "Геодинамическая эволюция литосферы Центрально-Азиатского подвижного пояса: от океана к континенту" (Иркутск, 2010), семинарах Института вычислительного моделирования СО РАН и Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, а также на втором российско-французском семинаре "Вычислительные методы геофизики" (Новосибирск, 2014).

Объем и структура диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы составляет 159 стр., в том числе 31 таблица и 18 иллюстраций. Список литературы содержит 83 наименования. Практически все ссылки на первоисточники приведены в обзоре литературы. В основной части работы

упоминаются лишь работы, содержащие конкретные факты, используемые при доказательстве какого-либо утверждения.

Для удобства в начале каждой главы дается краткое введение. Каждая глава разделена на пункты с двухиндексными номерами и подпункты с трехиндексными номерами. В диссертации принята трехиндексная сквозная нумерация формул, утверждений (теорем, лемм и следствий), и определений. Первые два индекса соответствуют номеру пункта, а третий - номеру формулы, утверждения и нр. Относительно подпунктов нумерация по последнему пункту сквозная.

В контексте обсуждения полученных в диссертации результатов проведем обзор работ по указанным направлениям.

Глава 1 диссертации носит вспомогательный характер и содержит описание постановки рассматриваемой задачи, а также системы сеточных уравнений, которая возникает после проведения аппроксимации по пространству и по времени.

Математически процессы теплопереноса могут быть описаны с помощью дифференциального уравнения второго порядка - многомерного нестационарного уравнения теплопроводности (см., например, [28], [36]), однако в дайной диссертации используется смешанная постановка в виде системы дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка, записанная в терминах "температура - тепловой поток" [36]. Таким образом, температура и тепловой поток являются независимыми неизвестными, связь между которыми задается законом Фурье [28]. Такой подход позволяет находить одновременно как температуру, так и ее градиент, что разумно с точки зрения многих приложений, где в качестве данных измерений физических приборов используется как раз

информация о тепловом потоке. Несмотря на то, что такая постановка увеличивает количество неизвестных, она больше соответствует физике процесса теплопереноса, так как основополагающие физические законы сохранения формулируются в виде уравнений первого порядка [19], [28]. Кроме того, численные методы, построенные для такой постановки задачи, обладают свойством консервативности, т.е. законы сохранения также выполняются на сеточном уровне. Поэтому имеет смысл конструировать численные методы именно для систем уравнений первого порядка [20], [26], а не для вытекающих из них при достаточной гладкости уравнений второго порядка. Примерами задач в смешанной постановки являются, в частности, задача Стокса квазистационарного движения вязкой несжимаемой жидкости, уравнения тепловой конвекции в приближении Обербека-Буссинеска и неизотермическая многофазная фильтрация. Теоретическое исследование различных постановок начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений параболического типа проведено, например, в работе [29], [64].

Большой популярностью при численном решении задач математического моделирования уже давно пользуется метод конечных элементов (МКЭ), см. [27], [40], [58], [76], [83], также иногда называемый вариационно-разностным [33], [34] или проекционно-сеточным методом [32]. В случаях, когда МКЭ применяется для решения параболических задач, аппроксимация по времени обычно осуществляется с помощью конечно-разностных методов [32]. Исследования классического МКЭ для параболических задач с конечно-разностной аппроксимацией по времени проводились, например, в работах [35], [70].

В диссертации для аппроксимации по пространству рассматриваемой

системы уравнений первого порядка для температуры и теплового потока применяется так называемый смешанный МКЭ. Основные особенности смешанного МКЭ для эллиптических задач изложены в классической монографии [46]. В работах [44], [60], [77] были получены теоремы сходимости смешанного МКЭ для параболических задач. Наряду с полудискретным методом, когда дискретизация по времени не производится, в этих работах рассматриваются простейшие конечно-разностные аппроксимации по времени, приводящие к чисто явной и чисто неявной схемам Эйлера по времени, а также к схеме Кранка-Николсон второго порядка точности.

В пункте 1.2 диссертации приведено описание используемых для аппроксимации по пространству конечных элементов - конечных элементов Равьяра-Тома наименьшей степени [72] на прямоугольных сетках для вектор-функций и кусочно-постоянные конечные элементы для скалярных функций. Используемые конечные элементы относятся к классу конформных конечных элементов [40],[46].

Следует отметить, что зачастую для аппроксимации по пространству используются конечные элементы на симплициальных сетках [27], [40], [76]. Однако, использование неструктурированных сеток неизбежно приводит к необходимости решать прямыми или итерационными методами большие системы линейных алгебраических уравнений с разреженными матрицами на каждом шаге по времени. Подробные обзоры классических прямых и итерационных методов для решения систем линейных алгебраических уравнений можно найти, например, в монографиях [37], [74]. Использование прямоугольных сеток позволяет сравнительно просто строить эффективные численные алгоритмы, не требующие решения

больших систем линейных алгебраических уравнений или внутренних итераций на каждом шаге по времени. Помимо этого, на прямоугольных сетках имеют место различные свойства суперсходимости [48], [52], [54], [55], [63], [67].

В пункте 1.3 записана полудискретная система, возникающая после аппроксимации по пространству. Основное внимание в данном пункте уделено матричному представлению сеточных операторов для краевых условий Неймана и Дирихле. Схема с весами, получающаяся после конечно-разностной аппроксимации полудискретной системы, приведена в пункте 1.4. Рассматриваются следующие частные случаи - чисто явная схема, условие устойчивости которой для рассматриваемой смешанной постановки было получено в работе [69], и схема Кранка-Николсон.

Необходимо отметить, что при использовании смешанной постановки любая схема, кроме чисто явной, требует решения векторного уравнения, куда входит только тепловой поток. Таким образом, ключевым моментом является решение векторного уравнения для потока, температура же на каждом шаге находится через дивергенцию потока с помощью сеточного закона сохранения энергии. В этом смысле тепловой поток можно считать главной переменной в рассматриваемой постановке, а температуру - "второстепенной". Основным моментом при построении экономичных методов для решения возникающего векторного уравнения является необходимость заменить приближенно (факторизовать) многомерный оператор в виде произведения одномерных операторов, которые могли бы быть обращены экономичным образом.

В главе 2 представлено несколько подходов к построению схем расщепления для вектора теплового потока. В пункте 2.1 для построения

потоковых схем расщепления используется непосредственная факторизация оператора на верхнем слое по времени в уравнении на тепловой поток. Данный подход был развит в работах П.Н. Вабищевича, A.A. Самарского, Абрашина, Абрашин-Жадаевой [1], [2], [3], [4], [5], [6], [И]. В частности, для сравнения с предложенным в диссертации новым подходом, в подпунктах 2.1.1 и 2.1.2 рассматриваются схемы с попеременно-треугольной факторизацией [4], [22], [37], и факторизацией типа SSOR [4], соответственно. Анализ устойчивости схем с треугольной факторизацией по начальным данным и по правой части может быть проведен с использованием теории энергетических неравенств, разработанной A.A. Самарским [39]. Однако полученные таким образом схемы проигрывают по точности схемам, полученным с помощью других подходов.

Второй способ построения схемы для потока (и температуры) в двумерном случае представлен в пункте 2.2 диссертации. Потоковая схема расщепления, построенная с помощью этого подхода, была предложена в работе Арбогаста и его соавторов [43]. Основной идеей является применение модифицированного алгоритма Удзавы [53], [56] с коррекцией для решения задач в смешанной постановке. В работе [43] авторами доказана теорема сходимости для модифицированного алгоритма Удзавы с коррекцией, а также приведен способ повысить точность полученного решения за счет перехода к трехслойной схеме. Однако теоретические результаты получены лишь при жестком ограничении на шаг схемы по времени, по порядку совпадающим с условием устойчивости чисто явной схемы.

Центральным местом в главе 2 является пункт 2.3, в котором излагается новый подход к построению схем расщепления для вектора теп-

лового потока, предложенный автором диссертации в ходе совместной работы с Ю.М. Лаевским [10], [12], [13], [14], [17]. Ключевой идеей является использование классических (скалярных) схем расщепления для дивергенции теплового потока, по которым удается строить соответствующие потоковые схемы. По схемам расщепления для скалярных уравнений имеется обширная литература как у российских (советских) авторов, например [23], [25], [30], [31], [38], [42], так и у зарубежных авторов, среди которых можно отметить [50], [51], [68], [73]. В диссертации рассмотрены примеры схем расщепления в двумерном (пп. 2.3.1) и трехмерном случаях (пп. 2.3.2), основанные на таких схемах для дивергенции потока, как схемы типа переменных направлений, схема стабилизирующей поправки, локально одномерная схема (основанная на схеме Кранка-Николсон второго порядка), схемы типа предиктор-корректор и др. При этом можно сформулировать ряд простых свойств (относящихся к аппроксимации и устойчивости в определенных полунормах), которые полученные схемы расщепления для потока "наследуют" от схем для дивергенции теплового потока.

Вопросам аппроксимации и устойчивости потоковых схем расщепления, полученных с помощью предложенного подхода, посвящены подпункт 2.3.3, а также пункт 2.4 диссертации. Вопрос устойчивости для температуры разрешается относительно просто, в то время как получение оценок устойчивости для теплового потока в сеточном аналоге нормы, естественной для данной постановки (а именно, нормы пространства Н^г,), уже не может быть осуществлено с помощью энергетических неравенств Самарского. Для некоторых схем в двумерном и трехмерном случаях - для схемы на основе схемы переменных направлений [42], [68]

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Воронин, Кирилл Владиславович, 2015 год

Литература

[1] Абрашин, В.Н. Об одном варианте метода переменных направлений решения многомерных задач математической физики / В.Н. Абрашин // Дифференциальные уравнения, т.26, 1990, 314-323.

[2] Абрашин, В.Н. Многокомпонентный метод переменных направлений решения стационарных задач математической физики. II / В.Н. Абрашин, Н.Г. Жадаева // Диффереиц. уравнения, 1997, т. 33 (9), с. 1211-1219.

[3] Вабищевич, П.Н. Регуляризованные аддитивные операторно-разностные схемы / П.Н. Вабищевич // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 50:3 (2010), 449-457.

[4] Вабищевич, П.Н. Потоковые схемы расщепления для параболических задач / П.Н. Вабищевич // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 52:8 (2012), 1415-1425.

[5] Вабищевич, П.Н. Потоковые схемы расщепления со смешанными производными / П.Н. Вабищевич // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 53:8 (2013), 1314-1328.

[6] Вабищевич, П.Н. Построение схем расщепления на основе аппроксимации оператора перехода / П.Н. Вабищевич // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 52:2 (2012), 253-262.

[7] Берниковский, В.А. Геодинамическая эволюция Таймырской складчатой области. / В.А. Берниковский. - Новосибирск: Издательство Сибирского отделения РАН, НИЦ ОИГГМ. 1996. 203 с.

[8] Берниковский, В.А. Возраст постколлизионных гранитоидов Северного Таймыра: U-Pb, Sm-Nd, Rb-Sr и Ar-Ar данные / В.А. Берниковский, Е.Б. Сальникова, А.Б Котов и др. // Докл. АН. 1998. Т. 363. С. 375-378.

[9] Берниковский, В.А. Раннетриасовые А-граниты Таймыра - результат СевероАзиатского суперплюма / ВА. Берниковский, B.JI. Пиис, А.Е. Берниковская, А.П. Романов, Д.Дж. Джи, A.B. Травин // Докл. РАН. - 2001. - Т. 380. - № 1. С. 87-93.

[10] Воронин, К.В. Численное моделирование процессов теплопереноса в приложении к некоторым задачам геологии. / К.В. Воронин // Труды конференции молодых ученых. - Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 2010, с. 45-56.

[11] Воронин К.В. О схемах расщепления в смешанном методе конечных элементов / К.В. Воронин, Ю.М. Лаевский // Сиб. журн. вычисл. матем., 2012, .№2(15), с. 183-189.

[12] Воронин К.В. Схемы расщепления в смешанном методе конечных элементов решения задач теплопереноса / К.В. Воронин, Ю.М. Лаевский // Матем. моделирование, 2012, №8(24), с. 109-120.

[13] Воронин, К.В. Об устойчивости некоторых потоковых схем расщепления / К.В. Воронин, Ю.М. Лаевский // Сиб. журн. вычисл. матем., 2015, №2(18), с. 135-145.

[14] Воронин, К.В. Схемы расщепления в смешанном методе конечных элементов для решения задач теплопереноса. / К.В. Воронин // Труды конференции молодых ученых. - Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 2012, http://parbz.sscc.ru/fcp/kmu2012/voronin.pdf.

[15] Воронин, К.В. Параллельная реализация трехмерной схемы расщепления для решения задач теплопереноса па современных суперкомпьютерах / К.В. Воронин // Труды конференции молодых ученых. - Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 2013, с. 58-68.

[16] Воронин, К.В. Численное исследование MPI/OpenMP реализации на основе асинхронной работы с потоками для трехмерной схемы расщепления в задачах теплопереноса / К.В. Воронин // Сиб. журн. ипдустр. матем., 2014, №2(58), с. 41-49.

[17] Воронин, K.B. Об одном подходе к построению потоковых схем расщепления в смешанном методе конечных элементов / К.В. Воронин, Ю.М. Лаевский // Математическое моделирование, 2014, т.26, 12, с. 33-47.

[18] Геологическая карта Сибирской платформы и прилегающих территорий. Масштаб 1:1500 ООО. 1999. Гл. ред. Н.С. Малич, ВСЕГЕИ.

[19] Годунов, С.К. Уравнения математической физики. / С.К. Годунов. - М.: Наука, 1971, 416 с.

[20] Годунов, С.К. Численное решение многомерных задач газовой динамики. / С.К. Годунов, A.B. Забродин, М.Я. Иванов, А.Н. Крайко, Г.П. Прокопов. - М.: Наука, 1976, 400 с.

[21] Гулин, A.B. Устойчивость нелокальных разностных схем в подпространстве / A.B. Гулин // Дифференциальные уравнения, 2012, т.48, 7, с.956-965.

[22] Зайцева, С.Б. О некоторых свойствах попеременно-треугольного векторного метода для уравнения теплопроводности / С.Б. Зайцева, A.A. Злотник // Изв. вузов. Матем., 1999, №7, с. 3-11.

[23] Ильин, В.П. О расщеплении разностных операторов параболического и эллиптического типов / В.П. Ильин // Сиб. мат. журнал, 1965, т.6, JV56, с. 1425-1428.

[24] Кандрюкова, Т.А. О численном моделировании задачи фильтрационного горения газа на компьютерах с общей памятью / Т.А. Кандрюкова // Труды конференции молодых ученых. - Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 2012, [URL] http://parbz.sscc.ni/fcp/kmu2012/Kandryukova.pdf.

[25] Ковеня, В.М. Метод расщепления в задачах газовой динамики. / В.М. Ковеня,

H.H. Яненко. - Новосибирск, Наука, 1981, 304 стр.

[26] Коновалов, А.Н. Сопряженпо-факторизованные модели в задачах математической физики / А.Н. Коновалов // Сиб. жури, вычисл. матем., 1998, том 1, номер

I, с. 25-58.

[27] Лаевский, Ю.М. Метод конечных элементов (основы теории, задачи). / Ю.М. Лаевский. - Новосибирск: Изд-во НГУ, 1999, 165 с.

[28] Ландау, Л.Д. Теоретическая физика. Том VI. / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. -М.:Наука, 1986.

[29] Ладыженская, O.A. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. / O.A. Ладыженская, В.А. Солонников, H.H. Уральцева. - М.:Наука, 1967, 736 с.

[30] Марчук, Г.И. Методы вычислительной математики. / Г.И. Марчук. - М.: Наука, 1977.

[31] Марчук, Г.И. Методы расщепления. / Г.И. Марчук. - М.: Наука, 1988, 262 с.

[32] Марчук, Г.И. Введение в проекционно-сеточные методы. / Г.И. Марчук, В.И. Агошков. - М.: Наука, 1981.

[33] Михлии, С.Г. Вариационные методы в математической физике. / С.Г. Михлин. - М.: Наука, 1970.

[34] Оганесян, Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. / Л.А. Оганесян, Л.А. Руховец. - Изд-во АН АрмССР, Ереван, 1979.- 336 с.

[35] Ривкинд, В.Я. Априорные оцеинки для квазилинейных параболических уравнений с разрывными коэффициентами и их применение в приближенных методах / В.Я. Ривкинд, H.H. Уральцева // Докл. АН СССР, 1969, т. 185, номер 2, с. 271-274.

[36] Самарский, A.A. Вычислительная теплопередача. / A.A. Самарский, П.Н. Ва-бищевич. - М.: Едиториал УРСС, 2003.

[37] Самарский, A.A. Методы решения сеточных уравнений Вычислительная теплопередача. / A.A. Самарский, Е.С. Николаев. - М.: Наука, 1978, 588 с.

[38] Самарский, A.A.. Введение в теорию разностных схем. / A.A. Самарский. -Москва: Наука, 1971.

[39] Самарский, A.A. Устойчивость разностных схем. / A.A. Самарский. - М.: Наука. 1973.

[40] Съярле, Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. / Ф. Съярле. - Мир, Москва, 1980.

[41] Тектоническая карта морей Карского и Лаптевых и Севера Сибири. 1998, Масштаб 1:2500000, 2 листа. Ред. Н.А. Богданов, В.Е. Хаин. Москва, "Картография".

[42] Янепко, Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. / Н.Н. Янепко. - Новосибирск, Наука, 1967.

[43] Arbogast, Т. Improved accuracy for alternating-direction methods for parabolic equations based on regular and mixed finite elements / T. Arbogast, C.-S. Huang, S.-M. Yang // Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, 2007, v. 17, is.8, p.1279-1305.

[44] Baker, G.A. Single step Galerkin approximations for parabolic problems / G.A. Baker, J.H. Bramble, V. Thomee // Math. Сотр. 31 (1977), 819-847.

[45] Birkhoff, G. Implicit Alternating Direction Methods / G. Birkhoff, R.S. Varga // Transactions of the American Mathematical Society, v. 92, No. 1, 1959, p. 13-24.

[46] Brezzi, F. Mixed and Hybrid Finite Element Methods. / F. Brezzi, M. Fortin. -New-York: Springer - Verlag, 1991.

[47] Boffi, D. Mixed Finite Element Methods and Applications. / / D. Boffi, F. Brezzi, M. Fortin. - Springer Science & Business Media, 2013, 699 p.

[48] Chen, H. Superconvergcnce of mixed finite element methods for parabolic problems with nonsmooth initial data / H. Chen, R. Ewing, R. Lazarov // Numer. Math., 1998, v. 78, No. 4, p. 495-521.

[49] Dalrymple, G.B. A reconnaissance Ar/Ar geochronologic study of ore-bearing and related rocks, Siberian Russia / G.B. Dalrymple, G.K. Czarnanske, V.A. Fedorenko, O.N. Simonov, M.A. Lanphere, A.P. Likhachev // Geochirn. Cosmochim. Acta, 1995, v. 59, № 10, p. 2071-2083.

[50] Douglas, J. (Jr). Alternating direction methods for three space variables. / J.(Jr) Douglas // Numerische Mathematik, 1962, v.4, p.41-63.

[51] Douglas, J. (Jr). A general formulation of alternating direction methods. Part 1. Hyperbolic and parabolic problems / J.(Jr) Douglas, J.E. Gunn // Numerische Mathematik, 1964, v.6, p.428-453.

[52] Douglas, J.(Jr). Galerkin methods for parabolic equations / J.(Jr) Douglas, T. Dupont // SIAM J. Numer. Anal. 7 (1970), 575-626.

[53] Douglas, J.(Jr). A description of some alternating-direction iterative techniques for mixed finite element methods / J.(Jr) Douglas, P.A. Pietra // Mathematical and Computational Methods in Seismic Exploration and Reservoir Modeling. SIAM, Philadelphia, 1986, 37-53.

[54] Douglas, J.(Jr). Superconvergence for mixed finite element methods on rectangular domains / J.(Jr) Douglas, J. Wang. - Calcolo, 26 (1989), 121-134.

[55] Duran, R. Superconvergence for rectangular mixed finite elements / R. Duran // Numer. Math., 58(1990), 287-298.

[56] Fortin, M. Augmented Lagrangian methods: applications to the numerical solution of boundary-value problems./ M. Fortin, R. Glowinski. - Elsevier, 2000, 339 p.

[57] Gatica, G.N. A Simple Introduction to the Mixed Finite Element Method: Theory and Applications. / G.N. Gatica. - Springer International Publishing, 2014, 132 p.

[58] Girault, V. Finite Element Methods for Navier-Stokes Equations. Theory and Algorithms. / V. Girault, P.A. Raviart,. - Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo, Springer-Verlag 1986.

[59] Hundsdorfer, W. A note on stability of the Douglas splitting method / W. Hundsdorfer // Math. Comput. 67, 221, 183-190.

[60] Johnson, C. Error estimates for some mixed finite element methods for parabolic type problems / C. Johnson, V. Thornee // RAIRO Analyse num'erique 15 (1981), 41-78.

[61] Intel®Math Kernel Library. URL: https://software.intel.com/en-us/articles/intel-math-kernel-library-documentation

[62] Kalinkin, A. Intel direct sparse solver for clusters, a research project for solving large sparse systems of linear algebraic equations on clusters. / A. Kalinkin. URL: http:/ /www.cerfacs.fr/files/cerfacs_algo/conferences/PastWorkshops/SparseDays2013/ Kalinkin.pdf

[63] Kwon, D.-S. Superconvergence of Crank-Nicolson mixed finite element solution of parabolic problems / D.-S. Kwon, E.-J. Park // Kangweon-Kyungki Math. Jour. 13 (2005), No. 2, p. 139-148.

[64] Lions, J.L. Non-Homogeneous Boundary Value Problems and Applications. / J.L. Lions, E. Magenes. - Springer Berlin Heidelberg, 1972.

[65] Metelkin, D.V. Paleozoic history of the Kara microcontinent and its relation to Siberia and Baltica: Paleomagnetism, paleogeography and tectonics. / D.V. Metelkin, V.A. Vernikovsky, A.Yu. Kazansky, O.K. Bogolepova, A.P. Gubanov // Tectonophysics, 398, 225-243, 2005.

[66] Mitin, I. A parallel iterative solver for positive-definite systems with hybrid MPI-OpenMP parallelization for multi-core clusters / I. Mitin, A. Kalinkin, Yu. Laevsky // J. Comput. Science, 2012, v.6(3), 463-468.

[67] Nakata, M. Some superconvergence results for mixed finite element methods for elliptic problems on rectangular domains / M. Nakata, A. Weiser, M.F. Wheeler // The Mathematics of Finite Elements and Applications V, J. R. Whiternan (ed.), Academic Press, London, 1985.

[68] Peaceman, D.W. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations. / D.W. Peaceman, H.H.(Jr) Rachford // Journ. Soc. Industr. Appl. Math., v.3(l), 1955, 28-42.

[69] Popov, P.E. The method of separation of variables in a problem with a saddle point. / P.E. Popov, A.A. Kalinkin // Rus. J. Num. Math. Mod., 2008, v.23, p.97-106.

[70] Price, H.S. Error bounds for semidiscrete Galerkin approximations of parabolic provlems with applications to petroleum reservoir mechanics / H.S. Price, R.S. Varga // Nuiner. Solution of Field Problems in Comput. Physics. SIAM-AMS Proc., v.2, 1970, p. 74-94.

[71] Rabenseifner, R. Hybrid MPI/OpenMP Parallel Programming on Clusters of Multi-Core SMP Nodes / R. Rabenseifner., G. Hager and G. Jost // Proceedings of the 2009 17th Euromicro International Conference on Parallel, Distributed and Network-based Processing, 427-436 (2009).

[72] Raviart, P.A. A mixed finite element method for second order elliptic problems / P.A. Raviart, J.M. Thomas // Lecture Notes in Mathematics, 1977, vol. 606, SpringerVerlag, New York, p.292-315.

[73] R.D. Richtmyer, K.W. Morton. Difference methods for initial-value problems. / R.D. Richtmyer, K.W. Morton. - Wiley, 1967, 405 p.

[74] Saad, Y. Iterative methods for sparse linear systems: second edition. / Y. Saad. -SIAM, 2003, 528 p.

[75] Siberian Supercomputer Center (SSCC). URL: http://www2.sscc.ru

[76] Strang, G. An analysis of the finite element method. / G. Strang, G.Fix. - Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1973.

[77] Thornce, V. Galerkin-Finite Element Methods for Parabolic Equations / V. Thomee // Proceedings of the International Congress of Mathematicians Helsinki, 1978, 943952.

[78] Vernikovskaya, A.E. Magmatism Evolution and CarbonatiteGranite Association in the Neoprotcrozoic Active Continental Margin of the Siberian Craton: Thermochronological Reconstructions / A.E. Vernikovskaya, V.M. Datsenko, V.A. Vernikovsky, N.Yu. Matushkin, Yu.M. Laevsky, I.V. Romanova, A.V. Travin, K.V. Voronin, E.N. Lepekhina // Doklady Earth Sciences, 2013, v.448(2), 161-167.

[79] Vernikovsky, V.A. Central Taimyr accretionary belt (Arctic Asia): Meso-Neoproterozoic tectonic evolution and Rodinia breakup. / V.A. Vernikovsky, A.E. Vernikovskaya // Precambrian Research, 2001, 110, 1-4, 127-141.

[80] Vernikovsky, V.A. A tectonothermal model for the formation of an orogen at the post-collisional stage (by the example of the Yenisei Ridge, Eastern Siberia) / V.A. Vernikovsky, A.E. Vernikovsky, O.P. Polyansky, Yu.M. Laevsky, N.Yu. Matushkin, K.V. Voronin // Russian geology and geophysics, 2011, v.52, 24-39.

[81] Voronin, K.V. Splitting Methods for Geothermal Processes Simulation / K.V. Voronin, Y.M. Laevsky // Extended abstracts of 75th EAGE Conference k Exhibition incorporating SPE EUROPEC 2013, [URL] http://earthdoc.eage.org/publication/publicationdetails/?publication=68493.

[82] Voronin, K.V. High-performance Computing in Thermochronological Modeling / K.V. Voronin, Y.M. Laevsky, M.Y. Matushkin, A.E. Vernikovskaya, V.A. Vernikovsky, O.P. Polyansky / / Extended abstracts of 76th EAGE Conference and Exhibition 2014, [URL] http://earthdoc.eage.org/publication/publicationdetails/?publication=76006.

[83] Zicnkiewicz, O.C. The Finite Element Method, 5th Edition. / O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. - London: Butterworth-Heinemann, 2000.