Асимптотическое решение матрично сингулярно возмущенных периодических задач оптимального управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Щекунских, Светлана Станиславовна

• Щекунских, Светлана Станиславовна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Щекунских, Светлана Станиславовна

Введение.

Глава 1. Нелинейная периодическая задача оптимального управления с матрично сингулярно возмущенным уравнением состояния.

§1.1. Постановка задачи.

§1.2. Формализм прямой схемы.

§1.3. Оценки приближенного решения.

§1.4. Пример.

Глава 2. Линейно-квадратичная периодическая задача оптимального управления с матричным сингулярным возмущением в критерии качества

§2.1. Постановка задачи.

§2.2. Формализм прямой схемы.

§2.3. Оценки приближенного решения.

§2.4. Невозрастание значений минимизируемого функционала.

§2.5. Пример.

Глава 3. Асимптотика решения периодической задачи для матрично сингулярно возмущенного уравнения Риккати.

§3.1. Постановка задачи.

§3.2. Алгоритм построения асимптотики решения.

§3.3. Оценка остаточного члена.

§3.4. Пример.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотическое решение матрично сингулярно возмущенных периодических задач оптимального управления»

Теория сингулярных возмущений начала интенсивно развиваться после опубликования известных работ Тихонова А.Н. [46], [47]. Она привлекает внимание многих математиков, что объясняется ее большой прикладной значимостью. Сингулярно возмущенные уравнения выступают в качестве математических моделей при исследовании разнообразных процессов в физике, химии, биологии, технике. Если решения этих уравнений удовлетворяют условиям периодичности, то возникают сингулярно возмущенные периодические задачи.

Сингулярно возмущенным задачам посвящены работы [7, 9, 10, 11, 13, 14, 41, 46,47]. Сингулярно возмущенные периодические задачи рассматривались Васильевой А.Б. [9], Аносовым Д.В. [2], Борисовичем Ю.Г. [4], Волком И.М. [15-17], Иайо Ь., Ьеушэоп'ом N. [58], Яагщ'ом Е.Я. [68].

В работах [2], [58] при некоторых условиях доказано существование периодических решений сингулярно возмущенных систем, если вырожденная система имеет периодическое решение. Вопрос построения асимптотики решения в этих работах не рассматривался. Результаты работы [58] обобщены на случай банахова пространства в работе Борисовича Ю.Г. [4].

В работе [9] были рассмотрены периодические задачи для сингулярно возмущенных систем, для которых при некоторых условиях построено асимптотическое разложение решения в виде ряда по степеням малого параметра.

Методы теории сингулярных возмущений могут успешно применяться для приближенного решения задач оптимального управления, обоснования приближенной декомпозиции, определения структуры особых и импульсных управлений. Литература, посвященная исследованию сингулярно возмущенных задач оптимального управления, насчитывает сотни наименований (см., например, [64,63,12,69,33,26]).

Обычно методы теории сингулярных возмущений применяются в теории оптимального управления при построении асимптотических приближений к решению задач, вытекающих из необходимых или достаточных условий оптимальности управления. Однако при этом не учитывается вариационная природа исходной постановки задачи и неясен вариационный смысл асимптотических приближений.

В работах [3, 54] рассматривается, так называемая, прямая схема применения метода пограничных функций Васильевой А.Б. [10, 11], которой не присущи те недостатки, которые перечислены выше. Основная идея прямой схемы связана с прямой подстановкой постулируемого асимптотического разложения решения в условия задачи без перехода к необходимым условиям оптимальности управления, построением серии задач оптимального управления для нахождения членов асимптотического разложения и оценкой близости построенного приближенного решения к точному решению задачи.

Важный класс задач оптимизации представляют задачи управления линейными объектами, в которых уравнение состояния имеет вид

Fx(t))=C(tMt)+D(u(t),t), (0.1) где оператор F в общем случае не является обратимым. Не разрешенные относительно производной системы вида (0.1) носят в литературе название де-скрипторных (descriptor), вырожденных или сингулярных, систем обобщенного пространства состояний (generalized state-space systems), систем полусостояния (semistate), дифференциально-алгебраических (differential-algebraic), неявных (implicit) и обобщенных линейных систем. Такие системы встреча» ются в экономике (уравнение межотраслевого баланса, модель Леонтьева) [45, 57, 70] в теории электронных схем [24, 53, 57], в задачах управления [5,

57]. Другие многочисленные примеры, в которых возникают такие уравнения, приведены в [5,52,6,66].

Обзор работ, касающихся задач управления с уравнением состояния вида (0.1), приведен в [65], [33].

Задачи управления с уравнением состояния вида (0.1) представляют интерес в теории сингулярных возмущений в случае, когда Б = Р0 + £Б1, где оператор вырожден, а Р0 + е^ обратим при е Ф 0, так как при пренебрежении малым параметром дифференциальный порядок модели понижается и возникает вопрос о корректности пренебрежения в смысле близости решений возмущенной и невозмущенной задач. Также представляет интерес построение асимптотического разложения решения возмущенной задачи.

Другой вид сингулярно возмущенных задач появляется при рассмотрении минимизации функционала

1 = \ I (х'(1)\¥(1)х(1)+ и'№(и)иМ)<Й (0.2)

2 о на траекториях уравнения для х путем выбора управления и(1). Матрица Л^е) в (0.2) при е > 0 обратима, а при г = 0 вырождена. В этом случае при 8 = 0 управление является особым в смысле принципа максимума Понтряги-на.

В подавляющем большинстве работ, посвященных сингулярно возмущенным задачам оптимального управления, приходят к исследованию уравнений, в которых матрица А + еВ, стоящая перед производной, имеет вид diag (I, б1) , где I - единичная матрица. На практике встречаются задачи с более сложной структурой оператора А + еВ (см., например, пример электрической цепи из [32]). Асимптотики решений различных классов матрично сингулярно возмущенных линейно-квадратичных задач оптимального управления в случае отсутствия ограничений на управление были построены ранее в работах Куриной Г.А. путем построения асимптотики решений двухточечных краевых задач, получаемых из принципа максимума Понтрягина (см., например, [33], [34]).

Задачи оптимального управления периодическими движениями возникают в механике, теории регулирования, химической технологии, кардиологии и многих других приложениях. Они обладают целым рядом особенностей и представляют большой теоретический и прикладной интерес. Обзор работ, посвященных изучению условий оптимальности управления в таких задачах приведен в [48,49, 50].

Сингулярно возмущенные периодические задачи оптимального управления изучались Дмитриевым МГ. [19], Дмитриевым М.Г. и Мурадовой Н.Д. [21], Мурадовой Н.Д. [43], [44], Дмитриевым М.Г.и Яньпшным В.Н. [22], Соболевым В.А. и Жариковой E.H. [23].

Хорошо известно, что при отыскании оптимального управления для периодической линейно-квадратичной задачи в форме обратной связи возникает необходимость отыскания периодического решения матричного уравнения Риккати. Если уравнение состояния сингулярно возмущенное, то соответствующее уравнение Риккати будет также сингулярно возмущенным. Поэтому представляет интерес построение асимптотики периодического решения сингулярно возмущенного матричного уравнения Риккати.

В работах [19], [21], [43], [44] обоснована идеализация математических моделей некоторых классов линейно-квадратичных периодических задач оптимального управления, приводящих к исследованию уравнений с оператором вида diag (l,sl) при производной, построено асимптотическое приближение к решению периодической задачи оптимального управления путем построения асимптотического решения периодического уравнения Риккати. В

44] также произведена регуляризация нелинейной периодической задачи со скалярным управлением, особым в смысле принципа максимума. Установлены условия предельного перехода по параметру в регуляризованной задаче.

В [22] рассмотрена нелинейная периодическая задача оптимального управления для системы с малым параметром при части производных. Построено асимптотическое приближение к экстремали задачи и доказано, что предел экстремали возмущенной задачи является экстремалью задачи меньшей размерности. Заметим, что в этой работе было построено только два первых члена асимптотического разложения решения. Прямая схема для построения и получения асимптотических оценок не использовалась.

В работе Соболева В. А. и Жариковой Е.Н. [23], посвященной асимптотическому интегрированию сингулярно возмущенных периодических задач управления в линейно-квадратичной постановке, использован оригинальный метод сведения периодической задачи для сингулярно возмущенного матричного уравнения Риккати к начальной задаче для матричного уравнения меньшей размерности без сингулярных возмущений.

Настоящая работа посвящена исследованию периодических задач оптимального управления, приводящих к уравнению с оператором при производной, мало отличающимся от вырожденного.

Целью диссертационной работы является развитие и обоснование прямой схемы построения асимптотики решения, получение оценок близости приближенного решения к точному по управлению, траектории и функционалу, установление невозрастания значений минимизируемого функционала при использовании асимптотического приближения оптимального управления высшего порядка для нелинейных периодических задач оптимального управления с матрично сингулярно возмущенным уравнением состояния и для линейно-квадратичных периодических задач с матричным сингулярным возмущением в критерии качества, а также построение асимптотического разложения периодического решения матрично сингулярно возмущенного уравнения Риккати с периодическими коэффициентами.

Работа состоит из введения, трех глав и библиографического списка, включающего 78 наименований литературных источников.

В первой главе рассматривается нелинейная периодическая задача оптимального управления без ограничений на управление с матрично сингулярно возмущенным уравнением состояния.

В § 1.1 приводится постановка матрично сингулярно возмущенной нелинейной периодической задачи оптимального управления т

Рв •• 1, е)к->1шп, (0.3) о и

А + = {и е)э (0.4) н х(0)=х(т), (0.5) где х(0 6 X, иЩеи, X, И- действительные конечномерные евклидовы пространства; Т > 0- фиксировано; 1 е [0,Т]; е > 0- малый параметр; функции Е, i- достаточно гладкие по своим аргументам, принимают значения из К и X соответственно и являются Т- периодическими по V, А, ВеЦХ), оператор А- вырожден, а А + еВ обратим при достаточно малых с^О, допустимые управления и = и^) являются непрерывными Т- периодическими функциями, для которых существует решение задачи (0.4) - (0.5).

В § 1.2 построено формальное асимптотическое разложение решения задачи (0.3) - (0.5) в виде ряда по целым неотрицательным степеням е при помощи прямой схемы, которая заключается в подстановке постулируемого асимптотического разложения решения в условия задачи и определении серии задач оптимального управления для нахождения членов разложения.

Решение задачи Ре ищется в виде хМ= И(1,Б)= ). (0.6) 0

Подставляя разложение (0.6) в выражение для функционала (0.3) и раскладывая подынтегральную функцию в ряд по степеням е, получаем разложение функционала

1е(и)=5>^, (0.7) из которого находятся критерии качества ^ в задачах управления Р| для определения членов разложения (0.6): Путем подстановки разложений (0.6) в (0.4) получаем уравнения состояния для задач Р^ В § 1.2 построены задачи Р|, и доказана

Теорема 1.2.2. Если в разложении (0.6) найдены х^) и как решения задач Р^ для ] = 0,ш, то в разложении (0.7) коэффициент 12т+1 зависит от решения задач Р^ j = 0,m, а преобразованное выражение для коэффициента 12т+2 после отбрасывания членов, известных после решения задач Р^ ■ **** = 0,т, совпадает с критерием качества 1т+1 в задаче Рт+1.

Так как пара функций (и^ Xj) из разложения (0.6) при j >1 будет определяться из решения задачи минимизации квадратичного функционала на периодических траекториях линейной системы, не разрешенной относительно производной, то установлены достаточные условия разрешимости задачи минимизации квадратичного функционала

Ди) = /¿х'(1)\У(1)ха) + х'(ОД1)и(1) + ±и'(да(1)и(0 + сВДх(1) + 0 I I с'0)иа))Ж (0.8) на траекториях системы

2 = с(1)х(»)+0(1м»)+8(а х(0)=х(Т). (0.9) ш

Здесь х({)еХ, и^еИ, X, и— действительные конечномерные евклидовы пространства, Т> 0- фиксировано; функции

К(1)еЬ(и), (1(0еХ, с(1)еИ, С^еЦх), ОфеЦи.Х), Е(г)еХ непрерывны и Т- периодичны по I; уЧу означает скалярное произведение элементов V, ш; допустимыми управлениями являются непрерывные Т- периодические функции и = и(1:), для которых существует решение задачи (0.9).

Теорема 1.2.3. Если при всех I е [0,Т] выполняются соотношения

W(t)=W(4 R(t)=R'(t),

0, решима. vS'(t) R(t), оператор QG(t)P:Кег A->Кег А', где G(t)=C(t)-D(t)R"1(t)S,(t), имеет обратный G1(t), и задача

A^I-Q^I-GÍt^-Ht^jGÍtXl-Pjy. У(0)=У(Т) не имеет нетривиальных решений, тогда задача (0.8), (0.9) однозначно раз-та.

Через P,Q здесь обозначены ортогональные проекторы пространства X на Кег А, Кег А' соответственно, отвечающие разложениям в ортогональные суммы Х = КегАФ1тА'=КегА'Ф1тА, штрих с обозначением оператора означает сопряженный оператор, через А+ обозначен обратный оператор к оператору (I - Q)A(I - Р): Im А'-> Im А. Доказано, что при некоторых условиях для решения задачи (0.3)-(0.5) можно построить асимптотику вида (0.6).

В §1.3 при некоторых условиях установлено существование решения задачи (0.3)-(0.5) при достаточно малых е и доказаны оценки близости построенного приближенного решения к точному решению задачи.

Теорема 1.3.4. При условиях 1°, 2°, 4°, 5°', 6°-9° для достаточно малых б > 0 задача pg однозначно разрешима в окрестности управления и0, и для ее решения и*, х* справедливы следующие оценки и* -ип =о(е1|+1),х* -xn =o(sn+1),

Js(u')-Js(un)=o(e2<°+1>). П • П •

Здесь un = xn = ^s^» a условия указаны далее в тексте диссерi=0 i=0 тации.

Следующая теорема установливает невозрастание значений минимизируемого функционала при использовании новых приближений асимптотического разложения оптимального управления.

Теорема 1.3.5. При условиях 1°, 2°, 4° - 9° и достаточно малых s > О для Uj * 0 справедливы неравенства

JeCÜiWsfö-l)» i = 1>n, i где uj = £eJUj • u j=o

Вторая глава посвящена линейно-квадратичным периодическим задачам оптимального управления, близким к вырожденным.

В § 2.1 рассматривается линейно-квадратичная периодическая задача оптимального управления с матричным сингулярным возмущением в критерии качества

Ре : Je(u) = — J(x'(t)W(t)x(t) + u'(t)(A+eB)'R(t)(A + sB)u(t))dt -»min, (0.10) 20 « = C(t)x(t)+D(t)u(t)+f(t), (0.11) х(0) = х(Т). (0.12)

Здесь условия на операторы А, В, W(t), R(t) те же, что и ранее, все коэффициенты предполагаются Т- периодическими по I.

В качестве множества допустимых управлений берутся непрерывные Т-периодические функции и = и(1).

Предполагается, что выполнено условие I. Уравнение

С(«)У не имеет нетривиальных Т- периодических решений.

Это условие обеспечивает существование единственной Т- периодической траектории для уравнения состояния (0.11) при любом Т- периодическом непрерывном управлении и(1:). При условии I задача (0.10) - (0.12) для всех е > 0 имеет единственное решение, которое можно найти из принципа максимума Понтрягина, являющемся в этом случае необходимым и достаточным условием оптимальности управления.

Очевидно, что при 8 = 0 управление в этой задаче является особым, т.е. не определяется однозначно из принципа максимума Понтрягина.

При А + еВ = (ЦаЕ(1,£1), ВД) = <Ка§(К0 (0,1^(0) задача (0.10) - (0.12) при некоторых предположениях изучалась в [43] путем построения асимптотики решения периодической задачи, вытекающей из условия оптимальности управления в преобразованной задаче. В [20] для задачи минимизации функционала (0.10) на траекториях линейной системы с закрепленным левым концом и свободным правым приведен алгоритм нахождения нескольких первых членов асимптотики решения и установлено невозрастание значений минимизируемого функционала при использовании новых членов асимптотического разложения оптимального управления, построенного при помощи прямой схемы. В [76] построена формальная асимптотика решения задачи т

0.10)-(0.12) при условии Ju(t)dt = 0 путем использования для преобразован0 ной задачи прямой схемы построения асимптотики решения.

Будем считать для простоты, что D(t) = I. Вводя новую функцию v(t) = (А + sB)u(t), задачу (0.10) - (0.12) перепишем в виде

Je(v)=~/(x'(t)w(tM0 + v'(t)R(t)v(t))dt -> min, (0.13)

20 v

А + еВ)^^ = (А + eB)C(t)x(t)+v(t) + (А + sB)f (t), (0.14) dt х(0)=х(т). (0.15)

В § 2.2 при помощи прямой схемы стоится формальное асимптотическое разложение решения этой задачи в виде ряда по целым неотрицательным степеням 8 x(t,s)= EsjXj(t), v(t,s)= Isjvj(t), (0.16) jäO js;0 при этом разложение функционала Je(v) имеет вид

J8(v)=ZejJj, (Р.17) j^o где

J2k = ^ J(*k(t)W(t)xk(t) + v^(t)R(t)vk(t)>lt + Z1(x'2k.i(t)W(t)xi(t) + ^ о i=0 v 2k- iCORitKCt))^,

J2k+1 = Sfixik+MWWCOxiCt)+^л+ыШЮЧФ. k * 0 • i=Oo

Для нахождения членов разложений (0.16) выписываются задачи Р;.

Теорема 2.2.2. Если в разложениях (0.16) найдены х^) и у^) как решения задач Pj для j = 0,m, то в разложении (0.17) коэффициент 12т+1 за~ висит от решений задач Р^ j = 0,m, а преобразованное выражение для коэффициента 12т+2 совпадает с критерием качества .Гт+1 в задаче Рт+1. Предположим, что выполнено условие

II. Уравнение

3(1~?)У = (I" Р)С(1)(1 - (Р\\^)Р)-1 PW(t))(I - Р)у т не имеет нетривиальных Т - периодических решений.

Теорема 2.2.3. Используя прямую схему, при условии II для решения задачи (0.10) - (0.12) можно построить асимптотику решения по целым степеням е, причем разложение оптимальной траектории и минимального значения функционала содержит только неотрицательные степени г, а в разложении оптимального управления могут присутствовать и отрицательные степени.

В § 2.3 добавляется условие

III. Все В - жордановы цепочки оператора А имеют одинаковую длину р.

Теорема 2.3.1. При условиях 1-111 для достаточно малых г > О справедливы оценки

1к-г-1сго.т1 • к-^11с10.т1' ич'-^писю.п^^1 ~ и —и,

С8П+1"Р, с[0,т] где постоянная с не зависит от г.

П П П 1 / * ♦ \

Здесь хп = , уп = , уп = Хе'х^, ип = (А + еВ)~ уп ,(у ,х ]

1=0 1=0 1=0 решение задачи (0.13) - (0.15), - сопряженная переменная для задачи (0.13)-(0.15), Vj/j - сопряженные переменные для задач Pj, i = 0,n, и*— оптимальное управление в задаче (0.10) - (0.12). Используя управление в форме обратной связи вида v(t) =v*(t,x,e) = -AC(tXPx(t) + (PW(t)P)"1PW(tXI - P)x(t))+■ + QApPW(t)x(t) + (AC(t)(PW(t)P)"1P - QApP)(C(t)A'xi/s(t) + sC'(t)B'vj/s1(t)) + vs(t), s = M, at в § 2.4 для задачи (0.10) - (0.12) доказана теорема, устанавливающая невозрастание значений минимизируемого функционала с каждым новым асимптотическим приближением управления.

Теорема 2.4.2. При условиях /-/// и достаточно малых s > 0 имеют место неравенства

Je0i)£Je(Uii), i = l,n, где (t) = (А + sB)1 (t), k = M.

В третьей главе при некоторых условиях строится асимптотика решения задачи для матрично сингулярно возмущенного уравнения Риккати. -K'(t,e)c(t)-C'(t)K(t,e)+ K'(t,e)s(t)K(t,s)- W(t), (0.18) dt

A + eB)'K(t,e) = K'(t,s)(A + eB), K(0,s) = K(T,e). (0.19) Такая задача возникает при отыскании оптимального управления в форме обратной связи для линейно-квадратичной периодической задачи с матрично сингулярно возмущенным уравнением состояния (см. [29]).

Здесь s>0 малый параметр; te[0,T]; А,В, C(t), W(t), K(t,s),

S(t) = D(t)R"1(t)D'(t)eL(X); D(t)eL(U,X); R(t)eL(U), операторы C(t), D(t), R(t), W(t) достаточное число раз непрерывно дифференцируемы;

11(1)=13/(1) > 0, оператор А вырожден; А + еВ обратим при достаточно малых е^О; все В- жордановы цепочки оператора А имеют одинаковую длину р. Все коэффициенты в уравнении (0.18) предполагаются Т- периодическими функциями.

§ 3.1 посвящен постановке задачи.

В § 3.2 исследуется разрешимость задачи (0.18), (0.19) при 8 = 0 путем сведения уравнения (0.18) к стандартным в теории оптимального управления алгебраическому и дифференциальному, разрешенному относительно производной, операторным уравнениям Риккати. Далее приводится алгоритм построения членов асимптотического решения по неотрицательным целым степеням е.

В § 3.3 получена оценка остаточного члена асимптотики.

В конце каждой главы приведены иллюстрирующие примеры, при решении которых использовался пакет МаШсас17.

Основные результаты, полученные в диссертации, сводятся к следующему: построена асимптотика решения нелинейной периодической задачи оптимального управления с матрично сингулярно возмущенным уравнением состояния, установлены условия, обеспечивающие при достаточно малых значениях параметра существование решения возмущенной задачи и оценки близости построенного приближенного решения к точному по управлению, траектории и функционалу, доказано свойство невозрастания значений минимизируемого функционала с каждым новым асимптотическим приближением оптимального управления; построена асимптотика решения линейно-квадратичной периодической задачи оптимального управления с матричным сингулярным возмущением в критерии качества по неотрицательным степеням 8, получены оценки близости точного решения к приближенному для управления, траектории и функционала, а также установлено невозрастание значений минимизируемого функционала при использовании новых членов построенного асимптотического разложения оптимального управления; построена асимптотика периодического решения для матрично сингулярно возмущенного уравнения Риккати, возникающего при отыскании оптимального управления в форме обратной связи для линейно-квадратичной периодической задачи с матрично сингулярно возмущенным уравнением состояния.

Результаты работы могут быть использованы при построении схем приближенной декомпозиции матрично сингулярно возмущенных периодических задач оптимального управления; при исследовании задач математической экономики и теории цепей, а также для развития соответствующих численных методов, когда в качестве начальных приближений берутся найденные в работе асимптотические разложения.

Результаты диссертации докладывались на VII Крымской осенней математической школе-симпозиуме (Симферополь, 1996г.), на Международной конференции женщин-математиков "Математика. Экономика" (Ростов-на-Дону, 1997г.), на Международной конференции IF AC "Singular solutions and perturbations in control systems" (Переславль-Залесский, 1997г.), на конференции по функциональному анализу и уравнениям математической физики, посвященной 80-ти летию Крейна СР. (Воронеж, 1997г.), на Международной конференции "Математика. Образование. Экология. Тендерные проблемы." (Воронеж, 2003), на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения XV" (май 2004г.), на семинаре под руководством Крейна С.Г. в Воронежской лесотехнической академии, на ежегодных научных сессиях ВГУ и ВГЛТА, на семинаре под руководством Куриной Г.А. и Задорожнего В.Г.

Проведенные в работе исследования выполнялись при частичной поддержке РФФИ (проеюы 99-01-00968,02-01-00351).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [71-78]. В совместных публикациях соавтору принадлежат постановки задач и схемы доказательств теорем.

В заключение выражаю глубокую признательность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Куриной Галине Алексеевне за постоянное внимание, плодотворное обсуждение результатов и ценные советы.

В данной работе применяется двойная нумерация. Первая цифра означает номер параграфа, остальные цифры - номер соответствующей формулы или утверждения. При ссылках из другой главы впереди добавляется еще одна цифра - номер главы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Щекунских, Светлана Станиславовна, 2004 год

1. Азизов Т.Я. Индефинитный подход к задаче о приводимости неотрицательно гамильтоновой оператор-функции к блочно-диагональной форме / Т.Я. Азизов, В.К. Кириакиди, Г.А. Курина // Функциональный анализ и его приложения. - 2001. - Т. 35, № 3. - С. 73-75.

2. Аносов Д.В. О предельных циклах систем дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных / Д.В. Аносов // Математический сборник. 1960. - Т. 50, вып. 3. - С. 299-334.

3. Белокопытов C.B. Решение классических задач оптимального управления с погранслоем / C.B. Белокопытов, М.Г. Дмитриев // Автоматика и телемеханика. 1989. - № 7. - С. 71-82.

4. Борисович Ю.Г. О периодических решениях дифференциально-операторных уравнений с малым параметром при производной / Ю.Г. Борисович // Докл. АН СССР. 1963. - Т. 148, № 2: - С. 255-258.

5. Бояринцев Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю.Е. Бояринцев. Новосибирск: Наука, 1980. - 221 с.

6. Бояринцев Ю.Е. Методы решения непрерывных и дискретных задач для сингулярных систем уравнений / Ю.Е. Бояринцев. Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1996. - 262 с.

7. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений / В. Вазов. М.: Мир, 1968. - 462 с.

8. Вайнберг М.Н. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М.Н. Вайнберг, В.А. Треногин. -М.: Наука, 1969. 528 с.

9. Васильева А.Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных / А.Б. Васильева // Успехи мат. наук. -1963. Т. 18, вып. 3. - С. 5-86.

10. Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений / А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов. М.: Наука, 1973.-272 с.

11. Васильева А.Б. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений / А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов. М.: Высш. школа, 1990. -208 с.

12. Васильева А.Б. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления / А.Б. Васильева, М.Г. Дмитриев // Мат. анализ. Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1982. - Т. 20. - С. 3-78.

13. Васильева А.Б. Условно устойчивые сингулярно возмущенные системы / А.Б. Васильева, В.А. Есипова // Докл. АН СССР. 1974. - Т. 216, № 1. - С. 17-20.

14. Васильева А.Б. Краевая задача для сингулярно возмущенных дифференциальных и разностных систем, когда невозмущенная система находится на спектре / А.Б. Васильева, М.В. Фаминская // Дифференциальные уравнения. 1977. - Т. ХШ, № 4. - С. 738-742.

15. Волк И.М. О периодических решениях неавтономных систем, зависящих от малого параметра / И.М. Волк // Прикладная математика и механика. 1946. - Т.10, № 5-6. - С. 559-574.

16. Волк И.М. Некоторые обобщения метода малого параметра в теории периодических движений неавтономных систем / И.М. Волк // Прикладная математика и механика. 1947. - Т. 11, № 4. - С. 433-444.

17. Волк И.М. О периодических решениях автономных систем / И.М. Волк // Прикладная математика и механика. 1948. — Т. 12, № 1. - С. 29-38.

18. Далецкий ЮЛ. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн. М : Наука, 1970. - 534 с.

19. Дмитриев М.Г. Использование прямой схемы для решения линейно-квадратичной задачи оптимального управления с сингулярным возмущением / М.Г. Дмитриев, Г.А. Курина, Х.А. Овезов // Изв. АН. Теория и системы управления. 1996. - № 4. - С. 62-68.

20. Дмитриев М.Г. Обоснование идеализации математической модели одной задачи периодической оптимизации / М.Г. Дмитриев, Н.Д. Мура-дова // Изв. АН Туркм. ССР. Серия физ.-техн., хим. и геол. наук. — 1980. № 3. - С. 6-12.

21. Дмитриев М.Г. Нелинейная периодическая задача оптимального управления для систем с малым параметром при части производных / М.Г. Дмитриев, В.Н. Яньшин // Укр. мат. журнал. 1987. - Т. 39, № 3. -С. 289-295.

22. Жарикова E.II. Оптимальные периодические системы управления с сингулярными возмущениями / E.H. Жарикова, В.А. Соболев // Автоматика и телемеханика. 1997. - №7. - С. 151-168.

23. Зернов Н.В. Теория радиотехнических цепей / Н.В. Зернов, В.Г. Карпов. М; Л.: Энергия, 1962. - 892 с.

24. Зубова С. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовым оператором при производной / С. Зубова, К. Чернышов // Дифференциальные уравнения и их приложения. Институт физики и математики АН Литов. ССР 1976. - Вып. 14. - С. 21-39.

25. Калинин А.И. Асимптотические методы оптимизации возмущенных динамических систем / АИ. Калинин. Минск: УП "Экоперспектива", 2000.-183 с.

26. Курина Г.А. О линейных гамильтоновых системах, не разрешенных относительно производной / Г.А. Курина // Дифференциальные уравнения. 1986. - Т. XXII, № 2. - С. 193-198.

27. Курина Г.А. Об операторном уравнении Риккати, не разрешенном относительно производной / Г.А. Курина // Дифференциальные уравнения. 1986. - Т. 22, № 10. - С. 1826-1829.

28. Курина Г.А. Достаточные условия оптимальности управления для линейных периодических систем, не разрешенных относительно производной / Г.А. Курина // Укр. мат. журнал. 1987. - Т. 39, № 6. - С. 783786.

29. Курина Г.А. Асимптотика решения матрично сингулярно возмущенного уравнения Риккати / Г.А Курина // Докл. АН СССР. 1988. - Т. 301, №1.-С. 26-30.

30. Курина Г.А. Об асимптотике решения матрично сингулярно возмущенного уравнения Риккати / Г.А. Курина; Воронеж, лесотех. ин-т. -Воронеж, 1990. 28 с. - Деп. в ВИНИТИ 18.06.90, № 3484-В90.

31. Курина Г.А. Об асимптотике решения матрично сингулярно возмущенного уравнения Риккати с бесконечно большим начальным условием / Г.А. Курина // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1992. - № 1. -С. 83-89.

32. Курина Г.А. Сингулярные возмущения задач управления с уравнением состояния, не разрешенным относительно производной (обзор) / Г.А. Курина // Техническая кибернетика. 1992. - № 4. - С. 20-48.

33. Курина Г.А. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления с уравнением состояния, не разрешенным относительно производной: Дис. . д-ра физ.-мат. наук / Г.А. Курина. Воронеж, 1992. -249 с.

34. Курина Г.А. Асимптотика решения задач оптимального управления для дискретных слабоуправляемых систем / Г.А. Курина // Прикладная математика и механика. 2002. — Т. 66, вып. 2. - С. 214-227.

35. Курина Г.А. О приводимости неотрицательно гамильтоновой вещественной периодической матрицы к блочно-диагональной форме / Г.А. Курина, Г.В. Мартыненко // Мат. заметки. 1999. - Т. 66, вып. 5. - С. 688-695.

36. Курина Г.А. Асимптотический анализ матрично сингулярно возмущенных линейно-квадратичных задач оптимального управления / Г.А. Курина, Х.А. Овезов // Изв. вузов. Математика. 1996. - № 12. — С. 6374.

37. Ли Э.Б. Основы теории оптимального управления / Э.Б. Ли, Л. Маркус. -М.: Наука, 1981. -576 с.

38. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений / С.А Ломов. М.: Наука, 1981. - 400 с.

39. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики / H.H. Моисеев. -М.: Наука, 1981. 400 с.

40. Мурадова Н.Д. Сингулярные возмущения в линейно-квадратичной периодической задаче оптимального управления / Н.Д. Мурадова // Изв. АН Тур км. ССР. Сер. физ.-техн., хим. и геол. наук. 1983. - № 1. - С. 10-14.

41. Мурадова Н.Д. Асимптотика решения некоторых задач управления для сингулярно возмущенных периодических систем: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук / Н.Д. Мурадова. Алма-Ата, 1984. - 16 с.

42. Павлов В.Н. Об одном методе решения вырожденной задачи оптимального управления / В.Н Павлов // Вопросы анализа сложных систем. Новосибирск, 1974. - С. 55-65.

43. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра / А.Н. Тихонов // Математический сборник. — 1948. -Т. 22 (64).-С. 193-204.

44. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при производных / А.Н. Тихонов // Мат. сборник. -1952. Т. 31 (73). - С. 575-586.

45. Тонкое Е.Л. Оптимальные периодические движения управляемой системы / Е.Л. Тонков // Мат. физика. Киев, 1977. - Вып. 21. - С. 45-59.

46. Тонков Е.Л. Оптимальное управление периодическими движениями / Е.Л. Тонков // Мат. физика. Киев, 1977. - Вып. 22. - С. 54-64.

47. Тонков Е.Л. Некоторые вопросы управления периодическими движениями / Е.Л. Тонков // Динамика управляемых систем. Новосибирск, 1979.-С. 286-293.

48. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Харт-ман. М.: Мир, 1970. - 720 с.

49. Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром / В.Ф. Чистяков. Новосибирск: Сибирская издательская фирма РАН "Наука", 1996. - 278 с.

50. Чуа Л.О., Пен-Мин Лин. Машинный анализ электронных схем / Л.О.Чуа, Лин. Пен-Мин. М.: Энергия, 1980. - 638 с.

51. Belokopytov S.V. Direct scheme in optimal control problems with fast and slow motions / S.V. Belokopytov, M.G. Dmitriev // Systems and Control Letters. -1986. V. 8, № 2. - P. 129-135.

52. Bittanti S. Periodic systems: controllability and the matrix Riccati equations / S. Bittanti, G. Guadarabassi, C. Maffezzoni, L. Silverman // SIAM J. Control and Optimiz. 1978. - V. 16, № 1. - P. 37-40.

53. Bittanti S. Second variation methods in periodic optimization / S. Bittanti, A. Locatelli, C. Maffezzoni // J. Optimization Theory and Appl. 1974. - V. 14, №1.-P. 31-49.

54. Campbell S.L. Singular systems of differential equations. Research Notes in Mathematics. / S.L. Campbell San-Francisco, London, Melbourne, 1980. -V. 40.

55. Flatto L. Periodic solution of singularly perturbed systems / L. Flatto, N. Levinson // J. Rational Mech. Analysis. 1955. - № 4. - P. 943-950 (Русский перевод: сб. Математика. 1958,2:2. С. 61-68).

56. Guardabassi G. The status of periodic optimization of dynamic systems / G. Guardabassi, A Locatelli, S. Rinaldi // J. Optimization Theory and Appl. -1974. V. 14, № 1. - P. 337-354.

57. Jameson A. Cheap control of the time invariant regulator / A. Jameson, R.E. O'Malley, Jr. // Applied Mathtmatics Optimization. - 1975. - V. 1, № 4. -P. 337-355.

58. Hewer G.A. Periodicity, detectability and the matrix Riccati equation / G.A. Hewer // SIAM J. Control. 1975. - V. 13,№6.-P. 1235-1251.

59. Капо Н. Periodic solutions of matrix Riccati equations with detectability and stabilizability / H. Kano, T. Nishimura // Int. J. Control. 1979. - V. 29, № 3. -P. 471-487.

60. Kokotovic P.V. Application of singular perturbation techniques to control problems / P.V. Kokotovic // SIAM Review. 1984. - V. 26, № 4. - P. 501550.

61. Kokotovic P.V. Singular perturbations and order reduction in control theory an overview. / P.V. Kokotovic, R.E. O'Malley, Jr., P. Sannuti // Automática. - 1976. - V. 12, № 3. - P. 123-132.

62. Lewis F.L. A survey of linear singular systems / F.L. Lewis // Circuits, Systems and Singnal Processing. -1986. V.5, № 1. - P. 3-36.

63. März R. Recent results in solving-index 2 differential- algebraic equations in circuit simuation / R. März, С. Tischendorf Preprint № 96-4. - HumboldtUniversität zu Berlin. - 22 p.

64. O'Malley R.E. Singular perturbations and singular arcs-part П / R.E. O'Malley, Jr., A. Jameson // ШЕЕ Trans. Automat. Control. 1977. - V. AC -22, №3.-P. 328-337.

65. Rang E.R. Periodic solutions of singular perturbation problems / E.R. Rang // Proceedings of International Symposium on Nonlinear Differential Equations. Academic Press, New York. 1963. - P. 377-383.

66. Saksena V.R. Singular perturbations and time-scale methods in control theory: survey 1976-1983 / V.R. Saksena, J. O'Reilly, P.V.Kokotovic // Automática. 1984. - V. 20, № 3. - P. 273-293.

67. Yu J. Decision-making and optimal control of Chinese macroeconomic systems / Yu J., Song Y., Zheng Z. // Proc. 25th IEEE Conf. on Decision and Control. Athens. 1986. - P. 1363-1365.

68. Шабанова C.C. Асимптотика решений периодической задачи для нелинейного матрично сингулярно возмущенного уравнения / ШабановаС.С. // Современные методы в теории краевых задач "Понтрягинские чтения VIT': Тез. докл. Воронеж, 1996. - С. 190.

69. Щекунских С.С. Асимптотика решения периодической задачи для матрично сингулярно возмущенного уравнения Риккати / Щекунских С.С.; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2003. - 30 с. - Деп. в ВИНИТИ 24.12.03, № 2253-В2003.

70. Щекунских С.С. Матрично сингулярно возмущенное уравнение Риккати / Щекунских С.С. // Современные методы в теории краевых задач: "Понтрягинские чтения XV" на Воронежской весенней школе: Тез. докл., (3-9 мая 2004 г.). - Воронеж, 2004. - С.242.