Численное моделирование фильтрации в трещиновато-пористых средах на основе модели двойной пористости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Григорьев, Александр Виссарионович

• Григорьев, Александр Виссарионович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Григорьев, Александр Виссарионович

Содержание

Введение

1 Моделирование двойной пористости в псевдо-параболическом приближении

1.1 Схема с весами для псевдо-параболической модели двойной пористости

1.1.1 Постановка задачи

1.1.2 Разностная схема

1.1.3 Численные эксперименты

1.2 Реализация псевдо-параболической задачи на основе метода конечных элементов

1.2.1 Конечно-элементная реализация

1.2.2 Модельная задача

1.2.3 Вычислительный алгоритм

1.2.4 Результаты расчетов

1.3 Схемы расщепления для псевдо-параболической модели двойной пористости

1.3.1 Постановка задачи

1.3.2 Векторная задача

1.3.3 Аддитивные векторные схемы

1.3.4 Численная реализация

2 Моделирование двойной пористости на основе системы уравнений

2.1 Модель Баренблатта

2.1.1 Постановка задачи

2.1.2 Постановка обезразмеренной двумерной задачи

2.1.3 Вычислительный алгоритм

2.1.4 Результаты расчетов

2.2 Схемы расщепления

2.2.1 Последовательная схема расщепления

2.2.2 Параллельная схема расщепления

2.2.3 Более общие задачи

2.3 Явно-неявные схемы для систем уравнений

2.3.1 Введение

2.3.2 Начально-краевые задачи для систем уравнений

2.3.3 Схема с весами

2.3.4 Схемы с диагональным оператором

2.3.5 Общий случай

3 Моделирование процесса фильтрации в ненасыщенном грунте с применением модели двойной пористости

3.1 Модельная задача просачивания воды в грунт

3.1.1 Введение

3.1.2 Уравнение Ричардса

3.1.3 Постановка задачи

3.1.4 Вычислительный алгоритм

3.1.5 Результаты расчетов

3.2 Трехмерная задача просачивания воды в грунт

3.2.1 Введение

3.2.2 Результаты расчетов

3.3 Применение схем расщепления для трехмерной задачи

3.3.1 Введение

3.3.2 Схемы расщепления

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование фильтрации в трещиновато-пористых средах на основе модели двойной пористости»

Введение

Исследование современных прикладных проблем базируется на применении информационных технологий, интеллектуальным ядром которых выступает математическое моделирование [3,6,29,47,52,54,65,83]. Сформировалась новая технология научных исследований — вычислительный эксперимент. В рамках триады A.A. Самарского модель — алгоритм — программа исследуются важнейшие научно-технические проблемы современности. Вычислительные средства (компьютеры и численные методы) делают возможным описание свойств исследуемого объекта с необходимой полнотой и детальностью на основе адекватных математических моделей, которые включают системы связанных друг с другом нестационарных нелинейных уравнений с частными производными, системы обыкновенных дифференциальных и алгебраических уравнений.

При решении прикладных проблем мы имеем дело с краевыми задачами для систем нестационарных уравнений в частных производных. При построении вычислительных алгоритмов для таких задач решаются проблемы аппроксимации уравнений с учетом соответствующих начальных и граничных условий. Аппроксимация по пространству проводится на основе разностных методов, метода конечных элементов, метода конечных объемов [20,55,60,75]. В настоящее время необходимо решать задачи в сложных расчетных областях. В силу этого метод конечных элементов рассматривается как основная технология для проведения инженерных и научных исследований.

Особые требования предъявляются к выбору аппроксимаций по времени при численном решении задач для систем уравнений [35, 56, 61]. Помимо общих

условий аппроксимации и устойчивости необходимо иметь в виду и вопросы вычислительной реализации построенных схем — решения соответствующей сеточной задачи на новом временном слое. В этом плане наиболее обнадеживающие результаты связываются с построением специальных аддитивных оператор-но-разностных схем (схем расщепления) [17,24].

При исследовании разностных схем для нестационарных задач математической физики широко используется общая теория устойчивости (корректности) операторно-разностных схем [9,20,28,77]. В настоящее время получены точные (совпадающие необходимые и достаточные) условия широкого класса двух- и трехслойных разностных схем в конечномерных гильбертовых пространствах. Необходимо особо подчеркнуть конструктивность общей теории устойчивости операторно-разностных схем, в которой критерии устойчивости формулируются в виде легко проверяемых неравенств для операторов. Среди наиболее важных обобщений отметим использование общей теории устойчивости для некорректных эволюционных задач [21,23,78,80] и для исследования проекционно-разностных схем (схем конечных элементов) [9,22,79]. Получены также новые априорные оценки устойчивости в интегральных по времени нормах [26], на основе которых исследуется, в частности, сходимость разностных схем для задач с обобщенными решениями. Особого внимания заслуживают полученные априорные оценки сильной (коэффициентной) устойчивости при различных предположениях о возмущении операторов (коэффициентов) дифференциальной и разностной задач [25,59].

Аддитивные схемы (схемы расщепления) применяются при решении различных нестационарных задач [17,20,24,34] и предназначены для более эффективной вычислительной реализации построенных схем, для нахождения решения соответствующей сеточной задачи на новом временном слое. Переход к цепочке более простых задач позволяет построить экономичные разностные схемы — расщепление по пространственным переменным (локально-одномерные схемы). В ряде случаев полезно отделить подзадачи различной природы — расщепление

по физическим процессам. Регионально-аддитивные схемы (схемы декомпозиции области) ориентированы на построение вычислительных алгоритмов для параллельных компьютеров.

Основные теоретические результаты об устойчивости и сходимости аддитивных схем получены для скалярных эволюционных уравнений первого порядка и, в некоторых случаях, для уравнений второго порядка [17,20,24,34]. Для вычислительной практики значительный интерес представляют схемы расщепления для систем эволюционных уравнений. Например, для векторных задач отдельные компоненты вектора неизвестных связаны друг с другом. В этом случае использование тех или иных схем расщепления ориентировано на то, чтобы получить хорошие задачи для отдельных компонент решения на новом временном слое.

Для стандартных параболических и гиперболических систем уравнений с самосопряженным эллиптическим оператором аддитивные схемы построены в [20] на основе принципа регуляризации разностных схем. Для систем уравнений схемы расщепления могут строиться с использованием треугольного расщепления оператора задачи на сумму сопряженных друг другу операторов — попеременно-треугольного метода A.A. Самарского. Такие аддитивные схемы используются в работе [62] для динамических задач упругости. Аналогичный подход применяется [11,76] для задач несжимаемой жидкости с переменной вязкостью. Аддитивные схемы для нестационарных задач электродинамики рассмотрены в работе [8].

Можно выделить самостоятельный класс аддитивных схем для векторных задач. Схемы такого типа можно использовать для построения эффективных вычислительных алгоритмов при приближенном решении систем нестационарных уравнений с частными производными. Типичной является ситуация, когда отдельные компоненты вектора неизвестных завязаны между собой и трудно получить хорошую задачу для нахождения компонент на новом временном слое.

Различные классы аддитивных схем построены для векторных задач [76]. В случае, когда отдельные компоненты вектора неизвестных связаны друг с другом, использование тех или иных схем расщепления ориентировано на то, чтобы получить хорошие задачи для отдельных компонент решения на новом временном слое. Для параболических и гиперболических систем уравнений с самосопряженным эллиптическим оператором локально-одномерные аддитивные схемы построены в [20] на основе принципа регуляризации разностных схем. Для систем уравнений эффективные схемы расщепления могут строиться на основе попеременно-треугольного метода A.A. Самарского, который обычно рассматривается как итерационный метод [20,30]. Такой подход реализован, в частности, в [62] для динамических задач упругости, в [11] — для задач несжимаемой жидкости с переменной вязкостью. Аддитивные схемы для нестационарных векторных уравнений первого и второго порядка, типичных для задач электродинамики, построены в работе [8].

Аддитивные операторно-разностные схемы для систем эволюционных уравнений строятся при зацеплении операторов по пространству. В некоторых случаях имеет место зацепление по производным компонент вектора решения по времени. Поэтому представляет интерес построение аддитивных операторно-разностных схем с расщеплением оператора при производной по времени. Теория и практика построения такого рода схем расщепления в настоящее время находится в зачаточном состоянии. Фактически первой работой для схем расщепления для задач с аддитивным представлением оператора при производной по времени для эволюционных уравнений первого порядка является статья [89]. В ней предложены и исследованы новые векторные аддитивно-операторные схемы при расщеплении оператора при производной по времени на сумму положительно определенных самосопряженных операторов. Такого рода схемы нельзя напрямую использовать для систем эволюционных уравнений при зацеплении по производным по времени.

Большое прикладное значение в строительстве гидротехнических сооружений, в мелиорации, водоснабжении, при добыче нефти и газа имеют исследования движение жидкости (воды, нефти) или газа (воздуха, природного газа) сквозь пористую среду. Математическая модель динамики жидкости в пористой среде включает дифференциальные уравнения, которые в той или иной форме выражают законы сохранения массы и количества движения [41,45]. Прежде всего, используются уравнения неразрывности, которые соответствуют закону сохранения массы для каждой отдельной фазы. В пористой среде уравнения движения записываются в виде закона Дарси, который связывает скорость с давлением.

Наиболее простые модели фильтрации жидкости приводят к одному эллиптическому (стационарные задачи) или параболическому (нестационарные задачи) уравнению второго порядка с линейными или нелинейными коэффициентами. Более содержательные задачи связаны с необходимостью рассмотрения краевых задач для систем уравнений.

Математическое моделирование течений многофазной жидкости в пористых средах имеет важное прикладное значение при добыче нефти и газа. Традиционно гидродинамические симуляторы строятся на основе трехфазной модели (three-phase black oil) [37, 69]. Эти прикладные математические модели являются существенно нелинейными и трудными для исследования [87,94]. Вторая особенность математических моделей течений многофазных жидкостей, которая характерна и для линейных задач, проявляется в замыкании системы уравнений на основе постоянства суммы всех насыщенностей. Такие алгебраические составляющие модели необходимо учитывать при построении вычислительных алгоритмов решения задач фильтрации многофазной жидкости [43,50].

Модель пористой среды представляет собой систему непроницаемых, неподвижных зерен произвольной формы, между которыми имеются небольшие пустоты — поры. Считаем, что поры заполнены жидкостью или газом, которые могут при соответствующих условиях перемещаться. Во многих прикладных

проблемах мы должны учитывать, что в породах, кроме пор, имеется развитая система трещин. Математические модели движения жидкости в такой среде были разработаны в конце 50-х годов Г.И.Баренблаттом, Ю.П.Желтовым, И.Н.Кочиной [4,5]. В современной литературе эта модель двойной пористости (в порах и в трещинах) известна как модель Баренблатта, а в качестве основной цитируемой работы выступает [39] — английский вариант статьи [5]. Модель характеризуется наличием обмена давлениями между фазами.

Подобная математическая модель с перетоком строится для моделирования фильтрации жидкости в многопластовых системах. Моделирование фильтрации жидкости для практических нужд основывается чаще всего на использовании площадных моделей (фильтрация в плане) [14,18]. В этом случае используются приближения с осреднением фильтрационных потоков по толщине водоносного слоя. Типичной является ситуация, когда отдельные водоносные слои перемежаются слабопроницаемыми пластами. Математические модели фильтрации в многопластовых системах строятся на основе предположения (модель Митяева-Гиринского) о преимущественном продольном течении жидкости в водоносных слоях и поперечном течении в разделяющих слоях. Эти математические модели могут быть обоснованы на основе теории гомогенизации [31].

Классическая модель двойной пористости включает два параболических уравнения для давления в порах и давления в трещинах. Основная особенность рассматриваемой математической модели состоит в том, что отдельные уравнения связаны друг с другом по младшему коэффициенту — обмен между трещинами и порами до установления одного и того же давления. Актуальной проблемой является построение и обоснование вычислительных алгоритмов для приближенного решения подобных задач, когда переход на новый временной слой был бы связан с решением двух отдельных задач, несвязанных друг с другом. Более общие модели двойной пористости основаны на системах уравнений, в которых уравнения завязаны и по старшим коэффициентам, и по коэффициентам при производных по времени. Упрощенная модель двойной пористости

приводит к одному уравнению, которое является псевдопараболическим уравнением [81,82]. Хорошо известны схемы расщепления по пространственным переменным для параболических задач. Интересно построить схемы расщепления по направлениям для краевых задач для псевдопараболических уравнений.

Решению очерченного круга проблем посвящена настоящая работа. В ней построены схемы расщепления как для псевдопараболической модели двойной пористости, так и для стандартной и обобщенной модели на основе системы уравнений для давлений. Доказаны соответствующие результаты об устойчивости схем расщепления. На этой теоретической основе построен вычислительный алгоритм решения прикладных проблем ненасыщенной фильтрации в трещиновато-пористых средах, которые связаны с решением системы нелинейных уравнений для давлений. Двумерные и трехмерные задачи приближенно решаются-на основе конечно-элементной аппроксимации по пространству.

Современное прикладное программное обеспечение включает систему подготовки данных (препроцессинг), вычислительное ядро (процессинг) и систему визуализации и обработки расчетных данных (постпроцессинг). В рамках компонентного программирования эти хорошо разработанные компоненты можно использовать для создания программного обеспечения инженерных и научных вычислений.

Для инженерных и научных вычислений широко используется библиотека PET Sc (Portable Extensible Toolkit for Scientific Computation). Этот программный инструментарий поддерживает современные парадигмы параллельного программирования на основе стандарта MPI. Основное внимание в PETSc уделяется численному решению линейных и нелинейных систем уравнений, которые возникают при приближенном решении краевых задач для уравнений с частными производными.

Общий программный инструментарий мультифизичного моделирования включает средства подготовки геометрических и сеточных моделей, построения дискретной задачи (аппроксимация), численного решения полученных систем

дифференциальных и алгебраических уравнений с поддержкой возможности визуализации и обработки расчетных данных. Примером является пакет FEniCS, который базируется на использовании метода конечных элементов. На основе этой библиотеки были написаны программы на языке Python и выполнены расчеты.

В первой главе рассматриваются проблемы математического моделирования фильтрации жидкости в трещиновато-пористой среде на основе псевдопараболического уравнения. Сформулированы условия, при которых это приближение работает. Для решения двумерной модельной задачи используется стандартная конечно-элементная аппроксимация по пространству. Для аппроксимации по времени применяются схемы с весами, вычислительная реализация которых связана с решением сеточного эллиптического уравнения на каждом шаге по времени. Основной результат [12] этой части нашего исследования связан с построением и исследованием схем расщепления по пространственным переменным. Особенность задачи обусловлена расщеплением оператора при производной по времени.

Проблемам численного моделирования двойной пористости на основе системы уравнений для давлений в трещинах и порах [16] посвящена вторая глава. Строится вычислительный алгоритм решения модельной задачи при использовании неявных аппроксимаций по времени. Для уменьшения вычислительной работы строятся схемы расщепления по физическим процессам, когда переход на новый временной слой обеспечивается раздельным расчетом давлений для трещин и пор. Отмечены два варианта схем с расщеплением: последовательный (расчет одного давления после расчета другого) и параллельный (независимый расчет давлений на каждом шаге по времени). Для систем уравнений, которые связываются с обобщенной моделью двойной пористости, построены схемы расщепления. Рассмотрен, в частности, случай зацепления уравнений не только по младшим и старшим коэффициентам системы, но и зацепления по ко-

эффициентам при производных по времени. Доказана безусловная устойчивость явно-неявных схем в соответствующих гильбертовых пространствах.

Третья глава посвящена численному моделированию процесса фильтрации в ненасыщенном грунте в приближении двойной пористости. Рассматривается модельная задача просачивания воды в трещиновато-пористый грунт, когда процесс описывается системой нелинейных вырождающихся параболических уравнений. Основное внимание уделяется численному моделированию задачи просачивания из канала с учетом системы колодцев. Приведены результаты расчетов трехмерных расчетов, выполненных при использовании конечно-элементных аппроксимаций, по времени.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Вабищевичу Петру Николаевичу за постановку интересных задач, за ведение данной работы на всем ее протяжении, за понимание проблем и оказании всесторонней поддержки автору. Автор выражает благодарность сотрудникам Центра вычислительных технологий СВФУ за ценные советы и помощь в редактировании данной работы.

Глава 1

Моделирование двойной пористости в псевдо-параболическом приближении

Рассмотрены проблемы моделирования фильтрации на основе упрощенной модели двойной пористости. Эта модель базируется на одном псевдопараболическом уравнении для давления. Дается краткое описание упрощенной модели. Исследуется схема с весами для приближенного решения краевой задачи для псевдо-параболического уравнения. Численное исследование проводится на основе конечно-элементной аппроксимации по пространству. Основное внимание отводится построению и исследованию схемы покомпонентного расщепления для данной модели.

1.1 Схема с весами для псевдо-параболической модели двойной пористости

Строятся и исследуются двухслойные схемы для псевдо-параболического уравнения. Псевдо-параболическая модель является предельным случаем более общей модели двойной пористости, в которой система состоит из двух уравнений для давлений в трещинах и порах.

1.1.1 Постановка задачи

Псевдо-параболическая модель двойной пористости рассматривается как упрощенная модель двойной пористости, которая возникает при существенном различии фильтрационных параметров в трещиноватой и пористой средах.

Псевдо-параболическими уравнениями с частными производными называют уравнения вида:

в^+Аи = т, (1.1)

где А, В — положительно определенные эллиптические операторы [82]. Уравнения псевдо-параболического типа возникают во многих областях математики и физики. В частности, на их основе исследуются проблемы связывания глины [85], рассматриваются процессы теплопроводности [42], строятся математические модели двойной пористости фильтрации в трещиноватой среде [39].

В качестве основной модели двойной пористости рассматривается система из двух параболических уравнений для давлений в трещинах и порах. В модели Баренблатта [39] исследуется однофазная фильтрация флюида в трещиновато-пористой среде (среды несжимаемы). В этом случае основной является система уравнений

с1(гс)—^ - (^(^(ж^гас! щ) + г(ж)(г/1 - и2) = Л(гМ), (1.2)

с2(- ¿Мс^О) grad и2) + г(х)(и2 - щ) = /2(ж, £). (1.3)

Здесь индексами 1 и 2 обозначены соответственно параметры трещиноватой и пористой сред, г (аз) (г/х — и2) — обменный поток между средами, с1а — ка/рь, ка — проницаемости, ¡л — вязкость флюида, а = 1,2. Процесс рассматривается в ограниченной области П при 0 < £ < Т.

В более общем виде модель двойной пористости можно записать следующим образом:

сп(х)^- + С12(ж)^ - div(dn(cc) grad щ) - div(d12{x) grad и2) +

ut Ot (1-4)

—Hb-rfar)(ui - U2) =" fitxjt)-

c2i{x)^- + с22(ж)^ - div(d2i(a?) grad u2) - div(d22(x) grad wi)+ ^ + r(x)(u2 - ui) = f2{x,t).

Здесь уравнения (1.4), (1.5) завязаны не только обменным потоком, но также присутствует связь через коэффициенты при производных по времени и через коэффициенты при операторе диффузии.

В дальнейшем систему уравнений (1.2), (1.3) будем называть моделью Ба-ренблатта, а систему уравнений (1.4), (1.5) — обобщенной моделью двойной пористости.

Из физических соображений вытекает следующее свойство обменного потока:

г(х) > О, X е П. Для коэффициентов при производных по времени предполагаем:

С\2{х) = c2i (ж),

2 2

Caß{x)CaCß > ¿с й> Хе Sc = COnSt > 0.

а,/3=1 а=1

Аналогичные ограничения накладываются на коэффициенты daß.

В модели Баренблатта связь между уравнениями системы устанавливается только по младшим коэффициентам — обменный поток между средами. В обобщенной модели уравнения связаны и по старшим коэффициентам daß, и

по коэффициентам при производных по времени сар. Отмеченная связь между уравнениями системы модели двойной пористости сильно повышает сложность вычислительных алгоритмов ее исследования. Поэтому на практике часто ориентируются на упрощенные модели двойной пористости.

Рассмотрим модель двойной пористости Баренблатта (1.2), (1.3). Для системы уравнений ставится краевая задача в области П при 0 < £ < Т, которая характеризуется, например, краевыми и начальным условиями:

иа(хЛ) = 0, хедп, 0 < £ < Т, (1.6)

иа(х,0) = и°а(х), хеп, а = 1,2. (1.7)

Однородная система уравнений (1.2), (1.3) при равенстве их фильтрационных параметров (к\ = к2, с\ = с2) переходит в уравнение вида

ди

с(ж)— - (Иу(^х) grad и) = /(ж,г), (1.8)

которое соответствует классической теории фильтрации в пористой среде с одной пористостью.

Специфические свойства гетерогенности, напротив, будут проявляться в случае качественного различия фильтрационных параметров:

к!^>к2, С1 <С с2. (1.9)

Сформулированные условия (1.9) полностью согласуются с современными представлениями о наиболее распространенном типе трещиновато-пористых пород, для которых проводящие свойства определяются сетью трещин, а емкостные — межзерновым пространством. При этих условиях исходная система (1.2), (1.3) существенно упрощается и принимает вид:

с2(ж)-^ + г(х)(и2 - щ) = /2(ж,£), (1.11)

Из этой системы можно получить псевдо-параболическое уравнение для давления в трещинах:

--7Щ7 сПУ(С^(Ж) grad щ)--^ аЬ^с^ж) grad щ) =

дь г{х) т с2(х)

= /!(ж^)+/2(ж^) | 1 0Д(ж,*) >

с2 г (ж) дЬ

Далее, после вычисления значения щ из уравнения (1.12), значения для и2 можно вычислить используя уравнение (1.11).

Сформулируем модельную двумерную краевую задачу, которая соответствует псевдо-параболической модели двойной пористости. В случае, когда коэффициенты г(ж), ¿^(ж), с2(ж) постоянные, а П — двумерная область (ж = (х\,х2)), уравнение (1.12) примет следующий вид:

= /(*,*). (1.13)

Здесь используются следующие обозначения:

и{ ж, = щ( ж, £), ^х(ж)

7 =

Р =

г( ж)

¿г(х) с2{х)'

^ /!(ж,0 + /2(ж^) 1 0/1 (ж,*) с2(ж) г (ж) & •

Модельная задача рассматривается для простейшего случая, когда О, — прямоугольник со сторонами 1\ и /2. Псевдо-параболическое уравнение дополняется следующими граничными и начальным условиями:

и{ ж, ¿) = 0, же сЮ, 18

(1.14)

и(Ж, 0) = 8т(7ПЕ1) 8т(7ПЕ2), х £ О,.

(1.15)

Для правой части положим

/(¡М)=0, хеП.

(1.16)

Запишем поставленную задачу в дифференциально-операторном виде:

(Е + >уА)— + Аи = №

(И

(1.17)

"(0)

(1.18)

Здесь приняты следующие обозначения 7 = 7/Р, А = —/ЗД. Основная особенность псевдо-параболической модели двойной пористости заключается в наличии оператора В = Е + 7-4.

1.1.2 Разностная схема

Введем равномерную сетку в области П. Для этого разобьем стороны /ь 12 на А^ь N2 подинтервалов одинаковой длины Н\, /¿2 соответственно. Обозначим через ш равномерную сетку с шагом по первой координате и шагом /г2 по второй на интервалах [0,1\], [0, ¿2]:

причем ш — множество внутренних узлов, а дио — множество граничных узлов. Приближенное численное решение будем обозначать у (ж, ¿).

Так как основным оператором в уравнении (1.13) является оператор Лапласа, приведем его разностную аппроксимацию. Для внутренних узлов сетки имеем

си = {ж = Х2) | х\ = г/11, г = 0,1,..., А^ь М/н = Х2 = 3^2 3 = 0,1,N2, лг2/г2 = /2},

-у(х 1 - hi, х2) + 2у(х) - у(х 1 + /ьь ж2)

-Aj/ = -^-+

(1 19)

-у(з?1, д?2 ~ М + 2у(а?) - y(xi, ж2 + /г2)

hl

Аппроксимация псевдо-параболического уравнения (1.13) по пространству приводит нас к дифференциально-операторному уравнению

= (1.20)

которое дополняется начальным условием

y(0) = uo(x), xecj. (1.21)

Определим равномерную сетку по времени

й)т = шт U {Т} = {tn = пт,п = 0,1,N0, tN0 = Т}

Для приближенного решения задачи (1.20), (1.21) будем использовать двухслойную схему

п+1 _ п

(Е - 7Á)--У- - pA(ayn+1 + (1 - а)уп) =

т (1.22)

= afn+1 + (1 - o)f\

где уп = y(tn), а — вес схемы.

По аналогии со стандартными краевыми задачами для параболических уравнений второго порядка [20], будем рассматривать три случая:

1. а = 0,

2. сг = 0.5,

3. а= 1.

Введем следующие обозначения:

A = -ßA, 7=^, В = Е + 1А,

у°(п) = ауП+1 + (1 _ а)уП}

(рп = afn+l + (1 - a)fn. Тогда рассматриваемая схема с весами примет вид:

71+1 _ П

В--У— + Ауа= срп. (1.23)

т

Исследование устойчивости схемы (1.23) проводится с использованием общей теории A.A. Самарского устойчивости (корректности) операторно-разностных схем [20,28,77]. Например, имеет место следующее утверждение.

Теорема 1. При а >1/2 операторно-разностная схема (1.23) безусловно устойчива в Hab и для разностного решения справедлива послойная оценка

\\уп+Ч2ав<\\Уп\\2ЛВ + 1Уп\\2- (1-24)

Доказательство. Определим

,сг(п)

= ауп+1 + (1 _ а)уп = 1 {уп+1 +уп)+Т(^_ ^

и домножим (1.23) скалярно в Я на Ауа^п\ Это дает

1\ yn+l - уп

^(В(уп+1-уп),А(уп+1 + уп)) +

(1 \ / 7/П+1 — 11П 11П+1 — 11П\

(7--) (ВУ-—-^--Л-—+(Ауа{п\Ау^) = ((рп,Ауа^). Для правой части используем оценку

(<РП,АУ°М) < (Ау^п\Ау^) + \{<рп><Рп)-

Рассмотрим кратко вопросы, связанные со сходимостью схемы. Для этого запишем соответствующую задачу для погрешности

гп{х) = уп{х) -ип(ж), жеш, (1.25)

где ип(х) = и(х, ¿п) — точное решение дифференциальной задачи (1.13) - (1.16). Далее из соответствующей задачи для решения (1.23) получим задачу для погрешности

~п+1 _ уП

В-+ Ага{п) = фп. (1.26)

т

Граничные и начальные условия для погрешности имеют вид:

2п(ж)=0, х£дш, (1.27)

г°(х)=0, хеш. (1.28)

Для погрешности аппроксимации имеем

_п+1 _ п

фп{х) = (рп-В--Ага{п\ хеш. (1.29)

т

Для отдельных слагаемых в нашей модельной задаче получим

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Григорьев, Александр Виссарионович, 2013 год

Литература

1. Абрашин В. Н. Об одном варианте метода переменных направлений решения многомерных задач математической физики. 1 // Дифференциальные уравнения. - 1990. - Т. 26. - С. 314-323.

2. Аверьянов С. Ф. Фильтрация из каналов и ее влияние на режим грунтовых вод // М.: Колос. - 1982. - Т. 237. - С. 1.

3. Ашихмин В. Н. Введение в математическое моделирование / В. Н. Ашихмин, М. Б. Гитман, И. Э. Келлер и др. — Москва : Логос, 2005.

4. Баренблатт Г. И., Желтов Ю. П. Основные уравнения фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // ДАН СССР.— 1960.— Т. 132, № З.-С. 545-548.

5. Баренблатт Г. И., Желтов Ю. П., Кочина И. Н. Об основных представлениях теории фильтрации в трещиноватых породах // Прикл. мат. и мех. — 1960. — Т. 24, № 5.- С. 852-864.

6. Вабищевич П. Н. Численное моделирование. — Москва : Издательство Московского университета, 1993.

7. Вабищевич П. Н. Векторные аддитивные разностные схемы для эволюционных уравнений первого порядка // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1996. — Т. 36(3). — С. 44-51.

8. Вабищевич П. Н. Разностные схемы для решения нестационарных векторных задач // Дифференциальные уравнения. — 2004. — Т. 40, № 7. — С. 936943.

9. Вабищевич П. Н. Вычислительные методы математической физики. Нестационарные задачи. — Москва : Вузовская книга, 2009.

10. Вабищевич П. Н. Регуляризованные аддитивные операторно-разностные схемы // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2010. - Т. 50, № 3. - С. 449-457.

11. Вабищевич П. Н., Самарский А. А. Решение задач динамики несжимаемой жидкости с переменной вязкостью // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2000. - Т. 40, № 12. - С. 1813-1822.

12. Вабищевич П. Н. Григорьев А. В. Схемы расщепления для псевдопараболических уравнений // Дифференциальные уравнения. — 2013.— Т. 49, №7.— С. 837-843.

13. Вабищевич П.Н. Данияров А О. Математическое моделирование промачива-ния зоны аэрации в условиях близкого залегания грунтовых вод // Математическое моделирование. — 1994. — Т. 6, № 11. — С. 11-24.

14. Гавич И. К. Гидрогеодинамика. — М. : Недра, 1988.

15. Гордезиани Д. Г., Меладзе Г. В. О моделировании третьей краевой задачи для многомерных параболических уравнений в произвольной области одномерными уравнениями // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1974. - Т. 14. - С. 246-250.

16. Григорьев А. В. Численное моделирование фильтрации в трещиновато-пористой среде // Математические заметки ЯГУ.— 2013.— Т. 20, выпуск 2.- С. 237-245.

17. Марчук Г. И. Методы расщепления. — Москва : Наука, 1989.

18. Полубаринова-Кочина. Теория движения грунтовых вод. — Москва : Наука, 1977.

19. Самарский А. А. О регуляризации разностных схем // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1967. — Т. 7. — С. 62-93.

20. Самарский А. А. Теория разностных схем. — Москва : Наука, 1989.

21. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Разностные схемы для для неустойчивых задач // Математическое моделирование. — 1990. — Т. 2(11). — С. 89-98.

22. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Устойчивость трехслойных проекционно-разностных схем // Математическое моделирование. — 1996.-Т. 8(9).-С. 74-84.

23. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Разностные методы решения обратных задач математической физики // Фундаментальные основы математического моделирования. — Москва : Наука, 1997. — С. 5-97.

24. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Аддитивные схемы для задач математической физики. — Москва : Наука, 1999.

25. Самарский А. А., Вабищевич П. Н., Матус П. П. Сильная устойчивость дифференциально-операторных и операторно-разностных схем // Докл. АН. - 1997. - Т. 356, № 4. - С. 455^57.

26. Самарский А. А., Вабищевич П. Н., Матус П. П. Устойчивость разностных схем в интегральных по времени нормах // Докл. АН.— 1997.— Т. 354, № 6. - С. 745-747.

27. Самарский А. А., Вабищевич П. Н., Матус П. П. Устойчивость векторных аддитивных схем // ДАН. - 1998. - Т. 361. - С. 746-748.

28. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. — Москва : Наука, 1973.

29. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. — Москва : Физматлит, 2005.

30. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. — Москва : Наука, 1978.

31. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. — Москва : Мир, 1984.

32. Свешников А.Г. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А. Г. Свешников, А. Б. Алыпин, М. О. Корпусов, Ю. Д. Плетнер. — М. : Физматлит, 2007.

33. Соболев С. Л. Об одной новой задаче математической физики // Известия Академии наук СССР. Сер. мат. - 1954. - Т. 18, № 1. - С. 3-50.

34. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. — Новосибирск : Наука, 1967.

35. Ascher U. М. Numerical methods for evolutionary differential equations. — Society for Industrial Mathematics, 2008.

36. Ascher U. M., Ruuth S. J., Wetton В. T. R. Implicit-explicit methods for time-dependent partial differential equations // SIAM Journal on Numerical Analysis. — 1995. — Vol. 32, no. 3. — P. 797-823.

37. Aziz Khalid, Settari Antonin. Petroleum Reservoir Simulation. — Applied Science Publishers, 1979.

38. Barenblatt G. I., Ryzhik V. M., Entov V. M. Theory of fluid flows through natural rocks.— Springer, 1990.

39. Barenblatt G. I., Zheltov I. P., Kochina I. N. Basic concepts in the theory of seepage of homogeneous liquids in fissured rocks [Strata] // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. — 1960. — Vol. 24, no. 5. — P. 1286-1303.

40. Bear J. Dynamics of Fluids in Porous Media. Elsevier, New York. — 1972.

41. Bear J. Dynamics of Fluids in Porous Media. — Dover Publications, 1988.

42. Chen Peter J, Gurtin Morton E. On a theory of heat conduction involving two temperatures // Zeitschrift fiir Angewandte Mathematik und Physik (ZAMP). — 1968. — Vol. 19, no. 4. — P. 614-627.

43. Chen Z., Huan G., Ma Y. Computational methods for multiphase flows in porous media. — Society for Industrial Mathematics, 2006.

44. Cheng A. H.-D. Multilayered aquifer systems: fundamentals and applications. — Marcel Dekker, 2000.

45. Dagan G. Flow and Transport in Porous Formations. — New York : SpringerVerlag, 1989.

46. Douglas Jr. J., Rachford H. H. On the numerical solution of heat conduction problems in two and three space variables // Trans. Amer. Math. Soc.— 1956. — Vol. 82. — P. 421-439.

47. Dym C. L. Principles of mathematical modeling. — Academic Press, 2004.

48. Ewing R.E. Time-stepping Galerkin methods for nonlinear Sobolev partial differential equations // SIAM Journal on Numerical Analysis. — 1978. — P. 11251150.

49. Ewing R. E. Numerical solution of Sobolev partial differential equations // SIAM Journal on Numerical Analysis. — 1975. — P. 345-363.

50. Fanchi J. R. Principles of applied reservoir simulation. — Gulf Professional Publishing, 2006.

51. Gerke H.H. van Genuchten M.Th. A dual-porosity model for simulating the preferential movement of water and solutes in structured porous media. Water Resour. Res. 29 (2), 305-319.— 1993.

52. Gershenfeld N. A. The nature of mathematical modeling. — Cambridge University Press, 1999.

53. Giovangigli V. Multicomponent flow modeling. — Birkhauser, 1999.

54. Golub G. H., Ortega J. M. Scientific computing and differential equations: an introduction to numerical methods. — Academic Press, Inc. Orlando, FL, USA, 1991.

55. Grossmann C., Roos H. G., Stynes M. Numerical treatment of partial differential equations. — Springer Verlag, 2007.

56. Gustafsson B. High order difference methods for time dependent PDE.— Springer Verlag, 2008.

57. Halmos Paul Richard. Finite-dimensional vector spaces. — Springer, 1987.

58. Huyakorn P.S. A three-dimensional finite-element model for simulating water flow in variably saturated porous media / Peter S Huyakorn, Everett P Springer, Varut Guvanasen, Terry D Wadsworth // Water Resources Research. — 1986. — Vol. 22, no. 13.- P. 1790-1808.

59. Jovanovic B. S., Matus P. P. On the strong stability of operator-difference schemes in time-integral norms // Computational Methods in Applied Mathematics. — 2001. — Vol. 1, no. 1. — P. 72-85.

60. Knabner P., Angermann L. Numerical methods for elliptic and parabolic partial differential equations. — Springer Verlag, 2003.

61. LeVeque R. J. Finite difference methods for ordinary and partial differential equations. Steady-state and time-dependent problems. — Society for Industrial Mathematics, 2007.

62. Lisbona F. L., Vabishchevich P. N. Operator-splitting schemes for solving elasticity problems // Computational Methods in Applied Mathematics. — 2001.— Vol. 1, no. 2.-P. 188-198.

63. Marcus M., Watkins W. Partitioned hermitian matrices // Duke Mathematical Journal. — 1971.- Vol. 38, no. 2.- P. 237-249.

64. Mathew T. Domain decomposition methods for the numerical solution of partial

i

differential equations. — Lecture Notes in Computational Science and Engineering 61. Berlin: Springer, xiii, 764 p., 2008.

65. Meyer W. J. Concepts of mathematical modeling. — Dover Publications, Inc., 2004.

66. Modeling flow and transport in a two-dimensional dual-permeability system with spatially variable hydraulic properties / T Vogel, HH Gerke, R Zhang, M Th Van Genuchten // Journal of Hydrology. — 2000,— Vol. 238, no. 1.— P. 78-89.

67. Modeling of unsaturated water flow in double-porosity soils by the ho-mogenization approach / Jolanta Lewandowska, Adam Szymkiewicz, Kaz-imierz Burzyriski, Michel Vauclin // Advances in Water Resources. — 2004. — Vol. 27, no. 3.-P. 283-296.

68. Paniconi Claudio, Putti Mario. A comparison of Picard and Newton iteration in the numerical solution of multidimensional variably saturated flow problems // Water Resources Research. — 1994. — Vol. 30, no. 12. — P. 3357-3374.

69. Peaceman Donald W. Fundamentals of Numerical Reservoir Simulation. Developments in Petroleum Science. — Elsevier Scientific Pub. Co., 1977.

70. Peaceman D. W., Rachford H. H. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations // J. SIAM. — 1955. — Vol. 3. — P. 28-41.

71. Richards Lorenzo Adolph. Capillary conduction of liquids through porous mediums //Physics. — 1931. —Vol. 1, no. 5.-P. 318-333.

72. Ross PJ. Efficient numerical methods for infiltration using Richards' equation // Water Resources Research. — 1990. — Vol. 26, no. 2. — P. 279-290.

73. Ruuth S. J. Implicit-explicit methods for reaction-diffusion problems in pattern formation // Journal of Mathematical Biology.— 1995.— Vol. 34, no. 2.— P. 148-176.

74. Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems. — Society for Industrial Mathematics, 2003.

75. Saleri Fausto, Quarteroni Alfio, Sacco Riccardo. Numerical mathematics.— Springer, 2007.

76. Samarskii Alexander, Vabishchevich Petr. Additive Schemes for Systems of Time-Dependent Equations of Masthematical Physics // Numerical Methods and Applications / Ed. by Ivan Dimov, Ivan Lirkov, Svetozar Margelov, Zahari Zlatev. — Vol. 2542 of Lecture Notes in Computer Science. — Berlin : Springer, 2003, — P. 48-60.

77. Samarskii A. A., Matus P. P., Vabishchevich P. N. Difference schemes with operator factors. — Kluwer Academic Pub, 2002.

78. Samarskii A. A., Vabishchevich P. N. Regularized difference schemes for evolutionary second order equations // Math. Mod. Meth. Appl. Sciences. — 1992. — Vol. 3, —P. 295-315.

79. Samarskii A. A., Vabishchevich P. N. Computational Heat Transfer. — Chichester : Wiley, 1995.

80. Samarskii Aleksandr Andreevich, Vabishchevich Petr Nikolaevich. Numerical methods for solving inverse problems of mathematical physics. — Walter de Gruyter, 2007.

81. Showalter R. E. Partial differential equations of Sobolev-Galpern type // Pacific J. Math. - 1969. - Vol. 31, no. 3. — P. 787-793.

82. Showalter R. E., Ting T. W. Pseudoparabolic partial differential equations // Siam J. Math. Anal. — 1970. —Vol. 1, no. 1. —P. 1-26.

83. Strang G. Introduction to applied mathematics.— Wellesley-Cambridge Press Wellesley, MA, 1986.

84. Szymkiewicz A. Two-scale modeling of unsaturated water flow in a double-porosity medium under axisymmetric conditions / Adam Szymkiewicz, Jolanta Lewandowska, Rafael Angulo-Jaramillo, Joanna Butlanska // Canadian Geotechnical Journal. — 2008. — Vol. 45, no. 2. — P. 238-251.

85. Taylor Donald Wood. Research on consolidation of clays.— Massachusetts Institute of Technology, Department of Civil and Sanitary Engineering, 1942,— Vol. 82.

86. Taylor R., Krishna R. Multicomponent mass transfer.— Wiley-IEEE, 1993.

87. Trangenstein J. A., Bell J. B. Mathematical structure of the black-oil model for petroleum reservoir simulation // SIAM Journal on Applied Mathematics. — 1989. — Vol. 49, no. 3. — P. 749-783.

88. Vabishchevich P. N. Domain decomposition methods with overlapping subdomains for the time-dependent problems of mathematical physics. // Computational Methods in Applied Mathematics. — 2008. — Vol. 8, no. 4. — P. 393-405.

89. Vabishchevich P. N. On a new class of additive (splitting) operator-difference schemes // Mathematics of Computation. — 2011.— no. Article electronically published on June 20. — P. 1-10.

90. Van Dam Jos C, Feddes Reinder A. Numerical simulation of infiltration, evaporation and shallow groundwater levels with the Richards equation // Journal of Hydrology. - 2000. - Vol. 233, no. 1. - P. 72-85.

91. Van Genuchten M. A closed-form equation for predicting the hydraulic conductivity of unsaturated soils. Soil Sci. Soc. Am. J. 44, 892-898,— 1980.

92. Van Genuchten M. Models for simulating salt movement in aggregated field soils. Geoderma 38, 165- 183.— 1986.

93. Van Genuchten M Th. A closed-form equation for predicting the hydraulic conductivity of unsaturated soils // Soil Science Society of America Journal. — 1980. — Vol. 44, no. 5. — P. 892-898.

94. Vazquez Juan Luis. The Porous Medium Equation: Mathematical Theory. Oxford Mathematical Monographs. — Oxford University Press, 2006.