Математическое моделирование задач диффузии-конвекции в прибрежных системах на многопроцессорных системах с распределенной памятью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Атаян Ася Михайловна

• Атаян Ася Михайловна
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Атаян Ася Михайловна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОБЗОР МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ, ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ И КОМПЛЕКСОВ ПРОГРАММ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ГИДРОДИНАМИКИ И ТРАНСПОРТА СУБСТАНЦИЙ В ПРИБРЕЖНЫХ СИСТЕМАХ

1.1 Численные методы решения задач гидродинамики

1.2 Модели турбулентности для задач гидрофизики прибрежных систем

1.3 Схемы расщепления

1.3.1 Схемы расщепления по геометрическим направлениям

1.3.2 Схемы расщепления по физическим процессам

1.4 Обзор методов решения сеточных уравнений диффузии-конвекции и их сравнение

1.5 Многопроцессорные вычислительные системы

1.5.1 Системы с общей памятью

1.5.2 Системы с распределенной памятью

1.6 Обзор комплексов параллельных программ для решения задач гидродинамики

1.7 Постановка научной задачи и частные задачи исследования

Выводы по главе

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ ГИДРОДИНАМИКИ И ТРАНСПОРТА СУБСТАНЦИЙ В ПРИБРЕЖНЫХ СИСТЕМАХ

2.1 Экспедиционные исследования и получение натурных данных

2.2 Фильтрация данных, полученных в ходе натурных экспериментов на основе применения фильтра Калмана

2.3 Пространственно-трехмерная математическая модель гидродинамики для прибрежных систем

2.4 Применение схемы расщепления по физическим процессам. Метод поправки к давлению

2.5 Методы решения сеточных уравнений диффузии-конвекции

2.5.1 Метод решения сеточных уравнений с самосопряженным оператором с предобуславливателем трехдиагонального вида

2.5.2 Вариационная оптимизация итерационных методов

Выводы по главе

ГЛАВА 3. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ ДИФФУЗИИ-КОНВЕКЦИИ ДЛЯ ПРИБРЕЖНЫХ СИСТЕМ

3.1 Неявная двумерно-одномерная схема расщепления

3.2 Явно-неявная схема расщепления

3.3 Линейная комбинация схем «кабаре» и «крест»

3.4 Исследование разностной схемы, построенной на основе линейной комбинации схем «кабаре» и «крест»

3.5 Методы решения сеточных уравнений диффузии-конвекции

3.5.1 Итерационные методы решения для сеточных уравнений диффузии

3.5.2 Усовершенствованный на основе уточненной априорной информации МПТМ для сеточных уравнений диффузии с самосопряженным оператором

3.5.3 Итерационный метод вариационного типа для решения сеточных уравнений конвекции-диффузии с несамосопряженным оператором

3.6 Параллельные алгоритмы и программы решения двумерных задач диффузии-конвекции

3.6.1 Параллельный алгоритм и программа решения двумерных задач диффузии-конвекции

3.6.2 Параллельный алгоритм решения сеточных уравнений диффузии-конвекции методом Зейделя

3.6.3 Параллельный алгоритм решения сеточных уравнений диффузии-конвекции методом Якоби

3.6.4 Декомпозиция расчетной области по одному пространственному направлению

3.6.5 Расчет времени латентности на основе метода наименьших квадратов

3.6.6 Модель параллельных расчетов для двумерных задач на основе явных схем и итерационных методов с предобуславливателем диагонального вида

3.6.7 Модель параллельных расчетов для двумерных задач на основе метода Зейделя

3.6.8 Сравнение параллельных итерационных методов решения двумерных задач конвекции-диффузии

3.7 Гибридные алгоритмы и программы параллельного решения трехмерных задач диффузии-конвекции на основе MPI+OpenMP

3.7.1 Параллельный алгоритм решения трехмерной задачи диффузии-конвекции адаптивным попеременно-треугольным методом

3.7.2 Параллельный алгоритм решения трехмерной задачи диффузии-конвекции на основе двумерно-одномерных схем расщепления

Выводы по главе

ГЛАВА 4. ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ГИДРОФИЗИКИ ПРИБРЕЖНЫХ СИСТЕМ И ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ С НИМ

4.1 Описание программного комплекса «Azov3D»

4.2 Описание логической структуры программного комплекса «Azov3D»

4.3 Результаты численных экспериментов

Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Приложение А. Акт о внедрении результатов диссертационного исследования

Приложение Б. Свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование задач диффузии-конвекции в прибрежных системах на многопроцессорных системах с распределенной памятью»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. В современном обществе стало явным увеличение проблем экологического характера, связанных с сохранением качества водной среды в морских системах. Изменение климата, ущерб, который наносится техногенными катастрофами, утрата биологического разнообразия негативно сказываются на водных системах. В этом случае целесообразно создать и применить комплекс организационных, инженерных и технических решений, в том числе включающий в себя эффективные методы моделирования различных потенциальных и фактических механизмов загрязнения прибрежных систем, которые позволят быстро и эффективно прогнозировать распространение загрязнений и возникновение опасных явлений с использованием связанных высокоточных моделей гидрофизики и гидробиологии. В Краснодарском крае и Ростовской области в период с 2014 по 2023 годы были зафиксированы катастрофические последствия от штормовых нагонов и наводнений. Среди них особенно выделяются значительный подъем уровня воды в Азовском море из-за шторма в 2014 году и штормовой сгон в Азовском море и Таганрогском заливе в 2019 году. Кроме того, реки приносят в прибрежные системы биогенные вещества, которые при превышении предельно допустимых концентраций негативно сказываются на качестве воды. На прибрежных территориях в Ростовской области, Краснодарском крае и в новых присоединенных территориях России проживают миллионы людей, что при придает особую значимость проблеме оперативного прогнозирования опасных и чрезвычайных ситуаций.

Согласно действующим нормативно-правовым актам, утвержденным Правительством Российской Федерации, при возникновении чрезвычайных ситуаций на принятие обоснованных мер выделяется от нескольких часов до нескольких суток. Важно отметить, что такие временные рамки позволяют оперативно реагировать на различные угрозы и минимизировать возможные

последствия. Рассмотрим несколько нормативных документов, регулирующих эту сферу, чтобы лучше понять их значение и применение на практике.:

- Закон «Об окружающей среде» (с изменениями и дополнениями от 10 января 2002 г.), вступивший в силу 1 сентября 2022 года [1];

- Постановление Правительства Российской Федерации «Об утверждении единой государственной системы предупреждения и ликвидации чрезвычайных ситуаций» (с изменениями и дополнениями от 26 января 2017 года) [2].

Российское правительство утвердило план действий по устранению последствий загрязнения окружающей среды, вызванного хозяйственной и прочей деятельностью, связанных с экономической деятельностью. Анализ нормативной базы показывает, что затрачиваемое (компьютерное) время прогнозов опасных и чрезвычайных ситуаций не может превышать немногих часов, в большинстве случаев должно составлять десятки минут.

Для предсказания вышеупомянутых неблагоприятных и опасных явлений, а также для снижения рисков возникновения подобных явлений необходимо иметь математические модели, численные методы и комплексы программ, позволяющие в оперативном режиме проводить прогностические расчеты 3Э гидродинамических и гидрофизических процессов, таких как транспорт взвешенного вещества, донных отложений, загрязнений различной природы.

Для численной реализации математических моделей гидродинамики и гидрофизики прибрежных систем широко используются трёхмерные расчетные сетки, согласованные со сложной геометрией береговой линии. При решении реальных вычислительно-трудоемких задач гидродинамики, гидрофизики мелководных водоемов, которые подобны Азовскому морю, возникает необходимость применения сеток с характерными значениями шагов по горизонтальным направлениям - 100-500 м, а по вертикальному - 0,1-1,0 м. При указанном выше пространственном разрешении сеток количество их ячеек находится в диапазоне от 106 до 108. Такой же порядок имеют сеточные уравнения. На данных сетках необходимо многократно 102 ^ 103 раз (на каждом временном

слое) решать плохо обусловленную систему сеточных уравнений диффузии-конвекции-реакции. Использование обычных компьютеров с одним или несколькими вычислительными ядрами приводит к временным затратам от сотен до многих тысяч минут машинного времени. Компьютерное время расчетов должно составлять не более 1-2 часов при том, что необходимая длительность моделируемых процессов (физическое время) может составлять от нескольких десятков до многих сотен часов. Удовлетворить таким жестким требованиям в условиях оперативного прогноза возможно лишь, используя высокоэффективные параллельные алгоритмы и реализующие их программы для МВС.

Степень разработанности темы исследования. В области математического моделирования с использованием параллельных вычислительных систем, в частности, моделирования гидродинамики морских систем, гидрофизики внесли выдающийся вклад Дымников В.П., Марчук Г.И., Залесный Б.В., Саркисян А.С., Озмидов Р.В. [3-5, 103], Сухинов А.И. и др. [6-11, 104-116].

В фундаментальном исследовании, проведённом Четверушкиным Б.Н. [12], предложен метод для решения задач, связанных с механикой сплошных сред, в частности, уравнений параболического типа. Этот метод основан на добавлении дополнительного члена — второй производной искомых функций по временной переменной, умноженной на небольшой физически обоснованный коэффициент. Такое дополнение позволяет значительно увеличить допустимый шаг времени в явных разностных схемах, что существенно повышает устойчивость численных методов и снижает требования к вычислительным ресурсам. В традиционных явных схемах для параболических уравнений допустимый шаг по времени пропорционален величине порядка О(\\И\\2), где \\И\\ обозначает евклидову норму шагов пространственной сетки, содержащей вторую разностную производную по времени, оценка допустимого временного шага улучшается до величины О(\\И\ \3/2).

Исследователи из Федерального Исследовательского Центра «Институт прикладной математики имени М.В. Келдыша Российской академии наук» внесли значительный вклад в развитие современных алгоритмов для адаптивных сеток и

параллельных вычислений. Особо следует отметить работы Якобовского М.В. [13, 14], посвященные этим направлениям. Тишкин В.Ф. занимается моделированием распространения ударного фронта с использованием разрывного метода Галеркина в задачах газо- и гидродинамики. [15, 117]. Применения сеточно-характеристических методов развиты в работах Белоцерковского О.М., Холодова А.С., Петрова И.Б. [16, 17].

Стоит обратить внимание и на зарубежных исследователей, которые используют методы математического моделирования для решения задач динамики сложных систем, например, Cheriton O.M., Brebbia C.A., Fischer. H.B., Li S., Taylor G.I., Stephens P.A., Odum, H.T., Thomas Jr. H.A., Wang G., и др.

Работа [18] посвящена разработке нового метода моделирования гидродинамики с помощью сглаженных несжимаемых частиц (SPH) и подхода крупномасштабного моделирования (LES) для изучения прибрежной механики изолированных волн. В этом исследовании были численно решены уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости в лагранжевой форме с применением двухшагового дробного метода. В работе [19] разработана численная модель для изучения процесса наката волн на неровных склонных поверхностях.

При моделировании гидрофизических процессов сложно учесть все параметры, влияющие на прогнозирование природных и техногенных рисков. Как правило, эти параметры охватывают пространственную неоднородность водного столба, водные течения, гравитационное осаждение примесей, температуру, соленость, содержание кислорода и другие факторы. Для прибрежных морских систем велика роль турбулентной диффузии, особенно по вертикальной оси, что существенно влияет на структуру течений и определяет процессы массо- и теплопереноса. В исследовании [20] было проведено сравнение нескольких алгоритмов параметризации вертикального перемешивания воды в океане, включая модель Mellor-Yamada 2.5 D (MY), различные версии алгоритмов Generic Length Scale (GLS) и модифицированный алгоритм Mellor-Yamada от Nakanishi-Niino (NN).

В исследованиях, представленных в работах [21-23], рассматриваются методы решения задач гидродинамики через распараллеливание вычислительных процессов.

Несмотря на широкое разнообразие имеющихся работ, построенных моделей и алгоритмов, подавляющее большинство из них не учитывают специфику гидродинамических и гидрофизических процессов, протекающих в прибрежных системах. Большинство моделей не способны обеспечить требуемую оперативность прогнозов этих явлений. Это приводит к значительным трудностям при попытке адекватного предсказания изменений в прибрежных зонах, что особенно критично в условиях изменения климата и увеличения частоты экстремальных погодных событий, наступления природных и техногенных катастроф. Для решения данных задач требуется, в подавляющем большинстве случаев, использовать 3D уравнения Навье-Стокса, содержащие уравнения движения по всем трем координатным направлениям, с учетом нелинейного турбулентного обмена вдоль вертикального направления. Указанные важные особенности данного класса задач не учитываются существующими моделями гидродинамики, которые ориентированы на относительно глубоководные морские и океанические системы с относительно малым влиянием турбулентного обмена по вертикальному направлению и относительно грубым заданием береговой линии. Комплексы программ для моделирования прибрежных систем, которые частично учитывают специфику данного класса задач и имеют параллельную реализацию алгоритмов, не обладают требуемыми характеристиками по точности и времени оперативного прогноза. В результате, несмотря на наличие значительного числа исследований в данной области, научное сообщество сталкивается с серьезными вызовами в области точного и оперативного прогнозирования состояний прибрежных систем. Решение данных противоречий в практике состоит в построении и исследование параллельных вычислительных алгоритмов решения многомерных задач диффузии-конвекции с учетом специфики прибрежных систем для многопроцессорных вычислительных систем, позволяющих сократить время

оперативных прогнозов распространения загрязняющих веществ по сравнению с последовательными аналогами.

Параллельные алгоритмы и программы для численного решения задач диффузии-конвекции составляют вычислительное ядро гидрофизических и гидродинамических задач при их выполнении на многопроцессорных вычислительных системах (МВС). Данная диссертационная работа сосредоточена на использовании МВС с относительно небольшим числом процессоров (до 100 и менее), которые характеризуются низким энергопотреблением и сравнительно невысокой стоимостью по сравнению с массивно-параллельными системами, включающими тысячи процессоров. Такие системы предоставляют возможность эффективного решения сложных задач при ограниченных ресурсах, что делает их привлекательными для широкого круга исследовательских и инженерных приложений. Как показала практика прогнозирования неблагоприятных и опасных явлений в прибрежных системах на последовательных компьютерах традиционной архитектуры, время компьютерного прогноза может составить многие десятки часов, что обесценивает данный прогноз, для реализации которого требуется не более одного-двух часов компьютерного времени. Кроме того, в большинстве случаев объем оперативной памяти последовательных компьютеров оказывается явно недостаточным, и в лучшем случае позволяет работать с сетками, содержащими лишь несколько сотен тысяч ячеек (менее 106 ). В связи со сказанным актуальным является уменьшение времени компьютерного моделирование данного класса задач не менее, чем в 30 раз по сравнению с последовательными компьютерами с одновременным увеличением объема доступной оперативной памяти в сотни раз.

Данные МВС должны обладать характеристиками относительно невысокой стоимости и энергопотребления, что позволит использовать их или их отдельные модули при оперативных прогнозах в региональных структурах, например, МЧС, Министерства природных ресурсов и экологии, областных и краевых администрациях Юга России. Исходя из этого, построение алгоритмов и их

исследование проводились для отдельных блоков МВС на базе ИПМ им. М.В. Келдыша РАН «К-60» и кластера НТУ «Сириус», к которым был предоставлен доступ, в режиме использования их отдельных блоков. Задействованные в процессе исследования блоки (стойки) МВС имеют не более нескольких десятков вычислителей (в случае «Сириус» - 24 вычислителя, в случае «К-60» - 95 вычислителей) и необходимые в связи с обозначенными выше требованиями объемами оперативной памяти.

Цель диссертационной работы - уменьшение компьютерного времени прогноза (расчета) распространения загрязняющих веществ в мелководном водоеме на многопроцессорных вычислительных системах с распределенной памятью.

Объект исследования - математические модели и численные методы решения задач диффузии-конвекции, учитывающие особенности гидрофизических процессов в прибрежных системах, с использованием многопроцессорных вычислительных систем с распределенной памятью.

Предмет исследования - параллельные алгоритмы, численные методы и программы для решения 3D сеточных уравнений диффузии-конвекции на многопроцессорных вычислительных системах с распределенной памятью.

Научная задача исследования - создание эффективных параллельных алгоритмов решения многомерных задач диффузии-конвекции на сетках с числом узлов 106^108, их численная и программная реализация на употребительных вычислительных системах с распределённой памятью с числом вычислителей не более 100, для обеспечения сокращения времени численного прогнозирования задач гидрофизики прибрежных систем.

В данной постановке научная задача формулируется впервые. При этом научная задача и цель исследования соответствует специальности соответствует паспорту научной специальности 1.2.2 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (технические науки) по следующим пунктам паспорта специальности: п. 2 Разработка, обоснование и тестирование

эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий; п. 3. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

Для решения поставленной общей научной задачи была проведена её декомпозиция на ряд следующих частных задач:

1. Выполнить анализ существующих моделей гидродинамики и гидрофизики прибрежных систем, методов их численной реализации, в том числе, на многопроцессорных вычислительных система (МВС).

2. Разработать дискретные модели гидродинамики и транспорта взвешенного вещества, учитывающие физические особенности прибрежных систем и мелководных водоемов на основе схем расщепления как по физическим процессам, так и по пространственным направлениям, позволяющим существенно сократить временные затраты на выполнение арифметических операций и обменов между вычислительными узлами.

3. Разработать и оптимизировать параллельные алгоритмы решения 3D сеточных уравнений диффузии-конвекции с использованием гибридной технологии MPI + OpenMP с применением декомпозиции расчетной области как по двум, так и по одному координатным направлениям, что позволит эффективно использовать возможности многопроцессорных систем с распределенной памятью, в том числе сократить в 10-20 раз число итераций. В частности, внимание будет уделено оптимизации распределения нагрузки между процессорами и потоками, что способствует существенному сокращению времени выполнения расчетов.

4. Разработать параллельные алгоритмы, позволяющие решать сеточные уравнений для задач диффузии-конвекции в прибрежных системах с числом неизвестных 106^108, которые позволят сократить компьютерное время оперативного прогноза более чем в 30 раз.

5. Разработать комплекс программ, базирующийся на эффективных параллельных алгоритмах, позволяющий ускорить расчет гидрофизических

процессов в прибрежных системах и обеспечивающий сокращение компьютерного времени оперативного прогноза на многопроцессорных вычислительных системах (МВС) с распределенной памятью. Интегрировать разработанное программное обеспечение в исследовательско-прогнозный комплекс (ИПК) «Azov3D» для сокращения времени компьютерного расчета в более чем в 30 раз (с 20 часов до 40 и менее минут) по сравнению с текущим временем работы последовательного ИПК «Azov3D».

Методология и методы исследования. Аппроксимация начально-краевых задач гидродинамики осуществляется с помощью метода поправки к давлению, который базируется на схеме расщепления по физическим процессам. Этот метод включает разделение исходной задачи на три подзадачи [24]: первая подзадача заключается в вычислении поля скорости на основе системы уравнений диффузии-конвекции без учета давления; вторая подзадача состоит в расчете поля давления с использованием регуляризатора по Четверушкину Б.Н. [25] в уравнении неразрывности, сводящего уравнение баланса массы к волновому уравнению; третья подзадача заключается в уточнении поля скорости водного потока на основе явной схемы, с учетом давления [26]. Данный метод поправки к давлению обеспечивает консервативность разностной схемы, а введение регуляризатора дает возможность построения эффективных параллельных алгоритмов, базирующихся на явных схемах с нежесткими ограничениями на шаг по времени т = О(\\И\ \3/2).

Описание процесса транспорта ЗВ происходит на основе системы уравнений диффузии-конвекции-реакции. Параметры этой модели идентифицируются по данным гидродинамических измерений, выполненных с помощью современного океанологического оборудования [27].

Для решения задач трехмерной диффузии-конвекции в областях, где один из линейных размеров значительно меньше других двух, что часто встречается в прибрежных системах, применяются методы расщепления задачи на двумерную по горизонтали и одномерную по вертикали [28]. Двумерная задача решается с использованием явной схемы с регуляризацией по методу Четверушкина Б.Н., а

одномерная — на основе неявной схемы. Такой подход позволяет значительно сократить вычислительные ресурсы и время, необходимые для моделирования сложных процессов в прибрежных зонах. Для двумерного случая применяется схема, являющаяся линейной комбинацией разностных схем «кабаре» и «крест» [68], что помогает уменьшить дисперсию разностной схемы. Преимущество данной схемы расщепления заключается в том, что она обладает характеристиками явной схемы: требует меньше вычислительных операций при переходе между временными слоями и минимизирует количество обменов данными в системах с распределенной памятью. Применение схемы позволяет избежать ограничений, которые накладываются на шаг по времени для явных схем. При этом достигается заданная точность при шагах по времени, в 10-30 раз больших, чем у явной схемы. Разработаны параллельные варианты алгоритмов, предназначенные для решения задач переноса ЗВ в прибрежных системах на МВС с использованием гибридной технологии МР1+ОрепМР.

Разработана программа, позволяющая решать сеточные уравнения на основе трёхмерного уравнения давления. При вычислении давления применяется гидростатическое приближение в рамках двумерной задачи. Решение этой задачи требует значительно меньше усилий по сравнению с расчетом давления в трехмерной задаче.

Научная новизна диссертационного исследования.

В области математического моделирования:

1. Для решения пространственно-трехмерных задач гидродинамики и гидрофизики прибрежных систем усовершенствована математическая модель за счет введения регуляризирующей поправки - производной второго порядка по времени относительно функции давления в уравнение неразрывности. Это позволило увеличить допустимый шаг по времени по сравнению с нерегуляризованной явной схемой в 8-10 раз с соответствующим сокращением общего времени решения задачи диффузии-конвекции.

В области численных методов:

2. Построена и исследована дискретная модель для решения задач диффузии-конвекции в трехмерных областях, где число узлов сетки вдоль одного направления значительно меньше числа узлов по оставшимся двум направлениям, например, в прибрежных системах, предлагается использовать схемы расщепления на двумерно-одномерные задачи. Двумерная задача рассчитывалась по явной схеме с регуляризацией по Четверушкину Б.Н., а одномерная на основе неявной схемы. Заданная погрешность достигается при шагах по времени 10-30 раз больших по сравнению с явной схемой. Для используемой явно-неявной разностной схемы проведено исследование ее устойчивости энергетическим методом, что позволяет подобрать оптимальные шаги по времени и пространству. Двумерная задача решена на основе схемы, которая представляет собой линейную комбинации схем «крест» и «кабаре» с оптимальными весовыми коэффициентами 1/3 и 2/3 соответственно. В работе показано, что рассмотренную модификацию схемы «кабаре» целесообразно применять для численного решения задач вычислительной океанологии в диапазоне сеточных чисел Пекле: 2 < Ре < 20.

В области создания комплексов программ:

3. Разработаны параллельные алгоритмы для решения сеточных уравнений диффузии-конвекции, которые возникают при аппроксимации задач гидродинамики и гидрофизики, методами Якоби, Зейделя, минимальных поправок, скорейшего спуска и МПТМ, а также их программная реализация для МВС с распределенной памятью. Гибридная технология распараллеливания МР1+ОрепМР показала преимущества при решении задач диффузии-конвекции в прибрежных системах. Проведено исследование, которое выявило, что в случае несбалансированного по времени обмена данными между вычислительными узлами (при изменении объема данных наблюдается резкий скачок по времени), как у МВС («Сириус»), рекомендуется использовать схему расщепления на явную двумерную и неявную одномерную задачи, а в случае сбалансированного по времени обмена данными между вычислительными узлами («К-60») преимущество у МПТМ, который имеет относительно малое число итераций при больших шагах

по времени по сравнению с методами Якоби, Зейделя, минимальных поправок и скорейшего спуска.

4. Исследована производительность вычислительной системы для решения задач диффузии-конвекции. Получена зависимость времени обменов от объема данных и количества узлов МВС. На основе проведенного анализа установлено, что предложенный вариант МТПМ позволяет решать задачи диффузии-конвекции в прибрежных системах гораздо быстрее (10-12 раз), чем традиционные методы Зейделя и Якоби.

5. На основе построенных и исследованных параллельных вариантов алгоритмов для численных методов решения задач диффузии-конвекции разработана библиотека параллельных программ для решения задач гидрофизики мелководных водоемов, которые подобны Азовскому морю, с включением в состав исследовательского-прогнозного комплекса (ИПК) «Azov3D», что позволило в целом сократить компьютерное время решения задач гидрофизики на МВС с распределенной архитектурой, таких как, «Сириус» и «К-60». Максимальное ускорение, полученное на МВС «Сириус» составило 176 раз, максимальное ускорение полученное на МВС «К-60» составило 38 раз. Сравнение времени выполнения показало, что несмотря на меньшее ускорение МВС «К-60» гораздо производительнее и позволяет осуществлять расчеты быстрее в 1,5-2 раза.

В рамках сформулированной в работе проблемы на защиту выносятся следующие результаты и положения:

1. Построена усовершенствованная модель гидродинамики прибрежных систем, для которой в уравнении неразрывности введена регуляризующая поправка - производная второго порядка по времени относительно функции давления с определенным, исходя из физических соображений множителем, имеющим значение характерного времени распространения возмущения в сеточной ячейке. Это позволило увеличить допустимый шаг по времени для явной схемы, в 8-10 раз с сохранением устойчивости вычислений.

2. Для задач диффузии-конвекции, возникающих при описании гидрофизических процессов в геометрически ассиметричных областях, в которых размер и число узлов по вертикальному направлению существенно меньше (в десятки-сотни раз) размеров и числа узлов области по горизонтальным направлениям предложена схема расщепления пространственно-трехмерной задачи на регуляризованную явную двумерную -неявную одномерную разностные схемы. Регуляризация явной двумерной схемы введением одномерного трехточечного разностного оператора с малым множителем позволило в 10-30 раз увеличить шаг по времени по сравнению с исходной (нерегуляризованной) схемой и существенно уменьшить время численного решения исходной задачи.

3. Исследованы характеристики временных затрат, связанных с передачей данных при использовании многопроцессорных вычислительных систем (МВС) с распределенной памятью - «К-60» и «Сириус», и определены оптимальные объемы передаваемых пакетов (блоков) данных, возникающих при декомпозиции сеточных данных при параллельной реализации методом Якоби (МЯ), методом Зейделя (МЗ), модифицированным попеременно-треугольным методом (МПТМ). При параллельной реализации под управлением технологии MPI предпочтительным является МПТМ, который позволяет в 5 - 15 раз сократить время численного решения сеточного уравнения диффузии-конвекции по сравнению с МЯ и МЗ в зависимости от количества используемых процессоров и числа узлов сетки.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Атаян Ася Михайловна, 2024 год

источников

4 Вещественный тип Компоненты вектора скорости и, V N

Значения

5 Вещественный тип коэффициентов сеточных уравнений на текущем временном слое А, В1, В2, В3, В4 N

Значения

6 Вещественный тип коэффициентов сеточных уравнений на предыдущем временном слое В5, В6, В7, В8, В9 N

7 Вещественный тип Правые части сеточных уравнений Б, Б1, Б2, Б3 N

На рисунке 4.1 представлена схема работы программного комплекса (ПК) Azov3D.

Рисунок 4.1. Структурная схема программного комплекса «Azov3D»

Для решения сеточных уравнений разработана функция SLAY(A,B1,B2,B3,B4,F,C,eps). Возвращаемое значение функции - поле концентрации C загрязняющей субстанции.

Описание функций.

Функция vvоd(u, V, w, р, р1, ти, пи, о, отах, h, s) предназначена для инициализации начальных данных. Она считывает данные из файлов и заполняет массивы: u,v,w,p,о,h. Внутри этой функции также задается поле s в соответствии с условием: если узел j, к) является расчетным, то s принимает значение 1, в противном случае - 0.

Поле o_max рассчитывается согласно следующему алгоритму (рисунок 4.2).

Рисунок 4.2. Схема работы функции vvod для формирования начальных данных

Функция firstfuncNеw(u,v,w,mu,nu,о,s) выполняет следующие задачи: рассчитывает компоненты вектора скорости на промежуточном временном слое;

вычисляет коэффициенты сеточных уравнений (А, В1, В2, В3, В4, В5, В6); определяет коэффициенты сеточных уравнений на промежуточном слое (Anew, B5_new, B6_new); формирует правые части сеточных уравнений (F1, F2, F3). Все массивы, используемые в функции, имеют вещественный тип данных и размерность N (см. таблицы 4.2, 4.3).

Алгоритм работы функции firstfuncNew:

1. Инициализация. Инициализируются необходимые массивы и переменные для хранения данных и промежуточных результатов.

2. Построение сеточных уравнений. Запускаются тройные циклы по индексам i, j, к в диапазоне от 1 до Nx - 1, Ny - 1 и Nz - 1 соответственно для обхода всех узлов в трехмерной сетке. Для каждого узла выполняются следующие шаги:

2.1 Определение центрального узла. Вычисляется номер центрального узла согласно формуле m0 ^ k + j • Nz + i • NzNy.

2.2. Определение соседних узлов. Вычисляются номера элементов в окрестности центрального узла: m1, m2, m3, m4, m5, m6, m24, m26, m46, m246:

m ^ m0+NzNy , m2 ^ m0 - NzNy , m3 ^ m0 + Nz ,

m ^ m - Nz, m ^ m0 +1, m6 ^ m0 -1, m24 ^ m0 - NZN - Nz,

m26 ^ m0 - NzNy - 1 m46 ^ m0 - Nz - 1 m246 ^ m0 - NzNy - 1

2.3. Вычисление коэффициентов без учета веса схемы. Рассчитываются коэффициенты B B1[m0], B2[mo], B3[m0], B4[mo], B5[mo], B6[mo] для узлов в окрестности центрального узла.

2.4. Коррекция коэффициентов с учетом веса схемы. Обновляются коэффициенты B5_new[m0], B6_new[m0] с учетом веса схемы.

2.5. Расчет коэффициента для центрального узла: Вычисляется коэффициент A[m0] для текущего временного слоя и A_new[m0], а также коэффициент на предыдущем временном слое B7[m0].

2.6. Расчет правых частей сеточных уравнений.

2.7. Вычисление ветрового и тангенциального напряжения на дне. Если 45 > вычисляются ветровые напряжения. Если д5 < д6, вычисляются тангенциальные напряжения на дне водоема.

2.8. Обработка не расчётных узлов. Для узлов, которые не подлежат расчету, коэффициенты и правые части устанавливаются в соответствии с формулами:

В1 = В2 = В3 = В4 = В5 = В6 ^ 0,

т0 т0 т0 т0 т0 т0 '

А ^ 1, F1 ^ м , ^ 2 ^ V , ^ 3 ^ ^ .

т0 ' т0 т0 ' т0 т0 ' т0 т0

3. Завершение циклов. Циклы по г,] и к завершаются.

Функция 8есоЫ/шо2^и,у^,р,р1,ро,роН,о,8) выполняет следующие задачи: производит расчет начального приближения для поля давления; вычисляет коэффициенты сеточных уравнений (А, В1, В2, В3, В4), формирует правую часть сеточных уравнений Все входные массивы имеют вещественный тип данных и размерность N2d (см. таблицы 4.2 и 4.3).

Алгоритм работы функции sеcоndfunc2d:

1. Инициализация. Производится начальная установка значений переменных и массивов, которые будут использоваться в дальнейших расчетах.

2. Установка начальных условий. Определяются начальные условия и распределения параметров, необходимых для работы алгоритма.

3. Построение сеточных уравнений. Итерации проводятся по трем индексам: г, ], к в диапазоне от 1 до Nx - 1, N - 1 и N2 - 1 соответственно. Для каждой тройки индексов (г,], к) выполняются следующие шаги:

3.1 Присвоение значений по формулам: для каждой тройки (г, ], к) вычисляется значение по формуле т0 ^ к + 7 • N + * ■ NN , а для каждой пары (г, ])

- по формуле т ^ 7 + * • N ;

3.2 Определение узлов в окрестности центрального узла. Вычисляются индексы элементов, находящихся вокруг центрального узла т1, т2, т3, т4, т5, т6 т26, т46 т246 в соответствии с формулами, записанными выше.

3.3 Вычисление коэффициентов. Определяются коэффициенты для сеточных уравнений вокруг центра шаблона B1[m], B2[m], B3[m], B4[m] и в самом центре шаблона A[m].

3.4 Расчёт правой части уравнений. Выполняется вычисление правой части сеточных уравнений.

3.5 Если q5 > q6, происходит учёт явлений сгонки и испарения.

3.6 Если s > 1, устанавливается условие свободного выхода.

4. Решение системы уравнений. Система сеточных уравнений решается с помощью метода SLAY2d, использующего матрицы А, B1, B2, B3, B4 и вектор F. Параметры решателя — p1,eps.

Функция secondfuncNew(u,v,w,p,p1,po,poh,o,s) выполняет следующие задачи: вычисляет начальное приближение для поля давления; определяет коэффициенты сеточных уравнений (А, В1, В2, В3, В4, В5, В6); формирует правые части сеточных уравнений (F). Все массивы имеют вещественный тип данных и размерность N (см. таблицы 4.2, 4.3). Алгоритм работы функции secondfuncNew описан в пункте 3.7.1.

В функции для решения СЛАУ методом скорейшего спуска с предобуславливателем трехдиагонального вида sweepss(A,B1,B2,B3,B4,F,p1,eps) формируются: одномерный вещественный массив для вектора поправки wr[N]; одномерный вещественный массив для вектора невязки r[N]. Вызов данной функции происходит в процессе выполнения функции secondfuncNew.

Алгоритм работы функции sweepss(A,B1,B2,B3,B4,F,p1,eps):

1. Инициализация. Производится начальная установка значений переменных и массивов, которые будут использоваться в дальнейших расчетах.

2. Установка начальных условий. Определяются начальные условия и распределения параметров, необходимых для работы алгоритма.

3. Первичная установка значений. В цикле по индексу г ( = 1 , N) устанавливается значение г = <— 0 .

4. Основной итерационный процесс:

4.1 Вычисление векторов невязки и приближения:

В тройном цикле по индексам г, у и к (где каждый индекс пробегает значения от 1 до Nx - 1, N - 1 и N2 - 1 соответственно) происходит:

- вычисление номера центрального узла т0 ^ к + у • N + * ■ NN ;

- если значение элемента матрицы А положительно, определяются номера

соседних узлов.

- расчет вектора невязки г[т0];

- расчет вектора приближения wr[mo];

4.2 Расчет итерационного параметра. Аналогично предыдущему шагу, в тройном цикле \, у, к (где каждый индекс пробегает значения от 1 до Nx - 1, N - 1 и N2 - 1 соответственно) выполняется расчет итерационного параметра т методом скорейшего спуска.

4.3 Обновление решения. В цикле по индексу г (1 = 0, N )происходит

обновление значения и ^ и +т • wr ..

т0 т0 т0

5. Критерий завершения. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока максимальная поправка не станет меньше заданной погрешности, что служит сигналом к завершению алгоритма.

В функции thirdfunc(u,v,w,р,ро,о,s), задачей которой является определение компонент вектора скорости течения воды на основе давления, компоненты и, V, w вычисляются по определенному алгоритму:

1. Инициализация трехмерных циклов по индексам г, у и к, где каждый индекс пробегает значения от 1 до Nx - 1, N - 1 и N2 - 1 соответственно. Эти индексные переменные используются для перебора элементов в трехмерной сетке.

2. Для каждой тройки индексов г, у, к вычисляется уникальный одномерный индекс элемента в массиве. Это делается с использованием формулы, которая

преобразует трехмерные координаты в одномерный индекс, обеспечивая корректное расположение элементов в памяти: т0 ^ к + 7 • N + * ■ NN

3. Определяются индексы соседних элементов (т1, т2, т3, т4, т5, тб, т24, т24, т2б, т4б, т24б), расположенных вокруг текущего элемента (г, ], к). Это необходимо для дальнейших расчётов, связанных с узлом в центре рассматриваемого шаблона.

4. Если текущий узел (г, ], к) является расчётным узлом (соответствует заданным условиям), производится корректировка компонент вектора скорости на основе данных о соседних узлах и других параметров модели.

5. Завершение циклов по \, ] и к. После завершения всех циклов следует этап подготовки данных к выводу.

6. Вызов функции vivod(u,v,w,p,o), которая отвечает за вывод рассчитанных полей компонентов вектора скорости водного потока и давления. Функция обеспечивает представление результатов в удобной для анализа форме.

Это описание подробно иллюстрирует логику работы алгоритма и структуру его основных компонентов, что должно улучшить его понимание и удовлетворить требования вашего преподавателя.

4.3 Результаты численных экспериментов

На базе суперкомпьютера «К-60», установленного в ИПМ им. М.В. Келдыша РАН (рисунок 4.3), было разработано программное обеспечение на языке С++, которое позволяет численно моделировать гидрофизические и гидродинамические процессы мелководных водоемов при воздействии природных и техногенных факторов (рисунок 4.4). Область моделирования полностью соответствует реальным размерам Азовского моря, длина которого составляет 355 км, а ширина — 233 км, с горизонтальным шагом сетки в 500 м. Временной интервал

моделирования выбран равным 30 суткам, при этом направление ветра задано как западное.

Для формирования трехмерной расчетной сетки использовались спутниковые снимки, привязанные к GPS-координатам, а также доступные данные о глубинах Азовского моря. На основе этих данных была проведена операция восстановления донной поверхности в плоскости xOy, что позволило точно соотнести узлы расчетной сетки с GPS-координатами и глубинами водоема. Таким образом, созданная модель обеспечивает высокую точность и реалистичность расчетов, что позволяет эффективно анализировать различные сценарии развития событий в Азовском море.

r„ Azov3D - К-60 - WinSCP

Local Mark Files Commands Tabs Options Remote Help

! G5 !_2 Synchronize 9 ¿7 [H = ^ # Queue - Transfer Settings Default K-60X K New Tab -

ve-ra- Aj-e-m- ^ a aQ|aRndni«|^

" IE " Download " X eZ ßl Properties - New E

E:\.-\azov3d\HOBan nanica\ /home/atayan/Azov3D/

Щ a.txt

¿f AZOV3D,cpp

ilu-txt Щ v.txt II w.txt

Azov3D,exe.1 ¡backup] 0 a.txt

4^AZOV3D.cpp F^l Azov3D.exe В setka500.txt Щ setka1000.txt iu.txt 0 v.txt J w.txt

Size Changed 30.04.2024 30.04,2024 29,04,2024 24 114 KB 01.05.2024 67 KB 30.04.2024 93 KB 30.04,2024 2 555 KB 07.0S.2011 643 KB 10.0S.2011 23 751 KB 01.05.2024 23 751 KB 01.05.2024 23 751 KB 01.05,2024

Rights

21:06:12 21:06:12 23:16:58 11:14:33 21:04:37 21:05:59 14:59:22 22:39:20 11:14:32 11:14:33 11:14:33

Owner atayan atayan atayan atayan atayan atayan atayan atayan atayan atayan atayan

Рисунок 4.3. Файлы ИПК «Azov3D», расположенные на «К-60»

[atayan@k60 ~]$ cd Azov3D

[atayan@k60 Azov3D]$ mpicxx AZOV3D.cpp -o Azov3D.exe [atayan@k60 Azov3D]$ mpirun -np 1 Azov3D.exe Trying köOadm 192.168.202.3 Count of cpu is 2408

Task "Azov3D.exe.1" queued successfully [atayan@k60 Azov3D]$ I

Рисунок 4.4. Компиляция и запуск ИПК на «К-60» на одном вычислителе

Для моделирования были установлены начальные условия, основанные на данных о водном балансе Азовского моря. В расчетах использовались сведения о различных источниках воды и их интенсивности. Например, устья Свиное, Кривое и Богдан обеспечивают приток в размере +82 м3/с. Значительный вклад в водный баланс вносит озеро Сиваш, которое отводит -115 м3/с. Река Кубань добавляет к

водному потоку +928 м3/с, а такие источники, как Песчаное и Мериновое, соответственно, увеличивают объем воды на +199 м3/с и +105 м3/с. Истоки Кутерьма и Мокрая Кутерьма также играют важную роль, принося +424 м3/с и +185 м3/с соответственно. Приток от Мертвого Донца и Средней Кутерьмы составляет в сумме +390 м3/с. Важно отметить значительное влияние Черного моря, которое отводит -1587 м3/с. Кроме того, был учтен фактор испарения, который уменьшает объем воды на -606 м3/с. Эти данные позволили создать более точную модель водного баланса Азовского моря.

Модернизация модели была осуществлена с использованием результатов натурных экспериментов, описанных во второй главе. Эти эксперименты проводились в акватории Азовского моря на научно-исследовательском судне «Денеб», принадлежащем Южному научному центру РАН. В ходе исследований применялся акустический доплеровский измеритель течений (ADCP) WHS600 Sentinel. Исследования были выполнены на разных уровнях вдоль вертикального направления. После этого данные натурных экспериментов подвергались фильтрации с использованием специально разработанного программного модуля, основанного на двухэтапном алгоритме Калмана [27]. Это было сделано с целью исключить излишние шумы в данных, полученных с зонда, что позволило значительно улучшить надежность полученных результатов.

С помощью численного моделирования были вычислены проекции векторов скоростей водного потока на координатные оси x, y и z для каждой точки расчетной сетки, а также значения уровня воды. На рисунке 4.5 показано поле проекций векторов скоростей водной среды на плоскость xOy, а также графическое представление функции (рисунок 4.6), иллюстрирующей изменение возвышения уровня воды в Азовском море в различные моменты времени: 6, 12 и 24 часа. Значения возвышения уровня отражены цветовой палитрой и позволяют выполнить имитацию сгонно-нагонных явлений. В качестве исходного приближения были использованы данные расчета течений в Азовском море при отсутствии ветра. Для создания численной модели нагонных явлений были

установлены такие параметры: увеличение скорости ветра от 0 до 17 м/с, направление на юго-восток и временной интервал в 5 часов. При выполнении расчетов использовались две трехмерные сетки с различными шагами по горизонтальным направлениям. Шаги для первой сетки составили 1000 м и 1000 м, для второй 500 м и 500 м соответственно. Шаг в вертикальном направлении одинаков для обеих сеток и составил 0,1 м.

В)

Рисунок 4.5. Поле вектора скорости движения водной среды через 6 (а), 12 (б) и 24 (в) часов после появления западного ветра интенсивностью 5 м/с

б)

Рисунок 4.6. Функция возвышения уровня через 6 (а), 12 (б) и 24 (в) часов после появления западного ветра интенсивностью 5 м/с

По осям ОХ и ОУ указаны номера узлов вычислительной сетки в соответствующих пространственных координатах. Скорости течения воды отображены с помощью цветовой шкалы. В мелководных зонах преобладает направление движения водных потоков в соответствии с направлением ветра. В глубоководных зонах наоборот, из-за разности уровней воды между различными слоями, направление потока воды противоположно направлению ветра.

Интегральная характеристика и = ийг использовалась при изучении полей

течений в Азовском море. На рисунках 4.5, 4.6 заметен возникновения вихревых структур в восточной части Азовского моря. Для проверки достоверности результатов моделирования проведено сравнение с данными, полученными в ходе натурных исследований, которые проводились в районе порта г. Таганрог в период затоплений прибережных районов Азовского моря из-за штормового нагона. Результаты этого сравнения приведены в таблице 4.1.

Таблица 4.4 - Скорость и направление ветра, а также высота воды в районе порта г. Таганрог во время штормового подъема 24 сентября 2014 года.

Момент времени 00:00 24.09 04:00 24.09 08:00 24.09 12:00 24.09 16:00 24.09 20:00 24.09 24:00 24.09

Направление Ю-В Ю-В Ю Ю-Ю-З Ю-Ю-З З Ю-З

Скорость, м/с 17 18 27 33 37 33 28

Уровень воды, см 12 24 66 160 380 420 390

Уровень воды, см (расчет) 10 12 42 148 376 448 385

Результаты расчетов, полученные с использованием первой сетки, очень точно повторяют результаты, полученные с использованием второй, более подробной сетки, и имеют отличие не более, чем на 5%. Однако стоит отметить уменьшение относительного отклонения расчетных и наблюдаемых значений функции возвышения уровня с 17% до 2%. Максимальное значение абсолютного отклонения было зафиксировано в момент времени, равный 20 часам, и составило 28 см. В течение 8 часов наблюдалось запаздывание графика расчетных значений на величину, не превышающую 0,5 часа. Далее график расчетных значений опережал график наблюдаемых значений на величину около 0,25 часа.

Выводы по главе 4

Разработанные в данном исследовании алгоритмы, численные методы и программный комплекс, реализующий их, обладают значительной практической значимостью. Они позволяют проверять гипотезы о ключевых механизмах распределения загрязняющих веществ, включая нефтепродукты, в акватории мелководных систем. Параллельные аналоги алгоритмов для решения задач транспорта загрязняющих веществ уменьшают время расчетов в десятки раз, что является необходимым условием для построения оперативных прогнозов в условиях чрезвычайной ситуации.

Параллельные алгоритмы для решения задач гидрофизики мелководных водоемов существенно уменьшают время вычислений, ускоряя процесс в десятки раз в зависимости от используемой сетки и специфики задачи, по сравнению с последовательными алгоритмами, основанными на методах вариационного типа. В ходе данного исследования была создана библиотека прикладных программ, предназначенная для решения крупных систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при дискретизации прикладных задач, с применением различных итерационных методов. Программный комплекс «Azov3D» включает в себя набор программ для многопроцессорных вычислительных систем с распределенной памятью, что позволило сократить время прогностических расчетов в задачах гидрофизики прибрежных систем более чем в 30 раз (с 20 часов до 40 минут и менее) по сравнению с использованием последовательных алгоритмов и программ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате выполнения диссертационного исследования получены следующие научные результаты.

1. Построена усовершенствованная модель гидродинамики прибрежных систем, для которой в уравнении неразрывности введена регуляризующая поправка - производная второго порядка по времени относительно функции давления с определенным, исходя из физических соображений множителем, имеющим значение характерного времени распространения возмущения в сеточной ячейке. Это позволило увеличить допустимый шаг по времени для явной схемы, в 8-10 раз с сохранением устойчивости вычислений.

2. Для задач диффузии-конвекции, возникающих при описании гидрофизических процессов в геометрически ассиметричных областях, в которых размер и число узлов по вертикальному направлению существенно меньше (в десятки-сотни раз) размеров и числа узлов области по горизонтальным направлениям предложена схема расщепления пространственно-трехмерной задачи на регуляризованную явную двумерную -неявную одномерную разностные схемы. Регуляризация явной двумерной схемы введением одномерного трехточечного разностного оператора с малым множителем позволило в 10-30 раз увеличить шаг по времени по сравнению с исходной (нерегуляризованной) схемой и существенно уменьшить время численного решения исходной задачи.

3. Исследованы характеристики временных затрат, связанных с передачей данных при использовании многопроцессорных вычислительных систем (МВС) с распределенной памятью - «К-60» и «Сириус», и определены оптимальные объемы передаваемых пакетов (блоков) данных, возникающих при декомпозиции сеточных данных при параллельной реализации методом Якоби (МЯ), методом Зейделя (МЗ), модифицированным попеременно-треугольным методом (МПТМ). При параллельной реализации под управлением MPI предпочтительным является

МПТМ, который позволяет в 5—15 раз сократить время численного решения сеточного уравнения диффузии-конвекции по сравнению с МЯ и МЗ в зависимости от количества используемых процессоров и числа узлов сетки.

4. Для гибридной технологии распараллеливания на основе MPI+OpenMP разработаны параллельные алгоритмы и программы численного решения сеточных уравнений конвекции-диффузии в задачах гидрофизики прибрежных систем методами: Зейделя, минимальных поправок и скорейшего спуска, а также МПТМ вариационного типа, которые показали в среднем ускорение в 1,5-2 раза по сравнению с использованием технологии MPI. Проведенное исследование показало, что для МВС «Сириус» меньшие временные затраты у алгоритма, использующего схему расщепления трехмерной задачи на цепочку «явная двумерная - неявная одномерная разностная схема», а для МВС «К-60» преимущество имеют неявные схемы расщепления при численной реализации параллельным алгоритмом МПТМ вариационного типа. Максимальное ускорение, полученное на МВС «Сириус» составило 176 раз, максимальное ускорение полученное на МВС «К-60» составило 38 раз. Сравнение времени выполнения показало, что несмотря на меньшее ускорение МВС «К-60» гораздо производительнее и позволяет осуществлять расчеты быстрее в 1,5-2 раза.

5. На основе построенных и исследованных параллельных численных алгоритмов решения задач диффузии-конвекции разработан набор программ для многопроцессорных систем с распределенной памятью, включенный в состав исследовательско-прогнозного комплекса программ «Azov3D», использование которого позволило в более чем 30 раз (с 20 часов до 40 и менее минут) сократить по сравнению с применением последовательных алгоритмов и программ компьютерное время прогностических расчетов в задачах гидрофизики прибрежных систем.

ЛИТЕРАТУРА

1. Федеральный закон от 10.01.2002 N 7-ФЗ (ред. от 25.12.2023) «Об охране окружающей среды».

2. Постановление Правительства РФ от 30.12.2003 N 794 (ред. от 17.01.2024) «О единой государственной системе предупреждения и ликвидации чрезвычайных ситуаций».

3. Марчук Г.И. Математические модели в геофизической гидродинамике и численные методы их реализации / Г.И. Марчук, В.П. Дымников, В.Б. Залесный. -Л.: Гидрометеоиздат, 1987. - 296 с.

4. Марчук Г.И. Математическое моделирование циркуляции океана / Г.И. Марчук, А.С. Саркисян. - М. : Наука, 1988. - 202 с.

5. Озмидов Р.В. О расчете горизонтальной турбулентности диффузии пятен примеси в море / Р.В. Озмидов // Докл. АН СССР. - 1958. - Т. 120, № 4. - С. 761763

6. Сухинов А.И. Решение задачи переноса веществ при больших числах Пекле / А.И. Сухинов, Ю.В. Белова, А.Е. Чистяков // Вычислительные методы и программирование. - 2017. - Т. 18, № 4. - С. 371-380. - Режим доступа: https://doi.org/10.26089/NumMet.v18r431.

7. Сухинов А.И. О разностных схемах кабаре и крест / А.И. Сухинов, А.Е. Чистяков, Е.А. Проценко // Вычислительные методы и программирование. -2019. - Т. 20, № 2. - С. 170-181. - Режим доступа: https://doi.org/10.26089/NumMet.v20r216.

8. Сухинов А.И. Разностная схема для решения задач гидродинамики при больших сеточных числах Пекле / А.И. Сухинов, А.Е. Чистяков, Е.А. Проценко // Компьютерные исследования и моделирование. - 2019. - Т. 11, № 5. - С. 833-848. - Режим доступа: https://doi.org/10.20537/2076-7633-2019-11-5-833-848.

9. Сухинов А.И. Метод учета заполненности ячеек для решения задач гидродинамики со сложной геометрией расчетной области / А.И. Сухинов, А.Е. Чистяков, Е.А. Проценко В.В. Сидорякина, С.В. Проценко // Математическое моделирование. - 2019. - № 38(8). - С. 79-100.

10. Сухинов А.И. Метод учета заполненности ячеек для решения задач гидродинамики со сложной геометрией расчетной области / А.И. Сухинов, А.Е. Чистяков, Е.А. Проценко В.В. Сидорякина, С.В. Проценко // Математическое моделирование. - 2019. - Т. 31. - № 8. - С. 79-100.

11. Сухинов А.И. Расчет коэффициента вертикального турбулентного обмена для моделей мелководных водоемов / А.И. Сухинов // Математическое моделирование и информационные технологии. Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). Новочеркасск: ред. журн. Изв. вузов. Электромеханика, 2007. - С.72-76.

12. Четверушкин Б.Н. Кинетические модели для решения задач механики сплошной среды на суперкомпьютерах / Б.Н. Четверушкин // Математическое моделирование. - 2015. - Т. 27, № 5. - С. 65-69. - Режим доступа: https://doi.org/10.1134/S2070048215060034.

13. Якобовский М.В. Алгоритм гарантированной генерации тетраэдральной сетки проекционным методом / М.В. Якобовский, С.К. Григорьев // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. - 2018. - № 109. - 18 с. - Режим доступа: https://doi.org/10.20948/prepr-2018-109.

14. Четверушкин Б.Н. Вычислительные алгоритмы и архитектура систем высокой производительности / Б.Н. Четверушкин, М.В. Якобовский // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. - 2018. - № 109. - 52 с. - Режим доступа: https://doi.org/10.20948/prepr-2018-52.

15. Брагин М.Д. Энтропийно устойчивый разрывный метод Галеркина для двумерных уравнений Эйлера / М.Д. Брагин, Ю.А. Криксин, В.Ф. Тишкин // Математическое моделирование. - 2021. - Т. 33, № 2. - С. 125-140. - Режим доступа: https://doi.org/10.20948/mm-2021-02-09.

16. Магомедов К.М. О построении разностных схем для уравнений гиперболического типа на основе характеристических соотношений / К.М. Магомедов, А.С. Холодов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1969. - Т. 9, № 2. - С. 373-386. - Режим доступа: https://doi.org/10.1016/0041-5553(69)90099-8.

17. Голубев В.И. Компактные сеточно-характеристические схемы повышенного порядка точности для трёхмерного линейного уравнения переноса / В.И. Голубев, И.Б. Петров, Н.И. Хохлов // Математическое моделирование. - 2016.

- Т. 28, № 2. - С. 123-132 - Режим доступа: https://doi.org/10.1134/S2070048216050082.

18. Songdong Shao E. Lo. Simulation of near-shore solitary wave mechanics by an incompressible SPH method / E. Lo. Songdong Shao // Applied Ocean Research. - 2002.

- Vol. 24, № 5. - P. 275-286. - Access mode: https://doi.org/10.1016/S0141-1187(03)00002-6.

19. Hejazi K. Numerical modeling of breaking solitary wave run up in surf zone using incompressible smoothed particle hydrodinamics (isph) / K. Hejazi, A. Ghavami, A. Aslani // Proceedings of the Coastal Engineering Conference. - 2017. - Vol. 35. - 11 p. - Access mode: https://doi.org/10.9753/icce.v35.waves.31.

20. Robertson R. An evaluation of the performance of vertical mixing parameterizations for tidal mixing in the Regional Ocean Modeling System (ROMS) / R. Robertson, C. Dong // Geoscience Letters. - 2019. - Vol. 6, № 1. - 18 p. - Access mode: https://doi.org/10.1186/s40562-019-0146-y.

21. Воеводин В.В. Параллельные вычисления / В.В. Воеводин, Вл.В. Воеводин. - СПб : БХВ-Петербург, 2002. - 608 с. - ISBN 5-94157-160-7.

22. Гергель В.П. Высокопроизводительные вычисления для многопроцессорных многоядерных систем / В.П. Гергель. - М.: Издательство Московского университета, 2010. - 544 с. - ISBN 978-5-211-05937-5.

23. OpenArray v1.0: a simple operator library for the decoupling of ocean modeling and parallel computing / H. Xiaomeng, X. Huang, D. Wang [et al] //

Geoscientific Model Development. - 2019. - Vol. 12, № 11. - P. 4729-4749. - Access mode: https: //doi.org/10.5194/gmd-12-4729-2019.

24. Sukhinov A.I. Processing of Field Measurement Data from Expedition Research for Mathematical Modeling of Hydrodynamic Processes in the Sea of Azov / A.I. Sukhinov, A.M. Atayan, Y.V. Belova, V.N. Litvinov, A.V. Nikitina, A.E. Chistyakov // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. - 2022. - Vol. 63. -pp. 1166-1179. ISSN: 0021-8944.

25. Четверушкин Б.Н. Пределы детализации и формулировка моделей уравнения сплошных сред / Б.Н. Четверушкин // Математическое моделирование. - 2012. - Т. 24. № 11. - С. 33. - Режим доступа: https://doi.org/10.1134/S2070048213030034.

26. Регуляризованная разностная схема для решения задач гидродинамики / А.И. Сухинов, А.Е. Чистяков, И.Ю. Кузнецова, А.М. Атаян// Математическое моделирование. - 2022. - Т. 34, № 2. - С. 85-100. - Режим доступа: https://doi.org/10.20948/mm-2022-02-07.

27. Обработка данных натурных измерений экспедиционных исследований для математического моделирования гидродинамических процессов Азовского моря / А.И. Сухинов, А.М. Атаян, Ю.В. Белова [и др.] // Вычислительная механика сплошных сред. - 2020. - Т. 13, № 2. - С. 161-174. - Режим доступа: https://doi.org/10.7242/1999-6691/2020.13.2.13.

28. Сухинов А.И. Суперкомпьютерное моделирование гидробиологических процессов прибрежных систем / А.И. Сухинов, А.В. Никитина, А.М. Атаян А.М [и др.] // Математическое моделирование. - 2022. - Т. 34, № 1. - С. 81-103. - Режим доступа: https: //doi. org/10.20948/mm-2022-01-06.

29. Харлоу Ф.Х. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики / Ф.Х. Харлоу // Вычислительные методы в гидродинамике. - М.: Мир, 1967. - 460 с.

30. Белоцерковский О.М. Метод расщепления в применении к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости / О.М. Белоцерковский,

В.А. Гущин, В.В. Щенников // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1975. - Т. 15, № 1. - С. 197-207. - Режим доступа: https://doi.org/10.1016/0041-5553(75)90146-9.

31. Белоцерковский О.М. Метод расщепления для исследования течений стратифицированной жидкости со свободной поверхностью / О.М. Белоцерковский, В.А. Гущин, В.Н. Коньшин // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1987. - Т. 27, № 4. - С. 594-609. - Режим доступа: https://doi.org/10.1016/0041-5553(87)90175-3.

32. Численное моделирование взаимодействия и эволюции разрывов в канале на основе компактной формы квазигазодинамических уравнений / Б.Н. Четверушкин, И.А. Знаменская, А.Е. Луцкий, Я.В. Ханхасаева // Математическое моделирование. - 2020. - Т. 32, № 4. - С. 44-58. - Режим доступа: https://doi.org/10.20948/mm-2020-05-03.

33. Четверушкин Б.Н. Моделирование тепловых потоков при обтекании баллистической модели на основе гиперболической квазигазодинамической системы / Б.Н. Четверушкин, В.Е. Борисов, А.А. Давыдов [и др.] // Математическое моделирование. - 2021. - Т. 33, № 2. - С. 41-54. - Режим доступа: https://doi.org/ 10.20948/mm-2021 -02-03.

34. Монин А.С. Гидродинамическая неустойчивость / А.С. Монин // Успехи физических наук. - 1986. - Т. 150, № 1. - С. 61-105. - Режим доступа: https://doi.org/10.3367/UFNr.0150.198609b.0061.

35. Арнольд В.И. Об условиях нелинейной устойчивости плоских стационарных криволинейных течений идеальной жидкости / В.И. Арнольд // Доклады Академии наук СССР. - 1965. - Т. 162, № 5. - С. 975-978.

36. Монин А. С. Океанские вихри / А.С. Монин, Г.М. Жихарев // Успехи физических наук. - 1990. - Т. 160, № 5. - С. 1-47. - Режим доступа: https://doi.org/10.3367/UFNr.0160.199005a.0001.

37. Белоцерковский О.М. Прямое численное моделирование свободной развитой турбулентности / О.М. Белоцерковский // Журнал вычислительной

математики и математической физики. -1985. - Т. 25, № 12. - С. 1856-1882. -Режим доступа: https://doi.org/10.1016/0041-5553(85)90027-8.

38. Владимиров В.С. Уравнения математической физики / В.С. Владимиров // - М.: Наука. - 1971. - 512 с.,

39. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский - М: Изд-во Московского университета. 6-е изд., 1999, 798 с.

40. Самарский А.А. Численные методы решения задач конвекции-диффузии / А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич. - М: URSS, 2009. - 248 с.

41. Atayan, A.M. A Parallel Algorithm to Compute the Transport of Suspended Particles Based on 3D Models / A.M. Atayan, I.Y. Kuznetsova // Communications in Computer and Information Science. - 2021. - Vol. 1437. - pp. 312-325.

42. Сухинов А.И. Адаптивный модифицированный попеременно-треугольный итерационный метод для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором / А.И. Сухинов, А.Е. Чистяков // Математическое моделирование. - 2012. - Т. 24, № 1. - С. 3-20. - Режим доступа: https://doi.org/10.1134/S2070048212040084

43. Антонов А.С. Высокопроизводительные вычислительные платформы: текущий статус и тенденции развития / А.С. Антонов, И.В. Афанасьев, В.В. Воеводин // Вычислительные методы и программирование. - 2021. - Т. 22, № 2. - С. 135-177. - Режим доступа: https://doi.org/10.26089/NumMet.v22r210.

44. Воеводин В.В. Параллелизм в сложных программных комплексах (почему сложно создавать эффективные прикладные пакеты) / В.В. Воеводин// Чебышевский сборник. - 2017. - Т. 18, № 3. - С. 188-201. - Режим доступа: https://doi.org/10.22405/2226-8383-2017-18-3-187-200

45. Применение GPU в рамках гибридного двухуровневого распараллеливания MPI+OpenMP на гетерогенных вычислительных системах / А.В. Горобец, С.А. Суков, А.О. Железняков [и др.] // Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ'2011): труды международной научной

конференции. - Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2011. - С. 452-460. -ISBN 978-5-696-04090-5.

46. Бондаренко А.А. Координированное сохранение с журналированием передаваемых данных и асинхронное восстановление в случае отказа / А.А. Бондаренко, П.А. Ляхов, М.В. Якобовский // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия «Вычислительная математика и информатика». - 2019. - Т. 8, № 2. - С. 76-91. - Режим доступа: https://doi.org/10.14529/cmse190205.

47. Дегтярева Е.Е., Чистяков А.Е. Моделирование транспорта наносов по данным экспериментальных исследований в Азовском море// Известия ЮФУ. Технические науки. -2012. №2 (127). - С 112-118.

48. Панасенко Н.Д. Обработка и усвоение данных космического зондирования для осуществления мониторинга текущего состояния разнородных объектов на поверхности водоемов / Н.Д. Панасенко, А.М. Атаян, Н.С. Мотуз // Инженерный вестник Дона. - 2020. - № 12(72). - С. 121-134.

49. Welch G. An Introduction to the Kalman Filter / G. Welch, G. Bishop // Proc. Siggraph Course. - 2006. - Vol. 8. - 16 p.

50. Kalman R.E. A new approach to linear filtering and prediction problems / R.E. Kalman // Transactions of the ASME-Journal of Basic Engineering. - 1960. - Vol. 82 (Series D). - P. 35-45. - Access mode: https://doi.org/10.1115/1.3662552.

51. Смагин В.И. Фильтрация в линейных дискретных нестационарных системах с неизвестными возмущениями / В.И. Смагин, С.В. Смагин // Вестник томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2011. - № 3(16). - С. 43 - 50.

52. Atayan, A. Algorithms for calculating the microturbulent exchange coefficient for a three-dimensional mathematical model of hydrodynamics of coastal systems / A. Atayan, Y. Belova, A. Chistyakov // E3S Web of Conferences. - 2022. - Vol. 363, № 02017.

53. Атаян А.М. Обработка данных натурных наблюдений профилей скорости движения водного потока в мелководном водоеме на основе фильтра Калмана / А.М. Атаян, А.Е. Чистяков, А.В. Никитина // Вестник компьютерных и информационных технологий. - 2021. - Т. 18. - № 2(200). - С. 46-55.

54. Sukhinov A. I. The use of supercomputer technologies for predictive modeling of pollutant transport in boundary layers of the atmosphere and water bodies / A.I. Sukhinov, A.E. Chistyakov, A.V. Nikitina [et al.] // Communications in Computer and Information Science. - 2019. - Vol. 1063. - P. 225 - 241. - Access mode: https://doi.org/10.1007/978-3-030-28163-2_16.

55. Никитина А.В. Модели биологической кинетики, стабилизирующие экологическую систему Таганрогского залива / А.В. Никитина // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2009. - №8 (97). - С. 130 - 134.

56. Sukhinov A.I. Supercomputer modeling of hydrochemical condition of shallow waters in summer taking into account the influence of the environment / A.I. Sukhinov, A.E. Chistyakov, A.V. Nikitina [et al.] // Communications in Computer and Information Science. - 2018. - Vol. 910. - P. 336 - 351. - Access mode: https://doi.org/10.1007/978-3-319-99673-8_24.

57. Сухинов А. И. Суперкомпьютерное моделирование процессов биоремедиации нефтяного разлива в мелководном водоеме / А.И. Сухинов, А.Е. Чистяков, А.А. Филина, А.В. Никитина // Вестник компьютерных и информационных технологий. - 2019. - № 6. - C. 47 - 55. - Режим доступа: https://doi.org/ 10.14489/vkit.2019.06.pp.047-056.

58. Tyutyunov Yuri V. Simple models for studying complex spatiotemporal patterns of animal behavior / Yuri V. Tyutyunov, Lyudmila I. Titova // Deep Sea Research Part II: Topical Studies in Oceanography. - 2017. - Vol.140. - P. 193-202. - Access mode: https://doi.org/10.1016/j.dsr2.2016.08.010.

59. Сухинов А.И. Исследование точности и применимости разностной схемы для решения задачи диффузии-конвекции при больших сеточных числах Пекле / А.И. Сухинов, И.Ю. Кузнецова, А.Е. Чистяков [и др.] // Вычислительная механика

сплошных сред. - 2020. - Т. 13, № 4. - С.437-448. - Режим доступа: https://doi.org/10.7242/1999-6691/2020.13.4.34.

60. Экономичные явно-неявные схемы решения многомерных задач диффузии-конвекции / А.И. Сухинов, А.Е. Чистяков, В.В. Сидорякина,

E.А. Проценко // Вычислительная механика сплошных сред. - 2019. - Т. 12. № 4. -С. 435-445. - Режим доступа: https://doi.org/10.7242/1999-6691/2019.12.4.37.

61. Гущин В.А. Модель транспорта и трансформации биогенных элементов в прибрежной системе и ее численная реализация / В.А. Гущин, А.В. Никитина, А.А. Семенякина [и др.] // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2018. - Т. 58. № 8. - С. 120-137. - Режим доступа: https://doi.org/10.31857/S004446690002007-8.

62. Белоцерковский О.М. Турбулентность: новые подходы // О.М. Белоцерковский, А.М. Опарин, В.М. Чечеткин. - М.: Наука, 2002. - 285 с.

63. Давыдов А.А. Моделирование течений несжимаемой жидкости и слабосжимаемого газа на многоядерных гибридных вычислительных системах / А.А. Давыдов, Б.Н. Четверушкин, Е.В. Шильников // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2010. - Т. 50. № 12. - С. 2275-2284. -Режим доступа: https://doi.org/10.1134/S096554251012016X.

64. Сухинов А.И. Численная реализация трехмерной модели гидродинамики для мелководных водоемов на супервычислительной системе / А.И. Сухинов, А.Е. Чистяков, Е.В. Алексеенко // Математическое моделирование. - 2011. - Т. 23, № 3.

- С. 3-21. - Режим доступа: https://doi.org/10.1134/S2070048211050115.

65. Chen C.-T. Speed of sound in seawater at high pressures / C.-T. Chen,

F.J. Millero // The Journal of the Acoustical Society of America. - 1977. - Vol. 62, № 5.

- P. 1129-1135. - Access mode: https://doi.org/10.1121/1.381646.

66. Скорость звука // Большая российская энциклопедия [Электронный ресурс] URL: https://bigenc.ru/physics/text/3624120 (дата обращения: 10.10.2021).

67. Сухинов А.И. Метод решения сеточных уравнений для задач гидродинамики в плоских областях / А.И. Сухинов, А.Е. Чистяков, А.В. Никитина,

А.М. Атаян, В.Н. Литвинов // Математическое моделирование. - 2023. - Т. 35. - № 3. - С. 35-58.

68. Самарский А.А. Методы решения сеточных уравнений / А.А. Самарский, Е.С. Николаев. - М.: Наука, 1978. - 592 с.

69. Канторович Л.В. Функциональный анализ и прикладная математика / Л.В. Канторович // Успехи математических наук. - 1948. -Т. 3, № 6 (28). - С. 89185.

70. Solution of the problem of biological rehabilitation of shallow waters on multiprocessor computer system / A.I. Sukhinov, A.E. Chistyakov, I.I. Levin [et al] // 5th International Conference on Informatics, Electronics and Vision, ICIEV 2016. - 2016. -7760175. - P. 1128-1133. - Access mode: https://doi.org/10.1109/ICIEV.2016.7760175.

71. Оптимальное управление устойчивым развитием при биологической реабилитации Азовского моря / А.В. Никитина, А.И. Сухинов, Г.А. Угольницкий [и др.] // Математическое моделирование. - 2016. - Т. 28, № 7. - С. 96-106.

72. Сухинов А.И. Разностная схема «кабаре» с улучшенными дисперсионными свойствами / А.И. Сухинов, А.Е. Чистяков // Математическое моделирование. - 2019. - Т. 31, № 3. - С. 83-96. - Режим доступа: https://doi.org/10.1134/S0234087919030067.

73. Глотов В.Ю. Схема КАБАРЕ для двумерной несжимаемой жидкости в переменных «скорость-давление / В.Ю. Глотов, В.М. Головизнин // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2013. - Т. 53, № 6. -С. 898-913. - Режим доступа: https://doi.org/10.7868/S0044466913060082.

74. Самарский А.А. О регуляризации разностных схем / А.А. Самарский // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1967. - Т. 7, № 1. - С. 62-93.

75. Самарский А.А. Классы устойчивых схем / А.А. Самарский // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1967. - Т. 7, № 5. -С. 1096-1113.

76. Федоренко Р.П Применение разностных схем высокой точности для численного решения гиперболических уравнений / Р.П. Федоренко // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1963. - Т. 2, № 6. -С. 1355-1365.

77. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем / А.А. Самарский. -М.: Наука. - 1989. - 550 с.

78. Самарский А.А. Устойчивость разностных схем / А.А. Самарский, А.В. Гулин. - Москва: Наука. - 1973. - 415 с.

79. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры / А.А. Самарский, А.П. Михайлов. - М.: Физма-тлит. - 2001. -320 с.

80. Самарский А.А. Аддитивные схемы расщепления для задач математической физики / А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич // М.: Наука. - 1999. -319с.

81. Сухинов А.И. Линейная комбинация схемы «кабаре» и «крест» с весовыми коэффициентами, полученными из условия минимизации порядка погрешности аппроксимации / А.И. Сухинов, А.Е. Чистяков, Е.А. Проценко, А.М. Атаян // Чебышевский сборник. - 2020. - Т. 21. - № 4. - С. 243-256.

82. Головизнин В.М. Некоторые свойства разностной схемы «кабаре» / В.М. Головизнин, А.А. Самарский // Математическое моделирование. - 1988. -Т. 10, № 1. - С. 101-116.

83. Sukhinov A.I. Parallel algorithms for modelling of suspended particles motion in channel for large Peclet number / A.I. Sukhinov, A.E. Chistyakov, I.Y. Kuznetsova, E.A. Protsenko, A.V. Strazhko, A.M. Atayan // В сборнике: Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ'2020). Короткие статьи и описания плакатов. -2020. - С. 100-108.

84. Сухинов А.И. Точность численного решения уравнения диффузии-конвекции на основе разностных схем второго и четвертого порядков погрешности аппроксимации / А.И. Сухинов, А.Е. Чистяков, М.В. Якобовский // Вестник Южно-

Уральского государственного университета. Серия: Вычислительная математика и информатика. - 2016. - Т. 5, № 1. - С. 47-62. - Режим доступа: http: //dx.doi. org/10.14529/cmse160105.

85. Modelling of oil spill spread / A. Sukhinov, A. Chistyakov, A. Nikitina [et al] // 5th International Conference on Informatics, Electronics and Vision, ICIEV 2016. -2016. - 7760176. - P. 1134-1139. - Access mode: http: //dx.doi. org/10.1109/ICIEV.2016.7760176

86. Complex of models, explicit regularized schemes of high-order of accuracy and applications for predictive modeling of after-math of emergency oil spill / A.I. Sukhinov, A.V. Nikitina, A.A. Semenyakina, A.E. Chistyakov // CEUR Workshop Proceedings. -2016. - 1576, - P. 308-319.

87. Белова Ю.В. Изучение качественных закономерностей процесса эвтрофирования мелководного водоема на основе математической модели биологической кинетики / Ю.В. Белова, Е.О. Рахимбаева, В.Н. Литвинов, А.Е. Чистяков, А.В. Никитина, А.М. Атаян // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2023. - Т. 16. - № 2. - С. 14-27.

88. Сухинов, А.И. Повышение эффективности попеременно-треугольного метода на основе уточнённых спектральных оценок / А.И. Сухинов, А.В. Шишеня // Математическое моделирование. - 2012. - Т. 24, № 11. - С. 20-32

89. Атаян А.М. Математическое моделирование опасных явлений природного характера в мелководном водоеме / А.М. Атаян, А.В. Никитина, А.И. Сухинов, А.Е. Чистяков // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2022. - Т. 62. - № 2. - С. 270-288.

90. Atayan, A.M. Solving the diffusion-convection problem using MPI parallel computing technology // Journal of Physics: Conference Series. - 2021. - Vol. 1902. -№ 1. - art. no. 012098. ISSN: 17426588.

91. Никитина А.В. Численная реализация параллельного алгоритма для решения задачи транспорта загрязняющего вещества в водоеме на

высокопроизводительной вычислительной системе / А.В. Никитина, А.Е. Чистяков, А.М. Атаян // Вестник компьютерных и информационных технологий. - 2021. - Т. 18. - № 4(202). - С. 27-36.

92. Atayan, A Optimization of the amount of transmitted data in parallel algorithms for iterative methods with a triangular preconditioner / A. Atayan, E. Rakhimbaeva, A. Chistyakov // E3S Web of Conferences. - 2022. - Vol. 363, № 02018.

93. Атаян А.М. Теоретические оценки производительности параллельных алгоритмов для решения задач биологической кинетики / А.М. Атаян // В сборнике: Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ'2023). Короткие статьи и описания плакатов. Материалы XVII всероссийской научной конференции с международным участием. - Челябинск, 2023. - С. 233.

94. Сухинов А.И. Построение параллельных алгоритмов для моделирования гидродинамических процессов в Азовском море на основе гибридной технологии MPI+OpenMP / А.И. Сухинов, А.Е. Чистяков, А.В. Никитина, А.М. Атаян, В.Н. Литвинов, М.В. Поркшеян // Вычислительная механика сплошных сред. - 2023. -Т. 16. - № 1. - С. 17-135.

95. Сухинов А.И. Локально-двумерные схемы расщепления для параллельного решения трехмерной задачи транспорта взвешенного вещества / А.И. Сухинов, А.Е. Чистяков, В.В. Сидорякина, С.В. Проценко, А.М. Атаян // Математическая физика и компьютерное моделирование. - 2021. - Т. 24. - № 2. -С. 38-53

96. Sukhinov, A. Modeling the Process of Mixing Water in the Estuarine Area in the Presence of a Density Gradient of the Aquatic Environment Using Hybrid MPI/OpenMP Technology / A. Sukhinov, A. Atayan, I. Kuznetsova, V. Dolgov, A. Chistyakov, A. Nikitina // Communications in Computer and Information Science. -2021. - Vol. 1510. - pp. 162-173.

97. Сухинов А.И. Параллельные алгоритмы для численного решения трехмерных задач диффузии-конвекции на основе схем расщепления / А.И. Сухинов, В.В. Сидорякина, А.М. Атаян, С.В. Проценко, А.Е. Чистяков //

Вестник Российского нового университета. Серия: Сложные системы: модели, анализ и управление. - 2021. - № 4/1. - С. 35-47.

98. Atayan, A. Parallel algorithms for solving diffusion-convection problems on a multiprocessor computer system using hybrid MPI/OpenMP technology / A. Atayan, V. Dolgov // Journal of Physics: Conference Series. - 2021. - Vol. 2131. - № 2. - art. no. 022008. ISSN: 17426588.

99. Modelling of suspended particles motion in channel / A.I. Sukhinov, A.E. Chistyakov, I.Y. Kuznetsova, E.A. Protsenko // Journal of Physics: Conference Series. - 2020. - Vol. 1479, № 1. - 012082 - Access mode: https://doi.org/10.1088/1742-6596/1479/1/012082.

100. Sukhinov A.I. Modified Upwind Leapfrog difference scheme / A.I. Sukhinov, A.E. Chistyakov, I.Y. Kuznetsova [et al] / Computational Mathematics and Information Technologies. - 2020. - Vol. 1, № 1. - P. 56-70. - Access mode: https://doi.org/10.23947/2587-8999-2020-1-1-56-70.

101. Semenyakina A.A. Development the transport and transportation model of nitrogen, phosphorus and silicon compounds in shallow waters / A.A. Semenyakina, V.V. Sumbaev, S.V. Protsenko // Computational Mathematics and Information Technologies. - 2018. - Vol. 2, № 2. - P. 67-75. - Access mode: DOI: 10.23947/25878999-2018-2-2-67-75

102. Белова Ю.В. Параллельный алгоритм численного решения 3D задачи диффузии-конвекции на основе схемы расщепления / Ю.В. Белова, А.М. Атаян, А.Е. Чистяков // В сборнике: Уфимская осенняя математическая школа. Материалы Международной научной конференции. Отв. редактор З.Ю. Фазуллин. - Уфа, 2022. -С. 305-307.

103. Озмидов Р.В. Диффузия примеси в океане / Р.В. Озмидов. -Л.: Гидрометеоиздат, 1986. - 280 с.

104. Сухинов А. И. Комплекс объединенных моделей транспорта наносов и взвесей с учетом трехмерных гидродинамических процессов в прибрежной зоне /

А.И. Сухинов, А.Е. Чистяков, Е.А. Проценко В.В. Сидорякина, С.В. Проценко // Математическое моделирование. - 2020. - Т. 32. - № 2. - С. 3-23.

105. Сухинов А.И. Математическое моделирование волнового воздействия на объекты прибрежной инфраструктуры / А.И. Сухинов, А.Е. Чистяков, С.В. Проценко // Тезисы докладов Международной научной конференции. Под редакцией проф. д.ф.-м.н. Ю.Г. Смирнова. - 2020. - с. 119-121.

106. Сухинов А.И. Разностная схема с оптимальным весом для уравнения диффузии-конвекции / А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков, В. В. Сидорякина, С.В. Проценко // Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. Научно-исследовательский вычислительный центр МГУ им. М.В. Ломоносова. Москва. - 2019. - Т. 20. - С. 283-292.

107. Сухинов А.И. Математическое моделирование и экспедиционные исследования качества вод в Азовском море / А.И. Сухинов, А.В. Никитина // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2011. - № 8 (121). - С. 62-73.

108. Сухинов А.И. Пространственно-двумерная модель транспорта донных материалов в прибрежной зоне и параллельный алгоритм ее численной реализации / А.И. Сухинов, Е.А. Проценко, С.В. Проценко // Современные проблемы развития фундаментальных и прикладных наук: материалы II международной научно-практической конференции. - 2016. - С. 92-100.

109. Сухинов А.И. Параллельные алгоритмы решения задачи динамики изменения рельефа дна в прибрежных системах / А.И. Сухинов, А.Е. Чистяков, Е.А. Проценко, В.В. Сидорякина, С.В. Проценко // Вычислительные методы и программирование. - 2020. - Т. 21. - С. 196-206.

110. Сухинов А.И. Моделирование биогеохимических циклов в прибрежных системах Юга России / А.И. Сухинов, Ю.В. Белова, А.Е. Чистяков // Математическое моделирование. - 2021. - Т. 33. - № 3. - С. 20-38.

111. Сухинов А.И. Моделирование сложных систем. Часть 1 / А.И. Сухинов [и др.]. - Ростов-на Дону: ООО «ДГТУ принт». - 2019. - 241 с.

112. Сухинов А.И. Моделирование силового гидродинамического воздействия волн на опоры надводных конструкций / А.И. Сухинов, А.В. Никитина, Н.А. Фоменко, Е.Ф. Тимофеева, С.В. Проценко // Фундаментальные исследования. - 2016. - № 12-4. - С. 777-783.

113. Сухинов А.И. Параллельная реализация трехмерной модели гидродинамики мелководных водоемов на супервычислительной системе / А.И. Сухинов, А.Е. Чистяков // Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. - 2012. - Т. 13. - С. 290-297.

114. Сухинов А.И. Решение задачи распространения колебательных процессов в области со свободной границей / А.И. Сухинов, Е.А. Проценко, С.В. Проценко // Труды Междунар. науч. конф. - Ростов-на-Дону: ДГТУ-Принт. -2017. - Т.1. - С. 280-294.

115. Чистяков А.Е. Теоретические оценки ускорения и эффективности параллельной реализации ПТМ скорейшего спуска / А.Е. Чистяков // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2010. - № 6 (107). - С. 237-249.

116. Чистяков А.Е. Разработка адаптивного метода минимальных поправок для решения системы сеточных уравнений с оператором специального вида /

A.Е. Чистяков, А.И. Сухинов, И.Ю. Кузнецова, И.В. Яковенко, С.В. Проценко // Фундаментальные исследования. - 2016. - № 11(4). - С. 746-751.

117. Тишкин В.Ф. Современные методы математического моделирования развития гидродинамических неустойчивостей и турбулентного перемешивания /

B.Ф. Тишкин, В.А. Гасилов, Н.В. Змитренко, П.А. Кучугов, М.Е. Ладонкина, Ю.А. Повещенко // Матем. Моделирование. - 2020. - Т. 32. - № 8. - с. 57-90.

118. Атаян А.М. Решение задач гидрофизики на основе схем расщепления / А.М. Атаян, А.Е. Чистяков // В сборнике: ПЕРСПЕКТИВА-2022. Материалы международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных. - 2022. - Т.4. - С. 3-6.

Приложение А. Акт о внедрении результатов диссертационного

о внедрении научных результатов кандидатской диссертационной работы Атаян Аси Михайловны «Математическое моделирование задач диффузии-конвекции для прибрежных систем на многопроцессорных системах с распределенной памятью»

Разработанные в кандидатской диссертационной работе Атаян A.M. следующие программы:

1) Программа для решения трехмерных задач диффузии-конвекции модифицированным попеременно-треугольным методом с использованием гибридной технологии MPI + OpenMP (Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2021682068) - осуществляет декомпозицию расчетной пространственной сетки и всех сеточных данных по одному или двум пространственным направлениям. Двумерная неявная задача диффузии конвекции по горизонтальным направлениям численно решается адаптивным попеременно-треугольным методом. Численная реализация одномерной задачи диффузии-конвекции по вертикальному направлению осуществляется последовательным методом прогонки для серии независимых на данном слое одномерных трехточечных задач по вертикальному направлению.

2) Программа для решения трехмерных задач диффузии-конвекции на основе явно-неявной схемы с использованием гибридной технологии MPI + OpenMP (Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2021681613) -осуществляет реализацию модели гидрофизики устьевого района. Для повышения эффективности параллельных расчетов была выполнена декомпозиция расчетной области по двум пространственным направлениям. Использован способ разбиения на прямоугольники по п штук вдоль одного направления и к подобластей вдоль другого. Данный способ декомпозиции позволяет уменьшить объем передаваемых данных.

3) Программа для решения двумерной задачи диффузии-конвекции с использованием параллельной вычислительной технологии MPI (Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № RU 2021680741) - предназначена для решения двумерной задачи переноса вещества в водоеме. В программе реализован параллельный метод декомпозиции сеточных областей для вычислительно-трудоемких задач диффузии-конвекции, учитывающие архитектуру и параметры многопроцессорной вычислительной системы.

исследования

УТВЕРЖДАЮ Проректор по НИР и ИД

АКТ

4) Программа для обработки данных натурных экспериментов, полученных при помощи зонда АОСР на основе фильтра Калмана (Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2023611462) - предназначена для обработки данных натурных экспериментов, полученных при помощи зонда АОСР на основе фильтра Калмана. Входные данные натурных замеров скорости течения воды поступают в формате «1x1». Задаётся дисперсия ошибки модели, дисперсия ошибки устройства и дисперсия ошибки устройства для повторной фильтрации.

5) 11рограмма для решения трёхмерных задач диффузии-конвекции в области, вытянутой вдоль горизонтальных направлений, на основе явно-неявной схемы (Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 202366239) -предназначена для решения трёхмерных задач диффузии-конвекции в области, вытянутой вдоль горизонтальных направлений, на основе явно-неявной схемы. В процессе работы программы происходит инициализация, декомпозиция, решение задачи и сохранение информации в формате «1x1».

6) Программа для решения сеточных уравнений, возникающих при аппроксимации трёхмерных задач гидродинамики в области, вытянутой вдоль горизонтальных направлений (Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2023662814) - предназначена для решения сеточных уравнений возникающих при аппроксимации трёхмерных задач гидродинамики в области, вытянутой вдоль горизонтальных направлений.

В рамках конкурса на лучшие проекты фундаментальных научных исследований, выполняемые молодыми учеными, обучающимися в аспирантуре («Аспиранты»), гранта РФФИ № 20-31-90105 полученные результаты внедрены в работу научно-исследовательского института «Математическое моделирование и прогнозирование сложных систем».

Директор

научно-исследовательского института ^

«Математическое моделирование ^ ОЩ^У А.И. Сухинов

и прогнозирование сложных систем», Член-корреспондент РАН

Приложение Б. Свидетельства о государственной регистрации программ для

ЭВМ

ЭВМ № 2021680741 от 14.12.2021 г.

ЭВМ № 2021681613 от 23.12.2021 г.

ЭВМ № 2021682068 от 29.12.2021 г.

ЭВМ № 2023611462 от 19.01.2023 г.

ЭВМ № 2023662391 от 07.06.2023 г.

ЭВМ № 2023662814 от 14.06.2023 г.