Фрактальная топология и дробная кинетика в проблемах теории турбулентности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Милованов, Александр Владимирович

• Милованов, Александр Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Милованов, Александр Владимирович

Введение

Глава 1: Топологические методы фрактальной геометрии •

1.1. Важнейшие определения

1.2. Основная теорема об универсальности

1.3. Другие топологические теоремы

Глава 2: Турбулентность, протекание и дробная кинетика

2.1. Странные процессы переноса

2.2. Дробное кинетическое уравнение

2.3. Феномен самоорганизованной критичности

2.4. Коэффициенты переноса в гамильтоновом приближении

2.5. Проводимость фрактальных сетей

Глава 3: Степенные хвосты, странные ускорения и термодинамика корреляций

3.1. Странные ускорения в турбулентных средах

3.2. Нелинейное кинетическое уравнение

3.3. Энтропия Тсаллиса: функциональные свойства

3.4. Энтропия Тсаллиса: каноническое распределение

Глава 4: Фрактальные мозаики, цветные шумы и спектры флуктуаций

4.1. Спектральные свойства турбулентности

4.2. Фрактальная структура турбулентного токового слоя

4.3. Фрактонные возбуждения и дробное волновое уравнение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Фрактальная топология и дробная кинетика в проблемах теории турбулентности»

Развитие современной физики (как теоретической, так и эксперимен- • тальной) во многом опирается на представление о множествах, обладающих нецелой размерностью. Понятие дробной (фрактальной) размерности было впервые сформулировано в работах Хаусдорфа [1] и Бези-ковича [2], которым предшествовали исследования выдающихся математиков конца XIX - начала XX века, таких как Кантор, Вейерштрасс, Пеано, Кох, Серпинский. Основы топологической теории размерности были заложены замечательным советским математиком П. С. Урысо-ном, трагически погибшим в возрасте 26 лет в 1924 году. Обобщенная (дробная) размерность играет ключевую роль в абстрактной математике, в частности, в теории чисел [3-5].

Термин фрактальная размерность стал частью физического лексикона около 25 лет назад, начиная с фундаментальных работ Ман-дельброта [6-8] по геометрии случайных процессов. Бесспорной заслугой Мандельброта стала демонстрация необычайно широкого круга явлений, приводящих к формированию фрактальных структур, а также оригинальное определение фрактала как множества, размерность Хаусдорфа-Безиковича которого строго больше его топологической размерности [8]. Классическими примерами фракталов являются изрезанные береговые линиии [6], случайные временные ряды [7], русла рек [8], траектории броуновских частиц [8], и др.

В настоящее время понятие фрактала воспринимается как парадигма современной теоретической физики. Всплеск работ по фракталам затронул такие основополагающие направления как неравновесная термодинамика [9,10] и космология [11,12], теория динамического хаоса [9,13,14] и гидродинамической турбулентности [9,15,16], исследование фазовых переходов [17,18] и транспортных явлений [19-21]. Богатый спектр приложений фрактальной геометрии в теоретической и экспериментальной физике обсуждается в сборнике [22], а также в монографиях [23-25]. Наиболее полное изложение математических основ современной фрактальной геометрии можно найти в монографии Федера [26].

Важный класс фрактальных объектов образуют множества, описывающие геометрию протекания, или перколлции. Под перколяцией в дальнейшем понимается случайное распространение жидкости через среду, причем абстрактные термины "жидкость" и "среда" могут быть интерпретированы в соответствии с физическим смыслом задачи [26]. Теории перколяции посвящена обширная литература: Отметим монографии [26-29], а также обзоры [30-33]. Перколяция является критическим процессом [32], т.е. подразумевает существование некоторого порога, ниже которого распространение жидкости ограничено конечной областью среды. Вблизи порога протекание происходит по фрактальному множеству, геометрия которого определяется исключительно законами критичности. Условие критичности приводит к независимости геометрических характеристик фрактала от микроскопических свойств среды. Данное явление может быть интерпретировано как универсальность фрактальной геометрии перколирующих множеств на пороге протекания. Наиболее яркая формулировка свойства универсальности известна как анзац Александера-Орбаха (АО) о равенстве спектральной размерности фрактального множества на пороге протекания значению 4/3 во тзсех топологических размерностях не ниже 2 [33,34]. (Подробнее об этом см. Главу 1.)

С другой стороны, несмотря на столь бурный прогресс в исследовании фракталов, многие актуальные проблемы так и не были решены. Прежде всего, отсутствует математически полное и строгое определение фрактального множества [26]. Действительно, как отмечено в монографии Федера [26], определение, данное Мандельбротом [8] "при всей правильности и точности слишком ограничено. Оно исключает многие фракталы, встречающиеся в физике." Альтернативное определение фрактала как структуры, состоящей из частей, которые в каком-то смысле подобны целому [35] предлагает лишь внешнее описание множества с точки зрения его масштабной инвариантности, однако не содержит никакой информации о внутренней организации системы [26].

Во вторых, аналитическое доказательство (или опровержение) анзаца АО, ставшее камнем преткновения современной фрактальной геометрии [33], признано фундаментальной проблемой, пути решения которой в рамках традиционных представлений о фракталах полностью исчерпаны. Кризис идей в этой области побудил Хавлина и бен-Аврахама назвать анзац АО вызовом всей теории перколяции [20].

Во-третьих, такие фундаментальные понятия как индекс связности и спектральная размерность, без которых невозможно точно сформулировать анзац АО [20,34], входят в теорию как феноменологические характеристики динамических процессов на фракталах, без четкой связи с топологией фрактала как такового. В самом деле, индекс связности обычно определяется либо через фрактальную размерность хаотических траекторий частиц [8,36], либо через скейлинг обобщенного коэффициента диффузии [37,38], что в любом случае требует искусственного перехода от геометрии к динамике. Аналогично, спектральная фрактальная размерность, как правило, вводится через плотность фрактон-ных состояний [34], описывающих поведение волновых процессов на фракталах. Намного более естественным, однако, представляется изначальное определение индекса связности и спектральной фрактальной размерности из структурных свойств фрактала, с последующим рассмотрением произвольных динамических процессов на основе единых геометрических цринципов. (Заметим, что связь спектральной размерности с наличием замкнутых циклов и точек ветвления на фрактальных перколяционных сетях обсуждалась на описательном уровне в работе [33]. Цели, тем не менее, ставились несколько иные - иллюстрация динамических характеристик фрактонных возбуждений.)

Наконец, до сих пор нет ясной картины, сколько независимых параметров необходимо задать для полного описания геометрии фрактального множества. Естественными вопросами являются:

1. Можно ли установить отношение эквивалентности для фрактальных структур, обладающих одинаковыми значениями индекса связности и размерности Хаусдорфа-Безиковича?

2. Существуют ли преобразования фракталов, сохраняющие индекс связности и спектральную фрактальную размерность?

3. Существует ли набор "базисных фракталов", из которых бы строилось все многообразие фрактальных множеств?

Легко видеть, что проблемы, стоящие перед современной фрактальной геометрией, так или иначе имеют топологическую природу. Топологическое описание фракталов могло бы не только поставить причудливое здание фрактальной геометрии на прочную математическую основу, но и привести к более глубокому пониманию динамических процессов, протекающих на множествах дробной размерности.

Уместно отметить, что в современной физической литературе сложилось несколько неоднозначное отношение к применению топологических методов при описании фрактальных структур. В качестве аргумента [14] обычно приводится несохранение метрических свойств фракталов при гомеоморфизмах - непрерывных взаимно однозначных ото-■ бражениях, переводящих одно множество в другое. Можно выдвинуть, однако, и контраргументы:

1. Сохранение размерности Хаусдорфа-Безиковича возможно при наложении дополнительных условий, например, условия Липшица. (Данное условие требует гладкость гомеоморфизма.) Можно доказать, что гладкие гомеоморфизмы (называемые диффеоморфизмами) сохраняют метрические свойства множеств [14].

2. Такие параметры как индекс связности и спектральная фрактальная размерность описывают тонкие геометрические свойства фракталов, которые не сводятся к простейшим метрическим характеристикам. О топологической инвариантности этих свойств известно очень мало, однако вполне обнадеживающими фактами представляются следующие: Во-первых, теоретико-множественное понятие связности является топологическим инвариантом [39]. Во-вторых, свойство быть канторовым множеством также является топологическим инвариантом [14]. В последующих Главах будет показано, что понятие канто-рова множества может быть положено в основу общего определения фрактала. Наконец, следует подчеркнуть, что колоссальный аналитический потенциал современной топологии [40-42] вплоть до настоящего времени остается невостребованным (или почти невостребованным) в большинстве публикуемых работ по фракталам.

Систематическое использование топологических методов при исследовании фрактальных структур было предложено в оригинальных работах автора [43-46]. Было показано, что синтез фрактальной геометрии и топологии приводит к ряду принципиально новых понятий, таких как дробное топологическое произведение и фрактальное многообразие. Топологические характеристики фрактальных многообразий определяются значением постоянной протекания С - фундаментальной математической константы, являющейся наименьшим (из двух возможных) решением трансцендентного алгебраического уравнения [43] с/2

-- = тг. (0.0.0)

Г(С/2 + 1) ^ ;

Понятия постоянной протекания и фрактального многообразия позволяют сформулировать важнейшие свойства фрактальных множеств на топологическом языке, а также доказать ряд теорем, открывающих путь к практическому применению топологической теории фракталов [43] в теоретической и математической физике. Топологическое описание фрактальных структур позволяет решить такие проблемы как

1. доказательство универсальности фрактальной геометрии перколирующих множеств в размерностях от 2 до 5 в смысле модифицированного анзаца АО [43];

2. вывод универсальных степенных законов для прсэцессов переноса в сильно турбулентных средах [47,48];

3. исследование наиболее общих геометрических свойств сильной турбулентности в сложных нелинейных динамических системах

45,46,49].

Применение топологических методов в теории сильной турбулентности обусловлено существованием глубокой связи между структурными свойствами системы и основными кинетическими процессами, протекающими на различных пространственных масштабах. Открытая термодинамическая система может сколь угодно долго находиться вблизи неравновесного стационарного состояния (НСС), структурная устойчивость которого достигается за счет формирования иерархических турбулентных полей. Как правило, такие поля собраны в сгустки, "раскиданные" по пространству под действием тех или иных сил. Сгустки, в свою очередь, могут быть разделены пустотами, где амплитуда поля сравнительно мала. Крупномасштабная картина представляет собой фрактал, заполняющий некоторую часть доступного евклидова пространства. Плотность числа сгустков на различных масштабах определяется размерностью Хаусдорфа-Безиковича, а взаимное расположение соседних сгустков - индексом связности, являющимся важнейшей топологической характеристикой поля. С другой стороны, индекс связности характеризует тип кинетических уравнений, описывающих динамические процессы на фракталах (например, в контексте свойства персистентности [26]). Поскольку вычисление индекса связности во многих случаях возможно на основе чисто топологических приемов (скажем, в терминах постоянной протекания С), анализ кинетических уравнений вблизи НСС фактически сводится к самосогласованному подбору фрактальной геометрии системы.

Развитием данных идей является геометрическое описание сильной турбулентности, впервые сформулированное автором в работе [50]. Геометрическое описание позволяет с единых позиций исследовать турбулентные динамические процессы, протекающие в солнечном ветре [50], дальнем хвосте магнитосферы Земли [49], а также в ближнем хвосте на начальных стадиях развития суббури [49,51]. Более того, геометрический подход приводит к ряду фундаментальных результатов [46-48] в области дробной динамики, играющей первостепенную роль в современной теории турбулентности и хаоса [52,53].

Слияние методов фрактальной геометрии и топологии [43,45,46] закладывает основы нового научного напрвления - фрактальной топологии, имеющего как фундаментальные математические [43-46], так и общефизические [47-49] аспекты. Термин фрактальная топология был впервые введен в работах [46,49,51].

Последовательное изложение топологических методов фрактальной геометрии в свете оригинальных работ [43-46] представлено в Главе 1. К важнейшим утверждениям, доказанным в Главе 1 (например, к Основной теореме об универсальности), мы будем возвращаться на протяжении всей работы. Сконцентрировав математический аппарат в Главе 1, мы создаем единую для всех последующих моделей теоретическую основу. Переход от топологии к физике осуществляется в Главе 2, содержащей нестандартное описание странных процессов переноса в турбулентных средах; главный упор сделан на метод дробного кинетического уравнения на фрактальном многообразии [47]. Каноническое распределение турбулентного ансамбля построено в Главе 3 на основе мультилинейного обобщения энтропии [54]; наравне с обобщенным термодинамическим развит нестандартный кинетический подход, лейтмотивом которого является нелинейное дробное кинетическое уравнение для турбулентных систем с самодействием [48,55]. Ряд конкретных проблем, стоящих перед современной космической электродинамикой, обсуждается в Главе 4. Речь в ней идет о спектральных свойствах НСС в различных диапазонах частот [49,51,55,56]; далее рассмотрены самосогласованная модель турбулентного токового слоя в дальнем хвосте магнитосферы Земли [49,51], явление магнитосферной суббури [49,51] и фрактонная модель турбулентности солнечного ветра [50,57,58] (в контексте неустойчивости фрактонных мод по отношению к самосжатию). Принципиальные моменты, изложенные в работе, суммированы в Заключении.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Милованов, Александр Владимирович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Суммируя сказанное в предыдущих Главах, выделим следующие принципиальные моменты:

1. Концепция фрактального многообразия [43] является ключем к построению аксиоматической теории множеств, обладающих нецелой размерностью. В основе аксиоматического подхода лежат топологические методы, подчиненные общим идеям фрактальной геометрии. Связующее звено заключается в исследовании отношений эквивалентности между фрактальными структурами, например, диффеоморфных отображений с дробным порядком гладкости. К важнейшим топологическим свойствам фрактальных множеств относится сохранение индекса связности при взаимно однозначных взаимно непрерывных деформациях (гомеоморфйзмах) [44]. Синтез фрактактальной геометрии и топологии открывает путь к развитию нового научного направления -фрактальной топологии [46], перспективы которого охватывают как абстрактную математику, так и теоретическую физику.

2. Важнейшими примерами фрактальных многообразий [43] служат дробное евклидово пространство Е^, диффеоморфное открытому дробному шару Б6,: Е*' ~ а также дробная сфера представляющая полную фрактальную границу шара : 5£г'~1 ~ дИ^.

Многообразия и 5£*'~1 описывают топологию перколяцищ или протекай ия, в статистически однородных изотропных системах. На пороге протекания шар V1' опирается на телесный угол, равный 7Г во всех объемлющих размерностях п от 2 до 5; спектральная размерность в,3 шара равна при этом постоянной протекания С « 1.327 [43]. Постоянная протекания С определяет минимальное дробное число степеней свободы, необходимых частице для достижения бесконечно удаленной точки при случайных блужданиях в пространстве Еп (2 < п < 5). Параметр С имеет чисто топологическую природу, отражающую универсальные (не зависящие от физической природы системы) структурные свойства перколирующих фрактальных множеств. Сделанные утверждения доказаны в Главе 1 в виде Основной теоремы об универсальности. Основная теорема играет центральную роль в исследовании фундаментальных топологических свойств фрактальных объектов, связанных с критическими явлениями в случайных средах [46]. К другим важным топологическим теоремам необходимо отнести Теорему о фрактальной границе [45,46], следствием которой является совпадение Хаусдорфовых размерностей шара и сферы = на пороге протекания, а также Теорему о множестве нулей [44], утверждающую существование перколирующих фрактальных множеств в плоских сечениях случайных функций.

3. С топологией протекания связана структура сильной турбулентности вблизи основного неравновесного стационарного состояния (НСС). Переход к НСС является сложным компромиссом между механизмами самоорганизации, определяющими ход эволюционных процессов в системе, и эффектами динамической релаксации, отражающими роль диссипативных факторов в среде. Во многих случаях термодинамически выгодными оказываются НСС, геометрия которых отвечает условиям протекания вблизи порога [49]. Применение Основной теоремы об универсальности позволяет немедленно получить значение спектральной фрактальной размерности для турбулентного ансамбля: ds = С « 1.327. Ограничения на Хаусдорфову размерность и индекс связности вытекают из Теоремы о фрактальной границе. Данный подход является совершенно общим и не требует каких либо специальных предположений относительно физической природы НСС. В контексте НСС постоянную протекания С « 1.327 можно рассматривать как универсальный параметр, характеризующий фундаментальные свойства турбулентного состояния. Подчеркнем, что для решения казалось бы чисто физической проблемы - исследования неравновесных стационарных состояний в динамических системах с сильной турбулентностью - нам пришлось одновременно развить математический аппарат, определив такие понятия как фрактальное многообразие, дробное топологическое произведение и постоянная протекания. Теория сильной турбулентности попадает, таким образом, под юрисдикцию фрактальной топологии. Последнее обстоятельство лежит в основе геометрического описания турбулентности, предложенного в [49-51].

4. Фрактальность непосредственно отражаются на кинетике турбулентного ансамбля. В игру вступают "странные" динамические процессы, не имеющие аналогов в квазилинейной теории; отметим негауссовы явления переноса, ускорения во фрактальном времени, возбуждение фрактонных мод, и др. Странным динамическим процессам отвечают обобщенные кинетические уравнения, содержащие производные дробного порядка (как по времени, так и по фазовым переменным). Как правило, порядок дифференцирования зависит от индекса связности фрактального поля; последнее обстоятельство гарантирует переход к обычным целым уравнениям в евклидовых пространствах. Анализ дробных кинетических уравнений на фрактальных многообразиях открывает путь к самосогласованному описанию сильной турбулентности. Действительно, условия согласования могут быть выражены в виде алгебраических соотношений между Хаусдорфовой фрактальной размерностью и индексом связности фрактальной структуры. Комбинируя условия согласования с известным значением спектральной фрактальной размерности ¿3 = С « 1.327 турбулентного ансамбля вблизи порога протекания, можно получить все необходимые параметры (включая обобщенные индексы дифференцирования) в окончательном численном виде. Решение дробных кинетических уравнений с индексами дифференцирования, зависящими от фрактальных свойств среды, завершает построение самосогласованной картины турбулентного поля. Демонстрациями данного метода являются: 1) фрактонная модель турбулентности солнечного ветра [50,57,58]; 2) самосогласованная модель турбулентного токового слоя в хвосте магнитосферы Земли [49,56,80], включая модель магнитосферной суббури [51] и модель самосогласованного ускорения Ферми [48].

5. Среди общих (не зависящих от физической природы) свойств НСС отметим стремление к самоорганизованной критичности (СОК); как известно [112], переход системы к СОК связан с появлением характерного розового шума ~ /1 на низких частотах. Феномен СОК удается понять в контексте фундаментальных физических принципов - таких как принцип наименьшего действия [55]. С увеличением частоты шумы темнеют, что связано с возрастающим влиянием структурных свойств турбулентного ансамбля на распределение энергии по спектру. Цвет шума на средних частотах целиком определяется фрактальной геометрией НСС (своей для каждой конкретной системы). В качестве примера приведем цветные шумы в солнечном ветре и дальнем хвосте магнитосферы Земли. Турбулентная структура солнечного ветра отвечает Хаусдорфовой размерности df ~ 4/3 и "колмогоровскому" спектру ~ /~5/3 [50,58]; между тем геометрия турбулентного токового слоя в хвосте магнитосферы соответствует Хаусдорфовой размерности с?/ ~ 5/3 и "черно-коричневому" спектру ~ /~7/3 [49,56]. Различие спектров по цвету в конечном итоге обусловлено спецификой физических процессов, связанных с формированием НСС.

6. Каноническое распределение турбулентного ансамбля вблизи НСС содержит нетепловой степенной хвост ~ Е-71 в области высоких энергий £ Т. Существование хвоста вытекает как из экстенсивной термодинамики, построенной на мультилинейных обобщениях энтропии [54], так и из нелинейного дробного кинетического уравнения для турбулентных систем с самодействием [48]. Кинетический подход позволяет, кроме того, оценить численное значение показателя 7] в турбулентном квазиравновесии: 6 < 7] < 7 [48]. Теоретические результаты, полученные в работах [48-51,56-58,80,194], хорошо согласуются с данными непосредственных наблюдений магнитоплазменной турбулентности в солнечном ветре и хвосте магнитосферы Земли.

Благодарности

В заключение хочу выразить глубокую признательность профессору Льву Матвеевичу Зеленому, искреннее внимание и поддержку которого я ощущал за все годы моей работы в Институте космических исследований РАН. Уверен, что решение многих важных проблем было бы невозможно без наших многочисленных обсуждений и споров. Хочу также поблагодарить всех моих коллег по ИКИ за особую творческую атмосферу, в которой я оказался с первых дней прихода в Институт, и которой обязан своими научными достижениями. Не могу не сказать теплых слов и в адрес моих иностранных коллег - профессоров Пьерлу-иджи Велтри, Гаэтано Дзимбардо и Иенса Расмуссена, опыт совместной работы с которыми считаю неоценимым.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Милованов, Александр Владимирович, 2003 год

1. F. Hausdorff, Dimension und äußeres Maß, Math. Annalen 79, 157 (1919).

2. A. S. Besicovitch, On linear sets of points of fractional dimensions, Math. Annalen 101, 161 (1929).

3. A. S. Besicovitch, On the sum of digits of real numbers represented in the diadic system, Math. Annalen 110, 321 (1935).

4. A. S. Besicovitch, Sets of points of поп-differentiability of absolutely continuous functions and of divergence of Fejer sums, Math. Annalen 110, 321 (1935).

5. I. J. Good, The fractional dimensional theory of continuous fractions, Proc. Camb. Phil. Soc. 37, 199 (1941).

6. В. B. Mandelbrot, How long is the coast of Britain? Statistical self-similarity and fractal dimension, Science 155, 636 (1967).

7. В. B. Mandelbrot, Fractals: Form, Chance, and Dimension (W. H. Freeman, San Francisco, 1977).

8. В. B. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature (W. H. Freeman, New York, 1982). Имеется перевод: Б. Мандельброт, Фрактальная геометрия природы (Институт компьютерных исследований, Москва, 2001).]

9. J. L. McCauley, Introduction to multifractals in dynamical systems theory and fully developed fluid turbulence, Phys. Rep. 189, 225 (1990).

10. G. Paladin and A. Vulpiani, Anomalous scaling laws in multifractal objects, Phys. Rep. 156, 147 (1987).

11. P. J. E. Peebles, The fractal galaxy distribution, Physica D 38, 273 (1989).

12. P. H. Coleman and L. Pietronero, The fractal structure of the Universe, Phys. Rep. 213, 311 (1992).

13. Г. M. Заславский, P. 3. Сагдеев, Введение в нелинейную физику. От осциллятора до турбулентности и хаоса (Наука, Москва, 1988).

14. R. М. Crownover, Introduction to Fractals and Chaos (Jones and Bartlett Publishers, Boston, 1995). Имеется перевод: P. M. Кроно-вер, Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории (Постмаркет, Москва, 2000).]

15. К. R. Sreenivasan and С. Meneveau, The fractal facets of turbulence, Physica D 38, 322 (1986).

16. U. Frisch, Turbulence. The Legacy of A.,N. Kolmogorov (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995). Имеется перевод: У. Фриш, Турбулентность. Наследие Колмогорова (ФАЗИС, Москва, 1998).]

17. Y. Gefen, В. В. Mandelbrot and A. Aharony, Critical phenomena on fractal lattices, Phys. Rev. Lett. 45, 855 (1980).

18. M. Suzuki, Phase transitions and fractals, Prog. Theor. Phys. 69, 65 (1983).

19. S. Havlin and D. ben-Avraham, Diffusion in disordered media, Adv. Phys. 36, 695" (1987).

20. D. ben-Avraham and S. Havlin, Diffusion and Reactions in Fractals and Disordered Systems (Cambridge Univ. Press, Cambridge, England, 2000).

21. J.-P. Bouchaud and A. Georges, Anomalous diffusion in disordered media: Statistical mechanisms, models and physical applications, Phys. Rep. 195, 127 (1990).

22. A. Aharony and J. Feder, Fractals in Physics. Essays in Honour of Benoit B. Mandelbrot (North-Holland, Amsterdam, 1989).

23. H. Takayasu, Fractals in Physical Sciences (Manchester Univ. Press, Manchester, 1990).

24. A. Le Mehaute, Fractal Geometries: Theory and Applications (CRC, Boca Raton, FL, 1991).

25. M. Schroeder, Fractals, Chaos, Power Laws (Freeman, New York, 1991). Имеется перевод: M. Шредер, Фракталы, Хаос, Степенные

26. Законы (7ZhC Dynamics, Москва, 2001).

27. J. Feder, Fractals (Plenum, New York, 1988). Имеется перевод: E. Федер, Фракталы (Мир, Москва, 1991).]

28. В. I. Shklovskii and A. L. Efros, Electronic Properties of Doped Semiconductors (Springer, New York, 1984).

29. D. Stauffer, Introduction to Percolation Theory (Taylor and Fransis, London, 1985).

30. D. Stauffer and A. Aharony, Introduction to Percolation Theory (Taylor and Francis, London, 1992).

31. V. K. S. Shante and S. Kirkpatrick, An introduction to percolation theory, Adv. Phys. 20, 325 (1971).

32. D. Stauffer, Scaling theory of percolation clusters, Phys. Rep. 54, 2 (1979).

33. M. B. Isichenko, Percolation, statistical topography, and transport in random media, Rev. Mod. Phys. 64, 961 (1992).

34. T. Nakayama, K. Yakubo and R. L. Orbach, Dynamical properties of fractal networks: Scaling, numerical simulations, and physical realizations, Rev. Mod. Phys. 66, 381 (1994).

35. S. Alexander and R. L. Orbach, Density of states on fractals, J. Phys. (France) Lett. 43, L625 (1982).

36. В. В. Mandelbrot, Self-affine fractal sets, in Fractals in Physics, edited by L. Pietronero and E. Tosatti (North-Holland, Amsterdam, 1986), p. 3.

37. Y. Gefen, A. Aharony and S. Alexander, Anomalous diffusion on percolating clusters, Phys. Rev. Lett. 50, 77 (1983).

38. B. O'Shaughnessy and I. Procaccia, Analytical solutions for diffusion on fractal objects, Phys. Rev. Lett. 54, 455 (1985).

39. B. O'Shaughnessy and I. Procaccia, Diffusion on fractals, Phys. Rev. A 32, 3073 (1985).

40. J. L. Kelley, General Topology (Van Nostrand, Princeton, NJ, 1957). Имеется перевод: Дж. JI. Келли, Общая топология (Наука, Москва, 1981).]

41. Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко, Современная геометрия (Наука, Москва, 1979).

42. М. W. Hirsch, Differential Topology (Springer, New York, 1976). Имеется перевод: M. Хирш, Дифференциальная топология (Мир, Москва, 1979).]

43. А. Т. Фоменко, Д. Б. Фукс, Курс гомотопической топологии (Наука, Москва, 1989).

44. А. V. Milovanov, Topological proof for the Alexander-Orbachconjecture, Phys. Rev. E 56, 2437 (1997).

45. A. V. Milovanov and G. Zimbardo, Percolation in sign-symmetric random fields: Topological aspects and numerical modeling, Phys. Rev. E 62, 250 (2000).

46. A. V. Milovanov and J. J. Rasmussen, Critical conducting networks in disordered solids: Ac universality from topological arguments, Phys. Rev. B 64, 212203 (2001).

47. A. V. Milovanov and J. J. Rasmussen, Fracton pairing mechanism for unconventional superconductors: S elf-assembling organic polymers and copper-oxide compounds, Phys. Rev. B 66, 134505 (2002).

48. A. V. Milovanov, Stochastic dynamics from the fractional Fokker-Planck-Kolmogorov equation: Large-scale behavior of the turbulent transport coefficient, Phys. Rev. E 63, 047301 (2001).

49. A. V. Milovanov and L. M. Zelenyi, FYacton excitations as a drivingmechanism for the s elf-organized dynamical structuring in the solar wind, Astrophys. Space Sci. 264, 317 (1998).

50. A. V. Milovanov, L. M. Zelenyi, P. Veltri, G. Zimbardo and A. L. Taktakishvili, Geometric description of the magnetic field and plasma coupling in the near-Earth stretched tail prior to a substorm, J. Atm. Sol. Terr. Phys. 63, 705 (2001).

51. R. Metzler and J. Klafter, Random walk's guide to anomalous diffusion: A fractional dynamics approach, Phys. Rep. 339, 1 (2000).

52. G. M. Zaslavsky, Chaos, fractional kinetics, and anomalous transport, Phys. Reports 371, 461 (2002).

53. A. V. Milovanov and L. M. Zelenyi, Functional background of the Tsallis entropy: "coarse-grained" systems and "kappa" distribution functions, Nonl. Proc. Geophys. 7, 211 (2000).

54. A. V. Milovanov and L. M. Zelenyi, Nonequilibrium stationary states in the Earth's magnetotail: Stochastic acceleration processes and nonthermal distribution functions, Adv. Space Res. 30 (12), 2667(2002). .

55. A. V. Milovanov, L. M. Zelenyi and G. Zimbardo, Fractal structures and power-law spectra in the distant Earth's magnetotail, J. Geophys. Res. 101, 19 903 (1996).

56. А. V. Milovanov and L. M. Zelenyi, Fracton excitations in the solar wind and power-law spectra of the IMF fluctuations, Phys. Space Plasmas 14, 373 (1995).

57. JI. M. Зеленый и А. В. Милованов, Динамическая модель флуктуации межпланетного магнитного поля: Фрактонные возбуждения и степенные спектры, Геомагнетизм и Аэрономия 37, 1 (1997).

58. А. Н. Колмогоров, Новый инвариант для транзитивных динамических систем, Доклады АН СССР 119, 861 (1958).

59. А. В. Милованов, JI. А. Аванов, Г. Н. Застенкер, JI. М. Зеленый, Мулътифрактальные свойства турбулентности солнечного ветра: Теория и наблюдения, Космич. Исслед. 34, 451 (1996).

60. L. F. Burlaga and L. W. Klein, Fractal structure of the interplanetary magnetic field, J. Geophys. Res. 91, 347 (1986).

61. A. Katok and B. Hasselblatt, Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1999). Имеется перевод: А. Б. Каток, Б. Хасселблат, Введение в современную теорию динамических систем (Факториал, Москва, 1999);]

62. К. В. Oldham and J. Spanier, The Fractional Calculus (Academic Press, New York, 1974).

63. С. П. Новиков и А. Т. Фоменко, Элементы дифференциальной геометрии и топологии (Наука, Москва, 1987).

64. JL М. Зеленый и А. В. Милованов, Крупномасштабные магнитные конфигурации на фрактальных множествах: Приближение бессилового поля, Астрон. Журн. 73, 805 (1996).

65. A. Coniglio, Cluster structure near the percolation threshold, J. Phys. A 15, 3829 (1982).

66. J. M. Normand, H. J. Herrmann and M. Hajjar, J. Stat. Phys. 52, 441 (1988).

67. Ю. Б. Румер и M. IH. Рыбкин, Термодинамика, статистическая физика и кинетика (Наука, Москва, 1977).

68. В. Г. Болтянский и В. А. Ефремович, Наглядная топология (Наука, Москва, 1983).

69. R. Zallen and Н. Scher, Percolation on a continuum and the localization-derealization transition in amorphous semiconductors, Phys. Rev. В 4, 4471 (1971).

70. A. H. Wallace, Differential Topology (Benjamin, New York, 1968). Имеется перевод: Дж. Милнор и А. Уоллес, Дифференциальная топология (Мир, Москва, 1972).]

71. М, V. Berry, Diffractals, J. Phys. A 12, 781 (1979).

72. Г. Николис и И. Пригожин, Самоорганизация в неравновесных системах (Наука, Москва, 1980).

73. D. Tetreault, -Turbulent relaxation of magnetic fields 1. Coarse-grained dissipation and reconnection, J. Geophys. Res. 97, 8531 (1992).

74. D. Tetreault, Turbulent relaxation of magnetic fields 2. Self-organization and intermittency, J. Geophys. Res. 97, 8541 (1992).

75. R. A. Treumann, Kinetic theoretical foundation of Lorentzian statistical mechanics, Phys. Scri. 59, 19 (1999).

76. R. A. Treumann, Generalized-Lorentzian thermodynamics, Phys. Scri. 59, 204 (1999).

77. G. M. Zaslavsky, M. Edelman, H. Weitzner, B. Carreras, G. McKee, R. Bravenec and R. Fonck, Large-scale behavior of the tokamak density fluctuations, Phys. Plasmas 7, 3691 (2000).

78. H. X. Ибрагимов, Азбука группового анализа. Серия Математика. Кибернетика, No. 8 (Знание, Москва, 1989).

79. D. Elhmaidi,"A. Provenzale and A. Babiano, Elementary topology of two-dimensional turbulence from a Lagrangian viewpoint and single-particle dispersion, J. Fluid Mech. 242, 655 (1993).

80. A. Provenzale, Transport by coherent vortices, Annu. Rev. Fluid Mech. 31, 55 (1999).

81. A. H. Nielsen, H. L. Pecseli and J. J. Rasmussen, Turbulent transport in low-/3 plasmas, Phys. Plasmas 3, 1530 (1996).

82. V. Naulin, A. H. Nielsen and J. J. Rasmussen, Dispersion of idealparticles in a two-dimensional model of electrostatic turbulence, Phys. Plasmas 6, 4575 (1999).

83. A. V. Milovanov and L. M. Zelenyi, Applications of fractal geometry to dynamical evolution of sunspots, Phys. Fluids B 5, 2609 (1993).

84. J. Klafter, A. Blumen, and M. F. Shlesinger, Stochastic pathway to anomalous diffusion, Phys. Rev. A 35, 3081 (1987).

85. G. Zimbardo, A. Greco, and P. Veltri, Superballistic transport in tearing driven magnetic turbulence, Phys. Plasmas 7, 1071 (2000).

86. G. Zimbardo, P. Veltri, and P. Pommois, Anomalous, quasilinear, and percolative regimes for magnetic-field-line transport in axially symmetric turbulence, Phys. Rev. E 61, 1940 (2000).

87. J. Klafter, M. F. Shlesinger and G. Zumofen, Beyond Brownian motion, Physics Today 49, 33 (1996).

88. M. F. Shlesinger, G. M. Zaslavsky and J. Klafter, Strange kinetics, Nature 363, 31 (1993).

89. E. W. Montroll and M. F. Shlesinger, in Studies in Statistical Mechanics, edited by J. Lebowitz and E. W. Montroll (North-Holland, Amsterdam, 1984), Vol. 11, p. 1.

90. B. D. Hughes, E. W. Montroll, and M. F. Shlesinger, J. Stat. Phys. 28, 111 (1982).

91. H. Scher, М. F. Shlesinger, and J. T. Bendler, Phys. Today 44, 26 (1991).

92. В. B. Mandelbrot and J. W. Van Ness, Fractional Brownian motion,tfractional noises and applications, SIAM Rev. 10, 422 (1968).

93. M. Giona and H. Б. Roman, Fractional diffusion equation for transport phenomena in random media, J. Phys. A 185, 87 (1992).

94. G. M. Zaslavsky, Fractional kinetic equation for Hamiltonian chaos, Physica D 76, 110 (1994).

95. К. В. Чукбар, Стохастический перенос и дробные производные, ЖЭТФ 108, 1875 (1995).

96. R. Hilfer, Classification theory for anequilibrium phase transition, Phys. Rev. E 48, 2466 (1993).

97. G. M. Zaslavsky, Multifractional kinetics, Physica A 288, 431 (2000).

98. H. Weitzner and G. M. Zaslavsky, Directional fractional kinetics, Chaos 11, 384 (2001).

99. R. Hilfer,„Applications, of Fractional Calculus in Physics (World Scientific, River Edge, New York, 2000).

100. I. M. Sokolov, J. Klafter and A. Blumen, Fractional kinetics, Phys. Today 55, 48 (2002).

101. К. B. Oldham and J. Spanier, The Fractional Calculus (Academic1. Press, New York, 1974).

102. А. С. Монин, Уравнение турбулентной диффузии, ДАН СССР 105, 256 (1955).

103. А. С. Монин и А. М. Яглом, Статистическая гидромеханика. Ч. 2 (Наука, Москва, 1967).

104. В. Ю. Забурдаев и К. В. Чукбар, Ускоренная супердиффузия и конечная скорость полетов Леей, ЖЭТФ 121, 299 (2002).

105. S. Jespersen, R. Metzler, and Н. С. Fogedby, Levy flights in external force fields: Langevin and fractional Fokker-Planck equations and their solutions, Phys. Rev. E 59, 2736 (1999).

106. F. Chiaravalloti, A. V. Milovanov and G. Zimbardo, Self-similar transport on two dimensional percolating structures, Phys. Rev. E, to be published.

107. P. Bak, C. Tang, and K. Wiesenfeld, Self-organized criticality: An explanation ofl/f noise, Phys. Rev. Lett. 59, 381 (1987).

108. P. Bak, C. Tang, and K. Wiesenfeld, Self-organized criticality, Phys. Rev. A 38, 364 (1988).

109. A. Vespignani and S. Zapperi, How self-organized criticality works: A unified mean-field picture, Phys. Rev. E 57, 6345 (1988).

110. H. J. Jensen, Self-Organized Criticality • (Cambridge Univ. Press,1. Cambridge, 1998).

111. S. Ohtani, T. Higuchi, A. T. Y. Lui and K. Takahashi, J. Geophys. Res. 100, 19 135 (1995).

112. Э. И. Могилевский, Фракталы на Солнце (Физматлит, Москва, 2001).

113. А. А. Потапов, Фракталы в радиофизике и радиолокации (Логос, Москва, 2002).

114. W. G. Glockle and Т. F. Nonnenmacher, Fox function representation of non-Debye relaxation processes, J. Stat. Phys. 71, 755 (1993).

115. J. A. Krommes, Self-organized criticality, long-time correlations, and the standard transport paradigm, Phys. Plasmas 7, 1752 (2000).

116. A. V. Milovanov and L. M. Zelenyi, Fractal clusters in the solar wind, Adv. Space Res. 14, 123 (1994).

117. P. H. Diamond and S. T. Hahm, On the dynamics of turbulent transport near marginal stability, Phys. Plasmas 2, 3640 (1995).

118. D. E. Newman, B. A. Carreras, P. H. Diamond, and T. S. Hahm, The dynamics of marginality and self-organized criticality as a paradigm for turbulent transport, Phys. Plasmas 3, 1858 (1996).

119. X. Garbet and R. Waltz, Heat flux driven ion turbulence, Phys. Plasmas 5, 2§36 (1998).

120. M. P. Freeman, N. W. Watkins and D. J. Riley, Power law distributions of burst duration and interburst interval in the solar wind: Turbulence or dissipative self-organized criticality? Phys. Rev. Б 62, 8794 (2000).

121. G. Consolini, and A. T. Y. Lui, Sign-singularity analysis of a current disruption event, Geophys. Res. Lett. 26, 1673 (1999).

122. T. Chang, S elf-organized criticality, multi-fractal spectra, sporadic localized reconnections and intermittent turbulence in the magnetotail, Phys. Plasmas 6, 4137 (1999).

123. G. M. Zaslavsky, in: Topological Aspects and the Dynamics of Fluids and Plasmas, eds. H. K. Moffatt, G. M. Zaslavsky, P. Comte, and M. Tabor. (Kluwer, Boston, 1992). p.481.

124. Б. В. Чириков, Резонансные процессы в магнитных ловушках, Атомная энергия 6, 630 (1959); В. V. Chirikov, Chaos, Solitons & Fractals 1, 79 (1991).

125. Г. M. Заславский, Статистическая необратимость в нелинейных системах (Наука, Москва, 1970).

126. А. В. Грузинов, М. Б. Исиченко и Д. Калда, Двухмерная турбулентная диффузия, ЖЭТФ 97, 476 (1990).

127. G. Zimbardo and P. Veltri, Field-line transport in stochastic magnetic fields: Percolation, Levy flights, and non-Gaussian statistics, Phys. Rev. E 51, 1412 (1995).

128. G. Zimbardo, P. Veltri, G. Basile and S. Principato, Anomalous diffusion and, Levy random walk of magnetic field lines in three dimensional turbulence, Phys. Plasmas 2, 2653 (1995).

129. P. Pommois, G. Zimbardo and P. Veltri, Magnetic field line transport in three dimensional turbulence: Levy random walk and spectrum models, Phys. Plasmas 5, 1288 (1998).

130. J.- D. Reuss, M. Vlad, and J. H. Misguich, Percolation scaling for transport in turbulent plasmas, Phys. Lett. A 241, 94 (1998).

131. К. В. Чукбар, Квазидиффузия пассивного скаляра, ЖЭТФ 109, 1335 (1996).

132. Т. В. Schroder and J. С. Dyre, Scaling and universality of ac conduction in disordered solids, Phys. Rev. Lett. 84, 310 (2000).

133. J. H. Schon, A. Dodabalapur, Z. Bao, Ch. Kloc, O. Schenker and

134. В. Batlogg, Gate-induced superconductivity in a solution-processed organic polymer film, Nature 410, 189 (2001).

135. D. Jerome and K. Bechgaard, Superconducting plastic, Nature 410, 162 (2001).

136. S. Capaccioli, M. Lucchesi, P. A. Rolla and G. Ruggeri, Dielectric response analysis of a conducting polymer dominated by the hopping charge transport, J. Phys.: Condens. Matter 10, 5595 (1998).

137. J. C. Dyre and Т. B. Schroder, Universality of ac conduction in disordered solids, Rev. Mod. Phys. 72, 873 (2000).

138. S. P. Christon, D. J. Williams, D. G. Mitchell, L. A. Franck and C. Y. Huang, Spectral characteristics of plasma sheet ion and electron populations during undisturbed geomagnetic conditions, J. Geophys. Res. 94, 13,409 (1989).

139. В. С. Березинский, С. В. Буланов, В. JI. Гинзбург, В. А. Догель и В. С. Птускин, Астрофизика космических лучей (Наука, Москва, 1990).

140. Е. Fermi, On the origin of cosmic radiation, Phys. Rev. 75, 1169 (1949).

141. A. La Porta, G. A. Voth, A. M. Crawford, J. Alexander and E. Bodenschatz, Fluid particle accelerations in fully developed turbulence,1. Nature 409, 1017 (2001).

142. A. Hasegawa, K. Mima and M. Duong-van, Plasma distribution function in a superthermal radiation field, Phys. Rev. Lett. 54, 2608 (1985).

143. C. -Y. Ma and D. Summers, Formation of power-law energy spectra in space plasmas by stochastic acceleration due to whistler-mode waves, Geophys. Res. Lett. 25, 4099 (1998).

144. JI. M. Зеленый и А. В. Милованов, Приложения групп Ли к теории равновесия цилиндрически симметричных силовых трубок магнитного поля, Астрон. Журн. 69, 147 (1992).

145. D. Summers and R. М. Thorne, A new tool for analyzing microinstabilities in space plasmas modeled by a generalized Lorentzian (Kappa) distribution, J. Geophys. Res. 97, 16 827 (1992).

146. M. R. Collier, On generating kappa-like distribution functions using velocity space Levy flights, Geophys. Res. Lett. 20, 1531 (1993).

147. M. Maksimovic, V. Pierrard and J. F. Lemaire, A kinetic model of the solar wind with Kappa distribution functions in the corona, Astron. Astrophys. 324, 725 (1997).

148. Л. Д. Ландау и Б. M. Лифшиц, Статистическая физика (Наука, Москва, 1964).

149. Ya. G. Sinai, Introduction to Ergodic Theory (Princeton Univ. Press, Princeton, 1972).

150. D. Ruelle, Thermodynamic Formalism (Addison Wesley, Reading, Massachusetts, 1978).

151. J.-P. Eckmann and D. Ruelle, Ergodic theory of chaos and strange attractors, Rev. Mod. Phys. 57, 617 (1985).

152. P. Gaspard and J. R. Dorfman, Chaotic scattering theory, thermodynamic formalism, and transport coefficients, Phys. Rev. E 52, 3525 (1995).

153. R. Badii and A. Politi, Complexity. Hierarchical Structures and Scaling in Physics (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997).

154. A. Renyi, On a new axiomatic theory of probability, Acta Mathematica Hungarica 6, 285 (1955).

155. A. Renyi, Probability Theory (North-Holland, Amsterdam, 1970).

156. Z. Daroczy, Inf. Control 16, 36 (1970).

157. C. Tsallis, Possible generalization of BoUzmann-Gibbs statistics, J. Stat. Phys. 52, 479 (1988).

158. A. R. Plastino and A. Plastino, Tsallis' entropy, Ehrenfest theorem and information theory, Phys. Lett. A 177, 177 (1993).

159. E. P. da Silva, C. Tsallis and E. M. F. Curado, Specific heat of a freeparticle in a generalized Boltzmann-Gibbs statistics, Physica A 199, 137 (1993).

160. A. K. Rajagopal, Dynamical linear responce theory for a nonextensive system based on the Tsallis prescription, Phys. Rev. Lett. 76, 3469 (1996).

161. A. Plastino and C. Tsallis, Variational method in generalized statistical mechanics, J. Phys. A 26, L893 (1993).

162. A. M. Mariz, on the irreversible nature of the Tsallis and Renyi entropies, Phys. Lett. A 165, 409 (1992).

163. J. D. Ramshaw, H-theorems for the Tsallis and Renyi entropies, Phys. Lett. A 175, 169 (1993).

164. J. D. Ramshaw, Irreversibility and generalized entropies, Phys. Lett. A 175, 171 (1993).

165. F. Buyukkilic and D. Demirhan, A fractal approach to entropy and distribution functions, Phys. Lett. A 181, 24 (1993).

166. P. A. Alemany and D. H. Zanette, Fractal random walks from a variational formalism for Tsallis entropies, Phys. Rev. E 49, R956 (1993).

167. D. H. Zanette and P. A. Alemany, Thermodynamics of anomalous diffusion, Phys. Rev. Lett. 75, 366 (1995).

168. В. М. Boghosian, Thermodynamic description of the relaxation of two-dimensional turbulence using Tsallis statistics, Phys. Rev. Б 53, 4754 (1996).

169. V. H. Hamity and D. Б. Barraco, Generalized nonextensive thermodynamics applied to the cosmic background radiation in a Robertson-Walker Universe, Phys. Rev. Lett. 76, 4664 (1996).

170. В. Г. Левич, Курс теоретической физики. Том 1 (Физматгиз, Москва, 1962).

171. F. Reif, Fundamentals of Statistical and Thermal Physics (McGraw-Hill, New York, 1965).

172. J. W. Gibbs, Elementary Principles in Statistical Mechanics (Yale Univ. Press, Yale, 1902; Dover, New York, 1960).

173. R. C. Toleman, The Principles of Statistical Mechanics (Oxford Univ. Press, Oxford, 1938; Dover, New York, 1979).

174. G. Gallavotti, Statistical Mechanics: A Short Treatise (Springer, Berlin, 1999).

175. W. R. Paterson and L. A. Frank, Survey of plasma parameters in Earth's distant magnetotail with the GEOTAIL spacecraft, Geophys. Res. Lett. 21, 2971 (1994).

176. A. T. Y. Lui, Inferring global characteristics of current sheet fromlocal measurements, J. Geophys. Res. 98, 13 423 (1993).

177. A. A. Galeev and L. M. Zelenyi, SLAB model of reconnection in collisionless plasma, Sov. Phys. JETP, Engl. Transl. 25, 407 (1977).

178. B. Coppi, G. Laval and R. Pellat, Dynamics of geomagnetic tail, Phys. Rev. Lett. 16, 1207 (1966).

179. A. Nishida, T. Yamamoto, K. Tsuruda, H. Hayakawa, A. Matsuoka, S. Kokubun, M. Nakamura and K. Maezawa, Structure of the neutral sheet in the distant tail (x = —210Re) in geomagnetically quiet times, Geophys. Res. Lett. 21, 2951 (1994).

180. M. Hoshino, A. Nishida, T. Yamamoto and S. Kokubun, Turbulent magnetic field in the distant tail: Bottom-up process of plasmoid formation?, Geophys. Res. Lett. 21, 2935 (1994).

181. T. M. Bauer, W. Baumjohann, R. A. Treumann, N. Sckopke and H. Luhr, Low-frequency waves in the near-Earth plasma sheet, J. Geophys. Res. 100, 9605 (1995).

182. C. T. Russell, Noise in the geomagnetic tail, Planet. Space Sci. 20, 1541 (1972).

183. J. E. Borovsky, R. C. Elphic, H. O. Funsten and M. F. Thomsen, The Earth }s plasma sheet as a laboratory for flow turbulence in high-jd MHD, J. Plasma Phys. 57, 1 (1997).

184. J. E. Borovsky, M. F. Thomsen, R. C. Elphic, Т. E. Cayton and D. J. McComas, The transport of plasma sheet material from the distant tail to geosynchronous orbit, J. Geophys. Res. 103, 20 297 (1998).

185. JI. M. Зеленый и А. В. Милованов, Фрактальные свойства солнечных пятен, Письма в Астрон. Журн. 17, 1013 (1991).

186. Р. Жульен, Фрактальные агрегаты, Успехи физ. наук. 157, 339 (1989).

187. Б. М. Смирнов, Физика фрактальных кластеров (Наука, Москва, 1991).

188. JI. М. Зеленый и А. В. Милованов, Эволюция солнечных пятен: кластерная модель, Письма в Астрон. Журн. 18, 622 (1992).

189. JI. М. Зеленый и А. В. Милованов, Фрактальные и мультифрак-тальные структуры в солнечном ветре, Геомагнетизм и Аэрономия 33, 18 (1993).

190. Т. Tajima, S. Cable, К. Shibata and R. M. Kulsrud, On the origin of cosmological magnetic fields, Astrophys. J. 390, 309 (1992).

191. T. Tajima, S. Cable and R. M. Kulsrud, On zero-frequency magnetic fluctuations in plasmas, Phys. Fluids В 4, 2338 (1992).

192. S. Cable and T. Tajima, Low-frequency fluctuations in plasma magnetic fields, Phys. Rev. A 46, 3413 (1992).

193. А. В. Милованов, Крупномасштабная структура скоплений галактик и спонтанная полимеризация на фрактальной геометрии, Астрон. Журн. 71, 360 (1994).

194. А. А. Рузмайкин, Д. Д. Соколов и А. М. Шукуров, Магнитные поля галактик (Наука, Москва, 1988).

195. Е. Clement, R. Kopelman and L. M. Sander, The diffusion-limited reaction A + В —> 0 on a fractal substrate, J. Stat. Phys. 65, 919 (1991).

196. П. Дж. Пиблз, Структура Вселенной в больших масштабах (Наука, Москва, 1983).

197. J. К. Lawrence, Diffusion of magnetic flux elements on a fractal geometry, Solar Phys. 135, 249 (1991).

198. Э. P. Прист, Солнечная магнитогидродинамика (Наука, Москва, 1985).

199. Р. Брей и Р. Лоухед, Солнечные пятна (Мир, Москва, 1985).

200. А. V. Milovanov and L. М. Zelenyi, Fractal model for sunspot evolution, Geophys. Res. Lett. 19, 1419 (1992).

201. E. N. Parker, Dynamics of the interplanetary gas and magnetic fields, Astrophys. J. 128, 664 (1958).

202. L. F. Burlaga, W. H. M.ish and D. A. Roberts, Large-scale fluctuationsin the solar wind at 1 AU: 1978 -1982, J. Geophys. Res. 94,177 (1989).

203. D. A. Roberts and M. L. Goldstein, Spectral signatures of jumps and turbulence in interplanetary speed and magnetic field data, J. Geophys. Res. 92, 10 105 (1987).

204. L. F. Burlaga, Multifractal structure of the interplanetary magnetic field, Geophys. Res. Lett. 18, 69 (1991).

205. L. F. Burlaga, Multifractal structure of speed fluctuations in recurrent streams at 1 AU and near 6 AU, Geophys. Res. Lett. 18, 1651 (1991).

206. C.-Y. Tu, E. March and К. M. Thieme, Basic properties of solar wind MHD turbulence near 0.3 AU analyzed by means of Elsasser variables, J. Geophys. Res. 94, 11 739 (1989).

207. A. T. Y. Lui, C.-L. Chang and P. H. Yoon, Preliminary nonlocal analysis of cross-field current instability for substorm expansion onset, J. Geophys. Res. 100, 19 147 (1995).

208. S. Ohtani, K. Takahashi, T. Higuchi, A. T. Y. Lui, H. E. Spence and J. F. Fennell, A MP TE / CGE SCATHA simultaneous observations of substorm-associated magnetic fluctuations, J. Geophys. Res. 103, 4671 (1998).

209. E. M. Лифшиц и Л. П. Питаевский, Физическая кинетика (Наука, Москва, 1979).

210. E. G. Harris, On a plasma sheath separating regions of oppositely directed magnetic fields, Nuovo Cimento 23, 115 (1962). ."

211. A. T. Y. Lui and A.-H. Najmi, Time-frequency decomposition of signals in a current disruption event, Geophys. Res. Lett. 24, 3157 (1997).

212. R. L. Orbach, Fracton dynamics, Physica D 38, 266 (1989).

213. P. W. Anderson, Absence of diffusion in certain random lattices, Phys. Rev. 109, 1492 (1958).

214. E. Courtens, R. Vacher and E. Stoll, Fractons observed, Physica D 38, 41 (1989).

215. M. Prester, Experimental evidence of a fractal dissipative regime in high-Tc superconductors, Phys. Rev. В 60, 3100 (1999).

216. H. Buttner, Possible explanation for the superconducting 2^0 К phase in the Y-Ba-Cu-0 system, Nature 329, 700 (1987).

217. O. Entin-Wohlman, S. Alexander and R. L. Orbach, Inelastic extended electron localized vibrational state scattering rate, Phys. Rev. В 32, 8007 (1985).

218. Б. Б. Кадомцев, Коллективные явления в плазме (Наука, Москва, 1988).