Синтез алгоритмов управления на основе пассификации для каскадных систем с возмущениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат наук Усик Егор Владимирович

• Усик Егор Владимирович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Усик Егор Владимирович

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1.1 Метод пассификации

1.2 Метод бэкстеппинга

1.3 Метод инвариантных эллипсоидов

Глава 2. Пассификация и синхронизация каскадных систем

2.1 Постановка задачи

2.2 Условия пассификации и асимптотической стабилизации

2.3 Влияние возмущений

2.4 Пассификация сетевых систем Лурье

2.5 Пример. Синхронизация двух мобильных роботов

Глава 3. Пассификация и синхронизация каскадных систем с дискретизацией

3.1 Каскадная система в форме Лурье

3.1.1 Постановка задачи

3.1.2 Построение дискретного регулятора

3.1.3 Условия пассификации и асимптотической стабилизации

3.1.4 Условия экспоненциальной синхронизации

3.2 Сетевые каскадные системы

3.3 Пример. Три мобильных робота

Глава 4. Пассификация и синхронизация каскадных систем с квантизацией по

уровню

4.1 Постановка задачи

4.2 Дискретный регулятор с возмущениями

4.3 Дискретный регулятор с статическим квантизатором

4.4 Управление нелинейными системами в форме Лурье с динамическим квантизатором

Глава 5. Оптимизация нелинейных каскадных систем в форме Лурье при

ограниченных внешних возмущениях

5.1 Постановка задачи

5.1.1 Построение пассифицирующего регулятора

5.1.2 Условия пассификации и асимптотической стабилизации

5.1.3 Основной результат

5.2 Примеры

Глава 6. Лабораторная установка

6.1 Навигация и управление движением мобильных ЛЕГО-роботов с помощью

видеокамеры и беспроводного Bluetooth соединения

6.1.1 Описание лабораторной установки

6.1.2 Алгоритм распознавания объектов в помощью веб-камеры

6.1.3 Результаты экспериментов

Заключение

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Синтез алгоритмов управления на основе пассификации для каскадных систем с возмущениями»

Введение

В последние годы возникает все больше задач управления, в которых объект управления описывается сложными, взаимосвязанными системами. Среди таких систем выделяются каскадные системы, которые представляют собой последовательное соединение двух или нескольких подсистем [1]. В этой работе будут рассматриваться гладкие динамические системы каскадной формы, содержащие нелинейную часть и цепь интеграторов. Вектор состояния цепи интеграторов может рассматриваться как вход нелинейной подсистемы.

Вопросам синтеза алгоритмов управления каскадными системами посвящены работы отечественных и зарубежных авторов [2-6].

При синтезе алгоритмов управления для каскадных систем оказывается удобно решать задачу поэтапно. Примером поэтапного синтеза является процедура пошагового (попятного) управления [7; 8] или, как ее еще называют, бэкстеппинг (англ. Ъаск^ерр^ [8; 9]). Суть этого метода сводится к нахождению управления для системы с интегратором в предположении, что для системы без интегратора заранее определен стабилизирующий алгоритм - виртуальное управление. Управление выбирается таким образом, чтобы производная функции Ляпунова для системы с интегратором была строго отрицательна для ненулевых значений вектора состояния системы, тогда из теоремы Ляпунова [10] будет следовать асимптотическая устойчивость всей модели.

Синтез алгоритмов управления по выходу является достаточно сложной задачей, для которой до сих пор нет эффективного условия разрешимости [11; 12]. Однако одним из методов, позволяющий упростить решение рассматриваемой задачи, является метод пассификации, разработанный в работах [1; 13; 14].

Понятие пассивности означает, что система удовлетворяет интегральной связи с функцией, линейной по входу и выходу системы [1]. Можно показать, что в этом случае на пространстве состояний системы можно определить функцию, которая при определенных условиях может играть роль функции Ляпунова для замкнутой системы [15; 16]. Кроме того, существуют результаты [17] о стабилизации нелинейных аффинных систем с помощью обратной связи, включающие условия пассивности объекта. Таким образом, задача стабилизации объекта проводится в два этапа. Первый этап - это задача пассификации системы, т. е. задача нахождения закона обратной связи, делающей систему пассивной [18; 19]. На втором этапе при выполнении дополнительных условий типа наблюдаемости решается задача стабилизации пассивной системы.

Первой из задач, решаемой в диссертационной работе, является задача синхронизации нелинейных каскадных систем с помощью метода бэкстеппинга, которая сводится к задаче пас-сификации и стабилизации каскадных систем с нелинейностью в интеграторе в случае, когда система описывается в форме Лурье с функциональной неопределенностью. Такой класс систем ранее в задачах пассификации не рассматривался. Этим подход, сформулированный в настоящей работе, и отличается от существующих подходов к пассификации каскадных систем [1; 14; 17;20;21], которые требуют полного знания всех параметров объекта и не могут быть

применимы к рассматриваемым системам. На практике, однако, физические системы содержат возмущения. Таким образом, следующей задачей, решаемой в диссертационной работе, является задача синхронизации нелинейных каскадных системы в условиях ограниченных возмущений.

При реализации алгоритмов управления на различных технических системах разработчики систем сталкиваются с переходом от непрерывных систем к дискретным. Управляющие сигналы обрабатываются и формируются с помощью микропроцессоров и поэтому имеют дискретную природу. Следовательно, не всегда синтезированные алгоритмы управления непрерывными системами можно применить на практике, либо же их применение накладывает некие дополнительные условия. В диссертационной работе решается задача синхронизации нелинейных каскадных систем с дискретным управлением по времени.

В рассматриваемых системах передача сигнала от управления к системе предполагается мгновенной. Тем не менее, в реальных системах в управлении может быть задействовано стороннее оборудование, например, камера, которая считывает, обрабатывает и передает данные по беспроводным каналам на систему. Такого рода ограничения носят достаточно актуальный характер. Например, скудность данных, получаемых от датчиков. Это может быть связано с дороговизной их изготовления, сложностью их установки в труднодоступных районах или физическими ограничениями датчиков. Все еще актуальным является ограничение на возможности связи. Ограниченная пропускная способность канала приводит к невозможности получать полностью всю информацию о системе. Одни из способов учесть рассматриваемые влияния на систему является квантизация сигнала. Можно представить квантизатор как устройство, которое преобразует непрерывный сигнал в кусочно-постоянный, принимая значения из конечного множества [22-26].

Используя квантизатор, пространство состояний системы можно разделить на конечное число областей квантования, каждое из которых соответствует фиксированному значению в квантизаторе. В таком случае динамика системы может сильно поменяться, и поэтому можно говорить тогда о гибридной системе, то есть, системе, описывающей связь между непрерывной и дискретной динамикой. Появляется задача стабилизации систем управления с квантизацией по выходу или по состоянию. В рассматриваемой работе решается задача синхронизации нелинейных каскадных систем с квантизацией по выходу. Существующие подходы применены к линейным системам [27-30]. Как показано в работе Вгоскей Я. ^ и ЫЪегеоп Б. [31], если линейная система может быть стабилизирована с помощью закона обратной связи, то она также может быть глобально стабилизирована с помощью гибридного управления с квантизатором. Эта задача решается в два этапа. Первый этап состоит в увеличении диапазона квантизатора, пока состояние системы не сможет быть оценено. На этом этапе система незамкнута. Второй этап включает в себя применение обратной связи и в то же время уменьшение ошибки квантизатора таким образом, чтобы состояние системы стремилось к нулю.

Следующей задачей, рассматриваемой в диссертационной работе, является задача оптимизации оценки ошибки выхода в нелинейной каскадной системе. В работе предложено решать ее на основе метода инвариантных множеств, которая сводится к оптимизации объема инвариантного эллипсоида. В диссертационной работе рассматриваются ограниченные возмущения, и

поэтому подходы, которые используется при решении таких задач как Н^ - оптимизация или Ь(^К, не могут быть применены.

Метод инвариантных множеств часто используется в различных задачах теории гаранти-рованого оценивания, фильтрации и минимаксного управления в динамических системах при наличии неопределенностей. Если к тому же выбрать в качестве инвариантных множеств эллипсоиды, то, благодаря их простой структуре и прямой связи с квадратичными функциями Ляпунова, можно использовать аппарат линейных матричных неравенств (ЬМ1) [32; 33].

Исходя из вышесказанного, целью диссертационной работы является построение и анализ регуляторов, обеспечивающих пассификацию и синхронизацию каскадных нелинейных систем с возмущениями. Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

1. получить условия синхронизации и пассификации каскадных нелинейных систем с помощью метода бэкстеппинга; исследовать влияние ограниченных возмущений в каскадной системе;

2. получить условия синхронизации каскадных нелинейных систем, управляемых с помощью дискретного регулятора;

3. получить условия синхронизации каскадных нелинейных систем, управляемых с помощью дискретного регулятора с возмущениями и квантизатором (статическим и динамическим);

4. оптимизировать оценку ошибки вектора состояния нелинейной каскадной системы, полученную в п. 1;

В первой главе диссертационной работы приводятся вспомогательные сведения, необходимые для формулировки и доказательства основных результатов.

Во второй главе рассматривается задача пассификации и синхронизации нелинейных каскадных систем в форме Лурье. Строится пассифицирующий регулятор на основе метода бэкстеп-пинга. Кроме того, исследуются вопросы влияния ограниченных возмущений, и применяются полученные результаты к сетевым системам Лурье.

В третьей главе рассматриваются нелинейные каскадные системы в форме Лурье с дискретизацией. Выводятся условия экспоненциальной синхронизации.

В четвёртой главе рассматриваются нелинейные каскадные системы в форме Лурье с квантизацией по уровню. Решается задача синхронизации каскадных нелинейных систем, управляемых с помощью дискретного регулятора с возмущениями и квантизатором.

В пятой главе диссертационной работы оптимизируется оценка ошибки выхода нелинейной каскадной системы на основе метода инвариантных эллипсоидов.

В шестой главе представлено описание универсальной лабораторной установки, с помощью которой были применены полученные результаты на практике. Кроме этого, установка позволяет исследовать не только представленные в настоящей работе алгоритмы, но и другие, а также дистанционно управлять мобильными роботами.

В Заключении перечислены основные результаты работы.

По теме диссертации опубликовано 12 работ [34-45], в том числе 4 в изданиях из перечня научных журналов, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией для публикации

основных научных результатов диссертаций, 3 работ в изданиях из баз цитирования Web of Science и Scopus. Основные результаты представлены на 10 всероссийских и международных конференциях.

Глава 1. Предварительные сведения

1.1 Метод пассификации

Сформулируем необходимые результаты по пассивным системам [46]. Дана система

х(г) = Ах(г) + ВиН),

(1.1)

уЦ) = СхЦ)

где х Е Кга - вектор состояния, и Е К - управляющее воздействие, у Е К - выход системы. Матрицы А, В и С - постоянные с соответствующими размерностями.

Определение 1.1. Для заданного вектора д Е К система (1.1) называется пассивной, если существует неотрицательная функция V(ж) такая, что

V(х(г)) ^ V(х(0))+ [ и(з)дТу(з) ¿8 (1.2)

ио

для любого решения х(Ь) системы (1.1) [46].

Определение 1.2. Для заданного вектора д Е К система (1.1) называется строго пассивной, если существуют неотрицательная функция V(ж) и положительная для х = 0 функция р(х) такие, что

V(х(1)) ^ V(х(0)) + [ (и(з)дТу(з) — р(х(з))) ¿8 (1.3)

Jо

для любого решения х(Ь) системы (1.1) [46].

Замечание 1.1. Пассивные системы являются частным случаем диссипативных систем [47; 48].

Неравенства (1.2), (1.3) имеют простой физический смысл: «функция запаса V(х) является аналогом полной энергии для систем общего вида, произведение входных и выходных величин выражает измеренную мощность, поступившую в систему, а функция р(х) оценивает снизу скорость рассеяния энергии в системе» [49, стр. 57].

Определение 1.3. Передаточная функция дТШ(в) = дтС(з1 — А)-1 В называется гипер-минимально-фазовой, если её числитель det(s/ — А)дТШ(в) является устойчивым многочленом с положительным старшим коэффициентом дТ С В > 0.

Лемма 1.1 (о пассификации [13]). Пусть В = 0 и задан некоторый вектор д Е К. Тогда для существования матрицы Р Е Кгахга и вектора в* Е К таких, что

Р> 0, РА* + АТР< 0, РВ = СТд, (1.4)

где А* = А — Вв^С, необходимо и достаточно, чтобы передаточная функция дТШ(в) = дтС(з1 — А)-1 В была гипер-минимально-фазовой.

Пассивность тесно связана с устойчивостью: при и = 0 пассивная система с положительно определенной функцией запаса устойчива по Ляпунову.

Определение 1.4. Система х = f (х) + д(х)и, у = к(х) обладает свойством ЯКБ (Якубовича-Калмана-Попова) [7], если существует неотрицательная непрерывно дифференцируемая функция V : Ега ^ V(0) = 0 такая, что

(У7У(х))Т/(ж) ^ 0, (ЧУ(х))тд(х) = К(х)т.

Лемма 1.2. Система х = f (х) + д(х)и, у = Н(х) пассивна с непрерывно-дифференцируемой функцией запаса тогда и только тогда, когда она обладает свойством ЯКП [ 7].

1.2 Метод бэкстеппинга

Метод бэкстеппинга [7] основан на следующем утверждении.

Утверждение 1.1. Если система х = f (х,£),£ = и определена в Ега и локально асимптотически стабилизируема в точке х = х* с помощью управления £ = (х), то алгоритм управления

ВЛ

и = 1 (х,° + — щ (х)),

где к0 < 0, обеспечивает (локальную) асимптотическую устойчивость исходной системы в точке (х£) = (ж*,0).

1.3 Метод инвариантных эллипсоидов

Определение 1.5. Инвариантным эллипсоидом для динамической системы называется эллипсоид

Тх = [х е Ега : хтд-1х ^ Af}, д у 0, (1.5)

обладающий следующим свойством: любая траектория системы, исходящая из точки, лежащей в Тх, в любой момент времени принадлежит этому эллипсоиду [32].

Лемма 1.3. (Лемма Шура). [50]

Пусть

М = [ ^ е к(»г+т)(»г+т)

\вТ с)

(1.6)

где А = АТ Е Кгахга, В Е Кгахт, а С = СТ Е Ктхт невырожденная матрица. Тогда

М < 0 ^ С У 0,А- ВС-1ВТ У 0.

(1.7)

Лемма 1.4. ^ -процедура). [51]

Пусть заданы однородные квадратичные формы /.(х) = хТА.х,г = 0,1,...,т, где х Е Кга, А. = АТ Е Егахга, и числа а0,а1,..., ат. Если существуют действительные числа т.\ > 0,г = 1,...,т такие, что

то неравенства

л ^ ^ т.А.,ао > ^ пА.,

(1.8)

г=1

г=1

&(х) = 1,...,т,

(1.9)

влекут неравенство

¡о(х) ^ ао.

(1.10)

Обратно, если из (1.10) следует (1.9) и выполняется любое из условий: а) т = 1; б) т = 2,п > 3 и существуют числа ^, и2 и вектор х0 Е К1 такие, что

щА1 + У 0, ¡1(х°) < а1, ¡2(х0) < а2,

(1.11)

то найдутся т. > 0,{ = 1,...,т , такие что выполняются соотношения (1.8)

Глава 2. Пассификация и синхронизация каскадных систем

2.1 Постановка задачи

Даны две динамические системы в форме Лурье с интегратором

x(t) = Ax(t) + В<р(У1) + fi(t), yi(t) = Cx(t),

z(t) = Az(t) + B<p(y2) + Bu(t) + f2 (t),V2{t) = Cz (t),

u(t) = ф(и,£) + w(t),

(2.1) (2.2) (2.3)

где x(t),z(t) - n-мерные векторы состояния, yl(t),y2(t) - скалярные выходы, u(t) - скалярный вход подсистемы (2.2), получаемой из подсистемы (2.3), входом которой является управление w(t), А - п х п матрица, В - п х 1 матрица, С - 1 х п матрица, <^(у), ф(и,Ь) - непрерывные нелинейности, лежащие в секторе, fi(t) - ограниченные возмущения являющиеся измеримыми ограниченными функциями, ||/j(i)|| ^ Af.,г = 1,2, t ^ 0. Систему (2.1) будем называть ведущей (master), систему (2.2) - ведомой (slave).

Цель управления - синхронизировать две системы (2.1),(2.2) с нелинейным интегратором (2.3), т. е. выбрать функцию управления w(t) таким образом, чтобы yl(t) — у2(t) ^ 0 при t ^ х>. Вспомогательная задача - пассификация системы (2.1) - (2.3). w(t) - управляющее воздействие для системы (2.2), (2.3).

2.2 Условия пассификации и асимптотической стабилизации

Для решения задачи рассмотрим сначала систему с нулевым возмущением f\(t) = 0 для г = 1,2. Вводим ошибку синхронизации e(t) = x(t) — z(t), а также ошибку синхронизации по выходу e(t) = yl(t) — y2(t) = Ce(t). С учетом этих обозначений можно ввести новую систему:

где £(е,1) = <р(у\) — <р(у2) - новая нелинейность. Цель управления будет выглядеть следующим образом: е(Ь) = 0.

Для получения условий достижения цели сделаем следующие предположения.

e(t) = Ae(t) + ВС(e,t) — Bu(t), e(t) = Ce(t), u(t) = ip(u,t) + w(t),

(2.4)

(2.5)

1. Пусть линейная система ё({) = Ае(1) — Ви({), е({) = Се(1) гиперминимально-фазовая, т. е. матричная функция Г( Л) = Л\¥(Л) невырожденна и положительно определена [7], где Ш(Л) = С(Л1 — А)-1В = 3(Л)/а(Л) - передаточная функция системы.

Для случая со скалярным выходом это означает: степень знаменателя а( Л) равна п. Числитель 3(Л) гурвицев степени п — 1 с положительными коэффициентами. В соответствии с теоремой о пассификации существует управление и({) = Ке, такое что система стабилизируема;

2. £(е,Ь) лежит в секторе, т. е. а ^ ^(е$)/е ^ Ь, где а,Ь - параметры сектора, зависящие от нелинейности;

3. ф(и,Ь) также лежит в секторе, т. е. с ^ ф(и,Ь)/и ^ ¿, где с,й - параметры сектора, зависящие от нелинейности;

Из гиперминимально-фазовости и теоремы о пассификации [16] следует, что минимальное расстояние о между корнями числителя передаточной функции и мнимой осью будет положительным. Выберем параметры г/ и К таким образом, чтобы 0 < г/ < г/0,

2\\ЬЦРЦС| ш&х(1аЦЪ1) + 2\\Р| ш&х(1сЦ(11) < г]Лт1п, где Ь = ( В ), Р - положительно

\КСВ I

определенная матрица в квадратичной функции Ляпунова V(ж) = хТРх, Лт;п - наименьшее собственное число данной матрицы.

Для синтеза управления ^^(Ь) воспользуемся методом бэкстеппинга [7].

ё(г) = Ае (г) + В£ (е ) — Ви(г), е(г) = Се (г), (2.6)

й(г) = ксАе (г) + ксв£ (е ) + Ф(и, г) + у(г). (2.7)

Лемма 2.1. Рассмотрим систему

е(г) = Ае (г) — Ви(г), е(г) = Се (г), (2.8)

й(г) = ксАе (г)+у(г) (2.9)

с состоянием (е,и) Е Ега+1, выходом (е,и) Е К2. Для системы (2.8) выполнено предположение (1).

Тогда существуют числа К, такие, что система (2.8),(2.9) будет строго пассивна, а замкнутая система

е(г) = Ае (г) — Ви(г), е(г) = Се (г), (2.10)

й(г) = ксАе (г) + у(г) (2.11)

с управлением = К1и + К2е, где К1 = 7К, К2 = — КСВ асимптотически устойчива.

Доказательство. Для доказательства вычислим передаточную функцию системы (2.8),(2.9), принимая за новый выход переменную у = Ь2е + Ь1и.

ШУ(з) =_Ь1а(8) + Ь23 (в)__(2 12)

" " (5) за(в) — а(з)КСВ — зК3(з)' }

По теореме [7] п — 1 корней многочлена Ьла(в) + Ь2@(в) приближаются к корням многочлена ¡3(в), а оставшийся корень равен Хп « —Ь2/Ьл при достаточно большом значении параметра Ь2. Таким образом, получаем гурвицев многочлен степени п. Т. е. условие гиперминимально-фазовости выполнено.

Для доказательства устойчивости замкнутой системы (2.10), (2.11) представим ее в с следующим виде:

ь(1)

( А —л (л +

\КСА 0 ) \1/

> 0,

Кл к.

(2.13)

(2.14)

(2.15)

Введем обозначения:

(и) ' ^ (и)

В этих обозначениях система (2.13) записывается в виде

ё() = Аё(г) + ву(г), ё(г) = сё()

(2.16)

с соответствующим управлением у({) = Кё.

В соответствии с теоремой о пассификации [7] существует положительно определенная матрица Р = Рт > 0 и число К такие, что выполнено неравенство Р(А + ВКС) + (А + ВКС)ТР < —уР, РВ = ст.

Зафиксируем К. Рассмотрим квадратичную функцию Ляпунова V(х) = етРе. Покажем, что если выполнены условия выше, то неравенство У(е) < 0 будет верно.

V = ё1 Ре + е1 Ре = е1 (Р(А + ВКС) + (А + ВКС)1 Р)е < —уУ.

(2.17)

□

Теорема 2.1. Пусть выполнены предположения (1)-(3). Тогда существуют числа К,^, такие что система (2.6),(2.7) будет пассивна с квадратичной функцией запаса V(ё) = ёТРё, а замкнутая система с управлением ь(£) = (—^ — КСВ)и + ^Ке асимптотически устойчива.

Доказательство. Система (2.1) рассматривается на временной полуоси [0, то) с начальным условием ж(0) = х0. Легко видеть, что правая часть рассматриваемой системы глобально лип-шицева по х: 1Ахл(Ь) + В<р(ул) — Ах2^) + В<р(уь)1 ^ (\\А\\ + \\В||||С|| тах^аЦЦ))^! — Ж2|. Тогда для любых начальных условий ж(0) = х0 решение системы (2.1) определено на полуоси [0, то). Для доказательства асимптотической устойчивости представим систему (2.6),(2.7) в виде

V

СИ

А -В КСА 0

у(г) = (к К2)

I) + (ксв) «<СЬ)+0 -

Или, в других обозначениях,

ё() = Аё(г) + Вф(щ г) + Ву (г) + (е, г), е(г) = Сё (г), у(г) = Ке,

(2.18)

(2.19)

где

О, е О

По лемме 2.1 существует положительно определенная матрица Р = Рт > 0 и вектор К такие, что выполняется неравенство Р(А + ВКС) + (А + ВКС)тР < -г]Р, РВ = Ст.

Рассмотрим квадратичную функцию Ляпунова V(ё) = ётРё. Получим теперь условия на параметры, чтобы было выполнено условие V(ё) < 0. Зафиксируем параметр К. Далее следует цепочка неравенств.

V < -ту + 2\\РII тдх(1сЦ(11)\\ё\\2 + Кш&х^аЦЪЩёЦ2 ^

< -VАтт\\ё\\2 + Ктах(1а1т\ё\\2 + 2\\Р\\ шах(1с1Ш\ё\\2 = -6\\ё\\2, (2.20)

где К = 2\\3\\\\Р\\\\С\\. Следовательно, если выполнено условие

2\\Щ\\Р\\\\С\\ ш.&-х(1а1,1Ъ1) + 2\\Р\\ тах(1с1Щ < цХтгп,

то У(ё) < 0, а это неравенство совпадает с неравенством в предположении (3). Проинтегрировав неравенство (2.20) получим: 0 < V(ё(Ь)) ^ V(ё(0)) — 8 /0 \\ё\\2<И < 0 при достаточно большом ¿. Следовательно, V(^ = 0. Отсюда немедленно следует асимптотическая устойчивость по

теореме Ляпунова.

Заметим, что квадратичная функция V(ё) = ёТРё, играющая роль функции Ляпунова, может выступить в качестве функции запаса, когда у системы есть вход. Для доказательства пассивности системы (2.19) покажем что выполнено свойство ЯКП.

Действительно, по лемме 2.1 выполнено равенство РВ = Ст, что является вторым условием в свойстве ЯКП, а неравенство (2.20) играет роль первого условия. Справедливость неравенства (2.20) следует также из леммы 2.1 и, в частности, из теоремы о пассификации [7]. Таким образом, пассивность системы (2.19) автоматически следует из леммы 1.2.

Теорема 2.1 доказана. □

Замечание 2.1. Заметим, что стандартными способами интегратор можно расширить до цепи интеграторов щ,и2,... ит, которая будет иметь вид:

и л = и2,

й 2 = Щ, т

ит = ^ КгПг + Кб.

г=1

2.3 Влияние возмущений

Переходим к учету влияния возмущений на исходную систему (2.1)-(2.3). Ее можно переписать в виде

S(t) = Ae(t) + BKe(t) + f(t), e(t) = Ce(t), (2.21)

.Л (m - f2(t)\ „ (e\ (e\

где j (t) = - ограниченное возмущение, e = e ^ •

\ 0 J \UJ \UJ

Теорема 2.2. Дана система (2.21) c ограниченным возмущением ||/(i)|| ^ A f. Пусть выполнены три предположения (1)-(3). Тогда 11e(i) | ^ ^e-Af, где Ce = \J1.

Доказательство. Рассмотрим квадратичную функцию Ляпунова V(e) = eTPe с положительно определенной матрицей P = PT. Находясь в условиях предположений (1)-(3), имеем цепочку неравенств

V ^ -vV + f(t)TPe + eTPf (t) ^ -nV + 2Wy/f (t)TPf (t)•

Таким образом, выполнено неравенство V(e) < 0 для любого e за исключением множества {e : \JV (e) > г/-1 supt y/JJi^^Pfii)} и значение supV (e(t)) не пре-

вышает A2\max(P)/r]2. Из положительной определенности матрицы P следует неравенство ^mm(P)lle(t)||2 ^ V(e(t)), где Xmax(P),Xmin(P) - наибольшее и наименьшее собственное число матрицы P соответственно. Таким образом, получаем ограниченность решений системы (2.21): Bm^x,||e(i)|| ^ CeAf, где Сг = у/1.

Теорема 2.2 доказана. □

2.4 Пассификация сетевых систем Лурье

Рассмотрим п взаимосвязанных систем с интегратором

п

Zi(t) = Azi(t) + В<р(уi) + Bui(t) + ^a%3^%3(Zl(t) — Zj(t)), Уг(t) = Czt(t), (2.22)

3 = 1

uk(t) = #ui,t )+Wi(t), (2.23)

ai3 e R1

где ^гз(х),г = l,...,n,j = l,...,d - функции, описывающие взаимосвязь между системами, R1.

Кроме этого рассмотрим ведущую систему (master)

¿o(t) = Azo(t) + B<p(yo), yo(t) = Czo(t). (2.24)

Цель управления - синхронизировать все системы относительно ведущей, т. е. уг(1) — yo(t) ^ 0 при t ^ х>,г = 1,...,п.

Положив ег({) = zO — z0(t), получим уравнения относительно ошибок:

п

¿i(t) = Aei(t) + B£(£i,t) — Bui(t) + ^агз<ргз(ег(г) — e3(t)), £i(t) = Cei(t), (2.25)

=1

щ(г) = ф(щ, t)+Wг(t). (2.26)

Введем обозначения ег ' г г

иг) \ иг

(иг) , ~г (иг)

По аналогии с теоремой 2.1 синтезируем регулятор с помощью метода бэкстеппинга. Таким образом, т^) = КСАе+ КСВ£(е^,Ь) + ь^Ь).

Теорема 2.3. Пусть для систем (2.22), (2.23) выполнены предположения (1)-(3), а функции (р^(х),г = 1,...,п,] = 1,...,й глобально липшицевы:

¥и(х) : \\^и(х) - VИ(хх )\\ ^ иАх - хх \\,ьа > 0. (2.27)

Пусть также выполнены неравенства:

- ЛгКш(Рг) + 2\\Щ\таХ(Рг)шах(1а1Ж\С\\ + 2Атах(Д) Ш^сЦс!^

п

+ 2\тах(Рг) ^ (21Ьгзагз1 + 1Ьзгазг|) < 0,г = 1,...,п, (2.28)

3 = 1

В

где И = , Р - положительно определенная матрица в квадратичной функции Ляпунова

(В).

\KCBJ

V(ёг) = ёíТРёí, Атш,Атах - наименьшее и наибольшее собственное число данной матрицы, то существуют числа К, такие что система (2.22), (2.23) со входом Ьг будет пассивна с

квадратичной функцией V(ё) = ^н=л ёё[Рёг запаса и замкнутая система с управлением (—^ — КСВ)иг + 7Кег асимптотически устойчива.

Доказательство. 4.2

Рассмотрим системы (2.22), (2.23). Их можно представить в виде

(:)=и,)(:)+и Ь)+СН

+ ф Ъ + (^!*(ег,е3). (2.29)

Или, в других обозначениях:

0

х() = Ах() + Ву() + Вф(иг,1) + (е г,г) + ( ^ ) Ф(хг,х1), е^) = Сх(), (2.30)

где Ф(хг,х3) = ^п=л ацфц(ег — ^).

Рассмотрим функцию запаса в виде V = ^™=л х?Ргхг. По определению пассивности тре-

(V _ ^га рТ

(О, г=1 Ьг

буется, чтобы было выполнено неравенство Щт — 1,=! £Ïvî < 0.

Применяя теорему 2.1 и очевидное неравенство 2ab ^ а 1а2 + ab2, Уа > 0, получаем

1евидное неравенство 2 а и ^ а

следующую цепочку неравенств:

JT7- 1 П П

— Y, ^ — E ^Атш(Pi)\\xi\\2 + 2 Y, \\D\\\max(P)max(laim\C\\\\Xi\\2+

i=1 i=1 i=1

i=1 г=1 г=1

+ 2^^тМХ(Рг)тах(1сЦ(1\)\\хг\\2 + 2^ \\Рг\\\\Ф(хг,х])МММ — Е^

Обозначим:

Гг = — УгКш(Рг) + 2\\П\\\таХ(Рг) тах(1а1Ш\С\\ + 2Лтах(Рг) т&х(1с1,1 Оценим третье слагаемое, стоящее в предыдущем неравенстве.

\\Рг\\ШХгХ3 )HNXiH ^ Amax(Pi)(^ ^vLi^WXi — Xj 11\Хг,

=1

^ A max + lajiLji|)\\xi\\ .

=1

В итоге, учитывая предположения в формулировке теоремы 4.2, получаем финальное неравенство

п п п п п

— — Y £ïvi < Y ri\Xi\2 + E 2 Amax( Pi) YMaijLijl + lajiLji |)\\xi\\2 — ^ ejvi < 0. =1 =1 =1 =1 =1

Таким образом, пассивность системы (2.22), (2.23) доказана. Асимптотическая устойчивость следует автоматически, если в качестве функции Ляпунова рассмотреть функцию запаса V, а также учитывая управление Vi. Теорема 2.3 доказана.

2.5 Пример. Синхронизация двух мобильных роботов

Проиллюстрируем применение теоремы на примере модели трехколесного мобильного робота.

Считая, что робот движется при малых скоростях, можно ограничиться кинематической моделью тележек, ведущей и ведомой. Она будет выглядеть следующим образом [52; 53]:

Х1 = ^008^), ¿1 = V со8(р2),

Х2 = г»81п(р1), ¿2 = ^81п(р2), (2.31)

р1 = Ш, р2 = I,

где I - управление, ш - фиксированная угловая скорость, V - фиксированная линейная скорость. Выделив соответствующим образом нелинейность, систему (2.31) можно представить в

виде

Х1 = V + у(0О8(р1) - 1), ¿1 = V + и(0О8('р2) - 1),

Х2 = У'Р1 + у(81п(р1) - Р1), ¿2 = У'Р2 + ^8т(р2) - Р2),

р1 = Ш, р2 = I.

Таким образом, при малых значениях угла р движением вдоль осей х1, г1 можно пренебречь. Введем следующие обозначения:

ё := Х2 - Z2, £ := Р1 - Р2, С := 81п(р1) - 8т(р2) + р2 - Р1. В этих обозначениях можно записать новую систему:

ё = юе + (2.32)

£ = и. (2.33)

Для применения теоремы нужно проверить выполнение предположений (1) - (3). Покажем, что существует обратная связь в виде е = Кё, которая стабилизирует систему (2.32). Действительно, линейная часть системы (2.32) будет асимптотически устойчива при е = Кё и К < 0. Для нелинейной части выполнено неравенство 0 ^ (8т(е) - £)/£ ^ 1,3. Т. е. нелинейность лежит в секторе с константами а = 0,Ь = 1,3. Рассмотрим квадратичную функцию Ляпунова V = ё*Нё,

где Н > 0 -скаляр. Тогда V ^ 1ё122ьН(К + Ь) < 0 при К < -Ь. Применяя метод бэкстеппинга, синтезируем управление:

и = -ч(е - Кё) + Ки£. (2.34)

Тогда из теоремы следует, что замкнутая система (2.32)-(2.34) будет устойчива, а система (2.32),(2.33) будет обладать свойством гиперминимально-фазовости.

Рассматриваемый в настоящей работе пример был промоделирован с конкретными параметрами: 7 = 1, К = -5; скорость движения тележки V =10 см/с (см. рис. 2.1, 2.2).

Рисунок 2.1 - Система (2.32)-(2.34)

Рисунок 2.2 — Система (2.32)-(2.34) с учетом ограниченного возмущения

Глава 3. Пассификация и синхронизация каскадных систем с дискретизацией

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Усик Егор Владимирович, 2016 год

Список литературы

1. Полушин, И. Г. Пассивность и пассификация нелинейных систем (обзор) / И. Г. Полушин, А. Л. Фрадков, Д. Д. Хилл // Автоматика и телемеханика. — 2000. — Т. 3. — С. 3-37.

2. Jankovic, M. Constructive Lyapunov stabilization of nonlinear cascade systems / M. Jankovic, R. Sepulchre, P.V. Kokotovic // Automatic Control, IEEE Transactions on. — 1996. — Dec. — Vol. 41, no. 12. — Pp. 1723-1735.

3. Ye, H. Backstepping design for cascade systems with relaxed assumption on Lyapunov functions / H. Ye, W. Gui, Z.P. Jiang // IET Control Theory Applications. — 2011. — Vol. 5, no. 5. — Pp. 700 -712.

4. Bechlioulis, C.P. Robust Partial-State Feedback Prescribed Performance Control of Cascade Systems With Unknown Nonlinearities / C.P. Bechlioulis, G.A. Rovithakis // Automatic Control, IEEE Transactions on. — 2011. — Sept. — Vol. 56, no. 9. — Pp. 2224-2230.

5. Ribic, A.I. An analysis, design and tuning of Cascade Control Systems in the presence of constraints in actuator and process outputs / A.I. Ribic, M.R. Matausek // Journal of Process Control. — 2014.

— Vol. 24, no. 12. — Pp. 7 - 17.

6. Каменецкий, В. А. Синтез ограниченного стабилизирующего управления для п-кратного интегратора / В. А. Каменецкий // Автомат. и телемех. — 1991. — № 6. — С. 33-40.

7. Мирошник, И. В. Нелинейное и адаптивное управление сложными системами / И. В. Ми-рошник, В. О. Никифоров, А. Л. Фрадков. — Наука, 2000. — С. 549.

8. Krstic, M. Nonlinear and adaptive control design / M. Krstic, I. Kanellakopoulas, P. Kokotovic. — New York: Wiley, 1995. — P. 576.

9. Khalil, Hassan K. Nonlinear systems / Hassan K. Khalil. — Upper Saddle River, (N.J.): Prentice Hall, 1996.

10. Андриевский, Б. Р. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB / Б. Р. Андриевский, А. Л. Фрадков. — СПб.: Наука, 1999. — С. 467.

11. Kucera, V. A necessary and sufficient condition for output feedback stabilizability / V. Kucera, C.E. De Souza // Automatica. — 1995. — Vol. 31, no. 9. — Pp. 1357 - 1359.

12. Khalil, H.K. Adaptive output feedback control of nonlinear systems represented by input-output models / H.K. Khalil // Automatic Control, IEEE Transactions on. — 1996. — Feb. — Vol. 41, no. 2. — Pp. 177-188.

13. Фрадков, А. Л. Квадратичные функции ляпунова в задаче адаптивной стабилизации линейного динамического объекта / А. Л. Фрадков // Сибирский математический журнал. — 1976.

— Т. 17, № 2. — С. 436-445.

14. Ortega, R. Passivity properties for stabilization of cascaded nonlinear systems / R. Ortega // Automatica. - 1991. - Vol. 27, no. 2. - Pp. 423 - 424.

15. Fradkov, A. L. Passification of Non-square Linear Systems and Feedback Yakubovich-Kalman-Popov Lemma / A. L. Fradkov // Eur. J. Control. - 2003. - Vol. 9, no. 11. - Pp. 573-582.

16. Андриевский, Б. Р. Метод пассификации в задачах адаптивного управления, оценивания и синхронизации / Б. Р. Андриевский, А. Л. Фрадков // Автоматика и телемеханика. - 2006.

- Т. 11. - С. 33-37.

17. Byrnes, C. I. Passivity, feedback equivalence, and the global stabilization of minimum phase nonlinear systems / C. I. Byrnes, A. Isidori, J. C. Willems // IEEE Trans. Automat. Control. -1991. - Vol. AC-36, no. 11. - Pp. 1228 - 1240.

18. Seron, M. M. Adaptive passification of nonlinear systems / M. M. Seron, D. J. Hill, A. L. Fradkov // Proc. 33rd IEEE Conf. Decision Control. - 1994. - Pp. 190 - 195.

19. Seron, M. M. Nonlinear adaptive control of feedback passive systems / M. M. Seron, D. J. Hill,

A. L. Fradkov // Automatica. - 2001. - Vol. 31, no. 7. - Pp. 1053 - 1060.

20. Kokotovic, P. Constructive nonlinear control: a historical perspective / P. Kokotovic, M. Arcak // Automatica. - 2001. - Vol. 37, no. 5. - Pp. 637-662.

21. Lozano, R. Passivity and global stabilization of cascaded nonlinear systems / R. Lozano,

B. Brogliato, I.D. Landau // Automatic Control, IEEE Transactions on. - 1992. - Sep. - Vol. 37, no. 9. - Pp. 1386-1388.

22. Average consensus on networks with quantized communication / P. Frasca, R. Carli, F. Fagnani, S. Zampieri // International Journal of Robust and Nonlinear Control. - 2009. - Vol. 19, no. 16.

- Pp. 1787-1816.

23. Carli, R. Quantized Average Consensus via Dynamic Coding/Decoding Schemes / R. Carli, F. Bullo, S. Zampieri // International Journal of Robust and Nonlinear Control. - 2010. - Vol. 20. -Pp. 156-175.

24. Passivity and stability of switched systems under quantization / Z. Feng, Y. Han, M. J. McCourt, P. J. Antsaklis // HSCC. - 2012. - Pp. 237-244.

25. Andrievsky, B. Information transmission based on adaptive synchronization of chaotic Lorenz systems over the digital communication channel / B. Andrievsky // Cybernetics and Physics. - 2013.

- Vol. 2, no. 1. - Pp. 10-14.

26. Andrievsky, B. State estimation of non-autonomous Lurie systems over the limited-band communication channel with time delay and uniform quantization / B. Andrievsky, A. Andrievsky // Cybernetics and Physics. - 2012. - Vol. 1, no. 4. - Pp. 228-236.

27. Persis, C. De. On the passivity approach to quantized coordination problems / C. De Persis // Proc. 50th IEEE Conference on Decision and Control and European Control Conference. — USA: 2011.

28. Persis, C. De. Coordination of passive systems under quantized measurements / C. De Persis,

B. Jayawardhan // SIAM Journal on Control and Optimization. — 2012. — Vol. 50. — Pp. 3155 -3177.

29. Han, Y. Output Synchronization of Networked Passive Systems With Event-Driven Communication / Y. Han, P. J. Antsaklis // IEEE Trans. Automat. Contr. — 2014. — Vol. 59, no. 3. — Pp. 750-756.

30. Oishi, Y. Passivity degradation under the discretization with the zero-order hold and the ideal sampler / Y. Oishi // CDC. — IEEE, 2010. — Pp. 7613-7617.

31. Brockett, Roger W. Quantized feedback stabilization of linear systems / Roger W. Brockett, Daniel Liberzon // IEEE Trans. Automat. Control. — 2000. — Vol. 45, no. 7. — Pp. 1279-1289.

32. Хлебников, М.В. Оптимизация линейных систем при ограниченных внешних возмущениях (техника инвариантных эллипсоидов / М.В. Хлебников, Б.Т. Поляк, В.М. Кунцевич // Автоматика и телемеханика. — 2011. — № 11. — С. 9-59.

33. Хлебников, М.В. Время установления в линейной динамической системе с ограниченными внешними возмущениями / М.В. Хлебников // Автоматика и телемеханика. — 2012. — № 6.

— С. 3-17.

34. Усик, Е. В. Синхронизация нелинейных систем Лурье на основе пассификации и бэкстеп-пинга / Е. В. Усик // Автоматика и телемеханика. — 2012. — Т. 8. — С. 35-48.

35. Accuracy of Fridman's Estimates for Sampling Interval: A Nonlinear System Case Study / E. Usik, R. Seifullaev, A. Fradkov, T. Bryntseva // IFACProceedings Volumes (IFACPapersOnline). — 2014.

— Vol. 19, World Congress, Part 1. — Pp. 11165-11170.

36. Usik, E.V. Passification based synchronization of cascade Lurie systems with quantized signals / E.V. Usik // Proceedings of IEEE Conference on Control Applications. — 2014. — Oct. — Pp. 19641969.

37. Усик, Е. В. Оптимизация нелинейных каскадных систем в форме Лурье при ограниченных внешних возмущениях / Е. В. Усик // Управление большими системами. — 2015. — Т. 57. —

C. 35-52.

38. Усик, Е.В. Навигация и управление движением мобильных ЛЕГО-роботов с помощью видеокамеры и беспроводного Bluetooth соединения / Е.В. Усик, В.В. Ниденс // Материалы XII конференции молодых ученых «Навигация и управление движением». — 2010. — С. 194-200.

39. Усик, Е.В. Робототехнический комплекс для исследования систем навигации и группового управления мобильными роботами / Е.В. Усик, В.В. Ниденс // Тезисы II Междунар. науч.-практ. конф. «Научно-техническое творчество молодежи - путь к обществу, основанному на знаниях». - 2010. - С. 235-236.

40. Усик, Е.В. Система группового управления движением мобильных ЛЕГО-роботов / Е.В. Усик // Материалы 7-ой научно-технической конференции «Мехатроника, автоматизация, управление». - 2010. - С. 401-403.

41. Усик, Е.В. Особенности реализации синхронного движения мобильных LEGO-роботов / Е.В. Усик // Список-2011: материалы межвуз. науч. конф. по проблемам информатики. -2011. - С. 276-279.

42. Usik, E.V. Synchronization of Two Nonlinear Lurie Systems Based on Passification and Backstep-ping / E.V. Usik // Preprints 14th International Student Olympiad on Automatic Control (Baltic Olympiad). - 2011. - Pp. 60-63.

43. Usik, E.V. Synchronization of Two Nonlinear Lurie Systems Based on Passification and Back-stepping / E.V. Usik // Conference Proceedings International Student Conference "Science and Progress". - 2011. - Pp. 60-63.

44. Усик, Е.В. Управление нелинейными каскадными системами в гамильтоновой форме / Е.В. Усик // Материалы 5-ой Российской мультиконференции по проблемам управления. Управление в технических, эргатических, организационных и сетевых системах. - 2012. -С. 240-243.

45. Усик, Е.В. Синхронизация движения группы мобильных роботов / Е.В. Усик, Т. Брынцева // Материалы XV конференции молодых ученых «Навигация и управление движением». -2013. - С. 333-338.

46. Андриевский, Б. Р. Метод пассификации в задачах адаптивного управления, оценивания и синхронизации / Б. Р. Андриевский, А. Л. Фрадков // Автоматика и телемеханика. - 2006. - № 11. - С. 3-37.

47. Willems, J. C. Dissipative dynamical systems part I: General theory / J. C. Willems // Archive for Rational Mechanics and Analysis. - 1972. - Vol. 45, no. 5. - Pp. 321-351.

48. Willems, J. C. Dissipative dynamical systems part II: Linear systems with quadratic supply rates / J. C. Willems // Archive for Rational Mechanics and Analysis. - 1972. - Vol. 45, no. 5. -Pp. 352-393.

49. Фрадков, А. Л. Кибернетическая физика: принципы и примеры / А. Л. Фрадков. - СПб.: Наука, 2003.

50. Якубович, В.А. Метод матричных неравенств в теории устойчивости нелинейных регулируемых систем. I. Абсолютная устойчивость вынужденных колебаний / В.А. Якубович // Автоматика и телемеханика. — 1964. — № 7. — С. 1017-1029.

51. Polyak, B. T. Convexity of quadratic transformations and its use in control and optimization /

B. T. Polyak // J. Optim. Theory and Appl. — 1998. — Vol. 99, no. 3. — Pp. 553-583.

52. Latombe, J. C. Robot Motion Planning / J. C. Latombe. — Boston: Kluwer Academic Publishers, Boston, 1991.

53. Adaptive motion control of nonholonomic vehicle / S. V. Gusev, I. A. Makarov, I. E. Paromtchik, V. A. Yakubovich // Proc. IEEE Int. Conf. Robot. Automat. Belgium. — 1998.

54. Liberzon, Daniel. Hybrid feedback stabilization of systems with quantized signals / Daniel Liber-zon // Automatica. — 2003. — Vol. 39, no. 9. — Pp. 1543-1554.

55. Поляк, Б. Т. Нелинейные системы с ограниченными или мультипликативными возмущениями / Б. Т. Поляк, М. В. Хлебников, П. С. Щербаков // Проблемы устойчивости и управления, Сборник научных статей, посвященный 80-летию академика В. М. Матросова. — 2013. —

C. 270 - 299.

56. LEGO Mindstorms home page [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http://mindstorms.lego.com.

57. LEJOS. Java for LEGO Mindstorms [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http://lejos.sourceforge.net/.

58. Bradski, G. R. Computer Vision Face Tracking For Use in a Perceptual User Interface / G. R Brad-ski // Intel Technology Journal. — 1998. — Vol. 5. — Pp. 10-20.

Список рисунков

2.1 Система (2.32)-(2.34)......................................................................20

2.2 Система (2.32)-(2.34) c учетом ограниченного возмущения............................20

3.1 Нелинейность в секторе....................................................................28

3.2 Ошибки eí и eí,i = 1,2 для системы (3.31), (3.35)........................................29

3.3 Ошибки eí и £í,i = 1,2 для системы (3.31), (3.35)........................................30

3.4 Ошибки и £í,i = 1,2 для системы (3.31), (3.35)........................................30

3.5 Ошибки eí и eí,i = 1,2 для системы (3.31), (3.35)........................................31

3.6 Ошибки e-i и eí,i = 1,2 для системы (3.31), (3.35)........................................31

3.7 Функция Lí(h) = \\С\\щ\\К\\eLsh - |\С\\щ\\К\\ - min{LG - LGe-r>h, 2} относительно шага дискретизации h......................................................31

6.1 Лабораторная установка....................................................................46

6.2 Мобильные роботы........................................................................47

Список таблиц

6.1 Результаты экспериментов

49