Равномерные численные методы для некоторых сингулярно возмущенных задач тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат наук Жемухов, Умар Хазреталиевич

• Жемухов, Умар Хазреталиевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Жемухов, Умар Хазреталиевич

Оглавление

стр.

Введение

Глава 1. Сеточная аппроксимация смешанной краевой задачи для сингулярно возмущенного эллиптического уравнения с характеристическими слоями и угловыми особенностями

1.1. Постановка дифференциальной задачи

1.2. Разностная схема на кусочно-равномерной сетке

1.3. Оценка погрешности при малых значениях параметра

1.4. Оценка погрешности при не слишком малых значениях параметра

1.5. Численные результаты

Глава 2. Оценка сходимости численного решения для уравнения теплопроводности на отрезке при ограниченной гладкости решения в окрестности угловой точки

2.1. Свойства решения и производных дифференциальной задачи

2.2. Сеточная функция Грина и ее оценки

2.3. Оценка погрешности аппроксимации и сходимость

2.4. Численные результаты

Глава 3. Равномерная оценка погрешности неявной четырехточечной разностной схемы для сингулярно возмущенного уравнения теплопроводности с угловыми особенностями

3.1. Постановки дифференциальной и разностной задач

3.2. Декомпозиция решения и оценки производных

3.3. Оценка погрешности сеточного решения

3.4. Численные результаты

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Равномерные численные методы для некоторых сингулярно возмущенных задач»

Введение

При исследовании многих процессов в физике, химии, биологии, технике и других областях науки, где имеются неравномерные переходы от одних физических характеристик к другим, часто возникают задачи, описываемые сингулярно возмущенными уравнениями, т.е. уравнениями с малыми параметрами при старших производных. Характерной чертой сингулярно возмущенных уравнений является то, что их решения имеют в областях, где они определены, особые узкие зоны (пограничные слои), в которых происходит резкий переход от одного устойчивого состояния к другому или к заданным граничным значениям. Такие ситуации возникают, например, в задачах гидродинамики, связанных с решением уравнений Навье-Стокса при малой вязкости или же в задачах газовой динамики, когда в окрестности ударных волн газ переходит из дозвукового в сверхзвуковое состояние. Для химических реакций также типичен быстрый переход из одного состояния в другое. В биологиии подобные резкие изменения происходят в популяционной генетике. Примером, где малый параметр естественным образом входит при главной части дифференциального оператора, является уравнение Шредингера, в котором в роли малого параметра выступает величина кванта действия. Если эту величину устремить к нулю, то некоторые законы квантовой механики переходят в законы классической механики.

Основоположником теории пограничного слоя считается немецкий физик и механик Людвиг Прандтль (Ludwig Prandtl), который в 1904 г. в своем докладе "'О движении жидкости при очень малом трении,'- прочитанном на Международном математическом конгрессе в г. Гейдельберге, дал объяснение тому, каким образом малые силы вязкости оказывают существенное влияние на характер движения жидкости и показал, что течение в окрестности тела можно разделить па две области: на область очень тонкого слоя вблизи тела (пограничный слой), где трение играет существенную роль, и на область вне этого слоя, где трением можно пренебрегать. Впоследствии эта гипотеза дала мощный толчок к дальнейшему развитию теоретических исследований.

Математическое обоснование явления пограничного слоя состоит в том, что при е —> 0 решение сингулярно возмущенной краевой задачи стремится к решению вырожденной (г=0) задачи на всем множестве определения, за исключением малой окрестности границы области. Так как порядок вырожденного уравнения ниже, как минимум, на единицу, чем порядок исходного уравнения, то часть граничных условий оказывается лишней применительно к вырожденной задаче и эти неиспользованные условия приводят к быстрому переходу решения от значений внутри области к граничным значениям, что способствует появлению в окрестности границы так называемых пограничных слоев, где производные решения сингулярно возмущенного уравнения не являются

ограниченными равномерно по малому параметру. Достаточно много примеров, иллюстрирующих сказанное, можно найти в работах [23, 63, 76, 79].

На ранних стадиях исследования сингулярно возмущенных уравнений в частных производных, когда численные методы еще не имели такого развития, как в последние годы, существенную роль в построении приближенных решений, а также в изучении структуры решения играли асимптотические методы. Эти методы и в настоящее время не утратили своей роли и продолжают оставаться важным аппаратом для исследования свойств решений уравнений с малыми параметрами. Существуют разновидности асимптотических методов, такие как метод Люстерника-Вишика и основанные на нем [13, 14, 15, 16], а также его обобщение [47], метод внутренних и внешних разложений [31, 32] и метод, изложенный в [37], основанный на регуляризации исходной задачи. Кроме перечисленных, также отметим серию работ [66, 86, 87, 88] по асимптотическим разложениям для параболических уравнений с угловыми особенностями, появившихся относительно недавно.

Теории пограничного слоя посвящено большое количеству работ, среди которых отметим, ставшие уже классическими, работы [12, 39, 40, 50]. Достаточно подробный обзор, посвященный сингулярно возмущенным уравнениям в частных производных, охватывающий период 1980 — 2000 гг. дается в [69], а в работах [70, 81] приводится обзор по вычислительным методам для различных классов сингулярно возмущенных задач.

Из-за наличия пограничных слоев классические сеточные методы малоэффективны для численного решения сингулярно возмущенных краевых задач. Это объясняется тем, что производные, входящие в оценку погрешности аппроксимации, зависят от малого параметра и не являются ограниченными при г —> 0 вблизи границы. Приближенные решения, полученные с помощью таких методов на равномерных сетках, плохо аппроксимируют (см. [23, 74, 76, 81]) при малых значениях параметра решения исходных задач или вовсе не сходятся к точному решению.

Поэтому для сингулярно возмущенных краевых задач возникает проблема разработки специальных сеточных методов, обладающих свойством равномерной по параметру сходимости. На пути создания таких методов сложились два направления: использование так называеемых подгоночных схем на равномерных сетках и построение специальным образом сгущающихся в области погранслоя сеток. В первом случае равномерная сходимость обеспечивается за счет выбора коэффициентов (они подгоняются, с учетом информации о погранслойных составляющих решения дифференциальной задачи) разностных уравнений. Такая схема была предложена независимо в работах [31] и [58], причем в первой из них было дано строгое обоснование схемы. Подгоночные методы широко применяются при решении обыкновенных дифференциальных уравнений (см., например, [11, 23, 72]). В работах [24, 25, 52, 53] с помощью метода подгонки

строились разностные схемы для уравнений в частных производных с регулярными пограничными слоями.

В методах, использующих сгущающиеся сетки, на выбор разностных уравнений ограничений не накладываются — сетка выбирается из условия равномерной по параметру аппроксимации точного решения. Этот метод был предложен в знаменитой работе Н. С. Бахвалова [9] и впервые применен для численного решения сингулярно возмущенной задачи. В указанной работе была построена, сгущающаяся внутри области погрансоя по логарифмическому закону, сетка в прямоугольнике и для приближенного решения эллиптического уравнения с малым параметром при части старших производных получена равномерная оценка точности 1п/V).

Другой важный класс сгущающихся сеток образуют так называемые кусочно-равномерные сетки Шишкина, разработанные спустя некоторое время после появления сетки Бахвалова. В основе построения кусочно-равномерной сетки Шишкина лежит требование, чтобы погранслойная составляющая решения вне слоя была ограничена величиной М~а, где о — порядок точности разностной схемы. Отличие таких сеток от сеток Бахвалова состоит в том, что внутри пограничного слоя мелкий шаг сетки выбирается равномерным, а граница погранслоя задается явно и зависит от количества узлов сетки. Этот подход используется в монографии [51] при построении, равномерных по параметру, численных методов для достаточно общих классов сингулярно возмущенных уравнений в частных производных.

Подробное изложение численных методов решения сингулярно возмущенных задач на сгущающихся сетках дается в работах [74, 76, 81], а в [68] содержится краткий обзор некоторых важных результатов в этой области к настоящему времени.

В данной работе основное внимание будет уделено анализу равномерной по параметру сходимости конечно-разностных методов решения краевых и начально-краевых задач для сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений при наличии угловых особенностей у производных решений. В связи с этим остановимся на этой проблеме и дадим некоторый обзор.

Хорошо известно [38, 43, 44], что гладкость искомого решения дифференциальной задачи оказывает существенное влияние на точность приближенного решения, найденного конечно-разностным методом. В вычислительной практике часто встречаются задачи (см. [5, 33, 64] и цитированную в этих работах литературу), решения которых имеют ограниченную гладкость из-за особенностей в отдельных точках у самого решения или у его производных. Примерами таких задач являются задачи в областях с негладкой границей [34], задачи с сосредоточенными источниками, задачи с разрывными граничными условиями, смешанные задачи и т.д. В случае задач в областях с угловыми точками особенности возникают из-за не выполнения условий согласования (см. [17, 21, 67]) в угловых точках, в следствие чего производные решения неограни-

ченно возрастают вблизи этих точек. А это часто становится причиной существенного усложнения анализа погрешности численного решения или же снижения порядка точности приближенного метода. Однако есть случаи (см., например, [1, 2, 3]), когда рост производных в окрестностях угловых точек не приводит к (существенному) ухудшению погрешности приближенного решения, но обоснование этого факта требует дополнительных специальных исследований. Поэтому при изучении сходимости численных методов решения задач с негладкими данными возникает необходимость более детального исследования известных методов или создание их модификаций.

Численные методы решения краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона с угловыми особенностями и разрывными граничными условиями рассматривались, например, в работах [8, 19, 20, 22]. В первой из них исследуются сеточные аппроксимации задачи Дирихле в верхней полуплоскости с разрывным граничным условием г>(а;,0) = в1§п(а;), решение которой ограничено, а первые производные имеют особенности типа полюса первого порядка. В этой работе доказывается единственность сеточного решения, найденного в интегральной форме, а также строится асимптотическое разложение решения в дали от точки разрыва, с помощью которого для решения пятиточечной разностной схемы получена оценка погрешности 0(Н2) вне конечной окрестности точки разрыва.

В работе Е. А. Волкова [19] изучались разностные методы решения краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона в прямоугольнке и некоторых треугольниках при различных предположениях о гладкости входных данных и их согласованности в угловых точках. Так для уравнения Лапласа в прямоугольнке с краевыми условиями Дирихле было доказано, что при минимальных требованиях на согласованность граничных функций в угловых точках решение пятиточечной разностной схемы на равномерной сетке имеет точность 0(1г21п /г-1). Эта оценка обобщена в работе [20] на случай трехмерной задачи Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольном параллелепипеде. А в [22] исследуется задача Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольном параллелепипеде с разрывными на ребрах граничными функциями и устанавливается, что максимальная погрешность разностного решения, найденного по обычной семиточечной разностной схеме, ограничена снизу положительной постоянной при достаточно малом шаге сетки Н, т.е., вообще говоря, не сходится в равномерной метрике. Но при дважды непрерывно дифференцируемых на замкнутых гранях граничных значениях погрешность разностного решения на конечном расстоянии от ближайшего ребра оценивается величиной 0(Н2\ 1п Н\).

Известно (см. [61, 71, 75, 85]), что решения сингулярно возмущенных краевых задач для уравнений в частных производных могут иметь сложную структуру, включающую регулярные, параболические (характеристические) [59, 80] и угловые пограничные слои. Если, кроме того, решения таких задач или их производные имеют угловые осо-

бенности, то при построении равномерных по параметру численных методов решения возникают дополнительные сложности, связанные с исследованием погрешности. А с другой стороны, как известно, для анализа погрешности аппроксимации дискретной задачи важно иметь поточечные оценки производных искомого решения. Эти оценки для регулярных (без малого параметра) эллиптических и параболических уравнений, обычно, получаются как следствие гельдеровых оценок (см. [35, 36]) вплоть до границы. Но в сингулярно возмущенном случае, чтобы в полной мере выявить характерные свойства решения и производных, целесообразно сначала строить декомпозицию [51] искомого решения на регулярную, погранслойную и угловую составляющие, которая позволяет получить оценки решения и производных отдельно для каждой компоненты. Такое разложение впервые было построено в работе Н. С. Бахвалова [9] для получения оценок производных решения сингулярно возмущенной эллиптической задачи. Позже разными авторами были предложены [71, 78, 82, 83] и другие варианты декомпозиции решения сингулярно возмущенных задач. В последних двух из этих работ при построении декомпозиции точного решения частично использовался подход, основанный на асимптотических методах.

Отметим работы [1, 2, 3, 4, 6], где изучались конечно-разностные методы решения краевых задач для сингулярно возмущенных двумерных эллиптических уравнений с угловыми особенностями. Так в [4] рассматривается задача Дирихле для сингулярно возмущенного уравнения реакции-диффузии в единичном квадрате в предположении, что коэффициент уравнения, его правая часть и граничные значения принадлежат классу С4'А, А 6 (0,1), а в угловых точках выполнены только условия непрерывности, из-за чего решение принадлежит в замкнутом квадрате только классу С1'^, ¡л 6 (0,1). В указанной работе при этих предположениях получена равномерная по е оценка погрешности 0(Ы~2 1п4 /V) в сеточной норме Ь^ для решения классической пятиточечной разностной схемы на кусочно-равномерной сетке Шишкина, аналогичная оценке из [60], которая была получена для гладкого случая, предполагающего выполнение в угловых точках условий согласования, обеспечивающих принадлежность решения в замкнутой области классу С4,А. Этот результат в [4] получен с помощью новой априорной оценки через Ь^-норму правой части, примененной в окрестностях угловых точек. Задача из [4] была рассмотрена в [26] на сетке Бахвалова и при тех же предположениях о входных данных доказана оценка погрешности 0(ЛГ-2).

В работе [6] исследуется та же задача, что и в [4] с теми же предположениями о гладкости входных данных и об условиях согласования в угловых точках, но в ¿-образной области, одна из вершин которой образует угол 3-7г/2. В окрестности этого угла решение принадлежит только классу С2/3 и повысить порядок гладкости за счет выполнения локальных условий согласования в отдельной точке не возможно, для этого требуются некоторые интегральные соотношения [18] на всей границе области, проверить кото-

рые можно только зная точное решение. В этих предположениях построена классическая пятиточечная разностная аппроксимация на видоизмененной сетке Шишкина со степенным кубическим сгущением узлов в окрестности вершины, имеющей величину угла 37г/2 и доказано, что приближенное решение имеет равномерную по е точность 0(А'-21п2 А') в сеточной норме Ь

В [3] рассматривалась смешанная краевая задача в квадратной области для сингулярно возмущенного уравнения реакции-диффузии с условием Неймана на одной стороне квадрата и условиями Дирихле на трех других. В этой работе предполагается, что коэффициенты уравнения, его правая часть и граничные условия являются достаточно гладкими (см. [18]), а в двух угловых точках из четырех, где на смежных сторонах граничные значения однотипны, выполнены условия непрерывности, тогда как в оставшихся двух никакие условия согласования не ставятся. При таких требованиях решение этой задачи в окрестностях углов имеет ограниченную гладкость и в замкнутом квадрате принадлежит только классу Гельдера Си, и Е (0,1). Для численного решения обсуждаемой задачи строится кусочно-неравномерная сетка — модификация сетки Шишкина, узлы которой квадратично сгущаются в окрестностях тех углов, где происходит смена типа граничных значений и доказывается, что решение классической разностной аппроксимации сходится равномерно относительно малого параметра г в сеточной норме Ь^ к точному решению со скоростью 0(А7'-21п2 АГ).

Существует большое количество работ, посвященных численным методам решения краевых задач для сингулярно возмущенных уравнений в частных призводных, содержащих конвективные слагаемые. С вычислительной точки зрения повышенный интерес к таким задачам обусловлен тем, что равномерная по £ точность классических разностных аппроксимаций не выше первого порядка и актуальной является проблема разработки численных методов, сходящихся равномерно по параметру с порядком точности, близким ко второму.

Одной из первых работ, где рассматривались разностные схемы для сингулярно возмущенных уравнений в частных производных с конвективными членами на сгущающихся сетках, является [51], в которой, в частности, для эллиптических уравнений конвекции-диффузии, вырождающихся при г = 0 в уравнения первого порядка как по всем переменным, так и по части из них, с краевыми условиями Дирихле и при выполнении достаточного числа условий согласования в угловых точках области, доказана равномерная по е сходимость классической пятиточечной разностной схемы с направленными разностями на сетке Шишкина со скоростью 0(АГ-11п2 Аг). Подробное изложение этих результатов содержится в [82, 83]. В той же работе [51] показано, что если в угловых точках ограничиться одним условием согласования — требованием непрерывности граничной функции из условия Дирихле, то равномерная по £ точность снижается для задачи с характеристическими пограничными слоями до 0(( А-11п2 ТУ))1/14, а в слу-

чае задачи с экспоненциальными погранслоями до O^N*1 ln2 TV))1/8. Эти результаты [51] недавно были усилены в работах [1, 2] до 0(N'1 ln2 N). Тем самым в этих работах было показано, что при минимальных условиях согласования точность приближенного решения остается той же, что и в гладком случае.

Отметим работу [59], где в прямоугольнике рассматривалась смешанная краевая задача для сингулярно возмущенного уравнения конвекции-диффузии с граничными условиями Дирихле на сторонах, ортогональных потоку и условиями третьего рода (Робена) на остальных двух, параллельных потоку и в окрестностях которых решение имело слабые параболические пограничные слои ширины 0(у/е). Наличие слабого слоя объяснялось тем, что граничные условия третьего рода были регулярными (без множителя £ перед производной) и поэтому в правых частях оценок производных появлялся дополнительный множитель у/е. В этой работе на кусочно-равномерной сетке Шишкина была построена неоднородная монотонная разностная схема, использующая для аппроксимации конвективного члена симметричую первую разность в области экспоненциального пограничного слоя и среднеточечную аппроксимацию с направленной разностью вне этого слоя и доказано, что при выполнении условия г < CN~l точность приближенного решение в равномерной сеточной норме оценивается величиной Ü(/V"3/2 ln N). Эта оценка была получена в предположении достаточной гладкости входных данных задачи и при условии выполнения в угловых точках условий согласования до второго порядка включительно. Для пояснения заметим, что в данном случае, например, условие согласования первого порядка в какой-либо из угловых точек представляет собой некоторое линейное соотношение, связывающее значения входных данных и их производных до 3-го порядка в этой точке.

Математические модели многих физических процессов приводят к исследованию начально-краевых задач для параболических уравнений, решения которых имеют ограниченную гладкость. В частности, в приложениях часто встречаются задачи из указанного класса с негладкими данными на границе, например, с разрывными начальными значениями в конечном числе точек (см. [54, 57, 73, 89]). К таким задачам приводят, например, процессы тепломассообмена, когда происходит соприкосновение двух тел с разными начальными температурами или в среде, составленной из частей, в которых исходная концетрация вещества различна. Решения таких задач претерпевают разрывы в точках разрыва граничных функций, а производные в окрестностях этих точек неограничено возрастают и это не позволяет получать приближенные решения, сходящиеся в равномерной сеточной метрике. В случае сингулярно возмущенных задач ситуация осложняется еще и тем, что, вообще говоря, при стремлении параметра к нулю, помимо пограничных слоев, возникают и внутренние переходные слои, порожденные разрывами начального условия.

В работе [89] с помощью двухслойных явных разностных схем с постоянными коэф-

фициентами строится аппроксимация задачи Коши на числовой прямой для однородного уравнения теплопроводности с начальным условием, принадлежащим пространству Бесова В[ и с помощью дискретного преобразования Фурье доказывается, что погрешность приближенного решения оценивается в равномерной метрике по пространственной переменной величиной 0(/г^-1/2), где £ > 0, 1 < в < /л, ц— порядок аппроксимации разностной задачи.

В случае сингулярно возмущенного параболического уравнения конвекции-диффузии с переменными коэффициентами в [54] рассматривалась начально-краевая задача Дирихле на отрезке при условии, что граничная функция, заданная в начальный момент времени, имеет разрывы 1-го рода в конечном числе точек. И при достаточной гладкости коэффициентов уравнения, его правой части и граничной функции вне окрестностей точек разрва было доказано, что решение разностной схемы сходится равномерно относительно малого параметра на сгущающихся вблизи пограничных и переходных слоев сетках с точностью 4- К~и/Х&) во всей сеточной области

за исключением конечных окрестностей точек разрыва, где Лг* — максимальное число узлов пространственной сетки, К — временной сетки, а и 6 (0,1).

Аналогичной задаче, но с разрывом 1-го рода уже первой производной начальной функции посвящена работа [57], где искомое решение, кроме экспоненциального пограничного слоя в окрестности одной из боковых сторон, имеет переходный слабый внутренний слой (движущийся во времени) в окрестности характеристики вырожденного уравнения, выходящей из точки разрыва. В этой работе с использованием специальных сеток, сгущающихся в окрестности пограничного слоя, и метода аддитивного выделения (см. также [38]) особенности типа переходного слоя строятся специальные разностные схемы, позволяющие аппроксимировать £-равномерно решение краевой задачи на всем множестве, где она рассматривается. В частности, при условии сглаживания граничной функции в точке разрыва производной, на равномерной сетке по времени и на кусочно-равномерной по пространственной переменной сетке Шишкина (без сгущения в окрестности точки разрыва) получена оценка погрешности 0( А"-1/2 + А^2) в равномерной метрике, где N — число узлов по пространственной переменной, а АГ0 — по временной переменной. Кроме того, в этой работе, при тех же предположениях, с использованием вышеупомянутой техники аддитивного выделения особенности доказана оценка сходимости сеточного решения в равномерной метрике со скоростью 0(А'-11пN + А^"1).

Целью диссертации является исследование равномерной по малому параметру сходимости в равномерной метрике разностных схем на сгущающихся сетках, аппроксимирующих сингулярно возмущенные краевые задачи для двумерного эллиптического уравнения конвекции-диффузии и уравнения теплопроводности при наличии у производных искомых решений особенностей в угловых точках области из-за несогласованности входных данных.

Краткое содержание диссертации

Диссертация состоит из трех глав и списка литературы.

Глава 1 посвящена построению разностной аппроксимации негладких решений смешанной краевой задачи в прямоугольнике для сингулярно возмущенного эллиптического уравнения с характеристическими (параболическими) слоями, входные данные которой удовлетворяют в угловых точках лишь условиям согласования нулевого порядка. В частности, в разделе 1.1 приводится постановка дифференциальной задачи и известное разложение решения этой задачи с оценками производных для каждой составляющей; в разделе 1.2 ставится общая разностная задача, аппроксимирующая на кусочно-равномерной сетке Шишкина исходную дифференциальную задачу, выписываются соответствующие дискретные задачи для каждой компоненты разложения, а также формулируется основная теорема о равномерной по £ сходимости численного решения к точному; разделы 1.3 и 1.4 посвящены доказательству двух теорем о равномерной сходимости разностной задчи из раздела 1.2 — случаи £ < а$)\/2 и £ > а$)\/2 соответственно, где задает грубый шаг на сетке Шишкина в направлении конвективной переменной. С помощью указанных теорем доказывается оснавная теорема. Завершает главу раздел 1.5, где приводятся численные результаты для модельной задачи, подтверждающие теоретические выводы.

Глава 2 посвящена численному решению начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности на отрезке в случае, когда в одной из угловых точек кроме условия согласования нулевого порядка (непрерывности) никакие другие условия не выполнены, из-за чего производные решения имеют ограниченную гладкость, начиная с производных, входящих в уравнение, а производные д2и/д%2, дАи/дх4 вблизи угловой точки неограниченно возрастают. В частности, в разделе 2.1 строится разложение решения дифференциальной задачи на регулярную и сингулярную части и выводятся оценки производных сингулярной функции, содержащей угловую особенность. В разделе 2.2 рассматривается вспомогательная разностная задача для неоднородного уравнения с нулевыми начально-краевыми условиями. Выписывается сеточная функция Грина этой задачи и с помощью оценки ее первого разностного отношения получается априорная оценка решения. В разделе 2.3 приводится дискретный аналог декомпозиции, построенной в разделе 2.1, и с использованием априорной оценки из раздела 2.2 получается поточечная оценка скорости сходимости приближенного решения. В разделе 2.4 приводятся численные результаты для модельной задачи.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Жемухов, Умар Хазреталиевич, 2013 год

Список литературы

1. Andreev V. В. Pointwisc approximation of corner singularities for singularly perturbed elliptic problems with characteristic layers // Internat. J. of Num. Analysis and Modeling. 2010. V. 7. №3. P. 416-428.

2. Андреев В. Б. Равномерная сеточная аппроксимация негладких решений сингулярно возмущенного уравнения конвекции-диффузии в прямоугольнике // Дифферент уравн. 2009. Т. 45. №7. С. 954-964.

3. Андреев В.Б. Равномерная сеточная аппроксимация негладких решений смешанной краевой задачи для сингулярно возмущенного уравнения реакции-диффузии в прямоугольнике // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2008. Т. 48. №1. С. 90-114.

4. Андреев В. Б. О точности сеточных аппроксимаций негладких решений сингулярно возмущенного уравнения реакции-диффузии в квадрате // Дифференц. уравн. 2006. Т. 42. №7. С. 895-906.

5. Андреев В. Б. Сеточные аппроксимации негладких решений дифференциальных уравнений // Дифференц. уравн. 1980. Т. 16. №7. С. 1172-1184.

6. Andreev V.B., Kopteva N., Pointwise approximation of corner singularities for a singularly perturbed reaction-diffusion equation in an L-shaped domain // Math. Comput. 2008. V. 77. №264. P. 2125-2139.

7. Андреев В.Б., Коптева H.B. О равномерной по малому параметру сходимости монотонных трехточечных разностных схем // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. №7. С. 921-928.

8. Андреев В. Б., Архипова Е. Ю. Об использовании разностных схем для решения уравнения Лапласа с разрывными граничными условиями I рода // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1975. Т. 15. №6. 1466-1481.

9. Бахвалов H.C.K оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1969. Т. 9. №4. С. 841-859.

10. Бижанова Г. И. Решение в пространствах Гельдера краевых задач для параболических уравнений при рассогласовании начальных и граничных данных // Современная математика. Фундаментальные направления. 2010. Т. 36. С. 12-23.

11. Багаев Б.М., Шайдуров В. В. Сеточные методы решения задач с пограничным слоем. Часть 1. Новосибирск: Наука, 1998.

12. Боголюбов H.H., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний (2-е изд.). М.: Наука, 1974.

13. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром //УМН. 1957. Т. 12. Вып. 5(77). С. 3-122.

14. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

15. Васильева A.B., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высш. школа, 1990.

16. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968.

17. Волков Е. А. О дифференциальных свойствах решений краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона на прямоугольнике // Тр. МИАН СССР. 1965. Т. 77. С. 89-112.

18. Волков Е. А. О дифференциальных свойствах решений краевых задач для уравнений Лапласа на многоугольниках /'/ Тр. МИАН СССР. 1965. Т. 77. С. 113-142.

19. Волков Е. А. Эффективные оценки погрешности решений методом сеток краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона на прямоугольнике и некоторых треугольниках// Тр. МИАН СССР. 1966. Т. 74. С. 55-85.

20. Волков Е. А. О дифференциальных свойствах решений уравнений Лапласа и Пуассона на параллелепипеде и эффективных оценках погрешности метода сеток// Тр. МИАН СССР. 1969. Т. 105. С. 46-65.

21. Волков Е. А. О Методе регулярных составных сеток для уравнения Лапласа на многоугольниках // Тр. МИАН СССР. 1976. Т. 140. С. 68-102.

22. Волков Е. А. Эффективный метод кубических сеток решения уравнения Лапласа на параллелепипеде при разрывных граничных условиях // Тр. МИАН СССР. 1980. Т. 156. С. 30-46.

23. Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. М.: Мир, 1983.

24. Емельянов К. В. О разностной схеме для дифференциального уравнения с малым параметром при старших производных // Числен, методы механики спл. среды. Новосибирск, 1970. Т. 1. №5. С. 20-30.

25. Емельянов К. В. О разностной схеме для уравнения еАи + аих = f // Разностные методы решения краевых задач с малым параметром и разрывными краевыми условиями. Свердловск, 1976. С. 19-37.

26. Ершова Т. Я. О решении задачи Дирихле для сингулярно возмущенного уравнения реакции-диффузии в квадрате на сетке Бахвалова // Вестн. Моск. ун-та., Серия 15. Вычисл. матем. и киберн., 2009. №4. С. 7-14.

27. Жемухов У. X. Равномерная сеточная аппроксимация негладких решений с улучшенной сходимостью для сингулярно возмущенного уравнения конвекции-диффузии с характеристическими слоями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2012. Т. 52. №9. С. 1633-1654.

28. Жемухов У. X. О сходимости численного решения начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности при наличии угловой особенности у производных решения // Вестн. Моск. ун-та., Серия 15. Вычисл. матем. и киберн., 2013. №4. С. 9-18.

29. Zhemukhov U. Kh. Uniform Grid Approximation of Nonsmooth Solutions of a Singularly Perturbed Convection - Diffusion Equation with Characteristic Layers // Numerical Analysis and Its Applications ( Series: Lecture Notes in Computer Science), V. 8236, P. 562-570, Springer Berlin Heidelberg, 2013.

30. Жемухов У. X. Равномерная по параметру оценка погрешности неявной четырехточечной разностной схемы для сингулярно возмущенного уравнения теплопроводности с угловыми особенностями // Препринт, ISBN 978-5-317-04584-5, М.: МАКС Пресс 2013, 20 с.

31. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.

32. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике.— М.: Мир, 1972.

33. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Тр. ММО. Т. 16. Изд-во Московского университета, М., 1967. С. 209-292.

34. Кондратьев В. А., Олейник O.A. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях // УМН. Т. 38. Вып. 2(230). 1983. С. 3-76

35. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

36. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. Изд. 2, М.: Наука, 1973.

37. Ломов С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981.

38. Марчук Г. И., Шайдуров В. В. Повышение точности решений разностных схем. М.: Наука, 1979.

39. Найфэ А. Введение в методы возмущений. Пер. с англ. - М.: Мир, Москва, 1984.

40. Олейник О. А., Самохин В. Н. Математические методы в теории пограничного слоя. М.: Наука, 1997.

41. Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2001.

42. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. Т. 1. 2-е изд., исправл. М.: Физматлит, 2002.

43. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.

44. Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976.

45. Сердюкова С. И. Равномерная устойчивость шеститочечной схемы повышенного порядка точности для уравнения теплопроводности // ЖВМ и МФ. 1967. Т. 7. №1. С. 214-218.

46. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. М.: Наука, 1979.

47. Треногин В. А. Развитие и приложение асимптотического метода Люстерни-ка-Вишика // УМН. 1970. Т. 25. Вып. 4(154). С. 123-156.

48. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Ч. 2. Трансцендентные функции/ Под ред. Ф. В. Широкова, М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1963.

49. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968.

50. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974.

51. Шишкин Г. И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений. Екатеринбург: УрО РАН, 1992.

52. Шишкин Г. И. Разностная схема на неравномерной сетке для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1983. Т 23. №3. С. 609-619.

53. Шишкин Г. И. Повышение точности решений разностных схем для параболических уравнений с малым параметром при старшей производной // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1984. Т 24. №6. С. 864-875.

54. Шишкин Г. И. Разностная схема для сингулярно возмущенного уравнения параболического типа с разрывным граничным условием // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1988. Т 28. №11. С. 1649-1662.

55. Шишкин Г. И. Сеточные аппроксимации с улучшенной скоростью сходимости для сингулярно возмущенных эллиптических уравнений в областях с характеристическими границами // Сиб. журн. вычисл. матем. 2002. Т. 5. №1. С. 71-92.

56. Шишкин Г. И. Сеточная аппроксимация метода декомпозиции области и решения с улучшенной сходимостью для сингулярно возмущенных эллиптических уравнений в областях с характеристическими границами // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2005. Т. 45. №7. С. 1196-1212.

57. Шишкин Г. И. Сеточная аппроксимация сингулярно возмущенных параболических уравнений конвекции-диффузии с кусочно-гладким начальным условием// Ж. вы-числ. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46. №1. С. 52-76.

58. Allen D. N., Southwell R. V. Relaxation methods applied to determine the Motion in 2D of a Viscous Fluid Post a Fixed Cylinder // Quart J. Mech. Appl. Math. 1955. V. 8. N 2. P. 129-145.

59. ClaveroC., GraciaJ.L., LisbonaF., ShishkinG.I. A robust method of improved order for convection-diffusion problems in a domain with characteristic boundaries / / ZAMM. Z. Angew. Math. Mech. 2002. V. 82. №9. P. 631-647.

60. Clavero C., Gracia J. L., O'Riordan E., A parameter robust numerical method for a two dimensional reaction-diffusion problem // Math. Сотр., 2005. V. 74. P. 1743-1758.

61. Dobrowolski M., Roos H.-G. A priori estimates for the solution of convection-diffusion problems and interpolation on Shishkin meshes // Zeitschrift fur Analysis u. i. Anw. 1997. V. 16. №4. P 1001-1012

62. Dunne R. K., O'Riordan E., Shishkin G. I. A Fitted Mesh Method for a Class of Singularly Perturbed Parabolic Problems with a Boundary Turning Point // Comput. Methods Appl. Math., 2003. V. 3. №3. P. 361-372.

63. Farrell P.A., Hegarty A.F., Miller J.J.H., O'Riordan E., Shishkin G.I. Robust Computational Techniques for Boundary Layers // Applied Mathematics. Vol. 16. Chapman and Hall/CRC Press. Boca Raton, FL, USA, 2000. MR 1750671 (2001c:65003).

64. Flyer N., Swarztrauber P. N. Convergence of spectral and finite difference methods for initial boundary value problems // SIAM J. Sci. Comput. 2002. V. 23. №5. P. 1731-1751.

65. Gracia J.L., O'Riordan E. A singularly perturbed parabolic problem with a layer in the initial condition // Appl. Math, and Сотр. 2012. V. 219. №2. P. 498-510.

66. GrasmanJ., ShihS.-D. A parabolic singular perturbation problem with internal layer // Asymptotic Analysis, 2004. V. 38. №3-4. P. 309-318.

67. Han H., Kellogg R. B. Differentiability properties of solutions of the equations e2Au + ru = f{x,y) in square // SIAM J. Math. Analys. 1990. V. 21. №2. P. 394-408.

68. Kopteva N., O'Riordan E. Shishkin meshes in the numerical solution Of singularly perturbed differential equations //Internat. J. of Num. Analysis and Modeling. 2010. V. 7. №3. P. 393-415.

69. Kadalbajoo Mohan K., Kailash C. Patidar Singularly perturbed problems in partial differential equations: a survey //Appl. Math, and Сотр. 2003. V. 134. Issues 2-3,. p. 371-429.

70. Kadalbajoo Mohan K., Vikas Gupta A brief survey on numerical methods for solving singularly perturbed problems // Appl. Math, and Comp. 2010. V. 217. №8. P. 36413716.

71. Kellogg R. B., Stynes M. Corner singularities and boundary layers in a simple convection-diffusion problem // J. Diff. Equ. 2005. V. 213. №1. P. 81-120.

72. Kellogg R. B., Tsan A. Analysis of some difference approximations for a singular perturbation problem without turning points // Math. Comp. 1978. V. 32. № 144. P. 1025-1039.

73. Kreiss H. O., Thomee V., Widlund O., Smoothing of initial data and rates of convergence for parabolic difference equations // Comm. Pure Appl. Math. 1970. V. 23. P. 241-259.

74. Linss T. Layer-Adapted Meshes for Reaction-Convection-Diffusion Problems. Series: Lecture Notes in Mathematics, Vol. 1985. Springer, 2010.

75. Lins T., Stynes M. Asymptotic analysis and Shishkin-type decomposition for an elliptic convection-diffusion problem // J. Math. Anal. Appl. 2001. V. 261. №2. P. 604-632.

76. Miller J.J. H., O'Riordan E., Shishkin G.I. Fitted Numerical Methods For Singular Perturbation Problems: Error Estimates in the Maximum Norm for Linear Problems in One and Two Dimensions. World Scientific Co. Inc., Revised Edition, 2012.

77. Miller J. J.H., O'Riordan E., Shishkin G.I., and Shishkina L.P. Fitted mesh methods for problems with parabolic boundary layers // Mathematical Proceedings of the Royal Irish Academy, 98A (1998), №2, P. 173-190.

78. NaughtonA., Stynes M. Regularity and derivative bounds for a convection-diffusion problem with Neumann boundary conditions on characteristic boundaries // Z. Anal. Anwend. 2010. V. 29. №2. P. 163-181.

79. Roos H.-G. Layer-adapted grids for singular perturbation problems // Z. Angew. Math. Mech. V. 78 (1998). №5. P. 291-309.

80. Roos H.-G. Optimal convergence of basic schemes for elliptic boundary value problems with strong parabolic layers // J. Math. Anal. Appl. 2002. V. 267. P. 194-208.

81. Roos H.-G., Stynes M., Tobiska L. Robust Numerical Methods for Singularly Perturbed Differential Equations. Springer Series in Computational Mathematics. Vol. 24. 2nd ed. Springer-Verlag, Berlin, 2008.

82. O'Riordan E., Shishkin G. I. A technique to provide parameter-uniform convergence for a singularly perturbed convection-diffusion equation //J. Comput. Appl. Math. 2007. V. 206. P. 136-145.

83. O'Riordan E., Shishkin G.I Parameter uniform numerical methods for singularly perturbed elliptic problems with parabolic boundary layers // Appl. Numer. Math. 2008. V. 58. P. 1761-1772.

23. №3. P. 361-374.

85. ShihS.-D., Kellogg R.B. Asymptotic analysis of a singular perturbation problem // SIAM J. Math. Anal. 1987. V. 18. P. 1467-1511.

86. Shih S.-D. A novel uniform expansion for a singularly perturbed parabolic problem with corner singularity// Methods Appl. Anal. 1996. V. 3. №2. P. 203-227.

87. ShihS.-D. Angular layer of a singularly perturbed parabolic problem with corner singularity // Canad. Appl. Math. Quart. 2001. V. 9. №2. P. 159-188.

88. ShihS.-D. Internal layers of parabolic singularly perturbed problems // Z. Angew. Math. Mech. 2007. V. 87. №11-12. P. 831-844.

89. Thomee V., Wahlbin L., Convergence Rates of Parabolic Difference Schemes for Non-Smooth Data // Math. Comp. 1974. V.28. №125. P. 1-13.