Самоподобные случайные процессы в задачах прикладной спектроскопии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.05, кандидат физико-математических наук Харинцев, Сергей Сергеевич

• Харинцев, Сергей Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Харинцев, Сергей Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I САМОПОДОБНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ИХ АНАЛИЗ.

1. Введение.

2. Фрактальные шумы и их свойства.

3. Метод нормированного размаха Херста -анализ).

4. Метод детектирования сигналов на основе фрактального анализа.

5. Проверка нормальности фрактальных шумов.

6. Статистическая зависимость и выявление тренда.

7. Выводы.

ГЛАВА П. ОБРАТНЫЕ НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ С ФРАКТАЛЬНЫМ ШУМОМ В ДАННЫХ.

1. Введение.

2. Методы решения обратных задач.

3. Алгоритм учета априорной информации о фрактальных свойствах случайного шума.

4. Сглаживание экспериментальных данных.

5. Дифференцирование экспериментальных данных.

6. Решение задачи Абеля для случая осесимметричной плазмы.

7. Удаление аппаратурных искажений.

8. Разделение сложных сигналов на элементарные составляющие методом производной спектроскопии.

9. Выводы.

ГЛАВА Ш. САМОПОДОБНЫЕ СТОЛКНОВЕНИЯ В ТЕОРИИ УШИРЕНИЯ И СДВИГА СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ.

1. Введение.

2. Динамические системы с остаточной памятью.

3. Модель дробного осциллятора.

4. Функция корреляции в модели слабых столкновений.

5. Диффузная модель самоподобных столкновений.

6. Самоподобный механизм интерференции скалярных возмущений.

7. Транспортное сечение самоподобных столкновений.

8. Форма линии в допплеровском режиме.

9. Эффекты самоподобных столкновений на уширение из-за взаимодействия (самоподобный контур Фойгта).

10. Совместный учет корреляции между допплеровским и столкновительным уширением и самоподобных столкновений.

11. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Самоподобные случайные процессы в задачах прикладной спектроскопии»

В последнее время проявляется огромный интерес к фрактальной геометрии, изучение которой позволило расширить наши знания о природе, а также исследовать с новой точки зрения традиционную физику явлений. Это связано с тем, что многие физические явления наилучшим образом описываются в рамках концепции фрактала (от латинского слова &асШв, что означает "доля"). Можно сказать, что за сравнительно короткий срок теория фракталов превратилась в самостоятельную область естествознания и находит многочисленные применения в самых разных теоретических и практических задачах. Несмотря на то, что в основе концепции фрактала содержится некоторая идеализация действительности: фрактальные объекты (процессы) самоподобны, т.е. их вид не претерпевает существенных изменений при масштабных преобразованиях, это понятие оказалось весьма плодотворным и позволяет на порядок увеличить глубину нашего математического описания природы.

Началом процесса проникновения идей фрактальной геометрии в физику принято считать появление книги Б. Мандельброта [1]. К настоящему времени с помощью применения идей теории самоподобных объектов (процессов) уже удалось понять достаточно много (см. обзоры [2], [3] и книги [4], [5]) и можно надеяться, что возможности применения идей фрактальной теории в физике еще далеко не исчерпаны. Более того, до сих пор существует целый ряд вопросов, ответы на которые еще предстоит найти. Именно поэтому многие исследователи пытаются в настоящее время, с одной стороны, изучать самоподобные объекты (процессы) и, с другой стороны, применять методы теории фракталов для описания известных явлений. Одной из работ, в которой предпринята попытка исследовать самоподобные случайные процессы применительно к задачам прикладной спектроскопии, можно считать настоящую диссертацию.

Параллельно с интенсивным развитием теории фракталов большую популярность в исследованиях самоподобных структур (процессов) приобретает математический аппарат фрактальной геометрий, основанный на использовании понятия дробной производной [6-12]. В настоящее время в рамках этой концепции удалось построить адекватные математические модели для описания процессов переноса и релаксации во фрактальных средах [2,5,9,13,14], фрактальной кинетики иерархически соподчиненных систем [2], учета необратимости эволюции динамических систем [2,9] и т.д. Однако до сих пор, несмотря на усилия многих авторов [9-12], не существует ясной физической 5 интерпретации оператора дробной производной. В данной работе при изучении самоподобных случайных процессов в рамках математического аппарата дробного исчисления будет использоваться результат, согласно которому при определенных условиях усреднение гладкой функции на совокупности фрактальных множеств типа Кантора статистически эквивалентно операции дробного дифференцирования [5].

Важность исследования случайных процессов, обладающих свойством масштабной инвариантности, состоит в том, что эти процессы имеют, с одной стороны, сингулярную спектральную структуру, с другой стороны, обнаруживают долговременную статистическую зависимость. В частности, эти свойства характерны для фрактальных шумов, которые наблюдаются практически во всех электронных записывающих устройствах [15-20] и оказывают значительное влияние на качество восстановления исходных характеристик объекта измерения. Несмотря на то, что в последнее время многими авторами теоретически и практически изучаются модели ошибок в виде зависимых случайных процессов [21,22], достижения в этой области вряд ли могут претендовать на то, чтобы их можно было бы использовать в качестве надежного инструмента на практике. Поэтому часто ошибки, сопровождающие любое физическое измерение, траюуются либо неправильно, либо вообще никак, а на самом деле они несут ценнейшую информацию о свойствах физических процессов. Важно отметить, что до сих пор не существует физической теории ошибок [23], позволяющей адекватно описывать результаты наблюдений и, следовательно, обеспечивающей понимание того, что из результатов наблюдения заслуживает доверия и в какой степени. Именно поэтому является актуальной задачей идентификация самоподобных корреляций фрактальных шумов с тем, чтобы их можно было учитывать в дальнейшем при математической обработке и интерпретации экспериментальных данных в прикладной спектроскопии [16,17].

Другим важным направлением является изучение динамических систем с самоподобной асимптотикой, которая занимает промежуточное положение между марковским процессом, когда в процессе эволюции теряются все состояния за исключением последнего в данный момент времени и процессом с полной памятью, когда все состояния сохраняются. Важно отметить, что на значение физической величины в данный момент оказывают влияние предыдущие значения в моменты времени, совпадающие с точками самоподобного множества типа Кантора. Например, на столкновение излучающего атома с возмущающей частицей в данный момент времени могут оказывать влияние предыдущие столкновения. С другой стороны, 6 соударения в течение конечного временного интервала могут приводить к коллективным эффектам (интерференции газокинетических столкновений), проявляющимся в том, что в результате столкновения происходит либо необратимая потеря части состояний, либо рождаются новые состояния. Эффекты самоподобных столкновений при определенных условиях в плазме начинают играть решающую роль и поэтому их учет представляет собой актуальную задачу при определении параметров контуров спектральных линий.

В первой главе данной диссертации представлены результаты статистического анализа фрактальных шумов. Применительно к задачам прикладной спектроскопии разработан модифицированный метод Херста, который может быть использован не только для анализа временных рядов, но и при изучении статистических свойств спектров. Рассматривается возможность применения концепции размерности Хаусдорфа-Безиковича для исследования самоподобных свойств случайных процессов. На основе фрактального анализа разработан метод детектирования сигналов.

Во второй главе данной диссертации исследуется влияние фрактальных шумов на качество восстановления сигналов при решении обратных некорректных задачах прикладной спектроскопии: сглаживание и дифференцирование экспериментальных данных, инверсия Абеля для случая осесимметричной плазмы, удаление аппаратурных искажений, разделение сложного сигнала на элементарные составляющие. Разрабатывается эффективный алгоритм учета априорной информации о фрактальной природе случайных ошибок, позволяющий существенно улучшить качество восстановления исходных характеристик объекта измерений.

В третьей главе данной диссертации разрабатывается концепция самоподобных столкновений и рассматривается их влияние на формирование контуров спектральных линий. Для того, чтобы учесть возможные эффекты памяти при столкновениях излучающего атома с возмущающими частицами, в работе разрабатываются диффузная модель самоподобных столкновений для движения свободной броуновской частицы и самоподобный механизм интерференции скалярных возмущений для фазовых сдвигов осциллятора. На основе этих моделей приводится исследование влияния самоподобных столкновений на допплеровское и столкновительное уширение.

Таким образом, целью данной диссертации является дальнейшее развитие концепции самоподобных случайных процессов и ее использование для изучения статистических свойств экспериментальных данных и для описания формы линии 7 излучения в прикладной спектроскопии. В связи с поставленной целью в данной работе решаются следующие основные задачи:

1. Исследование возможностей применения метода нормированного размаха Херста для анализа случайных процессов с локальными нестационарностями и разработка метода детектирования сигналов на основе вычисления размерности Хаусдорфа-Безиковича.

2. Изучение влияния фрактальных шумов на качество восстановления сигнала при решении обратных некорректных задач прикладной спектроскопии и разработка алгоритма учета априорной информации о фрактальности случайных ошибок на основе статистических методов регуляризации.

3. Развитие общего подхода к изучению динамических систем с остаточной памятью и исследование модели дробного осциллятора.

4. Изучение влияния самоподобных столкновений на допплеровское и столкновительное уширение.

Научная новизна заключается том, что впервые получены следующие результаты:

- Разработан модифицированный метод нормированного размаха Херста, позволяющий исследовать статистические свойства случайных процессов с локальными нестационарностями.

- На основе фрактального анализа предложен алгоритм детектирования сигналов.

- Разработан алгоритм учета априорной информации о фрактальной свойствах случайных ошибок в обратных некорректных задачах прикладной спектроскопии.

- Разработан общий подход перехода к уравнению движения в дробных производных для описания движения динамических систем с остаточной памятью, в рамках которого дана физическая интерпретация показателю дробной производной.

- Предложена концепция самоподобного столкновения как акта согласованного рассеяния многих частиц, на основе которой разработаны диффузная модель самоподобных столкновений для движения броуновской частицы и самоподобный механизм интерференции скалярных возмущений для фазовых сдвигов осциллятора. 8

Заключение диссертации по теме «Оптика», Харинцев, Сергей Сергеевич

11. Выводы

В данной главе диссертации была предложена общая процедура перехода к уравнению движения в дробных производных для исследования динамических систем с остаточной памятью. В рамках разработанного формализма понята физическая сущность дробного показателя, который характеризует долю сохранившихся в системе состояний. В качестве простейшей динамической системы с остаточной памятью мы исследовали модель дробного осциллятора, в основе которой лежит допущение о самоподобном столкновительном взаимодействии между исследуемой системой и термостатом. Физическая природа такого взаимодействия заключается в том, что в результате внутренних причин, обусловленных структурой систем, их динамикой, система испытывает действие силы только в определенные моменты, совпадающие с точками фрактального множества Кантора, размерность которого совпадает с дробным показателем. Анализ формы колебания дробного осциллятора показал, что его временная эволюция представляет собой промежуточную асимптотику между колебательным и апериодическим движениями или между системами с полной

134 памятью (когда все состояния сохраняются) и марковским процессом (все состояния, за исключением последнего, становятся недоступными). Проведен тщательный анализ формы спектральной линии, излучаемой дробным осциллятором во внешнем поле и в его отсутствии. Исходя из результатов анализа, мы заключаем, что концепция дробного осциллятора оказалась весьма плодотворной, поскольку эта модель дает качественные представления о сдвиге и асимметрии спектральных линий.

Разработана концепция самоподобного столкновения, представляющего собой согласованный акт коллективного рассеяния многих частиц, обладающий свойством масштабной инвариантности. Это значит, что эффективная частота столкновений не зависит от числа возмущаемых частиц, принимающих участие в согласованном рассеянии.

На основе предложенной концепции разработана новая диффузная модель самоподобных столкновений для свободной броуновской частицы. Используя эту модель, мы исследовали влияние самоподобных столкновений на форму спектральной линии в допплеровском режиме. Было обнаружено дополнительное сужение Дикке, обусловленное самоподобным механизмом столкновений. Форма спектральной линии описывается самоподобным профилем Галатри, который в предельном случае, когда самоподобные столкновения не учитываются, переходит в обычный профиль Галатри.

Для исследования влияния самоподобных столкновений на уширение из-за взаимодействия был разработан самоподобный механизм интерференции скалярных возмущений. Мы показали, что существует два типа интерференции самоподобных столкновений: 1) положительная память и 2) отрицательная память. В рамках этой модели получен самоподобный контур Фойгта, учитывающий единым образом оба типа интерференции, которые являются определяющими при формировании профиля спектральной линии. Обнаружена асимметрия линии, которая обусловлена конечной длительностью рассеяния 5-комплекса. На основе проведенной оценки вероятности образования 5-комплекса установлено, что самоподобные столкновения становятся эффективными для линий излучения в далекой инфракрасной области или радиодиапазоне и при малых длинах свободного пробега. Из анализа оценок транспортных сечений самоподобных столкновений установлено, что в области низких давлений механизм отрицательной интерференции столкновений реализуется с большей вероятностью по сравнению со случаем положительной памяти, тогда как при больших электронных концентрациях начинают преобладать самоподобные столкновения с положительной памятью.

135

Рассмотрен общий случай, когда учитываются Допплер-столкновительные корреляции и самоподобные столкновения, изменяющие скорость. Важным результатом является то, что асимметрия с ростом эффективной частоты самоподобных столкновений увеличивается. Это объясняется отличием статистики фазы от нормального распределения даже при увеличении частоты столкновений.

136

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Ниже представлены основные результаты и выводы, полученные в данной работе:

1. На основе исследования статистических свойств фрактальных шумов показано, что фрактальные шумы не подчиняются гауссовской статистике.

2. Предложен модифицированный метод Херста, позволяющий анализировать статистические свойства случайных процессов с локальными нестационарностями.

3. На основе фрактального анализа разработан алгоритм детектирования, обладающий высокой чувствительностью при малых значениях отношения сигнал/шум.

4. Впервые предложен алгоритм учета априорной информации о фрактальности случайного шума, позволяющий значительно улучшить качество восстановления сигнала в задачах прикладной спектроскопии: сглаживание, дифференцирование, решение задачи Абеля, учет аппаратурных искажений, разделение сложных контуров на элементарные составляющие.

5. Разработан новый подход к выводу уравнения движения дробного осциллятора, в рамках которого удалось понять физический смысл показателя дробной производной как количественной характеристики эффектов памяти.

6. На основе теории фрактального броуновского движения предложена диффузная модель самоподобных столкновений, позволяющая обнаружить дополнительное сужение Дикке спектральных линий в допплеровском режиме.

7. Обнаружены асимметрия и сдвиг спектральных линий в рамках самоподобного механизма интерференции скалярных возмущений.

8. Показано, что в случае совместного учета корреляции между допплеровским и столкновительным уширением и самоподобными столкновениями асимметрия спектральной линии увеличивается с ростом эффективной частоты столкновений.

137

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Харинцев, Сергей Сергеевич, 1999 год

1. Mandelbort В.В. Fractal Geometry of Nature. -San-Francisco: Freeman, 1982, 486 p.

2. Олемский А.И., Флат А Я. Использование концепции фрактала в физике конденсированной среды//УФН. -1993. -Т. 163, N12. -С. 1-49.

3. Зосимов В.В., Лямшев JIM. Фракталы в волновых процессах // УФН. -1995. -Т. 165, N.4. -С.361-398.

4. Федер Е. Фракталы. -М.: Мир, 1991, 254 с.

5. Mehaute A.L., Nigmatullin R.R. et Nivanen L. Fleches du temps et geometrie fractale. -Paris: Hermes, 1998, 265 p.

6. Oldham K, Spanier J. The Fractional Calculus. -New York: Academic Press, 1974, 340 p.

7. Miller K., Ross B. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. -New York: John Wiley inc., 1993, 280 p.

8. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы производные дробного порядка и некоторые их приложения. -Минск: Наука и Техника, 1987, 468 с.

9. Нигматуллин P.P. Дисс. . док. физ.-мат. наук. Казань, 1992.

10. Нигматуллин P.P. Fractional integral and its physical interpretation // ТМФ. -1992. -T.90, N3. -C.242-257.

11. Rutman R.S. On the paper by R.R. Nigmatullin "fractional integral and its physical interpretation" // ТМФ. -1994. -T.100, N.3. -C.476-478.

12. Rutman R.S. On physical interpretation fractional integration and differentiation // ТМФ. -1995. -T.105. -C.393-404.

13. Бабенко Ю. И., Метод расчета тепловых и диффузионных потоков. -Л.: Химия, Ленинград, 1986, 144 с.

14. Рябов Я.Е. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Казань, 1996.

15. Nigmatullin, S.S. Kharintsev, M.Kh. Salakhov Fractal Noises in the Problems of Image Restoration//Publ. Astron. Obs. Belgrade. -1997. -V.57. -P.79-82 .145

16. Харинцев С.С., Салахов М.Х. Фрактальный шум в прикладной спектроскопии и их анализ // III Научная Техническая Конференция Молодых ученых и Специалистов: Тез. докл. -Казань. -1997. -С.57.

17. Kharintsev S.S., Nigmatullin R.R., Salakhov M.Kh. The Fractal Noise Elimination Method and Its Possible Application In Applied Spectroscopy // XIVICSLS: Abstracts -State College, Pennsylvania, -1998. -P. 141.

18. Калинкин А., Зуйков В.А., Харинцев C.C. Фрактальное исследование сигналов оптического сверхизлучения в кристалле ЬаРз:Рг3+ // Третья молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. статей. -Казань. -1999. -С.81-87.

19. Van der Ziel A. Unified presentation of 1/f noise in electronic devices: Fundamental 1/f noise sources//Proc. IEEE. -1988. -P.233-258.

20. Keshner M.S. 1/f noise //Proc. IEEE -1982. -V.70. -P.212-218.

21. Эльясберг П.Е. Измерительная информация: сколько ее нужно? как ее обрабатывать? -М.: Наука, 1983, 311 с.

22. Новицкий П.В. Зограф И.А., Лабунец B.C. Динамика погрешностей средств измерений. -JL: Энергоатомиздат, 1990, 388 с.

23. Тутубалин В.Н. Вероятность, компьютер и обработка результатов эксперимента // УФН. -1993. -Т. 193, N.7. -С.93-109.

24. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. -М.: Мир, 1989, 540 с.

25. Марпл-мл. C.JI. Цифровой спектральный анализ и его приложения. -М.: Мир, 1990, 584 с.

26. Wornell G.W. Wavelet-based representations for the 1/f family of fractal processes // Proc. IEEE. -1993. -V.81,N.10. -P.1428-1450.

27. Mandelbrot В., Van Ness H.W. Fractional Brownian motions, fractional noises and applications// SIAMRev. -1968. -V.10. -P.422-436.

28. Barton R.J., Poor V.H. Signal detection in fractional Gaussian noise // IEEE Trans. Inform. Theory. -1988. -V.34. -P.943-959.146

29. Lundahl Т., ОЫеу W.J, Kay S.M., Siffert M. Fractional Brownian motion: A maximum likelihood estimator and its application to image texture // ШЕЕ Trans. Medical Imag. -1986. -V.MI-5. -P.152-161.

30. Daubechies I. The wavelet transform, time-frequency localization and signal analysis // IEEE Trans. Inform. Theory. -1990. -V.36. -P.961-1005.

31. Mandel L., Wolf E. Optical coherence and quantum optics. -Rochester: Cambridge Univ. Press, 1995, 1100 p.

32. Barnes J.A., Allan D.W. A statistical model of flicker noise // Proc. IEEE. -1966. -V.54. -P. 176-178.

33. Mandelbrot B. A fast fractional Gaussian noise generator // Water Resour. Res. -1971. -V.7. -P.543-553.

34. Mandelbrot B.B., Wallis J.R. Some long-run properties of geophysical records // Water Resour. Res. -1968. -V.5. -P.321-340.

35. Feller W. The asymptotic distribution of the range of sums of independent variables // Ann. Math. Stat. -1951. -V.22 -P.427-432.

36. Kharintsev S.S., Nigmatullin R.R., Salakhov M.Kh. Solving Inverse Problems in Plasma Diagnostics with a Random Fractal Noise // XIX ISPIG: Contr. Papers. -Zlatibor. -1998. -P.337-341.

37. Kharintsev S.S., Nigmatullin R.R. and Salakhov M.Kh. Inverse Problems in the Restoration of Signal With Fractal Gaussian Noise in Applied Spectroscopy // AJS. -1999. -V.3. -P.49-65.

38. Харинцев C.C., Салахов M.X., Решение обратных задач в диагностике плазмы со случайным фрактальным шумом, // Вторая молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. статей. -Казань, -1998. С.7-17.

39. Kharintsev S.S. Salakhov M.Kh. Inverse Problems in Plasma Diagnostics With A Priori Information on Fractality of Noise // XXIV ICPIG: Abstracts. -Warsaw, -1999. -Y.2. -P.21-22.

40. Kharintsev S.S., Nigmatullin R.R. and Salakhov M.Kh. Solving inverse problems in applied spectroscopy with random fractal noise // JQSRT. -1999. -V.64. -P.345-358.

41. Nigmatullin, S.S. Kharintsev, M.Kh. Salakhov The Fractional Integration In Applied Spectroscopy // In book: "Physics of Ionized Gases". -Novi Sad, -1997. -P.323-336.

42. Brownlee K.A. Statistical theory and methodology in science and engineering. -New York: Wiley, 1982, 542 p.

43. Пытьев Ю.П. Математические методы интерпретации эксперимента. -М.: Изд-во МГУ, 1990, 288 с.

44. Hadamard J. Le probleme de Cauchy et les equations aux derives partielles lineaires hiperboliques. -Paris: Hermann, 1932, 352 p.

45. Тихонов A.H., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М: Наука, 1979, 286 с.

46. Преображенский Н.Г., Пикалов В.В. Неустойчивые задачи диагностики плазмы. -Новосибирск: Наука, 1982, 236 с.

47. Василенко Г.И., Тараторин А.М. Восстановление изображений. -М.: Радио и связь, 1986, 302 с.

48. Федотов А.М. Некорректные задачи со случайными ошибками в данных. -Новосибирск: Наука, 1990, 279 с.

49. Турчин В.Ф., Козлов В.П., Малкевич М.С. Использование методов математической статистики для решения некорректных задач // УФН. -1970. -Т. 102, N.3. -С.345-386.

50. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложение. -М.: Наука, 1978, 206 с.

51. Роббинс Г. Эмпирический байесовский подход к задачам теории статистических решений//Математика. -М.: Изд-во иностр. лит. -1964. -Вып.10. -С.122-140.148

52. Вальд А. Статистические решающие функции // Позиционные игры. -М.: Наука, -1967. -С. 122-140.

53. Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. // Ж.вычис. матем. и матем. физ. -1961. -Т.1. -С.412-515.

54. Phillips D.L. A technique for numerical solution of certain integral equations of the first kind // J. Assoc. Comput. Math. -1962. -V.9, N.l. -P.84-97.

55. Канторович Л.В. О новых подходах к вычислительным методам и обработке наблюдений // Сиб. мат. журн. -1962. -Т.З, N.5. -С.701-709.

56. Jansson Р.А., Hunt R.H., Plyer Е.К. Resolution enhancement of spectra // JOSA. -1970. -V.60, N.5. -P.596-599.

57. Huang T.S. Barker D.A. Berger S.P. Iterative image restoration // Appl. Opt. -1975. -V.14, N.5. -P. 1165-1168.

58. Грачев И.Д., Салахов М.Х., Фишман И.С. Статистическая регуляризация при обработке эксперимента в прикладной спектроскопии. -Казань: Изд-во КГУ, 1986, 186 с.

59. Харинцев С.С., Нигматуллин P.P. Салахов М.Х. Учет фрактальной структуры случайного процесса при решении некорректных задач // Конференция "Обратные и некорректно поставленные задачи": Тез. докл. -Москва, -1998. -С.85.

60. Bialkowski S.E. Generalized digital smoothing filters made easy by matrix calculations // Anal. Chem. -1989. -V.61,N.ll. -P. 1308-1310.

61. Дубровкин И.М., Беликов В.Г. Производная спектрометрия. Теория, техника, применение. -Ростов: Изд-во Ростовского университета, 1988, 144 с.

62. Savitzky A., Golay М. Smoothing and differentiation of data by simplified least squares procedures//Anal. Chem. -1964. -Y.36, N.8. -P. 1627-1637.

63. Kaiser J.F., Reed W. A. Data smoothing using low-pass digital filters // Rev. Sci. Instrum. -1977. -V.48, N.ll. -P. 1447-1455.

64. Рябов Я.Е., Харинцев C.C., Нигматуллин P.P., Салахов M.X., Планат М. Процедура сглаживания экспериментальных данных при наличии низкочастотной компоненты фрактального шума // Первая Региональная Молодежная Научная

65. Конференция "Когерентная Оптика и Оптическая Спектроскопия": Сб. статей. -Казань, 1997. -С.85-90.

66. Salakhov M.Kh. An algorithm for the differentiation of arbitrary order in the solution of inversion problems in applied spectroscopy//JQSRT. -1989. -V.42, N.6. -P.635-643.

67. Schmitt J.M. Fractional derivative analysis of diffuse reflectance spectra // Appl. Spectr. -1998. -V.52, N.6. -P.840-846.

68. Домнич М.Б. Сахарук T.A. Традиционный и альтернативный методы цифрового сглаживания и дифференцирования спектроскопической информации // Журн. прикл. спектр. -1990. -T.53.N.4. -С.645-651.

69. Инверсия Абеля и ее обобщения. Под ред. Н.Г. Преображенского. -Новосибирск: Наука, 1978, 272 с.

70. Нигматуллин P.P., Салахов М.Х. Регуляризованный алгоритм решения обобщенного уравнения Абеля с использованием дробных производных // Оптика и спектр. -1987. -Т.63, N.4. -С.907-910.

71. Галкин В.Я., Сайфуллин Р.Т. Редукционная обработка сигналов аналитических приборов // Численные методы решения обратных задач математической физики. -М.: Изд-во МГУ, 1990. -С. 125-132.

72. Заикин П.Н., Дихтяр В.И. Хорошилова Е.В. О регуляризованной фильтрации спектрометрических наблюдений // Методы математического моделирования и вычислительной диагностики. М.: Изд-во МГУ, 1990. -С. 13-18.

73. Kauppinen J.K., MofFatt D., Mantsch H.H., Cameron D G. // Appl.Spectr. -1981. -V.35, N.3. -P.271-276.150

74. Buslov D.K., Nikonenko N.A. Regularized method of spectral curve deconvolution // Appl. Spectr. -1997. -V.51, N.5. -P.666-672.

75. Bermani M.F.E1., Jonathan N. Rotational isomers of the l-fluoro-2-haloethanes // J. Chem. Phys. -1968. -V.49, N.l. -P.340-346.

76. Раутиан С.Г., Собельман И.И. Влияние столкновений на допплеровское уширение спектральных линий // УФН. -1966. -Т.90, N.2. -С.209-236.

77. Ward J., Cooper J., Smith E.W. Correlation effects in the theory of combined Doppler and pressure broadening-I. Classical theory//JQSRT. -1974. -V.14. -P.555-590.

78. Ciurylo R., Szudy J. Speed-dependent pressure broadening and shift in the soft collision approximation// JQSRT. -1997. -V.57, N.3. -P.411-423.

79. Berman P.R. Speed-dependent collisional width and shift parameters in spectral proflies // JQSRT. -1972. -V.12. -P. 1331-1342.

80. Galatry L. Simultaneous effect of Doppler and foreign gas broadening on spectral lines // Phys. Rev. -1961. -V.122, N4. -P.1218-1223.

81. Harris M., Lewis E.L., McHugh D. and Shanon I. Measurement of the broadening and asymmetry of the calcium resonance line (422.7 nm) // J. Phys. B. -1986. -V.19. -P.3207-3215.

82. Harris M., Lewis E.L., McHugh D. and Shanon I. The full Voigt profile and collision time asymmetry for profiles of calcium 442.7 nm perturbed by krypton // J. Phys. B. -1984. -V.17. -P.L661-L667.

83. Dicke R.H. The effects of collision upon the Doppler width of spectral line // Phys. Rev. -1953. -V.89, N.2. -P.472-473.

84. Farrow R.L., Rahn L.A., Sitz G.O. and Rosasco Observation of a speed-dependent collisional inhomogeneity in H2 vibrational line profiles // Phys. Rev. Lett. -1989. -V.63, N.7. -P.746-749.151

85. Pine A.S. Line shape asymmetries in Ar-broadened HF (v=l-0) in the Dicke-narrowing regime//J. Chem. Phys. -1994.-V.101,N.5. -P.3444-3452.

86. Duggan P., Sinclair P.M., May A.D. and Drummond J.R. Line-shape analysis of speed-dependent collisional width inhomogeneities on CO broadened by Xe, N2, He // Phys. Rev. A. -1995. -V.51. -P.218-224.

87. Nigmatullin R.R., Salakhov M.Kh., Maksimov O.N. The intensity profile in the model of "fractional" oscillator//Publ. Obs. Astron. Belgrad -1995. -V.50. -P. 103-104.

88. Nigmatullin, S.S. Kharintsev, M.Kh. Salakhov The Fractional Integration In Applied Spectroscopy // In book: "Physics of Ionized Gases". -Novi Sad, -1997. -P.323-336.

89. Nigmatullin, S.S. Kharintsev, M.Kh. Salakhov The Fractional Integration In Applied Spectroscopy//XVIIIISPIG: Contr. Papers. -Kotor, -1996. -P.254.

90. Харинцев C.C., Салахов M.X. Проблема уширения спектральных линий в модели дробного осциллятора // II Республиканская конференция молодых ученых: Тез. докл. -Казань, 1996. -С.51.

91. Харинцев С.С., Салахов М.Х. Метод квантового кинетического уравнения в теории уширения спектральных линий // III Научная Техническая Конференция Молодых ученых и Специалистов: Тез. докл. Казань, -1997. -С.45.

92. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. -М.: Наука, 1987, 688 с.

93. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды, специальные функции. -М.: Наука, 1983, 750 с.

94. Peach G. Theory of the pressure broadening and shift of spectral line // Advan. in Phys. -1981. -V.30, N.3. -P.367-474.

95. Mozer В., Baranger M. Electrical field distributions in an ionized gas // Phys. Rev. -1959. -V.115, N.3. -P.521-525.

96. С. Чандрасекар Стохастические проблемы в физике и астрономии. -М.: Изд-во иностр. лит., 1947, 168 с.

97. Nienhuis G. Effects of the radiator motion in the classical and quantum-mechanical theories of collisional spectral-line broadening // JQSRT. -1978. -V.20 -P.275-290.152

98. Kharintsev S.S., Salakhov M.Kh. In Reference To Self-Similar Collision Model In the Theory of Spectral Lines Broadening // XXV Annual IOP Plasma Physics Conference: Abstracts. -St. John's College, Oxford. -1998. -P.41.

99. Kharintsev S.S., Nigmatullin R.R., Salakhov M.Kh. Self-Similar Model In the Theory of the Pressure Broadening // XIV ICSLS: Abstracts. -State College, Pennsylvania. -1998. -P. 142.

100. Харинцев С.С., Салахов М.Х Немарковские процессы соударения в теории уширения и сдвига // Вторая молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. статей. -Казань, -1998. -С. 18-25.

101. Kharintsev S.S., Nigmatullin R.R., Salakhov M.Kh., Spectral Lines Pressure Broadening and Shift in the Soft Self-Similar Collision Approximation // XIXISPIG: Contr. Papers. -Zlatibor, -1998. -P.357-361.

102. Kharintsev S.S. Salakhov M.Kh. Self-Similar Processes of Interaction in the Theory of Spectral Lines Pressure Broadening and Shift // XXIV ICPIG: Abstracts. -Warsaw. -1999. -V.2. -P. 149.

103. Kharintsev S.S. Salakhov M.Kh. Effects of Self-Similar Collisions In the Theory of Pressure Broadening and Shift // J. Tech. Phys. -1999. -V.40, N.l. -P.65-68.

104. Методы исследования плазмы. Под ред. В. Лохте-Хольтгревна, -М.: Мир, 1971, 552 с.

105. Feldman Yu., Kozlovich N. and Alexandrov Y., Nigmatullin R. and Ryabov Ya. Mechanism of the cooperative relaxation in microemulsions near the percolation threshold //Phys. Rev. E. -1996. -V.54, N.5. -P.5420-5428.

106. MargenauH. //Phys. Rev. -1935. -V.48. -P.755-768.

107. Вайнштейн Л.А., Собельман И.И., Юков E.A. Возбуждение атомов и уширение спектральных линий. -М.: Наука, 1979, 319 с.153

108. Griem H.R., Kolb A.C. and Shen K.Y. Stark broadening of hydrogen lines in a plasma // Phys. Rev. -1959. -V.116, N.l. -P.4-16.

109. Райзер Ю.П. Физика газового разряда. -М.: Наука, 1987, 592 с.

110. Kharintsev S.S. and Salakhov M.Kh. Self-similar collisional processes in a plasma //Proc. SPIE-1999. -P. 156-168.