Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных задач оптимального управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Парышева, Юлия Владимировна

• Парышева, Юлия Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Парышева, Юлия Владимировна

Введение

Глава 1. Определяющие соотношения для решения задачи

1.1. Постановка задачи.

1.2. Основное уравнение.

1.3. Асимптотика матричной экспоненты.

Глава 2. Построение асимптотики членов основного уравнения

2.1. Асимптотика внеинтегральных членов и вспомогательные утверждения.

2.2. Асимптотика подынтегральной функции.

2.3. Асимптотика интеграла 1\(е, г5, /1).

2.4. Асимптотика интеграла/2(5, г£,//).

2.4.1. Асимптотика интеграла ^(е, г£, ¡1) в регулярном случае

2.4.2. Асимптотика интеграла/2(6, ге, д) в сингулярном случае

2.5. Асимптотика интеграла /(г, г£) и функции (Не(Т, ,т°, у0)) (т£)

Глава 3. Построение и обоснование асимптотики решения основного уравнения

3.1. Вспомогательные утверждения.

3.2. Разрешимость уравнения и оценка для решения

3.3. Полная асимптотика решения уравнения в регулярном и сингулярном случаях

3.4. Пример.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных задач оптимального управления»

Основы классической теории оптимального управления были заложены в 1955-1970 годах в работах Л.С. Поитрягииа, H.H. Красовского, В.Г. Болтянского, Р.В. Гамкрелидзе, Р. Беллмана ([4], [20], [60], [53], [2], [Gl], |54], [3]). Были установлены условия оптимальности управления и описана структура оптимального управления.

Вопросы практического применения полученных результатов привели к появлению различных направлений в рамках теории оптимального управления, одним из которых является изучение малых возмущений в задачах оптимального управления.

Наличие малых возмущений в задачах оптимального управления может быть связано как с малостью тех или иных компонент в математической модели, описывающей динамику процессов (малые постоянные времени, моменты инерции, массы и др.), так и с методами исследования задач управления (параметры штрафа, регуляризации, аппроксимации импульсов и др.).

При этом часто возникают задачи оптимального управления с сингулярными возмущениями, в которых свойства возмущенных задач качественно отличаются от свойств вырожденных задач, получающихся из исходных при нулевых значениях параметров.

Из условий оптимальности управления для сингулярио возмущенных задач как правило появляются "жесткие" краевые задачи, при численном решении которых возникают серьезные трудности, выражающиеся в недопустимо большом времени счета и неизбежном накоплении вычислительных ошибок. В связи с этим в данном классе задач возрастает роль асимптотических методов, которые дают возможность получить качественную картину решения, что может быть использовано в том числе и при построении и анализе численных алгоритмов решения таких задач.

В различной постановке сингулярно возмущенные задачи оптимального управления рассматриваются в работах многих авторов (см. обзоры [37], [78], [79], [80], [1С], [83], [74], [571, [76,77], [19], [38], [48], [70], [71], [81,82], [68[, [85], [84], [66], [86-88], [82]).

Одним из классов сингулярно возмущенных задач управления являются задачи оптимального управления для систем, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями с малым параметром при производных (уравнения с быстрыми и медленными переменными).

Особенностью таких уравнений является то, что порядок вырожденного уравнения ниже порядка исходного возмущенного уравнения. Вследствие этого решение вырожденного уравнения не может удовлетворить всем условиям, заданным для первоначального уравнения. В малой окрестности задания начальных условий, теряющихся при вырождении, происходит быстрое изменение решений от начальных условий, заданных для возмущенной задачи, до значений, близких к решению вырожденной задачи.

Общепризнанным методом описания асимптотики решений начальных и краевых задач для дифференциальных уравнений с малым параметром при производных является метод пограничных функций (А.Б. Васильева [9-15|, В.Ф. Бутузов [8,9,14,15], Л.А. Люстерник [18], М.И. Вишик [18]).

Теория экспоненциально убывающих функций пограничных слоев широко применяется для исследования задач управления с быстрыми и медленными переменными ( [1], [16], [21], [22], [33,34,36], [52], [55], [73] и

ДР-)

В большинстве работ метод пограничных функций используется для построения асимптотических разложений решений систем краевой задачи принципа максимума Л.С. Понтрягина. (см., например, [16], [83], [35|, ]81]). Другое применение метода пограничных функций к задачам оптимального управления основано на непосредственной подстановке в условия задачи постулируемого асимптотического разложения в виде ряда с пограничными функциями и определении серии задач оптимального управления для нахождения членов асимптотики (см., например, [6,7,07]).

Предлагаемые подходы хорошо развиты и позволяют эффективно строить асимптотику решений для задач с открытой областью управления и гладкими управляющими воздействиями, т.е. задач классического вариационного типа. Для задач с замкнутой и ограниченной областью управления реализация указанных подходов встречает серьезные трудности, поскольку динамические уравнения краевой задачи принципа максимума не обладают необходимой для применения асимптотических методов гладкостью. В связи с этим задачи оптимального управления с быстрыми и медленными переменными и замкнутыми ограничениями на управление исследованы менее полно.

В данном направлении можно отметить работы А.Л. Дончева [17, 38, 72, 73], где изучается поведение множеств достижимости возмущенной системы и строится предельное множество, к которому сходятся множества достижимости в метрике Хаусдорфа. Проекция предельного множества на подпространство медленных переменных совпадает с множеством достижимости в вырожденной задаче. На основании этого для задач с выпуклым терминальным функционалом качества получена предельная задача оптимизации, к оптимальному значению функционала качества в которой сходится оптимальное значение функционала качества в возмущенной задаче. Показано, что предельная оптимизационная задача совпадает с вырожденной задачей оптимального управления только в случае независимости функционала качества от быстрых переменных.

В работах П.В. Кокотовича [75-77] для систем с быстрыми и медленными переменными и замкнутыми ограничениями на управление в виде многогранника исследуются вопросы вполне управляемости и асимптотического поведения решения задач оптимального быстродействия.

Задачи быстродействия и терминального управления для систем с быстрыми и медленными переменными и ограничениями на управление в виде многогранника рассматриваются также в работах [41-49]. Предлагается метод построения асимптотики точек переключения оптимального управления, а также построения субоптимальных управлений заданного порядка (отличающихся по функционалу качества от оптимальных на соответствующий порядок малости).

Существенным в данных работах является вид ограничении на управление. В случае выпуклого многогранника в качестве ограничивающего множества оптимальные управления как в возмущенной, так и в вырожденной задаче есть релейные функции, со значениями в вершинах многогранника. Точки переключения оптимальных управлений полностью определяют структуру оптимальных управлений и используются для описания асимптотического поведения решений задачи.

Вместе с тем для многих прикладных задач характерно наличие гладких геометрических ограничений иа управления в виде шара в соответствующем евклидовом пространстве. В первую очередь это относится к задачам управления механическими системами, в которых управляющими воздействиями, как правило, являются ограниченные по величине силы.

В отличие от ограничений на управление в виде многогранника, в случае ограничений в виде шара усложняется вид оптимального управления, которое, уже не является кусочно-постоянной функцией, а становится, вообще говоря, произвольной непрерывной функцией с возможным конечным или счетным числом точек разрыва. Структура оптимального управления не описывается точками переключения, как в случае релейной функции. Эти обстоятельства вносят свою специфику в исследования. В работах A.M. Ильина, А.Р. Данилина [2G-30] было показано, что асимптотика времени быстродействия в таких задачах может иметь сложный характер.

В диссертации рассматривается задача оптимального управления на фиксированном временном промежутке [О, Т] для линейной системы с быстрыми и медленными переменными, выпуклым терминальным функционалом качества, зависящим от медленных переменных, и гладкими геометрическими ограничениями на управление. Целыо исследования является получение полного асимптотического разложения для решения задачи с точностью до любой степени е.

Структура оптимального управления и оптимального значения функционала качества в возмущенной задаче описывается через вектор множителей Лагранжа т£1 который удовлетворяет нелинейному уравнению, зависящему от малого параметра е.

В силу известных результатов A.JI. Дончева о предельной задаче решение г£ полученного уравнения ищется в виде суммы вектора Ту, соответствующего вырожденной задаче, и добавки Дг.

Предлагается подход к исследованию асимптотики решения уравнения через разложение уравнения в ряд по двум независимым малым параметрам е и Дг, который позволяет обосновать разрешимость уравнения, получить точную оценку порядка малости для вектора Дг, а также определить вид асимптотической последовательности, по которой происходит разложение решения в том или ином случае, найти все коэффициенты разложения и обосновать оценку остатка. Таким образом, удается получить оценку и асимптотику решения уравнения, которые естественным образом определяются накладываемыми условиями задачи, а не ограничиваться построением асимптотического представления решения по заранее взятой асимптотической последовательности (например, степенной) методом неопределенных коэффициентов.

В диссертации рассмотрены случаи, когда асимптотика решения задачи носит степенной характер, а также случай, когда асимптотическое разложение решения происходит по последовательности, содержащей степени и логарифмы е. Рассматриваемые случаи связаны с особенностями оптимального управления в возмущенной и вырожденной задаче.

Для оптимального управления u"pi(t) в возмущенной задаче характерно наличие пограничного слоя и малой окрестности конечного момента времени Т.

Оптимальное управление в вырожденной задаче предполагается непрерывным. Тогда вне области пограничного слоя оптимальное управление итакже непрерывно и сходится равномерно в этой области к

Однако, даже при условии хорошего поведения оптимального управления вне области пограничного слоя, особенности оптимального управления в малой области пограничного слоя дают интересные эффект],1.

Рассмотрены случаи, когда в области пограничного слоя сходимость и"р1{1) к у"!'1^) равномерная, а также случай, когда коэффициенты разложения оптимального управления в области пограничного слоя имеют нарастающие особенности в некоторой точке и следовательно, сходимость оптимального управления к и^^Ь) в этой области неравномерная.

В первом случае асимптотическое разложение решения происходит по степенной последовательности, во втором случае — по асимптотической последовательности, содержащей степени и логарифмы е.

Отметим, что случай, когда оптимальное управление в вырожденной задаче разрывно, рассмотрен в [25].

Для построенных формальных асимптотических рядов проведено обоснование оценки остатка. Таким образом, полученные асимптотики не просто удовлетворяют условиям задачи с нужной точностью, но и являются истинными асимптотическими приближениями для решения задачи.

Диссертация содержит введение, три главы и список литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Парышева, Юлия Владимировна, 2012 год

1. Акуленко Л. Д. Асимптотические методы оптимального управления. - М.: Наука, 1987.

2. Беллман Р. Динамическое программирование. — М: ИЛ, i960.

3. Болтянский В.Г. Математические методы теории оптимального управления. — М.: Наука, 1969.

4. Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Понтрягин Л. С. К теории оптимальных процессов. // Докл. АН СССР. — 1955. — Т. 110, № 1. -- С. 7-10.

5. Васильева А.Б., Бутузов Б.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. — М.: Наука, 1973.

6. Белокопытов C.B., Дмитриев М.Г. Прямой метод решения задач оптимального управления с быстрыми и медленными движениями // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1985. - №3. - С. 147-152.

7. Белокопытов C.B., Дмитриев М.Г. Решение классических задач оптимального управления с погранслоем // Автоматика и телемеханика. 1989. - №7. — С. 71-82.

8. Бутузов Б.Ф. Асимптотические формулы для решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при производных, справедливые па бесконечном промежутке // Вести. МГУ. 1963. - № 4.

9. Бутузов Б.Ф., Васильева А.Б., Федорюк M.B. Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений // "Итоги науки. Матем. анализ, 1967". ВИНИТИ АН СССР. М., 1969.

10. Васильева А.Б. Асимптотические формулы для решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих при производных параметры различных порядков малости // Докл. АН СССР. 1959. - Т. 128, № 6. - С. 1110-1113.

11. Васильева А.Б. Асимптотические формулы для решений обыкновенных дифференциальных уравнений с малым множителем при старшей производной, справедливые на бесконечном промежутке // Докл. АН СССР. 1962. - Т. 142, № 4. - С. 709-712.

12. Васильева А.Б. Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных// Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1963. — Т. 3, № 4. С. 611-642.

13. Васильева А.Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной// УМН. — 1963. — Т. 18, № 3. С. 15-86.

14. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. — М.: Наука, 1973.

15. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. — М.: Высшая школа, 1990.

16. Васильева А.Б., Дмитриев М.Г. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Мат. анализ. 1982 - Т.20 - С. 3-77.

17. Вельов В.М., Дончев А.Л. Непрерывность семейства траекторий линейных систем управления по сингулярным возмущениям // Докл. АН СССР. 1987. - Т.293, №2. - С. 274-278.

18. Вишик М.И., Люстерпик Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // УМН. 1957. — Т. 12, № 5. - С. 3-122.

19. Гайцгори В.Г. Управление системами с быстрыми и медленными движениями. — М.: Наука, 1991.

20. Гамкрелидзе Р.В. Теория оптимальных по быстродействию процессов в линейных системах. // Изв. АН СССР, сер. матем. 1958. — Т.22, № 4 с. 449-474.

21. Гичев Т.Р., Дончев А.Л. Сходимость решения линейной сингулярно возмущенной задачи быстродействия. // Прикладная матем. и механ.- 1979. Т.43, Вып.З. - С. 466-474.

22. Глизер В.Я., Дмитриев М.Г. Сингулярные возмущения в линейной задаче оптимального управления с квадратичным функционалом. // Докл. АН СССР. 1975. - Т.225, № 5. - С.997-1000.

23. Данилин А.Р. Асимптотика ограниченных управлений для сингулярной эллиптической задачи в области с малой полостью. // Мат. сб. 1998. - Т.189, № И. - С. 27-60.

24. Данилин А.Р. Асимптотика оптимального значения функционала качества при быстростабилизирующемся непрямом управлении в регулярном случае// Дифференц. уравнения. — 2006. — Т. 42, №11.- С. 1473-1480.

25. Данилин А.Р. Асимптотика оптимального значения функционала качества при быстростабилизирующемся непрямом управлении в сингулярном случае// Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 2006. Т. 46, № 12. - С. 2166-2177.

26. Данилин А.Р., Ильин A.M. О малом возмущении решения линейной задачи быстродействия. // Тезисы докладов II международного семинара "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации" — Челябинск: Изд-во ЧГУ, 1993.

27. Данилин А.Р., Ильин A.M. Асимптотика решения задачи о быстродействии при возмущении начальных условий. // Изв. РАН. Техн. киберн. 1994. - № 3. С.96-103.

28. Данилин А.Р., Ильин A.M. Асимптотическое поведение решения за,дачи быстродействия для линейной системы при возмущении начальных данных. // Докл. РАН. 1996. - Т. 350, № 2. - С.155-157.

29. Данилин А.Р., Ильин A.M. Асимптотика решения одной задачи оптимального управления. // В кн.: Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и их приложения.- Уфа: Изд-во ИМ с ВЦ РАН, 1996.

30. Данилин А.Р., Ильин A.M. О структуре решения одной возмущенной задачи быстродействия. / / Фундаментальная и прикладная математика. 1998. - Т. 4, № 3. - С.905-926.

31. Данилин А.Р., Коврижных 0.0. Об асимптотике решения системы линейных уравнений с двумя малыми параметрами // Дифферепц. уравнения. 2008. - Т. 44, № 6. - С. 738-747.

32. Данилин А.Р., Коврижных О.О. О зависимости задачи быстродействия для линейной системы от двух малых параметров. // Вестник Челябинского Государственного Университета. — 2011.- Т. 242, № 27. С. 46-60.

33. Дмитриев М.Г. Пограничный слой в задачах оптимального управления. // Изв. АН СССР. Техн. киберн. 1983. - № 4. - С.63-69.

34. Дмитриев М. Г. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления. // Дис. д.ф.-м.н. — Красноярск: СО АН СССР, 1983.

35. Дмитриев М.Г. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления. // Автореферат дисс. д-ра физ.-мат. наук. — М.: Изд-во МГУ, 1984.

36. Дмитриев М.Г. Теория сингулярных возмущений и некоторые задачи оптимального управления. // Дифференц. уравнения. — 1985. Т.21, № 10. - С. 1693-1698.

37. Дмитриев М.Г., Курина Г.А. Сингулярные возмущения в задачах управления. // Автоматика и телемеханика. — 2006. № 1. - С. 3 -51.

38. Дончев А. Системы оптимального управления: Возмущения, приближения и анализ чувствительности. — М.: Мир, 1987.

39. Ильин A.M., Данилин А.Р. Асимптотические методы в анализе. — М.: Физматлит, 2009.

40. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. — М.: Наука, 1974.

41. Калинин А.И. Алгоритм асимптотического решения сингулярно возмущенной линейной задачи оптимального быстродействия // Прикл. математика и механика. — 1989. — Т.53, Вып. 6. С. 880889.

42. Калинин А.И. Метод асимптотического решения сингулярно возмущенной линейной задачи терминального управления // Жури, вычисл. математики и мат. физики. — 1990. — Т. 30, № 3. — С. 366-378.

43. Калинин А.И. Асимптотическое решение линейной задачи оптимального управления с большой длительностью процесса // Докл. АН БССР. 1991. - Т. 35, № 6. - С. 488-491.

44. Калинин А.И. Алгоритм асимптотического решения сингулярно возмущенной нелинейной задачи оптимального быстродействия // Дифференц. уравнения. 1993. - Т. 29, № 4. - С. 585-596.

45. Калинин А.И. Алгоритм асимптотического решения задачи терминального управления нелинейной сингулярно возмущенной системой // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1993.Т. 33, № 12. С. 1762-1775.

46. Калинин А.И. Асимптотика решений возмущенных задач оптимального управления // Изв. РАН. Техн. кибернетика. -1994. № 3. - С. 104-114.

47. Калинин А.И. Асимптотический метод решения сингулярно возмущенной линейно-квадратичной задачи оптимального управления // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1998. Т. 38, № 9. - С. 1473-1483.

48. Калинин А.И. Асимптотические методы оптимизации возмущенных динамических систем. — Минск.: Экоперспектива, 2000.

49. Калинин А.И. Асимптотическая минимизация квадратичных функционалов на траекториях линейных сингулярно возмущенных систем // Весщ HAH Беларусь Сер. ф1з.-мат. н. — 2001. № 1. -С. 51-56.

50. Калинин А.И. Оптимизация возмущенных систем управления // Тр. Ин-та математики HAH Беларуси. — 2001. Т. 7. — С. 61-70.

51. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. — М.: Физматлит, 1977.

52. Киселев Ю.Н. Линейная теория быстродействия с возмущениями. — М.: Изд-во МГУ, 1986.

53. Красовский H.H. К теории оптимального регулирования. // Автоматика и телемеханика. — 1957 — Т. 18, № 11. — с.223-226.

54. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

55. Крейи С.Г., Курина Г.А. О сингулярных возмущениях в задачах оптимального управления. // В кн.: Устойчивость движения. Аналитическая механика. Управление движением. — М.: Наука. 1981.

56. Куржаиский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. — М.: Физматлит, 1977.

57. Курята Г.А. Сингулярные возмущения задач управления с уравнением состояния, не разрешенным относительно производной. Обзор. // Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1992. - № 4. С. 20-48.

58. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. — М.: Наука, 1972.

59. Найфэ А. X. Методы возмущений. — М.: Мир, 1976.

60. Поптрягин Л. С. Оптимальные процессы регулирования. // УМН. — 1959. Т. 14, Вып.1. С. 3-20.

61. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. — М.: Физматгиз, 1961.

62. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. — М.: Мир, 1973.СЗ. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных // Матем. сб. — 1952. Т. 31 (73), № 3. С. 575-586.

63. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы.- М.: Мир, 1979.

64. Эрдейи А. Асимптотические разложения. — М.: Физматгиз, 1962.66. 11th IFAC World Congr. Preprints. V. 6. - Tallinn, Estonia, USSR, 1990.

65. Belokopytov S. V., Dmitriev M.G. Direct scheme in optimal control problems with fast and slow motions // Syst. Control Lett. — 1986. V. 8, № 2.- P.129-135.

66. Bensoussan A. Perturbation Methods in Optimal Control Problems. — New York, John Wiley, 1989.

67. Fan Ky Minimax theorems. // Proc. Nat. Acade. Sei. USA. — 1953. — V. 39. P. 42-47.

68. Gajic Z., Lim M. Optimal Control of Singularly Perturbed Linear Systems and Applications. High-Accuracy Techniques. — Marcel Dekker, 2000. Control Engineering series.

69. Gajic Z., Petkovski D., Shen X. Singularly Perturbed and Weakly Coupled Linear Control Systems: a Recursive Approach. — Berlin et al. Springer, 1990 VII, Lect. Notes Control Inform. Sei. - No.140.

70. Dontchev A.b., Veliov V.M. A singularly perturbed optimal control problem with fixed final state and constrained control // Contr. Cyber. — 1982. V. 11, № 1-2. - P.19-28.

71. Dontchev A.L., Veliov V.M. Singular perturbation in Mayor's problem for linear systems. // SIAM J. Control and Optimiz. — 1983 -V. 21, № 4.- P. 566-581.

72. Kokotovic P. V. Application of singular perturbation techniques to control problems // SIAM Review. 1984. - V. 26, № 4. - P. 501-550.

73. Kokotovic P. V., Haddad A.H. // IEEE Trans. Automat. Control. 1975.- V. 20, iss. 1. P. 111-113.

74. Kokotovic P. V., Khalil H.K., O'Reilly J. Singular Perturbation Methods in Control: Analysis and Design. — London etc.: Academic Press, 1986.

75. Kokotovic P. V., Khalil H.K., O'Reilly J. Singular Perturbation Methods in Control: Analysis and Design. — SIAM, 1999.

76. Kokotovic P. V., O'Malley R.E. Jr., Sannuti P. Singular perturbations and order reduction in control theory. An overview // Automatica. — 1976. V.12, № 2. P.123-132.

77. O'Malley R.E. Jr. Singular perturbations and optimal control // Lect. Notes Math. 1978. - V. 680. - P.171-218.

78. Moiseev N.N., Chernousko F.L. Asymptotic methods in the theory of optimal control // IEEE Trans. Automat. Control. 1981. - V. 26, № 5. - P.993-1000.

79. Naidu D.S. Singular Perturbation Methodology in Control Systems. // IEE Control Eng. ser. 1988. 34.

80. Naidu D.S. Singular perturbations and time scales in control theory and applications: An overview // Dynam. Continuous, Discrete and Impulsive Syst. Ser. B: Appl. Algorithm. 2002. - V. 9. - P.233-278.

81. Saksena V.R., O'Reilly J., Kokotovic P.V. Singular perturbations and time-scale methods in control theory: survey 1976-1983 // Automatica. 1984. - V. 20, № 3. - P. 273-293.

82. Singular Perturbations in Systems and Control / Edited by M.D. Arde-ma. International Centre for Mechanical Sciences. Courses and Lectures. № 280. Wien-New York. Springer-Verlag. 1983.

83. Singular Perturbations and Asymptotic Analysis in Control Systems / Ed. P. Kokotovic, A. Bensoussan, G. Blankenship. Lect. Notes Control Inform. Sci. Berlin etc. Springer-Verlag. 1987.

84. Singular Solutions and Perturbations in Control Systems. Proc. of Int. Workshop "Singular Solutions and Perturbations in Control Systems". — Pereslavl-Zalessky, 1993.

85. Singular Solutions and Perturbations in Control Systems. Proc. of Int. Workshop "Singular Solutions and Perturbations in Control Systems". Pereslavl-Zalessky, 1995.

86. Singular Solutions and Perturbations in Control Systems. Proc. of Int. Workshop "Singular Solutions and Perturbations in Control Systems". — Pereslavl-Zalessky, 1997.

87. Данилин A.P., Парышева Ю.В. Асимптотика оптимального значения функционала качества в линейной задаче оптимального управления в регулярном случае. // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2007. - Т. 13, № 2. - С. 55-65.

88. Данилин А.Р., Парышева Ю.В. Асимптотика оптимального значения функционала качества в линейной задаче оптимального управления // Докл. РАН. 2009. - Т. 427, № 2. - С. 151-154.

89. Парышева Ю.В. Асимптотика оптимального управления в задаче минимизации терминального функционала на траекториях системы с быстрыми и медленными переменными // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2010. - Т. 16, № 2. - С. 186-198.

90. Данилин А.Р., Парышева Ю.В. Об асимптотике оптимального значения функционала качества в линейной задаче оптимального управления // Дифференц. уравнения. — 2011. — Т. 47, № 4. — С. 563573.

91. Парышева Ю.В. Асимптотика решения линейной задачи оптимального управления в сингулярном случае // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2011. - Т. 17, № 3. - С. 266-270.