Характеристики самоподобия случайных процессов и трафика радиосистем при наличии повторных сигналов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Зюльков, Илья Александрович

• Зюльков, Илья Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Зюльков, Илья Александрович

ВВЕДЕНИЕ.-

1. ПРИНЦИПЫ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ РАДИОСИСТЕМ И САМОПОДОБНЫЕ МОДЕЛИ ИХ ТРАФИКА.

1.1. Структура и принципы функционирования радиосистем.

1.2. Определения и основные свойства самоподобных случайных процессов.

1.3. Характеристики самоподобия и способы их вычисления.

1.4. Модели и самоподобные свойства трафика систем передачи информации

1.5. Выводы.

2. ВЕРОЯТНОСТНО-ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ РАДИОСИСТЕМ.

2.1. Модель подсистем обработки служебных сигналов радиосистемы.

2.2. Вероятностно - временные характеристики стационарного режима функционирования радиосистем.

2.3. Вероятностно - временные характеристики нестационарного режима функционирования радиосистем.

2.4. Выводы.

3. ХАРАКТЕРИСТИКИ САМОПОДОБИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И ТРАФИКА РАДИОСИСТЕМ.

3.1. Характеристики самоподобия коррелированного гауссовского случайного процесса.

3.2. Характеристики самоподобия линейных случайных процессов.

3.3. Характеристики самоподобия трафика одноканальной системы с повторными сигналами.

3.4. Выводы.

4. МОДЕЛИРОВАНИЕ РАДИОСИСТЕМ И ИХ ТРАФИКА ПРИ НАЛИЧИИ ПОВТОРНЫХ СИГНАЛОВ.

4.1. Методы моделирования радиосистем и их трафика.

4.2. Имитационное моделирование радиосистем при наличии повторных сигналов .

4.3. Оценка характеристик самоподобия трафика и его моделей.

4.4. Выводы.,.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Характеристики самоподобия случайных процессов и трафика радиосистем при наличии повторных сигналов»

Современные радиосистемы представляют собой сложные многофункциональные комплексы, предназначенные для решения широкого круга задач. В соответствие со своим предназначением, радиосистемы делятся [1,32, 38, 42,43, 60, 73,78 и др.] на измерительные или информационные, управляющие, системы связи (передачи информации) и др. Как правило, сложные радиосистемы состоят из совокупности систем первичной и вторичной обработки сигналов [1,42,43, 73 и др.].

Тенденции, связанные с непрерывным усложнением задач, стоящих перед радиосистемами, приводят к тому, что их функционирование все чаще связано с обработкой не одиночных сигналов, а их потоков [2,6,7,41,42, 62 и др.] достаточно большой интенсивности, наблюдаемых на фоне помех и шумов. В этих условиях описание систем должно быть комплексным, учитывающим как характеристики радиосистемы первичной обработки сигналов, так и характеристики системы вторичной обработки сигналов, а также их взаимовлияние и взаимодействие при функционировании. Это относится к радиолокационным комплексам, системам связи и передачи информации [1, 32, 73 и др.], широко использующим различные методы управления трафиком и дисциплиной обработки сигналов. При проектировании подобных комплексов, исходя из того, что они являются сложными многофункциональными системами, включающими различные составляющие, широко используется системный подход [12,41, 42, 43 и др.].

Исследованию радиосистем приема потока сигналов посвящена достаточно обширная литература [6, 7, 42, 43, 62 и др.] в которой рассматриваются вопросы оптимального и квазиоптимального анализа и синтеза приемных устройств, и, частично [6,7, 62 и др.], устройств управления. С другой стороны, радиосистемы необходимо рассматривать с учетом функционирования их подсистем массового обслуживания [1, 32, 63, 73 и др.], поскольку часто большая интенсивность воздействующего потока сигналов обусловлена наличием повторных сигналов [26 и др.], не обслуженных при первичном поступлении. Они вызывают пульсации трафика радиосистем и приводят к возрастанию пиковой нагрузки, что существенно ограничивает пропускную способность, которая является важнейшим показателем качества их функционирования. Поэтому исследование вероятностно - временных характеристик систем с повторными сигналами и свойств их трафика является важнейшей задачей. Несмотря на это в настоящее время известны лишь приближенные аналитические соотношения для вероятностных характеристик систем с повторными требованиями в стационарном режиме [70-72, 87 и др.]. В то время как оказалось, что самоподобные свойства трафика определяются именно процессами установления равновесия.

Изучение сильно флуктуирующего трафика в сетях передачи информации привело к установлению его самоподобной структуры, наличия долговременной зависимости и утяжеленных хвостов в распределенияусвязанных с ним случайных величин. Свойства трафика, его различные модели и характеристики самоподобия активно исследуются в зарубежной научной печати. Число работ, посвященных различным аспектам свойств трафика и его моделям в системах и сетях передачи информации очень велико и быстро растет. Достаточно сказать, что обзор [140], опубликованный в 1996 году, содержит 420 ссылок. Возрастающая активность в этом вопросе появляется и в отечественной научной печати. Так, в 2003 году появилась монография [85]. Активное изучение свойств трафика связано с тем, что они не соответствуют классическим результатам теории массового обслуживания, согласно рекомендациям которой рассчитывались пропускные способности и размеры накопителей систем передачи информации со свободным доступом. В частности трафик систем демонстрирует долговременную зависимость, что связано с показательным (а не экспоненциальным) убыванием его коэффициента корреляции. Поэтому, как впервые было установлено с помощью измерений [119], при увеличении размера буфера на входе канала вероятность потерь падает значительно медленнее, чем по экспоненциальному закону, свойственному широко используемым классическим моделям телетрафика. Следовательно, таким образом рассчитанные накопители не обеспечивают достижение предполагаемой вероятности потерь.

Есть основания предполагать, что подобными самоподобными свойствами обладает и трафик систем с повторными сигналами. В этой связи представляет интерес исследование их простейших моделей. Кроме того, исследование систем с повторными сигналами позволяет получить строгие результаты при анализе пропускной способности радиосистем со свободным множественным доступом (протокол «Алоха»).

Самоподобные модели процессов и полей широко используются в современном естествознании, что связано с самоподобием различных структур, существующих в природе.

Наряду с детерминированными, широкое распространение получили и модели с использованием самоподобных случайных процессов. Один из примеров таких процессов - винеровский процесс (броуновское движение). В последнее время активно используется обобщенное броуновское движение и другие модели случайных процессов, применяемые для описания различных процессов и явлений в физике и радиофизике.

Важнейшим параметром детерминированных и случайных самоподобных процессов является фрактальная размерность, характеризующая локальные свойства изрезанности траектории процесса и являющаяся мерой сложности реализаций процесса. Ее различные виды и способы определения обсуждаются в разделе 1.3. Здесь же более подробно остановимся на необходимости введения этого параметра.

Современный этап развития науки характеризуется широким использованием новых геометрических фрактальных моделей. Причиной этого является нелинейность всех явлений природы, а

- фракталы являются предельными множествами (аттракторами) многих нелинейных (сложных, хаотических) динамических систем;

- фракталы возникают там, где существенны степенные законы, описывающие явления, не имеющие собственного характерного размера (масштаба).

Последние возникают [74,75] как следствие общего неспецифического закона эволюции сложных нелинейных динамических систем - возникновения эффекта перемежаемости в ходе эволюции.

Фрактальные размерности идентифицируют фрактальные структуры и являются основной характеристикой новых геометрических моделей [4, 5, 47, 64, 105, 127 и др.]. Она позволяет выделить самоподобные (детерминированные и случайные) структуры среди всех остальных и различать их между собой. Фрактальная размерность и другие характеристики самоподобия отражает симметрию геометрических структур относительно масштабных преобразований и в силу своей универсальности может служить характеристикой изучаемых систем.

В [74,75] фрактальные размерности реализации эволюции сложной динамической системы предлагается использовать в качестве характеристик свойств динамической системы (например динамических систем, порождающих фликер-шум). Тогда по изменению фрактальной размерности во времени можно судить об изменении состояния системы и разрабатывать методики прогноза ее эволюции. Это относится и к динамическим системам реализующим состояния «самоорганизованной критичности» и «стохастического резонанса».

Фрактальная размерность может использоваться при несостоятельности или малой эффективности выборочных оценок моментов процессов для их характери-зации, в том числе и для процессов, описывающихся распределениями с утяжеленными хвостами.

Предложен метод статистического анализа многомерных данных, основанный на определении их фрактальной размерности. Она характеризует внутреннюю размерность многомерных данных и предсказывает возможность анализа и сжатия данных. Таким образом, знание фрактальной размерности необходимо при решении широкого круга задач современной радиофизики.

Вычисление фрактальной размерности для рекурентного фрактала, когда задан его способ построения, не представляет особых затруднений. В литературе приведено множество примеров расчета фрактальных размерностей искусственных структур с заданными правилами построения (снежинка Кох, ковер Серпинского и т.д.). Иное дело для случайных процессов, задаваемых лишь своими вероятностными характеристиками.

В настоящее время активно разрабатываются методы расчета характеристик самоподобия случайных процессов, широко используемых в качестве моделей в различных областях радиофизики и теории телетрафика [83, 85, 91, 93, 96, 100, 102, 103, 110, 120, 121, 123, 124, 130, 133 и др.]. Однако в известной автору литературе рассматривается достаточно ограниченный класс случайных процессов.

Такие величины, как показатель Херста, фрактальные размерности и др., с одной стороны, характеризуют локальное поведение (изрезанность) реализаций случайных процессов на основе их вероятностных свойств, а с другой - задают некоторые удобные для анализа параметры в тех ситуациях, когда распространенные характеристики (например вероятностные моменты) могут не существовать. Последнее относится, например, к активно используемым в последнее время в радиофизике моделям на основе устойчивых случайных процессов.

Таким образом, актуальность темы диссертационной работы обусловлена необходимостью разработки методов расчета характеристик самоподобия широкого класса случайных процессов и анализа самоподобных и вероятностно - временных характеристик трафика радиосистем при наличии повторных сигналов.

В соответствии с этим в работе рассмотрены следующие задачи

- исследование вероятностно - временных характеристик функционирования радиосистем при наличии повторных сигналов в стационарном и нестационарном режимах;

- разработка методов расчета характеристик самоподобия достаточно широкого класса случайных процессов, используемых, в том числе, и в качестве моделей трафика систем передачи информации;

- исследование и анализ вероятностно-временных характеристик и самоподобной структуры трафика радиосистем при наличии повторных сигналов;

- оценка параметров самоподобия различных СП и трафика систем при наличии повторных сигналов по результатам имитационного моделирования.

Учет повторных сигналов (требований на обслуживание) в системах передачи информации представляет собой актуальную задачу [28, 29, 30, 31,70,71,72, 90, 87, 115 и др.], которая в настоящее время решается различными численными и приближенными способами. При этом применяются методы теории массового обслуживания, использующие полное вероятностное описание системы. К сожалению, подобный подход обычно приводит к соотношениям не позволяющим найти точное решение полученной системы уравнений даже в стационарном состоянии.

В диссертации получены новые более простые аналитические соотношения для вероятностей, характеризующих функционирование одноканальной системы с повторными сигналами. С их использованием установлено, что поток источников повторных сигналов является отрицительно-биномиальным. Дана интерпретация этого потока как условно-пуассоновского.

Для нестационарного режима работы получены точные аналитические соотношения для первых двух статистических моментов интенсивностей обслуженной и повторной нагрузок в одноканальной системе с повторами. Проанализированы процессы установления стационарного режима. Исследованы флуктуации нагрузок и трафика в стационарном и нестационарном режимах работы рассматриваемой системы. Разработаны способы расчета самоподобной и самоафинной фрактальных размерностей гауссовского и линейного случайного процессов и рассмотрены различные примеры, в том числе устойчивых случайных процессов. С использованием разработанной методики рассчитана фрактальная размерность трафика повторных сигналов одноканальной системы.

Все основные полученные в работе результаты верифицировались посредством имитационного и статистического моделирования. Разработанный набор программ позволял

- осуществлять имитационное моделирование одноканальной системы с повторами;

- рассчитывать характеристики самоподобия трафика систем по результатам моделирования;

- моделировать случайные процессы с заданными характеристиками самоподобия и вычислять их фрактальные размерности.

Практическая значимость результатов работы состоит в расчете характерного времени установления стационарного состояния по среднему значению и дисперсии трафика, его флуктуаций, показателя Херста и других величин для обоснованного выбора параметров радиосистем при наличии повторных сигналов;

Диссертационная работа состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка литературы и приложений.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Зюльков, Илья Александрович

4.4. Выводы

Результатом исследований, проведенных в данном разделе, является разработка и реализация программ моделирования обобщенного броуновского движения и однородного симметричного устойчивого случайного процессов, а также оценки фрактальной размерности и показателя Херста. Рассмотрен также способ построения, структура и функционирование программы имитационного моделирования одноканальной системы с повторными сигналами. Программа реализована в виде консолыюго приложения для Delphi и протестирована. Проведенный вычислительный эксперимент позволил получить зависимость трафика повторных и обслуженных сигналов от времени и вероятностно-временные характеристики работы системы. Сравнение полученных данных с точными теоретическими соотношениями выявило их полную идентичность. Кроме того

- приводятся результаты моделирования обобщенного броуновского движения и обобщенного белого гауссовского щума.

- Осуществлено тестирование и сравнение между собой программ оценки фрактальной размерности по экспериментальным данным. Из рассмотренных пяти алгоритмов для дальнейшего использования был выбран один метод оценки, устойчивый к структуре наблюдаемых данных.

- Приведены результаты моделирования и оценки фрактальной размерности обобщенного симметричного устойчивого случайного процесса и соответствующего устойчивого белого шума.

- Приведены результаты моделирования трафика повторных сигналов в однока-нальной системе для различных временных масштабов.

- По данным имитационного моделирования получены оценки фрактальной размерности трафика повторных сигналов для различных временных масштабов и проведено сравнение с теоретическими результатами.

На основе полученных результатов можно сделать следующие выводы.

- Выборочные средние значения трафика, приведенные на рис.3,4 демонстрируют сильные флуктуации, несмотря на то, что число выборок велико. Тем не менее, такие значения соответствуют приведенным в разделе 2.3 теоретическим результатам расчета дисперсии трафика и убыванию выборочной дисперсии обратно пропорционально числу элементов выборки.

- Результаты моделирования подтверждают теоретические выводы раздела 2.3 о соотношении характерных времен установления стационарного состояния в потоках повторных и обслуженных сигналов.

- Результаты моделирования подтверждают теоретические выводы раздела 2.3 относительно влияния вероятности ошибки радиотехнической подсистемы на характеристики нестационарного режима функционирования подсистемы массового обслуживания радиосистемы.

- 127- Подтвердился теоретический вывод раздела 1.4 о наилучшей устойчивости оценки фрактальной размерности по методу Хигучи и непосредственно по определению. При соответствующей доработке последнего алгоритма, он может составить конкуренцию методу Хигучи и по точности. Однако рассмотренным методам свойственны все недостатки непараметрических алгоритмов.

- Результаты моделирования и оценки фрактальной размерности обобщенного симметричного устойчивого случайного процесса и устойчивого белого шума подтверждают правильность работы соответствующего программного обеспечения.

- Результаты моделирования трафика повторных сигналов в одноканальной системе для различных временных масштабов показывают, что он обладает пульсирующей структурой и, наряду с другими соображениями, качественно подтверждают его самоподобие.

- Различные оценки фрактальной размерности трафика для различных минимальных временных масштабов показывают, чтосоответствующие данные мультиф-рактальны; самоподобные свойства трафика определяются временем установления стационарного режима работы системы.

- Для временных масштабов больше длительности переходного периода измеренная фрактальная размерность совпадает с теоретически рассчитанной для стационарного режима.

- Оценка показателя Херста, полученная для всех характерных временных масштабов системы, дает Н ~ 0.8 -0.9 (в зависимости от значений параметров), что совпадает с литературными данными для систем передачи информации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена анализу характеристик самоподобия случайных процессов и трафика радиосистем при наличии повторных сигналов. Цель диссертационной работы состояла в

- разработке методов расчета характеристик самоподобия широкого класса случайных процессов;

- анализу на их основе вероятностно-временных характеристик функционирования и трафика одноканальной радиосистемы при наличии повторных сигналов в стационарном и нестационарном режимах;

- установлению области применимости теоретических соотношений и исследованию свойств трафика по результатам имитационного моделирования. В соответствии с этим в работе рассмотрены следующие основные задачи

- анализ методов описания самоподобных случайных процессов, способов расчета и оценки по экспериментальным данным их характеристик самоподобия;

- исследование вероятностно - временных характеристик функционирования радиосистем при наличии повторных сигналов в стационарном и нестационарном режимах;

- разработка методов расчета характеристик самоподобия достаточно широкого класса случайных процессов, используемых, в том числе, и в качестве моделей трафика систем передачи информации;

- исследование и анализ вероятностно-временных характеристик и самоподобной структуры трафика радиосистем при наличии повторных сигналов;

- оценка параметров самоподобия различных случайных процессов и трафика систем при наличии повторных сигналов по результатам имитационного моделирования.

В работе в обзорном плане рассмотрена структура, модели и способы описания функционирования радиосистем при наличии повторных сигналов. Рассматриваются взаимодействующие и взаимовлияющие подсистемы радиосистемы, функционирующие при наличии шумов, и повторных сигналов при высокой интенсивности их потока. В этих условиях их трафик может иметь самоподобную структуру. Приведены основные определения, примеры и области использования фрактальных случайных процессов, а также виды фрактальных размерностей их характеризующих. Подробно рассмотрены самоподобная и самоафинная размерности Хаусдорфа-Безиковича. Обоснована необходимость определения фрактальных размерностей случайных процессов и рассмотрены известные методы ее расчета и оценки по экспериментальным данным. Приведены основные понятия теории телетрафика и используемые модели трафика. Обсуждаются затруднения, с которыми теория телетрафика сталкивается при описании современных систем передачи информации. Уточнено определение нагрузки и установлено ее соотношение с трафиком системы.

На основе проведенного обзора литературы критически рассмотрены известные методы расчета характеристик самоподобия случайных процессов.

Приведенные результаты позволяют выделить объект исследования -одноканальную подсистему массового обслуживания радиосистемы при наличии повторных сигналов функционирующую в стационарном и нестационарном режимах. Рассмотренная вероятностная модель системы активно используется в литературе для анализа систем с повторными сигналами и систем передачи информации со свободным доступом. Тем не менее, эта модель не достаточно глубоко исследована не только в нестационарном, но и в стационарном случае. В диссертации упрощены известные соотношения для вероятностей в одноканальной системе с повторными вызовами. Это позволило:

- получить простое явное выражение для распределения числа источников повторных сигналов и дать этому соотношению полезную интерпретацию;

- сравнить полученные соотношения с характеристиками длины очереди в системе М\М\\ и на основе этого сопоставить показатели функционирования систем;

- установить факт безграничной делимости распределения числа источников повторных сигналов в одноканальной системе с повторами.

Полученные соотношения позволили изучить вероятностную структуру стационарного потока источников повторных сигналов и трафика повторных сигналов в одноканальной системе.

Дальнейшие аналитические исследования позволили установить справедливость соотношения (2.3.2) для стационарного и нестационарного случаев. С использованием этого соотношения решены системы уравнений для значений производящих функций преобразования Лапласа вероятностей числа источников повторных сигналов в одноканальной системе в нестационарном случае. Получены точные аналитические выражения для математического ожидания и дисперсии числа источников повторных сигналов. Найденные соотношения сравнивались с численным решением системы нелинейных дифференциальных уравнений, которая известна для средних значений.

Рассмотрены понятия самоподобной и самоафинной размерностей и способ расчета соответствующих хаусдорфовых размерностей для коррелированного гауссовского случайного процесса. Проведено сравнение с известными результатами и обоснованы преимущества предлагаемого метода. С использованием полученных соотношений рассчитаны размерности различных широко используемых коррелированных гауссовских случайных процессов.

Рассмотрены симметричный однородный устойчивый и линейный случайные процессы. Получена одномерная характеристическая функция приращений* линейного случайного процесса и найдена кумулянтная функция приращения произвольного порядка. Предложено несколько модификаций метода расчета самоподобной и самоафинной фрактальных размерностей линейного случайного процесса (на основе асимптотического поведения структурной функции, дробного абсолютного момента и кумулянтных функций приращения). Поскольку методов расчета размерностей линейного случайного процесса автору не известно, то для частного случая линейного случайного процесса - процесса Леви проведено сравнение с известными результатами и обоснованы преимущества предлагаемого метода. С использованием полученных соотношений рассчитаны размерности различных широко используемых случайных процессов в частности симметричного устойчивого однородного и неоднородного процессов.

Получены соотношения описывающие связь вероятностных характеристик числа повторных сигналов и их источников в стационарном и нестационарном случаях и приведены соображения по возможности их обобщения. Выведены приближенные соотношения для средних значений, дисперсий и флуктуаций трафика повторных сигналов и обсуждается их интерпретация. Приведены условия применимости приближенного подхода анализа пропускной способности протокола передачи данных со случайным множественным доступом, известного из литературы. Доказано, что трафик одноканальной системы с повторными сигналами является случайным процессом с независимыми приращениями. Получены точные выражения для одномерной характеристической функции и начальных моментов трафика повторных сигналов одноканальной системы. Точно рассчитана хаусдорфова самоафинная размерность трафика повторных сигналов одноканальной системы в стационарном режиме. Предпринята попытка объяснения свойств трафика повторных сигналов одноканальной системы в нестационарном режиме.

В работе осуществлена разработка и реализация программ моделирования обобщенного броуновского движения и однородного симметричного устойчивого случайного процессов, а также оценки фрактальной размерности и показателя Херста.

Рассмотрен способ построения, структура и функционирование программы имитационного моделирования одноканальной системы с повторными сигналами. Программа реализована в виде консольного приложения для Delphi и протестирована. Проведенный вычислительный эксперимент позволил получить зависимость трафика повторных и обслуженных сигналов от времени и вероятностно-временные характеристики работы системы. Сравнение полученных данных с точными теоретическими соотношениями выявило их полную идентичность. Кроме того

- приводятся результаты моделирования обобщенного броуновского движения и обобщенного белого гауссовского щума.

- Осуществлено тестирование и сравнение между собой программ оценки фрактальной размерности по экспериментальным данным.

- Приведены результаты моделирования и оценки фрактальной размерности обобщенного симметричного устойчивого случайного процесса и соответствующего устойчивого белого шума.

- Приведены результаты моделирования трафика повторных сигналов в одноканальной системе для различных временных масштабов.

- 132- По данным имитационного моделирования получены оценки фрактальной размерности трафика повторных сигналов для различных временных масштабов и проведено сравнение с теоретическими результатами. Из полученных результатов можно сделать следующие выводы:

1. Характеристическая функция числа источников повторных сигналов одноканальной системы при абсолютной настойчивости пользователя является (при целых г) г - ой степенью характеристической функции системы М\М\\. Соответствующее распределение представляется в виде свертки, а число источников повторных сигналов является условно - пуассоновский случайной величиной со случайной интенсивностью имеющей гамма распределение 2 центральное х распределение с г степенями свободы при целых г).

2. Характерные времена установления стационарных состояний в потоках повторных и обслуженных сигналов существенно различаются. Наличие ошибок приема служебной информации (блок 2 в схеме рис. 1.2) из-за шумов приводит к уменьшению интенсивности первичной нагрузки и увеличению интенсивности повторной. При малых вероятностях ошибки в радиоканале р, характерные времена установления стационарных состояний системы практически не изменяются по сравнению со случаем р=0.

3. Выражение йца=2—2Н/а для фрактальной размерности неоднородного симметричного устойчивого случайного процесса показывает, что она определяется как временными сглаживающими свойствами ядра интегрального преобразования, так и вероятностными свойствами процесса.

4. Для справедливости используемого в литературе приближенного метода анализа пропускной способности протокола «АЛОХА» достаточно, чтобы выполнялось условие (3.3.13). Оно существенно обобщает и уточняет используемое в литературе ограничение и переходит в него для пуассоновского потока и единичного времени наблюдения.

5. Точный расчет вероятностных характеристик и фрактальной размерности трафика повторных сигналов одноканальной системы в стационарном режиме позволяет сделать вывод об отсутствии утяжеленных хвостов у распределения и аномальных (Н Ф1/2) самоподобных свойств.

- 1336. Различные оценки фрактальной размерности трафика для различных минимальных временных масштабов показывают, что

- соответствующие данные мультифрактальны;

- самоподобные свойства трафика определяются временем установления стационарного режима работы системы.

7. Для временных масштабов больше длительности переходного периода измеренная фрактальная размерность совпадает с теоретически рассчитанной для стационарного режима /)//а = 3/2.

8. Оценка показателя Херста, полученная для всех характерных временных масштабов системы, дает //-0.8-0.9 (в зависимости от значений параметров), что совпадает с литературными данными для систем передачи информации. Таким образом, достаточно простая система при классических предположениях демонстрирует сложное поведение.

Предложенный в диссертации метод расчета фрактальных размерностей линейных случайных процессов позволяет исследовать широкий набор конкретных моделей. Использованные методы теоретического исследования свойств трафика без особых затруднений могут быть обобщены для пользователя с произвольной функцией настойчивости и, возможно, для многоканальных систем. Полученные в работе результаты имеют достаточно общий характер и могут быть использованы для обоснованного выбора параметров и характеристик современных систем передачи информации при их разработке и модификации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Зюльков, Илья Александрович, 2004 год

1. Андрианов, В.И. Средства мобильной связи / В.И. Андрианов, А.В.Соколов -СПб.: BHV, 1998.- 256с.

2. Бакут, П.А. Обнаружение движущихся объектов / П.А. Бакут, Ю.В. Жулина, Н.А Иванчук. М.: Советское радио, 1980.- 288с.

3. Башарин, Г.П. Анализ очередей в вычислительных сетях. Теория и методы расчета / Г.П. Башарин, П.П. Бочаров, Я.А. Коган М. : Наука, 1989. - 336 с.

4. Берже, П. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности./ П. Берже, И. Помо, К. Видаль M . : Мир, 1991. -368 с.

5. Божокин, C.B. Введение в теорию фракталов./ C.B. Божокин, Д.А. Паршин -Ижевск.: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. 128с.

6. Большаков, И.А. Статистические проблемы выделения потока сигналов из шума./ И.А. Большаков М.: Советское радио, 1969. - 464с.

7. Большаков, И.А. Прикладная теория случайных потоков / И.А. Большаков, B.C. Ракошиц М.: Советское радио, 1978. - 248с.

8. Вопросы перспективной радиолокации./Под ред. A.B. Соколова. -М.: Радиотехника, 2003. 508с.

9. Гальярди, P.M. Оптическая связь. / P.M. Гальярди, Ш. Карп Пер. с англ. под ред. А.Г. Шереметьева - М.: Связь, 1978. - 424с.

10. Гардинер, К.В. Стохастические методы в естественных науках./ К.В. Гардинер Пер. с англ. - М.: Мир, 1986. - 528с.

11. Гилмор, Р. Прикладная теория катастроф./ Р. Гилмор В 2-х книгах. Кн. 1. М.: Мир,1984.- 350с.

12. Дружинин, В.В. Системотехника. / В.В. Дружинин, Д.С. Конторов М.: Радио и связь, 1985.- 200с.

13. Зеленый, JI.M. Фрактальная топология и странная кинетика: от теории перколяции к проблемам космической электродинамики. / JI.M. Зеленый, A.B. Милованов // УФН, т. 174 (2004), №8, с. 809 852.

14. Золотарев, В.М. Преобразования Меллина-Стилтьеса в теории вероятностей./ В.М. Золотарев // Теория вероятностей и ее применения 1957,2,4,444-469.

15. Зюльков, A.B. Модель радиосистемы в условиях высокой нагрузки./ A.B. Зюльков, Ю.В. Сидоров //Радиотехника №11, 2002, с.

16. Зюльков, А. В. Самоподобные свойства трафика систем передачи информации. / А.В.Зюльков, Ю.В.Сидоров // Радиолокация, навигация и связь: IV междунар. науч.-техн. конф.—Б.м.— 1998—Т. 2 — С. 412-416.

17. Зюльков, И.А. Фрактальные размерности гауссовских случайных процессов/

18. И.А.Зюльков,В.И.Парфенов // Радиолокация, навигация,связь:У1междунар.науч.-техн.конф.,25-27 апр.2000 г.—Б.м.—2000.—Т. 1.—С.261-266.

19. Зюльков, И.А. Фрактальная размерность линейных случайных процессов / И.А.Зюльков // Радиолокация, навигация, связь: VII междунар. науч.-техн. конф., 24-26 апр. 2001 г.—Б.м.—2001.—Т. 1.—С. 58-63.

20. Зюльков, A.B. Самоподобные свойства трафика радиосистем в условиях высокой нагрузки при наличии повторных вызовов / А.В.Зюльков, И.А.Зюльков // Радиолокация, навигация и связь: VIII междунар. науч.-техн. конф.—Б.м.— 2002.—Т. 1.—С. 115-119.

21. Зюльков, И.А. Самоподобные свойства трафика систем с повторными вызовами / И.А.Зюльков // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика. Математика.—Б.м.— 2002.—№ 1.— С. 20-26.

22. Зюльков, И.А. Вероятностные характеристики системы с повторными сигналами / И.А.Зюльков^В.И.Парфенов // Вестник Воронежского колледжа Минюста России.—Б.м — 2003.—Вып. 1.—С. 149-153.

23. Зюльков, И.А. Вероятностные характеристики стационарного режима функционирования одноканальной системы с повторными сигналами / И.А.Зюльков // Вестник Воронежского института МВД России.—Б.м.— 2003.— Вып. 3(15).—С. 62-66.

24. Зюльков, И.А. Вероятностные характеристики нестационарного режима функционирования одноканальной радиосистемы при учете повторных сигналов / И.А.Зюльков // Промышленная информатика: Межвуз. сб. науч. тр.—С. 143-148.—Б.м., 2003.

25. Зюльков, A.B. Модель и вероятностные характеристики трафика радиосистемы со случайным множественным доступом / A.B.Зюльков, И.А.Зюльков // Радиолокация, навигация, связь: X междунар. науч.-техн. конф., 13-15 апр. 2004 г.—Б.м.—2004.—Т. 2.—С. 1250-1254.

26. Зюльков, А. В. Трафик радиосистем со случайным множественным доступом/ А. В. Зюльков, И. А. Зюльков // Физика волновых процессов и радиотехнические системы т.7 №2 2004г. С. 59-63.

27. Иванов, И.Е. Анализ результатов измерения нагрузки в сотовых сетях./ И.Е. Иванов// Электросвязь, 1997, №7.

28. Ионин, Г. Л. Теория телетрафика./ Г. Л. Ионин Рига: РПИ, 1975. - 212с.

29. Ионин, Г.Л. Оценка вероятностных характеристик полнодоступной схемы с повторными вызовами при наличии внутренней связи. / Г. Л. Ионин В кн. Методы и структуры систем телетрафика. - М.: Наука, 1979, с. 32-43.

30. Ионин, Г.Л. Исследование полнодоступной схемы с повторными вызовами и предварительным обслуживанием. / Г. Л. Ионин, Я.Я. Седол В кн.: Методы теории телетрафика в системах распределения информации. М., 1975, с. 75-84.

31. Ионин, Г.Л. Таблицы вероятности потерь на полнодоступном пучке при повторных вызовах./ Г. Л. Ионин, Я.Я. Седол М.: Наука, 1970. - 154с.

32. Карташевский, В.Г. Сети подвижной связи. / В.Г. Карташевский, С.Н. Семенов, Т.В. Фирстова- М.:ЭКО-ТРЕНДЗ, 2001. 300с.

33. Кенинг, Д. Методы теории массового обслуживания./ Д. Кенинг, Д. Штойян -Пер.с нем.-М.:Радио и связь, 1981. 128с.

34. Киндлер, Е. Языки моделирования./ Е. Киндлер Пер.с чеш.-М.: Энергоатомиздат, 1985. - 288с.

35. Клейнрок, Л. Теория массового обслуживания./ Клейнрок Л. М.: Машиностроение, 1979. - 432с.

36. Коростелев, A.A. Пространственно временная теория радиосистем./ A.A. Коростелев - М.: Радио и связь, 1987. - 320с.

37. Кофман, А. Массовое обслуживание. Теория и приложения. / А. Кофман, Р. Крюон М.: Мир, 1965. - 436с.

38. Кроновер, Ричард М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории/ Ричард М. Кроновер; Пер. с англ. Т. Э. Кренкеля, A. JI. Соловейчика под ред. Т. Э. Кренкеля.- М.: Постмаркет, 2000.-350 с.

39. Кузнецов, В.И. Системное проектирование радиосвязи. Методы и обеспечение. /В.И. Кузнецов-Воронеж.: ВНИИС, 1994.- 342с.

40. Кузьмин, С.З. Основы проектирования систем цифровой обработки радиолокационной информации. / С.З. Кузьмин М.: Радио и связь, 1986. -348с.

41. Кузьмин, С.З. Основы теории цифровой обработки радиолокационной информации. / С.З. Кузьмин М.: Радио и связь, 1974. - 432с.

42. Лившиц, Б.С. Теория телетрафика. / Б.С. Лившиц, А.П. Пшеничников, А.Д. Харкевич М.: Связь, 1979. - 224с.

43. Лукач, Е. Характеристические функции./ Е. Лукач Пер.с англ. - М.: Наука, 1979. - 424с.

44. Малахов, А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовских процессов и их преобразований. / А.Н. Малахов М.: Советское радио, 1978. - 376с.

45. Малинецкий, Г.Г. Самоорганизованная критичность/ Г.Г. Малинецкий, H.A. Митин// Журнал физической химии, 1995, т.69, №8, с. 1513-1518.

46. Мандельброт Б. "Самоафинные фрактальные множества" ч.1-3 в кн. Фракталы в физике, М.:Мир, 1988. -618с.

47. Марченко, Б.Г. Метод стохастических интегральных представлений и его приложения в радиотехнике. / Б.Г. Марченко Киев: Наукова думка, 1973. - 192 с.

48. Марченко, Б.Г. Линейные случайные процессы и их приложения. / Б.Г. Марченко, Л.Н. Щербак Киев.: Наукова думка, 1975.- 144с.

49. Математическая энциклопедия, т.5, М.: Советская энциклопедия, 1985. -1248с.

50. Морозов, А.Д. Введение в теорию фракталов./ А.Д. Морозов -Ижевск.: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2002. 162с.

51. Мун, Ф. Хаотические колебания./ Ф. Мун Пер. с англ. -М.: Мир, 1990. -312с.

52. Николис, Г. Познание сложного. Введение./ Г. Николис, И. Пригожин Пер. с англ. - М.: Мир, 1990. - 344с.

53. Пинскер, М.С. Теория кривых в гильбертовом пространстве со стационарными n-ми приращениями. / М.С. Пинскер// Изв. АН СССР, Сер. Математическая, 1955, т. 19, №5, с. 319-345.

54. Помехоустойчивость и эффективность систем передачи информации /А.Г. Зюко, А.И. Фалько, И.П.Панфилов, В.Л. Банкет, П.В. Иващенко; Под ред. А.Г. Зюко. М.: Радио и связь, 1985. - 272с.

55. Постон, Т. Теория катастроф и ее приложения. / Т. Постон, Й. Стюарт М.: Мир, 1980. - 608с.

56. Потапов, A.A. Фракталы в радиофизике и радиолокации. / A.A. Потапов М.: Логос, 2002г. - 664с.

57. Прицкер, М.А. Введение в имитационное моделирование и язык С ЛАМ II. / М.А. Прицкер М.: Мир, 1987. - 646с.

58. Пространственно временная обработка сигналов/И.Я. Кремер, А.И. Кремер, В.М. Петров и др.; Под ред. И.Я. Кремера. - М.: Радио и связь, 1984. - 224с.

59. Прудников, А. П. Интегралы и ряды. / А. П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1981.- 800с.

60. Радзиевский, В.Г. Информационное обеспечение радиоэлектронных систем в условиях конфликта./ В.Г. Радзиевский, A.A. Сирота М.: ИПРЖР, 2001. -456с.

61. Ратынский, В.М. Сотовая связь как система массового обслуживания./ В.М. Ратынский // Мобильные системы, 1987, №2, с. 16-18.-13964. Рюэль, Д. Случайность и хаос. / Д. Рюэль Ижевск.: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. - 192с.

62. Саати, Т.Л. Элементы теории массового обслуживания и ее применения./ М

63. Саати М.: Сов. радио, 1971. - 520с.

64. Саичев, А.И. Модели дробной диффузии. / А.И. Саичев, С.Г. Уткин // Актуальные проблемы статистической радиофизики т. 1 (2002),№1, с.5-43.

65. Секей, Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике./ Г. Секей Пер.с англ. - М.: Мир, 1990. - 240с.

66. Синай, Я.Г. Автомодельные распределения вероятностей./ Я.Г. Синай // Теория вероятностей и ее применения, 1976, т. 21, вып.1, с. 63-80.

67. Советов, Б.Я. Моделирование систем. Практикум. / Б.Я. Советов, С.А. Яковлев-М.: Высш. шк., 1999. 224с.

68. Степанов, С.Н. Моменты избыточной нагрузки однолинейной системы с повторными вызовами. / С.Н. Степанов// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1977, №1, с. 55-64.

69. Степанов, С.Н. Приближенный расчет вероятностных характеристик полнодоступного пучка. / С.Н. Степанов// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1982, №3, с. 120-127.

70. Степанов, С.Н. Численные методы расчета систем с повторными вызовами. / С.Н. Степанов М.: Наука, 1983,230с.

71. Сухопутная подвижная радиосвязь: в 2 кн. Кн.1. Основы теории/ И.М. Пышкин, И.И. Дежурный, Р.Т. Панкитян и др. Под ред. B.C. Семенихина и И.М. Пышкина М.: Радио и связь, 1990. - 432с.

72. Тимашев, С.Ф. О законе эволюции природных систем. / С.Ф. Тимашев //Журнал физической химии, 1994, т.68, №12, с. 2216-2223.

73. Тимашев, С.Ф Проявление макрофлуктуаций в динамике нелинейных систем. / С.Ф. Тимашев //Журнал физической химии, 1995, т.69, №8, с. 1349-1996.

74. Тихонов, В.И. Статистическая радиотехника. / В.И. Тихонов М.: Советское радио, 1966. - 678с.

75. Тихонов, В.И. Марковские процессы. / В.И. Тихонов, М.А. Миронов М.: Радио и связь, 1985. - 272с.-14078. Фалькович, С.Е. Статистическая теория измерительных радиосистем./ С.Е. Фалькович, Э.Н. Хомяков М.: Радио и связь, 1981. - 288с.

76. Федер, Е. Фракталы. / Е. Федер Пер. с англ. - М.: Мир, 1991. - 254с.

77. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. / В. Феллер В 2-х томах. Т.2. Пер. с англ. М.: Мир, 1984. - 738 с.

78. Хакен, Г. Информация и самоорганизация. Макроскопический подход к сложным системам. / Г. Хакен М.: Мир, 1991. - 200с.

79. Цыбаков, Б.С. Модель телетрафика на основе самоподобного случайного процесса. / Б.С. Цыбаков //Радиотехника, 1999,N5, с.24-31.

80. Учайкин, В.В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы. / В.В. Учайкин // УФН, 173 (2003), №8, с.847 876.

81. Шварц, М. Сети связи протоколы, моделирование и анализ. В 2 ч./ М. Шварц -Пер.с англ.В.И.Неймана. Ч.2.-1992.-272с.

82. Шелухин, О.И. Фрактальные процессы в телекоммуникациях./ О.И. Шелухин, A.M. Тенякшев, А.В. Осин М.: Радиотехника, 2003. - 480с.

83. Шеннон, Р. Имитационное моделирование искусство и наука. / Р. Шеннон -М.: Мир, 1978. - 302с.

84. Шнепс, М.А. Системы распределения информации. Методы расчета: Справочное пособие. / М.А. Шнепс М.: Связь, 1979. - 344с.

85. Шрайбер, Г.Дж. Моделирование на GPSS. / Г.Дж. Шрайбер. Перевод с англ. -М.: Машиностроение, 1980. 592с.

86. Шредер, М. Фракталы, хаос, степенные законы / М. Шредер Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. - 528с.

87. Asrom, Karl J. Evolution of continuous-time modeling and simulation. / Karl J. Asrom, Hilding Elmqvist, Sven E. Mattson. // The 12th European Simulation Multiconference ESM'98. Manchester, UK, June 16-18, 1998.-Manchester, 1998

88. Beran, J. Statistics for Long-Memory Processes. / J.Beran -Chapman & Hall, New York, USA, 1994. New York, 1994.

89. Blumental, R. Sample functions of stochastics processes with stationary independent increments. / R.Blumental, R.Getoor // J. Math. Mech. -1961. -vol.10, -P. 493-516.

90. Boes, D.C. Schemes exhibiting Hurst behavior. / D.C.Boes In J.N. Srivastava, editor, A Bibliographical Guide 9 Probability and Statistics: Essays in honor of Franklin A. Graybill, The Netherlands, Elsevier Science Publishers B.V., 1988. -P.21-36.

91. Boch, G. Object-Oriented Desing / G.Boch -Redwood City, Calif. : Benjamin/Cammings, 1991.

92. Brockwell, P.J. Time Series: Theory and Methods / P.J.Brockwell, R.A.Davis -New York : Springer Verlag, 1991.

93. Carmona, P. Fractional brownian motion and the Markov property / P.Carmona, L.Coutin // Electronic communications in probability. -1998. -№3. -P.95-107.

94. Chechkin, A.V. Fractional Brownian motion approximation based on fractional integration of a white noise / A.V.Chechkin, V.Yu.Gonnchar // Chaos, Solitons and Fractals. -2001. -vol.12, №6. -P.391-398.

95. Cohen, J.W. Basic problems of telephone traffic theory and influence of repeated calls / J.W.Cohen // Phillips Telecommunication Review. -1957. -vol.18, №2. -P.49-100.

96. Cox, D.R. Long-range dependence: A review / D. R.Cox // Statistics -IA: Iowa State Univ. Press. -1984. -P. 55-74.

97. Cheridito, P. Fractional ornstein-uhlenbeck processes / P.Cheridito, H.Kawaguchi, M.Maejima // Electronic journal of probability. -2003. -№8. -P.l-14.

98. Dawson, D.A. State dependent multitype spatial branching processes and their longtime behavior / D.A.Dawson, A.Greeven // Electronic journal of probability. -2003. -№8. -P. 1-93.

99. Denisov, S. Some new aspects of Levy walks and flights: directed transport,manipulation through flights and population exchange / S.Denisov, J.Klafter, M.Urbakh // Physica D. -2004. -№187. -P.89-99.

100. Denisov, S.I. Fractal dimension of random processes / S.I.Denisov / Chaos,Solitons and Fractals. -1998. -vol.9, №9. -P.1491-1496.

101. Egolf, D.A., Greenside H.S. Stochastic to deterministic crossover of fractal dimension for a Langevin equation / D.A.Egolf, H.S.Greenside // Phys. Rev. E. -1993. -vol.47, №5. -P.3753-3756.

102. Falconer, K.J. The Geometry of Fractal Sets / K.J.Falconer. -Cambrige, 1985.- 142106. Falconer, K.J. Dimensions and measures of quasi self-similar sets / K.J.Falconer // Proceedings of the AMS. -1989. -vol.106, June №2. -P.543-554.

103. Flandrin, P. Wavelet analysis and synthesis of Fractional Brownian motion / P.Flandrin // IEEE Transactions on Information Theory. -1992. -vol.38. -P.910-917.

104. Giraitis, L. A generalized fractionally differencing approach in long-memory modelling / L.Giraitis, R.Leipus // Lithuanian Mathematical Journal. -1995. -vol.35. -P.53-65.

105. Giraitis, L. Long memory shot noises and limit theorems with application to Burgers' equation / L.Giraitis, S.A.Molchanov, D.Surgailis // New Directions in Time Series Analysis. -1992. -Part II. -P.153-176.

106. Granger, C.W.J. An introduction to long-memory time series and fractional differencing / C.W.J.Granger, RJoyeux // Journal of Time Series Analysis. -1980. -vol.1.-P. 15-30.

107. Hosking, J.R.M. Fractional differencing / J.R.M. Hosking // Biometrika. -1981. -vol.1, №68.-P. 165-176.

108. Hosking, J.R M. Modeling persistence in hydrological time series using fractional differencing / J.R M. Hosking // Water Resources Research. -1984. -vol.20. -P.1898-1908.

109. Jaffard, S. The multifractal nature of Levy processes / S.Jaffard // Chaos,Solitons and Fractals. -1999. -vol.1, №7. -P. 132-149.

110. Jonin, G.L. Telephone systems with repeated calls / G.L.Jonin, J.J.Sedol // ITC-6, Munich, 1970. Munich, 1970. -P.435/1 -435/5.

111. Khoshnevisan, D. Levy classes and self-normalization / D.Khoshnevisan // Electronic communications in probability. -1996. -№1. -P.l-18.

112. Leland, W.E. On the Self-Similar Nature of Ethernet Traffic / W.E.Leland, M.S.Taqqu, W.Willinger, D.W.Wilson // Proc. ACM SIGCOMM'93, USA, San Fransisco, CA, 1993. San Fransisco, 1993. -P.183-193.

113. Levy, J. On renewal processes having stable inter-renewal intervals and stable rewards / J.Levy, M.S.Taqqu // Les Annales des Sciences Mathematiques du Quebec. -1987. -vol.11. -P.95-110.

114. Losa, J.L. Fractal dimension for Gaussian colored processes / J.L.Losa, J.Masoliver // Phys. Rev. A. -1990. -vol.42, №8. -P.5011-5014.

115. Lowen, S.B. Doubly stochastic Poisson point process driven by fractal shot noise / S.B.Lowen, M.C.Teich // Physical Review A. -1991. -vol.43. -P.4192-4215.

116. Lowen, S.B. Fractal renewal processes generate 1/f noise / S.B.Lowen, M.C.Teich // Physical Review E. -1993. -vol.47 -P.992-1001.

117. Lowen, S.B. Power-law shot noise / S.B.Lowen, M.C.Teich // IEEE Transactions on Information Theory. -1990. -vol.6, №36. -P. 1302-1318.

118. Mandelbrot, B.B. Long-Run Linearity, Locally Gaussian Processes, H-spectra, and Infinite Variance / B.B.Mandelbrot // Int. Econ. Rev. -1969. -vol.10. -P.82-113.

119. Mandelbrot, B.B. The Fractal Geometry of Nature / B.B.Mandelbrot // -Freeman. -1983.

120. Masry, E. The wavelet transform of stochastic processes with stationary increments and its application to fractional Brownian motion / E.Masry // IEEE Transactions on Information Theory. -1993. -vol.1, №39. -P.260-264.

121. Prutt, W. The grown of random walks and Levy processes / W.Prutt // Annals of Probability 9.-1981. -№6. -P.948-956.-144130. Resnic, S.I. Heavy tail modeling and teletraffic data / S.I.Resnie // Cornell University. -1996.

122. Ryu, B.K. Modeling self-similar traffic using the fractal- shot-noise-driven-poisson-process / B.K.Ryu, S.B.Lowen // -Preprint. -1994.

123. Samarov, A. On the efficiency of the sample mean in long memory noise / A.Samarov, M.S.Taqqu// Journal of Time Series Analysis. -1988. №9. -P.191-200.

124. Taqqu, M.S. Is network traffic self-simular or multifractal? / M.S.Taqqu, V.Teverovsky, W.Willinger//Fractals. -1996. -P.l-15.

125. Taqqu, M.S. Proof of Fundamental Results in Self-Simmilar Traffic Modelling / M.S.Taqqu, W.Willinger, R.Sherman // Computer Communication Review. -1997. -№27. -P.5-23.

126. Taqqu, M.S. On estimation on intensity of long range depency in finit and infinit variance time series / M.S.Taqqu, V.Teverovsky // Preprint. -1996.

127. Taqqu, M.S. Estimators for long-range dependence: an empirical study / M.S.Taqqu, V.Teverovsky, W.Willinger// Fractals. -1995. vol.3, №4. -P.785-788.

128. Tsybakov, B. Self-similar process in Communication Networks / B.Tsybakov, N.D.Georganas // IEEE Trans, on Information Theory. -1998. -vol.44, №5. -P. 17131725.

129. Willinger, W. Self-similarity through high-variability: statistical analysis of Ethernet LAN traffic at the source level (Extended Version) / W.Willinger, M. S.Taqqu, R.Sherman, Wilson D.V.// Preprint.

130. Willinger, W. Self-similarity through high-variability: statistical analysis of Ethernet LAN traffic at the source level / W.Willinger, M.S.Taqqu, RSherman, D.V.Wilson // Computer Communications Review. -1995. -vol.25. -P.100-113.

131. Willinger, W. A bibliographical Guide to Self-Simmilar Traffic and Performance Modelling for Morden High-Speed Networks / W.Willinger, M.S.Taqqu, A.Errmilli // Stohastic Networks: Theory and Applications. -1996. №3. -P.339-366.

132. Willinger, W. Self-simmulary throught high-variability: statistical analysis of Ethernet LAN traffic and the sourse level / W.Willinger, M.S.Taqqu, R.Sherman, D.V.Wilson // Boston University. -1995. Preprint.