Асимптотическое разложение решений сингулярно возмущенных задач оптимального управления с гладкими ограничениями на управление и интегральным выпуклым критерием качества тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Шабуров Александр Александрович

• Шабуров Александр Александрович
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Шабуров Александр Александрович

Введение

Глава 1. Определяющие соотношения для решения задачи

1.1. Постановка задачи, необходимые предположения и определения

1.2. Основное уравнение

1.3. Некоторые вспомогательные утверждения о кофинитных

функциях

1.4. Некоторые определения и факты асимптотического анализа

1.5. Асимптотика матричной экспоненты

1.6. Дополнительные вспомогательные функции и их асимптотические разложения 36 Глава 2. Задача с критерием качества, терминальная часть которого зависит

только от медленных переменных

2.1. Постановка задачи и основные соотношения

2.2. Точки смены вида оптимального управления

2.3. Асимптотическое разложение вектора 1е

2.4. Асимптотическое разложение вектора 1е, когда (р\

не является кофинитной

Глава 3. Задача с критерием качества, терминальная часть которого зависит от

медленных и быстрых переменных

3.1. Асимптотика матричной экспоненты для систем с "непрямым" управлением

3.2. Постановка задачи и основные соотношения

3.3. Предельные значения векторов 1е и ре

3.4. Асимптотические разложения вектора Ае

3.5. Асимптотическое разложение вектора Ае для задачи управления системой материальных точек малой массы

Глава 4. Примеры

4.1. Асимптотика матричной экспоненты в разных случаях

4.2. Асимптотическое разложение вектора 1е в разных случаях

Приложение

Заключение

Список литературы

Список использованных обозначений

N Ъ, К — множество натуральных, целых и действительных чисел соответственно;

Кп — пространство действительных векторов размерности п;

|х|| — евклидовая норма вектора х Е Кп, т. е. ||х|| = \ х'2

„2.

;.

г=1

{х, у) — скалярное произведение векторов х и у Е Кп в соответствующем конеч-

п

номерном пространстве, т. е. {х,у) = ^ хгуг.

г=1

Л£ — постоянная вещественнозначная матрица системы соответствующей размерности;

Б£ — постоянная вещественнозначная матрица управления соответствующей размерности;

С* — оператор, сопряженный к оператору С (для случая матриц — транспонированная матрица к матрице С);

I — единичная матрица соответствующей размерности; О — нулевая матрица соответствующей размерности; в^ — матричная экспонента от матрицы управления Л£; гапк[А] — ранг матрицы А; вр(А) — спектр матрицы А;

Кв (Лд) — вещественная часть собственного числа Л линейного оператора Д

— непрерывно или бесконечно дифференцируемая на Кп выпуклая функция;

'£*(•) — функция, сопряженная к функции (р(^) в смысле выпуклого анализа;

Чф,у) — вектор частных производных функции (р(х,у) от двух переменных х и у;

• е — малый параметр (0 < е ^ 1);

• 4^(1) — оптимальное управление в возмущенной задаче (при е = 0);

• пТ{1) — оптимальное управление в вырожденной задаче (при е = 0);

• Зе(п0£р1(г)) — оптимальное значение функционала качества в возмущенной задаче (при е = 0);

• ,10(п0рг(1)) — оптимальное значение функционала качества в вырожденной задаче (при е = 0);

• := — равенство по определению;

• о(-), О(^) — асимптотические оценки;

ав

• = — асимптотическое разложение;

• □ — окончание доказательства леммы, теоремы или утверждения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотическое разложение решений сингулярно возмущенных задач оптимального управления с гладкими ограничениями на управление и интегральным выпуклым критерием качества»

Введение

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности. Математическая теория оптимального управления создана в 60-х и 70-х годах в работах отечественных математиков: Л. С. Понтрягина, В. Г. Болтянского, Р. В. Гамкрелид-зе, Е. Ф. Мищенко, Н. Н. Красовского [7,8,22,59,70], а также зарубежных авторов: Р. Э. Беллмана и Р. Ф. Калмана [3,57].

Опубликованные в период с 1948 по 1952 гг. работы А. Н. Тихонова [73,74] о дифференциальных уравнениях с малым параметром при старшей производной стали отправной точкой для последующего глубокого развития теории сингулярно возмущенных задач. Такие задачи характеризуются неравномерным приближением решения к решению вырожденной задачи (когда малый параметр при производной равен нулю) и наличием пограничного слоя. Асимптотический метод М. И. Вишика и Л. А. Лю-стерника [18,19,75] применим к широким классам уравнений с частными производными с малым параметром при старших производных. В регулярном случае (когда решение исходной задачи сходится равномерно к решению вырожденной задачи) для нахождения асимптотики решения пользуются подстановкой ряда по степеням малого параметра. Приравнивая члены разложения при одинаковых степенях и пользуясь начальными условиями можно определить члены разложения до нужной степени. В случае периодической задачи пользуются другим подходом — "методом усреднения" Боголюбова-Крылова [20]. В различных постановках сингулярно возмущенные уравнения рассматривались в работах многих авторов: В. Ф. Бутузова [15], А. Б. Васильевой [14], А.Б. Зимина [11], А. М. Ильина [42,43,45,47], К. А. Касымова [58] и др. В обзоре А. Б. Васильевой [14] рассмотрены многочисленные классификации таких задач.

Начало активному изучению асимптотики решений сингулярно возмущенных задач оптимального управления положила совместная статья Н. Х. Багировой, А. Б. Васильевой, М. И. Иманалиева [2]. Такие задачи рассматривались в работах отечественных математиков, например в статьях А.Б. Васильевой [12,13,17], В. Г. Гайцгори [20,21], В. Я. Глизера [25], М. Г. Дмитриева [37,39]. В различной постановке сингулярно возмущенные задачи управления изучены в работах зарубежных исследователей: A.E. Bryson, A. Dontchev [40], W. Fleming, T. R. Gichev [23,24], A. H. Haddad [83,84],

Y. C. Ho [79], R. Isaaks [81], H.K. Khalil [86], D.E. Kirk [82], P. V. Kokotovich [83-86], L.B. Lee, L. Markus [66], D.S. Naidu [89], R. E. O'Malley [85,87,88], R. Rishel [80] и др. В монографиях В. М. Алексеева [1], В. И. Благодатских [6], А. И. Егорова [41], В. Ф. Кро-това [61] приведены примеры решения задач управления в различных постановках.

При решении задач с открытой областью управления используется "метод пограничных функций" или "пограничного слоя", разработанный А. Б. Васильевой и впоследствии усовершенствованный с учениками В. Ф. Бутузовым, Н. Н. Нефедовым. "Метод прямой схемы", основанный на "методе пограничных функций" применяется С. В. Белокопытовым [4,5], М. Г. Дмитриевым [36-38] для решения сингулярно возмущенных задач. Он заключается в непосредственной подстановке в условия задачи асимптотического разложения решения и построения серии задач для нахождения коэффициентов ряда. При таком подходе учитывается вариационная природа исходной задачи и доказывается относительная близость значений минимизируемого функционала при использовании нового приближения. При отсутствии ограничений на управление строится асимптотика любого порядка точности, доказываются оценки близости к точному решению. Для непрерывной периодической задачи оптимального управления, когда в уравнении состояния присутствует матричное сингулярное возмущение, асимптотика решения согласно данному методу была построена Г. А. Куриной [60,62,63,65] и С. С. Щекунских.

Для решения задач с замкнутой и ограниченной областью управления реализация указанных подходов встречает серьезные трудности, поскольку отсутствует необходимая гладкость управления из-за условия ограничений и решения принципа максимума для применения вышеописанных асимптотических методов. Первое приближение в непрерывной задаче управления нелинейными слабоуправляемыми системами при наличии ограничений на управление типа замкнутых неравенств построено Ф. Л. Чер-ноусько [76,77]. А. Дончевым [40] исследован предельный переход решения возмущенной задачи к решению вырожденной задачи при стремлении малого параметра к нулю (см. например, [35]). Для задач с выпуклым терминальным функционалом качества Дончевым была получена предельная задача оптимизации: предельный переход от значения функционала качества в возмущенной задаче к значению функционала качества в вырожденной задаче.

П. В. Кокотович и А. Хаддад [83] рассматривали системы с ограничениями на управление в виде многогранника, а также вопросы вполне управляемости сингуляр-

ных линейных задач оптимального управления.

А. И. Калинин [48,54] и его коллеги: Я. О. Грудо [27,28], Л. И. Лавринович [55,56], К. В. Семенов [53,72], пользуясь "методом базовых задач", рассматривали сингулярные задачи оптимального управления, в случае, когда на значения управляющей функции присутствуют ограничения в виде нестрогих неравенств. Основная идея метода состоит в том, чтобы построить асимптотику точек переключения, а также строить субоптимальное управление заданного порядка малости. Существенное свойство подхода — исходная задача разбивается на две другие задачи меньшей размерности.

При наличии гладких геометрических ограничений на управление в виде шара усложняется вид оптимального управления. Использование данных ограничений характерно для задач управления механическими системами, в которых управляющими воздействиями, как правило, являются ограниченные по величине силы. В совместных работах А. М. Ильина [43] и А. Р. Данилина [33, 34] показано, что асимптотическое разложение решения в этом случае может обладать довольно сложной структурой. Например, в работе [44] показано, что при решении задачи быстродействия с ограничением на управление типа шара асимптотическое разложение решения в смысле Пуанкаре не может быть получено с калибровочными функциями, являющимися рациональными функциями от е и 1п е. Основным методом решения таких задач было нахождение асимптотики вектора, определяющего оптимальное управление из интегрального уравнения, которому удовлетворяет этот вектор. Данный вектор не является функцией, которая зависит от переменной Ь и поэтому работать с таким объектом удобнее. Через определяющий вектор находится оптимальное управление и оптимальное значение функционала качества. Такой метод можно назвать "методом определяющего вектора". Этот метод был сформулирован и изучен в научной школе А. М. Ильина и применялся в работах А. Р. Данилиным, О. О. Коврижных [32], Ю.В. Парышевой [29-31,68,69].

В дальнейшем задачи с подобными ограничениями, но при других условиях, были изучены с использованием "метода базовых задач" в работах А. И. Калинина [48-50, 52], Ф. М. Кирилловой [51] и Я. О. Грудо [28]

Обзоры других постановок задач, методов и результатов исследований в области асимптотики решений сингулярно возмущенных задач управления, и методов их решения содержатся в публикациях А. Б. Васильевой [16] М. Г. Дмитриева [39], Е. Ю. Дол-гополовой и Г. А. Куриной [64].

Представленная работа относится к перспективному направлению современной математики — теории сингулярно возмущенных задач оптимального управления, а именно, к задачам построения полной асимптотики оптимального управления для систем, динамика которых описывается уравнениями с медленными и быстрыми переменными и заданными ограничениями на управляющее воздействие.

Цели и задачи. Основная цель кандидатской диссертации — построение и обоснование полной асимптотики решения задачи оптимального управления на фиксированном временном промежутке для линейной системы с быстрыми и медленными переменными, интегрально выпуклым функционалом качества, терминальная часть которого содержит как медленные переменные, так и для класса задач с "полупрямым" управлением — быстрые. Предполагается, что присутствуют гладкие геометрические ограничения на управление в виде шара в соответствующем евклидовом пространстве.

Методология и методы исследования. Изучение асимптотики решения краевых задач проведено при помощи асимптотических методов анализа, методов теории обыкновенных дифференциальных уравнений и результатов классической теории оптимального управления (в частности принципа максимума Л. С. Понтрягина, условий вполне управляемости и т. п.). Используются методы выпуклого анализа, теории экстремальных задач и функционального анализа, а также классические факты линейной алгебры.

Положения, выносимые на защиту. Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1. С помощью "метода определяющего вектора" исследовано асимптотическое поведение решения задачи оптимального управления для системы с быстрыми и медленными переменными и гладкими геометрическими ограничениями на управление в виде шара с интегральным выпуклым критерием качества, терминальная часть которого есть непрерывная, строго выпуклая, кофинитная и бесконечно дифференцируемая функция, зависящая от медленных и быстрых переменных. Найдены достаточные условия, когда "определяющий вектор" имеет степенное асимптотическое разложение.

2. В случае, когда терминальная часть критерия качества зависит только от медленных переменных, получена и обоснована полная степенная по малому параметру асимптотика "определяющего вектора". Предложен алгоритм определе-

ния всех коэффициентов этого асимптотического разложения. Показано, что в этом случае можно отказаться от условия кофинитности на терминальную часть функционала качества.

3. Получена и обоснована полная степенная по малому параметру асимптотика "определяющего вектора" и предложен алгоритм определения всех коэффициентов этого асимптотического разложения для задач с "полупрямым" управлением и функционалом качества, аддитивно зависящим от быстрых и медленных переменных.

Научная новизна. Все полученные в работе результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации дополняют теорию асимптотических разложений решений сингулярно возмущенных задач оптимального управления. Развитый в работе математический аппарат может быть использован при вычислении асимптотических приближений с точностью до любого порядка малости для решений рассмотренного класса задач с гладкими геометрическими ограничениями на управление с интегральным выпуклым критерием качества, терминальная часть которого зависит как от медленных, так и от быстрых переменных.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность результатов проведенных исследований подтверждена строгостью математических доказательств, приведенных с использованием асимптотических методов анализа, методов теории обыкновенных дифференциальных уравнений и оптимального управления. В работе использованы результаты выпуклого анализа, теории экстремальных задач, математического и функционального анализа, а также классические факты линейной алгебры. Результаты диссертации обсуждались на семинарах кафедры математического анализа Института естественных наук и математики Уральского федерального университета имени первого Президента России Б. Н. Ельцина "Экстремальные задачи теории функций и операторов" под руководством проф. В. В. Арестова и семинарах отдела динамических систем Института математики и механики имени Н. Н. Красов-ского УрО РАН, а также представлялись на Международных (47-й, 48-й, 49-й, 50-й Всероссийских) молодежных школах-конференциях "Современные проблемы математики и ее приложений" (Екатеринбург, 2016, 2017, 2018, 2019), XVII Всероссийской молодежной школе-конференции "Лобачевские чтения—2018" (Казань, 2018), Международной конференции "Оптимальное управление и дифференциальные игры", посвя-

щенной 110-летию со дня рождения Л. С. Понтрягина (Москва, 2018), Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функции и смежные проблемы" (Воронеж, 2019), Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" (Воронеж, 2019), Международной конференции "Теория математической оптимизации и исследование операций (МОТОР 2019)" (Екатеринбург, 2019), Международной конференции "Математика в приложениях" в честь 90-летия С. К. Годунова (Новосибирск, 2019).

Публикации. Основной материал диссертации опубликован в 11 научных работах [90-100]. Из них 5 статей опубликованы в журналах, входящих в Перечень рецензируемых научных изданий списка ВАК [90,92], или в приравненых к ним изданиях, входящих в международные реферативные базы данных и системы цитирования (Web of Science, Scopus, MathSciNet, zbMATH) [91,93,94]. Статьи [90,91] имеют переводные версии на английском языке. При этом статьи [90,92,94] опубликованы в журналах, входящих в Web of Science. В работах [95-100] представлены тезисы к докладам на всероссийских и международных математических конференциях.

Личный вклад автора. Все основные результаты кандидатской диссертации получены автором самостоятельно. Из опубликованных в соавторстве работ в диссертацию включены только результаты автора. В тезисах [96,97], выполненных в соавторстве, научному руководителю А. Р. Данилину принадлежат постановка задачи и схема ее исследования. В статье [94] научному руководителю А. Р. Данилину кроме постановки задачи принадлежит идея доказательства теоремы 3, а соискателю А. А. Шабурову точные формулировки и доказательства результатов.

Благодарности. Автор диссертации выражает благодарность родителям и близким за эмоциональную поддержку; преподавателям выпускающей кафедры ИЕНиМ УрФУ и сотрудникам ИММ УрО РАН за ценные советы при апробации результатов на семинарах; своему научному руководителю Данилину Алексею Руфимовичу за постановку задачи, постоянное внимание к работе. Выражаю признательность кандидату физико-математических наук Коврижных Ольге Олеговне и кандидату физико-математических наук Хачаю Олегу Юрьевичу, сделавшим ряд ценных замечаний, учет которых при подготовке кандидатской диссертации и автореферата к печати, позволил автору улучшить текст работы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, списка использованных обозначений, четырех глав, приложения, заключения и списка ли-

тературы. Главы разбиты на разделы. Объем диссертации составляет 132 страницы, включая библиографический список из 100 ссылок.

Краткое содержание диссертации. В первом разделе первой главы дана постановка возмущенной задачи оптимального управления на фиксированном промежутке времени [0,Т] для линейной системы с медленными х£(Ь) Е Кга и быстрыми переменными у£(Ь) Е Кт, а также начальными условиями х°, у0:

х£ = Лцх£ + А12у£ + ВхПе, Ь Е [0,Т], ||и£|| ^ 1, еуе = А21Х£ + А22у£ + Б2П£, Х£(0) = х0, у£(0) = у0.

Здесь при всех г,] Е {1, 2} А^, Б^ — постоянные действительнозначные матрицы соответствующей размерности, и на вектор управления и£(Ь) Е наложены гладкие геометрические ограничения типа шара. Функционал качества является интегральным выпуклым функционалом качества, терминальная часть р которого представляет собой выпуклую непрерывно дифференцируемую функцию, зависящую от медленных и быстрых переменных в конечным момент времени Т:

т

Ъ(и):= р(х^Т),у£(Т)) + У Ци^Ц2 ^ ш1п.

0

Целью исследования является нахождение, построение и обоснование полного асимптотического разложения до любой степени малого параметра е > 0 оптимального управления и^(Ь) и оптимального значения функционала качества .]£(иОрг) при е ^ 0.

Для исследования задачи (при е = 0) используется вырожденная система, которая получается формальной подстановкой нулевого значения малого параметра е, и стандартный вырожденный функционал качества, терминальная часть которого определяется из монографии [40, стр.77]. Предполагается, что вырожденная и возмущенная системы при всех достаточно малых е удовлетворяют условиям вполне управляемости, а также выполнено условие устойчивости точки покоя присоединенной системы.

Согласно результату из монографии [66, п.3.5, следствие после теоремы 12] поставленные задачи разрешимы и оптимальное управление единственное.

Во втором разделе первой главы для описания структуры оптимального управления и траектории используется принцип максимума [66, п. 3.5, теорема 14], который в рассматриваемых предположениях является необходимым и достаточным условием оптимальности. Из данного принципа выводится основное уравнение, связывающее оптимальное управление и процесс через вектор Л£ и фундаментальную матрицу

системы е. Согласно результату теоремы 1.1 исследование асимптотики решения возмущенной задачи сводится к исследованию асимптотики решения данного уравнения. Доказано, что оптимальное управление п^^) в задаче является не кусочно-непрерывной функцией (как в случае ограничений типа многогранника), а непрерывной функцией на всем отрезке времени [0,Т], бесконечно дифференцируемой во всех точках, кроме точек смены вида оптимального управления. Показано, как из асимптотического разложения вектора Ле получаются асимптотические разложения указанных выше величин до любой степени е.

В третьем разделе первой главы исследована задача, в которой рассмотрен класс выпуклых кофинитных функций [71, следствие 13.3.1], задающих терминальную часть функционала качества. Использование функций из этого класса технически более удобно для построения асимптотики вектора Ле. Доказано, что если функция — строго выпуклая, кофинитная и бесконечно дифференцируемая, то сопряженная к ней функция обладает теми же свойствами. Учитывая введение дополнительного условия на терминальную часть, вместо уравнения — Ле = Ур(^) в дальнейшем рассматривается уравнение

т

' 0 е Б( ШеЛ *Л||)

В четвертом разделе первой главы приведены основные обозначения и определения асимптотических методов в анализе (см., например [6,9,46,67,78]). Отметим, что если рассматривать вектор-функции, то вместо модуля: | • | предполагается норма вектора: || • || в соответствующем пространстве. Кроме этого, здесь приведен асимптотический аналог теоремы о функции, заданной неявно, обосновывающий наличие степенной асимптотики такой функции. Эта теорема используется в работе при обосновании асимптотического разложения определяющего вектора.

В пятом разделе первой главы рассмотрена асимптотика матричной экспоненты , необходимая для нахождения асимптотического разложения решения уравнения Ле) = (•). При условии устойчивости точки покоя присоединенной системы из возмущенной задачи данная асимптотика строится согласно методу пограничных функций [13] и матричная экспонента представлена в виде суммы внутреннего и внешнего разложений. Второе разложение представляет собой регулярный ряд по степеням малого параметра с коэффициентами, зависящими от ¿. Первое разложение есть погранслойный ряд экспоненциально убывающего типа с коэффициентами, зависящи-

ми от растянутого времени т = t/e, и он служит для описания быстрого изменения функции в окрестности точки t = 0. Вне малой окрестности точки t = 0 при t ^ \[ё коэффициенты внутреннего разложения экспоненциально быстро убывают и равномерно в этой области асимптотика eAst описывается только внешним разложением. Коэффициенты регулярного и погранслойного рядов находятся из начального приближения (при k = 0), вида матриц системы Л£ и управления B£, и по рекуррентным формулам (при k > 1).

В шестом разделе первой главы вводятся вспомогательные функции для всех i Е {1, 2} Ci£(t) := [eAstB£]i, где обозначает i-ю строку матрицы. Приводятся асимптотические разложения дCi,£(t) и Ci,£(t) до порядка O(e) и до порядка O(e2) соответственно.

Во второй главе диссертации рассматривается задача с исходной управляемой системой, терминальная часть p функционала качества представляет собой выпуклую непрерывно дифференцируемую функцию, зависящую только от медленных переменных в конечный момент времени T:

т

J£(u):= pi(x£(T)) + У ||u£(t)||2 dt ^ min.

о

В первом разделе второй главы отмечено, что вектор l£, т. е. решение уравнения 'Wp*l(-l£) = (-) будет зависеть только от первых n переменных вектора Х£. Из теоремы 2.1 следует, что на отрезке [0,T] асимптотическая оценка оптимального управления u£pt(t) будет того же порядка малости, что и асимптотическая оценка приближения вектора l£, в отличие от результата теоремы 1.3. Также, согласно теореме 2.2, установлена сходимость вектора l£ — решения уравнения в возмущенной задаче, к вектору l0 — решению уравнения в вырожденной задаче. Предполагается, что функция pi обладает свойствами строгой выпуклости, бесконечной дифференцируемости и кофинитности. В таком случае вместо уравнения

-l=ypi +^ e)*°+/ CljCCliT'ii

можно рассматривать уравнение

t c1 £(t)c £(t)l W-D = WiM + WM + J dt

Второй раздел второй главы посвящен исследованию точек смены вида оптимального управления

||В0/о|| = 2 уравнения, определяющие количество точек смены вида оптимального управления на отрезках [^/ё,Т] и [0, у/е] соответственно, имеют только конечное число решений. Если дополнительно потребовать выполнения условия регулярности решений данных уравнений, то справедливы леммы 2.1 и 2.2 о количестве решений ЦС*0тц = 2 и Цф*(т)У = 2 на промежутках [л/ё,Т] и [0,1/у/е\ соответственно. Итоговая теорема 2.4 необходима для дополнительного построения асимптотического разложения точек смены вида управления ^ , е, т^е е, определяющих вектор /е. Далее приводятся классы матриц А0, А22, показывающие, что количество точек смены вида оптимального управления может быть сколь угодно большим.

В третьем разделе второй главы строится асимптотическое разложение вектора /е. Вектор 1е в возмущенной задаче ищется в виде 1е := 10 + А1, где А1 есть малое "приращение" векторов 1е и 10. В дальнейшем уравнение Ур*(—1е) = (•) рассматривается как уравнение относительно вектора А1. Для определения порядка малости и построения асимптотики решения А1 используется представление точек смены вида оптимального управления ti , е и ^,е в виде суммы ti + А^,е, т^ + Aтjе е соответственно. Центральным моментом второй главы является получение асимптотических разложений интегралов из основного уравнения и добавление к основному уравнению дополнительных уравнений, которым удовлетворяют точки смены вида оптимального управления. Подынтегральная функция в каждом интеграле определяется через вектор А1 и функцию С*е(Ь). Для нахождения асимптотики интегралов используются степенные асимптотические разложения подынтегральных выражений и методы нахождения асимптотики интегралов от разномасштабных функций f (и) и д(Ь/е). Приводится подробный алгоритм такого построения. Показано, что система первого приближения для неизвестных величин однозначно разрешима ввиду положительности и непрерывной обратимости оператора Т(А/) первого уравнения системы, что и обосновывает степенную асимптотику решения новой расширенной системы уравнений и, в частности, определяющего вектора.

В четвертом разделе второй главы рассматривается процесс асимптотическо-

пГ(Т — I) = С1Ме где 5 (£):

2, 0 ^ £ ^ 2,

£> 2,

Доказано, что при выполнении условия

го разложения вектора ¡£ в случае, когда функция не обладает свойствами ко-финитности. С использованием дополнительного условия кофинитности упрощается только техника получения асимптотического разложения вектора ¡£ и точек смены вида оптимального управления ^ )£. Показано, что теорема об асимптотическом разложении определяющего вектора и точек переключения справедлива и без условия кофинитности на функцию р.

Начало третьей главы диссертации посвящено рассмотрению исходной управляемой системы, когда терминальная часть функционала качества зависит от медленных и быстрых переменных следующим образом:

т

ип):= (Х£(Т)) + ЫТ)) + ! \\щ(г)\\2 ¿1 ^ тт.

о

Предполагается, что функции р2 обладают свойствами строгой выпуклости, бесконечной дифференцируемости и кофинитности. В этом случае основное уравнение представляет собой систему из двух уравнений

ЧрК-Ь) = е)х° + е)у° + т С,е(1)и^(Т - г) ¿г,

о

Чр2(-р£) = ™21(Т,£)Х° + ^22(т,е)у° + т С2,£(г)и^'(т - г) ¿г,

о

где оптимальное управление задается как

ис#(Т_ г) .= С1№£ + Си*)Ре £ з {\\cim + С1£(г)рЛ\

В первом разделе третьей главы рассматривается класс линейных систем с "полупрямым", (А21 = О, В1 = О) управлением когда интегральный выпуклый критерий качества

т

ии): = (Х£(Т)) + Р2 (уе(Т)) + ! \\иШ2 ¿г ^ тт

о

удовлетворяет дополнительному условию:

Р2(0) = 0, Ур2 (0) = 0.

Матричная экспонента такой управляемой системы запишется как

О еА22Т 15

где блок-матрица №\2(г,е) находится в явном виде, и также представима в виде асимптотического ряда, который сходится.

Во втором разделе третьей главы показано, что основная задача сводится к нахождению и обоснованию асимптотического разложения решения следующей системы:

т

УрК-1£) = еЛ11Тх° + Ж2(т,ф° + у см(г)п^(т — г) ¿г, < °

Т

ч&(-ре) = вЛ22Т/£у° + у с2,е(г)п?*(т — г) ¿г.

°

В третьем разделе третьей главы из доказательств теорем 3.1, 3.2 и 3.3 следует, что векторы 1£, р£ ограничены и сходятся при стремлении малого параметра к нулю к 1° и г° соответственно.

В четвертом разделе третьей главы в силу предположения 3.2 доказывается сходимость вектора г£ к вектору г° = (А*12 — 2Б°>) 1°. Доказывается теорема 3.5, аналогичная теореме 3.4. Причем, количество точек смены вида управления на отрезке при условии ||Б°/°|| < 2 равно двум. Похожим образом, как и с медленными переменными, строится асимптотика векторов 1£, г£ и точек смены вида оптимального управления в классе систем с "непрямым" (А21 = О, Б\ = О) управлением.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шабуров Александр Александрович, 2019 год

Список литературы

[1] Алексеев В. М. Оптимальное управление / В. М. Алексеев, В. М. Тихомиров, С. В. Фомин. - Москва.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 384 с.

[2] Багирова Н. Х. К вопросу об асимптотическом решении задачи оптимального управления / Н. Х. Багирова, А. Б. Васильева, М. И. Иманалиев // Дифференц. уравнения. - 1967. - Т. 3, №. 11. — C. 1895-1902.

[3] Беллман Р. Динамическое программирование / Р. Беллман. — Москва.: Иностранная литература, 1960. - 400 с.

[4] Белокопытов C. B. Прямой метод решения задач оптимального управления с быстрыми и медленными движениями / C. B. Белокопытов, М. Г. Дмитриев // Изв. АН СССР. Серия Техника и кибернетика. - 1985. - №. 3. - С.147-152.

[5] Белокопытов C. B. Решение классических задач оптимального управления с по-гранслоем / C.B. Белокопытов, М. Г. Дмитриев // Автоматика и телемеханика. - 1989. - №. 7. - С. 71-82.

[6] Благодатских В. И. Введение в оптимальное управление (линейная теория): учебник / В. И. Благодатских. — Москва.: Высшая школа, 2001. — 239 с.

[7] Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления / В. Г. Болтянский. — Москва.: Наука, 1969. — 408 с.

[8] Болтянский В. Г. К теории оптимальных процессов / В. Г. Болтянский, Р. В. Гам-крелидзе, Л. С.Понтрягин // Докл. АН СССР. - 1956. - Т. 110, №. 1. - С. 7-10.

[9] Брейн Г. де. Асимптотические методы в анализе / Г. де. Брейн. — Москва.: Иностранная литература, 1961. — 247 с.

[10] Бутузов Б. Ф. Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений / Б. Ф. Бутузов, А. Б. Васильева, М. В. Федорюк // Итоги науки. Сер. Математика. Мат. анал. — 1967, 1969. — С. 5-73.

[11] Васильева А. Б. Асимптотика решений некоторых классов дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной / А. Б. Васильева, А. Б. Зимин. Вестник МГУ, матем., механ. — 1964. — №. 4. — С. 21-29.

[12] Васильева А. Б. Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнениями с малыми параметрами при старших производных / А. Б. Васильева // Журнал вычисли тельной математики и математической физики. — 1963. — Т. 3, №. 4. — С. 641-642.

[13] Васильева А. Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений / А. Б. Васильева, В.Ф. Бутузов. — Москва.: Наука, 1973. — 272 с.

[14] Васильева А. Б. О развитии теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных за период 1966-1976 г.г. / А. Б. Васильева // Успехи матем. наук. — 1976. — Т. 31, №. 6. — С. 102-122.

[15] Васильева А. Б. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов. — Москва.: Изд-во МГУ, 1978. — 106 с.

[16] Васильева А. Б. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления / А. Б. Васильева, М. Г. Дмитриев // Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал. — 1982. — Т. 20. — С. 3-77.

[17] Васильева А. Б. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений /

A. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов. — Москва.: Высшая школа, 1990. — 208 с.

[18] Вишик М. И. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром / М. И. Вишик, Л. А. Люстерник // Успехи мат. наук. — 1957. — Т. 12, №. 5(77). — С. 3-122.

[19] Вишик М. И. Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных уравнений с большими или быстро меняющимися коэффициентами и граничными условиями / М. И. Вишик, Л. А. Люстерник // Успехи мат. наук. — 1960. — Т. 15, №. 4(94). — С. 27-95.

[20] Гайцгори В. Г. К вопросу об использовании метода усреднения в задачах управления / В. Г. Гайцгори // Дифференц. уравнения. — 1986. — Т. 22, №. 11. — С. 1876-1886.

[21] Гайцгори В. Г. Управление системами с быстрыми и медленными движениями /

B. Г. Гайцгори. — Москва.: Наука, 1991. — 224 с.

[22] Гамкрелидзе Р. В. Теория оптимальных по быстродействию процессов в линейных системах / Р. В. Гамкрелидзе // Изв. АН СССР, Сер. матем. — 1958. — Т. 22, №. 4.— С. 449-474.

[23] Гичев Т. Р. Сингулярные возмущения в одном классе задач оптимального управления с интегральным выпуклым критерием / Т. Р. Гичев // Приклад. математика и механика. — 1984. — Т. 38, №. 6. — С. 898-903.

[24] Гичев Т. Р. Сингулярные возмущения в одной задаче оптимального управления с фиксированными концами / Т. Р. Гичев // Год. вуз. прил. мат. — 1986 (1987). — Т. 22, №. 2. — С. 9-20.

[25] Глизер В. Я. Сингулярные возмущения в линейной задаче оптимального управления с квадратичным функционалом / В. Я. Глизер, М. Г. Дмитриев // Докл. АН СССР.—1975.— Т. 225, №. 5. — С. 997-1000.

[26] Годунов С. К. Современные аспекты линейной алгебры / С. К. Годунов. — Новосибирск.: Научная книга, 1997. — 390 с.

[27] Грудо Я. О. Асимптотический метод оптимизации квазилинейной системы с многомерными управлениями / Я. О. Грудо, А. И. Калинин // Дифференц. уравнения. — 2006. — Т. 42, №. 12. — С. 1604-1611.

[28] Грудо Я. О. Асимптотическое решение задачи оптимального быстродействия для квазилинейной системы при евклидовом ограничении на управление / Я. О. Гру-до, А. И. Калинин // Автомат. и телемех. — 2007. — №. 8. — С. 106-115.

[29] Данилин А. Р. Асимптотика оптимального значения функционала качества в линейной задаче оптимального управления в регулярном случае / А. Р. Данилин, Ю.В. Парышева // Тр. ИММ УрО РАН. — 2007. — Т. 13, №. 2. — С. 55-65.

[30] Данилин А. Р. Асимптотика оптимального значения функционала качества в линейной задаче оптимального управления / А. Р. Данилин, Ю. В. Парышева // Докл. РАН. — 2009. — Т. 427, №. 2. — С. 151-154.

[31] Данилин А. Р. Об асимптотике оптимального значения функционала качества в линейной задаче оптимального управления / А. Р. Данилин, Ю. В. Парышева // Дифференц. уравнения. — 2011. — Т. 47, №. 4. — С. 563-573.

[32] Данилин А. Р. Асимптотическое представление решения сингулярно возмущенной линейной задачи быстродействия / А. Р. Данилин, О. О. Коврижных // Тр. ИММ УрО РАН. — 2012. — Т. 18, №. 2. — С. 67-79.

[33] Данилин А. Р. Асимптотические оценки решения сингулярно возмущенной задачи оптимального управления на отрезке с геометрическими ограничениями / А. Р. Данилин, Н. С. Коробицына // Тр. ИММ УрО РАН. — 2013. — Т. 19, №. 3.

— С. 104-112.

[34] Данилин А. Р. Асимптотическое разложение решения сингулярно возмущенной задачи оптимального управления на отрезке с интегральным ограничением / А. Р. Данилин // Тр. ИММ УрО РАН. — 2014. — Т. 20, №. 3. — С. 76-85.

[35] Дмитриев М. Г. О непрерывности решения задачи Майера по сингулярным возмущениям / М. Г. Дмитриев // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1972. — Т. 12, №. 3. — С. 788-791.

[36] Дмитриев М. Г. Пограничный слой в задачах оптимального управления / М.Г. Дмитриев // Изв. АН СССР. Сер. Техн. Кибернетика. — 1983. — №. 4.

— С. 63-69.

[37] Дмитриев М. Г. Теория сингулярных возмущений и некоторые задачи управления оптимального управления / М. Г. Дмитриев // Дифференц. уравнения. — 1985.

— Т.21, №. 10. — С. 1693-1698.

[38] Дмитриев М. Г. Прямая схема построения асимптотики решения классических задач оптимального управления / М. Г. Дмитриев, Г. А. Курина // Програм. системы. Теорет. основы и прил. / Под. ред. А. К. Айламазяна. — Москва.: Наука, 1999. — С. 44-55.

[39] Дмитриев М. Г. Сингулярные возмущения в задачах управления / М. Г. Дмитриев, Г. А. Курина // Автоматика и телемеханика. — 2006. — №. 1. — С. 3-51.

[40] Дончев А. Системы оптимального управления. Возмущения, приближения и анализ чувствительности / А. Дончев. — Москва.: Мир, 1987. — 156 с.

[41] Егоров А. И. Основы теории управления / А. И. Егоров. — Москва.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2004. —- 504 с.

[42] Ильин A. M. Пограничный слой / А. М. Ильин // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. — 1988. — Т. 34. — С. 175-213.

[43] Ильин A. M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач / А. М. Ильин. — Москва.: Наука, 1989. — 336 с.

[44] Ильин А. М. О структуре решения одной возмущенной задачи быстродействия / А. М. Ильин, А. Р. Данилин // Фундамент. и прикл. матем. — 1998. — Т. 4, №. 3.

— C. 905-926.

[45] Ильин A. M. Асимптотика решения системы дифференциальных уравнений с малым параметром и с особой начальной точкой / А. М. Ильин, О. Ю. Хачай // Докл. РАН. — 2008. — Т. 422, №. 4.— С. 1-4.

[46] Ильин A. M. Асимптотические методы в анализе / А. М. Ильин, А. Р. Данилин.

— Москва.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. — 248 с.

[47] Ильин A. M. Структура пограничных слоёв в сингулярных задачах / А. М. Ильин, О.Ю. Хачай // Докл. РАН. — 2012. — Т. 445, №. 3. — С. 256-258.

[48] Калинин А. И. Асимптотическая оптимизация линейных сингулярно возмущенных систем управления / А. И. Калинин // Дифференц. уравнения. — 1989. — Т. 25, №. 10. — С. 1687-1698.

[49] Калинин А. И. Метод асимптотического решения сингулярно возмущенной линейной задачи терминального управления / А. И. Калинин // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. — 1990. — Т. 30, №. 3. — C. 366-378.

[50] Калинин А. И. Асимптотика решений возмущенных задач оптимального управления / А. И. Калинин // Изв. РАН. Техн. кибернетика. — 1994. — №. 3. — С. 104-114.

[51] Калинин А. И. Асимптотическая оптимизация линейных динамических систем в классе гладких ограниченных управлений / А. И. Калинин, Ф. М. Кириллова // Дифференц. уравнения. — 1998. — Т. 34, №. 2. — C. 175-18.

[52] Калинин А. И. Асимптотические методы оптимизации возмущенных динамических систем / А.И. Калинин. — Мн.: Экоперспектива, 2000. — 183 с.

[53] Калинин А. И. Асимптотический метод оптимизации линейных сингулярно возмущенных систем с многомерными управлениями / А. И. Калинин, К. В. Семенов //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2004. — Т. 44, №. 3. — С. 432-443.

[54] Калинин А. И. Асимптотический метод решения задачи об управлении минимальной силой для линейной сингулярно возмущенной системы / А. И. Калинин // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2011. — Т. 51, №. 12. — С. 2115-2125.

[55] Калинин А. И. Асимптотика решения сингулярно возмущенной линейно-квадратичной задачи оптимального управления / А. И. Калинин, Л. И. Лаври-нович // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2015. — Т. 55, №. 2. — С. 194-206.

[56] Калинин А. И. Применение метода малого параметра к сингулярно возмущенной линейно-квадратичной задаче оптимального управления / А. И. Калинин, Л. И. Лавринович // Автомат. и телемех. — 2016. — №. 5. — С. 3-18.

[57] Калман Р. Очерки по математической теории систем / Р. Калман, П. Фалб, М. Ар-биб. — Москва.: Мир, 1971. — 398 с.

[58] Касымов К. А. Асимптотическое поведение решений задачи Коши с начальным скачком для системы дифференциальных уравнений с малым параметром при производной / К. А. Касымов. Сб. Уравнения матем. физ. и функц. анализ, Наука, Алма-Ата. — 1966. — С. 16-24.

[59] Красовский Н. Н. Теория управления движением / Н. Н. Красовский. — Москва.: Наука, 1968. — 475 с.

[60] Крейн С. Г. О сингулярных возмущениях в задачах оптимального управления / С. Г. Крейн, Г. А. Курина //В кн.: Устойчивость движения. Аналитическая механика. Управление движением. — Москва.: Наука, 1981. — С. 170-178.

[61] Кротов В. Ф. Методы и задачи оптимального управления / В. Ф. Кротов, В. И. Гурман. — Москва.: Наука, 1973. — 448 с.

[62] Курина Г. А. Асимптотическое решение одного класса сингулярно возмущенных задач оптимального управления / Г. А. Курина // Приклад. математика и механика. — 1983. — Т. 47, №. 3. — С. 363-371.

[63] Курина Г. А. Об одной задаче классической сингулярно возмущенной задаче оптимального управления / Г. А. Курина // Дифференц. уравнения. — 1983. — Т. 19, №. 4. — С. 710-711.

[64] Курина Г. А. Сингулярные возмущения в задачах управления. Библиограф, указатель (1982-2002) / Г. А. Курина, Е. Ю. Долгополова. — Воронеж.: Издательство ВГЛТА, 2004. — 71 с.

[65] Курина Г. А. Асимптотическое решение некоторых задач оптимального управления с промежуточными точками в критерии качества и малым параметром / Г. А. Курина, Е. В. Смирнова // Труды Крымской осенней математической школы-симпозиума, СМФН, РУДН. — 2009. — Т. 34. — С. 63-99.

[66] Ли Э. Б. Основы теории оптимального управления / Э. Б. Ли, Л. Маркус. — Москва.: Наука, 1972. — 576 с.

[67] Найфэ А. X. Методы возмущений / А. Х. Найфэ. — Москва.: Мир, 1976.

[68] Парышева Ю. В. Асимптотика оптимального управления в задаче минимизации терминального функционала на траекториях системы с быстрыми и медленными переменными / Ю. В. Парышева // Труды Института математики и механики УрО РАН. — 2010.— Т. 16, №. 2. — С. 186-198.

[69] Парышева Ю. В. Асимптотика решения линейной задачи оптимального управления в сингулярном случае / Ю. В. Парышева // Труды Института математики и механики УрО РАН. — 2011. — Т. 17, №. 3. — С. 266-270.

[70] Понтрягин Л. С. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтря-гин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. — Москва.: Физматгиз, 1961. — 391 с.

[71] РокафелларР. Выпуклый анализ / Р. Рокафеллар. — Москва.: Мир, 1973. — 470 с.

[72] Семенов К. В. Асимптотический метод оптимизации линейных сингулярно возмущенных систем с многомерными управлениями / А. И. Калинин, К. В. Семенов //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2004. — Т. 44, №. 3. — С. 432-443.

[73] Тихонов А. Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра / А. Н. Тихонов // Матем. сб. - 1948. - Т. 22, №. 2. - С. 193-204.

[74] Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при производных / А. Н. Тихонов // Матем. сб. — 1952. — Т. 31(73), №. 3. — C. 575-586.

[75] Треногин В. А. Развитие и приложение асимптотического метода Люстерника-Вишика / А. Н. Тихонов // Успехи матем. наук. — 1970. — Т. 25, №. 4. — С. 123-156.

[76] Черноусько Ф. Л. Некоторые задачи оптимального управления с малым параметром / Ф. Л. Черноусько // Прикладная математика и механика. — 1968. — Т. 32, №. 1. — С. 15-26.

[77] Черноусько Ф. Л. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления / Ф. Л. Черноусько, В. Б. Колмановский // Итоги науки и техники. Серия Математический анализ. — 1977. — Т. 20. — С. 101-166.

[78] Эрдейи А. Асимптотические разложения / А. Эрдейи. — Москва.: Физматгиз, 1962. — 127 с.

[79] Bryson, A. E. Applied Optimal Control: Optimization, Estimation and Control / A. E. Bryson, Y. C. Ho. — New York.: John Wiley and Sons, 1975. — P. 496.

[80] Fleming W. Deterministic and Stochastic Optimal Control / W. Fleming, R. Rishel. — New York.: Springer, 1975. — P. 197.

[81] Isaacs R. Differential Games: A mathematical theory with applications to warfare and pursuit, control and optimization / R. Isaacs. — London.: Wiley(reprinted by Dover in 1999), 1965. — P. 480.

[82] Kirk D. E. Optimal Control Theory: An Introduction / D. E. Kirk. — New York.: Englewood Cliffs:Prentice-Hall, 1970. — P. 452.

[83] Kokotovic P. V. Controllability and time-optimal control of systems with slow and fast modes / P. V. Kokotovic, A. H. Haddad // IEEE Trans. Automatic Control. — 1975. — Vol. 20, №. 1. — P. 111-113.

[84] Kokotovic P. V. Singular perturbations of a class of time-optimal controls / P. V. Kokotovic, A. H. Haddad // IEEE Trans. Automatic Control. — 1975. — Vol. 20. — P. 163-164.

[85] Kokotovic P. V. Singular perturbations and order reduction in control theory — An overview / P. V. Kokotovic, R. E. O'Malley, P. Sannuti // Automatica. — 1976. — Vol. 12, №. 2. — P. 123-132.

[86] Kokotovic P. V. Singular perturbations in systems and control / P. V. Kokotovic, H. K. Khalil. — New York.: IEEE Press, 1986. — P. 362.

[87] O'Malley R. E. Introduction to singular perturbations / R. E. O'Malley. — New York.: Academic Press, 1974. — P. 207.

[88] O'Malley R. E. Singular perturbations and optimal control / R. E. O'Malley // Lect. Notes Math. — 1978. — Vol. 680. — P. 171-218.

[89] Naidu D. S. Singular perturbations and time scales in control theory and applications: An overview / D. S. Naidu // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems (DCDIS), Series B: Applications and Algorithms. — 2002. — Vol. 9, №. 2. — P. 233278.

Публикации автора диссертации

[90] Шабуров А. А. Асимптотическое разложение решения одной сингулярно возмущенной задачи оптимального управления в пространстве Rn с интегральным выпуклым критерием качества. / А. А. Шабуров // Труды ИММ УрО РАН. — 2017.

- Т. 23, №. 2. — С. 303-310. Переводная версия:

Shaburov A. A. Asymptotic expansion of a solution for one singularly perturbed optimal control problem in Rn with a convex integral quality index / A. A. Shaburov // Ural Math. Journal. — 2017. — Vol. 3, №. 1. — P. 68-75.

[91] Шабуров А. A. Асимптотическое разложение решения сингулярно возмущенной задачи оптимального управления с интегральным выпуклым критерием качества и гладкими геометрическими ограничениями на управление / А. А. Шабуров // Изв. ИМИ УдГУ. — 2017. — Т. 50. — С. 110-120.

Переводная версия:

Shaburov A. A. Asymptotic expansion of a solution for the singularly perturbed optimal control problem with a convex integral quality index and smooth control constraints / A. A. Shaburov // Ural Math. Journal. — 2018. — Vol. 4, №. 1. — P. 63-73.

[92] Шабуров А. А. Асимптотическое разложение решения сингулярно возмущенной задачи оптимального управления с интегральным выпуклым критерием качества, терминальная часть которого зависит только от медленных переменных / А. А. Шабуров // Труды ИММ УрО РАН. — 2018. — Т. 24, №. 2. — С. 280-289.

[93] Шабуров А. А. Асимптотическое разложение решения сингулярно возмущенной задачи оптимального управления с гладкими ограничениями на управление и с интегральным выпуклым критерием качества, терминальная часть которого зависит только от медленных переменных / А. А. Шабуров // Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки. — 2019. — Т. 24, №. 125.

— С. 119-136.

[94] Данилин А. Р. Асимптотическое разложение решения сингулярно возмущенной задачи оптимального управления с интегральным выпуклым критерием качества, терминальная часть которого зависит от медленных и быстрых переменных /

A. Р. Данилин, А. А. Шабуров // Уфимск. матем. журн. — 2019. — Т.11, №. 2. — C. 83-98.

[95] Шабуров А. А. Асимптотическое разложение решения сингулярно возмущенной задачи оптимального управления с интегральным выпуклым критерием качества, терминальная часть которого зависит только от медленных переменных // Тезисы докладов Семнадцатой молодежной научной школы-конференции "Лобачевские чтения — 2018" — Казань: Казанский (Приволжский) федеральный университет, 2018. — С. 322-324.

[96] Данилин А. Р., Шабуров А.А. Асимптотическое разложение решения сингулярно возмущенной задачи оптимального управления с интегральным выпуклым критерием качества, терминальная часть которого зависит от медленных и быстрых переменных (Asymptotic expansion of a solution to a singularly perturbed optimal control problem with a convex integral performance index whose terminal part depends on slow and fast variables) // Материалы Международной конференции, посвященной 110-летию со дня рождения Льва Семеновича Понтрягина, Москва, 12-14 декабря 2018 г. — Москва: Математический институт им. В.А. Стеклова РАН. — С. 76-77.

[97] Данилин А. Р., Шабуров А.А. Асимптотическое разложение решения сингулярно возмущенной задачи оптимального управления с интегральным выпуклым критерием качества, терминальная часть которого зависит только от медленных переменных и гладкими ограничениями на управление // Материалы Международной конференции "Воронежская зимняя математическая школа" (28 января - 2 февраля 2019 г.) — Воронеж: Воронежский государственный университет, Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Математический институт им. В.А. Стеклова РАН. — С. 111-112.

[98] Шабуров А.А. Асимптотическое разложение решения сингулярно возмущенной задачи оптимального управления с гладкими ограничениями на управление и с интегральным выпуклым критерием качества, терминальная часть которого зависит только от медленных переменных // Материалы Международной конференции "Воронежская весенняя математическая школа" (3 мая - 9 мая 2019 г.) — Воронеж: Воронежский государственный университет, Московский государ-

ственный университет им. М.В. Ломоносова, Математический институт им. В.А. Стеклова РАН. — С. 308-309.

[99] Shaburov A. A. Asymptotic Expansion of a Solution for One Singularly Perturbed Optimal Control Problem with a convex Integral Quality Index Depends on Slow Variables and Smooth Control Constraints // XVIII International Conference "Mathematical Optimization Theory and Operations Research" (MOTOR 2019), Ekaterinburg, Russia, 2019. — p. 98.

[100] Шабуров А. А. Асимптотическое разложение решения сингулярно возмущенной задачи оптимального управления с гладкими ограничениями на управление и с интегральным выпуклым критерием качества, терминальная часть которого зависит только от медленных переменных // Математика в приложениях. Международная конференция в честь 90-летия Сергея Константиновича Годунова (4-10 августа 2019, Новосибирск): Тез. докладов. — Новосибирск: Изд-во Института математики, 2019. — C. 234.