Конструктивные методы исследования устойчивости систем с последействием тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, доктор физико-математических наук Блистанова, Лидия Дмитриевна

• Блистанова, Лидия Дмитриевна
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Блистанова, Лидия Дмитриевна

Введение.

Глава 1. Способы представления допустимых управлений и решение краевых задач для систем с последействием.

1.1. Введение.

1.2. Критерии линейной независимости скалярных и векторных функций.

1. 3. Некоторые способы представления допустимых управлений.

1.4. Аналитические методы построения решений краевых задач.

1.5. Итерационные методы построения решений краевых задач.

Глава 2. Построение программных управлений в системах с последействием, удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям.

2.1. Введение.

2.2. Построение программных управлений для линейных систем.

2.3. Построение программных управлений в квазилинейных системах с последействием.

2. 4. Построение программных управлений в динамических системах, удовлетворяющих неудерживающим связям.

2.5 Непрерывная стабилизация программных управлений в системах с последействием.

Глава 3. Исследование устойчивости в системах с последействием по первому нелинейному приближению.

3.1. Введение.

3.2. Устойчивость систем с последействием на конечном интервале времени.

3.3. Исследование устойчивости квазилинейных уравнений с последействием' по первому нелинейному приближению.

3.4. Исследование устойчивости уравнений с последействием с нелинейной

частью порядка выше первого.

Глава 4. Вычислительные методы и рекуррентные алгоритмы исследования устойчивости динамических систем по первому приближению.

4.1. Введение.

4.2. Выделение кратных и кососимметричных корней многочлена с помощью алгоритма Евклида.

4.3. Определение числа вещественных корней многочлена и их локализация с помощью алгоритма Штурма.

4.4. Определение числа корней многочлена лежащих в левой и правой полуплоскости с помощью метода понижения порядка.

4.5. Методы исследования многочленов, имеющих только кососимметричные корни.

Глава 5. Методы решения задач робастной устойчивости и оценки границ области экспоненциальной устойчивости в системах с последействием.

5.1. Введение.

5.2. Решение задач робастной устойчивости методом допустимых линейных преобразований коэффициентов.

5.3. Необходимые и достаточные условия существования выпуклой области устойчивости в пространстве коэффициентов характеристического многочлена.

5.4. О существовании выпуклых областей устойчивости в пространстве коэффициентов системы первого приближения.

5.5. Модифицированный вычислительный метод Зубова определения местоположения корней характеристического уравнения системы первого приближения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Конструктивные методы исследования устойчивости систем с последействием»

Одной из главных проблем современного этапа развития науки, техники и технологии являются фундаментальные исследования в области моделирования, управления, качественного и количественного анализа динамики сложных систем. Необходимо разрабатывать новые качественные и количественные методы исследования поведения решений динамических систем, построения программных управлений, поиск условий устойчивого, надежного и безопасного функционирования сложных динамических систем, имеющих различные особенности. В настоящее время создание новых технологий, сложных информационных и технических систем не может обойтись без развития фундаментальной науки в различных отраслях знаний.

Анализ направлений развития науки, существующие научные публикации и тематика международных научных форумов, убедительно говорят о том, что приоритетными задачами, стоящими перед человечеством в XXI веке будут, например, следующие:

- создание новых космических технологий и ракетно-космических систем;

- создание нетрадиционных энергетических технологий, в т.ч. переработки газа и нефти;

- создание общемировой динамической системы связи с использованием спутниковых и лазерных систем;

- глобальное решение транспортной проблемы;

- создание новых биотехнологий для решения продовольственной проблемы;

- создание многофункциональных гибких автоматизированных систем.

Решение указанных проблем не может быть осуществлено без серьезной научной проработки и создания математических моделей и методов исследования динамики функционирования сложных систем с учетом надежности и безопасности, исследования взаимных соотношений между отказоустойчивостью и эффективностью и т.д., с различного рода особенностями и условиями.

Сделаем небольшой исторический экскурс к постановке и развитию тематики, рассмотренной автором в диссертационном исследовании.

Первые серьезные математические результаты, полученные при исследовании функционирования динамических систем, видимо, следует отнести к И. Ньютону. Им впервые были четко сформулированы и поставлены перед математикой прямая и обратная задачи: требуется определить движение, если известны силы, его вызывающие, и наоборот, требуется определить силы, если известно движение, ими порожденное. Последнюю задачу в широком плане можно считать задачей поиска управления порождающего искомое движение. С решением второй задачи, как известно, И. Ньютон успешно справился, используя наблюдения Т. Браге с поправками на рефракцию И.

Кеплера, а, также опираясь на гипотезу центральной силы, предложенную X. Гюйгенсом, т.е. получил закон всемирного тяготения. Он также сумел решить ряд дифференциальных уравнений описывающих прямолинейное движение материальной точки под действием различных сил. И. Ньютон сумел путем синтетике - геометрических построений описать динамику движения твердого тела, находящегося в центральном поле сил. Однако у И. Ньютона отсутствовала запись дифференциальных уравнений и их интегралов в аналитической форме, а его метод последовательных приближений давал решение рассматриваемых задач в виде степенного ряда.

Вторым крупным результатом, послужившим большим толчком к созданию математических методов исследования динамических систем следует считать разработку метода квадратур для решения дифференциальных уравнений Лейбницем и его последователями - братьями Бернулли. Им впервые был предложен термин "дифференциальные уравнения", методы подстановки и интегрирующего множителя для решения некоторых классов дифференциальных уравнений.

В дальнейшей разработке теории дифференциальных уравнений особенно велик вклад Л. Эйлера давшего полное решение линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами и развившего метод интегрирующего множителя. Также большой вклад в развитие методов решения дифференциальных уравнений внесли его современники: А. Клеро, Ж. Даламбер, Ж.Л. Лагранж, Б. Тейлор.

Переломным моментом в исследовании нелинейных динамических систем явилась теорема существования и единственности доказанная О. Ко-ши методом ломаных Эйлера и предложенный им метод последовательных приближений. Здесь также необходимо отметить работы Штурма и Лиувиля, положившие начало исследованиям по теории краевых задач.

Существенным шагом вперед при исследовании динамических систем являлась разработка качественной теории дифференциальных уравнений, одновременно созданной А. Пуанкаре и A.M. Ляпуновым. Методы, созданные в рамках этой теории, позволяли по свойствам правых частей дифференциальных уравнений судить о поведении решений этих уравнений и их особенностях. Существенные результаты в данной области были получены также Дж. Биркгофом.

Дальнейшее создание методов исследования поведения решений динамических систем проводилось в рамках теории колебаний, сильно развитой такими учеными, как А.Н. Крылов, A.A. Андронов, A.A. Марков, Н.П. Еругин, В.И. Зубов, Ю.А. Митропольский и др.

Бурное развитие техники в середине XX века, а особенно систем автоматического управления, породило целый класс новых задач в рамках теории динамических систем: построение решений динамических систем, удовлетворяющих различным краевым условиям, исследование устойчивости решений динамических систем с последействием; построение программных управлений и движений, удовлетворяющих краевым и начальным условиям; синтез этих управлений; решение проблем стабилизации программного движения в случае прямого и непрямого регулирования.

Основоположниками в решении этих задач выступили H.H. Красовский, А.Н. Тихонов, JI.C. Понтрягин, К.П. Персидский, В.В. Степанов, H.H. Боголюбов, Н.Г. Четаев, В.В. Немыцкий, Н.М. Крылов, Б.С. Разумихин, А.Д. Мышкис, Л.Э. Эльсгольц, С.Н.Шиманов, В.И. Зубов, М.Г. Крейн, A.A. Воронов, Б.Г. Болтянский и многие другие отечественные и зарубежные ученые.

В настоящее время, в промышленно развитых странах, развитие современных средств производства и транспорта, в первую очередь, характеризуется созданием всё более сложных технических систем и технологических процессов. При эксплуатации этих технических систем и технологических процессов, в связи с увеличением числа составляющих их элементов и усложнением взаимосвязей между ними, естественным образом, на практике, увеличивается интенсивность отказов, что приводит к увеличению числа крупных технических и техногенных катастроф. В последнее время это практически подтверждается увеличением числа различных аварий и катастроф в развитых странах (отказы на АЭС, массовое отключение электричества, аварии на транспорте и т.д.). В связи с этим возникает задача обеспечения безопасности динамики функционирования технических систем и технологических процессов зависящих от многих параметров и характеризуемых нелинейными связями.

Если обратиться к опыту истории развития систем управления паровыми машинами, то можно привести парадоксальный факт, заключающийся в том, что регуляторы Уатта для паровых машин перестали устойчиво работать при повышении точности обработки составляющих их деталей. Выдающийся английский физик Максвелл поставил задачу объяснения этого феномена и даже в 1868 г. выпустил книгу о регуляторах. Однако только спустя 20 лет русский инженер путей сообщения Вышнеградский сумел решить эту проблему с помощью фундаментальных исследований в этой области. Он построил точную математическую модель всех регуляторов подобного вида и создал новые математические методы их исследования. Таким образом, он нашел те параметры конструкции регулятора, которые существенным образом влияют на устойчивость его работы. Более того, Вышнеградскому удалось найти допустимые границы изменения этих параметров, в рамках которых, работа регулятора будет носить устойчивый характер. Эти фундаментальные исследования легли в основу нового направления в теории устойчивости, а именно - робастной устойчивости.

В связи с вышесказанным, одной из важнейших проблем современного производства, является развитие фундаментальных научных исследований в области обеспечения динамической безопасности функционирования сложных технических систем и технологических процессов. В первую очередь, это касается использования, в качестве объекта исследования, адекватных динамических моделей и создания математических методов исследования их динамической безопасности.

Большинство математических моделей, используемых при описании сложных технических систем и технологических процессов и претендующих на некоторую целостность, представляют собой динамические системы, которые описываются системами обыкновенных дифференциальных уравнений с последействием, то есть системами имеющими предысторию, и, учитывающими как задержки в каналах измерительных и управляющих органов, так и процессы старения, инерции и деградации. Если проводить исследование упрощенных математических моделей, не учитывая влияние существующего в них последействия, то можно прийти к неверным техническим и технологическим решениям, которые будут, не только экономически невыгодны, но и будут увеличивать вероятность аварий и катастроф.

В связи с этим перед фундаментальной наукой встает задача создания и разработки методов исследования динамической безопасности объектов, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений с последействием.

Динамическая безопасность рассматриваемой системы обычно включает такие её свойства как:

• существование для этой системы программных управлений и движений, отвечающих заданному уровню безопасности;

• устойчивость этих движений в фазовом пространстве;

• существование стабилизирующих управлений и систем стабилизации;

• устойчивое поведение системы в пространстве её параметров, т.е. её робастная устойчивость.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время развитие методов системного анализа динамики управляемых систем с последействием обусловлено как широким кругом прикладных задач, среди которых основными являются задачи управления сложными техническими объектами и технологическими процессами, так и бурным развитием компьютерной техники. Появляющиеся все новые возможности использования компьютеров, развитие их аппаратной части и программного обеспечения, систем сбора данных на базе микропроцессорных систем в задачах управления позволяют математикам пересматривать существующие и создавать новые, имеющие большую практическую направленность аналитические, качественные и численные методы исследования систем с последействием. Эти методы, позволяют осуществлять более точное прогнозирование функционирования этих систем и определять границы динамической безопасности этого функционирования на всех этапах жизненного цикла (от этапа проектирования - до этапа эксплуатации).

Необходимым математическим аппаратом описания процессов динамики и управления системами являются системы обыкновенных дифференциальных уравнений, в частности с последействием. Поэтому задачи современной компьютеризованной автоматики, т.е. задачи создания новых эффективных систем управления различными технологическими комплексами и техническими объектами, обусловливают развитие методов исследования линейных и нелинейных систем дифференциальных уравнений с последействием, описывающих динамику функционирования управляемых систем.

Работа посвящена развитию математического аппарата, позволяющего осуществлять общий и прикладной системный анализ устойчивости систем управления с последействием, включающий новые аналитические методы и численные алгоритмы решения задач исследования устойчивости по первому нелинейному приближению и задач робастной устойчивости для этих систем. Качественные аналитические методы исследования систем дифференциальных уравнений с последействием были развиты в трудах зарубежных и российских математиков, таких как В.Вольтерра, H.H. Красовский, Б.С. Разу-михин, Л.Э. Эльсгольц, А.Д. Мышкис, В.И. Зубов, А.А Шестаков, Ю.Н. Ме-ренков, Н.В. Азбелев, С.Н. Шиманов, Р. Беллман, Т. Иошидзава, В. Хан, Ж.П. Ла-Салль, Дж. Хейл, Д. Като, Р. Драйвер, Т. Бартон и многих других, а также научных школ, созданных ими.

Решение задач робастной устойчивости вначале было направлено на определение границ устойчивости в пространстве параметров рассматриваемой системы (И.А. Вышнеградский) и на получение оценок области асимптотической устойчивости расчетного режима. В дальнейшем в этом направлении были разработаны методы исследования робастной устойчивости при неопределенных передаточных функциях и вероятностный подход, а также методы исследования робастной стабилизации и управления.

Разработке и созданию методов исследования различных задач робастной устойчивости в последнее время посвящено достаточно много научных работ, принадлежащих как отечественным, так и зарубежным ученым, таким как И.А. Вышнеградский, Я.З. Цыпкин, Б.Т. Поляк, В.Л. Харитонов, П.С. Щербаков, Н.П. Петров, A.C. Немировский, М.Г. Сафонов, Б.Р. Бармиш, Дж. Аккерман, В Блондел, Дж. Коган, Р. Темпо, Д.Д. Сильжак и многим другим.

Целью диссертационного исследования является решение проблемы разработки и развития аналитических, качественных и вычислительных методов общего и прикладного системного анализа динамики управляемых систем с последействием для обеспечения динамической безопасности этих систем и более точного прогнозирования их функционирования.

Областью исследования являются теоретические основы, прикладные методы и постановки задач системного анализа динамики управляемых систем, описываемыми нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений с последействием.

Методы исследований. В работе, на основе классических результатов и методов качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости, функционального анализа, математического программирования, линейной и высшей алгебры детально разработан метод системного анализа исследования динамики функционирования управляемых и неуправляемых квазилинейных систем с последействием, опирающийся на исследовании этих систем по первому линейному и нелинейному приближению. Таким образом, суть этого метода заключается в анализе влияния динамических свойств системы первого приближения на качественный характер поведения всей системы в целом.

Достоверность и обоснованность полученных результатов основана на корректности постановок задач, строгом использовании методов функционального и выпуклого анализа, алгебры, теории устойчивости и качественной теории дифференциальных уравнений. Все полученные результаты имеют строгие доказательства.

Научная новизна. В диссертации впервые детально разработан метод системного анализа динамики управляемых систем, описываемых нелинейными системами дифференциальных уравнений с последействием, опирающийся на исследование существования решений этих систем и исследование их устойчивости по первому нелинейному приближению. Исследование устойчивости этих решений включает наряду с уже известными и новые, модифицированные критерии робастной устойчивости систем первого приближения, как в пространстве коэффициентов характеристических многочленов, так и в пространстве параметров самой системы, позволяющие уточнить границы динамической безопасности для исходных нелинейных систем. Этот подход является существенным вкладом в развитие фундаментальных и прикладных методов системного анализа динамики управляемых систем, т.к. на практике позволяет установить границы допустимых отклонений параметров исследуемой системы от расчетных, при которых динамика системы будет носить устойчивый характер.

Практическая полезность. Результаты диссертации применены в задачах: системного анализа управляемых космических систем, описываемых дифференциальными уравнениями, в том числе и с последействием; синтеза законов управления и построения эффективных численных алгоритмов теории управления. На основе результатов диссертации созданы как эффективные алгоритмы исследования устойчивости систем первого приближения, так и конструктивные критерии изучения границ этой устойчивости в пространстве параметров исследуемых систем. Полученные автором новые прикладные методы системного анализа позволяют решить проблему динамической безопасности изучаемого объекта, т.е. определить допустимые границы изменения параметров самой системы так, чтобы сохранялась устойчивость изучаемой системы. При этом возникает возможность строить более эффективные системы управления, так как разработанные методы позволяют рассматривать сразу целое семейство математических моделей динамики функционирования управляемых систем, определяемое множеством их допустимых параметров. Это дает возможность значительно снизить затраты материальных ресурсов, денежных средств и времени на отработку вновь создаваемых, актуальных систем. Кроме этого, отдельные теоретические результаты, полученные в диссертации, являются существенным вкладом в общую теорию таких направлений в науке как нелинейная динамика и моделирование электромеханических систем. Результаты работы использованы при разработке новых курсов учебного процесса при чтении таких дисциплин как дифференциальные уравнения, теория управления и методы численного анализа.

Реализация результатов. Результаты диссертации использованы в НПО им. Лавочкина при разработке систем управления и стабилизации космических аппаратов нового поколения, а также в научно - исследовательских работах, проводящихся в Российском государственном открытом техническом университете путей сообщения. По результатам диссертации планируется издание нескольких учебных пособий и научно - методических работ, одно из которых уже вышло из печати.

Личный вклад автора в проведенные исследования. В диссертацию включены только те результаты, которые получены лично автором. Все результаты других авторов, упомянутые в диссертации, носят справочный характер и имеют соответствующие ссылки. В работах, совместно опубликованных с научным консультантом A.A. Шестаковым, ему принадлежат постановки задач исследования. Другим соавторам работ принадлежит рассмотрение ряда технических вопросов.

Апробация работы. По основным результатам работы автором были сделаны доклады на 11 международных и всероссийских научных конференциях, проходивших в Москве, Санкт-Петербурге, Саранске, Смоленске, Самаре, Тамбове, Бресте, Минске. Результаты диссертации обсуждались также на научных семинарах ИПК РАН под руководством акад. В.А. Мельникова, ВЦ РАН под руководством проф. H.A. Северцева, РГОТУПС под руководством проф. A.A. Шестакова.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 28 научных работ, включая 2 монографии.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Главы состоят из разделов. В каждом главе используется своя автономная нумерация формул и теорем. Объем диссертации - 251 страница. Список литературы содержит 167 наименования.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Блистанова, Лидия Дмитриевна

Основные результаты диссертационной работы.

Результаты, полученные в данной работе, носят системный характер, т.к. с одной стороны они направлены на изучение условий существования и методов построения решений в управляемых и неуправляемых системах с последействием, удовлетворяющих краевым условиям неудерживающего типа, а с другой на исследование устойчивости этих решений. С этой точки зрения все представленные в работе результаты можно условно разделить на две группы.

1. Результаты, касающиеся вопросов существования и методов построения решений в управляемых и неуправляемых квазилинейных системах с последействием:

- предложен ряд представлений для систем прямого регулирования осуществляющих непрерывную стабилизацию исходной динамической системы, так, что стабилизирующие управления, заданные на бесконечном интервале времени, представлены в виде разложения по произвольной системе базовых функций и доказан ряд свойств этого разложения;

- получены условия существования и предложены методы построения решений в линейных и квазилинейных системах с последействием, удовлетворяющих краевым условиям неудерживающего типа;

- проведен анализ существующих методов построения программных управлений и движений в квазилинейных системах с последействием и на его основе получены критерии существования и предложены методы построения этих управлений и движений в системах, где на управления также наложены ограничения типа двусторонних неравенств;

- для линейных и квазилинейных управляемых систем с последействием получены условия, при выполнении которых предложенная система прямого регулирования осуществляет непрерывную стабилизацию исходной системы, т.е. стабилизирующие управления найдены в явном виде.

2. Результаты, касающиеся исследования устойчивости полученных решений в квазилинейных системах с последействием:

- получены критерии экспоненциальной устойчивости тривиальных решений в квазилинейных системах с последействием по первому линейному и нелинейному приближению;

- разработаны рекуррентные методы исследования устойчивости стационарных систем первого приближения, позволяющие полностью решить проблему отделения корней характеристического многочлена;

- предложены допустимые линейные преобразования коэффициентов характеристических многочленов, сохраняющие их устойчивость и позволяющие исследовать устойчивые выпуклые множества таких коэффициентов; для системы первого приближения получены аналитические критерии существования и методы построения устойчивых выпуклых множеств, как в пространстве коэффициентов характеристических многочленов, так и в пространстве параметров самой системы.

Заключение.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Блистанова, Лидия Дмитриевна, 2004 год

1. Азбелев H. В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально - дифференциальных уравнений. Методы и приложения - М.: Институт компьютерных исследований, 2002 .- 384 с.

2. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. М.: Изд-во АН СССР, 1963.

3. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. — М.: Наука, 1976.

4. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления. СПб.: Наука, 1999.

5. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. — М.: Высш.шк, 1998.

6. А.Т. Барабанов Полное решение проблемы Рауса в теории регулирования, Доклады АН СССР. 1988, Т. 301, №5, С. 1061-1065

7. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. — 223 с.

8. Барбашин Е.А., Красовский H.H. Об устойчивости движения в целом. ДАН СССР, Т.86 N 3, С. 453 456.

9. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.

10. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально разностные уравнения. - М.: Мир, 1967.

11. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М: Наука, 1969.

12. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1966.

13. Блистанова Л.Д. К вопросу построения управления в многозвенных аппаратах легкой и текстильной промышленности. //Методы и средства автоматизации контроля и регулирования в текстильной и легкой промышленности. Л.: ЛИТЛП 1991. стр. 17-75.

14. Блистанова Л. Д. Устойчивость компактного множества в функционально дифференциальном уравнении. //Проблемы математического обеспечения совершенствования технических средств железнодорожного транспорта. - М. ВЗИИТ 1992. стр. 64 - 69.

15. Блистанова Л.Д. Об ограниченности решений функционально-дифференциальных уравнений на базе функций Ляпунова-Разумихина. //Динамика систем и управление. Мордовский университет. Саранск. 1993. стр. 8-12.

16. Блистанова Л.Д. Предельные множества динамических систем. В сб. «Оптимальное функционирование, сохранение устойчивости и надежность систем железнодорожного транспорта». Межвуз. сб. научных трудов — М.: РГОТУПС 1997.

17. Блистанова Л.Д. Об некоторых свойствах решений функционально — дифференциальных уравнений. В сб. «Современные проблемы совершенствования работы железнодорожного транспорта». Межвуз. сб. научных трудов ч.2 М.: РГОТУПС 1998.

18. Блистанова Л.Д. К вопросу об ограниченности функционально дифференциального уравнения на базе функций Ляпунова-Разумихина. В сб. «Математическое моделирование сложных систем». - Санкт-Петербург: С-ПбГУ 1999.

19. Блистанова Л.Д. и др. Конструктивные методы теории устойчивости и их применение к задачам численного анализа. СПб.: Изд-во НИИ ХИМИИ СПбГУ, 2002.-119 с.

20. Блистанова Л.Д. и др. Критерий робастной устойчивости для стационарных систем большого порядка. //Труды средневолжского математического общества. ТЗ-4, №1, -Саранск. 2002. стр.250-251.

21. Блистанова Л.Д. и др. Аналитические методы и рекуррентные процедуры при исследовании устойчивости стационарных систем. Еругинскиечтения 8. Тезисы докладов международной математической конференции. -Брест 2002. стр. 16-17.

22. Блистанова Л.Д. и др. Рекуррентные алгоритмы исследования устойчивости линейных стационарных систем. Ninth international workshop: Beam Dynamics and optimization. Saint-Petersburg, 2002. p. 55-65.

23. Блистанова Л.Д. и др. Устойчивость по первому нелинейному приближению в системах с последействием. М.: РГОТУПС, Наука и техника транспорта №2, 2002. стр. 18-20.

24. Блистанова Л.Д. и др. Критерий экспоненциальной устойчивости для одной нелинейной системы с последействием. Тез.док. Межд.мат.конф.посв. 100-летию А.Н. Колмогорова Вестник тамбовского университета. Т.8 вып.З 2003. стр. 346.

25. Блистанова Л.Д., Зубов H.B. Полное решение проблемы отделения комплексных и мнимых корней у характеристического многочлена. Сб.тр. 34 научн. конф. проц. управл. и устойч. СПбГУ, СПб.:, 2004. С. 18-20

26. Блистанова Л.Д. Конструктивные методы исследования устойчивости систем с последействием. М.: РГОТУПС, 2004, 203 с.

27. Блистанова Л.Д., Зубов Н.В. Мухин A.B. Критерии устойчивости для нелинейного приближения в системах с последействием. Сб. Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. Вып. 6. М.: ВЦ РАН 2004, с 15-20.

28. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. — М.: Наука, 1973.

29. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2002. - 824 с.

30. Воронов A.A. Устойчивость управляемость, наблюдаемость. — М.: Наука, 1979.

31. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966.

32. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. — М.: Мир, 1999.

33. Гребеников Е.А., Митропольский Ю.А. Метод усреднения в исследованиях резонансных систем дифференциальных уравнений М.: Наука, 1992, 214 с.

34. Гребеников Е.А., Митропольский Ю.А., Рябов Ю.А. Введение в резонансную аналитическую динамику. М.: Янус-К, 1999, 301 с.

35. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Высшая школа, 1967.-472 с.

36. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем. М.: Наука, 1979.-296 с.

37. Емельянов C.B., Коровин С.К. Новые типы обратной связи. — М.: Наука, 1997.

38. Еругин Н.П. О некоторых вопросах устойчивости движения и качественной теории дифференциальных уравнений в целом. ПММ, Т. 14, N 5, 1950, С. 459-512.

39. А.П. Жабко, A.B. Прасолов, В.Л. Харитонов Сборник задач и упражнений по теории управления: стабилизация программных движений. — М. Высшая школа, 2003, 286 с.

40. Зверкин A.M. Зависимость устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом от выбора начального момента. Вестник МГУ, сер. математики, механики, астрономии, физики, химии, N5, 1959, С. 15-20.

41. Зубов В.И. Методы Ляпунова и их применение. Л.: ЛГУ, 1957 .

42. Зубов В.И. Аналитическая динамика гироскопических систем. Л.: Судостроение, 1970.-255 с.

43. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М. Наука , 1975.

44. Зубов В.И. Периодические динамические системы. Саранск 1983 , Издательство Мордовского Госуниверситета.

45. Зубов В.И. Колебания и волны. JL: Изд-во ЛГУ, 1989. - 415 с.

46. Зубов Н.В., Зубов C.B. Лекции по теории стабилизации динамических систем. Учебн. пособ. СПб. Изд. Мобильность плюс, 1996, 278 с.

47. Зубов C.B., Зубов Н.В. Математические методы стабилизации динамических систем. СПб.: Изд. СПбГУ, 1996.-288 с.

48. Зубов Н.В. Разработка методов анализа и синтеза динамических систем, удовлетворяющих неудерживающим связям. // Автоматика и телемеханика, -№ 3, 2000, с. 38—45.

49. Зубов A.B., Зубов Н.В., Мухин A.B. Релейно импульсное управление и стабилизация динамических систем. - СПб.: Изд-во НИИ ХИМИИ СПбГУ, 2002. - 174 с.

50. Зубов И.В. Методы анализа динамики управляемых систем. — М.: Физ-матлит, 2003, 223 с.

51. Ильичев A.B., Северцев H.A. Эффективность сложных систем. Динамические модели. — М.: Наука, 1989, 311 с.

52. Иошидзава Т. Функции Ляпунова и ограниченность решений. В сб. переводов, сер. Математика, М.: Мир, вып.9, N 5, 1965, стр.65-127.

53. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. -М.: Мир, 1971.

54. Карманов В.Г., Федоров В.В. под ред. Третьякова A.A. Моделирование в исследовании операций. -М.: Твема, 1996, 102 с.

55. Катулев А.Н., Тухватулин В.В. Формирование управлений движением пеленгаторов угломерной системы. Радиотехника N 10. М.: Радио и связь, 1989.

56. Краснов М.Л., Кисилев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1971.-255 с.

57. Краснощеков П.С., Петров A.A. Принципы построения моделей. М.: МГУ, 1983,-98 с.

58. Красовский H.H. Об асимптотической устойчивости систем с последействием. ПММ, Т.20, N 4, 1956, стр.513-518.

59. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движениями Физ.мат., 1959.-21 с.

60. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.

61. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

62. А.Г. Курош Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1971. - 431 с.

63. Ла-Саль Ж., Лефшец Исследоване устойчивости прямым методом Ляпунова. -М.: ИЛ, 1964.

64. Линейные неравенства. — М.: Изд. ИЛ., 1959, 469 с.

65. Лобачевский Н.И. Полное собрание сочинений. IV. М. -Л.: Гостехиз-дат, 1948.

66. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Т.2, М.Л.: Изд-во АН СССР, 1956.

67. Максвелл Д.К., Вышнеградский И.А., Стодола А. Теория автоматического регулирования. М.: АН СССР, 1949.

68. Меренков Ю.Н. Критерий Ура для функционально-дифференциальных уравнений. //Проблемы совершенствования перевозочного процесса на ж.-д. транспорте. М. 1986 Вып.134 стр.98-103.

69. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения.-М.: Наука, 1976.-319 с.

70. В.В. Миронов, Н.А. Северцев Методы анализа устойчивости систем и управляемости движением. М.: Изд-во РУДН, 2002, 166 с.

71. Михайлов А.В. Методы гармонического анализа в теории регулирования // Автоматика и телемеханика.-1938.-Т. 3,-С.27-81.

72. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Изд. 2, М.: Наука, 1972.

73. Мышкис А.Д. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. УМН, Т.32, вып.2, 1977, стр. 173202.

74. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. М.: Наука, 1978.

75. Немыцкий В.В. Топологическая классификация особых точек и обобщенные функции Ляпунова. Дифференциальные уравнения, Т.З, N 3, 1967, стр.359-370.

76. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. Изд. 2-е, М.-Л., 1949.

77. Персидский К.П. К устойчивости движения. Матем. сб.Т.11, в.1, N 2, 1936, стр.37^2.

78. Персидский К.П. К теории устойчивости решений дифференциальных уравнений. УМН, Т.1, вып.5-6 (новая серия), 1946.

79. Б.Т. Поляк, П.С. Щербаков. Робастная устойчивость и управление М.: Наука, 2002. - 303 с.

80. Поляк Б.Т, Щербаков П.С. Сверхустойчивые линейные системы управления I, II // Автом.телемех. 2002, № 8, 9.

81. Поляк Б.Т, Щербаков П.С. вероятностный подход к робастной устойчивости систем с запаздыванием // Автом.телемех. 1996, № 12. с. 97 108

82. Понтрягин JI.C. О нулях некоторых элементарных трансцендентных функций. Изв. АН СССР, сер. матем. 1942, Т.6. С. 27-81.

83. Попов Е.П. Теория линейных систем регулирования и управления. М.: Наука, 1989.

84. М.М. Постников. Устойчивые многочлены. М.: Наука, 1981.

85. В.В. Прасолов. Многочлены. М.: Изд-во МЦНМО, 2001г. - 336 с.

86. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М. Л.: ГТТИ, 1947.

87. Разумихин Б.С. Об устойчивости систем с запаздыванием. ПММ, Т.20, N4, 1956, стр. 500-512.

88. Разумихин Б.С. Применение метода Ляпунова к задаче устойчивости решений уравнений с запаздыванием. Автоматика и телемеханика, Т. 21, 1960, стр. 740-749.

89. Разумихин.Б.С. Метод исследования устойчивости систем с последействием. ДАН СССР, T.I67,1966, стр. 1234-1237.

90. Разумихин Б.С. Прямой метод исследования систем с последействием. Препринт. ВНИИ системных исследований, Москва, 1984, 75 с.

91. Э. Раус Об устойчивости заданного состояния движения. Москва-Ижевск: Ин-т компьютерн. исследов-й., 2002, 199 с.

92. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1978.

93. Харитонов B.JI. Асимптотическая устойчивость семейства систем линейных дифференциальных уравнений. // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14. №11, С. 2086-2088.

94. Хейл Д. Теория функционально-дифференциальных уравнений М. Мир, 1984. 421стр.

95. Цыпкин Я.3. Основы теории автоматических систем. М.: наука, 1977.

96. П.Л. Чебышев Высшая алгебра М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1936,-197 с.

97. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988.

98. Четаев Н.Г. Устойчивость движения.-М.: Наука, 1965.-207 с. 106.

99. Шатохин М.М., Шестаков A.A. Об относительной устойчивости нулевого решения автономного функционально-дифференциального уравнениязапаздывающего типа. Дифференц. уравнения, Т. 22, N 11, 1986, стр. 19221928.

100. Шестаков A.A. Обзор теории локализации предельных множеств динамических процессов с использованием функционалов Ляпунова.// Colloquic mathematica societatis Janos Bolyai. 1984. v.47. P.997-1028.

101. Шестаков A.A., Меренков Ю.Н. О притяжении траекторий дифференциальной системы множеством нулей мажоранты функций Ляпунова // Изв. вузов. Сер. математика. 1981. N 8. стр. 55-59.

102. Шестаков A.A., Меренков Ю.Н. Локализация предельного множества решения с ограниченным интервалом определения // Дифференциальные уравнения. 1987. T.17,N8. стр. 1515-1517.

103. Шестаков A.A. Меренков Ю.Н. О локализации предельного множества в неавтономной дифференциальной системе с помощью функций Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17, N 11. стр. 2017-2027.

104. Шестаков A.A., Меренков Ю.Н. Устойчивость по Ляпунову и притягивающие множества относительно неавтономной дифферен циальной системы // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, N 5, стр. 815-827.

105. Шестаков A.A. Функции Ляпунова и их применение. Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1987, стр. 13^48.

106. Шестаков A.A. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами. М. Наука, 1990.

107. Шиманов С.Н. Устойчивость систем с запаздыванием. Труды 11 Всес. съезда по теор. и прикл. механике, Москва, вып. 1, М.: Наука, 1965, стр. 170— 180.

108. Эльсгольц Л.Э. Устойчивость решений дифференциально разностных уравнений. УМН, Т.9, вып. 4, 1954, стр. 95-112.

109. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчис-ление.-М.: Наука, 1969.-424 с.

110. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Изд. 2-е, М.: Наука , 1971.

111. J. Ackermann and W. Sienel, "What is a "Large" Number of Parameters in Robust Systems", Proc. IEEE Conf. Decision and Control, Honolulu, Dec. 1990.

112. Antosiewicz H.A. A survey of Liapunov second method. Ann. Math. Studies 41, 1958, 141 -166.

113. Bamea D. A method and new results for stability and instability of autonomous functional differential equations. SIAM J.Appl.Math., v. 17, 1969, p.681— 697.

114. B.R. Barmish, "New Tools for Robustness Analisis", Proc. IEEE Conf. Decision and Control, Austin, Dec. 1988, pp. 1-6.

115. B.R. Barmish, J. Ackermann and H.Z. Hu, "The Tree Structured Decomposition: A New Approach to Robust Stability Analisis", Proc. Conf. On Information Sciences and Systems, Princeton, March 1990.

116. A.C. Bartlett, C.V. Hollot and Huang Lin, "Root Locations of an Entire Polytope of Polynomials; It Suffices to Check the Edges", Mathematics of Control, Signals and Systems, vol., 1, pp.61-71, 1988.

117. Blondel V., Tsitsiclis J. A survey of computational complexity results in systems and control //Automatica. 2000. V.35. P. 1249-1274.

118. Burton T. An extention of Liapunov,s method. J. Math. anal, and Appl., v.28, 1969, p.542-552.

119. Burton T. Stability theory for functional differential eqations. Transact of the Amer. Math.Society, v.255, 1979, p.263-275.

120. Burton T., Hatvani L. Stability theorems for nonautonomous functional eqations by Liapunov functionals. Tohoku Math. 41 1989, p.65-104.

121. Driver R.D. Existanse and stability of a delay-differential system. Archive for Rational Math, and Analysis, v. 10, No.4, 1962, p.401-425.

122. Driver R.D. Ordinary and delay-differential eqations. New-York: Springer, 1977.

123. Grimmer R.D. , Haddock J. Stability of bounded and unbounded sets for ordinary differential eqations. Ann. Mat. Pura Appl., v99, ser.4, 1974, p. 143-153.

124. Grimmer R.and Scifert G.// J.Diff. Eguat. 1975. p. 142 -166.

125. Friendly spaces for functional differential eqations with infinite delay. In V. Lakshmikantham cd. Proc. of VI In ternational Conference on Trends in the Theory and practic ofNonlynear Analysis. North. Holland, Amsterdam 1984.

126. Haddock J. Terjeki J. Liapunov-Razumihin functions and invariance principle for functional differential eqations. Jornal of Different, equat. v.48, No. 1,1983, p.95-122.

127. Hahn W. Uber die Anwendung der methode von Liapunov auf Differen-sengliechunger. Math. Annaler, Bd.136, 1958,s.430^41.

128. Hale J. A stability theorem forfunctiona differential equations. Proc.Nat.Acad.Sci.USA, v.50,No.5, 1963,p.942-946.

129. Hale J., Kato J. Phase space for retarded eqations with infinite delay. Funcs. Equat. 21, 1978, 11-41.

130. Kato J. On Liapunov-Razumikhin type theorems for functional-differential eqations. Tunkcialay Eqvaciaj, v. 16, 1973, p.225-239.

131. Kato J. Stability problem in functional differential eqations with infinite delay. Tunkcialay Eqvaciaj, v.21, No.4, 1978, p.63-80.

132. Kato J. Stability problem in functional differential equations Lecture Notes in Mathematics, Berlin, Springer, No. 799, 1980, p.252-262.

133. Kato J. Liapunov,s second method in functional differential eqations. Tokio Math.J., v.32, 1980, p.487^97.

134. Keel L.H., Bhattacharyya S.P. Rjbust stability and performans with fixed-order controllers//Automatica/ 1999/ V.35. P. 1717-1724.

135. Lakshmikanthem V., Zeela S. Differential and integral inequalities. New-York- London: Acad. Press, v.2, 1969.

136. La Salle J.P. Stability theory for ordinary differential eqations. Jornal of Dif-ferent.Equat., v.4, 1968, p.57-65.

137. La Salle J.P. Stability theory and invariance principles. Dynamical Systems. An International Symphosium,Academic Press,v.1, 1976, p.211-222.

138. Oliva W.M. Functional differential equations generic theory. Dynamical Systems, an International Symphosium, Academic Press, v.l, 1976, p. 195-209.

139. Onuchic N. On the asymptotic behaviour of the solutions of functional differential equations. Differential equations and Dinamical Systems, Academic Press, 1967, p.223-233.

140. Scifert G.//J. Diff. Eguat. 1979. Vol. 14.p. 424 430.

141. Roxin E.O. Stability in general control systems. Jornal of Diff.Eqat., v.l, No.2, 1965, p. 115-150.

142. Szego G.P., Treccani G. Semigruppi di Transformationi Multivoche. Lecture Notes in Mathematics, Berlin : Springer, No. 101, 1969.

143. Terjeki J. On the asymptotic stability of solutions of functional differential eqations. Annales Polonici Mathematici, v.36, 1979, p.299-314.

144. Ura T. On the flow outside a closed invariant set : stabiliti, relative stabiliti and saddle sets. Contributions to Diff. Equat. No. 3, p. 249 294.

145. Ura T., Kimura J.Sur le courant exterieur a une region invariante. Theoreme de Bendixon. Commet. Math. Univ.St.Paul, No.8, 1960, p. 23 29.

146. Volterra V. Sur la theoric mathematique des phenomenes harieditaires. J.

147. Math. Pures Appl., v.7, 1928, p.249 298.

148. Yoshizawa T. Stability theory by Liapunov s second metod . Pulications, Math. Soc. of Japan, Tokyo, 1966.

149. Yoshizawa T. Asymptotie properties of solutions in diferential equations , Colloquium on Qualitative Theory of Differential Equations, Szeged, Hangare , 1984.

150. Zhang S.// Scienta Sinica. Ser. A 1988.Vol.4.p. 349-356.

151. Zubov N.V. The investigation of external limited disturbance in dynamical systems. Abstracts Inter.Congr.on Computer Systems and Appl. Mathematics St.Petersburg. p. 13. 1993.

152. Zubov N.V. The investigation of stabilization of program motion in systems with delay under uncer tainties. Abstracts Inter.Conference on Interval and Com. -Algebr. Methods in Science and Engineering St.Petersburg. p.261. 1994.

153. Zubov N.V. Calcuiation method for stabilization of beams program motion. Abstracts Intern.workshop Beam Dynamics Optimiz. St.Petersburg. p. 36.1994.