Асимптотические решения бисингулярных задач для уравнений параболического типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Капустина, Татьяна Олеговна

• Капустина, Татьяна Олеговна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Капустина, Татьяна Олеговна

0. Введение.

1. Задача в полуполосе для параболического уравнения с особой характеристикой.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Формальное асимптотическое представление.

1. Регулярная часть. и. Выполнение граничного условия. ш. Устранение невязки в начальном условии у. Функции внутреннего переходного слоя, обеспечивающие гладкость решения на особой характеристике

V. Функции пограничного слоя в окрестности точки пересечения особой характеристики с границей.

1.3. Обоснование асимптотики.

2. Задача Коши для сингулярно возмущенного параболического уравнения с разрывными коэффициентами.

2.1. Постановка задачи в случае отрицательности коэффициента при первой пространственной производной справа от линии разрыва, и обращения в ноль слева

2.2. Формальное асимптотическое представление.

1. Регулярные функции. п. Построение пограничных функций в окрестности линии разрыва коэффициентов и исследование их свойств ш. Угловые функции, обеспечивающие выполнение начального условия, и их свойства.

2.3. Обоснование асимптотики.

2.4. Случай, когда коэффициент при первой производной имеет разные знаки справа и слева от линии разрыва.

2.5. Случай непрерывности коэффициента при первой производной

3. Задача Коши для параболического уравнения с малыми параметрами при пространственных производных.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Случай, когда параметр при старшей производной имеет более высокий порядок малости, чем квадрат параметра при первой производной (0 < а < 1)

3.3. Случай равенства параметра при старшей производной и квадрата параметра при первой производной (а = 1)

3.4. Случай, когда квадрат параметра при первой производной имеет более высокий порядок малости, чем параметр при старшей производной (а > 1)

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотические решения бисингулярных задач для уравнений параболического типа»

Широко известно, что математическими моделями многих физических процессов являются дифференциальные уравнения, содержащие малые параметры. Входящие в уравнение параметры служат количественными характеристиками различных факторов, оказывающих влияние на ход изучаемого процесса; если некоторый фактор незначительно влияет на процесс, то соответствующий параметр будет малым.

В таких случаях естественно принять малый параметр равным нулю и получить более простую задачу, которая называется вырожденной. При этом можно надеяться, что решение исходной (невырожденной) задачи при достаточно близких к нулю значениях параметра будет мало отличаться от решения вырожденной задачи. Подобная ситуация нередко имеет место, например, в обыкновенных дифференциальных уравнениях при выполнении условий теоремы о непрерывной зависимости решения от параметра. Задачи, решение которых при малых значениях параметра будет близко (в соответствующей норме) к решению вырожденной задачи во всей области изменения независимых переменных, называются регулярно возмущенными.

Однако во многих случаях близость малого параметра к нулю не означает равномерную близость решений вырожденной и невырожденной задач; тогда исходная задача называется сингулярно возмущенной. К классу сингулярно возмущенных задач относятся, например, дифференциальные уравнения, содержащие малый параметр в качестве множителя при старшей производной. При переходе к вырожденной задаче порядок такого уравнения понижается; поэтому решение вырожденного уравнения, вообще говоря, не может удовлетворять всем дополнительным условиям, заданным для исходного уравнения, и от некоторых из дополнительных условий приходится отказаться. Поэтому в окрестности той части границы рассматриваемой области, где дополнительные условия оказались отброшенными, решение вырожденной задачи заведомо не будет приближать решение исходной задачи. Таким образом, в отличие от регулярных возмущений, сингулярные возмущения вызывают существенные изменения решения в некоторой части рассматриваемой области.

Область быстрого изменения решения исходной задачи в окрестности той части границы, где решение вырожденной задачи не удовлетворяет дополнительным условиям, носит название пограничного слоя. Этот термин происходит из задач газовой и гидродинамики; в качестве примера можно привести задачу об обтекании твердого тела потоком газа или жидкости, где характеристики процесса резко меняются в малой окрестности поверхности тела.

Изучение сингулярно возмущенных уравнений представляет не только теоретический интерес, но и имеет большое прикладное значение. Такие задачи естественным образом возникают везде, где имеются неравномерные переходы от одних физических характеристик к другим. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения являются математическими моделями процессов в таких областях естествознания, как газовая и гидродинамика, в частности, течения вязкой жидкости и газа, теория упругости, электромагнитная теория, квантовая механика, астрофизика, теория автоматического регулирования.

Исследование сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений сформировалось в самостоятельную теорию на основе работ А.Н.Тихонова [65]—[67]. Эти работы посвящены системам нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых одно из уравнений имеет множителем при старшей производной малый параметр. Решение данной системы содержит "быструю" и "медленную" компоненты (сейчас такие системы называются системами Тихоновского типа). А.Н.Тихонов вывел условия, при которых решение невырожденной задачи стремится к решению вырожденной задачи при стремлении малого параметра к нулю. Эти статьи оказали существенное влияние на данное направление прикладной математики.

Вслед за этими статьями появился ряд работ М.И.Вишика и Л.А.Люстерника [23]—[24], в которых был сформулирован общий подход к построению асимптотических представлений для решений линейных уравнений в частных производных с малыми параметрами при некоторых из старших производных. Этот подход — идея асимптотического разложения решения по малому параметру — получил название метода Вишика — Люстерника.

Работы А.Б.Васильевой [18]—[22] посвящены широкому классу задач, как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для уравнений в частных производных. А.Б.Васильевой разработаны методы асимптотического решения начальных и краевых задач для линейных и нелинейных сингулярно возмущенных уравнений и их систем — метод пограничных функций [18], [19], исследованы вопросы, связанные с периодическими решениями и устойчивостью решений.

В работах В.Ф.Бутузова [10]—[15], [22] рассматриваются различные краевые задачи для уравнений в частных производных эллиптического, параболического и гиперболического типа областях с негладкой границей; разработаны методы для приближения решения в окрестности угловых точек границы: метод угловых пограничных функций и идея сглаживания слагаемых асимптотики.

А.Б.Васильевой, В.Ф.Бутузовым и их учениками создана и интенсивно развивается теория существования и устойчивости контрастных структур для краевых задач [12], [48].

Эффективным способом приближенного решения сингулярно возмущенных задач является метод согласования асимптотических разложений, созданный А.М.Ильиным [28]—[31]. Решение задачи строится в виде степенного ряда по степеням малого параметра; внутри и вне области пограничного слоя представления для решения будут разными, в области пересечения они должны быть согласованы.

Метод регуляризации для сингулярно возмущенных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, разработанный С.А.Ломовым [39]—[40], превратился в самостоятельное направление теории сингулярных возмущений и получил свое развитие в исследованиях его учеников [54]—[55].

Работы В.Г.Сушко [1], [8]—[9], [56]—[63] посвящены изучению линейных и нелинейных уравнений в частных производных параболического, эллиптического и смешанного типа с внутренними переходными слоями, возникающими из-за негладкости решения вырожденной задачи или в результате нелинейности уравнения; предложены методы построения асимптотики произвольного порядка в случаях, когда особенности задачи не позволяют применить классические методы; ряд работ посвящен обыкновенным дифференциальным уравнениям с обращающимся в ноль коэффициентом при старшей производной [53], [83].

В работах Н.Х.Розова [45], [51]—[53], [81]—[82] проводится асимптотическое исследование автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами, описывающих релаксационные колебания и имеющих периодические решения.

В трудах Л.С.Понтрягина [50], посвященных теории колебаний, исследуется асимптотика релаксационных колебаний.

В работах Н.С.Бахвалова [3] изучаются нелинейные сингулярно возмущенные уравнения с малым параметром; развита теория осреднения процессов в многомерных периодических средах.

В.П.Масловым [42] изучалась теория сингулярных возмущений, асимтотические методы решения уравнений математической физики, разработан метод канонического оператора.

Среди зарубежных исследователей наиболее известны работы В.Вазова [17], П.Файфа [73]—[74], Р.О'Малли [77]—[79], К.Чанга [84]—[85], Ф.Хауэса [70]; большинство из этих работ посвящено теории нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений.

Среди методов обоснования справедливости построенных асимптотических представлений можно назвать метод априорных оценок, принцип максимума, метод последовательных приближений, метод интегральных неравенств, метод барьерных функций. Последний из названных методов, большой вклад в разработку которого внесли С.Н.Бернштейн [5], С.А.Чаплыгин, М.Нагумо [76], является не только способом обоснования асимптотических представлений, но и в ряде случаев применяется для доказательства существования точного решения краевых задач [75], [80]—[82].

Следует отметить, что асимптотические методы, которые оказались эффективным инструментом исследования сингулярно возмущенных задач, появились задолго до середины нашего века. Одними из создателей асимптотической теории были французские ученые П.Лаплас и А.Пуанкаре. В трудах П.Лапласа, связанных с задачами небесной механики, асимптотические методы разрабатывались и применялись как способ приближенного вычисления значений функции в окрестности ее особых точек. А.Пуанкаре заложил основы современной асимптотической теории, ввел в употребление ее основные термины и доказал фундаментальные теоремы. Существенный вклад в развитие асимптотических методов внес российский ученый А.М.Ляпунов: теория устойчивости по сути является теорией асимптотического исследования систем дифференциальных уравнений.

В настоящее время асимптотическую теорию сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений еще нельзя считать окончательно сформировавшейся. Многие вопросы, возникающие при изучении конкретных прикладных задач, все еще остаются открытыми.

Сегодня асимптотические методы исследования сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений продолжают развиваться, несмотря на интенсивное развитие численных методов, вызванное появлением быстродействующих вычислительных машин. Дело в том, что сингулярно возмущенные задачи при численном моделировании как правило приводят к системам линейных уравнений с плохо обусловленной матрицей. Поэтому при решении разностного аналога сингулярно возмущенной задачи играет заметную роль погрешность машинного округления чисел, которая может сделать точность приближенного решения неприемлемой. Кроме этого, для устойчивости разностной схемы требуется очень мелкий шаг сетки, что приводит к огромным затратам машинных ресурсов.

Для моделирования жестких задач, решения которых одновременно имеют области как быстрого, так и медленного изменения, нужны специальные численные алгоритмы, которые учитывают априорную информацию о структуре решения. Асимпточеский анализ решения может служить основой для разработки устойчивых и эффективных численных алгоритмов на неравномерных сетках, применимых к жестким задачам.

Простой пример проблем, возникающих при применении классических численных методов к решению сингулярно возмущенных уравнений, приведен в статье [30]; там же предложен способ создания специальных вычислительных методов, основанных на асимптотическом представлении решения задачи. Таким образом, численные и асимптотические методы не исключают, а взаимно дополняют друг друга.

Среди разнообразных задач для сингулярно возмущенных уравнений можно выделить класс задач, называемых бисингулярными. Решения таких задач, кроме пограничных слоев, содержат внутренние переходные слои, возникающие из-за того, что, в то время как решение исходной задачи является гладким, решение вырожденной задачи на некотором подмножестве рассматриваемой области оказывается негладким и даже разрывным. Типичным примером является система уравнений, моделирующая течение невязкого газа, которая может иметь разрывное решение типа ударной волны. Если ввести в систему искусственную вязкость — производные более высоких порядков с малым параметром, — то для полученной задачи первоначальная система без вязкости будет являться вырожденной задачей. Решение невырожденной "вязкой" задачи уже не будет разрывным, а будет иметь внутренний переходный слой, ширина которого стремится к нулю при уменьшении вязкости.

Задачи с внутренними слоями появляются при моделировании свойств слоистых и периодических сред, композитных материалов, нелинейных колебаний, процессов химической кинетики. Математическими моделями этих процессов при определенных условиях могут являться сингулярно возмущенные уравнения с разрывными или резко меняющимися коэффициентами.

Задачи, в которых при обращении малого параметра в ноль изменяются дифференциальные свойства решения, согласно терминологии А.М.Ильина, и называются бисингулярными, то есть "дважды сингулярными": одна особенность связана с наличием малого параметра при старшей производной, другая — с негладкостью решения вырожденной задачи.

Данное направление привлекает внимание исследователей; би-сингулярным задачам посвящен, например, ряд работ А.М.Ильина [31], А.Б.Васильевой [8], [21], В.Ф.Бутузова [10]—[И], [13]—[15], В.Г.Сушко [56], [57], [61]—[63], А.В.Нестерова [46], [47], Б.И.Березина [4], О.Н.Булычевой [7], [9], и многих других. Проблемам такого типа посвящена и настоящая работа.

В диссертации изучаются некоторые задачи для сингулярно возмущенных уравнений параболического типа, имеющие общую особенность: решение вырожденной (при обращении малого параметра в ноль) задачи на некоторых линиях обладает меньшей гладкостью, чем решение исходной задачи. Потеря гладкости решения вырожденной задачи происходит в результате того, что исходные уравнения имеют разрывные коэффициенты или рассматриваются в областях с негладкими границами. Поэтому такие задачи относятся к классу бисингулярных.

Целью работы является построение асимптотических по малым параметрам представлений для решений рассматриваемых бисингулярных задач.

Перейдем к изложению содержания диссертации.

1. В первой главе рассматривается начально-краевая задача в полуполосе D = {0 < t < Т, 0 < ж < оо} для сингулярно возмущенного параболического уравнения Аft - С(*> х)' t,x £ D, (0.1)

0, х) = Ф(х), u(t, 0) = h(t), (0.2) где г — малый положительный параметр. Предполагается, что выполнены следующие условия: г) граничная функция, коэффициенты и правая часть уравнения бесконечно дифференцируемы и равномерно ограничены в Z);

И) начальная функция Ф(ж) имеет разрыв первого рода в некоторой точке а > 0, в то время как при х ф а она бесконечно дифференцируема и равномерно ограничена;

Иг) Ф(0) = /г(0); iv) A(t,x) < А < 0, где А — некоторая постоянная; v) C(t,x) > 0.

В первом параграфе данной главы ставится задача о построении асимптотического по малому параметру представления решения задачи (0.1)—(0.2), непрерывного во всей области D, кроме точки (0, а), и обладающего непрерывной первой производной по переменной х в D.

Следует отметить, что решение соответствующего (0.1) вырожденного (при е = 0) уравнения имеет на характеристике х = xq(£), выходящей из точки (0,а), разрыв первого рода. Обозначим через ¿о координату точки пересечения характеристики х = xq (t) с боковой границей х = 0.

Во втором параграфе строится формальное асимптотическое представление для решения задачи (0.1)—(0.2), с описанием свойств каждого слагаемого асимптотики. Приближенное решение имеет вид N

UN(t, X, е) = X] \ Ui(t, х) + Vi(t, £) + Pi(r, () + w{(t, rj) + Zi(t, e i=0 L x t X — XqU) где q — —г-, r = —, rj = -. г £г £

Регулярные слагаемые асимптотики описывают решение вне окрестности границы х = 0 и характеристики х = жо(£). Данные функции определяются стандартным способом, в частности, нулевое приближение щ(1;,х) является решением вырожденного уравнения с начальным условием (0.2). Регулярные слагаемые являются бесконечно дифференцируемыми при х ф жо(£) и имеют разрыв первого рода на характеристике х = ж0(£). Граничному условию (0.2) регулярная часть не удовлетворяет.

Для выполнения граничного условия (0.2) в окрестности прямой х = 0 строятся обыкновенные пограничные функции г^ (£,£). Они являются решениями уравнений, полученных из однородного уравнения (0.1) после перехода к быстрой переменной £ и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях е в левой и правой части равенства. Аналогичным образом получаются уравнения и для всех остальных пограничных функций.

Таким способом для функций ^¿(¿,£) получим обыкновенные дифференциальные уравнения по переменной £, содержащие переменную £ в качестве параметра. Дополнительные условия при £ = 0 задаются так, чтобы пограничные функции ^(¿,£) вместе с регулярными функциями удовлетворяли граничному условию (0.2); при £->-оо г>^(£,£) должны стремиться к нулю. Для данных функций выполняются следующие неравенства:

Лемма 1. Для обыкновенных пограничных функций г>г(£,£) при любых £ Е [О,Т] и £ > 0 справедливы оценки

Здесь и далее через С обозначена положительная постоянная, не зависящая от г и, вообще говоря, имеющая различные значения в разных неравенствах.

Поскольку -иг(0,£) ф 0, обыкновенные погранфункции вносят невязку в начальное условие (0.2). Для того, чтобы обеспечить выполнение начального условия, в окрестности начала координат вводятся в рассмотрение угловые пограничные функции Рг(т, £). Они определяются как решения параболических уравнений с замороженными в точке (0,0) коэффициентами. Дополнительные условия ставятся так, чтобы функции ^¿(г, £) при г = 0 компенсировали погрешность в начальном условии. Для них справедливы оценки: г" > 0.

Лемма 2. Для угловых пограничных функций ^¿(т", £) при всех > 0 имеют место неравенства

Л(0,0Ж Л(0,0)2Т

Рг{гЛ)\<Се 2 4 (1+Г + гг/2), г > О.

Функции внутреннего переходного слоя г^(£,7/) предназначены для того, чтобы устранить разрыв приближенного решения и его первой производной по переменной х на характеристике х = жо(£)- Дан ные функции являются решениями уравнений параболического типа с коэффициентами, зависящими от переменной £, в областях г] < О и 77 > 0, 0 < £ < Т, с соответствующими дополнительными условиями для «^(£,77) и их производных по ту при г) = 0. Данные функции удовлетворяют следующим неравенствам:

Лемма 3. Для функций внутреннего переходного слоя ги^^г}) при £ £ (0,Т] и при всех Т] справедливы оценки тг(1,г))\<Се 4'(1 + |7/|г), г > 0.

Так как при х — 0 имеем —ф- 0, то функции внутреннего слоя нарушают граничное условие в окрестности точки (£о,0) пересечения характеристики х = жо(£) с границей области х — 0. Для выполнения граничного условия в окрестности точки (¿о, 0) строятся функции £¿(¿,£,6:), которые находятся как решения обыкновенных дифференциальных уравнений относительно переменной Дополнительные условия при £ = 0 задаются в соответствии с назначением данных функций; кроме этого, при £ —>■ оо должны стремиться к нулю. Для данных функций имеют место оценки:

Лемма 4. Д/иг функций при £ £ (0,Г], £ > 0 справедливы неравенства

В третьем параграфе доказан асимптотический характер построенного формального приближения. Из оценок пограничных функций в леммах 1—4 следует, что каждая из этих функций играет роль в окрестности только той линии или точки, где соответствующие быстрые переменные обращаются в ноль, и экспоненциально убывает при удалении от данной линии или точки. На основании этих оценок можно записать уравнения и дополнительные условия, которым удовлетворяют верхняя и нижняя барьерные функции для погрешности асимптотического представления тУ-ного порядка (и(Ь,х,е) — ж, е)^ . Затем с помощью модификации принципа максимума проводится доказательство правомерности асимптотического разложения.

Теорема 1. Пусть выполнены условия (I)—(у). Тогда существует положительное число такое, что при любых г Е (0, и при всех Ь,х Е И для разности точного и приближенного решений задачи (0.1)—(0.2) справедлива оценка и — О, N Ms

N+1 где постоянная M не зависит от е. Отсюда следует, что формальное приближение является равномерным в области D асимптотическим при е —У 0 представлением решения задачи (0.1)—(0.2).

2. Во второй главе диссертации рассматривается задача Коши в полосе D = {0 < t < Г, —сю < х < +оо} для сингулярно возмущенного параболического уравнения с разрывными коэффициентами и с)иь е2-^ - A(t, х)—~ C(t, х)и - — = f(t, X), t, ж G D, (0.3) м(0,ж) = Ф(ж), (0.4) где е > 0 — малый параметр. Предполагается, что выполнены следующие условия: i) начальная функция, коэффициенты и правая часть уравнения бесконечно дифференцируемы при ж>0и£<0и равномерно ограничены во всей области Z); на линии х = 0 эти функции имеют разрыв первого рода;

И) C(i,х) > 0.

Требуется построить асимптотическое по малому параметру представление решения задачи (0.3)—(0.4), являющееся непрерывным и обладающее непрерывной первой производной по переменной х во всей области D.

Вид решения задачи (0.3)—(0.4) существенно зависит от знака коэффициента А(Ь,х) при ди/дх, поэтому рассматриваются несколько вариантов.

Параграф 2.1 содержит постановку задачи в случае, когда выполнено условие

Иг) А(£,ж) < А < 0 при х > 0, где А — некоторая постоянная; —0) = 0, при х < 0 А(Ь,х) может быть любого знака.

Параграф 2.2 посвящен построению формального асимптотического приближения для решения задачи (0.3)—(0.4) при условии (нг), которое имеет вид

Характерной особенностью данной задачи является то, что ширина пограничного слоя, определяемая видом быстрой переменной 77, различна справа и слева от линии разрыва коэффициентов. Данная особенность возникает благодаря знаку коэффициента А{Ь, х), заданному условием (иг).

Регулярная часть асимптотики, описывающая решение вне окрестности линии разрыва коэффициентов х = 0, строится аналогично первой главе; функции х) являются бесконечно дифференцируемыми при х ф 0 и имеют разрыв первого рода на прямой х — 0.

Пограничные функции 77) служат для обеспечения непрерывности приближенного решения и его производной по х на линии х = 0. При ту < 0 они являются решениями уравнений параболического типа с коэффициентами, зависящими от при 77 > 0 они определяются из обыкновенных дифференциальных уравнений по переменной г]. Дополнительные условия при г\ = 0 ставятся так, чтобы компенсировать разрывы регулярной функции и ее производной по х. Для функций ^¿(¿,77) справедливы оценки экспоненциального убывания при 7] —> ±оо.

Поскольку при 7] > 0 ,77) ф 0, пограничная функция вносит невязку в начальное условие (0.4) в окрестности точки (0,0). Для устранения данной невязки вводятся в рассмотрение функции ¿¿(т, £), которые находятся из параболических уравнений с постоянными ко

X X где т? = — при х > 0, V — ~ ПРИ х < т

1 £ г эффициентами и соответствующих дополнительных условий. Данные функции стремятся к нулю при г2 + £2 —> оо.

В параграфе 2.3 доказан асимптотический характер построенного формального решения. Обоснование формального приближения проводится с помощью оценок пограничных функций и применения модификации принципа максимума для сингулярно возмущенных параболических уравнений с разрывными коэффициентами. Оценка разности точного и приближенного решений задачи (0.3)—(0.4) аналогична неравенству в теореме 1.

В параграфе 2.4 рассматривается задача (0.3)—(0.4) при условии ш) > А > 0 при х < 0, А(Ь,х) < -А < 0 при х > 0, где

А — некоторая постоянная.

Формальное асимптотическое представление решения задачи (0.3)— (0.4) при условии (г'г>) строится в виде

N , ч х I ¿¿(^<9 , где £ = г = —.

0 к } € 6

Данный случай отличается от предыдущего структурой пограничного слоя в окрестности линии разрыва коэффициентов. Пограничные функции г>г-(£, £) и 2г-(г, £) являются решениями уравнений, полученных аналогично соответствующим уравнениям в предыдущем параграфе, с заданными из тех же соображений дополнительными условиями. Для данных функций справедливы оценки стремления к нулю при бесконечном возрастании по абсолютной величине соответствующих быстрых аргументов.

При условиях (г)—(¿г), (гг>) для разности точного и приближенного решений задачи (0.3)—(0.4) выполняется утверждение, аналогичное теореме 1.

В параграфе 2.5 исследуется задача (0.3)—(0.4) в случае непрерывности коэффициента А(Ь, х) при выполнении условия у) —0) = +0) = 0; при остальных х может быть любого знака.

Формальное асимптотическое представление решения задачи (0.3)— (0.4) при условии (-у) строится в виде N г=0 мг-(£, х) + г}) где 77 х р

Пограничные функции ту) при ту < 0 и ту > 0 определяются из параболических уравнений с переменными коэффициентами, с соответствующими граничными и нулевыми начальными условиями; поэтому функции в окрестности точки (0, 0), в отличие от предыдущих случаев, не нужны. Для функций г^(£,ту) справедливы оценки убывания на бесконечности.

При выполнении условий (i)—(гг), (г>) для погрешности формального асимптотического решения задачи (0.3)—(0.4) утверждение теоремы 1 остается в силе.

3. Третья глава диссертации посвящена исследованию задачи Ко-ши в области И = {0 < I < Т, —сю < х < +оо} для параболического уравнения с малыми параметрами при первой и второй производной по пространственной переменной где £ > 0 — малый параметр, а > 0. Предполагается, что выполнены следующие условия: г) начальная функция, коэффициенты и правая часть уравнения бесконечно дифференцируемы при ж>0иж<0и ограничены во всей области I); на линии х = 0 эти функции имеют разрыв первого рода;

И) А(х) < А < 0 при х > 0, где А — некоторая постоянная; А(—0) = 0, при х < 0 А{х) может быть любого знака; ш) С(£,ж) > 0.

Важной особенностью данной задачи является то, что, хотя коэффициент А(х) не входит в вырожденное уравнение, знаки А(—0) и А(+0) при определенных условиях на величину а существенно влияют на вид асимптотики решения; в работе рассматривается конкретный случай, заданный условием (и).

Требуется построить асимптотическое по малому параметру представление решения задачи (0.5)—(0.6), являющееся непрерывным и обладающее непрерывной первой производной по переменной х во всей области И.

0, х) = Ф(ж)

0.6)

Характер пограничного слоя в окрестности линии х = 0 зависит от величины а, определяющей соотношение между малыми параметрами при д2и/дх2 и ди/дх; поэтому представляет интерес изучение нескольких качественно различных вариантов.

В параграфе 3.1 рассматривается постановка задачи в случае О < а < 1. Обозначим ¡1 = £а, ь> = е/ц, и будем считать ¡1 и V независимыми малыми параметрами.

Формальное асимптотическое представление решения задачи (0.5)— (0.6) при 0 < а < 1 строится в виде

М ■ Т 1 у) = I] + ^-(¿,77) + 2^-(г,£)|,

•¿,.7=0 х х Ь х где 7] = -г— при х > 0, т] — — при х < 0, г = —, £ = -г—. ъ>!1 V6 ь>Ац

Регулярная часть асимптотики приближает решение во всей области Р, кроме окрестности прямой х = 0. Функции ^(¿,77) характеризуют пограничный слой в окрестности прямой х = 0 вне окрестности начала координат; они обеспечивает непрерывность решения и его производной по х. Функции Zij(т,£¡) служат для описания решения в окрестности точки (0,0).

Для обоснования асимптотического представления используются те же методы, что и в предыдущей главе.

Теорема 2. Пусть выполнены условия (г)—(Ш). Тогда существуют положительные числа /лр, ^о такие, что при любых ¡1 Е (0,/1о], V £ (0, ^о] и пРи всех 6 5 для разности точного и приближенного решений задачи (0.5)—(0.6) в случае 0 < а < 1 справедлива оценка где постоянная М не зависит от /х, v.

Параграф 3.2 посвящен исследованию случая а = 1. Формальное асимптотическое представление решения задачи (0.5) — (0.6) при а — 1 имеет вид N о

Функции щ(Ь)Х) и С) имеют тот же смысл, что и выше; для приближения решения в окрестности точки (0,0) оказывается достаточно функций Vi(tX)■ щ(Ь,х) +Уг(Ь,С) где С = X р

Для разности точного и приближенного решений задачи (0.5)— (0.6) при а = 1 справедлива оценка, аналогичная неравенству в теореме 1.

В параграфе 3.3 рассматривается случай а > 1. Обозначим /х = еа, 7 = /¿/г, и будем считать £ и 7 независимыми малыми параметрами. Приближенное решение задачи (0.5)—(0.6) при а > 1 строится в виде двойного ряда по степеням £ и 7. Теорема, обосновывающая асимптотику, формулируется и доказывается аналогично теореме 2.

Основные результаты работы состоят в следующем.

1. Построено асимптотическое представление решения начально-краевой задачи для уравнения параболического типа, в которой происходит взаимодействие внутреннего переходного слоя с пограничным слоем. Получена оценка близости точного и асимптотического решений при стремлении малого параметра к нулю.

2. Проведено асимптотическое исследование решения задачи Коши для сингулярно возмущенного уравнения параболического типа с разрывными коэффициентами. Изучена структура решения в зависимости от поведения коэффициента при первой пространственной производной в окрестности линии разрыва. Доказан асимптотический характер полученного приближенного решения.

3. Построено и обосновано асимптотическое разложение по малым параметрам решения задачи Коши для параболического уравнения с разрывными данными, содержащего малые параметры в качестве множителей при первой и второй производной по пространственной переменной. Проведено исследование задачи при различных соотношениях между малыми параметрами.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [33]-[37].

Автор выражает искреннюю благодарность Валерию Григорьевичу Сушко, Александру Михайловичу Денисову и Николаю Христовичу Розову за постановку задач, постоянное внимание, помощь и поддержку, без которых выполнение работы было бы невозможно.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Капустина, Татьяна Олеговна

2. Основные результаты

В заключение сформулируем основные результаты работы.

1. Построено асимптотическое представление решения начально-краевой задачи для уравнения параболического типа, в которой происходит взаимодействие внутреннего переходного слоя с пограничным слоем. Получена оценка близости точного и асимптотического решений при стремлении малого параметра к нулю.

2. Проведено асимптотическое исследование решения задачи Коши для сингулярно возмущенного уравнения параболического типа с разрывными коэффициентами. Изучена структура решения в зависимости от поведения коэффициента при первой пространственной производной в окрестности линии разрыва. Доказан асимптотический характер полученного приближенного решения.

3. Построено и обосновано асимптотическое разложение по малым параметрам решения задачи Коши для параболического уравнения с разрывными данными, содержащего малые параметры в качестве множителей при первой и второй производной по пространственной переменной. Проведено исследование задачи при различных соотношениях между малыми параметрами.

Заключение

1. Иллюстрации

На примере модельной задачи в прямоугольнике для сингулярно возмущенного параболического уравнения о д2и Л, .ди ди и(ь, 0) = Л0(£) = 8т(7тп£) + С0, и(Ь, 1) = = зт(7тг ¿) + Съ и(0, X) = Ф(ж) = С08(77Г£) + С2, проиллюстрируем качественные особенности поведения решения и(Ь,х,е) в зависимости от знака коэффициента ж) при первой пространственной производной.

1) Коэффициент А (/, х) > 0, начальное и граничное условие не согласованы в угловой точке (0, 0).

Эскиз характеристик вырожденного уравнения:

График решения и(^х,е) при различных значениях 8

8=0.01 8=0.00001

2) Коэффициент А (1 х) > 0, начальная функция имеет разрыв в некоторой точке интервала (0, 1). Эскиз характеристик вырожденного уравнения: х

График решения и (г, х,е) при различных значениях е

6=1.0 Б=0.01

0.1 £ =0.00001

3) Коэффициент А (/, х) обращается в 0 при х - 0. Эскиз характеристик вырожденного уравнения: х

График решения и (г, х,е) при различных значениях е

1.0

0.1

Штата

0.01 0.00001

4) Коэффициент А (7, х) меняет знак, начальное и граничное условия не согласованы в угловой точке (0, 1). Эскиз характеристик вырожденного уравнения: х

График решения и (ь х,е) при различных значениях е 0.01 6= 0.00001

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Капустина, Татьяна Олеговна, 2000 год

1. Абдувалиев А.О., Розов Н.Х., Сушко В.Г. Асимптотические представления решений некоторых сингулярно возмущенных задач. // ДАН СССР. — 1989. — Т. 304, ЛА4. — С. 777—780.

2. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. — М.: Наука, 1979. — 830 С.

3. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи композиционных материалов. — М.: Наука, 1984. — 352 С.

4. Березин Б.И., Сушко В.Г. Асимптотическое разложение по малому параметру решения одной задачи с вырождением. // Журнал вычислит, математики и матем. физики. — 1991. — Т. 31, N° 9. — С. 1338—1343.

5. Бернштейн С.Н. Об уравнениях вариационного исчисления. — Собр. соч.: Изд-во АН СССР. — Т. 3. — С. 191—241.

6. Будак Б.М., Самарский A.A., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. — М.: Наука, 1972. — 688 с.

7. Булычева О.Н. Асимптотичесие разложения решения сингулярно возмущенного параболического уравнения с кусочно-гладкими коэффициентами. // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 15 — Вычисл. матем. и киберн. — 1989. — N-2. — С. 8—14.

8. Булычева О.Н., Васильева А.Б., Сушко В.Г. Асимптотические разложения по малым параметрам решений некоторых задач для параболических уравнений. // Журнал вычислит, математ. и матем. физики. — 1991. — Т. 31, №- 9. — С. 1328—1337.

9. Булычева О.Н., Сушко В.Г. Построение приближенного решения для одной сингулярно возмущенной параболической задачи с негладким вырождением. // Фундаментальная и прикладная математика. — 1995. — Т. 1, N- 4. — С. 881—905.

10. Бутузов В.Ф. Асимптотика решения уравнения /л2Аи — к2( х,у)и = f(x,y) в прямоугольной области. // Дифференц. уравнения. — 1973. — Т. 3, N-9. — С. 1654—1660.

11. Бутузов В.Ф. Угловой погранслой в сингулярно возмущенных задачах с частными производными. // Дифференц. уравнения. — 1979. — Т. 15, Aß 10. — С. 1848—1862.

12. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б. Об асимптотике решения типа контрастной структуры. // Матем. заметки. — 1987. — Т. 42, J\f- 6. — С. 831—841.

13. Бутузов В.Ф., Нестеров A.B. Об одном сингулярно возмущенном уравнении параболического типа. // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 15 — Вычисл. матем. и киберн. — 1978. — J\f° 2. — С. 49—56.

14. Бутузов В.Ф., Нестеров A.B. О некоторых сингулярно возмущенных задачах с негладкими погранфункциями. // ДАН СССР. — 1982. — Т. 263, J\f- 4. — С. 786—789.

15. Бутузов В.Ф., Никитин А.Г. Угловой погранслой в асимптотике решения одной сингулярно возмущенной системы уравнений эллиптического типа. // Дифференц. уравнения. — 1988. — Т. 24, №-2. С. 343—345.

16. Бутузова М.В. Об одной бисингулярной задаче. //В сб.: Матем. методы и приложения. — Труды VII матем. чтений МГСУ. — М. 2000. — С. 115—119.

17. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1968. — 464 С.

18. Васильева А.Б. Построение равномерного приближения для решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. // Мат. сборник. — 1960. — Т. 50, A/M. — С. 43—58.

19. Васильева А.Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных. // Успехи матем. наук. — 1963. — Т. 18, №- 3. — С. 15—86.

20. Васильева А.Б. К вопросу о близких к разрывным решениях в системе с малым параметром при производных условно устойчивого типа. // Дифференц. уравнения. — 1972. — Т. 8, J\f- 9. —■ С. 1560—1568.

21. Васильева А.Б. О внутренем переходном слое в решении системы уравнений в частных производных первого порядка. // Дифферент уравнения. — 1985. — Т. 21, Я-9. — С. 1537—1544.

22. Васильева A.B., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. — М,: Высшая школа, 1990. — 208 С.

23. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. // Успехи матем. наук. — 1957. — Т. 12, Я- 5.1. С. 3—122.

24. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Об асимптотике решения краевых задач для квазилинейных дифференциальных уравнений. // ДАН СССР. — 1958. — Т. 121, Я- 5. — С. 778—781.

25. Денисов A.M., Лукшин A.B. Математические модели однокомпо-нентной динамики сорбции. — М.: Изд-во МГУ, 1989.

26. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.: Физматгиз, 1961. — 524 С.

27. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. — М.: Высшая школа, 1965. — 466 С.

28. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. — М.: Наука, 1989. — 334 С.

29. Ильин A.M. Об асимптотике решения одной задачи с малым параметром. // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1989. — Т. 53, Я- 2.1. С. 258—275.

30. Ильин A.M. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной. // Матем. заметки. — 1969. — Т. 6, Вып. 2. — С. 237—248.

31. Ильин A.M., Калашников A.C.,- Олейник O.A. Линейные уравнения второго порядка параболического типа. // Успехи матем. наук. — 1962. — Т.17, Я-3. — С. 3—146.

32. Капустина Т.О. Асимптотические решения сингулярно возмущенной задачи Коши для параболического уравнения с разрывными коэффициентами. // Дифференц. уравнения. — 2000. — Т. 36, Л/515.— С. 662—666.

33. Капустина Т.О. Взаимодействие внутреннего и краевого слоев в сингулярно возмущенных задачах. // Вестник Моск. Ун-та. Сер. 15 — Вычисл. матем. и киберн. — 2000. N° 3. С. 56—57.

34. Капустина Т.О. О приближенном решении сингулярно возмущенных задач с особенностями на характеристиках и разрывными коэффициентами. // Дифференц. уравнения. — 2000. — Т. 36, Я-6. — С. 858.

35. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. — М.: Наука, 1967. — 736 С.

36. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. — М.: Наука, 1981. — 398 С.

37. Ломов С.А. Построение асимптотических разложений некоторых задач с параметрами. // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1968. — Т. 32, Л/"£4. — С. 884—913.

38. Мартыненко B.C. Операционное исчисление. — Киев: Вища школа, 1973. — 268 С.

39. Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы. — М.: Изд-во МГУ, 1965. — 549 С.

40. Матрос А.Д. Асимптотические разложения решений краевых задач для сингулярно возмущенных эллиптико-параболических уравнений. — Диссертация на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. — МГУ, 1997. — 156 С.

41. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям.

42. М.: Физматгиз, 1959. — 232 С.

43. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. — М.: Наука, 1975. — 248 С.

44. Нестеров A.B. Об асимптотике решения системы уравнений диффузия—сорбция при малых коэффициентах диффузии. // Журнал вычислит, математ. и матем. физики. — 1989. — Т. 29, Л/*- 9. — С. 1318—1330.

45. Нефедов H.H. Контрастные структуры типа всплеска в нелинейных сингулярно возмущенных параболических уравнениях. // ДАН СССР. — 1994. — Т. 336, М-2. — С. 165—167.

46. Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений. — М.: Наука, 1965. — 127 С.

47. Понтрягин Л.С. Асимптотическое поведение систем дифференциальных уравнений с малыми параметрами при высших производных. // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1968. — Т. 21, М-Ъ.1. С. 605—626.

48. Розов Н.Х., Сушко В.Г. Асимптотическое решение краевых задач для сингулярно возмущенных уравнений второго порядка. // Успехи матем. наук. — 1987. — Т. 42, Л/^5. — С. 166.

49. Розов Н.Х., Сушко В.Г. Решения с внутренним слоем сингулярно возмущенных разрывных уравнений. // Успехи матем. наук. — 1994. — Т.49, М- 4. — С. 141.

50. Розов Н.Х., Сушко В.Г., Чудова Д.И. Дифференциальные уравнения с вырождающимся коэффициентом при старшей производной. // Фундаментальная и прикладная математика. — 1998. — Т. 4, М-З. — С. 1063—1095.

51. Сафонов В.Ф. Регуляризованные асимптотические решения нелинейных сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений. // ДАН СССР. — 1977.— Т. 235, Л/^6,— С. 1274— 1276.

52. Сафонов В.Ф. Метод регуляризации для сингулярно возмущенных систем нелинейных дифференциальных уравнений. // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1979. — Т. 43, Л/"2 3.— С. 628—653.

53. Сушко В.Г. О приближенном решении одного квазилинейного уравнения с малым параметром при старшей производной. // В кн.: Некоторые применения метода сеток в газовой динамике, вып. II. — М.: Изд-во МГУ, 1971. — С. 145—251.

54. Сушко В.Г. Асимптотика по малому параметру для решений одного дифференциального уравнения с разрывными коэффициентами. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15 — Вычисл. матем. и киберн. — 1983. — ЛА-3. — С. 3—8.

55. Сушко В.Г. Об асимптотических разложениях решений одного параболического уравнения с малым параметром. // Дифференц. уравнения. — 1985. — Т. 21, Л/МО. — С. 1794—1798.

56. Сушко В.Г. Некоторые сингулярно возмущенные краевые задачи с негладкими исходными данными. // Дифференц. уравнения. — 1993. — Т. 29, ЛЛ- 11. — С. 2017—2018.

57. Сушко В.Г. Асимптотические решения некоторых сингулярно возмущенных уравнений смешанного типа. // Фундаментальная и прикладная математика. — 1997. — Т. 3, Л/"2 2. — С. 579—586.

58. Сушко В.Г. Асимптотические разложения решений бисингуляр-ных задач. — Диссертация на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук. — МГУ, 1998. — 310 С.

59. Сушко В.Г. Краевые слои для квазилинейного параболического уравнения. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15 — Вычисл. матем. и киберн. — 1999. — Л/"2 1. — С. 7—10.

60. Сушко В.Г. Асимптотика решения на угловой характеристике для параболического уравнения с малым параметром. // Дифферент уравнения. — 2000. — Т. 36, Aí-b. — С. 694—699.

61. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1966. — 724 С.

62. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра. // Матем. сб. — 1948. — Т. 22, J\í- 2.1. С. 193—204.

63. Тихонов А.Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры. // Матем. сб. — 1950. — Т. 27, ÁÍ-1. — С. 147—156.

64. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных. // Матем. сб. — 1952.

65. Т. 31, Л/^3. — С. 575—586.

66. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. — М.: Мир, 1968. — 427 С.

67. Холпанов Л.П., Бабак В.Н., Малюсов В.А., Жаворонков Н.М. Исследование тепло- и массообмена при турбулентном течении пленки жидкости и газа в режиме прямотока. // Теоретич. основы химич. технологии. — 1979. — Т. 13, J\í- 3. — С. 323—330.

68. Чанг К., Хауэс Ф. Нелинейные сингулярно возмущенные краевые задачи. — М.: Мир, 1988. — 245 С.

69. Шишкин Г.И. Повышение точности разностных схем для параболических уравнений с малым параметром при старшей производной. // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1984.

70. Т. 24, А/"£6. — С. 864—875.

71. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969. — 424 С.

72. Fife P.C. Boundary and interior transition layer phenomena for pairs of second-order differential equations. //J. Math. anal, and Appl.1976. — V. 54. — P. 497—521.

73. Fife P.C. Singular perturbation and wave front techniques in reaction-diffusion problems. // SIAM — AMS Proceedings, Symposium on Asymptotic Methods and Singular Perturbations. — New-Jork. — 1976. — P. 23—49.

74. Fucik S. Solvability of Nonlinear Equations and Boundary Value Problems. — Prague: Charles University press, 1969.

75. Nagumo M. Uber die Differentialgleichung y" = f(x,y,y'). // Proc. Phys. Math. Soc. Japan. — 1937. — V. 19. — P. 861—866.

76. O'Malley R.E. Introduction to singular perturbations. — New York: Academic Press. — 1974.

77. O'Malley R.E. Shock and transition layers for singularly perturbed second-order vector system. // SIAM J. Appl. Math. — 1983. — V. 43, J\f-4. — P. 935—943.

78. O'Malley R.E. Singular perturbation methods for ordinary differential equations. — Springer Verlag. — 1991.

79. Portter M.H., Weinberger H.F. Maximum principles in differential equations. — London: Prentice-Hall Inc., 1967. — 261 P.

80. Rozov N.Kh., Sushko V.G. Applications of the method of barriers.

81. Some boundary value problems // Georgian Math. J. — 1995. — V. 2. M-l. — P. 99—110.

82. Rozov N.Kh., Sushko V.G. Applications of the method of barriers.1.. Some singularly perturbed problems. // Georgian Math. J. — 1995. — V. 2. A/"£3. — P. 323—334.

83. Sushko V. Asymptotic representations for solutions of bisingular problems. // In: Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics. — Vol. 18. — Tbilisi, 1999. — P. 51—159.

84. Zhang Xiang. Boundary and interior layer behavior for singularly perturbed vector problem. // Appl. Math, and Mech. (Engl. Ed.).1990. — V.ll, №11. — P. 1067—1074.

85. Zhang Xiang. Boundary value problems for second order ordinary differential equations with singularities. // Northeastern Math. J.1993. — V.9, 1. — P. 21—28.