Исследование геометрических и динамических свойств самоподобных кластеров тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Алехин, Александр Павлович

• Алехин, Александр Павлович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Алехин, Александр Павлович

СОДЕРЖАНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность

Цель работы

Научная новизна результатов заключается в следующем

Научно-практическая значимость полученных результатов

Апробация работы

Основные публикации автора по теме диссертации

Структура и объем диссертации

ГЛАВА 1. ФРАКТАЛЫ И ДРОБНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ

1.1. Основные понятия

1.2. Размерность фрактального множества

1.3. Размерность кластеров

1.4. Мультифракталы и спектр фрактальных размерностей

1.4.1. Обобщенные размерности Ренъи

1.4.2. Фрактальная и информационная размерности

1.4.3. Корреляционная размерность

1.4.4. Функция мулътифракталъного спектра

1.4.5. Свойства функции /(а)

ГЛАВА 2. КВАЗИФРАКТАЛЫ

2.1. Определение квазифракталов

2.2. Применение квазифрактальной гипотезы к анализу модельных неупорядоченных систем

2.2.1. Методы параметризации соотношения «число частиц - радиус»

2.2.2. Модели роста кластеров

2.2.2.1. Модель Виттена-Сандера

2.2.2.2. Модель «случайного дождя»

2.2.2.3. Решеточные модели

2.2.3. Результаты

2.3. Кластеры диполей в двумерной полярной жидкости

2.3.1. Модель роста кластеров

2.3.2. Результаты

2.4. Жесткие кластеры диполей на поверхности твердого тела

2.4.1. Метод параметризации кластеров

2.4.2. Модель роста кластеров

2.4.3. Результаты

ГЛАВА 3. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ ФРАКТАЛЬНЫХ КЛАСТЕРОВ

3.1. Система заряженных концентрических колец

3.2. Система дипольных концентрических колец

3.3. Система модельных дипольных кластеров

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование геометрических и динамических свойств самоподобных кластеров»

ВВЕДЕНИЕ

Работа посвящена исследованию геометрических и динамических свойств самоподобных кластеров. Разработанные модели представления (методы параметризации) кластеров позволили применить квазифрактальный подход к их анализу и отыскать параметры, чувствительные к изменению заданных свойств системы, в которой они были выращены. Так же в работе исследована взаимосвязь статистически самоподобного распределения зарядов/диполей на поверхности твердого тела (подложке) с электростатическим потенциалом вблизи нее, и предложен метод нахождения параметров этого распределения по известному электростатическому потенциалу вблизи подложки. Результаты компьютерного моделирования количественно согласуются с аналитическими расчетами.

Актуальность

Физика твердого тела и статистическая физика исследует в основном свойства макроскопических систем, используя т.н. термодинамический предел, предполагающий, что объем V и число частиц N в системе стремятся к бесконечности при постоянной плотности п = N/V. Такое приближение позволяет найти большинство «объёмных» характеристик системы.

Микроскопические объекты, например, электроны в атоме водорода, описываются законами квантовой механики, к которой состояние частицы характеризуется волновой функцией у/, определяемой из уравнения Шредингера.

Исследование же систем промежуточного размера (такой размер определяют как «мезоскопический» [2]) представляет интерес не только для ответа на вопрос: каким образом достигается термодинамический предел при последовательном увеличении размера системы от молекулы до массивного образца? Существует много явлений, которые присущи только

мезоскопическим системам. Мезоскоиические системы в действительности похожи на большие молекулы, но они всегда, по крайней мере, слабо связаны (посредством фононов, многочастичных возбуждений и т.п.) с гораздо большими (по существу - бесконечными) системами. Иногда силу этой связи можно контролировать, и, в идеале, было бы интересно проследить, как меняются различные характеристики системы при последовательном изменении силы связи от случая почти невзаимодействующей (слабокоррелированной) до сильно взаимодействующей (сильно-коррелированной) системы.

Основной трудностью при исследовании таких систем является то, что они содержат слишком большое количество атомов (106-109), чтобы задачу можно было решить напрямую, используя методы квантовой механики.

Эту проблему обычно обходят, переходя к феноменологическому рассмотрению системы, посредством введения потенциалов взаимодействия между ее структурными единицами и дополнительных предположений об их геометрии. Так, например, предположение о том, что неупорядоченная среда состоит из сильно-коррелированных фрактальных кластеров, слабо взаимодействующих друг с другом, позволило объяснить многие особенности диэлектрических спектров сложных веществ в широком диапазоне частот [3].

Прямые эксперименты и компьютерное моделирование [20-42] показали, что кластеры, образующиеся в процессах агрегации частиц, обычно обладают самоподобной структурой, хотя встречаются и отклонения [17]. В свою очередь, геометрические свойства самоподобных объектов описываются с помощью фрактальной геометрии - отрасли математики, которая стала активно развиваться после фундаментальных работ Бенуа Мандельброта [10-15]. В настоящее время область применения фрактальной геометрии постоянно расширяется [4-8, 58, 62, 66-68]. В рамках этих представлений основным параметром, характеризующим масштабно-инвариантные свойства фрактального объекта, является его размерность

Хаусдорфа-Безиковича, которая в отличие от топологической размерности, как правило, является нецелым числом. Например, в [66] показано, что размерности поверхности здоровых и раковых клеток значительно различаются, а в [67, 68] с точки зрения фрактальной геометрии рассматриваются коммуникационные сети города.

Обращаясь к проблеме исследования самоподобных кластеров, важно отметить, что процесс агрегации частиц является неравновесным, и взаимодействие их друг с другом, с растущим кластером, а также влияние внешних факторов отражается на особенностях геометрии получаемого кластера. К сожалению, фрактальная размерность не всегда оказывается чувствительной к изменению параметров системы, что потребовало построения модели кластера, в которой существует параметр чувствительный к изменению заданного фактора системы (взаимодействия между частицами, температуры, плотности и т.п.). Такой подход позволил рассматривать кластер как «маркер» заданного фактора системы.

Наряду с фрактальными агрегатами особое внимание уделяется свойствам диэлектрических тонких пленок, создаваемых на поверхности твердого тела (подложке). Для анализа структуры таких пленок широко применяются методы сканирующей зондовой микроскопии [9], однако чтобы определить статистические характеристики поверхности необходимо делать очень детальные снимки и проводить их фрактальный анализ. Хотелось бы иметь в распоряжении метод, позволяющий напрямую получать значения этих параметров, например, измеряя электростатическое поле вблизи поверхности. Такое поле может создаваться зарядами или диполями, нанесенными каким-либо образом на нее [18, 19].

Несомненно, что расширение возможностей анализа самоподобных кластеров, посредством применения квазифрактального подхода, а также исследования взаимосвязи между геометрией распределения зарядов/диполей и потенциалом, который они создают, представляет собой актуальные задачи.

Цель работы

Целью представленной работы являлось исследование геометрических и динамических свойств самоподобных кластеров. Были поставлены следующие задачи: 1) проверить применимость квазифрактального представления для анализа геометрической структуры широкого класса неупорядоченных систем на модельных данных (самоподобных кластерах); 2) подтвердить аналитически и проверить численно гипотезу о том, что самоподобная система электрических зарядов создает электростатический потенциал, содержащий слагаемое с нецелым (дробно-степенным) показателем степени.

Научная новизна результатов заключается в следующем

- подтверждена применимость квазифрактального представления для анализа геометрической структуры широкого класса неупорядоченных систем;

- разработаны модели представления кластеров, позволяющие количественно анализировать влияние управляющих параметров системы на геометрические особенности получаемых кластеров;

- показано, что самоподобное распределение зарядов/диполей на поверхности твердого тела (подложке) создает вблизи нее электростатический потенциал, содержащий произведение дробно-степенного слагаемого на функцию, периодическую в логарифмических координатах;

- предложен подход к анализу статистически самоподобного распределения зарядов/диполей на поверхности твердого тела, основанный на знании электростатического потенциала вблизи нее.

Научно-практическая значимость полученных результатов

Научно-практическая значимость работы состоит в том, что удалось подтвердить применимость квазифрактального подхода для анализа неупорядоченных систем. В этом случае вместо единственного параметра,

характеризующего геометрические свойства кластеров - фрактальной размерности в зависимости от выбранной параметризации получается набор параметров. Среди этого набора присутствует параметр, чувствительный к изменению заданного внешнего фактора, к которому можно отнести: потенциал межчастичного взаимодействия, температуру системы, ее плотность, массу частиц и т.п. Тем самым, кластер становится «маркером», чувствительным к величине заданного фактора. Выбор параметризации является произвольным и определяется исходя из наличия чувствительного параметра.

Также было показано, что самоподобная геометрия распределения зарядов/диполей на поверхности твердого тела порождает электростатический потенциал, содержащий произведение дробно-степенной функции на функцию, периодическую в логарифмических координатах, причем на расстоянии меньшем типичного размера кластеров это слагаемое дает ведущий вклад в потенциал.

Предложен способ решения обратной задачи - определения статистических параметров самоподобного распределения зарядов/диполей на поверхности твердого тела, например, в тонких пленках по известному потенциалу вблизи нее.

Мы надеемся, что данная работа окажется полезной для специалистов, занимающихся созданием и анализом тонких пленок с заданными свойствами, а также тем, кто интересуется спецификой протекания различных химических реакций на поверхностях катализаторов.

Апробация работы

Основные результаты работы были доложены на научных конференциях и опубликованы в соответствующих тезисах:

1. Nigmatullin R.R. Realization of the Riemann-Liouville integral on new

self-similar objects. / R.R. Nigmatullin, A.P. Alekhin // In Books of

abstracts "Fifth EUROMECH Nonlinear Dynamics Conference", Eindhoven University of Technology - 2005 - Netherlands - P. 175-176.

2. Алехин А.П. Численное моделирование и исследование свойств малых кластеров, обладающих нетривиальными масштабно-инвариантными свойствами. / А.П. Алехин // Четырнадцатая всероссийская конференция студентов-физиков и молодых ученых (ВНКСФ-14): Тез. Докл. - 2008. - г. УФА - С. 220-221.

3. Алехин А.П. Численное моделирование и исследование свойств малых кластеров, обладающих нетривиальными масштабно-инвариантными свойствами / Тез. Докл. Научно-образовательной конференции студентов. - Казань. - КГУ - 2008 г. - С. 104.

4. Алехин А.П. Новые методы параметризации и количественного прочтения двумерных дипольных кластеров / А.П. Алехин // Пятый международный междисциплинарный симпозиум ФиПС «Фракталы и прикладная синергетика в нанотехнологиях»: сборник трудов. - 17-20 Ноября 2008г. - г. Москва. - С. 104-107.

5. Nigmatullin R.R. Calculation of a static potential created by plane fractal cluster / R.R. Nigmatullin, A.P. Alekhin // 3rd Conf. on Nonlinear Science and Complexity - 28-31 July 2010 - Ankara, Turkey.

Основные публикации автора по теме диссертации

Основные результаты работы опубликованы в следующих статьях:

1. Nigmatullin R.R. Quasi-Fractals: New Possibilities in Description of Disodered Media / R.R. Nigmatullin, A.P. Alekhin // Advances in Fractional Calculus: Theoretical Developments and Application in Physics and Engineering; ed. by J. Sapatier, O.P. Agrawal, J.A. Tenreiro-Machado. -Berlin: Springer, 2007. - P. 377-388.

2. Нигматуллин P.P. Новые методы параметризации и количественного анализа плоских дипольных кластеров / P.P. Нигматуллин, А.П. Алехин

// Вестник Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева. - 2008. - № 4. - С. 21-25.

3. Алехин АП. Нетривиальные масштабно-инвариантные свойства дипольных кластеров / А.П. Алехин // Химическая физика. - 2009. -Т. 28, № 7. - С. 24-27. (Alekhin, А.Р. Dipole clusters with nontrivial scale invariant properties / A.P. Alekhin. // Russian Journal of Physical Chemistry

B. - Vol. 3. - № 4. - 2009. - P. 537-540).

4. Алехин А.П. Квазифракталы: новые возможности при описании самоподобных кластеров / А.П. Алехин // НФХМ. - 2012 - Т. 3, № 2. -

C. 1-8.

5. Nigmatullin R.R. Calculation of a static potential created by plane fractal cluster / R.R. Nigmatullin, A.P. Alekhin // Communications in Nonlinear Science andNumerical Simulations. -2011. -V. 16, № 12. - P. 4649^656.

6. Алехин А.П. Электростатический потенциал дипольных фрактальных кластеров. / А.П. Алехин // Наноматериалы и нанотехнологии. - 2012 -№ 1.-С. 1-7.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объём работы- 100 страниц печатного текста, включая 58 рисунков, 3 таблицы и библиографию из 68 наименований.

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, формируются цели и задачи диссертации, даётся общая характеристика работы и её составных частей, а также приводится список основных публикаций и тезисов по результатам работы конференций.

Первая глава является обзорной и посвящена основным понятиям фрактальной геометрии. Вводятся понятия фрактала, размерности Хаусдорфа-Безиковича, мультифрактала и спектра его размерностей.

Во второй главе дается определение нового типа самоподобных объектов - квазифракталов [44, 46]. Эти объекты обладают более медленным, нежели обычные фракталы, скейлингом и, как следует из проведенного исследования, могут быть с успехом применены для описания широкого класса неупорядоченных систем.

В третьей главе решается задача о вычислении электростатического потенциала, создаваемого самоподобной системой зарядов [56, 57]. Роль модельного кластера играет система заряженных/дипольных концентрических колец, расположенных в горизонтальной плоскости. Показано, что потенциал, создаваемый такой системой, как в случае одиночного, так и группы «кластеров», распределенных на подложке, определяется самоподобным распределением зарядов/диполей на поверхности твердого тела. Также предложен способ отыскания параметров распределения зарядов/диполей по известному потенциалу вблизи поверхности подложки.

Заключение содержит основные результаты проделанной работы.

На защиту выносятся основные положения, сформулированные в заключительном разделе данной диссертации.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Алехин, Александр Павлович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Применение фрактальной геометрии для анализа неупорядоченных систем является мощным средством исследования их скрытых самоподобных свойств. Основными инструментами исследования являются фрактальная размерность и спектр мультифрактальных размерностей изучаемого объекта, однако они оказываются не всегда эффективным, если мы ставим задачу исследования влияния характеристик системы, в которой они были выращены, на геометрические характеристики полученных кластеров.

В рамках данной работы было проведено исследование большого числа модельных неупорядоченных систем (кластеров) с помощью квазифрактального подхода. В этом случае кластер разбивается на набор слоев, содержащих небольшое число частиц. Способ разбиения является произвольным и подбирается исходя из следующего естественного требования: получить в модели кластера параметры, чувствительные к изменению заданных свойств системы (взаимодействия между частицами, температуры, плотности и т.п.). Таким образом, кластер рассматривается как «маркер» заданного свойства системы. Для таких свойств, как температура, плотность частиц и потенциал межчастичного взаимодействия нам удалось построить желаемые модели и предъявить эти параметры [51, 52].

Также в данной работе проведено исследование свойств электростатического потенциала, создаваемого статистически самоподобной системой зарядов/диполей, распределенных на поверхности твердого тела (подложке), вблизи этой поверхности. Удалось показать, что в выражении для потенциала появляется слагаемое, содержащее произведение дробно-степенной функции на функцию, периодическую в логарифмических координатах. Это слагаемое вносит основной вклад в потенциал на расстояниях больших размера мономеров кластеров, но меньших размера самих кластеров.

Также был предложен метод определения статистических параметров распределения зарядов/диполей на поверхности по известному потенциалу вблизи нее.

Итак, положения, выносимые на защиту, можно сформулировать следующим образом:

1. Показано, что применение квазифрактального подхода основанного на построении модели кластера, в которой присутствует параметр, чувствительный к изменению условий его роста, существенно расширяет возможности анализа неупорядоченных систем.

2. Разработанные модели представления кластеров, позволяют количественно анализировать влияние факторов роста кластеров на особенности их геометрии.

3. Показано, что самоподобное распределение заряда/диполей на поверхности твердого тела (подложке) создает вблизи нее электростатический потенциал, содержащий произведение дробно-степенного слагаемого на функцию, периодическую в логарифмических координатах.

Работа была выполнена в рамках тематического плана «Диэлектрическая спектроскопия и кинетика сложных систем» (Бюджет: 1218 02 0210 021000018).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Алехин, Александр Павлович, 2012 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ханин К.М. Фракталы / К.М. Ханин // Физический энциклопедический словарь; гл. ред. A.M. Прохоров. - Репринт, изд. 1983 г. - М. : Большая российская энцикл., 1995. - С. 371-372.

2. Ван Кампен Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии / Н.Г. Ван Кампен - М.: Высшая школа - 1990 - 375 с.

3. Арбузов А.А. Теория и методы анализа диэлектрических спектров, описываемых дробно-степенными выражениями с действительными и комплексно-сопряженными показателями: дисс. к.ф.-м.н.: 01.04.02 защищена 22 дек. 2009 / Арбузов Андрей Александрович- Казань 2009 - 140 с.

4. Потапов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации: Топология выборки. / А.А. Потапов. Изд. 2-е, перераб. и доп. - М.: Университетская книга, 2005. - 635 с.

5. Учайкин В.В. Метод дробных производных / В.В. Учайкин. -Ульяновск: Артишок, 2008. - 512 с.

6. Falconer К. Fractal geometry. Mathematical foundations and applications / K. Falconer 2nd Ed. - University of St Andrews, UK.: Wiley, 2003. - 367 p.

7. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов / А.Д. Морозов - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002 - 160 с.

8. Кронвер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. / P.M. Кронвер - М.: Постмаркет, 2000. - 352 с.

9. Суслов А.А. Сканирующие зондовые микроскопы (обзор) / А. А. Суслов, С.А. Чижик // Материалы, Технологии, Инструменты. - 1997 -Т. 2, № 3. - С. 78-89.

1 O.Mandelbrot В.В. How long the coast of Britain? Statistical self-similarity and fractal dimension / B.B. Mandelbrot // Science- 1967- Vol. 155. — P. 636-638.

11.Mandelbrot B.B. Intermitted turbulence in self-similar cascades: Divergence of high moments and dimension of the carrier. / B.B. Mandelbrot // J. Fluid Mech. - 1974 - Vol. 62 - P. 331-358.

12.Mandelbrot B.B. Stochastic models of the Earth's relief, the shape and the fractal dimension of the coastlines, and the number-area rule for islands. / B.B. Mandelbrot // Proc. Natl. Acad. Sci. USA - 1975 - Vol. 72. - P. 38253828.

13.Мандельброт Б.Б. Фрактальная геометрия природы / Б.Б. Мандельброт. - М.: Институт компьютерных исследований, 2002. - 656 с.

14.Мандельброт Б.Б. Самоафинные фрактальные множества / Б.Б. Мандельброт // Фракталы в физике: пер. с англ; под ред. J1. Пьетронеро, Э. Тозатти. Труды IV Международного симпозиума по фракталам в физике. - М.: Мир, 1988. - С. 9-48.

15.Mandelbrot B.B. Multifractals and 1/f Noise: Wild Self-Affinity in Physics. -N. Y.: Springer-Verlag - 1999. - 442 p.

16.Witten T.A. Diffusion-limited aggregation a cinetical critical phenomena / T.A. Witten, L.M. Sander // Phys. Rev. Lett. - 1981.- V. 47, №19.-P. 1400-1403.

17. Mandelbrot B.B. Deviation from self-similarity in plane DLA and the "infinitie drift" scenario. / B.B. Mandelbrot, H. Kaufman, A. Vespignani, I. Yekutieli and C.H. Lam // Europhys. Lett. - 1995 - Vol. 29, № 8, P. 599604.

18.KokJ.F. Electrification of granular systems of identical insulators / J.F. Kok, D.J. Lacks // Phys. Rev. E - 2009 - Vol. 79, № 051304. - P. 1-4.

19.Baytekin H.T. The mosaic of surface charge in contact electrification / H.T. Baytekin, A.Z. Patashinski, M. Branicki, B. Baytekin, S.Soh and B.A. // Science-2001 - Vol.333 -P.308-312.

20.Meakin P. Diffusion-controlled cluster formation in two, three and four dimensions / P. Meakin // Phys. Rev. A - 1983. - V. 27. - P. 604-607.

21.MeakinP. Formation of fractal clusters and networks by irreversible diffusion-limited aggregation / P. Meakin // Phys. Rev. Lett. - 1983. -V. 51.-P. 1119-1122.

22.Kolb M. Scaling of kinetically growing clusters / M. Kolb, R. Botet, R. Jullien // Phys. Rev. Lett. - 1983. V. 51. - P. 1123-1126.

23.Meakin P. Diffusion-limited aggregation in three dimensions: Results from a new cluster-cluster aggregation model / P. Meakin // J. Colloid and Interface Sci. - 1984. -V. 102. - P. 491-504.

24.Meakin P. The Void-Sutherland and Eden models of cluster formation / P. Meakin // J. Colloid and Interface Sci. - 1983. - V. 96. - P. 415^124.

25.Plischke M. Active zone of growing clusters: diffusion-limited aggregation and Eden model / M. Plischke, Z. Racz // Phys. Rev. Lett. - 1984. - V. 53. -P. 415^118.

26.Racz Z. Active zone of growing clusters: diffusion-limited aggregation and Eden model in two and three dimensions / Z. Racz, M. Plischke // Phys. Rev. A - 1985 - V. 31. - P. 985-994.

27. Meakin P. Diffusion-controlled cluster formation in 2-6-dimensional space / P. Meakin // Phys. Rev. A - 1983 - V. 27. - P. 1495-1507.

28.SahimiM. Transport and reaction on diffusion-limited aggregates / M. Sahimi M. McKarnin, T. Nordahl and M. Tirrell // Phys. Rev. A. - 1985 -V. 32.-P. 590-595.

29.BallR.C. Diffusion limited aggregation and it's response to anisotropy / R.C. Ball // Physica A. - 1986 - V.140. - P. 62-69.

30.Meakin P. Structure of large two-dimensional square-lattice diffusion-limited aggregaties: Approach to asymptotic behavior / P. Meakin, R.C. Ball, P. Ramanlal, L.M. Sander // Phys. Rev. A. - 1987 - V. 35. - P. 52335239.

31.Meakin P. Diffusion-controlled flocculation: The effects of attractive and repulsive interactions / P. Meakin // J. Chem. Phys. - 1983. - V. 79, № 5. -P. 2426-2430.

32.Meakin P. Effects of cluster trajectories on cluster-cluster aggregation: A comparision of linear and Brownian trajectories in two- and three-dimensional simulations / P. Meakin // Phys. Rev. A- 1984- V. 29. -P. 997-999.

33.Meakin P. Some universality properties associated winth the cluster-cluster aggregation model / P. Meakin., Z.R. Wasserman // Phys. Lett. A - 1984 -V. 103.-P. 337-341.

34.Meakin P. Diffusion-controlled aggregation on two-dimensional square lattices: Results from a new cluster-cluster aggregation model / P. Meakin // Phys. Rev. B - 1984 - V. 29. - P. 2930-2942.

35.Botet R. Gelation in kinetic growth models / R. Botet, R. Jullien, M. Kolb // Phys. Rev. A - 1984-V. 30. - P. 2150-2152.

36. Jullien R. Hierarchical model for chemically limited cluster-cluster aggregation / R. Jullien, M. Kolb // J. Phys. A- 1984- V. 17, № 12 (L639) - P. 1-3.

37.Brown W.D. Computer simulation of chemically limited aggregation / W.D. Brown, R.C. Ball // J. Phys. A - 1985 - V. 18, № 9 (L517) - P. 1-9.

38.GarikP. Anisotropic growth of diffusion-limited aggregates / P. Garik // Phys. Rev. A - 1985 - V. 32. - P. 1275-1278.

39. Jullien R. Aggregation by kinetic clustering of clusters in dimensions d > 2 / R. Jullien, M. Kolb, R. Botet // J. Phys. (Paris). - 1984. - V. 45, № 5 -P. 211-216.

40.Kolb M. Unified Description of Static and Dynamic Scaling for Kinetic Cluster Formation / M. Kolb // Phys. Rev. Lett. - 1984. - V. 53. - P. 16531656.

41.Kim S.G. Growth of ferromagnetic particles from cation reduction by borohydride ions / S.G. Kim, J.R. Brock // J. Colloid and interface Sci. -1987.-V. 116.-P. 431-443.

42.Meakin P. Reaction-limited cluster-cluster aggregation in dimensionalities 2-10 / Meakin P. // Phys. Rev. A - 1988 - V. 38. - P. 4799^814.

43.Божокин С.В. Фракталы и мультифракталы. / С.В. Божокин, Д.А. Паршин - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001 -128 с.

44.Nigmatullin R.R. Is there a geometrical/physical meaning of the fractional integral with complex exponent? / R.R. Nigmatullin and A. Le. Mehaute // J. Non-Crystalline Solids. -2005. - Vol.351. -P.2888-2899.

45.Nigmatullin R.R. Realization of the Riemann-Liouville integral on new self-similar objects. / R.R. Nigmatullin, A.P. Alekhin // In Books of abstracts "Fifth EUROMECH Nonlinear Dynamics Conference", Eindhoven University of Technology - 2005 - Netherlands - P. 175-176.

46.Nigmatullin R.R. Quasi-Fractals: New Possibilities in Description of Disodered Media / R.R. Nigmatullin, A.P. Alekhin // Advances in Fractional Calculus: Theoretical Developments and Application in Physics and Engineering; ed. by J. Sapatier, O.P. Agrawal, J.A. Tenreiro-Machado. -Berlin: Springer, 2007. - P. 377-388.

47. Алехин А.П. Численное моделирование и исследование свойств малых кластеров, обладающих нетривиальными масштабно-инвариантными свойствами. / А.П. Алехин // Четырнадцатая всероссийская конференция студентов-физиков и молодых ученых (ВНКСФ-14): Тез. Докл. - 2008. - г. УФА - С. 220-221.

48. Алехин А.П. Численное моделирование и исследование свойств малых кластеров, обладающих нетривиальными масштабно-инвариантными свойствами / Тез. Докл. Научно-образовательной конференции студентов. - Казань. - КГУ - 2008 г. - С. 104.

49.Алехин А.П. Новые методы параметризации и количественного прочтения двумерных дипольных кластеров / А.П. Алехин // Пятый международный междисциплинарный симпозиум ФиПС «Фракталы и прикладная синергетика в нанотехнологиях»: сборник трудов. - 17-20 Ноября 2008г. - г. Москва. - С. 104-107.

50.Нигматуллин P.P. Новые методы параметризации и количественного анализа плоских дипольных кластеров / P.P. Нигматуллин, А.П. Алехин // Вестник Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева. - 2008. - № 4. - С. 21-25.

51. Алехин АП. Нетривиальные масштабно-инвариантные свойства дипольных кластеров / А.П. Алехин // Химическая физика. - 2009. -Т. 28, № 7. - С. 24-27. (Alekhin А.Р. Dipole clusters with nontrivial scale invariant properties / A.P. Alekhin. // Russian Journal of Physical Chemistry

B. - Vol. 3. - № 4. - 2009. - P. 537-540).

52. Алехин А.П. Квазифракталы: новые возможности при описании самоподобных кластеров / А.П. Алехин // НФХМ - 2012. - Т. 3, № 2 -

C. 1-8.

53.Смирнов Б.М. Физика фрактальных кластеров. / Б.М. Смирнов - М.: Наука, 1991 - 136 с.

54.Newman M.E.J. Monte Carlo methods in statistical physics / M.E.J. Newman, G.T. Barkema // New York: Clarendon Press, 2001 - 494 p.

55.Nigmatullin R.R. Recognition of nonextensive statistical distributions by the eigencoordinates method / R.R. Nigmatullin // Physica A. - 2000. -Vol. 285.-P. 547-565.

56. Nigmatullin R.R. Calculation of a static potential created by plane fractal cluster / R.R. Nigmatullin, A.P. Alekhin // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulations. - 2011. - V. 16, № 12. - P. 4649-4656.

57. Алехин А.П. Электростатический потенциал дипольных фрактальных кластеров. / А.П. Алехин // Наноматериалы и нанотехнологии. - 2012. -№ 1.-С. 1-7.

58.Frder J. Fractals / New York and London: Plenum Press, 1988. - 254 p.

59.Каплий С.А. Закономерности кластерного роста пористых структур / С.А. Каплий, А.В. Проказников и Н.А. Рудь // Электронный журнал Исследовано в России- 2003.- V. 6. - Р. 1272-1279. http://zhurnal.gpi.ru/articles/2003/105.pdf

60.Mikhailov E.F. The generation of fractal structures in gaseous phase / E.F. Mikhailov and S.S. Vlasenko // Physics-Uspekhi - 1995. - V. 38, №3.-P. 253-257.

61.Смирнов Б.М. Фрактальные кластеры / Б.М. Смирнов // УФЫ - 1986. --V. 149, №6. -Р. 177-219.

62.VitsekT. Fractal growth phenomena / Т. Vitsek, 2nd ed. - Singapore: World Scientific, 1992 - 528 p.

63.Kornyshev A.A. Electric field of fractal clusters. / A.A. Kornyshev and M.A. Vorotyntsev // Physica A - 1991.-V. 171, № l.-P. 98-119.

64.Tarasov E.V. Electromagnetic field of fractal distribution of charged particles / E.V. Tarasov // Physics of plasmas - 2005. - V. 12, № 8 (082106)-P. 1-9.

65.Nigmatullin R.R. Eigen-Coordinates: New Method of Analytical Functions Identification in Experimental Measurements / R.R. Nigmatullin // Appl. Magnet. Resonance. - 1998. - Vol. 14. - P. 601-633.

66.Dokukin M.E. Cell Surface as a Fractal: Normal and Cancerous Cervical Cells Demonstrate Different Fractal Behavior of Surface Adhesion Maps at the Nanoscale / M.E. Dokukin, N.V. Guz, R.M. Gaikwad, C.D. Woodworth, I. Sokolov // Phys. Rev. Lett. - 2011 - V. 107, № 028101. - P. 1-8.

67.Евдокимов Ю.К. Фрактальное моделирование топологии сложных сетей / Ю.К. Евдокимов, Д.В. Шахтурин // Труды Казанского научного семинара «Методы моделирования» - 2007 - Т. 3 - С. 218-233.

68.Евдокимов Ю.К. Моделирование топологии больших сетей методами фрактальной геометрии / Ю.К. Евдокимов, Д.В. Шахтурин // Материалы Всероссийской научной конференции «Информационные технологии в науке, образовании и производстве» - 2007 - С. 4.