Целые функции типа синуса. Применение к исследованию систем экспонент в весовых гильбертовых пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Путинцева, Анастасия Андреевна

• Путинцева, Анастасия Андреевна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Путинцева, Анастасия Андреевна

Введение

1 Целые функции типа синуса

1.1 Геометрические характеристики субгармонических и выпуклых функций

1.2 Конструкция целых функций типа синуса.

1.3 Оценки целых функций типа синуса.

1.4 Точность оценок целых функций типа синуса.

2 Системы экспонент в весовых пространствах

2.1 Полнота и минимальность систем экспонент в пространстве Z/2(/, h)

2.2 Безусловная базисность систем экспонент в пространстве

2.3 Безусловная базисность в неклассических случаях

2.4 Суммирование рядов из экспонент.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Целые функции типа синуса. Применение к исследованию систем экспонент в весовых гильбертовых пространствах»

Диссертация посвящена исследованию систем экспонент в пространствах I>2(1, состоящих из функций, определенных и локально интегрируемых на интервале I, для которых конечна норма

И/И2 ~ {

Весовая функция Н предполагается выпуклой на интервале I.

Рассматриваются такие свойства систем экспонент как полнота, минимальность, безусловная базисность и способы суммирования рядов по этим системам. В проведенных исследованиях по сложившейся традиции систематически используются целые функции с заданным асимптотическим поведением, в данной диссертации — целые функции типа синуса.

В первой главе рассматривается вопрос о конструкции целых функций типа синуса, доказываются соответствующие оценки и исследуется точность полученных оценок.

В теории функций комплексного переменного важную роль играют субгармонические функции. Систематическое изучение субгармонических функций началось с основополагающих работ Ф. Рисса, в которых доказан ряд свойств субгармонических функций и приведены важные примеры таких функций. В частности, субгармоническими в области 1)СС являются функции вида 1п где / — аналитическая функция в области И.

К вопросу о том, насколько произвольная субгармоническая функция может отличаться от функций вида 1п |/|, в сущности сводятся многие задачи комплексного анализа ([1], [4], [9], [12], [25]—[28], [46],

Первые теоремы о приближении субгармонических функций и функциями вида 1п |/|, где / — аналитическая функция, носят асимптотический характер. Например, теорема Полна (см. [58]) утверждает существование целой функции с заданным индикатором, то есть любая однородная субгармоническая функция на плоскости асимп тотически приближается логарифмом модуля целой функции. Обобщением этого результата Полиа служит теорема Левина-Пфлюгера (см. [24], [59]) о том, что для любой р — однородной субгармонической функции и, то есть и(Ьг) = ^гг(^г), £ > 0, * € С, существует целая функция /, которая вне множества Е удовлетворяет соотношению

При этом исключительное множество Е может быть покрыто кругами {г : \г — < так, что

Множества, допускающие покрытия кругами с таким свойством, называются Со - множествами. В 1969 году B.C. Азарин обобщил теорему Левина-Пфлюгера, заменив условие р - однородности на условие u(z) < Constl^, \z\ > 1. (см. [1], [3]). В то же время для функций вида

Hd(z) = max Re Xz,

A eD

52], [54] -[56]). u(z) - In |f(z)\\ == o(|*|'), И —► oo, * £ E. oo. zj\<R где V — многоугольник или круг, были известны более точные результаты. А именно, существует целая функция /, которая на множестве {г : — > 1, /(£) = 0} удовлетворяет соотношению

Нп{г)-\п\/Ш = 0(Ы\г\), \г\ —> оо, см. [25], [36]). На примере функции и(г) = легко убедиться в том, что логарифмическая асимптотика не улучшаема в классе всех субгармонических функций конечного порядка. В самом деле, предположим, что вне некоторого Со - множества Е целая функция / удовлетворяет условию 1

- 1п - 1п 1/(2)11 = о{ 1п |г|), —> оо, х^Е.

По свойствам Со - множеств (см. [23]) найдется последовательность окружностей = Кп, —у +оо, лежащая вне множества Е. Тогда

1111/(^^)1 <(^ + о(1))1пДп, значит, по теореме Лиувилля (см. [35]) функция / является постоянной. Тогда исключительное множество Е должно содержать окрестность бесконечности и не может быть Со - множеством. Аппроксимация с неулучшаемой логарифмической точностью достигнута в работе [50], в которой доказана следующая теорема.

Теорема 0.1. Пусть субгармоническая на плоскости функция и(г) имеет конечный порядок роста, то есть и{г) < Сопв^з! + 1)р, 2 6 С.

Тогда существует целая функция /, удовлетворяющая условию: при любом 7 найдется исключительное мносисество Е,у, вне которого выполняется асимптотическое соотношение и(г) — 1п |/(^)|| = С71п \г\—> оо, г Е^, при этом множество Е7 может быть покрыто кругами B(zj,rj), так, что

У^ Tj — o(R'?), R —у оо.

R<\zj\<2R

В этой теореме, как и в теореме B.C. Азарина, асимптотика разности и размеры исключительных множеств оптимально сбалансированы. В то же время в вопросах представления функций рядами экспонент активно применялись целые функции с заданным поведением в бесконечности. Впервые такие функции были использованы в работе [20] в задаче о негармонических рядах Фурье в пространстве L2{—тг)- Позднее в работе [21] они были названы целыми функциями типа синуса. Целая функция типа синуса — это целая функция экспоненциального типа, которая вне некоторой вертикальной полосы |Re z\ < К удовлетворяют соотношению

0 < с< \Ь(г)\е~*№ < С < оо.

В работе [22] в целях применения к разложению в ряды экспонент функций, аналитических в выпуклом многоугольнике D, введен класс целых функций Sd, представляющих собой обобщение целых функций типа синуса. Функция S(А) принадлежит классу Sp, если при некоторых положительных константах с, С, К (зависящих от функции 5) вне множества {Л : Re Ае~гв* > 0, |Im Xe~t0j\ < К}, где 9j — направления внешних нормалей к сторонам многоугольника, выполняется соотношение с < |5(Л)|е~я°^ < С.

Здесь

-ЙЪ(А) = max Re Лz — zeD опорная фуикция многоугольника И. В работе [33] сконструированы аналоги целых функций типа синуса для выпуклых областей с гладкой границей. Затем в работе [34] эти функции были применены для исследования рядов экспонент в областях с кривизной границы, отделенной от нуля и бесконечности. Аналогами целых функций типа синуса названы целые функции 5 экспоненциального типа, обладающие свойствами: а) все корни Л^ простые и при некотором е > 0 круги попарно не пересекаются; б) для любого е > О

О < се < |5(Л)|е"Яд(Л) <С£< оо,

Ь$В(\к1еу/\Щ), к = 1,2,.

Далеко идущее обобщение результатов о целых функциях с тонкими асимптотическими оценками получено в работе [57].

В работах [6], [7] на основе анализа ранее введенных и упомянутых выше понятий аналогов целых функций типа синуса определено новое понятие целой функции типа синуса для непрерывной субгармонической функции.

Определение. Пусть и(г) непрерывная субгармоническая функция на плоскости и т{и, г) - радиус наибольшего круга с центром в точке г, в котором функция и отклоняется от пространства гармонических функций на этом круге не более чем на 1: т(и, г) = Бир{г >0:3 Н^) — гармоническая функция в круге В(г,г) : эир \1г(и)) — и(ги)| < 1}.

Функцией типа синуса для функции и будем называть целую функцию Ь, удовлетворяющую условиям:

1. Все нули п € функции 1-! простые и при некотором € > 0 круги В(гп,£т(и, гп)), п попарно не пересекаются;

2. При любом е > О вне мнооюества кругов В(гп, £т(и: гп)), п € К, выполняется соотношение

Ы\Ь(г)\ - <А{е).

Из соображений субгармоничности и из определения величины т(и, г) вытекает свойство

2'. Для всех гбС выполняется оценка сверху п\Ь(г)\<и(г)+А1{£).

Множество функций типа синуса для функции и будем обозначать через <5(и).

Классические целые функции типа синуса, введенные в работе [21], при дополнительном условии простоты и отделенности нулей будут в данном определении целыми функциями типа синуса для функции и(г) = |Яе г\. Дело в том, что нули классических функций типа синуса располагаются в некоторой полосе |Ке г\ < К ив таких полосах для функции и(г) = |Ие верно т(и, х) х 1. Функции класса ¿>£), где И — выпуклый многоугольник, по данному определению являются функциями типа синуса для опорной функции Ир многоугольника И, потому что нули этих функций оказываются в полуполосах конечной ширины, перпендикулярных сторонам многоугольника, и в этих полосах снова т(#х), г)х1. Наконец, аналоги целых функций типа синуса из работы [33] — это целые функции типа сииуса для опорной функции выпуклой области Нр. В этом случае в силу условия гладкости границы будет выполняться соотношение т(Нц^) х у/Щ, —> оо.

Описание результатов первой главы.

В первом параграфе Главы 1 в общем виде описаны геометрические характеристики р(щу) = эир > 0 : £ |и'+(т) - и'+{у)| йт < 11 для выпуклых на вещественной оси функций и определенная ранее т(и, г) для непрерывных субгармонических функций. При этом выпуклая на вещественной оси функция и(х) рассматривается как субгармоническая на комплексной плоскости и(г) = гг(11е г). Доказан ряд лемм, описывающих свойства геометрических характеристик и их сравнимость между собой.

Во втором параграфе приводятся свойства функции Р(г) = е2—1, а так же описывается процесс атомизации, необходимые для конструирования функции типа синуса.

В третьем параграфе на основе результатов первых двух доказана основная теорема 1.1.

Теорема 1.1. Пусть и — выпуклая функция на Ж. Предположим, что найдется функция а(х) > 1; удовлетворяющая условиям а) При некоторой константе А для любого х 6 М для всех у £ [ж — р(и, ж); х + р{и, ж)] имеет место соотношение а(2/) — о;(ж)| < А.

Ь) Сходится интеграл

-оо —I р(и, х) с) При некоторой константе а > 0 для любого х € Ж для всех Уъ У2 £ [х — 2а(х)р(и, х)] х + 2а(х)р(и, ж)] имеет место соотношение

Р(и» Уг) > а> Р(ЩУ2) ~

Тогда существует целая функция типа синуса для функции и(г) = и(Яе г).

Доказана необходимая для дальнейших исследований систем экспонент в пространстве 1/2(1, Ь) теорема о существовании функция типа синуса для

Теорема 1.2. Пусть Н — сопряженная по Юнгу функции на ограниченном интервале (а; Ъ). Предположим, что при некоторой константе с > 0 для любого х € К для всех

2/1,г/2 — 2р(и,х)Ыр(и,х)]х + 2р(и,х)Ыр(и,х)] имеет место соотношение р{%У1) > с р(щУ2) ~

Тогда существует целая функция типа синуса для функции

А так же доказана лемма, упрощающая вычисление геометрических характеристик в конкретных примерах:

Лемма 1.8. Пусть и(х) — дважды дифференцируемая выпуклая функция на М. Допустим, что для всех х Е К при некоторых константах А,В> 0 выполняется соотношение к(х) = зир(ж£ — /&(£)), х Е Ж.

ЬЕ1 и(г) = Н(11е £).

Чуъу2е1(х):= хи (у21 А х + А

Тогда

В четвертом параграфе на основе свойств функции типа синуса, рассмотренных там же, доказана теорема о допустимой точности асимптотики.

Теорема 1.3. Пусть функция и(г) субгармонична на всей плоскости, дважды непрерывно дифференцируема и

1 2

-т- < Аи(г) < —г, \г\ > 1. (1.13) г\ \г\

Пусть Ь(г) - функция типа синуса для функции и(г). Возьмем круг В(0,г) так, чтобы мера этого круга по ассоциированной мере ци была равна | и положим = и(г) — § \ii\z — в( о,г)

Тогда для любой возрастающей до оо функции "у(х) множество

Е = {г: |ф) - 1п \Цг)\\ > ± 1п(Н + 2) + 7(\г\)} покрывается системой кругов гу) так, что выполняется оценка

У^ Г] = о(Я), И —у +оо, то есть это множество является Со - множеством.

В то же время, для любой целой функции для любого

Я € (0; для любого покрытия множества

Ед = {г: \и{г)-\п\/{г)\]>дЫ^\} (1.14) кругами найдется Я(я) > 0 так, что выполняется соотношение

4 > Я, Я > Я{я).

Таким образом, исключительное множество Ед при д < \ не может быть Со - множеством.

Во второй главе диссертации изучаются такие свойства систем экспонент, как полнота, минимальность, безусловная базисность, ба-зисность по Риссу в пространствах 1/2 (/, Н). Основным инструментом в этих исследованиях является преобразование Фурье-Лапласа и следующая теорема из работы [30].

Для функционала 5 на пространстве Ь2 (/, Ь) его преобразованием Фурье-Лапласа называется функция

А) = А е С.

По известному общему виду функционалов на гильбертовых пространствах получаем, что преобразование Фурье-Лап л аса непрерывного функционала имеет вид где функция / 6 1/2 (1)Ь>) порождает функционал 5.

Теорема А. Пусть к(х) = зир(ж£ — /ь(£))— сопряженная по Юнгу к функции и определим р(1г: х) из условия х+р{Н,х)

1К(х)- = 1. х—р(Ь,х)

Тогда

1. Обобщенное преобразование Лапласа Б (г) = функционала 5 на 1/2 (/, 1г) является целой функцией, удовлетворяющей условиям

5(*)| < С5ехр(Л(я;)), \\§\\2:=[ [ |5(ж + гу)\2е~2^х^ р(1г, х)(£к'+{х)с1у < (7ге)2||5||2.

2. Имеют место нижняя и верхняя оценки

М1||5|| < ||S|| < тге||5||.

Кроме того, верно обратное утверждение: если F — целая функция экспоненциального типа, удовлетворяющая условиям

F(z)\ < Cpexph(x), z = x + iy, f [ \F{x + iy)\2e-2~h(x)p(h,x)dh'+{x)dy < oo,

Jr j к то существует функционал S на h) такой, что

S(z) ЕЕ F(z), z<E С.

В работе [31] эта теорема распространена на случай неограниченных интервалов I.

В работе [6] теорема А доказана в более свернутой формулировке:

Теорема А'. Пусть h(t) — выпуклая функция на ограниченном интервале I и

К(х) = J^e2xt-2h^dt, h(x) = swp(xt — h(t)), i

Тогда функция F, аналитическая в полосе J1Ж, представима в виде

F( А) = j^xt7it)e-2h^dt с функцией /, удовлетворяющей условию

Jm\2e~2hUdt<oo, тогда и лишь тогда, когда

И|2 ;= Г Г Щ + ч^м ^ к со

JRJм. -"Л®) при этом выполняются оценки те)"11|/|| < ||Л| < М||/||.

Понятие безусловных базисов из экспонент является одним из обобщений классических систем Фурье в пространстве тг, 7г). Система элементов к = 1,2,., в гильбертовом пространстве Н называется безусловным базисом (см. [39]), если она полна и найдутся числа с, С > 0, такие, что для для любого набора чисел С2,сп выполняется соотношение

ТЬ ть ть

Ы2|Ы|2 < II ¿Cfce.ll2 < C¿ Ы2|Ы|2.

3=1 з=1 ¿=1

Известно (см. [11],[40]) , что если система к = 1, 2,., — безусловный базис, то любой элемент пространства Н единственным образом представляется в виде ряда

00

X — ^ ^ Хк€к, к=1 причем

ОО 00 сХ>„|2|Ы|2 < ||х|р < С^Ы2|Ы|2. к= 1 к=1 Безусловный базис к = 1,2,., в гильбертовом пространстве называется базисом Рисса, если Це.Ц х 1 (см. [40]).

Пристальное внимание многих математиков привлекли прежде всего безусловные базисы из экспонент в весовых пространствах £2(1, из). С современным состоянием исследований в этом направлении можно ознакомиться в монографиях [45], [47]. В работе [22] было начато изучение безусловных базисов из экспонент в гильбертовых подпространствах пространства Н(О) функций, аналитических в выпуклой области Б С С. Для пространства Смирнова -Е^-О) на выпуклом многоугольнике были построены безусловные базисы из экспонент. В работе [34] была предпринята неудачная попытка построить базисы из экспонент в ^г(^) на выпуклой области с гладкой границей. В диссертациях [32], [38], [13] доказано, что в пространствах Смирнова и Бергмана на выпуклых областях, содержащих на границе гладкую дугу, безусловных базисов из экспонент не существует. Наконец, в [14] показано, что в пространствах Бергмана па выпуклых областях, на границе которых есть точка с непулевой кривизной, безусловных базисов из экспонент не существует. В диссертации [6] этот результат был перенесен на весовые пространства на интервалах.

В данной диссертации мы докажем некоторые необходимые условия отсутствия безусловных базисов в гильбертовых пространствах общего вида. На основе этих условий будет доказано отсутствие безусловных базисов из экспонент в пространствах 1/2(1, Н) из более широкого класса,чем было получено в диссертации [6].

Описание результатов второй главы.

Первый параграф Главы 2 посвящен вопросам полноты и минимальности системы экспонент, построенной по нулям целой функции типа синуса.

Пусть Л — некоторое множество точек на плоскости. Систему экспонент еЛг, А € Л, будем обозначать через £(Л). Для голоморфной функции Ь через обозначим множество нулей функции Ь (без учета кратностей).

Теорема 2.2. Пусть К — выпуклая функция на ограниченном интервале I = (а; 6), и — выпуклая функция на М. Пусть далее L 6 S(u). Система экспонент S (Kl) полна в пространстве , К) тогда и только тогда, когда и(х) и(х) lim -f-/ + lim -¡Ц^- > b - а. х—оо \х\ х—И-оо \х\

Теорема 2.3. Пусть и — выпуклая функция наШ, Ь 6Е 8(и), к — выпуклая функция на ограниченном интервале I. Тогда система £(&.£) будет минимальной в пространстве Ь) тогда и только тогда, когда выполняются условия оо

-00 e2{u(x)-h(x))

-p(u,x)dh'+(x) < ОО, х\ + 1 pUX , Ceh{x). х\ + 1

Теоремы 2.2 и 2.3 усиливают и уточняют результаты, изложенные в работе [6]. Как следствие доказано, что система, построенная по нулям функции ЬеОД, полна и минимальна.

Во втором параграфе получены условия отсутствия безусловных базисов в гильбертовом пространстве общего вида.

Пусть Н(Е) — некоторое гильбертово пространство функций, определенных на ограниченном множестве Е С С. Предположим, что выполнены следующие условия:

Н1. Норма в пространстве Н слабее равномерной нормы на Е, то есть для некоторой константы А и для любой ограниченной функции / из Н выполняется оценка я < А8ир|/Й|. zeE

Н2. Экспоненты ехр(Лг), Л £ С, принадлежат пространству Е и эта система полна в пространстве Н.

Н - пространство преобразований Фурье-Лапласа функционалов на гильбертовом пространстве Н, с наведенным скалярным произведением. К( А) = ||еА*||2.

Теорема 2.8. Пусть Н(Е) — гильбертово пространство, удовлетворяющее условиям Н1, Н2 и у/К(А) — функция Бергмана пространства Н. Предполооюим, что для любого положительного числа р найдется число 5 = 5(р) > О, такое, что функция т(А) = т(1пК(г), Адля всех А € С удовлетворяет условию тш ф)>6т(Х): (2.11) гбВ(Л,2т(А)) и т(А) = о(|А|); при |А| —> оо. Тогда в пространстве Н безусловных базисов из экспонент не существует.

Получено условие отсутствия базисов Рисса из экспонент в пространстве 1/2 (-Л Ь), обобщившее соответствующий результат в работе [6] (здесь теорема 2.10).

Теорема 2.9. Пусть для любого р > 0 найдется некоторое число б = 5(р) > 0 со свойством: существует последовательность хк 6 М, к £ Ъ, такая7 что интервалы

1к = {х: \х - хк\ < 2т(ЫК(г),хк,р)} попарно не пересекаются и ттт(ЫК(г), х,р) > 5(р)т(\п.К(г),хк:р).

Пусть далее для любого е > 0 найдется отрезок [т^в], в > т, целочисленного ряда со свойствами

1) Если 1т,в = и 1к, 8 — наименьший отрезок веществентп<к<з ной оси, содержащий /m)S, dmjS — сумма длин интервалов, составляющих Im,S; & ^т s ~ длина отрезка I^s) то dmjS > (1 — e)df)n8;

2) Выполняется оценка max r(hiK(z), Xk,p) < ed^ns.

TTIjs]

Тогда в пространстве L,2(I,h) базисов Рисса из экспонент не существует.

В третьем параграфе сформулирована теорема об отсутствии базисов Рисса из экспонент в пространстве Ьъ{1, h), отличном от классического ¿2(/).

Теорема 2.11. Если в пространстве L/2(I, h) существует базис Рисса из экспонент, то eh^ х 1, то есть пространство 1,2(1, h) изоморфно (как банахово пространство) классическому пространству L2 (/) •

Четвертый параграф посвящен описанию метода суммирования рядов из экспонент по нулям функции L(z) G S(h), с „геометрическими условиями" на расположение ее нулей в вертикальных полосах на плоскости. А именно, для некоторого а > 0 найдется возрастающая последовательность абсцисс Хт —У ±00, т —У ±оо, такая, что вертикали Л = Хт + гу лежат вне системы кругов Bk{cr) = B(\ki<jp(h, \k)). Зафиксируем целое число п, перенумеруем нули функции L в полосе Хп < ReA < Хп+\ в порядке возрастания модулей мнимых частей и обозначим полученную последовательность через Zj, j = 1, 2,.

Если функция /3(х), х £ К, 0 < (3(х) < 1 такова, что

00 ^ ^

3(x)p(h,x) dh'+(x) < 00,

•00 то верна теорема:

Теорема 2.14. В заданных геометрических условиях на L(z) положим

1 Г+со ~ ~ ц(*) = -1п / е^/З^р^х^^х) *-ос, и пусть Бк — система функционалов на Ь), биортогональная к системе экспонент еХкЬ. Тогда для любой функции / 6 для любого п, ряды сю сю т^^^У"' яо= Е ш j=l т=—оо сходятся в норме пространства £2 (Л К).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Путинцева, Анастасия Андреевна, 2011 год

1. Азарин B.C. О лучах вполне регулярного роста целой функции. // Матем. сб. 1969. Т. 79, № 4. С. 463-476.

2. Азарин B.C. Об одном характеристическом свойстве функций вполне регулярного роста внутри угла.// Сб. Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Харьков. 1966. № 2. С. 55-66.

3. Азарин B.C. Об асимптотическом поведении субгармонических функций конечного порядка.// Матем. сб. 1979. Т. 108(150), № 2. С. 147-167.

4. Аракелян Н.У. Целые функции конечного порядка с бесконечным множеством дефектных значений. // Докл. АН СССР. 1966. Т. 170, № 2. С. 999-1002.

5. Бари Н.К. О базисах в гильбертовом пространстве. // Доклады Академии наук. 1946. Т. 54. С. 383-386.

6. Башмаков P.A. Системы экспонент в весовых гильбертовх пространствах на1. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Институт математики с ВЦ УНЦ РАН. 2006 г.

7. Башмаков P.A., ПутинцеваА.А., Юлмухаметов P.C. Целые функции типа синуса и их применение. // Алгебра и Анализ. 2010. Т. 22, № 5. С. 49-68.

8. Башмаков Р. А., Исаев К. П., Юлмухаметов Р. С. О геометрических характеристиках выпуклых функций и интегралах Лапласа. // Уфимский математический журнал. 2010. Т. 2, № 1. С. 3-16.

9. Гольдберг A.A., Еременко А.Э., Содин M.J1. Дефекты и отклонения мероморфных функций конечного порядка. // Докл. АН УССР. 1984. А. № 10. С. 3-5.

10. Головин В.Д. О биортогональных разложениях в L2 по линеи-ным комбинациям показательных функций. // Зап. матем. отд. физ.-мат. фак.-та ХГУ и ХМО. 1964. Сер. 4. № 30. С. 18-29.

11. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука. 1965. 448 с.

12. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. М.: Наука. 1979. 320 с.

13. Исаев К.П. Безусловные базисы из экспонент в пространствах Бергмана на выпуклых областях. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Институт математики с ВЦ УНЦ РАН. 2004 г.

14. Исаев К.П., Юлмухаметов P.C. Об отсутствии безусловных базисов из экспонент в пространствах Бергмана на областях, не являющихся многоугольниками. // Изв. РАН. Сер. матем. 2007. Т. 71, № 6. С. 69-90.

15. Исаев К.П., Путинцева A.A., Юлмухаметов P.C. Представление рядами экспонент в весовых пространствах на вещественной оси. // Уфимский математический журнал. 2009. Т. 1, № 1. С. 16-37.

16. Исаев К.П., Путинцева A.A., Юлмухаметов P.C. Построение аналитических в полосе функций с заданной асимптотикой. // Труды института математики с ВЦ УНЦ РАН. 2008. Вып. 1. С. 100-107.

17. Исаев К.П., Юлмухаметов P.C. О безусловных базисах из экспонент в гильбертовых пространствах. // Уфимский математический журнал. 2011. Т. 3, № 1 С. 3-15

18. Кусис П. Введение в теорию пространств Нр с приложением доказательства Вольффа теоремы о короне. М.: Мир. 1984. 364 с.

19. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука. 1966. 518 с.

20. Левин Б.Я. О базисах показательных функций в L2. // Зап. матем. отд. физ.-мат. фак.-та ХГУ и ХМО. 1961. Сер.4. Т. 27. С. 39-48.

21. Левин Б.Я. Интерполяция целыми функциями экспоненциального типа. II Матем. физика и функц. анализ, ФТИНТ АН УССР. 1969. Вып. 1. С. 136-146.

22. Левин Б.Я., Любарский Ю.И. Интерполяция целыми функциями специальных классов и связанные с нею разложения в ряды экспонент. // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1975. Т. 39, № 3. С. 658-702.

23. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостех-издат. 1956.

24. Левин Б.Я. Целые функции. М.: МГУ. 1971. 145 с.

25. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука. 1976. 535 с.

26. Леонтьев А.Ф. К вопросу о представлении аналитических функций в бесконечной выпуклой области рядами Дирихле. // Докл. АН СССР. 1975. Т. 225, № 5. С. 1013-1015.

27. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент для функций с определенным ростом вблиз границы. // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1980. Т. 44, № 6. С. 1308-1328.

28. Леонтьев А.Ф. Обобщения рядов экспонент. М.: Наука. 1981. 320 с.

29. Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М.: Наука, 1983. 176 с.

30. Луценко В.И., Юлмухаметов P.C. Обобщение теоремы Пэли-Винера на весовые пространства. // Математ. заметки. 1990. Т. 48, № 5. С. 139-144.

31. Луценко В.И. Теорема Пэли-Винера на неограниченном интервале. // Исследования по теории приближений. Уфа. 1989. С. 79-85.

32. Луценко В.И. Безусловные базисы из экспонент в пространствах Смирнова. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Институт математики с ВЦУро РАН. 1992 г.

33. Любарский Ю.И., Содин M.Л. Аналоги функций типа синуса для выпуклых областей. // Препринт №17. Харьков: ФТИНТ АН УССР. 1986. С. 42.

34. Любарский Ю.И. Ряды экспонент в пространствах Смирнова и интерполяция целыми функциями специальных классов. // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1988. Т. 52, № 3. С. 559-580.

35. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Том 1. М.: Наука. 1967. 480 с.

36. Мельник Ю.И. О представлении регулярных функций рядами Дирихле в круге. // Матем. сб. 1975. Т. 94, № 4. С. 493-501.

37. Напалков В.В., Башмаков P.A., Юлмухаметов P.C. Асимптотическое поведение интегралов Лапласа и геометрические характеристики выпуклых функций. // Доклады РАН. 2007. Т. 413, № 1. С. 20-22.

38. Напалков В.В.(мл.) Ряды экспонент в пространствах Бергмана. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. паук. Институт математики с ВЦ БНЦ РАН. 1994 г.

39. Никольский Н.К., Павлов B.C., Хрущев C.B. Безусловные базисы из экспонент и воспроизводящих ядер. I. // Препринт ЛОМИ, Р-8-80.

40. Никольский Н.К. Лекции об операторе сдвига. М.: Наука. 1980. 384 с.

41. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир. 1973. 469 с.

42. Путинцева A.A. Базисы Рисса в весовых пространствах. // Уфимский математический журнал. 2011. Т. 3, № 1. С. 47-52.

43. Седлецкий A.M. Аналитические преобразования Фурье и экспоненциальные аппроксимации. I. // Современная математика. Фундаментальные направления. Т. 5. 2003. М.: МАИ.

44. Седлецкий А.М. Аналитические преобразования Фурье и экспоненциальные аппроксимации. II. // Современная математика. Фундаментальные направления. Т. 6. 2003. М.: МАИ.

45. Седлецкий А.М. Классы аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации. М.: Физматлит. 2005. 504 с.

46. Фаворов С.Ю. О слоо/сении индикаторов целых функций и субгармонических функций. // Матем. сб. 1979. Т. 105, № 1. С. 128— 139.

47. Хабибуллин Б.Н. Полнота систем экспонент и множества единственности. (Издание второе дополненное) // Монография-обзор. РИЦ БашГУ. 2008. 182 с.

48. Юлмухаметов P.C. Асимптотическая аппроксимация субгармонических функций. // Сиб. мат. ж. 1985. Т. 26, № 4. С. 159— 175.

49. Юлмухаметов P.C. Асимптотика многомарного интеграла Лапласа. // Сб. Исследования по теории приближений. Институт математики с ВЦ БНЦ УрО АН СССР. 1989. С. 79-85.

50. Юлмухаметов P.C. Аппроксимация субгармонических функций. // Analysis mathematica. 1985 T. 11. С. 257-282.

51. N. Aronszajn Theory of reproducing kernels. // Transactions of the American Mathematical Society. 1950. V. 68, № 3. P. 337-404.

52. A. Beurling, P. Malliavin On Fouirier transform of measures with compact support. // Acta Math. 1962. V. 107. P. 291-309.

53. I. Chizhikov Approximation of subharmonic functions of slow growth.// Math. fiz. analiz, geom. 2002. V. 9, № 3. P. 509-520.

54. J. Hadamard Sur la generalisation de la notion de onction analitique. // C.R. Seances soc. Math. Frace. 1912. V. 40. P. 28-29.

55. P. Kosis Entire functions of exponential type as multipliers for weight functions. // Pacific J. Math. 1981. V. 95. P. 105-123.

56. P. Malliavin, L. Rubel On small entire functions of exponential type with given zeros. // Bull. Soc. Math. France. 1961. V. 89, № 2. P. 175-201.

57. Yu. Lyubarskii, E. Malinnikova On approximation of subharmonicfunctions// J.Anal. Math. 2001. V. 83. P. 121-149.

58. G. Polya Untersuchungen über Lucken und Singularität von Potenzreihen. // Math. Zeits. 1929. B. 29. S. 549-640.

59. A. Pfluger Uber ganze Functionen ganzer Ordnung. // Comm. Math. Helv. 1946. B. 18. S. 177-203.

60. S. Saitoh Fourier Laplace transforms and Bergman spaces on the tube domains. // Мат. вести. 1987. Т. 38, № 4. С. 571-586.