Сингулярно возмущенные задачи оптимального управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Данилин, Алексей Руфимович

• Данилин, Алексей Руфимович
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Данилин, Алексей Руфимович

Введение

Глава I. Регуляризация некорректных задач управления в условиях неопределенности

1. Методы регуляризации задач управления, основанные на равномерных регуляризаторах оператора динамики системы

1.1. Общий случай.

1.2. Случай гильбертовых пространств.

1.3. Регуляризация задачи управления динамической системой в гильбертовом пространстве

2. Конечномерные аппроксимации регуляризованных задач управления.

2.1. Внутренняя аппроксимация.

2.2. Проекционные методы.

2.3. Дискретная аппроксимация

3. Регуляризация задачи управления с ограничениями на состояние.

4. Регуляризация нелинейных задач управления при возмущении ограничений

Глава II. Асимптотика сингулярно возмущенных задач быстродействия

5. Управление движением материальной точки ограниченной силой.

6. Асимптотика решения задачи о быстродействии при возмущении начальных условий

7. Асимптотика решения задачи о быстродействии при возмущении целевого множества.

Глава III. Асимптотика ограниченных управлений в оптимальных эллиптических задачах в областях с малой полостью

8. Постановка задачи и определяющие соотношения

9. Асимптотика у£ и и£ при фиксированном Л£.

10. Определяющие соотношения для А.

11. Построение асимптотик у£(х) и и£{х).

Глава IV. Асимптотика ограниченных управлений в оптимальных сингулярных эллиптических задачах

12. Постановка задачи и основные соотношения.

13. Внешнее разложение.

14. Первая внутренняя задача.

15. Вторая внутренняя задача.

16. Решение задач Ь~ц] — р, Ь+у = д сри д специального вида

16.1. р и д вида Р +ф • е"'7.

16.2. р и д из классов функций Б и Вг^

16.3. р и д из классов функций В+ и

16.4. р и д из классов функций В* и В* к.

17. Вид решений второй внутренней задачи.

18. Равномерная в О, асимптотика функций г(х,у) и и(х,у) при фиксированном наборе { А^/ }

19. Равномерная в асимптотика функций и£ ж Х£

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сингулярно возмущенные задачи оптимального управления»

Сингулярно возмущенные задачи управления

Одним из направлений современного математического анализа является изучение малых возмущений различных задач. При этом, особое внимание уделяется сингулярным возмущениям, при которых свойства допредельных задач качественно отличаются от свойств предельных.

Отметим, что малое возмущение некоторой задачи чаще всего обусловлено одной из следующих причин: погрешность исходных данных или малость тех или иных компонент в математической модели. Тип малого возмущения определяет и основные цели исследования и роль предельной задачи.

Для возмущений первого типа предельная задача самоценна, а ее возмущение - неизбежное зло, с которым надо бороться различными способами, возможно и далекими от методов, характерных для исходной задачи. Здесь главное - построить приближение исходной задачи в том или ином смысле. При этом решение вспомогательной задачи может качественно отличаться от искомого, и, в любом случае, нет необходимости находить приближенные решения точнее, чем тот уровень погрешности, который гарантируется теорией. Сингулярно возмущенные задачи такого рода характерны для теории некорректно поставленных задач.

При возмущениях второго типа, наоборот, "возмущенная" задача является исходной, требующей решения, а ее предельная - лишь удобный способ для нахождения приближенного решения исходной задачи. Поэтому здесь вопросы сходимости решений возмущенной задачи к ре-, шениям предельной - лишь первый этап, этап определения "нулевого" члена приближения, за которым следует задача нахождения следующих поправок, по возможности дающих приближение исходной задачи с наперед заданной точностью. Сингулярно возмущенные задачи такого типа характерны для асимптотической теории.

В диссертационной работе исследуются сингулярно возмущенные задачи оптимального управления обоих типов.

Теория оптимального управления, основы которой были заложены в работах JI.C. Понтрягина, H.H. Красовского, В.Г. Болтянского, Р.В. Гамкрелидзе, Р. Беллмана ([16], [46], [183], [119], [12], [184], [120], [15]), и теория некорректных задач, у истоков которой стояли А.Н. Тихонов, В.К. Иванов, М.М. Лаврентьев, Р. Латтес и Ж.-Л. Лионе ([199], [200], [201], [83], [84], [133], [202], [137], [87]), появившись почти одновременно, развивались во взаимном влиянии и проникновении методов и понятий обеих теорий.

Например, основные регуляризаторы, такие как регуляризатор А.Н. Тихонова ([199]), квазирешения В.К. Иванова ([83]), метод невязки ([236], [86]), являются абстрактными задачами оптимального управления. С другой стороны, многие задачи оптимального управления неустойчивы относительно возмущений данных и, тем самым, являются некорректными в смысле Адамара ([227]). Особенно это относится к задачам оптимального управления системами с распределенными параметрами ([18], [81], [142], [230], [231], [144], [147], [149], [185], [188]). Поэтому работы, посвященные некорректным задачам теории управления, принадлежат представителям обеих теорий. Особенно заметно это взаимовлияние в работах уральских математиков, где существуют сильные научные школы обоих указанных направлений.

Абстрактные некорректные задачи теории управления рассматривались уже в работах основоположников теории некорретных задач ([201]).

В работах Ю.С. Осипова и его учеников исследована корректность некоторых задач оптимального управления и построены динамические регуляризующие алгоритмы восстановления динамики управляемого процесса в реальном масштабе времени ([178], [124], [125], [179], [177], [112], [116], [117], [154]).

Построению алгоритмов решения задач управления и наблюдения в условиях неопределенности, многие из которых неустойчивы и требуют той или иной регуляризации, посвящены работы A.B. Куржанского и его учеников ([128], [129], [130], [131], [132], [49], [5], [4], [40], [123], [172],' [187], [210]) и И.Я. Каца ([111], [110]).

Конкретные регуляризаторы для решений дифференциальных уравнений и задач управления в банаховых пространствах строились в [221], [220].

Асимптотические методы анализа, появившиеся значительно раньше, в развитие которых существенный вклад внесли работы H.H. Боголюбова и Ю.А. Митропольского ([17]), А.Н. Тихонова и A.B. Васильевой ([198], [28]), JI.C. Понтрягина, Е.Ф. Мищенко и Н.Х. Розова ([183],[160]), O.A. Олейник ([174]), М.И. Вишика и JI.A. Люстерника ([38], [39]), O.A. Ладыженской ([134]), В.П. Маслова ([155], [156], [157], [158]) и др. (см. [21], [22], [24], [29], [148], [159], [161], [169], [180], [206], [213]), с созданием теории оптимального управления получили новый импульс к дальнейшему развитию и новую сферу прложения.

Одним из основных способов применения метода малого параметра к задачам управления является построение асимптотических разложений решений систем краевой задачи принципа максимума Л.С. Понтрягина и его обобщений на задачи управления системами с распределенными параметрами ([32], [181], [215], [228], [235], [25], [26], [81], [82], [147], [185], [191], [230], [144], [231], [162]).

Сингулярные возмущения задач управления часто связаны с наличием малого параметра при старшей производной в уравнениях, определяющих динамику прцесса. В этом случае у решений соответствующих систем могут появиться функции пограничного слоя. Теория экспоненциально убывающих функций пограничных слоев, развитая в работах A.B. Васильевой, В.Ф. Бутузова и их учеников ([29], [30], [31], [20], [19], [1]), была успешно применена и для исследования задач управления ([2], [32], [47], [48], [77], [78], [79], [114], [121], [126], [223]). Другой подход к задаче с быстрыми и медленными переменными основан на прямом опорном методе и развит в работах [49], [99], [100], [101].

Однако, в ряде случаев решения вспомогательных задач пограничного слоя имеют нарастающие степенные особенности. Такие задачи характерны для областей с негладкими границами, а также при наличии малых полостей, тонких щелей и тел и т.п. В последнее время они получили название бисингулярных задач.

Одним из мощных методов построения равномерных асимптотик бисингулярных задач является метод согласования асимптотических разложений. И, хотя идеи метода высказаны Прандтлем еще 1904 году ([237]), а процедура согласования использовалась Ван-Дайком ([24]), Л. Френкелем ([225]) и В. Экхаузом ([224]), однако строгое обоснование асимптотических разложений, построенных таким методом, особенно для задач с распределенными параметрами, появился сравнительно недавно в работах В.М. Бабича, A.M. Ильина и их учеников ([7], [8], [9], [42], [43], [44], [88], [89], [90], [91], [92], [94], [95], [96], [97], [102], [103], [104], [139], [140], [170], [171], [173]).

Несколько иными методами исследовались бисингулярные задачи в работах В.Г. Мазьи, С.А. Назарова, Б.А. Пламеневского, М.В. Федорю-ка ([6], [152], [153], [163], [164], [165], [166], [167], [168], [208], [209]).

Трудности исследования бисингулярных задач оптимального управления решениями краевых задач для уравнений с распределенными параметрами связаны с необходимостью рассмотрения краевых задач для систем таких уравнений. Поэтому работ, посвященных таким задачам, не так много ([105], [106], [107], [108]).

Цель работы

Работа посвящена развитию методов регуляризации и согласования асимптотических разложений для исследования сингулярно возмущенных задач оптимального управления.

Методы регуляризации разрабатываются для задач в случае возмущения множества исходных данных, когда оператор невозмущенной задачи неприменим к множеству исходных данных возмущенной зда-чи. Такие задачи характерны для управляемых систем, функционирующих в условиях неопределенности ([129]).

Метод согласования в форме [92] развивается как для задач управления решениями систем обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для задач управления решениями краевых задач эллиптического типа. При этом сингулярность проистекает из-за существенных качественных отличий допредельной и предельной задач.

Существенной особенностью последнего класса задач является то, что оптимальное управление и соответствующее ему состояние, описываются краевой задачей для системы уравнений с распределенными параметрами, зависящей от скалярного параметра, с дополнительным интегральным соотношением.

Краткое содержание диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, содержащих 19 пунктов (нумерация пунктов сквозная) и списка литературы.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Данилин, Алексей Руфимович, 2000 год

1. Агранович M.С., Вишик М.И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида. // Успехи матем. наук, 1964, т.19, № 3, с.153-160.

2. Акуленко JI. Д. Асимптотические методы оптимального управления. М.: Наука, 1987, 368 с.

3. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979, 429 с.

4. Ананьев Б.И., Ширяев В.И. О выборе наихудших сигналов в многошаговых задачах гарантированного оценивания. //В кн.: Динамические задачи оценивания в условиях неопределенности. Свердловск: УрО АН СССР, 1989, с.11-20.

5. Аникин С.А., Гусев М.И. Оценивание возмущающих сил по измерениям параметров движения. //В кн.: Гарантированное оценивание и задачи управления. Свердловск: УрО АН СССР, 1986, с.19-30.

6. Аргатов И.И., Назаров С.А. Асимптотическое решение задачи Си-ньорини с малыми участками свободной границы. // Сибирский матем. журнал, 1994, т.35. № 2, с.258-277.

7. Бабич В.М. Об асимптотике функций Грина некоторых волновых задач. II. // Матем. сб., 1972, т.87, вып.1, с.44-51.

8. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972, 456 с.

9. Бабич В.М., Кирпичникова Н.Я. Метод пограничного слоя в задачах дифракции. Д.: Изд-во ЛГУ, 1974, 125 с.

10. Бакушинский А.Б. Один общий прием построения регуляризую-щих алгоритмов для линейного некорректного уравнения в гильбертовом пространстве. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1967, т.7, № 3, с.672-677.

11. Балакришнан A.B. Прикладной функциональный анализ. М.: Мир, 1980, 383 с.

12. Беллман Р. Динамическое программирование. М: ИЛ, 1960, 400 с.

13. Белолипецкий A.A., Рябов А.Ю. О ветвлении решений линейной задачи оптимального быстродействия в нерегулярной точке. // Вестник МГУ, сер.15 Вычисл. матем. и киберн., 1984, № 4, с.29-34.

14. Белолипецкий A.A., Рябов А.Ю. Асимптотические оценки решений задачи оптимального быстродействия вблизи точек излома изохронной поверхности. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1986, т.26, № 4, с.521-534.

15. Болтянский В.Г. Математические методы теории оптимального управления. М.: Наука, 1969, 408 с.

16. Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Понтрягин Л.С. К теории оптимальных процессов. // ДАН СССР, т. 110, № 1, 1955, с.7-10.

17. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974, 501 с.

18. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975, 568 с.

19. Бутузов В.Ф., Нестеров A.B. О некоторых сингулярно возмущенных задачах гиперболического типа с переходными слоями. //Дифференц. уравнения, 1986, т.22, № 10, с.1739-1744.

20. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б. Об асимптотической теории контрастных пространственных структур. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1988, т.28, № 3, с.346-361.

21. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968, 464 с.

22. Вайнберг Б.Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1982, 294 с.

23. Вайникко Г. Анализ дискретизационных методов. Тарту: Изд-во ТГУ, 1976, 161 с.

24. Ван-Дайк. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967, 310 с.

25. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Мир, 1977, 623 с.

26. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981, 400 с.

27. Васильев Ф.П., Ишмухаметов А.З., Потапов М.М. Обобщенный метод моментов в задачах оптимального управления. М.: Изд-во МГУ, 1989, 143 с.

28. Васильева А.Б. О развитии теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных за период 1966-1976 г.г. // Успехи матем. наук, 1976, т.31, вып.6, с.102-122.

29. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973, 272 с.

30. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. М.: Изд-во МГУ, 1978, 106 с.

31. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990, 208 с.

32. Васильева А.Б., Дмитриев М.Г. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления. // Матем. анализ (Итоги науки и техн.). М.: ВИНИТИ, 1982, т.20, с.3-77.

33. Васин В.В. Об одном проекционном методе решения некорректных задач. // Изв. вузов. Математика, 1971, № 11, с.26-32.

34. Васин В.В. Дискретная сходимость и конечномерная аппроксимация регуляризующих алгоритмов. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1979, т.19, № 1, с.11-21.

35. Васин B.B. Дискретизация, итерационно-аппроксимационные алгоритмы решения неустойчивых задач и их приложения: Дис. д.ф.-м.н., Новосибирск, 1985.

36. Васин В.В., Агеев A.JI. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: УИФ "Наука", 1993, 266 с.

37. Васин В.В., Танана В.П. Необходимые и достаточные условия сходимости проекционных методов для линейных неустойчивых задач. // ДАН СССР, 1974, т.215, № 5, с.1032-1034.

38. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. // Успехи матем. наук, 1957, т.12, вып.5, с.3-122.

39. Вишик М.М., Люстерник Л.А. Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных уравнений с большими или быстро меняющимися коэффициентами и граничными условиями. // Успехи матем. наук, 1960, т.15, вып.4, с.3-95.

40. Водичев A.B. Оценка состояния линейной системы с запаздыванием при квадратичных ограничениях на возмущения. //В кн.: Оценивание динамики управляемых движений. Свердловск: УрО АН СССР, 1988, с.40-48.

41. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М.: Наука, 1973, 256 с.

42. Гадылыпин P.P. Асимптотика собственного значения сингулярно возмущенной эллиптической задачи с малым параметром в граничном условии. // Дифференц. уравнения, 1986, т.22, № 4, с.640-652.

43. Гадылыпин P.P. Расщепление кратного собственного значения задачи Дирихле для оператора Лапласа при сингулярном возмущении граничного условия. // Матем. заметки, 1992, т.52, № 4, с.42-55.

44. Гадылыпин P.P. Метод сращивания асимптотических разложений в задаче об акустическом резонаторе Гельмгольца. // Прикладная матем. и механ., 1992, т.56, вып.З, с.412-418.

45. Гайдгори В.Г. Управление системами с быстрыми и медленными движениями. М.: Наука, 1991, 223 с.

46. Гамкрелидзе Р.В. Теория оптимальных по быстродействию процессов в линейных системах. // Изв. АН СССР, сер. матем., т.22,' № 4, 1958, с.449-474.

47. Гичев Т.Р., Дончев A.JI. Сходимость решения линейной сингулярно возмущенной задачи быстродействия. // Прикладная матем. и механ., 1979, т.43, вып.З, с.466-474.

48. Глизер В.Я., Дмитриев М.Г. Сингулярные возмущения в линейной задаче оптимального управления с квадратичным функционалом. // ДАН СССР, 1975, т.225, № 5, с.997-1000.

49. Гусев М.И., Куржанский A.B. Обратные задачи динамики управляемых систем. //В кн.: Механика и научно-технический прогресс. Т.1. Общая и прикладная механика. М.: Наука, 1987,. с.187-195.

50. Данилин А.Р. Устойчивость регуляризующих алгоритмов относительно конечномерных и дискретных аппроксимаций. // Рукопись деп. в ВИНИТИ, N 1632-78 Деп., 18 с.

51. Данилин А.Р. Об условиях сходимости конечномерных аппроксимаций метода невязки. // Изв. вузов. Математика, 1980, № 11, с.38-40.

52. Данилин А.Р. Необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций метода невязки. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1982, т.22, № 4, с.994-997.

53. Данилин А.Р. Об оптимальных по порядку оценках конечномерных аппроксимаций решений некорректных задач. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1985, т.25, № 8, с.1123-1130.

54. Данилин А.Р. Регуляризация задач управления в условиях неопределенности. //В кн.: Некоторые вопросы теории операторов, Свердловск: Изд-во УрГУ, 1987, с.20-28.

55. Данилин А.Р. Об устойчивости методов регуляризации задач управления относительно конечномерных аппроксимаций. //В кн.: Исследования по функциональному анализу и топологиисборник научных трудов). Свердловск: Изд-во УрГУ, 1990, с.34-43.

56. Данилин А.Р. Регуляризация задачи управления с ограничениями на состояние. // Изв. вузов. Математика, 1992, № 2, с.24-28.

57. Данилин А.Р. О регуляризации нелинейных задач управления при возмущении ограничений. // Понтрягинские чтения IV: Тезисы докладов школы. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1993, с.63.

58. Данилин А.Р. Регуляризация задачи управления динамической системой в гильбертовом пространстве в условиях неопределенности. // Дифференц. уравнения, 1994, т.ЗО, № 1, с.172-174.

59. Данилин А.Р. Регуляризация нелинейных задач управления при возмущении ограничений. // Изв. вузов. Математика, 1996, № 8, с.34-38.

60. Данилин А.Р. Асимптотика ограниченных управлений для сингулярной эллиптической задачи в области с малой полостью. // Ма-тем. сб., 1998, т.189, № 11, с.27-60.

61. Данилин А.Р. Асимптотика управлений для сингулярной эллиптической задачи в прямоугольнике. /Рукопись депонирована в ВИНИТИ 31.05.99 № 1738-В99, 79 с,

62. Данилин А.Р. Асимптотика управлений для сингулярной эллиптической задачи управления. // Дифференициальные и интегральные уравнения. Тезисы докладов Международной научной конференции 22-26 июня 1999 г. Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 1999, с.37.

63. Данилин А.Р. Асимптотика управлений для сингулярной эллиптической задачи. // Доклады академии наук, 1999, т.369, № 3, с.305-308.

64. Данилин А.Р., Ильин A.M. Асимптотика решения задачи о быстродействии при возмущении начальных условий. // Изв. РАН. Техн. киберн., 1994, № 3, с.96-103.

65. Данилин А.Р., Ильин A.M. Асимптотическое поведение решения задачи быстродействия для линейной системы при возмущении начальных данных. // Доклады академии наук, 1996, т.350, № 2, с.155-157.

66. Данилин А.Р., Ильин A.M. О структуре решения одной возмущенной задачи быстродействия. // Фундаментальная и прикладная математика, 1998, т.4, № 3, с.905-926.

67. Данилин А.Р., Корзунин Л.Г. О двойственности дискретных аппроксимаций. //В кн.: Исследование операторных уравнений в функциональных пространствах. Свердловск: Изд-во УрГУ, 1983, с.39-45.

68. Данилин А.Р., Танана В.П. О сходимости проекционных методов решения линейных некорректных задач. // Матем. записки Уральск, ун-та, 1975, т.9, № 4, с.3-13.

69. Данилин А.Р., Танана В.П. Необходимые и достаточные условия сходимости аппроксимаций линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1984, т.24, № 5, с.633-639.

70. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. М: ИЛ, 1962, 895 с.

71. Дмитриев М.Г. Пограничный слой в задачах оптимального управления. // Изв. АН СССР. Техн. киберн., 1983, № 4, с.63-69.

72. Дмитриев М. Г. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления: Дис. д.ф.-м.н., Красноярск: СО АН СССР, 1983.

73. Дмитриев М.Г. Теория сингулярных возмущений и некоторые задачи оптимального управления. // Дифференц. уравнения, 1985, т.21, № 10, с.1693-1698.

74. Дончев А. Системы оптимального управления: возмущения, приближения и анализ чувствительности. М.: Мир, 1987, 156 с.

75. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука, 1978, 463 с.

76. Иваненко В.М.Мельник B.C. Вариационные методы в задачах управления для систем с распределенными параметрами. Киев: Наукова думка, 1988, 288 с.

77. Иванов В.К. О линейных некорректных задачах. // ДАН СССР, 1962, т.145, № 2, с.270-272.

78. Иванов B.K. О некорректно поставленных задачах. // Матем.сб., 1963, т.61, № 2, с.211-223.

79. Иванов В.К. О равномерной регуляризации неустойчивых задач. // Сибирский матем. журнал, 1966, т.7, № 3, с.546-558.

80. Иванов В.К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1966, т.6, № 6, с.1089-1094.

81. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978, 206 с.

82. Ильин A.M. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щелью. I. Двумерный случай. // Матем. сб., 1976, т.99, № 4, с.514-537.

83. Ильин A.M. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щелью. II. Область с малым отверстием. // Матем. сб., 1977, т. 103, № 3, с.265-284.

84. Ильин A.M. Исследование асимптотики решения эллиптической краевой задачи в области с малым отверстием. // Труды семинара им. И.Г. Петровского, 1981, вып.6, с.57-82.

85. Ильин A.M., Калашников A.C., Олейник O.A. Линейные уравнения второго порядка параболического типа. // Успехи матем. наук, 1962, т.17, вып.З, с.3-146.

86. Ильин A.M., Леликова Е.Ф. Метод сращивания асимптотических разложений для уравнений £/\и — а(х, у)иу = /(х, у) в прямоугольнике. // Матем. сб., 1975, т.96, № 4, с.568-583.

87. Ильин A.M., Леликова Е.Ф. Асимптотика решений некоторых эллиптических уравнений в неограниченных областях. // Матем. сб., 1982, т.119, № 3, с.307-324.

88. Ильин A.M., Насиров К.Х. Метод согласования асимптотических разложений для одной эллиптической краевой задачи с малым параметром. //В кн.: Дифференциальные уравнения с малым параметром. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1980, с.8-15.

89. Ильин A.M., Сулейманов Б.И. Асимптотика функции Грина для эллиптического уравнения второго порядка вблизи границы области. // Изв. АН СССР, сер. матем., 1983, т.47, № 6, с.149-165.

90. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967, 624 с.

91. Калинин А. И. Алгоритм асимптотического решения квазилинейной задачи оптимального быстродействия. // ДАН БССР, 1988, т.32, № 3, с.197-200.

92. Калинин А.И. Метод асимптотического решения сингулярно возмущенной линейной задачи терминального управления. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1990, т. 30, № 3, с.366-378.

93. Калинин А.И., Романюк Г.А. Оптимизация линейных сингулярно возмущенных систем. //В кн.: Конструктивная теория экстремальных задач. Минск: Университетское, 1984, с. 100-113.

94. Калякин JI.A. Построение асимптотики решения одной задачи МГД с малым параметром. I. Прямолинейное течение в прямоугольном канале. Сверхпроводящая стенка, перпендикулярная магнитному полю. // Дифференц. уравнения, 1979, т.15, № 4, с.668-680.

95. Калякин Л.А. Метод сращиваемых асимптотических разложений в эекоторых линейных задачах МГД с сингулярным возмущением. //В кн.: Уравнения с малым параметром. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1980, с.16-43.

96. Калякин Л.А. Асимптотика решения системы двух линейных уравнений МГД с сингулярным возмущением. I. Стандартная задача в эллиптическом слое. // Дифференц. уравнения, 1982, т.18, № 10, с.1724-1738.

97. Капустин В.Е. Асимптотика ограниченных управлений в оптимальных эллиптических задачах. // ДАН Украины, 1992, № 2, с.70-74.

98. Капустян В.Е. Асимптотика ограниченных управлений в опти-мальых билинейных эллиптических задачах. // ДАН Украины, 1992, № 9, с.35-39.

99. Капустян В.Е. Оптимальные бисингулярные эллиптические задачи с гграниченным управлением. // ДАН Украины, 1993, № 6, с.81-85.

100. Капустян В.Е. Асимптотика управлений в оптимальных сингулярно возмущенных параболических задачах. Глобальные ограничения на управление. // Доклады академии наук, 1993, т.ЗЗЗ, № 4, с.428-431.

101. Карлсроу Г.С. Теория теплопроводности. M.-JL: ГИТТЛ, 1947, 288 с.

102. Кац И.Я. Асимптотические свойства информационных множеств в задаче минимаксно-стохастической фильтрации. //В кн.: Эволюционный системы в задачах оценивания. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985, с.31-37.

103. Кац И.Я., Куржанский A.B. Минимаксное оценивание в многошаговых системах. // ДАН СССР, 1975, т.221, № 3, с.535-538.

104. Ким A.B., Короткий А.И., Осипов Ю.С. Обратные задачи динамики параболических систем. // Прикладная матем. и механ., 1990, т.54, № 5, с.754-759.

105. Киселев Ю.Н. Асимптотическое решение задачи оптимального быстродействия для систем управления близких к линейным. // ДАН СССР, 1968, т.182, № 1, с.31-34.

106. Киселев Ю.Н. Линейная теория быстродействия с возмущениями. М.: Изд-во МГУ, 1986, 106 с.

107. Кондратьев В.А. Особенности решений задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в окрестности ребра. // Дифференц. уравнения, 1977, т.13, № И, с.2026-2032.

108. Короткий А.И. О корректности задач оптимального управления параболическими и гиперболическими системами. //В кн.: Задачи позиционного моделирования. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986, с.19-40.

109. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972, 274 с.

110. Красовский H.H. К теории оптимального регулирования. // Автоматика и телемеханика, 1957, т. 18, № 11, с.223-226.

111. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968, 476 с.

112. Крейн С.Г., Курина Г.А. О сингулярных возмущениях в задачах оптимального управления. //В кн.: Устойчивость движения. Аналитическая механика. Управление движением. М.: Наука, 1981, с.170-178.

113. Кремлев А.Г. Аппроксимация оптимального решения в минимкс-ной задаче управления сингулярно возмущенной квазилинейной системой. // Изв. РАН, сер: Техн. киберн., 1994, № 6, с.183-193.

114. Кремлев А.Г. О построении асимптотики информационных множеств для сингулярно возмущенных систем. // Автоматика и телемеханика, 1996, № 7, с.32-42.

115. Кряжимский A.B., Осипов Ю.С. О моделировании управления в динамической системе. // Изв. АН СССР, сер: Техн. киберн., 1983, № 2, с.51-60.

116. Куратовский К. Топология. М.: Мир, 1966, т.1, 594 с.

117. Курина Г.А. Асимптотическое решение одного класса сингулярно возмущенных задач оптимального управления. // Прикладная матем. и механ., 1983, т.47, вып.З, с.363-371.

118. Куржанский A.B. Программное управление по неполным данным. // Дифференц. уравнения, 1974, т.10, JY-» 12, с.2162-2172.

119. Куржанский A.B. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977, 392 с.

120. Куржанский A.B., Кощеев A.C. Адаптивное оценивание эволюции многошаговых систем в условиях неопределенности. // Изв. АН СССР, сер: Техн. киберн., 1983, № 2, с.72-92.

121. Куржанский A.B., Никонов И.О. Оптимальное управление ансамблем траекторий. //В кн.: Игровые задачи управления. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1977, с.53-67.

122. Куржанский A.B., Филиппова Т.Ф. О методе сингулярных возмущений для дифференциальных включений. // ДАН СССР, 1991, Т.321, № 3, с.454-459.

123. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962, 92 с.

124. Ладыженская O.A. Об уравнениях с малым параметром при старших производных в линейных дифференциальных уравнениях с частными производными. // Вестник ЛГУ, 1957, т.7, № 2, с.104-120.

125. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967, 736 с.

126. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964, 538 с.

127. Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир, 1970, 336 с.

128. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения. М.-Л.: Физматгиз, 1963, 358 с.

129. Леликова Е.Ф. Об асимптотике решения эллиптического уравнения второго порядка с малым параметром при старших производных. // Дифференц. уравнения, 1976, т.12, № 10, с.1852-1865.

130. Леликова Е.Ф. Метод сращивания асимптотических разложений для уравнений аи2 — / в параллелепипеде. // Дифференц. уравнения, 1978, т.14, № 9, с.1638-1648.

131. Леонтьев А.Ф. Последовательности полиномов из экспонент. М.: Наука, 1980, 384 с.

132. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972, 414 с.

133. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения, нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972, 587 с.

134. Лионе Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.: Мир, 1987, 368 с.

135. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971, 371 с.

136. Лисковец O.A. Вариационные методы решения неустойчивых задач. Минск: Наука и техника, 1981, 343 с.

137. Литвинов В.Г. Оптимизация в эллиптических граничных задачах с приложениями к механике. М.: Наука, 1987, 366 с.

138. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981, 400 с.

139. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975, 478 с.

140. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965, 520 с.

141. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972, 574 с.

142. Мазья В.Г., Назаров O.A. Пламеневский Б.А. Асимптотика решений эллиптических краевых задач при сингулярном возмущении области. Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1981, 206 с.

143. Мазья В.Г., Назаров O.A. Пламеневский Б.А. Асимптотические разложения собственных чисел краевых задач для оператора Лапласа в областях с малыми отверстиями. // Изв. АН ССОР, сер. матем., 1984, т.48, № 2, с.347-371.

144. Максимов В.И. О моделировании управлений в параболических вариационных неравенствах. // Дифференц. уравнения, 1991, т.27, № 9, с.1603-1609.

145. Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы. М.: Из-во МГУ, 1965, 549 с.

146. Маслов В.П. Асимптотические методы решения псевдодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1987, 406 с.

147. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений. М.: Наука, 1988, 309 с.

148. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1976, 296 с.

149. Митропольский Ю.А., Хома Г.П., Громяк М.И. Асимптотические методы исследования квазиволновых уравнений гиперболического типа. Киев: Наукова думка, 1991, 232 с.

150. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения и релаксационные коллебания. М.: Наука, 1975, 247 с.

151. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1969, 400 с.

152. Мордухович Б.Ш. Существование оптимальных управлений. //В кн.: Современные пробл. математики (Итоги науки и техн.). М.: ВИНИТИ, 1976, т.6, с.207-271.

153. Назаров С. А. Метод Вишика-Люстерника для эллиптических краевых задач в областях с коническими точками. I. Задача в конусе. // Сибирский матем. журнал, 1981, т.22, № 4, с. 142-163.

154. Назаров С.А. Метод Вишика-Люстерника для эллиптических краевых задач в областях с коническими точками. II. Задача в ограниченной области. // Сибирский матем. журнал, 1984, т.25, К2 5, с.132-152.

155. Назаров С. А. Асимптотическое решение вариационных неравенств для линейного оператора с малым параметром при старших производных. // Изв. АН СССР, сер. матем., 1990, т.54, № 4, с.754-773.

156. Назаров С.А. Асимптотика решения задачи Дирихле для уравнения с быстро осцилирующими коэффициентами в прямоугольнике. // Матем. сб., 1991, т.182, № 5, с.672-722.

157. Назаров С.А. Асимптотические решения задачи с малыми препятствиями. // Дифференц. уравнения, 1995, т.31, № 6, с.1031-1041.

158. Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. М.: Наука, 1991, 333 с.

159. Найфэ А. X. Методы возмущений. М.: Мир, 1976, 455 с.•

160. Нестерова Т.Н. О решении параболического уравнения с малым парараметром в прямоугольнике. //В кн.: Дифференциальные уравнения с малым параметром. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1980, с.66-86.

161. Нестерова Т.Н. Метод сращиваемых асимптотических разложений для решения гиперболического уравнения с малым параметром. // Матем. сб, 1983, т.120(162), № 4, ¿546-555.

162. Никонов О.И. О структуре и алгоритмах решения обратных задач многокритериальной оптимизации. // В кн.: Оценивание и идентификация неопределенных систем. Екатеринбург: УрО РАН, ИММ, 1992, с.167-187.

163. Новокшенов В.Ю. Асимптотика решения одного эллиптического уравнения с разрывными граничными условиями. // Дифференц. уравнения, 1976, т.12, № 10, с.1625-1637.

164. Олейник O.A. Об уравнениях эллиптического типа с малым параметром при старших производных. // Матем. сб., 1952, т.31, вып.1, с.104-117.

165. Олейник O.A., Чечкин Г. А. О краевых задачах для эллиптических уравнений с быстроменящимся типом граничных условий. // Успехи матем. наук, 1993, т.48, № 6, с.163-164.

166. Обен Ж.-П., Эк ланд М. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир. 1988, 510 с.

167. Осипов Ю.С., Короткий А.И. Динамическое моделирование параметров в гиперболических системах. // Изв. АН СССР, сер: Техн. киберн., 1991, № 2, с.154-164.

168. Осипов Ю.С., Кряжимский A.B. О динамическом решении операторных уравнений. // ДАН СССР, 1983, т.269, № 3, с.552-556.

169. Осипов Ю.С., Кряжимский A.B., Максимов В.И. Задачи динамической регуляризации для систем с распределенными параметрами. // Препринт, 1991. Свердловск: УрО АН СССР, ИММ, 104 с.

170. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. М.: Наука, 1987, 375 с.

171. Плотников В.А. Метод усреднения в задачах оптимального управления. // Дифференц. уравнения, 1985, т.21, К2 10, с.1713-1717.

172. Понтрягин J1.C. Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных. // Изв. АН ССОР, сер. матем., 1957, т.21, с.605-626.

173. Понтрягин JI.C. Оптимальные процессы регулирования. // Успехи матем. наук, 1959, т. 14, вып.1, с.3-20.

174. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физ-матгиз, 1961, 391 с.

175. Райтум У. Б. Задачи оптимального управления для эллиптических уравнений. Рига: Зинатне, 1989, 274 с.

176. Cea Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. М.: Мир,1973, 244 с.

177. Сивергина И.Ф. Оценивание траекторий систем с неопределенными параметрами при обобщенном квадратичном ограничении. //В кн.: Гарантированное оценивание и задачи управления. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986, с.101-109.

178. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1977, 479 с.

179. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1950, 255 с.

180. Страхов В.Н. О решении линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве. // Дифференц. уравнения, 1970, т.6, № 8, с. 1490-1495.

181. Сумин В.М. О достаточных условиях устойчивости существования глобальных решений управляемых краевых задач. // Дифференц. уравнения, 1990, т.26, № 12, с.2097-2109.

182. Танана В.П. Обтимальные по порядку методы решения нелинейных некорректно поставленных задач. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1976, т.16, № 2, с.503-507.

183. Танана В.П. Об обтимальных алгоритмах решения нелинейных неустойчивых задач. // Сибирский матем. журнал, 1976, т. 17, № 5, с.1116-1128.

184. Танана В.П. Методы решения операторных уравнений. М.: Наука, 1981, 157 с.

185. Танана В.П., Данилин А.Р. Об оптимальности регуляризующих алгоритмов при решении некорректных задач. // Дифференц. уравнения, 1976, т.12, № 7, с.1323-1326.

186. Танана В.П., Данилин А.Р. Необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций регуляризованных решений. // ДАН СССР, 1982, т.264, № 5, с.1094-1096.

187. Танана В.П., Рекант М.А., Янченко С.И. Оптимизация методов решения операторных уравнений. Свердловск: Из-во Уральск, унта, 1987, 198 с.

188. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при производных. // Матем. сб., 1952, т. 31(73), № 3, с.575-586.

189. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации. // ДАН СССР, 1963, т.151, № 3, с.501-504.

190. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач. // ДАН СССР, 1963, т.153, № 1, с.49-52.

191. Тихонов А.Н. О методах регуляризации задач оптимального управления. // ДАН СССР, 1965, т.162, № 4, с.763-765.

192. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974, 223 с.

193. Тихонов А.Н., Васильев Ф.П., Потапов М.М., Юрий А.Д. О регуляризации задач минимизации на множествах, заданных приближенно. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. математика и кибернетика, 1977, № 1, с.4-19.

194. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Асимтотическое разложение интегралов с медленно убывающим ядром. // ДАН СССР, 1959, т.12, № 1, с.26-29.

195. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966, 724 с.

196. Треногин В.А. Развитие и приложение асимптотического метода Люстерника-Вишика. // Успехи матем. наук, 1970, т.25, вып.4, с.123-156.

197. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978, 488 с.

198. Федорюк М.В. Асимптотика решения задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Гельмголъца во внешности тонкого цилиндра. // Изв. АН СССР, сер. матем., 1981, т.45, № 1, с.167-186.

199. Федорюк М.В. Уравнения с быстро осцилирующими решениями. //В кн.: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т.34 (Итоги науки и техники). М.: ВИНИТИ, 1988, с.5-56.

200. Филиппова Т.Ф. Об одном достаточном условии оптимальности в задаче управления ансамблем движений. //В кн.: Оценивание динамики управляемых движений. Свердловск: УрО АН СССР, 1988, с.111-118.

201. Фридман А. Уравнения в частных производных параболического типа. М: Мир, 1968, 427 с.

202. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970, 720 с.

203. Чанг К., Хауэс Ф. Нелинейные сингулярно возмущенные краевые задачи. М.: Мир, 1988, 247 с.

204. Черноусько Ф. JI. Некоторые задачи оптимального управления с малым параметром. // Прикладная матем. и механ., 1968, т.32, вып. 1, с.15-26.

205. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления. //В кн.: Матем. анализ (Итоги науки и техн.). М.: ВИНИТИ, 1977, т.14, с.101-166.

206. Шефер X. Топологические векторные пространства. М.: Мир,-1971, 359 с.

207. Melnikova I.V., Anufrieva U.A., Filinkov A.I. Laplace transfjrm of K-semigroups and well-posedness of the Cauchy problem. // J. Integral Transforms and Special Functions, 1999, v.8, №1-2, p.1-20.

208. Melnikova I.V., Anufrieva U.A., Ushlcov V.Yu. Degenerate distribution semigroups and well-posedness of the Cauchy problem. // J. Integral Transforms and Special Functions, 1998, v.6, № 1-4, p.228-237.

209. Dontchev A.L., Veliov V.M. Singular perturbation in Mayor's problem for linear systems. // SIAM J. Control and Optimiz., 1983, v.21, № 4, p.566-581.

210. Dontchev A.L., Veliov V.M. Singular perturbation in Mayor's problem for linear systems. // SIAM J. Control and Optimiz., 1983, v.21, № 4, p.566-581.

211. Eckhaus W. Boundary layers in linear elliptic singular perturbation problem. // SIAM Review, 1972, v.14, № 2, p.226-270.

212. Fraenkel L.E. On the method of matched asymptotic expansion. Parts I-III. // Proc. Cambridge Phil. Soc., 1969, v.65, p.209-231, 233-251, 263-284.

213. Grigorieff R.D. Zur Theorie Approximations regulärer Operatoren. 1. // Math. Nachr., 1973, bd.55, № 3, s.233-249.

214. Hadamard J. Le probleme Cauchy. Paris, 1932.

215. Kokotovic P.V. Application of singular perturbation techniques to control problems. // SIAM Review, 1984, v.26, № 4, p.501-550.

216. Lions J.L. Perturbations singulières dans les problèmes aux limites eten controle optimal. // Lecture Notes In Math. 1973., № 323, Springer, 645 p.

217. Lions J.L. Asymptotic methods in the optimal control of distributed systems. // Automatica, 1978, v. 14, p. 199-211.

218. Lions J. L. Optimal control of well posed distributed systems snd related non linear partial differential equations. // Nonlinear iroblems: Present and future. Proc. 1 Conf. Los Alamos, March, 1982, p.3-16.

219. Lions J.L. Distributed systems with uncomplete data and Lagrange multipliers. // Lect. Notes. Math., 1986, № 1190, p.273-305.

220. O'Malley R.E.Jr. Singular perturbations and optimal control. // Lect. Notes Math., 1978, № 680, p.171-218.

221. Margel W. Eine allgemeine Storungstheorie fur Variationsangleichungen. // Frankfurt, 1971.

222. Moiseev N.N., Chernousko F.L. Asymptotic methods in the theory of optimal control. // IEEE Trans. Automat. Control, 1981, v.26, № 5, p.993-1000.

223. Phillips D.L. A technique for the numerical solution of certain integral equations of the first kind. //J. Assoc. Comput. Mech., 1962, v.9, № 1, p.84-97.

224. Prandtl L. Uber Flussingkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung. // Verhandlungen des dritten internationalen Mathematiker Kongresses, Heidelberg, 1904, Leipzig, 1905, s.484-491.

225. Singer I. Some remarks on approximative compactness. // Rev. roum. math, pures, et appl, 1964, v. 9, № 2, p.167-177.

226. Stummel F. Discrete Konvergenz Linearer Operatoren I. // Math.Ann., 1970, bd.190, s.745-95.