Гибридные бикомпактные схемы для многомерных квазилинейных уравнений гиперболического типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат наук Брагин, Михаил Дмитриевич

• Брагин, Михаил Дмитриевич
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Брагин, Михаил Дмитриевич

Оглавление

Стр.

Введение

Глава 1. Бикомпактные схемы и их свойства

1.1. Аппроксимация по пространственным переменным

1.1.1. Одномерный случай

1.1.2. Единственность полудискретной бикомпактной схемы

1.1.3. Аналогия с методом Лобатто П^

1.1.4. Многомерный случай

1.2. Аппроксимация по времени и краевые условия

1.2.1. Интегрирование по времени

1.2.2. Начальные и граничные условия

1.2.3. Неопределенные матрицы А, В, С

1.2.4. Алгоритм счета

1.3. Дисперсионные свойства полудискретных бикомпактных схем

1.3.1. Дисперсионный анализ

1.3.2. Перенос волнового пакета

1.3.3. Перенос импульса по неравномерной сетке

1.3.4. Движущийся контактный разрыв

Глава 2. Метод гибридной схемы

2.1. О методе

2.1.1. Определение

2.1.2. Обоснование

2.1.3. Оптимальная монотонизирующая схема

2.1.4. Корректная нормировка

2.1.5. Выбор параметра гибридной схемы

2.2. Примеры расчетов по гибридным бикомпактным схемам

2.2.1. Сеточная сходимость в областях гладкости

2.2.2. Двумерные задачи Римана

2.2.3. Двумерная задача о взрыве

Глава 3. Локально-одномерное расщепление

3.1. Вычислительная сложность нерасщепленных бикомпактных схем

3.2. Точное пространственное расщепление

3.3. Локально-одномерные бикомпактные схемы

3.3.1. Сеточная сходимость в скалярном однородном случае

3.3.2. Ускорение счета на примере двумерной задачи Римана Case 12

3.3.3. Трехмерная задача о взрыве

Глава 4. Метод итерируемой приближенной факторизации

4.1. Вывод уравнений метода для базовой бикомпактной схемы

4.2. Теорема о сходимости итераций метода

4.3. Численные примеры, ускорение счета

4.3.1. Сеточная сходимость

4.3.2. Ускорение счета на примере двумерной задачи о взрыве

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гибридные бикомпактные схемы для многомерных квазилинейных уравнений гиперболического типа»

Введение

Актуальность и степень разработанности темы исследования

При решении задач физики и техники нередко используются модели, в основе которых лежат уравнения гиперболического типа. Этому классу принадлежат, например, нестационарные уравнения газовой динамики, магнитной газовой динамики, акустики, теории мелкой воды, теории упругости [1-4]. К такому, пожалуй, классическому списку приложений можно добавить всевозможные волновые движения жидкости [5], общую теорию линейных и нелинейных волн [6], термически и химически неравновесные течения релаксирующих газов [7], кинетическую теорию газов [8], многофазные течения [9], явление вязкоупругости [10], перенос излучения [11], астрофизику [12].

Несмотря на широкое распространение уравнений гиперболического типа, в подавляющем большинстве практически интересных случаев аналитические методы их решения либо ограничены, либо вообще отсутствуют. Поэтому одной из самых важных и актуальных задач вычислительной математики до сих пор остается разработка надежных численных методов высокого порядка точности для уравнений этого типа.

Нельзя не отметить, что численные методы, созданные изначально для чисто гиперболических, недиссипативных задач, иногда оказываются востребованными даже там, где нужно учитывать явления вязкости и теплопроводности. Яркий пример тому — моделирование турбулентных течений методами DNS (direct numerical simulation, прямое численное моделирование) и LES (large eddy simulation, метод крупных вихрей) и часто сопряженная с ними CAA (computational aeroacoustics, вычислительная аэроакустика) [13-15]. Это объясняется тем, что в задачах турбулентности необходимо как можно точнее рассчитывать не только диссипацию, но и конвекцию вихрей, а также распространение генерируемых ими звуковых волн. Кроме того, в быстрых течениях возникают сильные разрывы, нуждающиеся в аккуратном счете.

Обосновав актуальность выбранной темы исследования, перейдем к описанию степени ее разработанности.

Почти столетняя история сеточных методов для уравнений в частных производных (если взять за отправную точку пионерскую работу Л. Ричардсона 1910 г. [16]) привела к созданию огромного многообразия методик и численных схем, в том числе высокого порядка точности для уравнений гиперболического типа. По типу пространственной аппроксимации эти схемы можно достаточно грубо разделить на конечно-разностные [17, 18], конечно-объемные [18, 19] и конечно-элементные [18]. Класс конечно-элементных схем включает в себя также спектральные схемы [20] и DG-схемы (discontinuous Galerkin, разрывная схема Галерки-на) [21]. Чаще всего аппроксимация по времени отделяется от аппроксимации по пространству при помощи метода прямых. В этом методе численное решение уравнений в частных производных сводится к решению эволюционной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В свою очередь, для расчета эволюции по времени используются методы численного интегрирования систем ОДУ [22,23], в некоторых случаях дополнительно требуется решение задачи Римана для отыскания численных потоков [24]. Реже аппроксимации по пространству и времени являются связанными, как, например, в ADER-схемах (arbitrary high order schemes, схемы произвольно высокого порядка) [24,25], основанных на решении так называемой обобщенной задачи Римана, и в схеме «Кабаре» [26].

Перечисленные выше численные схемы, конечно, не являются универсальными; каждая из них имеет свои достоинства и недостатки, свою область применимости. Полный и подробный обзор всех упомянутых схем и их свойств выходит за рамки настоящей работы. Рассмотрим только те из них, что имеют непосредственное отношение к теме исследования.

Особое место среди конечно-разностных схем занимают компактные схемы [27]. Их отличительной чертой является высокий порядок аппроксимации по пространству на компактных шаблонах с небольшим числом точек (по сравнению с «обычными» конечно-разностными схемами). Центральные компактные схемы не диссипативны и имеют высокое спектральное разрешение [28,29]. Компактность шаблона схемы обеспечивает ей и другие преимущества: эффективные методы решения разностных уравнений (прогонка или бегущий счет, то есть маршевый счет по пространству) [27,30,31], удобство

постановки граничных условий [27,30,32]. Отметим, что порядок аппроксимации компактных схем может быть практически неограниченно повышен при использовании мультиоператорного подхода [33-35].

Численное решение многомерных уравнений с помощью многомерных конечно-разностных (и конечно-объемных) схем является весьма трудоемким процессом. Поэтому для упрощения и ускорения вычислений были предложены различные так называемые методы пространственного расщепления [36-38]. Их главная идея — на каждом шаге по времени свести решение многомерной задачи (дифференциальной или разностной) к решению последовательности более простых одномерных подзадач.

LOD-расщепление (locally one-dimensional, локально-одномерное, оно же расщепление по направлениям, метод дробных шагов, покомпонентное расщепление) [36-38] является одним из самых популярных методов расщепления. Его особенность заключается в том, что оно делается на уровне дифференциальных, а не разностных уравнений.

Имеется большое число публикаций, посвященных анализу ошибки LOD-расщепления. Оценки для нее получены в случае [39,40] (см. также цитируемые в них работы) скалярного гиперболического закона сохранения с нелинейными потоковыми функциями и разрывным решением, удовлетворяющим энтропийному условию [4,41], в случаях линейного [42] и нелинейного [43] эволюционного уравнения общего вида с гладким решением.

Помимо LOD-расщепления находят широкое применение его симмет-ризованный вариант, метод переменных направлений, метод факторизации разностных операторов и другие классические двухслойные безытерационные методы [36-38,40,44-47].

Однако, в работе [48] впервые было показано, что безытерационные методы расщепления с дробными временными шагами, получаемые путем разложения матричной экспоненты, в случае положительных и действительных временных шагов не могут иметь порядок точности по времени выше второго. Позднее этот результат о барьере в порядке точности был независимо подтвержден другими авторами, см. обзор [49] и статью [50].

Для преодоления этого барьера можно использовать либо безытерационные методы расщепления с комплексными дробными временными шага-

ми [51], имеющими положительную вещественную часть, либо итерационные методы расщепления [52,53], например, метод итерируемой приближенной факторизации [46,52].

Итак, нами дан обзор основных работ о компактных схемах и методах обобщения конечно-разностных схем на многомерный случай. Обсудим теперь один принципиальный вопрос, касающийся всех схем высокого порядка аппроксимации.

Хорошо известно [4,41], что уравнения гиперболического типа допускают решения, содержащие сильные разрывы. Более того, решения нелинейных уравнений гиперболического типа могут становиться разрывными даже при гладких начальных и граничных условиях. Схемы же высокого порядка аппроксимации генерируют вблизи разрывов ложные, нефизичные особенности, имеющие вид осцилляций или немонотонностей. Такое поведение называется эффектом Гиббса [54, 55] и объясняется теоремой Годунова [56] (более подробно она рассматривается в главе 2). Таким образом, возникает необходимость в регуляризации, монотонизации решений, рассчитываемых по схемам высокого порядка аппроксимации. Желательно при этом, чтобы эта регуляризация происходила в рамках сквозного счета [57], то есть без явного выделения разрывов, так как последние могут возникать в неизвестном месте, в неизвестный момент времени и иметь неизвестную форму.

Перечислим некоторые наиболее популярные и/или новые методики монотонизации.

В работах [58, 59] осцилляции около разрывов подавляются введением в схему специальных ограничителей (limiters) численных потоков. В работах [60-63] для монотонизации используются численные фильтры. Классическая идея искусственной диссипации [64] развивается в работах [65-68]. Часто применяются схемы, в которых для расчета потоков на границах ячеек сетки используются компактные эрмитовы интерполяции на кандидатах-шаблонах, а затем используется либо ENO-алгоритм [69] (essentially non-oscillatory, существенно неосциллирующий) для выбора подходящего шаблона, либо WENO-алгоритм [70-75] (weighted ENO, взвешенный ENO) для расчета весовых коэффициентов компактных интерполяций на кандидатах-шаблонах.

Наконец, сделаем краткий обзор работ о гибридных бикомпактных схемах для уравнений гиперболического типа.

Недавно [76] был разработан новый класс схем, сочетающих в себе черты конечно-разностных, конечно-объемных и конечно-элементных схем. Аппроксимация пространственных производных в предлагаемых схемах является компактной, но при этом она включает в себя лишь два целых узла, и именно поэтому эти схемы называются бикомпактными. Уравнения бикомпактных схем выводятся методом прямых и осреднением по ячейке исходных дифференциальных уравнений, что присуще конечно-объемному подходу. Высокий порядок аппроксимации бикомпактных схем достигается путем добавления в ячейку дополнительных полуцелых узлов или неизвестных, что делает данные схемы похожими на ОС-методы. Для отыскания этих дополнительных неизвестных привлекаются дифференциальные следствия исходных уравнений в частных производных. Аппроксимации по времени в бикомпактных схемах строится при помощи А- и ¿-устойчивых диагонально-неявных методов Рунге-Кутты [23]. Бикомпактные схемы являются центрированными, и для счета по ним не требуется решать задачу Римана.

Изначально бикомпактные схемы были разработаны для линейного уравнения теплопроводности [32], затем для линейного уравнения переноса [76,77], его многомерного варианта [78,79], далее они получили обобщение на квазилинейные уравнения [80,81] и системы уравнений [31] гиперболического типа, в том числе многомерные [82,83]. В работе [84] построены алгоритмы эффективной параллельной реализации многомерных бикомпактных схем.

Работы, перечисленные в двух предыдущих абзацах, а также настоящая работа посвящены бикомпактным схемам четвертого порядка аппроксимации по пространству. Важно отметить, что в диссертации [85] получена методика, позволяющая произвольно повышать этот порядок до шестого, восьмого и так далее.

Кроме того, практически во всех работах по бикомпактным схемам предлагается оригинальная методика монотонизации — гибридная схема, развивающая оригинальные идеи работы [86]. Не вдаваясь в подробности (см. главу 2), укажем два основных нововведения по сравнению с [86]: пер-

вое — монотонизация по времени, а не по пространству; второе — полностью локальный, одноточечный характер этой монотонизации.

Завершим на этом изложение степени разработанности темы исследования и обратимся к характеристике настоящей работы.

Цели и задачи

Настоящая работа преследует две цели:

1. Устранить необходимость в настройке параметра гибридной схемы под каждую решаемую задачу.

2. Решить проблему относительно высокой вычислительной сложности нерасщепленных многомерных бикомпактных схем для систем квазилинейных уравнений гиперболического типа (подробные оценки см. в главе 3).

Достижение этих целей требует решения следующих задач:

1. Построить и апробировать новую гибридную схему. В результате модификации настраиваемый параметр гибридной схемы либо полностью исключается, либо оказывается подчиненным некоторой явной зависимости от наименьшего числа априори известных определяющих параметров.

2. Применить к многомерным бикомпактным схемам известные методы пространственного расщепления, а именно, ЬОЭ-расщепление и метод итерируемой приближенной факторизации. Провести анализ расщеплен-ных/факторизованных бикомпактных схем: исследовать их точность, выяснить их область применимости, оценить величину ускорения счета по сравнению с нерасщепленными бикомпактными схемами.

В дополнение к задаче 1 требуется ответить на вопрос, почему бикомпактные схемы четвертого порядка аппроксимации по пространству генерируют на разрывах существенно меньшие по амплитуде и протяженности осцилляции по сравнению с классическими симметричными компактными схемами того же порядка аппроксимации. Для строгого обоснования этого экспериментального факта необходимо провести диссипативно-дисперсионный анализ бикомпактных схем.

Научная новизна

Отметим, что класс бикомпактных схем был разработан Б. В. Роговым сравнительно недавно и потому сам по себе обладает существенной научной новизной. Сформулируем по пунктам, в чем состоит научная новизна настоящей работы:

1. Доказаны теоремы о единственности бикомпактной пространственной аппроксимации на шаблоне, состоящем из двух целых узлов и одного полуцелого вспомогательного узла.

2. Выполнен дисперсионный анализ полудискретных бикомпактных схем четвертого порядка аппроксимации. Его результаты справедливы для существенно неравномерных сеток.

3. Доказана теорема о монотонных схемах с минимальной диссипацией на минимальном пространственно-временном шаблоне. В отличие от работы [87] и диссертации [85], искомые схемы получаются последовательно методом неопределенных коэффициентов без явных предположений о виде этих схем.

4. Построена и исследована новая гибридная схема с покомпонентным взвешиванием и корректной нормировкой. Описан алгоритм априорного выбора оптимального значения параметра этой гибридной схемы.

5. Доказана теорема о нулевой ошибке ЬОО-расщепления скалярного многомерного квазилинейного гиперболического закона сохранения с гладким решением. Эта теорема существенно улучшает оценки, имеющиеся в литературе (см. «Актуальность и степень разработанности темы исследования»).

6. Построены и использованы бикомпактные ЬОО-схемы. С их помощью проведен первый расчет нестационарной трехмерной газодинамической задачи о взрыве по бикомпактным схемам.

7. Предложен и проверен итерационный метод решения уравнений многомерных бикомпактных схем, основанный на приближенной факторизации их разностных операторов. Ранее [85] этот метод был построен для линейного уравнения переноса; в настоящей же работе этот метод выводится для

наиболее общего случая системы неоднородных квазилинейных уравнений гиперболического типа.

8. Доказана теорема о сходимости метода итерируемой приближенной факторизации операторов бикомпактных схем. Новизна по сравнению с [85] заключается в доказательстве этой теоремы: в упомянутой работе обосновывается лишь локальная сходимость в одной ячейке сетки, при этом не учитывается зависимость сходимости итераций в соседних ячейках друг от друга. В настоящей же работе дается полностью корректное доказательство глобальной сходимости во всей расчетной области.

Теоретическая и практическая значимость работы

Теоретическая значимость работы заключается в разработке, проверке, обосновании новых численных методов: новой гибридной схемы и многомерных бикомпактных схем, расщепленных/факторизованных по пространству. Теоретический интерес представляют и другие результаты, полученные в настоящей работе: доказанные теоремы (перечислены выше в разделе «Научная новизна»), дисперсионный анализ полудискретных бикомпактных схем четвертого порядка аппроксимации. Важно отметить, что упомянутый анализ показывает, что бикомпактные схемы сохраняют спектральные свойства при переходе от равномерной к существенно неравномерной сетке.

Практическая значимость работы состоит в возможности приложения предлагаемых численных схем к моделированию физических процессов и явлений, описываемых системами уравнений гиперболического типа. Применение гибридных бикомпактных схем особенно уместно в задачах с широким диапазоном характерных пространственно-временных масштабов, в жестких задачах, там, где неприменимы явные схемы. Такой класс задач диктуется прежде всего свойствами самих бикомпактных схем: Л-устойчивостью пространственной аппроксимации; хорошим, физически адекватным спектральным разрешением; принципиальной неявностью временной аппроксимации, для которой используются диагонально-неявные ¿-устойчивые жестко-точные методы Рунге-Кутты.

Научная работа соискателя по теме диссертации была поддержана грантом Правительства РФ по постановлению №220 «О мерах по привлечению ведущих ученых в российские образовательные учреждения высшего профессионального образования» по договору №11.034.31.0072, заключенного между Министерством образования и науки РФ, ведущим ученым и Московским физико-техническим институтом (государственным университетом); грантом РФФИ в рамках проекта №14-01-00775.

Методология и методы исследования

Рассуждения и построения настоящей работы опираются на уже известный и сложившийся аппарат вычислительной математики. Он включает в себя, например, терминологию, методы построения схем и аппроксимаций, методы решения алгебраических уравнений, приемы исследования диссипа-тивных и дисперсионных свойств схем, способы апостериорного исследования сходимости при сгущении сеток и так далее. Кроме того, используются отдельные элементы линейной алгебры, теории уравнений в частных производных и механики сплошных сред.

Для проведения конкретных вычислений создавался и применялся расчетный код, написанный на языке С/С++. Верификация кода проводилась путем тестирования на сеточную сходимость; результаты этих расчетов частично присутствуют в настоящей работе как иллюстрации к теоретическим построениям или для демонстрации возможностей предлагаемых схем. Там, где это необходимо, приводятся спецификации системы, на которой велись вычисления.

Положения, выносимые на защиту

1. Доказана единственность бикомпактной пространственной аппроксимации в случае системы одномерных неоднородных квазилинейных уравнений гиперболического типа и шаблона, состоящего из двух целых узлов и одного вспомогательного полуцелого узла.

2. Показано, что бикомпактные схемы превосходят по спектральному раз-

решению все остальные компактные схемы того же порядка аппроксимации, притом не только количественно, но и качественно: групповая скорость бикомпактных схем положительна во всем диапазоне безразмерных волновых чисел.

3. Предложена новая гибридная схема, обладающая тем свойством, что ее постоянная определяется только выбором схем-партнеров, максимально допустимым уровнем немонотонностей и значением числа Куранта. Построен алгоритм выбора эффективного значения данной постоянной, не зависящего от числа Куранта.

4. Доказано, что схемы «явный левый уголок» и «неявный правый уголок» обладают наименьшей диссипацией среди всех линейных монотонных схем на минимальном пространственно-временном шаблоне.

5. Построены гибридные бикомпактные схемы с минимальной диссипацией и с новой конструкцией весового множителя. На примере тестовых двумерных задач газодинамики показано, что эти схемы не уступают или превосходят по точности другие современные схемы, при этом параметр гибридной схемы имеет одно и то же значение во всех расчетах.

6. Доказано, что ЬОО-расщепление обладает нулевой ошибкой расщепления применительно к скалярному многомерному квазилинейному гиперболическому закону сохранения с гладким решением.

7. Построены бикомпактные схемы с ЬОО-расщеплением, исследованы ускорение счета и их область применимости. С помощью этих схем проведен расчет трехмерной задачи о взрыве, являющийся первым расчетом трехмерных нестационарных уравнений газодинамики по бикомпактным схемам.

8. Разработан итерационный метод решения уравнений многомерных бикомпактных схем, основанный на приближенной факторизации их разностных операторов. Впервые метод построен в случае гиперболической системы наиболее общего вида — неоднородной и квазилинейной. На примере конкретных расчетов показано, что новый итерационный метод обеспечивает многократное ускорение счета при сохранении высокого порядка точности.

Степень достоверности и апробация результатов

Результаты, полученные в настоящей работе, обладают высокой степенью достоверности. Их можно разделить на три категории: новые методы; новые свойства уже известных или предлагаемых методов; результаты численных расчетов тех или иных тестовых задач, носящие демонстрационный или поясняющий характер. Новые методы выводятся с использованием известных подходов и методик аппарата вычислительной математики. Новые свойства либо следуют из уже имеющихся результатов теории численных методов, либо доказываются строго аналитически, либо устанавливаются путем непосредственных вычислений. Последние вместе с численными расчетами тестовых задач снабжены исчерпывающим описанием и/или ссылками на источники и, таким образом, могут быть независимо воспроизведены и проверены.

Результаты диссертации доложены, обсуждены и получили одобрение специалистов на следующих конференциях:

• 56-я, 57-я, 58-я, 59-я научные конференции МФТИ, г. Долгопрудный, Россия, 2013-2016 гг.

• Конференция HONOM2015 (European Workshop on High Order Nonlinear Numerical Methods for Evolutionary PDEs: Theory and Applications), г. Тренто, Италия, 2015 г.

• Конференция HYP2016 (XVI International Conference on Hyperbolic Problems: Theory, Numerics, Applications), г. Аахен, Германия, 2016 г.

• Конференция H0N0M2017, г. Штутгарт, Германия, 2017 г.

Публикации по теме диссертации

Результаты диссертации опубликованы в четырнадцати работах [88-101], из них семь статей [88-94] в научных изданиях, рекомендованных ВАК. Все статьи, кроме [92], проиндексированы в Scopus и Web of Science.

Личный вклад

Все положения, выносимые на защиту, получены лично соискателем под научным руководством Б. В. Рогова. Уточним, что Б. В. Рогову принадлежат: вывод формул (1.61), (4.20); вывод уравнений метода итерируемой приближенной факторизации операторов многомерных бикомпактных схем (соискателем сделаны обобщение метода на неоднородный случай, теоретическое обоснование сходимости метода и его упрощение путем перехода к итерационным поправкам). Лично соискателем написан весь программный код и проведены все расчеты.

Глава 1. Бикомпактные схемы и их свойства

1.1. Аппроксимация по пространственным переменным

В данном параграфе описывается методика построения полудискретных непрерывных по времени бикомпактных схем для систем неоднородных квазилинейных уравнений гиперболического типа. Изложение опирается на работы [31,82]. В дополнение исследуется ряд свойств бикомпактной аппроксимации. Случаи одного и многих измерений обсуждаются отдельно.

1.1.1. Одномерный случай

Рассмотрим систему одномерных неоднородных квазилинейных уравнений гиперболического типа:

А (Я) = д Я + дx г (Я) = 5(х, г, Я). (1.1)

Поясним обозначения: х и г — пространственная и временная координаты соответственно, 0 = 0(х, г) = (0\,..., 0т) — искомый вектор консервативных переменных, Г — вектор х-компонент потоков, 5 — вектор источников. Символом дх обозначается частная производная д/дх.

Предположим, что матрица Якоби вектора потока Г положительна определена при всех значениях 0:

А = А(Я) = ддГ(Я) > 0 уд. (1.2)

Кроме того, отвлечемся от постановки начальных и граничных условий для системы (1.1). Общий случай неопределенной матрицы А, а также важную проблему постановки краевых условий для (1.1) и их аппроксимации обсудим ниже, в параграфе 1.2 настоящей работы.

Построим полудискретную непрерывную по г бикомпактную схему для системы (1.1), используя метод прямых и метод конечных объемов (интегро-интерполяционный метод).

Зафиксируем момент времени г = Введем на оси Ох (неравномерную)

сетку, состоящую из целых х/ и полуцелых х/+1/2 = {х / + х/+0/2 узлов, индекс / пробегает целые значения, шаг Лх,у+1 = х/+1 — х/. Поскольку далее все рассуждения будут проводиться для одной ячейки [х/, х/+1], условимся ради краткости записи опускать индекс / +1 у шага: Нх = Лх,/+1. Пространственный шаблон схемы приведен на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1 — Пространственный шаблон схемы в

одномерном случае

Поскольку имеет место неравенство (1.2), вектор Q в узле х/ известен и требуется найти векторы Q в двух узлах, х/+1/2 и х/+1 (обведены на рисунке 1.1). Для отыскания этих векторов привлечем два (векторных) уравнения: уравнение А^) = 5 (1.1) и его дифференциальное следствие дхА^) = дх5. Осредним оба этих уравнения по ячейке [х/, х/+1], то есть проинтегрируем их от х/ до х/+1 и поделим на шаг Нх. Возникающие при этом интегралы вычисляются следующим образом:

х/+1

1 /* |{ )Л к/ + 4^/+1/2+ / , п^ (1 3)

— / к{х) йх =--+ 0{Н1), (1.3)

х/

х/+1

1 /дЖк) йх = /—к, (1.4)

Пх 3 Пх

х/

х/+1

1 4{к/ — 2к/+1/2 + к/+1) п(и2, п п

лх дхк{х) йх = ---- + 0{К), (1.5)

х/

где к = к{х) — пробная функция, к/ = к(х/), к/+1/2 = к(х/+1/2). Для удоб-

ства дальнейших выкладок определим разностные операторы Л^, ЛX, А|:

_ -tyj + 4фу+1/2 + j

ЛоФ/+1/2

6

лх ^ - ^^, (1.6)

"'X

Лх1Ь _ 4(Ф/ - 2ф/+1/2 +

л2 "Ф/+1/2 = -^-•

Нетрудно видеть, что соотношение (1.3) это квадратурная формула Симпсо-на, соотношение (1.4) — формула Ньютона-Лейбница (интеграл вычисляется точно), соотношение (1.5) — квадратурная формула средней точки и известная симметричная формула для второй производной. Отметим, что формулы (1.3)-( 1.5) могут быть получены, если в ячейке [ху-, ху+1] приблизить "ф(х) интерполяционным многочленом второй степени

"Ф/+1/2 + (ЛХФ/+1/2)(х - Ху+1/2) + 2(Л2Ф/+1/2)(х - Ху+1/2)2. (1.7)

Таким образом, осреднение уравнения = 5 (1.1) с учетом ра-

венств (1.3)-( 1.5) и обозначений (1.6) дает

Xj+1 Xj+1

1 [ Li (Q) dx = h i S dx ^

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Брагин, Михаил Дмитриевич, 2017 год

Список литературы

1. Численное решение многомерных задач газовой динамики / С. К. Годунов, А. В. Забродин, М. Я. Иванов и др. — М. : Наука, 1976. — 400 с.

2. Годунов С. К., Роменский Е. И. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения. — Новосибирск : Научная книга, 1998. — 280 с.

3. Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики. — М. : Книжный дом «Либроком», 2009. — 424 с.

4. Куликовский А. Г., Погорелов Н. В., Семенов А. Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. — М. : Физматлит, 2012. — 656 с.

5. Stoker J. J. Water Waves. The Mathematical Theory with Applications. — Wiley, 1992.

6. Whitham G. B. Linear and Nonlinear Waves. — Wiley, 1999.

7. Brun R. Introduction to reactive gas dynamics. — Oxford University Press, 2009.

8. Cerecignani C. The Boltzmann Equation and Its Applications. — SpringerVerlag, 1988.

9. Glimm J. The continuous structure of discontinuities // Lect. Notes in Phys. — 1986. — Vol. 344. — P. 177-186.

10. Renardy M., Hrusa W. J., Nohel J. A. Mathematical Problems in Viscoelasticity. — Longman Sci. Tech., 1987.

11. Пилюгин Н. Н., Тирский Г. А. Динамика ионизированного излучающего газа. — М. : Издательство Московского университета, 1989. — 312 с.

12. Бисикало Я. В., Жилкин А. Г., Боярчук А. А. Газодинамика тесных двойных звезд. — М. : Физматлит, 2013. — 632 с.

13. Colonius T., Lele S. K. Computational aeroacoustics: progress on nonlinear

problems of sound generation // Prog. Aerosp. Sci. — 2004. — Vol. 40. — P. 345-416.

14. Kurbatskii K. A., Mankbadi R. R. Review of computational aeroacoustics algorithms // Int. J. Comput. Fluid Dyn. — 2004.— Vol. 18, no. 6.— P. 533-546.

15. Ekaterinaris J. A. High-order accurate, low numerical diffusion methods for aerodynamics // Prog. Aerosp. Sci. — 2005. — Vol. 41. — P. 192-300.

16. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. — М. : Мир, 1980. — 616 с.

17. LeVeque R. J. Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations: Steady-State and Time-Dependent Problems. — SIAM, 2007.

18. Trangenstein J. A. Numerical solution of hyperbolic partial differential equations. — Cambridge University Press, 2007.

19. LeVeque R. J. Finite-Volume Methods for Hyperbolic Problems. — Cambridge University Press, 2004.

20. Hesthaven J. S., Gottlieb S., Gottlieb D. Spectral Methods for Time-Dependent Problems. — Cambridge University Press, 2007.

21. A unified framework for the construction of one-step finite volume and discontinuous Galerkin schemes on unstructured meshes / M. Dumbser, D. S. Balsara, E. F. Toro, C.-D. Munz // J. Comput. Phys. — 2008. — Vol. 227, no. 18. — P. 8209-8253.

22. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. — М. : Мир, 1990. — 512 с.

23. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. — М. : Мир, 1999. — 685 с.

24. Toro E. F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics: a Practical Introduction. — Springer, 2009.

25. Titarev V. A. Derivative Riemann problem and ADER schemes, PhD thesis. — University of Trento, 2005.

26. Новые алгоритмы вычислительной гидродинамики для многопроцессорных вычислительных комплексов / В. М. Головизнин, М. А. Зайцев, С. А. Карабасов, И. А. Короткин. — М. : Изд-во МГУ, 2013. — 472 с.

27. Толстых А. И. Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидродинамики. — М. : Наука, 1990. — 230 с.

28. Lele S. К. Compact finite difference schemes with spectral-like resolution // J. Comput. Phys. — 1992. — Vol. 103, no. 1. — P. 16-42.

29. A new class of central compact schemes with spectral-like resolution I: Linear schemes / X. Liu, S. Zhang, H. Zhang, C.-W. Shu // J. Comput. Phys. — 2013. — Vol. 248. — P. 235-256.

30. Разностный метод повышенной точности для расчета течений вязкого газа / О. М. Белоцерковский, А. П. Быркин, А. П. Мазуров, А. И. Толстых // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1982.— Т. 22, № 6.— С. 1480-1490.

31. Михайловская М. Н., Рогов Б. В. Монотонные компактные схемы бегущего счета для систем уравнений гиперболического типа //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2012. — Т. 52, № 4. — С. 672-695.

32. Рогов Б. В., Михайловская М. Н. О сходимости компактных разностных схем // Матем. моделирование. — 2008. — Т. 20, № 1. — С. 99-116.

33. Толстых А. И. О мультиоператорном методе построения аппроксимаций и схем произвольно высокого порядка //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2011. — Т. 51, № 1. — С. 56-73.

34. Толстых А. И. О гибридных схемах с мультиоператорами высокого порядка для счета разрывных решений //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2013. — Т. 53, № 9. — С. 1481-1502.

35. Толстых А. И. Компактные и мультиоператорные аппроксимации вы-

сокой точности для уравнений в частных производных. — М. : Наука, 2015. — 350 с.

36. Марчук Г. И. Методы расщепления. — М. : Наука, 1988. — 263 с.

37. Самарский А. А. Теория разностных схем. — М. : Наука, 1989. — 616 с.

38. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. — Новосибирск : Наука, 1967. — 197 с.

39. Teng Z.-H. On the accuracy of fractional step method for conservation laws // SIAM J. Numer Anal. — 1994. — Vol. 31, no. 1. — P. 43-63.

40. Splitting Methods for Partial Differential Equations with Rough Solutions / H. Holden, K. H. Karlsen, K.-A. Lie, N. H. Risebro. — EMS Zurich, 2010.

41. LeVeque R. J. Numerical Methods for Conservation Laws. — 2 edition.— Birkhauser Berlin, 1982.

42. LeVeque R. J. Time split methods for partial differential equations, PhD thesis (Report No. STAN-CS-82-904). — Stanford University, 1982.

43. Bobylev A. V., Ohwada T. The error of the splitting scheme for solving evolutionary equations // Appl. Math. Lett. — 2001.— Vol. 14, no. 1.— P. 45-48.

44. Strang G. On the construction and comparison of difference schemes // SIAM J. Numer. Anal. — 1968. — Vol. 5. — P. 506-517.

45. Beam R. M., Warming R. F. An implicit finite-difference algorithm for hyperbolic systems in conservation-law form // J. Comput. Phys. — 1976. —Vol. 22.— P. 87-110.

46. Hundsdorfer W., Verwer J. Numerical Solution of Time-Dependent Advection-Diffusion-Reaction Equations. — Springer-Verlag, 2003.

47. Vabishchevich P. N. Additive Operator-Difference Schemes. Splitting Schemes. — De Gruyter Berlin/Boston, 2014.

48. Sheng Q. Solving linear partial differential equations by exponential

splitting // IMA J. Numer. Anal. — 1989. — Vol. 9, no. 2. — P. 199-212.

49. Sheng Q. Adi methods // Encyclopedia of Applied and Computational Mathematics. Springer-Verlag. — 2015. — P. 25-33.

50. Blanes S., Casas F. On the necessity of negative coefficients for operator splitting schemes of order higher than two // Appl. Numer. Math. — 2005. — Vol. 54, no. 1. — P. 23-37.

51. Blanes S., Casas F. A Concise Introduction to Geometric Numerical Integration. — CRC Press London/New York, 2016.

52. Van der Houwen P. J., Sommeijer B. P. Approximate factorization for time-dependent partial differential equations // J. Comput. Appl. Math.— 2001. — Vol. 128. — P. 447-466.

53. Geiser J. Iterative Splitting Methods for Differential Equations. — CRC Press London/New York, 2011.

54. Sengupta T. K., Ganerwal G., Dipankar A. High accuracy compact schemes and Gibbs' phenomenon // J. Sci. Comput. — 2004.— Vol. 21, no. 3. — P. 253-268.

55. Lax P. D. Gibbs phenomena // J. Sci. Comput. — 2006.— Vol. 28, no. 2/3. — P. 445-449.

56. Годунов С. К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики // Матем. сб. — 1959. — Т. 47 (89), № 3. — С. 271-306.

57. Кудрявцев А. Н. Вычислительная аэродинамика сверхзвуковых течений с сильными ударными волнами: дис. ... д-ра физ.-мат. наук: 01.02.05. — Новосибирск, 2014. — 337 с.

58. Cockburn B., Shu C.-W. Nonlinearly stable compact schemes for shock calculations // SIAM J. Numer. Anal. — 1994. — Vol. 31, no. 3. — P. 607627.

59. Yee H. C. Explicit and implicit multidimensional compact high-resolution

shock-capturing methods: Formulation // J. Comput. Phys. — 1997. — Vol. 131, no. 1. — P. 216-232.

60. Ekaterinaris J. A. Implicit, high-resolution, compact schemes for gas dynamics and aeroacoustics // J. Comput. Phys.— 1999.— Vol. 156, no. 2. — P. 272-299.

61. Yee H. C., Sandham N. D., Djomehri M. J. Low-dissipative high-order shock-capturing methods using characteristic-based filters // J. Comput. Phys. — 1999. — Vol. 150, no. 1. — P. 199-238.

62. Yee H. C., Sjogreen B. Adaptive filtering and limiting in compact high order methods for multiscale gas dynamics and MHD systems // Comput. Fluids. — 2008. — Vol. 37, no. 5. — P. 593-619.

63. Darian H. M., Esfahanian V., Hejranfar K. A shock-detecting sensor for filtering of high-order compact finite difference schemes //J. Comput. Phys.— 2011. —Vol. 230, no. 3. — P. 494-514.

64. Von Neumann J., Richtmyer R. D. A method for the numerical calculation of hydrodynamic shocks // J. Appl. Phys.— 1950.— Vol. 21, no. 3. — P. 232-237.

65. Остапенко В. В. Симметричные компактные схемы с искусственными вязкостями повышенного порядка дивергентности //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2002. — Т. 42, № 7. — С. 1019-1038.

66. Fiorina B., Lele S. K. An artificial nonlinear diffusivity method for supersonic reacting flows with shocks // J. Comput. Phys. — 2006. — Vol. 222. — P. 246-264.

67. Kawai S., Lele S. K. Localized artificial diffusivity scheme for discontinuity capturing on curvilinear meshes //J. Comput. Phys. — 2008. — Vol. 227, no. 22. — P. 9498-9526.

68. Kurganov A., Liu Y. New adaptive artificial viscosity method for hyperbolic systems of conservation laws // J. Comput. Phys. — 2012.— Vol. 231, no. 24. — P. 8114-8132.

69. Deng X., Maekawa H. Compact high-order accurate nonlinear schemes // J. Comput. Phys. — 1997. — Vol. 130, no. 1. — P. 77-91.

70. Deng X., Zhang H. Developing high-order weighted compact nonlinear schemes // J. Comput. Phys. — 2000. — Vol. 165, no. 1. — P. 22-44.

71. Jiang L., Shan H., Liu C. Weighted compact scheme for shock capturing // Int. J. Comput. Fluid Dyn. — 2001. — Vol. 15, no. 2. — P. 147-155.

72. Zhang S., Jiang S., Shu C.-W. Development of nonlinear weighted compact schemes with increasingly higher order accuracy // J. Comput. Phys. — 2008. — Vol. 227, no. 15. — P. 7294-7321.

73. Ghosh D., Baeder J. D. Compact reconstruction schemes with weighted ENO limiting for hyperbolic conservation laws // SIAM J. Sci. Comput. — 2012. — Vol. 34, no. 3. — P. A1678-A1706.

74. Guo Y., Xiong T., Shi Y. A positivity-preserving high order finite volume compact-WENO scheme for compressible Euler equations // J. Comput. Phys. — 2014. — Vol. 274. — P. 505-523.

75. Modified weighted compact scheme with global weights for shock capturing / H. Fu, Z. Wang, Y. Yan, C. Liu // Comput. Fluids. — 2014. — Vol. 96. — P. 165-176.

76. Рогов Б. В., Михайловская М. Н. Монотонные бикомпактные схемы для линейного уравнения переноса // Докл. АН. — 2011. — Т. 436, № 5. — С. 600-605.

77. Аристова Е. Н., Рогов Б. В. О реализации граничных условий в бикомпактных схемах для линейного уравнения переноса // Матем. моделирование. — 2012. — Т. 24, № 10. — С. 3-14.

78. Михайловская М. Н., Рогов Б. В. Бикомпактные монотонные схемы для многомерного линейного уравнения переноса // Матем. моделирование. — 2011. — Т. 23, № 10. — С. 107-116.

79. Рогов Б. В. Высокоточная компактная схема бегущего счета для мно-

гомерных уравнений гиперболического типа // Докл. АН. — 2012. — Т. 445, № 6. — С. 631-635.

80. Рогов Б. В., Михайловская М. Н. Монотонная высокоточная компактная схема бегущего счета для квазилинейных уравнений гиперболического типа // Матем. моделирование. — 2011. — Т. 23, № 12. — С. 6578.

81. Рогов Б. В. Монотонная бикомпактная схема для квазилинейных уравнений гиперболического типа // Докл. АН. — 2012. — Т. 446, № 5. — С. 504-509.

82. Рогов Б. В. Высокоточная монотонная компактная схема бегущего счета для многомерных уравнений гиперболического типа //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2013. — Т. 53, № 2. — С. 264-274.

83. Chikitkin A. V., Rogov B. V., Utyuzhnikov S. V. High-order accurate monotone compact running scheme for multidimensional hyperbolic equations // Appl. Numer. Math. — 2015. — Vol. 93. — P. 150-163.

84. Чикиткин А. В., Рогов Б. В., Аристова Е. Н. Высокоточные бикомпактные схемы для многомерного неоднородного уравнения переноса и их эффективная параллельная реализация // Докл. АН.— 2016.— Vol. 470, no. 2. — P. 144-149.

85. Чикиткин А. В. Бикомпактные схемы для многомерных гиперболических уравнений и их эффективная реализация: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.07. — М., 2016. — 89 с.

86. Федоренко Р. П. Применение разностных схем высокой точности для численного решения гиперболических уравнений //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1962. — Т. 2, № 6. — С. 1122-1128.

87. Аристова Е. Н., Чикиткин А. В., Рогов Б. В. Оптимальная монотонизация высокоточной бикомпактной схемы для нестационарного многомерного уравнения переноса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2016. — Vol. 56, no. 6. — P. 973-978.

88. Брагин М. Д., Рогов Б. В. О единственности высокоточной бикомпактной схемы для квазилинейных уравнений гиперболического типа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2014. — Т. 54, № 5. — С. 815-820.

89. Брагин М. Д., Рогов Б. В. Гибридные схемы бегущего счета для уравнений гиперболического типа на основе противопоточных и бикомпактных симметричных схем // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2015. — Т. 55, № 7. — С. 1196-1207.

90. Брагин М. Д., Рогов Б. В. Гибридные бикомпактные схемы с минимальной диссипацией для уравнений гиперболического типа //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2016. — Т. 56, № 6. — С. 958-972.

91. Брагин М. Д., Рогов Б. В. О точном пространственном расщеплении многомерного скалярного квазилинейного гиперболического закона сохранения // Докл. АН. — 2016. — Т. 469, № 2. — С. 143-147.

92. Брагин М. Д., Рогов Б. В. Новая гибридная схема для расчета разрывных решений гиперболических уравнений // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. — 2016. — № 22. — 22 с.

93. Брагин М. Д., Рогов Б. В. Метод итерируемой приближенной факторизации операторов высокоточной бикомпактной схемы для систем многомерных неоднородных уравнений гиперболического типа // Докл. АН. — 2017. — Т. 473, № 3. — С. 263-267.

94. Рогов Б. В., Брагин М. Д. О свойствах спектрального разрешения симметричных бикомпактных схем четвертого порядка аппроксимации // Докл. АН. — 2017. — Т. 475, № 2. — С. 140-144.

95. Брагин М. Д., Рогов Б. В. О единственности высокоточной бикомпактной схемы для квазилинейных уравнений гиперболического типа // Труды 56-й научной конференции МФТИ «Актуальные проблемы фундаментальных и прикладных наук в современном информационном обществе». Управление и прикладная математика. Том 2. — М.: МФТИ, 2013. — С. 99-100.

96. Брагин М. Д., Рогов Б. В. Гибридные бикомпактные схемы с минимальной диссипацией для уравнений гиперболического типа // Труды 57-й научной конференции МФТИ: Всероссийской научной конференции с международным участием «Актуальные проблемы фундаментальных и прикладных наук в области физики». Управление и прикладная математика. Том 2. — М.: МФТИ, 2014. — С. 87-88.

97. Bragin M. D., Rogov B. V. Minimal dissipation hybrid bicompact schemes for multidimensional hyperbolic equations // European Conference on High Order Nonlinear Numerical Methods for Evolutionary PDEs: Theory and Applications (H0N0M2015). Conference Program. — Trento (Italy), 2015.— P. 6.

98. Брагин М. Д., Рогов Б. В. Робастные гибридные бикомпактные схемы с пространственной факторизацией // Тезисы 58-й научной конференции МФТИ. — М.: МФТИ, 2015. — 2c. — URL: http://conf58.mipt. ru/static/reports_pdf/130.pdf.

99. Bragin M. D., Rogov B. V. On the exact dimensional splitting for a scalar quasilinear hyperbolic conservation law // XVI International Conference on Hyperbolic Problems: Theory, Numerics, Applications (HYP2016). Book of Abstracts. — Aachen (Germany), 2016. — P. 30-31.

100. Брагин М. Д., Рогов Б. В. Метод итерируемой приближенной факторизации операторов бикомпактной схемы для многомерных неоднородных гиперболических систем // Тезисы 59-й научной конференции МФТИ с международным участием. — М.: МФТИ, 2016. — 2 c. — URL: http://conf59.mipt.ru/static/reports_pdf/1499.pdf.

101. Bragin M. D., Rogov B. V. Bicompact schemes for hyperbolic equations: properties and effective implementation in many dimensions // European Conference on High Order Nonlinear Numerical Methods for Evolutionary PDEs: Theory and Applications (H0N0M2017). Proceedings. — Stuttgart (Germany), 2017. — P. 85.

102. Скворцов Л. М. Диагонально неявные FSAL-методы Рунге-Кутты для

жестких и дифференциально-алгебраических систем // Матем. моделирование. — 2002. — Т. 14, № 2. — С. 3-17.

103. Абалакин И. В., Козубская Т. К. Многопараметрическое семейство схем повышенной точности для линейного уравнения переноса // Матем. моделирование. — 2007. — Т. 19, № 7. — С. 56-66.

104. Visbal M. R., Gaitonde D. V. Very high-order spatially implicit schemes for computational acoustics on curvilinear meshes //J. Comput. Acoust. — 2001. — Vol. 9, no. 4. — P. 1259-1286.

105. Liska R., Wendroff B. Comparison of several difference schemes on 1D and 2D test problems for the Euler equations // SIAM J. Sci. Comput. — 2003. — Vol. 25, no. 3. — P. 995-1017.

106. Шокин Ю. И., Яненко Н. Н. Метод дифференциального приближения. Применение в газовой динамике. — Новосибирск : Изд-во СО РАН, 1985. — 364 с.

107. Friedrichs K. O., Hyers D. H. Symmetric hyperbolic linear differential equations // Commun. Pure Appl. Math. — 1954. — Vol. 7, no. 2. — P. 345392.

108. Холодов А. С., Холодов Я. А. О критериях монотонности разностных схем для уравнений гиперболического типа //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2006. — Т. 46, № 9. — С. 1638-1667.

109. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. — Москва : Наука, 1977. — 440 с.

110. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. — М. : Физматлит, 2003. — 416 с.

111. Зельдович Я. Б., Райзер Ю. П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. — М. : Физматлит, 2008. — 656 с.

112. Ударные волны разрежения в численных решениях задач газовой дина-

мики / М. В. Абакумов, С. И. Мухин, Ю. П. Попов, Д. В. Рогожкин // Матем. моделирование. — 2008. — Т. 20, № 1. — С. 48-60.

113. Peshkov I., Romenski E. A hyperbolic model for viscous newtonian flows // Continuum Mech. Therm. — 2016. — Vol. 28, no. 1. — P. 85-104.