Синтез оптимального управления в теории дифференциальных уравнений с последействием тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Гуменникова, Юлия Валериевна

• Гуменникова, Юлия Валериевна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гуменникова, Юлия Валериевна

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА

1.1. Линейные уравнения нейтрального типа с постоянным отклонением аргумента

1.2. Характеристическая функция

1.3. Функциональное пространство решений уравнения с последействием

1.4. Собственные векторы сопряженных операторов

1.5. Каноническое представление уравнения с последействием произвольного порядка

1.6. Вычисление погрешностей приближенных значений характеристических корней

1.7. Асимптотические оценки характеристической функции

Глава 2. СИНТЕЗ УПРАВЛЕНИЯ В УРАВНЕНИИ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

2.1. Синтез уравнения первого порядка, обладающего заданным спектром

2.2. Задача о перемещении характеристических корней уравнения нейтрального типа произвольного порядка

2.3. Аналитическое конструирование управляющего воздействия

2.4. Случай кратных корней

2.5. Соотношения для коэффициентов управления

Глава 3. СИНТЕЗ УПРАВЛЕНИЯ В УРАВНЕНИИ С

НЕСКОЛЬКИМИ ОТКЛОНЯЮЩИМИСЯ АРГУМЕНТАМИ

3.1. Стабилизация уравнения нейтрального типа с несколькими запаздываниями первого порядка

3.2. Задача синтеза управления для уравнения произвольного порядка

3.3. Стабилизация уравнения произвольного порядка

3.4. Выбор коэффициентов управляющего воздействия

Глава 4. СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ С

ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

4.1. Аналитическое конструирование управляющих воздействий

4.2. Ограниченность коэффициентов управления

4.3. Стабилизация уравнения первого порядка

4.4. Задача стабилизации уравнения с последействием произвольного порядка

4.5. Решение задачи стабилизации

Глава 5. ОПТИМАЛЬНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ С

ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

5.1. Оптимальная стабилизация уравнений с последействием произвольного порядка

5.2. Оптимальная стабилизация в критическом случае

5.3. Распределение характеристических корней уравнения с последствием

5.4. Сходимость оптимального уравнения

5.5. Сходимость коэффициентов оптимального управления

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Синтез оптимального управления в теории дифференциальных уравнений с последействием»

Многочисленные процессы, происходящие в живой природе, экономических системах и технических устройствах, характеризуются тем, что их поведение зависит от предыстории протекания на некотором промежутке времени. Следствием этого является большое число теоретических исследований качественных свойств систем с последействием. Полученные при этом результаты находят широкое применение в автоматическом регулировании, механике, технологии, экономике, медицине и других отраслях. Однако, исследование систем с последействием сопряжено со значительными трудностями, вследствие чего точное аналитическое решение задач оптимального управления удается получить лишь в исключительных случаях. При этом, наряду с обычными для конечномерных задач трудностями, рассмотрение управляемых систем с последействием сопряжено и с рядом специфических, обусловленных тем, что фазовое пространство этих систем, как правило, бесконечномерно. Преодоление таких трудностей привело к разработке различных методов решения задач управления, ориентированных на те или иные классы систем с последействием. В данной работе рассматриваются уравнения нейтрального типа, то есть такие, в которые старшая производная входит при различных значениях аргумента где т - постоянное положительное отклонение аргумента.

Широкий спектр проявления эффекта последействия дает основание считать его универсальным свойством окружающего мира. Описанию и исследованию моделей реальных явлений, учитывающих последействие, посвящены многие исследования, библиография которых содержится, например, в работах [2,51 - 54].

0.1)

Различные вопросы теории дифференциальных уравнений с последействием развиты в работах Л.Э.Эльсгольца и С.Б.Норкина [49], А.Д.Мышкиса [зо], Э.Пинни ¡35], Р.Беллмана и К.Кука [5], Н.Н.Красовского [19-21], С.Н.Шиманова [47,48], Ю.С.Осипова [33,34], А.Б.Куржанского [23], Н.Б.Азбелева [1], В.Б.Колмановского [2,17], Э.Г.Альбрехта [з,4], Е.М.Маркушина [28,29] И Др.

Одной из центральных проблем, возникающих при исследовании систем с последействием, является проблема устойчивости по Ляпунову, то есть свойство решений систем мало изменяется (в том или ином смысле) при малом изменении определяющих это решение характеристик. Ввиду исключительной важности этой проблемы различным вопросам теории устойчивости посвящены многочисленные работы [2,18,19,25,34,48].

Известно [27], что для асимптотической устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы корни характеристической функции уравнения, описывающего эту систему, имели отрицательную действительную часть. Существует множество критериев устойчивости, не требующих знания величин корней, но гарантирующих их расположение в левой полуплоскости комплексной плоскости. Это, например, критерий Понтрягина, аналогичный критериям Гурвица и Раусса [14], графический метод амплитудно-фазовых характеристик, являющейся аналогом критериев Михайлова и Найквиста для систем без запаздывания [14], графический метод Д -разбиений, разработанный Неймарком [31] и Пинни. Однако применение этих методов ограничено малой размерностью уравнений и не указывает общего подхода для решения задачи оптимальной стабилизации систем с последействием.

Некоторые вопросы оптимального управления систем с последействием затронуты в работах [7,11,20,50]. Так, в [11] исследуются вопросы управляемости и наблюдаемости объектов с запаздыванием по координатам, в [20] теория уравнений с запаздывающим аргументом привлекается в связи с решением класса задач о наблюдении, исследуется задача об успокоении систем с запаздыванием; в [50] показана связь между частотными и временными методами исследования, а также между оптимальными задачами, использующими математический аппарат теории оптимальной фильтрации Винера [14] и задачами, в основе решения которых лежат методы вариационного исчисления [8].

В работах Е.М.Маркушина [28,29] задачи стабилизации и оптимальной стабилизации решены для систем запаздывающего типа, описываемых дифференциально-разностными уравнениями первого порядка. Появляющиеся в последнее время многочисленные публикации продолжают развитие этой темы. В частности, С.И.Харьковским [43] разработаны методы исследования, стабилизации и оптимальной стабилизации динамических процессов, описываемых системой уравнений нейтрального типа первого порядка к

5=1,2,3,.,«.

Н.М.Латыповой [25] предложены методы исследования и стабилизации регулируемых систем с последействием, описываемых следующей системой дифференциальных уравнений

Л ^ ы

- —Г ^Г

5 = 1,2,3,.

Ю.Ф.Долгим и С.Г.Николаевым [15] решен вопрос устойчивости периодической системы дифференциальных уравнений с запаздыванием вида т где Я, и Н2 - периодические функции с периодом, кратным т, т>0.

Л.Е.Забелло [1б] сформулированы необходимые условия оптимальности для систем с запаздыванием. Качество управления предлагается описывать функционалом

Г.А.Колокольниковой [22] решена задача импульсного управления в системах запаздывания в случае равенства запаздывания управлений и состояния, в качестве примера рассмотрена задача оптимизации капиталовложений в производство.

Однако, несмотря на большое число публикаций в данной области, все перечисленные выше методы позволяют решать лишь частные задачи применительно к конкретным системам, описываемым уравнениями с последействием не выше второго порядка. Реальные же динамические системы описываются, как правило, уравнениями высших порядков [Зб].

В данной работе предлагаются методы исследования, стабилизации и оптимальной стабилизации решений уравнений с запаздыванием нейтрального типа произвольного порядка п

Рассматриваемый способ исследования систем с последействием приводит к замене уравнения (0.2) счетной системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

1(и) = <р0 ■.

0.2)

0.3)

При этом решение + 3), 9 е [- г,о], исходного уравнения ищется в виде ряда где ит(() - канонические переменные, ,ут(>9) - собственные решения уравнения (0.2) при отсутствии управляющего воздействия Переход от уравнения (0.2) к спектральной системе (0.3) допустим, если ряд в правой части (0.4) сходится.

Содержащиеся в диссертации исследования развивают методы решения рассматриваемых задач стабилизации и оптимальной стабилизации систем с последействием, описываемых уравнениями нейтрального типа.

На защиту выносятся:

1. Способ исследования уравнения нейтрального типа п-то порядка, состоящий в замене уравнения с последействием эквивалентной счетной системой обыкновенных дифференциальных уравнений;

2. Решение задачи перемещения корней характеристической функции уравнения с последействием произвольного порядка в любые, наперед заданные точки комплексной плоскости;

3. Метод синтеза системы с последействием нейтрального типа, обладающей заданным спектром;

4. Решение задачи оптимальной стабилизации систем с последействием нейтрального типа.

Материал диссертации разбивается на пять глав.

В первой главе изложена процедура замены уравнения с последействием эквивалентной ему счетной системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка специального вида.

Вторая глава посвящена задаче перемещения характеристических корней уравнения с последействием в любую, наперед заданную точку комплексной плоскости и вытекающей из этого задаче синтеза систем с последействием,

00

0.4) обладающих заданным спектром. Установлены соотношения, позволяющие последовательно перенести все характеристические корни в левую полуплоскость комплексной плоскости. Тем самым указана процедура стабилизации уравнений с последействием.

В третьей главе аналогичная задача стабилизации решается для уравнений с несколькими отклонениями аргумента. Рассмотрены примеры построения управляющих воздействий, позволяющих синтезировать системы с заданным спектром.

Четвертая глава описывает способ аналитического построения управляющих воздействий, позволяющих стабилизировать динамическую систему с помощью предложенного в первой главе перехода от уравнений с отклоняющимся аргументом к счетной канонической системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

В пятой главе рассмотрена задача построения управления, обеспечивающего оптимальную стабилизацию динамической системы с последействием. Указано управляющее воздействие £(/), при котором решения уравнения (0.2) асимптотически устойчивы, а интеграл принимает наименьшее значение, для чего используется развитый в первой главе метод. Решение задачи аналитического конструирования управляющего воздействия построено в виде ряда

00

0.5) т=1

Доказана сходимость ряда (0.5) и его коэффициентов рт.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гуменникова, Юлия Валериевна, 2000 год

1. Азбелев Н.В. О нулях решений линейного дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. -ДУ, 1971, т.7, №7, c.l 1171157.

2. Андреева Е.А., Колмановский В.Б., Шайхет JI.E. Управление системами с последействием. -М.: Наука, 1992.

3. Альбрехт Э.Г. Об оптимальной стабилизации нелинейных систем. ППМ, 1961, т.25, №5, с. 836-844.

4. Альбрехт Э.Г., Шелементьев Г.С. Лекции по теории стабилизации. -Свердловск: Свердловский университет, 1972.

5. Беллман Р., Кук.К. Дифференциально-разностные уравнения. М: Мир, 1967.

6. Владимиров B.C. Уравнение математической физики М.: Наука, 1988.

7. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. -М.: Наука, 1971.

8. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей М.: Физматгиз, 1961.

9. Гуменникова Ю.В., Харьковский С.И. Оптимизация спектральных свойств линейных систем с последействием Математическое моделирование и краевые задачи. - Самара: Самарский государственный технический университет, 1999, с.33-35.

10. Гуменникова Ю.В., Харьковский С.И. Об одной задаче теории управляемых систем с последействием. Сборник научных трудов студентов, аспирантов и молодых ученых. Самара, 1999. с.29-31.

11. Гуменникова Ю.В., Харьковский С.И. Синтез управления системы с последействием. -Повышение эффективности работы железнодорожного транспорта. Сборник научных трудов- Самара: Самарский институт инженеров железнодорожного транспорта, 2000, с.25-30.

12. Турецкий X. Анализ и синтез систем управления с последействием. М.: Машиностроение, 1974.

13. Долгий Ю.Ф., Николаев С.Г. Об устойчивости периодической системы дифференциальных уравнений с запаздыванием. ДУ, 1999, т.35, №10, с.1330-1336.

14. Забелло JI.E. Необходимое условие оптимальности типа равенства для систем с запаздываниями. ДУ, 1999, т.35, №10, с.1429.

15. Колмановский В.Б. Об устойчивости некоторых систем с последействием. -Автоматика и телемеханика, 1993, №11, с.45-49.

16. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.

17. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. -М.: Физматгиз, 1959.

18. Красовский H.H. Теория управления движением. -М.: Наука, 1968.

19. Красовский H.H., Осипов Ю.С. О стабилизации движения управляемого объекта с запаздыванием в системе регулирования. -Техническая кибернетика, 1963, №6, с. 3 -15.

20. Колокольникова Г.А. Необходимые условия оптимальности для задачи импульсного управления в системах с запаздыванием. Автоматика и телемеханика, 1999, №10, с.65-76.

21. Куржанский А.Б. К аппроксимации линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием. Д.У., 1967, т. 13, №12, с.2094-2108.

22. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. -М.: Наука, 1987.

23. Латыпова Н.М. Стабилизация систем с последействием нейтрального типа. Диссертация кандидата физ.-мат. наук. - Самара, 1999.

24. Летов A.M., Красовский H.H. К теории оптимального конструирования регуляторов. Автоматика и телемеханика, 1962, т.23, №6, с.713-720.

25. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.

26. Маркушин Е.М. Оптимальные системы автоматического регулирования с запаздыванием по времени. Саратов: Издательство Саратовского университета, 1971.

27. Маркушин Е.М. Основы спектральной теории переходных процессов систем с последействием. Диссертация доктора физ.-мат. наук. -Куйбышев, 1987.

28. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздыванием аргументов. -М. .Наука, 1972.

29. Неймарк Ю.И. Структура Д разбиения пространства квазиполинома и диаграммы Вышнеградского и Найквиста. -М.: ДАН. 60,1948, с1553-1560.

30. Носов В.Р. Об одной задаче, возникающей в теории оптимального регулирования с последействием. ПММ, 1966, т.30, №2, с.399-403.

31. Осипов Ю.С. О стабилизации управляемых систем с запаздыванием. ДУ, 1965, т.1, №5, с.605-618.

32. Осипов Ю.С. О стабилизации систем с запаздыванием. УМН, 1966, т.21, №1, с.193-198.

33. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. М.: ИЛ, 1961.

34. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического управления и регулирования. -М.: Наука, 1978.

35. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды.: Наука, 1981.

36. Резван В. Абсолютная устойчивость автоматических систем с запаздыванием. -М.: Наука, 1983.

37. Смирнов В.И. Курс высшей математики.-М.: ГИТТЛ, 1957.

38. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функции комплексного переменного. М.: Наука, 1989.

39. Тимчмарш Е. Теория функций. М.: ГИТТЛ, 1951.

40. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчесления. -М.: Наука, 1969, т. 1-3.

41. Харьковский С.И. Оптимизация движений систем с последействием нейтрального типа. -Диссертация кандидата физ.-мат. наук,- Самара, 1995.

42. Цыпкин А.З. Устойчивость систем с запаздывающей обратной связью. -Автоматика и телемеханика, 1946,т.7,№ 2-3, с. 107-128.

43. Черноусько Ф.Л. Синтез управления нелинейной динамической системой. -ПММ, 1992, т.56, №2, с. 179-191.

44. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях. -М.: Наука, 1978.

45. ПГиманов С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с последействием. ДУ, 1965, т.1, с. 102-116.

46. Шиманов С.Н. Об устойчивости дифференциально-разностных уравнений . Устойчивость и нелинейные колебания. -Свердловск: Уральский государственный университет, 1991, с.95-98.

47. Эльсгольц Л.Э., Норкин СБ. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. -М.: Наука, 1971.81

48. Янушевский Р.Т. Управление объектами с запаздыванием. М.: Наука, 1978.

49. Hartzman S.С. The delay due to dynamic two-phase locking //IEEE Transaction on Software engineering. -1989. -V.15,1.

50. Kolmanovskii V.B., Nosov V.R. Stability of functional differential equations. -New York -London.: Academic Press, 1968.

51. Wang Xue-Ping. Phase-Space description of time-delay in scattering theory //Commun. In partial differential equation. -1988. V. 13, N 2.

52. Wong K.N., Clement D., Teo K.L. Optimal control competition for limears tame-lag systems wish linear terminal constraints // J. Optim. Theory and Appl. 1984,- V. 44.