Развитие метода регуляризации для сингулярно возмущенных интегральных уравнений Вольтерра с произвольным вырождением ядра тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Шапошникова, Дарья Алексеевна

• Шапошникова, Дарья Алексеевна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Шапошникова, Дарья Алексеевна

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава I. Асимптотика сингулярно возмущенного интегрального уравнения Вольтерра

§1.1. Постановка задачи

§1.2. Регуляризация и формализм метода

§1.3. Решение итерационных задач

Глава II. Построение регуляризованной асимптотики

решения сингулярно возмущенного уравнения Вольтерра 2-го рода в случае невырожденного

ядра (п = 1)

§2.1. Регуляризация задачи (2.1.2). Построение асимптотического решения

§ 2.2. Решение итерационных задач (2.1.8i),..., (2.1.8&)

и оценка их решений

§ 2.3. Оценка остаточного члена. Предельный переход

при г —у +0

§2.4. Построение асимптотических и точных решений

уравнения Вольтерра

Глава III. Решение сингулярно возмущенного

интегрального уравнения Вольтерра 2-го рода с вырождением ядра 1-го порядка

и его свойства

§3.1. Регуляризация задачи. Построение формального

асимптотического решения

§3.2. Решения итерационных задач и предельный переход

в задаче (3.1.1)

Глава IV. Задача инициализации сингулярно

возмущенного интегрального уравнения

Вольтерра 2-го рода с диагональным

вырождением в случае п > 3

§4.1. Структура проекторов

§4.2. Вычисление слагаемых итерационных уравнений

§4.3. Решение задачи инициализации

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие метода регуляризации для сингулярно возмущенных интегральных уравнений Вольтерра с произвольным вырождением ядра»

ВВЕДЕНИЕ

В данной диссертации проводится асимптотический анализ сингулярно возмущенного интегрального уравнения Вольтерра 2-го рода при стремлении малого параметра, входящего в уравнение, к нулю.

Асимптотический анализ помогает исследователю выявить существенные особенности изучаемой проблемы. При описании того или иного физического процесса специалист оценивает, влиянием каких параметров можно пренебречь, не теряя ценной информации об основных закономерностях изучаемого процесса.

Еще в начале XX века JI. Прандтль в работе [87] обращал внимание, что при изучении уравнения пограничного слоя малой вязкостью следует пренебрегать не в уравнениях, а в решении.

Основное внимание к проблематике сингулярных возмущений было привлечено работами А.Н. Тихонова в конце сороковых годов прошлого века [102,103].

К пятидесятым годам прошлого века на основе различных методов асимптотического интегрирования сформировались следующие математические школы: М.И.Вишика — A.A. Люстерника [19,20], Н.Н.Боголюбова — М.Н.Крылова — Ю.А. Митропольского [2,53,73— 75], Л.С. Понтрягина - Н.Х.Розова - Е.Ф.Мищенко [76,77,82-84],

A.Б.Васильевой - В.Ф.Бутузова - Н.Н.Нефедова [9,10,14—18],

B.П. Маслова — М.В. Федорюка [69-71], A.M. Ильина [41-42], С.А. Ломова [57-66].

Следует отметить, что регулярная теория возмущений окончательно была оформлена в трудах А.Пуанкаре [88]. Важная роль в ее развитии принадлежит А.М.Ляпунову [67]. Дальнейшее развитие она получила в работах Т. Като, К. Фридрихса, М. Рида и Б. Саймона [47].

Сингулярно возмущенные задачи так же являлись объектом изучения многочисленных математических школ. Каждая школа предлагает свою теорию по решению сингулярно возмущенных задач. Метод усреднения разработан школой H.H. Боголюбова — М.Н. Крылова —

Ю.А. Митропольского. Метод погранфункций — школой A.B. Васильевой — В.Ф. Бутузова. Метод сращиваемых асимптотических разложений — школой А.М.Ильина. Общий подход для решения сингулярно возмущенных задач, по мнению А.Н.Тихонова, представлен методом регуляризации, в котором осуществляется переход в пространство большей размерности, индуцируемое с исходной задачей. Дальнейшее развитие метода регуляризации осуществили ученики и последователи С.А. Ломова, что находит отражение в их работах.

Сингулярно возмущенные дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения с быстро и медленно меняющимися ядрами, продолжительное время являются объектом исследования М.И. Иманалиева, A.C. Омуралиева, В.Ф. Сафонова, A.A. Бободжанова [3—5,39,40,80, 81,97—101].

Исследованию сингулярно возмущенных задач со спектральными особенностями посвящены работы А.Г. Елисеева [35,36].

Как уже отмечалось выше, в работе рассматривается сингулярно возмущенное интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода с вырождением ядра произвольного порядка, что ранее не исследовалось.

С помощью сингулярно возмущенных уравнений описываются нелинейные задачи, возникающие в гидродинамике, квантовой механике и химической кинетике; нестационарные процессы, связанные с наличием в изучаемой системе тел, обтекаемых неустановившемся потоком жидкости или газа.

Интегральные модели традиционно используются в задачах автоматического регулирования, обработки экспериментальных данных, обратных задачах теплопроводности, вычислительной томографии.

Там же интегральные модели применяются для исследования стратегий обновления генерирующих мощностей в электроэнергетике [68].

Интегральные уравнения Вольтерра 2-го рода с регулярной особенностью являлись объектом изучения И.В.Сапронова [96].

Слабо сингулярное интегральное уравнение Вольтерра используется в

реологических моделях вязкоупругой среды. Работа А.Н. Тынды, А.Е. Романова предлагает численный метод решения таких уравнений [106].

Интегро-дифференциальные уравнения с вырождением в банаховых пространствах исследуются в работах М.В. Фалалиева [108].

Интегральные уравнения Вольтерра 2-го рода со спектральным параметром, ядра интегральных операторов которых имеют особенности, изучались в работах Д.М. Ахмановой, М.Т. Джелалиева [1].

Скалярное сингулярно возмущенное интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода при стремлении малого параметра к нулю с вырождением ядра предельного интегрального оператора произвольного порядка ранее не исследовалось.

Произвольность вырождения ядра интегрального оператора Вольтерра приводят к различным особенностям поведения решения при е —У 0 в зависимости от порядка вырождения. Решение этих вопросов разработки методов асимптотического интегрирования, исследование предельного перехода и описание класса сингулярностей сингулярно возмущенного интегрального уравнения Вольтерра для построения устойчивого по малому параметру решения является актуальным как в теоретическом, так и в практическом плане.

Перейдем к краткому изложению диссертации. Работа состоит из четырех глав.

Во введении обоснована актуальность работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна, описана методика исследования, показана теоретическая и практическая ценность, представлены выносимые на защиту результаты.

Первая глава состоит из трех параграфов.

§1.1 посвящен постановке задачи, выявлению особенностей задачи, из анализа выявляются три принципиально различных случая. Следует заметить, что особенности задачи напрямую связаны со свойством вырождения ядра интегрального оператора б).

Для скалярного сингулярно возмущенного интегрального уравнения

Вольтерра 2-го рода

г

+ У К^, s)г¿(s, е)с1з = о

(мл)

строится соответствующая эквивалентная интегро-дифференциальная система

е)

е-:—

¿г

<0 ,е) = 2Р(е),

= А(Ь)г(г, Е) - J Е)(18 + #„(*),

(1.1.4)

где

е) = Е),Пг{г, г),..., Е))т,

что доказано в лемме 1.1.1, с предельным оператором

/ 0 1 0 ... О \

О 0 1 ... О

^.(^)пхп —

о

д

О О ... 1

о о ... о

/

отвечающим за формирование сингулярностей в данной задаче, и

з)пхп —

О ... О ^

дпк{г,з

\ дЬ

... О

/

и начальным условием, напрямую зависящим от неоднородности исходного уравнения

Ле)

1

(/1(0) N

-п

\ 0 /

/

1

£

О

\

V

/^(О)

Спектр матрицы А(£) имеет следующую структуру

/

а=Ь

д^К^Б)

= А0

8=Ь

где ш = е», к = и,п— 1.

Из структуры спектра матрицы А(£) можно выявить три принципиально различных случая.

1) п = 1. Рассматривается скалярное сингулярно возмущенное интегральное уравнение Вольтерра. Ядро интегрального оператора К(Ь, я) невырождено. Для существования решения, устойчивого по е потребуем выполнение условия: Vt Е [О, Т] 11еА(/:) = —К^^) < 0.

2) п = 2. Для исходного уравнения строится соответствующая эквивалентная интегро-дифференциальная система 2-го порядка. Ядро интегрального оператора в) имеет вырождение 1-го порядка. Для существования решения, устойчивого по £, возможен лишь следующий вариант для собственного значения матрицы А(Ь):

X

или

У*€[0,Т] ИеА1)2(£) = 0, Л1,2(*) =

>

3) п > 3. Для исходного уравнения строится соответствующая эквивалентная интегро-дифференциальная система п-го порядка. Ядро интегрального оператора имеет вырождение п-го порядка. В данном случае из-за свойств ядра интегрального оператора я) в общем случае не существует устойчивого решения по е.

§ 1.2 посвящен полной регуляризации, в том числе и интегрального слагаемого, соответствующей эквивалентной интегро-дифференциальной системы и построению формального решения исходного уравнения в общем случае.

В силу стабильности спектра матрицы A(t), регуляризующие функции етг, где

t

1 /* w ч , <Pi(t) -з— П = - / Ai(s)ds =-, г = 1, п.

£ J £

О

Полностью регуляризованная задача имеет вид:

LoZfr г, +£(-1)*^ (t)Z(t, г, е) - Яп(0,

dt fcÎ (1.2.2)

Z(0, 0, е) = zQ(s) = 1я0 + ... + -Яп_1,

£

где

L0 = £ (A(i) - М*)) ПОПоМ

¿=i ОТг'

и

п

L0Z(t, г, г) = £ (А(£) - Аг-(*)) + Т(%(*).

г=1

Решение задачи (1.2.2) ищем в виде ряда

п оо оо

Z(t, т, е) = £ еТг Е W + ЕW- (L2-3)

г=1 к=—п к=—п

Подставляя (1.2.3) в (1.2.2), получаем серию итерационных задач, каждая из которых имеет вид системы:

L0Z(t,r) = H(t,r). (1.2.5)

Исследуется нормальная и однозначная разрешимость в пространстве U. Доказывается следующий результат.

Теорема 1.2.1 (о нормальной разрешимости). Пусть выполнены условия 1)—5) и H{t, т) имеет вид

п

#(*, т) = ^2 + МО е и.

2=1

Тогда уравнение т) — т) разрешимо в пространстве II тогда

и только тогда, когда

Р0(1)Н(г,т) = о,

п д

где Ро(<0 = / РМ)—— — проектор на ядро оператора Ьи.

¿Г ^

Теорема 1.2.2 (однозначная разрешимость). Пусть выполнены условия теоремы 1.2.1 м условия:

1) т)

2) £(0,0) = 0.

Тог<9а уравнение LoZ(t,т)=0 имеет единственное решение Z{t,т) = где

П 1 П

т) = (¿К* - Е

7 — 1 Ъ —-1

В §1.3 решаются итерационные задачи, начиная с шага —п. Найден главный член асимптотики решения задачи (1.1.4). Он имеет вид:

ггл(г, е)=(г, ш)+...+т)+(, ш)

или

Вторая глава состоит из четырех параграфов.

В §2.1 рассматривается сингулярно возмущенное интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода в случае невырожденного ядра интегрального оператора (п = 1)

t

eu(t,e) + J K(t,s)u(s,£)ds = h{t) (2.1.1)

о

при условии:

1) K(t, s) <= C°°(0 < s < t < T, C);

2) h(t) E C°°([0, T], C);

3) ReK(t,t) > 0;

4) K{t,t) ^ 0 при Vi G [О,T] (условие невырожденности). Продифференцируем уравнение (2.1.1) и получим задачу Коши

t

е^Л + K(t,t)u(t,£) + [ ^¿Au{s,£)ds = h(t),

dt

u( 0,e) =

dt

MO)

о

(2.1.2)

Соответствующая интегро-дифференциальная система имеет вид f £d_Z^r1£) _ mdZ(t T,e) + Tj

dt

дт

+ I 9KУ' sS)Z(s,T,£)ds = h(t),

Z( 0,0, e)

dt 40)

(2.1.4)

(где A(t) = —K{t, t)) для функции Z(t, т, e), удовлетворяющей условию расширения

Z(t,r, e)

= n(i, 5).

Проводится полная регуляризация соответствующей эквивалентной интегро-дифференциальной системы.

Полностью регуляризованная задача имеет вид:

f g9Z(t т,е) _ x(t)dZ(t T,e) + ri £) __ J{t)z^ т> £) = ^

£

Решение задачи (2.1.6) ищем в виде:

ОО 00

Z{t^£) = £ e*a;fc(f)er + £ efcyfc(i). (2.1.7)

fc=-l к=-1 Подставляя (2.1.7) в (2.1.8), получим серию итерационных задач, каждая

из которых имеет вид системы:

t

L0Zk(t,r) = -X(t)dZk^TK\(t)Zk(t,r) + Js)y(s)ds = F(t, t) , (2.1.9)

о

,, ч dK(t,s) 7 _

где k(t, 5) = ———, к = -1, oo.

Доказаны следующие результаты.

Теорема 2.1.1. Пусть выполнены условия 1)—4) и пусть F(t,r) = = F\(t)eT + -Fg(i) £ U. Тогда уравнение (2.1.9) нормально разрешимо в пространстве U тогда и только тогда, когда

(^(*,т),ег)=*\(*) = 0, t € [О, Т].

Теорема 2.1.2. Пусть выполнены условия 1)—4), условия теоремы 2.1.1 и условия

1) + 2) Z(0,0) = z°. Тогда задача

' L0Z(i,r) = F(i,r), Z(0,0) = ^°

имеет единственное решение в пространстве U.

В § 2.2 находятся решения итерационных задач и их оценки:

\\гк\\<ск\\н\\с^,

где к — итерационный шаг.

В § 2.3 проводится оценка остаточного члена и изучается предельный переход при е —> +0.

Доказан следующий результат.

Теорема 2.1.3. Пусть выполнены условия 1)—4). Тогда задача (2.1.2) однозначно разрешима в пространстве С°°([0,Т],С) и для ее решения справедлива оценка

/ \ ( Ч>{1) \ U[t,£) ~UN\t, J

<CNeN+l\\h\\CN+2, N = -1,0,...,

где Сдг > 0 не зависит от е £ (0, £о]-

Главный член асимптотики решения задачи (2.1.1) имеет вид:

А(0) + А»(0) )

п I

е° +

t

+ Je. о

1 д k(s, si)a;_i(si)

Л(s) dsi

A(Sl)

ds

SI=S

e £ +

+T~\t)

h[t)

-k(t,0)h(0)

A (t) A(0)A(i)

Изучается предельный переход при s —+0. Доказан следующий результат.

Теорема 2.1.4. Пусть в уравнении (2.1.1) неоднородность hit) такова, что /г(0) = 0, и выполнены условия 1)—4), 5) ReA(i) < 0 при t £ [0, Т]. Тогда имеет место предельный переход

1К*,е) - yo{t)\\C[s,T} £ +Q > 0 где yo(t) — решение интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода:

Kit, s)yois)ds = hit).

Из этой теоремы следует, что в случае /г(0) = 0 предельным решением уравнения (2.1.1) на [5,Т] является решение уравнения Вольтерра 1-го рода

г

У = ад-

Теорема 2.1.5. Пусть в уравнении (2.1.1) неоднородность /г(£) такова, что /г(0) = 0, и выполнены условия 1)—4), 5) ЫеА(£) < 0 при Ь £ [0,Т]. Тогда имеет место предельный переход в "слабом смысле", т.е. У/(£) € С°°[0,Т]

г

f(s)(u(s,e) - yo{s))ds

£ -> +0

■>0

где yo(t) — решение интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода:

t

I K(t, s)yo(s)ds = h(t).

Главный член асимптотики решения задачи (2.1.1) в этом случае имеет

вид:

ur„(t,e) =

МО) /

А(0)

ео

fc(s,s) A (s)

ds

v(t) е е

ш

X (t)

Теорема 2.1.6. Пусть в уравнении (2.1.1) неоднородность hit) такова, что h(0) = 0 и h(0) = 0, и выполнены условия 1)—4), 5) Re X(t) < 0. Тогда имеет место предельный переход

u(t,e) - y0(t)

С[0,Т]

£ -> +0

0.

Из этой теоремы следует, что в случае /г(0) = к{0) = 0 предельным решением уравнения (2.1.1) на [0,Т] является решение уравнения Вольтерра 1-го рода

/

K{t,s)y0(s)ds = h(t).

Теорема 2.1.7. Пусть в уравнении (2.1.1) неоднородность такова, что /г(0) ^ 0, и выполнены условия 1)—■4), 5) КеЛ(/;) < 0. Тогда имеет место предельный переход

\u(t,e)-y0(t)\\c[6,T\ --г^О,

£ —> +U

где yo(t) — решение интегрального уравнения

t

J K(t,s)y0(s)ds = h(t)-}^)K(t, 0). о

В § 2.4 в качестве примера рассматривается сингулярно возмущенное интегральное уравнение Вольтерра с ядром интегрального оператора, имеющего вид:

K(t, s) = a(t)b(s)

при выполнении условий 1)—4).

Строится асимптотическое и точное решение этого уравнения. Третья глава состоит из двух параграфов.

В третьей главе рассматривается сингулярно возмущенное интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода с вырожденным ядром 1-го порядка

t

£u(t,£) + J K(t,s)u(s,e)ds = h(t) (3.1.1)

о

при выполнении условий:

1) K(t, s) e C°°(0 < «s < t < T, C);

2) адеС°°([0,Т],С);

K{t,s)

3) Re

4)

dt dK(t, s)

= 0 Vi E [0, T];

s=t

dt

¿0 \/t E [0, Т].

s=t

Соответствующая эквивалентная интегро-дифференциальная система

имеет вид:

г)

/

V

о

<Ж(М)

дг

о

•/ ^ гйкм + #(*),

(3.1.2)

КО) о

1

+ -

£

О

КО)

В §3.1 проводится регуляризация данной задачи и строится формальное асимптотическое решение. Решение задачи ищем в виде:

00

(3.1.5)

к=-2

где е и, т.е.

г) = 4(*)еТ1 + + 2/*М-

Подставляя (3.1.5) в полностью регуляризованную систему, получаем серию итерационных задач, каждая из которых имеет вид:

ь0гк&Т) = Ах«^^ + - т)+

дп дт2 (3.1.7)

т) = т) при к = —2, оо. Доказаны следующие результаты.

Теорема 3.1.1. Пусть выполнены условия 1)—4) и пусть т) — — ^(¿)еТ1 + F2(í)er2 + .£о(£) € II. Тогда для нормальной разрешимости уравнения (2.2.7) е пространстве II необходимо и достаточно, чтобы

(^(*,т),^'(*)ег') = 0 ^£[0,Т], ^ = 1,2. (3.1.8)

Здесь ( , ) — обозначение скалярного произведения в пространстве II; ф3(Ь) — собственные векторы матрицы А*(Ь), соответствующие собственным значениям у = 1,2. Причем собственные векторы

у?г(£) и ф3^) матриц А(Ь) и А*(£) берутся дуальными, т.е.

Ф1^)) = ~ символ Кронекера.

Теорема 3.1.2. Пусть выполнены условия 1)—-4), условия теоремы 3.1.1 и условия

1) ^Е[0,Т], э = 1,2; (3.1.9)

2)2(0,0) = 0. ' (3.1.Ю)

Тогда уравнение Ь0г(г,т) = 0 имеет единственное решение Z(t,т) = 0 в пространстве V.

Теорема 3.1.3. Пусть выполнены условия 1)—4). Тогда система (3.1.2) однозначно разрешима в пространстве С([0,Т],С2) и для ее решения справедлива оценка

z(t,£)-ZNít,^,e

<sN+1CN¡¡hl¡c^s,

C[0,T]

где См > 0 не зависит от е Е [0, но].

В §3.2 проводится решение итерационных задач и изучается предельный переход в задаче (3.1.1).

Главный член асимптотики решения задачи (3.1.2) имеет вид:

2,

■гл

[t'£> e*{2\l\1(t)e

Ai (í) J

vi W e * +

/i(o) /л2(о)е-;^

Ht)

i

L a2« J

y2(*) \ 1 i i 1 / ,\

+ -I l«-iW

2AÍ(í)(Ai(Í) - A2(í))

L A2(Í) J

1

AiM

e e 4-

+

+ «2-iW

1

A2(í) J

2A2(Í)(A2(Í) - Ai (i))

-i

A2(¿) + -

6(M)\

A2w ; LaiW.

e e —

J-A-1(t) J B{t,s)ds^j A-\t)B(t, 0)

^-2^0) (0)

L Ai(¿) J

+

A2(0)

1

Ai (i)

+ Zo t.

(3.1.31)

Доказан следующий результат.

Теорема 3.1.4. Пусть выполнены условия 1)—-4) и пусть неоднородность /г(£) в уравнении (3.1.1) такова, что /г(0) = Н(0) = /г(0) = 0. Тогда имеет место предельный переход:

\\z{t,£)-y0{t)\\c{0,T] £ +0 >

— 2/о(011с-[о,г] е +0 > 0;

где yo(t) — решение

A{t, s)yo(t) + J B{t, s)y0(s)ds = -H(t), 0

y\(t) — решение интегрального уравнения

t

J K(t, s)y\(s)ds = hit). о

Теорема 3.1.5. Пусть выполнены условия 1)—4) и пусть неоднородность h(t) в уравнении (3.1.1) такова, что h{0) = h{0) — 0, h{0) ^ 0. Тогда имеет место предельный переход на [0,Т] в "слабом смысле ":

£ ДЛ+0 > ÎAjW.

сл.

2) u(t,e)TT+Ô* VoV)>

где yo(t) — решение интегрального уравнения

1

J K(t, s)yl(s)ds — h(t).

о

Замечание. u(t,e)—СЛ" > ylQ (t) означает, что

£ —У +(J

V/(t) G С00[0, Т] : J f(t)(u(t, е) - yl(t))dt 0 при

£ +0.

Главный член асимптот имеет вид:

МО) ш-ш*

2Л5(0)У Ах (О

I Л! ад ]

£1Ш , е е +

К{0) /Л2(0) -/

2Л22(0)У Л2(*)

Ь(а,я) е о 2Л2<«)

I л2(*) ]

е £ +

у5М

о

Теорема 3.1.6. Пусть выполнены условия 1)—■4) и пусть неоднородность Н(Ь) в уравнении (3.1.1) такова, что к(0) ^ 0. Тогда имеет место асимптотическая сходимость:

i ^ ( ¥>(*) ' - гТЛ[ -,£

<еС0\Мср_

С[0,Т] £ —у -1-0

> 0.

Четвертая глава состоит из трех параграфов.

В четвертой главе анализируется и устанавливается класс (М^)} правых частей, приводящих к экспоненциально ограниченному решению сингулярно возмущенного интегрального уравнения Вольтерра с диагональным вырождением произвольного порядка ядра интегрального оператора.

Как было отмечено в §1.1 в спектре предельного оператора появляются точки с Яе А(£) > 0, т.е. в асимптотическом разложении решения уравнения (1.1) появляются экспоненциально растущие по £ —>• +0 слагаемые. По теореме 1.1.1 и теореме 1.1.2 следует, что точное решение уравнения (1.1.1) представляется в виде

00

00

г=1

к=—п

к=-п+1

г

где п = ^у А¿(з)^, г = 1,п,

В §4.1 описывается структура проекторов Р^). В §4.2 вычисляются слагаемые итерационных уравнений. В §4.3 решается задача инициализации. Доказан следующий результат.

и

Теорема 4.1.1. Пусть выполнены условия 1)—3) для уравнения (1.1.1) неоднородность £ т.е. ¡¿к\0) = 0, к = 0,оо. Тогда

z(t,£)-ZN(t,^,£

С[0,Т]

где

к—0 п

/

0 -1

T~\t) =

V

I - A~\t) J B(t, s)ds j

Теорема 4.1.2. Пусть выполнены условия теоремы 4.1.1. Для того, чтобы существовал равномерный по £ £ [0, Т] предельный переход

и

(t,e) - n(i)||C[0,T] -> 0 при £ У +0,

необходимо и достаточно, чтобы

hSk\0) = 0, к = ОТоо. Здесь U(t) — решение интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода:

K(t,s)ü{s)ds = h(t).

(4.1.8)

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [121—129].

Результаты диссертации были доложены на следующих научных семинарах:

• семинар "Теория сингулярных возмущений" кафедры ВМ МЭИ под руководством проф. В.Ф.Сафонова, проф. A.A.Бободжанова (2009-2013 гг., неоднократно);

• семинар "Дифференциальные уравнения" кафедры ММ МЭИ под руководством проф. Ю.А. Дубинского, проф. A.A. Амосова;

• МГУ.

Результаты работы были доложены так же на научных конференциях:

• школа "Математические методы и приложения" (РГСУ, 2009-2013 гг., неоднократно);

• международная конференция по Математическому моделированию, Саратов, 2009;

• Зимняя математическая школа, Воронеж, 2011.

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю доценту А.Г. Елисееву за постановку задач, постоянное внимание к работе, за многочисленные обсуждения и ценные рекомендации.

ГЛАВА I. АСИМПТОТИКА СИНГУЛЯРНО

ВОЗМУЩЕННОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА

§ 1.1. Постановка задачи

В настоящей главе строится регуляризованная асимптотика решения сингулярно возмущенного интегрального уравнения Вольтерра. Общий подход к построению регуляризованной асимптотики сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных уравнений описывается в работах CA. Ломова [57—66] и его учеников [3, 35,97—101]. В данной работе рассматривается случай тождественного вырождения n-го порядка ядра интегрального оператора сингулярно возмущенного уравнения Вольтерра 2-го рода.

Пусть дано скалярное интегральное уравнение Вольтерра

t

£u(t,e) + J K(t,s)u(s,e)ds = h(t)

(l.i.i)

и выполнены следующие условия:

1) K(t, s) <Е С°°(0 < 5 < t < Т, С);

2) /i(i)eC°°([0,T],C);

_ dK(t, s)

3) Vi е [О, Т] K(t, s) dn~lK{t, s)

dt

dn~2K{t, s)

s=t

dt

n—2

= 0,

s=t

dt

n—1

s=t

8=Ь

7^0 (0<5<£0).

с

Условие 3) означает, что ядро имеет вырождение п — 1 порядка. Продифференцировав уравнение (1.1.1) п раз, получим интегро-дифференциальное уравнение п-го порядка

5dnu(t,e) | dn~lK{t,s)

dtn dtn~l Сделаем замену £ = еп: , dnu(t, е) dn~1K(t, s)

, , f dnK(t,s) , . , dnh(t) , .

+ / Jn = (1-1-2)

s=t

dtr

dt

dtr

dtn~l

, ч f dnK(t, s) . ч 7 dnh(t) , ^ o4 «(*.*)+/ 1 Ju(s,£)ds = —ii. (1.1.3)

s=i

dt

dtr

о 22

Легко показать, что уравнение (1.1.2) сводится к системе интегро-дифференциальных уравнений первого порядка с предельным оператором, имеющим тождественно жорданову структуру с единственным нулевым собственным значением и одной жордановой клеткой.

Действительно, домножим уравнение на еп~1 и сделаем замену еи^^) = Тогда получим систему интегро-дифференциальных

уравнений:

е)

г —— сИ

й(0 ,е) = и°(е)

= М(г, е) + Г^А^и^, е) - £п~1 J В(г, з)и{з, е)<1з + £п~1Нп{1),

о

где

а) е) = (и(г, е), т(Ь, е),..., «„_!(*, е))т;

б) / — п-мерная жорданова клетка; / 0 1 0 ... О \

в) А® =

О

О

\

г) В&з) =

(

дп~1к(г,з) дг11-1

О

О 1 .

о о . о о .

0

1

о

/

\ д1п

О

О

\

/

д) нп{1) = {о,о,...,^)(0)т

Таким образом, предельным оператором сингулярно возмущенной задачи есть жорданова клетка с собственным значением А(£) кратности п, возмущенная оператором А{£) и интегральным оператором Вольтерра. Что приводит к ветвлению собственного значения А&(£) = 0+ у/ец 1,2 + ...+ + у £п~1 Для нахождения /л^ надо строить уравнение разветвления,

но в данном случае этого можно избежать. Достаточно сделать замену параметра е — еп . Сделав эту замену, получим уравнение (1.1.3).

Введя функции по формулам и вектор-функцию

е) = {и{г, е), их^, £),..., е))т,

получим задачу Коши (1.1.4):

г

е)

<И

( /1(0) ^

(1.1.4)

4 / „п

0 /

1

£

о

\

V

= —-Нп + . . . 4--Яп_

п—1?

/

^»(Опх! = (о, о,..., л(п)(*))Г;

/о 10

О 0 1

-^СОтгхп —

О

\

дЬ"

О о о о

о \ о

1 о

вы

(

5)пХп —

О ... о

дпКЦ,з) п

\ дгп • ■ • и Лемма 1.1.1. Уравнение

\

/

ъ

(1.1.1.О

и задача Коши

и

г

£ £ £

эквивалентны друг другу, если

2) ^(¿,5)еСп(0<5<г<Г,С);

3) К(1,з)

_ дК(Ь, 5)

дП~1К(Ь 5)

дь

^0.

5=«

а*«-2

= о,

До к аз ательств о. Необходимость. Пусть и(£, г) — решение уравнения I

еи(£,е) + J з)и(з,£)дз = /г(£).

Продифференцировав это уравнение п раз, получим, что г) решение задачи Коши

№

+

Ы

гг-1

Ь

/п \ МО) . Л(0)

о

, • • • 1

и

(п~ 1)

(0,0 =

£ * ' £ ~ ' ' £ Достаточность. Пусть е) — решение задачи Коши

(И

п

др-1

в=г

£ £ £ Проинтегрируем уранение один раз, предварительно заметив, что

£-——^--£■

71—1

сйп~1

Учитывая начальные условия, получим

Г д"-1 К (г, в)

Проинтегрировав это уравнение п — 1 раз, получим

г

е) + ! е)йв =

о

т.е. е) — решение уравнения. ►

Теорема 1.1.1. Решение уравнения (1-1.1') существует и представимо в виде

ОО

«(О = ЕС-1)^1*«'1«.

г /с=о

где Г(£) = J К5) • о

Доказательство. Подставим ряд в уравнение (1.1.1') и, проделав формальные преобразования, получим

ОО 1 ОО

к=0 к=О

ОО ОО

- ад++ «ад =

т.е. ряд представляет собой решение.

Равномерную сходимость ряда доказывают оценки:

< 5 вк-2

\Т\т1)\<\\К^з)\\%\\Н(Щс ! у ¿зк^...дз =

оо о

= Н^(м)|1с ИМОНс^р

Справедлива следующая оценка

оо ОО д.

Е < Е ¡*нКв * ы нмонс = пвднс ►

&=0 /с=0

Теорема 1.1.2 (единственности). Уравнение

г

о

имеет единственное решение.

г

+ У ¿М^)^ = ад

Доказательство. Оценим по модулю

í

е\и(г,е)| < ||ВД11с + ||^(М)||с У

о

и получим

или

о

г

1п + I Hs,s)\dsj <~\\К^з)\\с.

Проинтегрировав, получим

4||/Г(М)||<7

\\и(1,е)\\с<±\т\\се—

Если /г(£) = 0, то из неравенства следует = 0. Отсюда

вытекает, что решение единственно. ►

Итак, имеем задачу Коши (1.1.4). Собственные значения предельного оператора А(Ь) (интегральный оператор имеет порядок е) равны:

А*(*) =

-?/

/ д ^ " V

= А 0(£)к/,

2ттг

где и; = /с = 0, п — 1; (/?о = 0 или тт, если ядро К(Ь, з) вещественно.

Геометрическая интерпретация возможного расположения собственных значений представлено на диаграммах.

А, '

^ »1 ч

1 О

1) п = 1. Скалярное уравнение, ядро интегрального оператора невырождено: Vi G [О, Т] Re A(i) = t) < 0.

2) п = 2. Ядро интегрального оператора имеет вырождение первого порядка: € [0, Г] КеА^гЙ = 0, Ах,2(» = ±гш{р).

3) п > 3. Ядро интегрального оператора имеет вырождение п-го порядка: ЗЯе Ак(£) > 0 V* е [0, Г], /с = 0,п-Т.

условия:

1) К{ь,з)ес°°(0<з<г<т,с);

2) ВДеН[0,Г],С);

3) Vi G [О, T) K(t,s) dn~lK{t, 5)

Ôlf(M)

dn~2K{t, s)

s=t

dt

71 — 1

t^O;

S—t

5) Vi€ [0,21 i^j;

6) a) Vi € [0,T] ReAk(t)<0, n < 2;

6) 3Afc(£) ReAfc(i) > 0, n> 3;

7) /i(0) = ... = /г(п-1)(0) = 0 — дополнительное условие (целесообразность этого условия будет рассмотрена ниже).

При этих условиях оператор Ait) допускает спектральное разложение

п к=1

где Pk(t) — попарно дизъюнктные проекторы, образующие полную группу:

а) Pi(t)Pj(t) = ^{гу,

б) £ Pfe(i) = /;

fc=i

n

В) = =

к^г

Замечание.

1. Задача Коши (1.1.4) является интегро-дифференциальной, порожденной интегральным уравнением (1.1.1). Из структуры спектра видно, что ReAfc могут быть как меньше, так и больше нуля. Отсюда следует, что при п < 2 задача Коши может быть корректна при специальных условиях на спектр ReAk(t) <0 Vi G [0,Т]. В случае n > 3 в спектре присутствуют собственные значения с ReAfc(i) >0 Vt € [0,Т]. Постановка задачи Коши в этом случае требует специальных начальных условий, порожденных правой частью h(t), учитывающих ~ReXk(t) > 0 Vi G [0 ,Т].

2. В неограниченность решения при е —> 0 также вносит также значения h(t) и ее производных в нуле. Ограниченное решение по £ будет получено при дополнительном условии 7) на h(t).

1.2. Регуляризация и формализм метода

Формализм метода регуляризации проведем в общем случае, без выполнения дополнительных условий.

Согласно методу регуляризации введем дополнительные переменные по спектру матрицы :

ь

Тг = -

о

t

^ J Xi{s)d

_ ipijt) . -— s =-г = 1, п.

Введем регуляризирующие функции еп. Вместо задачи (1-1-4) рассмотрим новую задачу:

£—^— + ¿^ —— = г, £)-

г=1

г

- J B(t, s)Z(t, т, e)ds + Hn(t),

(1.2.1)

Вектор-функция Z{t,r,e) удовлетворяет условию сужения:

Z = z(t,e), т = (гь ... ,тп)

и принадлежит пространству

U=<Z

Z(i,r) = ^a:i(i)e71+2/(i), ar<(i), y(t) 6 С00([О, Т], Сп), г = 1,п

г=1

с нормой ||Z|| = ^||a;fe||c.+ ||2/||с-

к=1

Однако, в задаче (1.2.1) не произведена регуляризация интегрального оператора

t

J(t)Z(t, г, е) = J(t)Z (t, е) - J B(t, г,

Поэтому задача (1.2.1) называется частично регуляризованной. Для полной регуляризации задачи (1.1.4) введем класс М£ , асимптотически инвариантный относительно интегрального оператора </(£).

Определение 1.2.1. Класс М£ асимптотически инвариантный (при е —> +0) относительно оператора То, если выполнены условия:

1) М£ С О(Т0) при каждом г > 0;

2) образ Тор(£, е) любого элемента е) Е М£ разлагается в ряд

00

Тод(г)£) = ^2£пдп(г,Е) (£->+0, дп(г,£)€Ме),

п=О

сходящийся асимптотически, равномерно по £ Е [О, Т]. В качестве М£ возьмем М£ = и

При этом элементы класса М£ имеют вид Z \ Ь

Ф)

Образ интег-

рального оператора 7(£) на элементе Ъ ( —6 М£ будет

п ¿=1 п

п гг

г=1 %

О О

Стоящие здесь интегралы разложим в асимптотические ряды.

Интегрируя по частям, будем иметь

7 АДя)

<9 б)Хг(з)\ ^¿М

1

дй V А* (а)

7 х , \ / \

е е аз = £ ч-р(^) з)Хг($)е Аг(^)

1 а

—£

з)о^(в) ) е

+

Введем операторы дифференцирования

1 д . ,

А(з) = . . , —. г = 1,п.

Тогда

г

j5(t, 5)Жг(5)е £ (¿Б

-£2Д (5)

е £ —

1

Лг(0) +

лм

\Лг(5)

г

£(£, 0)^(0)-

Проведя интегрирование по частям Л7" раз, получим Г м / 1

е £ —

+

5=0

+("1)

.лм-1

г

Остаточный член разложения образа интегрального

оператора равен

г

о

Так как выполнены условия 1), 2), 6а) то

НДлгМНсм < £М+1Сы+1 при п < 2,

32

где Слч-i не зависит от t и е. Значит t

B(t, s)xi(8)e^ds = (s) ( yfr^

oo

fc=0

A<W

vM e г —

s=i

00

1

k=0

s=0

Равенство понимается здесь как асимптотическое, равномерное по t Е [О, Т].

Замечание. В случае п > 3 разложение интегрального оператора производится в множестве формальных регуляризованных рядов по степеням е, соответствующих ReAi(i) > 0. Если h(t) удовлетворяет условию инициализации или h(t) Е ^, порожденного задачей (1.1.4), то разложение интегрального оператора по степеням е будет асимптотическим и равномерным по £ Е [О, Т). Описание YL будет дано в главе III.

Таким образом регуляризация интегрального оператора J{t) в М£ составит

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шапошникова, Дарья Алексеевна, 2014 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Ахманова Д.M., Дженалиев М.Т, Рамазанов М.И. Об особом интегральном уравнении Вольтерра второго рода со спектральным параметром. // Сибирский матем. журнал, январь—февраль, 2011, т. 52, № 1, с. 3-14.

2. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. —М.: Наука, 1974, 504 с.

3. Бободжанов A.A., Сафонов В.Ф. Интегральные уравнения Вольтерра с быстро изменяющимися ядрами и их асимптотическое интегрирование. // Матем. сборник, 2001, т. 192, № 8, с. 53-78.

4. Бободжанов A.A., Сафонов В.Ф. Регуляризованные асимптотические решения сингулярно возмущенных интегральных систем с диагональным вырождением ядра. // Дифф. урав., 2001, т. 37,

№ 10, с. 1330-1341.

5. Бободжанов A.A., Сафонов В.Ф. Сингулярно возмущенные нелинейные интегро-дифференциальные системы с быстро изменяющимися ядрами. // Матем. заметки, 2002, т. 72, вып. 5, с. 654—664.

6. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. —М.: Наука, 1979, 254 с.

7. Богаевский В.Н., Повзнер А.Я. Алгебраические методы в нелинейной теории возмущений. —М.: Наука, 1987, 256 с.

8. Бобочко В.Н., Ломов С.А. Внутренний пограничный слой. // Тр. Моск. энерг. ин-та, 1980, вып. 499, с. 57—60.

9. Бутузов В.Ф. Асимптотика решений некоторых модельных задач в химической кинетике с учетом диффузии. // ДАН СССР, 1978, т. 242, № 2, с. 268-271.

10. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б., Нефедов H.H. Асимптотическая теория контрастных структур. // Автомат, и телемех., 7 (1997), с. 3—32.

11. Birkhoff C.D. On the asymptotic character of the solutions of certain mear differential equations containing a parameter. Trans. Amer. Math. Soc., 1908, Y. 9, p. 219-231.

12. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. —М.: Мир, 1968, 464 с.

13. Wasow W. Asymptotic solutions of boundary value problems for the differential equation Duke. Vath. J., 1944, V. 11, p. 405-411.

14. Васильева А.Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. // УМН, 1963, т. 18, вып. III, с. 3—86.

15. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. —М.: Наука, 1973, 272 с.

16. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. —М.: Изд-во МГУ, 1978, 106 с.

17. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Об асимптотике решения типа контрастной структуры. // Матем. заметки, 1987, т. 42, № 6, с. 831-841.

18. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф., Нефедов H.H. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах. // Фунд. и прикл. матем., 4(3), 1998, с. 799-851.

19. Вишик М.И., Люстерник A.A. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. // УМН, 1957, т. 12, вып. 5, с. 3-122.

20. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных уравнений с большими или быстро меняющимися коэффициентами и граничными условиями. // УМН, 1960, т. 15, вып. 4, с. 27-95.

21. Вайнберг Б.Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики. — М.: Изд-во МГУ, 1971, 506 с.

22. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкостей. —М.: Мир, 1967, 310 с.

23. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Резонансы и малые знаменатели в небесной механике. —М.: Наука, 1978, 127 с.

24. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. —М.: Наука, 1979, 432 с.

25. Гребеников Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах. —М.: Наука, 1986, 256 с.

26. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. -ГИТТЛ, 1953, 491 с.

27. Глушко В.П. Линейные вырождающиеся дифференциальные уравнения. —Воронеж, 1972, 194 с.

28. Губин Ю.П., Сафонов В.Ф. Нелинейная регуляризация резонансных задач. // Тр. Моск. энерг. ин-та, 1980, вып. 499, с. 73—77.

29. Губин Ю.П., Сафонов В.Ф. Асимптотические решения сингулярно возмущенных задач со слабой нелинейностью в случае нетождественного резонанса. // Дифф. урав., 1984, т.20, № 6,

с. 930-931.

30. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. -М.: Наука, 1970, 536 с.

31. Далецкий Ю.Л. Асимптотический метод некоторых дифференциальных уравнений с осциллирующими коэффициентами. // ДАН СССР, 1962, т. 143, № 5, с. 1026-1029.

32. Джакалья Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем. -М.: Мир, 1979, 320 с.

33. Дьедонне Ж. Основы современного анализа. —М.: Мир, 1964, 431 с.

34. Джураев A.M. Асимптотическое интегрирование краевой задачи с кратным чисто мнимым спектром. // Спектр, теория в задачах матем. физики. Сб. науч. труд. —М.: Моск. энерг. ин-т, 1987, № 141, с. 30—34.

35. Елисеев А.Г., Ломов A.C. Теория возмущений в банаховом пространстве. // ДАН СССР, 1982, т. 264, № 1, с. 34-38.

36. Елисеев А.Г., Ломов С.А. Теория сингулярных возмущений в случае спектральных особенностей предельного оператора. // Матем. сб., 1986, т. 131(173), № 4, с. 544-557.

37. Жукова Г.С. Аналог метода диафрагмы Ньютона для одного класса сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений. // Дифф. урав., 1990, т. 26, № 9, с. 1500-1509.

38. Зигель K.JI. Лекции по небесной механике. —М.: ИЛ, 1959, 300 с.

39. Иманалиев М.И. Асимптотические методы в теории сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных уравнений. —Фрунзе: Илим, 1972.

40. Иманалиев М.И. Методы решения нелинейных обратных задач и их приложения. —Фрунзе: Илим, 1977.

41. Ильин A.M. Пограничный слой. // Итоги науки и техники. Совр. проблемы матем. Фундаментальные направления. —М.: Изд-во ВИНИТИ, 1988, т. 34, с. 175-214.

42. Ильин A.M., Леликова Е.Ф. Метод сращивания асимптотических разложений для уравнений в прямоугольнике. // Матем. сб., 1975, т. 96, № 4, с. 568-583.

43. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности подсистемы собственных и присоединенных функций пучка М.В.Келдыша обыкновенных дифференциальных операторов. // ДАН СССР, 1976, т. 227, № 9, с. 796-799.

44. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. —М.: Наука, 1977, 744 с.

45. Касымов К.А. Об асимптотике решения задачи Коши с большими начальными условиями для нелинейных уравнений, содержащих малый параметр. // УМН, 1962, т. 17, вып. 5, с. 187—188.

46. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. —М.: Мир, 1972, 276 с.

47. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. —М.: Мир, 1972, 740 с.

48. Коняев Ю.А. Конструктивные методы анализа многоточечных краевых задач. // Изв. вузов. Сер. матем., 1992, № 2, с. 57—61.

49. Кирпикова О.И., Ращепкина Н.А. Регуляризованная асимптотика решения параболической задачи в случае спектральных особенностей. // Спектр, теория в задачах матем. физики. Сб. науч. трудов. —М.: Моск. энерг. ин-т, 1987, № 141, с. 109-113.

50. Кобрин А.И., Мартыненко Ю.Г. Асимптотическое решение слабой нелинейной системы. // Дифф. урав., 1977, т. 13, № 6, с. 1008—1019.

51. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. —М.: ИЛ, 1958, 457 с.

52. Качалов В.И., Ломов С.А. Гладкость решений дифференциальных уравнений по сингулярно входящему параметру. // ДАН СССР, 1988, т. 299, № 4, с. 805-807.

53. Крылов М.Н., Боголюбов Н.Н. Введение в нелинейную механику. -Киев: Изд-во АН УССР, 1937, 363 с.

54. Lanqer R.E. The asymptotic solution of ordinary linear differential equations of second order with special refrence to the Stokes phenomenon. // Bull. Amer. Math. Ann. -1934, v. 63, p. 505-582.

55. Lanqer R.E. The asymptotic solutions of ordinary linear differential equations of second order with special refrence to a turning point. // Trans. Amer. Math. Soc., 1949, v. 67, p. 461-490.

56. Luke Y.L. Integrals of the Bessel functions. —New York—Toronto-London, 1962, 419 p.

57. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. —М.: Наука, 1981, 400 с.

58. Lomov S.A. Introduction to the General Theory of Singular Perturbation. // Translations of Mathematical Monographs, v. 112, American Mathematical Society, 1992.

59. Ломов С.А. Метод возмущений для сингулярных задач. // Изв. АН СССР, сер. Матем., 1972, т. 36, № 3, с. 635-651.

60. Ломов С.А. Формализм неклассической теории возмущений. // ДАН СССР, 1973, т. 212, № 1, с. 33-36.

61. Ломов С.А., Стрижков В.А. Обобщение теоремы Тихонова на случай чисто мнимого спектра. // ДАН СССР, 1983, т. 271, № 6, с. 1317-1320.

62. Ломов С.А., Холомай Б.В. Излучение релятивистских фермионов в периодическом магнитном поле. —Томск: Изд-во Томского ун-та, 1982, № 1, с. 75-80.

63. Ломов С.А., Елисеев А.Г. Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущенных задач. // УМН, 1988, т. 43, вып. 3(261), с. 3-53.

64. Ломов С.А. Обычная сходимость асимптотических рядов при наличии нулевых точек спектра. // Вест. Моск. гос. унив., сер. Матем. и мех., 1987, № 6, с. 85-91.

65. Ломов С.А., Ломов И.С. Основы математической теории пограничного слоя. -М.: Изд-во МГУ, 2011, 453 с.

66. Ломов И.С. Условия существования целых аналитических решений некоторых сингулярно возмущенных уравнений. // Спектр, теор. в задачах матем. физики. Сб. науч. трудов. —М.: Моск. энерг. ин-т, 1987, № 141, с. 61-67.

67. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. // Академик А.М.Ляпунов. Собр. соч. -М.: Изд-во АН СССР, 1956, т. II, с. 7-263.

68. Маркова Е.В. О моделях развивающихся систем типа Глушкова и их приложения в электроэнергетике. // И.В. Седлер, В.В. Труфанов. Авт. и телемех., 2011, № 7, с. 20-28.

69. Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы. —М.: Изд-во МГУ, 1965, 554 с.

70. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. —М.: Наука, 1977, 384 с.

71. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. —М.: Наука, 1976, 296 с.

72. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы в нелинейной механике. —М.: Наука, 1981, 400 с.

73. Митропольский Ю.А., Лопатин A.K. Теоретико-групповой подход в асимптотических методах нелинейной механики. —Киев: Наук, думка, 1988, 272 с.

74. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. —Киев: Наук, думка, 1971, 440 с.

75. Митропольский Ю.А., Филатов А.Н. Усреднение

интегро-дифференциальных и интегральных уравнений. // Укр. матем. журн., 1972, т. 24, № 1, с. 30-48.

76. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. —М.: Наука, 1975, 247 с.

77. Мищенко A.C., Стернин Б.Ю., Шаталов В.Е. Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора. —М.: Наука, 1978, 352 с.

78. Нестеров A.B. Асимптотика решения слабо нелинейной системы дифференциальных уравнений типа «реакция—перенос». // Тез. межд. конф. «Матем. физика, матем. модел. и прибл. методы», поев, памяти А.Н. Тихонова. —Обнинск, 2000, с. 42—43.

79. Олейник O.A. Математические задачи теории пограничного слоя. // УМН, 1968, т. 23, вып. 3, с. 3-65.

80. Омуралиев A.C. Краевая задача для сингулярно возмущенных систем интегро-дифференциальных уравнений в критическом случае. // Всесоюз. конф. по асимпт. методам в теории синг. возм. урав. -Алма-Ата: Наука КазССР, 1979, с. 113-115.

81. Омуралиев A.C., Салейдинов К.И. Метод регуляризации для сингулярно возмущенных интегральных уравнений. // Исслед. по интегро-дифф. урав. —Фрунзе: Илим, 1987, вып. 20, с. 68—79.

82. Понтрягин Л.С. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами при высших производных. // Тр. всесоюз. матем. съезда, 1956 (1958), т. 2, с. 93—95.

83. Понтрягин JI.С. Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных. // Изв. АН СССР., сер. Матем., 1975, т. 21, № 5,

с. 605-626.

84. Понтрягин Л.С., Мищенко Е.Ф. Вывод некоторых асимптотических оценок для решений дифференциальных уравнений с малым параметром при производных. // Изв. АН СССР, сер. Матем., 1959, т. 23, № 5, с. 643-660.

85. Пугачев B.C. Об асимптотических представлениях интегралов систем линейных дифференциальных уравнений, содержащих параметр. // Изв. АН СССР, сер. Матем., 1941, т. 5, № 1, с. 75-84.

86. Пулькин С.С., Розов Н.Х. К асимптотической теории релаксационных колебаний в системах с одной степенью свободы. Вычисление фазовой траектории. // Вест. Моск. гос. ун-та, сер. Матем. и мех, 1964, JV2 2,

c. 70-82.

87. Prandtl L. Übe Flussiqkeitsbewequnq ber senr kleiner Reibunq. // Verk.

d. III, Int. Math. Konqr., Heidelberg, 1904, Teubener; 1905, p. 484-494.

88. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. —М.: ИЛ, 1947, 385 с.

89. Рыжих А.Д. Асимптотическое решение линейного дифференциального уравнения с быстро осциллирующими коэффициентами. // Тр. Моск. энерг. ин-та, 1978, вып. 357, с. 92—94.

90. Рыжих А.Д. Асимптотическое интегрирование уравнения в банаховом пространстве. // Тр. Моск. энерг. ин-та, 1980, вып. 499, с. 159—161.

91. Рабинович Ю.Д., Хапаев М.М. Линейные уравнения с малым параметром в окрестности регулярно особой точки. // ДАН СССР, 1959, т. 129, с. 268-271.

92. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений. — М.: Наука, 1978, 529 с.

93. Ращепкина H.A. Асимптотическое интегрирование краевой задачи при изменении характера спектра. // Укр. матем. журн., 1982, т. 4, № 6,

с. 789-792.

94. Стрижков В.А. Некоторые вопросы разрешимости в целом сингулярно возмущенных нелинейных задач. // Матем. заметки, 1985, т. 37,

вып. 6, с. 857-868.

95. Стрижак Т.Г. Асимптотические методы нормализации. —Киев, 1981, 52 с.

96. Сапронов И.В. Об одном классе решений уравнения Вольтерра II рода с регулярной особенностью в банаховом пространстве. // Изв. высш. учеб. завед., сер. Матем, 2004, № 6(505), с. 48-58.

97. Сафонов В.Ф. Нормальные формы и регуляризация нелинейных сингулярно возмущенных эволюционных уравнений. // Дифф. урав., 1989, т. 25, № 4, с. 627-635.

98. Сафонов В.Ф. Метод регуляризации для сингулярно возмущенных систем нелинейных дифференциальных уравнений. // Изв. АН СССР, сер. Матем., 1979, т. 43, № 3, с. 628-653.

99. Сафонов В.Ф., Калимбетов Б. Метод регуляризации для систем с нестабильным спектральным значение ядра интегрального оператора. // Дифф. урав., 1995, т. 31, № 4, с. 696-706.

100. Сафонов В.Ф., Бободжанов A.A. Сингулярно возмущенные задачи и метод регуляризации. — М.: Издательский дом МЭИ, 2013, 456 с.

101. Сафонов В.Ф. Регуляризованные асимптотические решения сингулярно возмущенных задач в критическом случае. // Изв. выс. учеб. завед., сер. Матем., 1994, № 5(384), с. 41—48.

102. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра. //Матем. сб., 1948, т. 22(64), с. 193—204.

103. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных. //Матем. сб., 1952, т. 31(73), № 3, с. 575-586.

104. Треногин В.А. Развитие и приложения асимптотического метода Люстерника-Вишика. // УМН, 1970, т. 25, вып. 4(154), с. 123-156.

105. Треногин В.А. Функциональный анализ. —М.: Наука, 1980, 440 с.

106. Тында А.Н., Романов А.Е. Приближенное решение нелинейных интегральных уравнений реологических моделей вязкоупругой среды. // Обрат, и некоррект. задачи матем. физики. —Новосибирск, 5-12 августа 2012, с. 335.

107. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. —М.: Мир, 1977, 622 с.

108. Фалалеев М.В. Интегро-дифференциальные уравнения с вырождением в банаховых пространствах и их приложения. // Обрат, и некоррект. задачи матем. физики. —Новосибирск, 5—12 августа 2012, с. 451.

109. Флетто Л., Левинсон Н. Периодические решения сингулярно возмущенных систем. // Матем., 1958, т. 2, N2 2, с. 61—68.

110. Филатов А.Н. Методы усреднения в дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнениях. —Ташкент: Фан, 1971, 282 с.

111. Филатов А.Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений. —Ташкент: Фан, 1974,

214 с.

112. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных дифференциальных уравнений. —М.: Наука, 1983, 352 с.

113. Федорюк М.В. Асимптотика. Интегралы и ряды. —М.: Наука, 1987, 544 с.

114. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. —М.: Мир, 1965, 720 с.

115. Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ). -М.: Мир, 1965, 238 с.

116. Хапаев М.М. Проблемы устойчивости в системах обыкновенных дифференциальных уравнениях. // УМН, 1980, т. 3, вып. 1(121), с. 127-170.

117. Хапаев М.М. Обобщение второго метода Ляпунова. // Дифф. урав., 1973, т. 9, № 11, с. 2020-2028.

118. Schlesinger L. Uber asymptotische Darstellungen der Losungen linearer Differential systeme als Funktioneneines Parameters. // Math.Ann., 1907, bd. 63, p. 277-300.

119. Чанг К., Хауэс Ф. Нелинейные сингулярно возмущенные краевые задачи. Теория и приложения. —М.: Мир, 1968, 247 с.

120. Эрдейи А. Асимптотические разложения. —М.: Физматгиз, 1962, 128 с.

121. Елисеев А.Г., Шапошникова Д.А. Решение сингулярно возмущенной задачи в случае предельного оператора Вольтерра. // Тезисы 2-й международной научной конференции. Саратов, 2007.

122. Елисеев А.Г., Шапошникова Д.А. Асимптотика интегралов-функций "всплеска" при больших значениях аргумента. // Тезисы XXI международной научной конференции "Современные проблемы прикладной математики и математические модели". Воронеж, 2007.

123. Елисеев А.Г., Шапошникова Д.А. Асимптотика сингулярно возмущенного интегрального уравнения Вольтерра. // Труды XII МКЭЭЭ. Алушта, 2008, с. 339-340.

124. Елисеев А.Г., Шапошникова Д.А. Асимптотика сингулярно возмущенного интегрального уравнения Вольтерра. // Вестник МЭИ, 2010, № 6, с. 34-47.

125. Елисеев А.Г., Коняев Ю.А., Шапошникова Д.А. Асимптотический анализ одного класса сингулярно возмущенных начальных задач с нестабильным спектром предельного оператора. // Кавказские научные записки, 2011, № 2, с.199—201.

126. Елисеев А.Г., Шапошникова Д.А. Асимптотическое решение сингулярно возмущенного интегрального уравнения Вольтерра в случае простой точки поворота 1-го порядка. // Вестник МЭИ, 2011, № 6, с. 155-158.

127. Елисеев А.Г., Шапошникова Д.А. Анализ регуляризованной асимптотики интегрального уравнения Вольтерра в случае невырожденного ядра. // Вестник МЭИ, 2012, № 6.

128. Елисеев А.Г., Шапошникова Д.А. Асимптотическое решение сингулярно возмущенного интегрального уравнения Вольтерра в случае простой точки поворота 1-го порядка. // Труды XXI математических чтений РГСУ "Математические методы и приложения 2012, с. 38—42.

129. Елисеев А.Г., Шапошникова Д.А. Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущенного уравнения Вольтерра в случае спектральной особенности 1-го порядка. // Труды XXII математических чтений РГСУ "Математические методы и приложения 2013, с. 77—84.