Методика изучения фрактальной структуры гравитационных аномалий и геологических сред при интерпретации данных гравиметрии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 04.00.12, кандидат геолого-минералогических наук Утемов, Эдуард Валерьевич

• Утемов, Эдуард Валерьевич
• кандидат геолого-минералогических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат геолого-минералогических наук Утемов, Эдуард Валерьевич

| ОГЛАВЛЕНИЕ

! I

I !

| ОГЛАВЛЕНИЕ_____

!

| ВВЕДЕНИЕ__4

| ИДЕИ ФРАКТАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ В ГЕОЛОГИИ И ГЕОФИЗИКЕ (краткий обзор

литературы)___11

I Глава 1. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ФРАКТАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА АНОМАЛИЙ

ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ И ПАРАМЕТРОВ ГЕОЛОГИЧЕСКИХ СРЕД__18

1.1. Введение_______18

1.2. Природные нестационарные фрактальные системы_

1.3. Функция локальной размерности нестационарных фракталов__25

1.4. Математическое моделирование случайных нестационарных фрактальных множеств, являющихся графиками функций_______27

1.5. Определение локальных размерностей нестационарных фрактальных множеств, являющихся графиками функций________________________________30

1.6. Нестационарные фрактальные свойства физических параметров горных пород_37

1.7. Нестационарные фрактальные свойства аномалий гравитационного поля_46

1.8. Обсуждение результатов первой главы__56

Глава 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕОЛОГИЧЕСКИХ СРЕД С ФРАКТАЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ МАСС ПРИ РЕШЕНИИ ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ГРАВИРАЗВЕДКИ__59

2.1. Введение _______59

2.2. Влияние фрактальной структуры геологических сред на определение средних величин

! физических параметров на примере простейших прямых задач гравиразведки_60

I

] 2 3. Методика решения обратной двумерной линейной задачи гравиразведки для сред с

фрактальным распределением аномальных масс__67

2.3.1. Введение

2.3-2. Постановка обратной задачи

2 3 3 Алгоритм поиска решения

2.3.4. Практическая реализация методики

I

2Д5. Апробация методики на модельных примерах

24. Обсуждение результатов второй главы ___90

Глава 3. МЕТОДИКА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ФРАКТАЛЬНЫХ СВОЙСТВ АНОМАЛИЙ БУГЕ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПЛОТНОСТИ ПРОМЕЖУТОЧНОГО СЛОЯ_93

3.1. Введение___________93

3 2. Фрактальные свойства аномалий Буге как функции высоты_95

В 3. Практическое опробование методики____101

3.4. Обсуждение результатов третьей главы__________________________________101

ВЫВОДЫ________103

ЛИТЕРАТУРА___107

АВТОРСКАЯ ЛИТЕРАТУРА _ __114

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методика изучения фрактальной структуры гравитационных аномалий и геологических сред при интерпретации данных гравиметрии»

ВВЕДЕНИЕ

Яркими и фундаментальными работами Бенуа Мандельброт пробудил всеобщий интерес к фрактальной геометрии - понятию, введенному самим Мандельбротом. В своих работах он предлагает лишь пробные определения понятия "фрактал", заявляя, что они не являются окончательными. Приведем одно из таких определений: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому". Здесь подчеркивается отличительный признак фракталов: фрактал выглядит одинаково в каком бы масштабе его ни наблюдать.

Свойство самоподобия, фрактальность геологических объектов отмечается многими исследователями. Так, в монографии Д.Л.Туркотте [82], наиболее полной работе, посвященной фракталам в геологии и геофизике, говорится о том, что масштабная инвариантность геолого-геофизических явлений - это именно то, с чего нужно начинать обучение студентов геологии. Однако несмотря на то, что понятие фрактала предложено Б.Мандельбротом еще в 50-х годах, лишь сравнительно недавно геоморфологические, а затем и геологические объекты стали рассматриваться с позиции фрактальной геометрии.

В ряде областей геофизики к настоящему времени отмечается значительный прогресс в понимании фрактальной природы геологических сред (исследование сейсмических и тектонических явлений, теория разрушения горных пород, геоморфология и некоторые другие направления [11, 65] и др.). При этом в периодической литературе практически не встречаются какие-либо значимые работы, посвященные приложению идей фрактальной геометрии к геологической интерпретации потенциальных, в частности гравитационных полей. В этом скрыто некоторое противоречие, поскольку различные геофизические методы по сути занимаются исследованием общего объекта - земной литосферы. 1

Таким образом можно полагать, что данная диссертационная работа в какой-то мере восполнит тот пробел, который намечается в последнее время в прикладной геофизике, в частности в вопросах использования идей и методов теории фракталов при интерпретации данных гравиразведки.

На ранних этапах развития геофизических методов, в частности гравиметрии, был заложен фундамент для физико-геологического моделирования, основанного на конструкциях, при составлении которых использовались объекты наиболее простых геометрических форм (шар, круговой цилиндр, призма и т.п.). Причина интенсивного использования таких объектов при моделировании связана с простотой их математического описания и имеет свои исторические корни. Составление моделей, имеющих ясную для восприятия геометрическую форму, являлось для исследователей основой интуитивного понимания геометрии природы. Очевидно и то, что на ранних стадиях развития геофизики отсутствовала вычислительная техника достаточной мощности, поэтому использование объектов элементарных геометрических форм при моделировании было совершенно вынужденным.

Появление быстродействующих компьютеров позволило освоить

I

| численное решение прямых задач гравиразведки для моделей практически любой сложности. Однако решение обратных задач гравиразведки в целом по-прежнему остается актуальной проблемой, поскольку она далеко выходит за рамки чисто вычислительной процедуры.

Идея использования сведений о фрактальных свойствах геологической среды в качестве априорной информации при решении прямых и обратных задач гравиразведки имеет несколько важных аспектов.

Во-первых, фрактальная структура среды может существенно повлиять на результаты вычисления средней плотности и гравитационного эффекта какой-либо аппроксимационной геометрической модели. Эта проблема нетривиальна, поскольку большинство практических задач гравиразведки

связано с исходной принципиальной недостаточностью информации для получения более точного решения.

Во-вторых, фрактальность, самоподобие геологических сред есть ни что иное, как свойство масштабной инвариантности, позволяющее упрощать описание геологической среды. По сути математическое моделирование фракталов сводится к некоторой рекурсивной (самовызываемой) процедуре. На этом принципе можно строить сложные содержательные физико-геологические модели, используя при этом небольшой набор независимых переменных.

В-третьих, фрактальная размерность - количественная характеристика масштабной инвариантности, связана с понятием устойчивости. Применительно к обратным задачам гравиразведки, устойчивость решения оказывается напрямую связанной с фрактальной размерностью распределения аномальных масс в среде, то есть определяется свойствами самой геологической среды.

Для задач гравиразведки автор предлагает два подхода к моделированию. Первый относится к линейным обратным задачам, то есть задачам, в которых при заданной геометрии тел искомыми являются значения их избыточных плотностей. В качестве аппроксимационных конструкций среды в этом случае могут быть использованы фрактальные самоаффинные функции, определенные в узлах регулярной сети. Второй подход может быть предложен для нелинейных задач, то есть задач, для которых варьируемыми величинами являются геометрические параметры. Здесь фрактальная плотностная модель среды может быть построена на основе идеи использования аффинных преобразований. Заметим также, что моделирование фрактальных сред в некотором смысле стирает грань между линейными и нелинейными обратными задачами гравиразведки, поскольку в этом случае значения плотностей элементов модели и их пространственное положение имеют определенную взаимосвязь. 1

При исследовании фрактальных свойств параметров геологических сред и физических полей Земли процедура вычисления фрактальной размерности может быть использована для решения задачи изучения структуры геологических сред.

Если рассматривать геологические среды как большие иерархические системы, то информация о фрактальных свойствах параметров среды может быть выражена в терминах понятий устойчивости и сложности системы. Самоорганизация иерархического типа предполагает существование в рамках общей системы отдельных подсистем, функционирование которых, выражаясь фигурально, имеет "федеративный" характер, то есть поведение подсистем координируется на других уровнях иерархии. Объектами исследований в этом случае являются системы, имеющие пространственно-временное распределение локальных фрактальных свойств. Для описания таких систем автором предложен новый термин "нестационарные фракталы", поскольку их свойства не укладываются в рамки традиционных для теории фракталов понятий - монофракталов и мультифракталов.

Резюмируя сказанное выше, можно утверждать, что цель настоящей диссертационной работы заключается в теоретическом и экспериментальном доказательстве возможности и эффективности применения идей и методов теории фракталов для исследования структуры геологических сред и гравитационных аномалий при интерпретации данных гравиметрии.

При этом основные задачи, поставленные для достижения намеченной цели, можно сформулировать следующим образом.

1. Разработка теоретической основы методики исследования фрактальных свойств физических параметров геологических сред и гравитационных аномалий с целью изучения структуры геологических сред.

2. Изучение фрактальных свойств физических параметров горных пород (плотности и коэффициента пористости), а также фрактальных свойств аномалий силы тяжести и ее вертикальной производной.

3. Теоретическое обоснование методики определения плотности промежуточного слоя по гравиметрическим данным на основе принципа выделения "полезного сигнала" из "фрактального шума", апробация методики при решении практических задач для различных масштабов гравиметрической съемки.

4. Разработка методики численного решения линейной обратной двумерной задачи гравиразведки для модели среды с фрактальным распределением аномальных масс. Проведение анализа сходимости, устойчивости к неточностям поля, области е-эквивалентности, содержательности и достоверности получаемых решений.

Решение перечисленных задач привело к следующим результатам,

выдвигаемым в качестве основных защищаемых положений:

I. Предложенная методика анализа нестационарных фрактальных свойств физических параметров горных пород и гравитационных аномалий позволяет изучать особенности структуры геологических сред.

II. Использование сведений о фрактальных свойствах среды как априорной информации при построении модельного класса существенно повышает достоверность и информативность решений обратных линейных задач гравиразведки.

III. Применение разработанного автором способа вычисления плотности промежуточного слоя по гравиметрическим данным с помощью процедуры выделения "полезного сигнала" из "фрактального шума" эффективно при гравиметрических съемках различного масштаба.

Ряд полученных в работе результатов и выводов являются новыми и

имеют самостоятельную практическую ценность для задач геологической

I

интерпретации гравиметрических данных:

1. Предложен новый подход к исследованию фрактальных свойств систем с иерархической организацией. В основе подхода лежит представление о пространственно-временном распределении локальных фрактальных свойств иерархических систем. Для описания таких систем автором введен новый термин "нестационарные фракталы", разработаны способы моделирования и вычисления локальных размерностей нестационарных фракталов.

2. В результате исследования нестационарных фрактальных свойств плотности и коэффициента общей пористости, полученных по лабораторным данным и ГИС, установлена общая закономерность поведения локальных размерностей физических параметров с глубиной (периодичность по логарифму глубины), а также приуроченность интервалов обнаруженных нефтепроявлений и промышленных притоков нефти к повышенным значениям локальной размерности физических параметров.

3. Предложена методика определения плотности промежуточного слоя, основанная на процедуре выделения "полезного сигнала" из "фрактального шума", не требующая дополнительных гравиметрических измерений, наличия типовых элементов рельефа и предварительных сведений о функции распределения "ошибок".

4. Установлена связь фрактальной размерности аномалий вертикальной производной силы тяжести Уг2 с фрактальной размерностью распределения избыточной плотности в среде.

5. Установлена нефрактальность аномалий силы тяжести Vz\ фрактальные свойства распределения избыточной плотности в среде не отражаются в этой характеристике гравитационного поля.

6. Разработана методика решения двумерной линейной обратной задачи гравиразведки с использованием априорных сведений о фрактальных свойствах распределения аномальных масс в среде.

Материалы диссертации докладывались на семинарах и конференциях: Первой Всероссийской конференции "Мониторинг геологической среды: активные эндогенные и экзогенные процессы" (Казань, 10-15 ноября 1997 г.), Международном семинаре им. Д.Г.Успенского (26 сессия) "Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей" (Екатеринбург, 1999), а также на ежегодных научных конференциях Казанского госуниверситета (1996, 1997, 1998). По теме диссертации опубликовано шесть научных работ.

Диссертация состоит из введения, краткого обзора литературы по теме диссертации, трех глав, заключения, списка цитируемой и авторской литературы. Диссертация содержит 114 страниц, 30 рисунков и 3 таблицы. Полный список литературы содержит 86 наименований.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю, доктору геол.-мин. наук, профессору Слепаку З.М., за ценные советы, консультации и критические замечания, без которых было бы невозможно написание данной работы.

Автор считает своим долгом поблагодарить доктора геол.-мин. наук, профессора Нургалиева Д.К., за плодотворное обсуждение различных вопросов по теме диссертации и моральную поддержку, а также доктора физ.-мат. наук, профессора Нигматуллина P.P., чьи научные идеи вдохновили автора на написание диссертации.

ИДЕИ ФРАКТАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ В ГЕОЛОГИИ И ГЕОФИЗИКЕ (краткий обзор литературы)

Несмотря на то, что понятие фрактала предложено Б.Мандельбротом еще в 50-х годах, лишь сравнительно недавно геоморфологические, а затем и геологические объекты стали рассматривать с позиции фрактальной геометрии. К настоящему моменту можно выделить ряд направлений, по которым развиваются приложения теории фракталов в геологии и геофизике.

Прежде всего, это исследование фрактальных характеристик геоморфологических объектов, таких, как речные бассейны, береговые линии, карстовые поля [75, 71].

Другими традиционными объектами фрактальной геометрии являются минеральные агрегаты, растущие за счет диффузии и перколяционные кластеры, возникающие при просачивании растворов сквозь пористые среды [46,60]. Здесь лее уместно упомянуть проблему образования «вязких пальцев», в последнее время часто используемых в качестве модели различных геологических процессов [60].

Ряд публикаций касается вопроса о фрактальной статистике распределений по крупности месторождений полезных ископаемых, нефти, фрагментов горных пород и т.п. [69, 82].

Самостоятельное направление представляет собой изучение особенностей протекания различных физических и химических процессов во фрактальных средах [24, 73, 74].

Наиболее крупной и полной работой, посвященной фракталам в геологии и геофизике является монография Д.Л.Туркотте (Donald L.Turcotte) [82]. В ней освещено применение теории фракталов для таких геолого-геофизических направлений, как фрагментация горных пород, сейсмология и тектоника, геоморфология, оценка запасов месторождений полезных ископаемых, рассмотрены применительно к геофизике и геологии концепция

самоорганизации критичности (SOC), теория самоаффиных фракталов, метод ренормализации групп, динамика детерминированного хаоса, фрактальные кластеры и др. Автор убеждает читателей в том, что масштабная инвариантность геолого-геофизических явлений - это именно то, с чего нужно начинать обучение студентов геологии.

Большое число практических примеров исследований фрактальных свойств природных, в том числе и геолого-геофизических объектов представлено в монографии Е.Федера [60]. В данной работе подробно освещены вопросы образования «вязких пальцев» в пористых средах, структур ОДА, фрактальных временных рядов, теории мультифракталов, моделирования случайных процессов, соотношений периметра и площади, исследование фрактальных свойств поверхностей и еще достаточно много вопросов, посвященных исследованию природных фракталов.

Значительный блок публикаций посвящен изучению свойств самоподобия сейсмогеодинамических явлений [10, 11, 59, 24 и др.]. В основе этого подхода лежат представления о геометрическом и энергетическом подобии в иерархии слоисто-блокового строения земной коры и верхней мантии. Тектоническая активность, обусловленная движением литосферных плит, разломы и блоки земной коры и всей литосферы, а следовательно и очаги землетрясений рассматриваются как самоподобные фрактальные структуры. Классический пример самоподобия дает закон повторяемости землетрясений Гутенберга-Рихтера, имеющий фундаментальное значение в сейсмологии.

Такое представление о геофизических средах находится в согласии с так называемой концепцией SOC, явления самоорганизации физических систем, претерпевающих критические состояния (Self-Organized Criticality), являющейся одним из крупнейших достижений нелинейной физики последних 17-ти лет [65, 76, 1]. В соответствии с концепцией SOC эволюция систем, претерпевающих критические состояния, происходит вне связи с

каким-либо характеристическим масштабом, то есть определяется катастрофическими событиями всех масштабов, происходящими одновременно. С момента своего рождения концепция SOC рассматривала земную кору как пример природной системы в критическом состоянии.

При детальном картировании Расвумчоррского апатитового месторождения (Хибинский массив, Кольский полуостров) авторы работы [11] установили широкое развитие фрактальных разномасштабных кластеров, сложенных растворимыми карбонатами натрия. При этом причиной их возникновения, равно как и горных ударов и землетрясений, авторы считают тектоническую самоорганизацию горных пород в приповерхностных частях воздымающегося Хибинского массива. Образование структур отдельностей (зон энергетического просачивания или зон перколяции) в большом диапазоне масштабов рассматриваются как процесс самоорганизации, направленный на наиболее эффективную диссипацию эндогенной энергии

j структурой литосферы. Такая перестройка затрагивает практически все

!

| аспекты организации геофизической среды: механические (блочность, трещиноватость, пористость), химические (состав породы и межзернового флюида, газонасыщенность и т.д.) и физические (уровень эмиссии, теплового потока, магнитные, акустические, электрические свойства и др.) и может быть выявлена на самых разных иерархических уровнях.

Моделирование зон возникновения очагов землетрясений с использованием фрактальной решеточной модели (ФРМ) сейсмодинамики, предложенной в работе [59], основано на представлении о естественной иерархической упорядоченности геологических структур, геодинамических и сейсмических процессов, очагов землетрясений. По мнению автора, эта модель является глубоко «физичной» и открывает новые возможности в понимании явлений сейсмогенеза.

Исследование процесса разрушения горных пород с позиции концепции SOC привело к появлению так называемых сеточных моделей с

упругой реологией. В этих моделях разрушение приводит к появлению в твердом теле трещинного кластера с дендритной структурой, геометрия которого подчиняется фрактальной статистке.

По данным ряда публикаций для исследования процесса разрушения горных пород широко привлекается мультифрактапьный анализ [66, 81 и др.]. В работе [49] для исследования локального самоподобия трещин автор предлагает использовать метод вейвлетного преобразования.

В работе [10] на примере одной из хорошо сейсмически и геологически исследованных территорий - Кольского полуострова и Карелии предлагается к обсуждению точка зрения на фрактальность как на универсальное свойство континентальной коры. Авторы на многочисленных примерах демонстрируют фрактальность геологических ансамблей и сейсмологических разрезов в широком диапазоне масштабов - от нескольких метров до тысячи километров. Обсуждается предположение о том, что глубинные сейсмические разделы коры представляют скорее не серию слоев, а «стратифицированную» композицию самоподобных линзовидных тел. В связи с этим авторы делают вывод о искажающем влиянии на интерпретацию результатов линейной аппроксимации исследуемых волновых полей, используемой различными сейсмическими методами.

При изучении минеральных фракталов в работе [17] предлагаются способы определения их размерностей, при чем основным типам минеральных фракталов сопоставлены хорошо изученные геометрические: канторовское множество, ковер Серпинского и др. Рассматривается происхождение минеральных фракталов в связи с существованием фрактальных аттракторов. Возникновение дендритов объясняется процессом нелинейной самоорганизации по аналогии с автокаталитическими химическими реакциями.

В ряде публикаций, с помощью методов фрактальной геометрии решаются достаточно специфические прикладные задачи. Так, в работе [68]

фрактальный анализ используется для определения первого вступления сейсмических трасс. В работе [70] используется фрактальная статистика волн при измерении высот на море (радарная альтиметрия).

Попыткой привлечения теории фракталов к задачам гравиметрии можно считать работу [72]. В этой публикации исследуются фрактальные свойства полей силы тяжести в редукции Фая и Буге на площади юго-запада Исландии и предлагается способ определения плотности промежуточного слоя исходя из фрактальных свойств аномалий поля. В работе показано, что нефрактальный характер аномалий Фая на больших расстояниях (более 9-10 км для всей площади и более 25-30 км в области активной рифтовой зоны) связан с механизмом изостатической компенсации.

Исследованию реверсии магнитного поля Земли за последние 160 млн. лет с позиции фрактального анализа посвящена работа [77]. Фрактальная размерность временных рядов подсчитывалась как клеточным способом так и

1

способом подсчета дисперсии. Кроме того, использовался мультифрактальный анализ, а также предлагалась модель странного аттрактора в многомерном пространстве. Была обнаружена переходная точка, разделяющая временную шкалу на две подшкалы с разными фрактальными

! свойствами (около 0.5-1.0 млн. лет).

/

Фрактальный подход к изучению электропроводности горных пород предложен в работе [18]. В этой статье используется фрактальная модель среды со случайными значениями масштабов для исследования свойств проводимости, пористости и проницаемости. Предлагаемая фрактальная модель дает теоретическое обоснование эмпирическому закону Арчи и степенной зависимости проницаемости и пористости, наблюдаемой для пород-коллекторов. Авторы получили математическую формулировку понятия извилистости.

Фрактальные свойства геофизической среды находит свое отражение в свойствах временных вариаций различных геофизических полей.

Специфической особенностью таких процессов является фликкер-шумовая структура спектров. В монографии Г.Шустера [63] приведены различные природные системы, имеющие в спектрах вариаций своих физических параметров степенную расходимость на низких частотах (фликкер-шум). До настоящего времени единой теории, дающей объяснение этому явлению не существует.

В работе [13] предпринята попытка дать интерпретацию явлению фликкер-шума в терминах геофизических величин для большого количества экспериментальных временных рядов. Рассматриваются временные ряды вариаций электрометрических, припочвенных, атмосферных и сейсмологических характеристик. Для всех данных проводилась предварительная фильтрация, позволяющая подавить влияние факторов сезонного характера. Обнаружено принципиальное отличие спектральных свойств атмосферных параметров от электрометрических, припочвенных и

1

! сейсмологических, поскольку для первых наиболее близкой моделью

I

является белый шум, когда как для остальных параметров - адекватной

\

является фликкер-шумовая модель. Причина этого, по мнению авторов заключается в том, что в случае атмосферных параметров вариации вызваны экзогенными причинами, а для припочвенных, электрометрических и сейсмологических - существенное влияние имеют эндогенные факторы.

Краткий обзор публикаций последнего времени, имеющих в той или иной степени отношение к вопросам применения идей теории фракталов в науках о Земле, в частности в геологии и геофизике, позволил сделать следующие выводы.

Несмотря на то, что различные геолого-геофизические методы заняты по сути изучением одного и того же объекта - земной литосферы, проникновение идей фрактальной геометрии в науки о Земле крайне неравномерно.

Практически отсутствуют какие-либо значимые работы, посвященные фрактальному подходу к интерпретации гравитационных и магнитных полей.

При интерпретации электрических и сейсмических полей также не учитывается фрактально-неоднородная структура среды, канонизированная слоистая модель среды по-прежнему является основой для построения интерпретационных моделей.

Становится традиционным фрактальный подход к изучению распределений месторождений полезных ископаемых, нефти и т.д., а также к изучению геоморфологических объектов, поскольку фрактальные мотивы здесь довольно очевидны.

Наконец, значительное продвижение в направлении внедрения идей фрактальной геометрии наблюдается при изучении сейсмических и тектонических явлений, разрушения горных пород, на что в большой мере повлияло появление концепции SOC. Представление о фрактальности, нелинейности геофизической среды здесь уже нашло признание многих исследователей.

Заключение диссертации по теме «Геофизические методы поисков и разведки месторождений полезных ископаемых», Утемов, Эдуард Валерьевич

выводы

Сформулируем в краткой форме наиболее важные результаты, полученные в данной работе.

1) Системы, обладающие иерархической организацией, каковыми являются геологические среды, обладают пространственно-временным распределением локальных фрактальных свойств. Для описания таких систем автором введен новый термин - "нестационарные фракталы", поскольку их свойства не укладываются в рамки традиционных для теории фракталов понятий - монофракталов и мультифракталов. Как было показано в первой главе, реализация идеи фрактальной нестационарности для стохастических самоафинных функций приводит к расширенному классу нестационарных самоафинных функций типа броуновских, включающему в себя как более частные случаи обычные броуновские и обобщенные броуновские функции. Такое обобщение оказалось весьма плодотворным при изучении фрактальных свойств физических параметров горных пород и аномалий гравитационного поля.

2) В результате анализа нестационарных фрактальных свойств плотности и коэффициента общей пористости, полученных по лабораторным данным и ГИС, установлена общая закономерность поведения локальных размерностей физических параметров с глубиной (периодичность по логарифму глубины), а также приуроченность интервалов обнаруженных нефтепроявлений и промышленных притоков нефти к повышенным значениям локальной размерности физических параметров.

3) Аномалии силы тяжести У7 для модели среды с фрактальным распределением избыточной плотности, не фрактальны и не отражают фрактальность распределения избыточных плотностей в среде.

Полученный результат свидетельствует в целом о низкой информативности этой характеристики гравитационного поля, и позволяет по-новому взглянуть на проблему высокой неустойчивости решений обратных задач гравиразведки.

4) Аномалии вертикальной производной силы тяжести У„ для той же модели имеют фрактальную размерность, совпадающую с размерностью распределения избыточных плотностей в среде. Данная характеристика гравитационного поля, таким образом, содержит информацию о фрактальных свойствах среды; эта информация может быть использована для изучения блоковой структуры земной коры, обнаружения разломов, областей тектонической неустойчивости, ослабленных зон, и в целом дает количественную оценку и пространственную локализацию физико-геологическим проявлениям, отражающимся на степени неустойчивости, структурной сложности распределения аномальных масс в земной коре.

5) Разработанная методика решения линейной двумерной обратной задачи гравиразведки с использованием сведений о фрактальных свойствах среды как априорной информации при построении модельного класса, существенно повышает эффективность решения обратных задач гравиметрии. Все полученные выводы, касающиеся устойчивости, области эквивалентных решений, размерности пространства поиска решения и в целом достоверности и информативности получаемых в процессе решения обратной задачи результатов, зависят от фрактальной размерности, реальной наблюдаемой в геологических средах, то есть определяются свойствами самой геологической среды.

6) Предложенный способ определения плотности промежуточного слоя, основанный на процедуре выделения "полезного сигнала" из "фрактального шума", не требует дополнительных гравиметрических измерений, наличия типовых элементов рельефа и предварительных сведений о функции распределения "ошибок", поскольку оперирует более общим понятием размерности множества. Данный способ может быть успешно применен при гравиметрических съемках различного масштаба.

Многие вопросы, касающиеся применения методов теории фракталов для решения геофизических задач, остались в данной работе не освещены или освещены не в полной мере, поскольку круг таких вопросов крайне широк; здесь требуются дальнейшие исследования. Остановимся на некоторых из таких вопросов.

В связи с результатами, изложенными в 3 и 4 пунктах, напрашивается вопрос о том, насколько оправдана полная ориентация производственной гравиметрии на съемки поля силы тяжести. На взгляд автора, будущее гравиметрического метода связано с вычислением высших производных гравитационного потенциала, и возможно уже сейчас нужно искать возможности для создания надежной и точной аппаратуры, позволяющей производить такие измерения.

В первом разделе второй главы на некоторых примерах решения прямых задач гравиразведки было показано, что фрактальная структура среды может существенным образом повлиять на результат определения средних величин физических параметров.

Эта проблема существует для чрезвычайно широкого класса прямых и обратных задач геофизики. В связи с этим нужно сказать, что математический аппарат, используемый для решения задач геофизики, в принципе не учитывает «шероховатость», стохастическую фрактальность, недифференцируемость функций реальных физических величин. Между тем уже более века известен аппарат дробного интегродифференцирования, позволяющий оперировать подобными функциями [39]. Как показано в работе [78], операции дробного интегрирования и дифференцирования могут быть интерпретированы как интегродифференцирование гладких функций на фрактальных множествах.

С точки зрения дробного интегрирования и дифференцирования представляют интерес, например, производные дробного порядка, которые могут быть использованы при изучении физических полей, моменты дробного порядка, при статистическом анализе геофизических данных, и т.п.

Подход, основанный на выделении «полезного» сигнала в виде некоторой гладкой или кусочно-гладкой функции из фрактального «шума», предложенный в третьей главе, может быть применен и при решении других задач. Например подобный алгоритм, можно предложить при определении оптимальной функциональной зависимости различных физических величин (плотность - скорость, плотность - пористость и т.п.).

Поиск фундаментальных законов природы по своей сути сводится к нахождению инвариантов природы. Именно этот факт отражен в законах сохранения физики. В таком контексте, масштабная инвариантность, присущая фракталам, есть свойство особого рода симметрии природы, закономерности, позволяющей упрощать описание изучаемых объектов.

Представление о масштабной инвариантности геолого-геофизических явлений, как уже было сказано, требует перемен в производстве геофизических измерений, оказывает влияние на используемый при геологической интерпретации геофизических данных математический аппарат, и в целом, затрагивает научно-мировоззренческую позицию исследователей.

Скорейшее внедрение в теорию и практику геофизики идей фрактальной геометрии, является, на наш взгляд, важной задачей ближайшего будущего, и возможно, станет выходом из того кризиса в отечественной геофизике, о котором говорят многие специалисты.

Список литературы диссертационного исследования кандидат геолого-минералогических наук Утемов, Эдуард Валерьевич, 1999 год

! ЛИТЕРАТУРА

1 Бак П., Чэн К. Самоорганизованная критичность // В мире науки, 1991, №3. С. 16-19.

2 Балк П.И. Проблема параметризации и достоверность решения нелинейной обратной задачи гравиметрии // Физика Земли. 1997, № 10. С. 14-32.

3 Балк Г1.И., Балк Т.В., Горчаков И В. Об устойчивости решения обратной задачи гравиметрии для группы точечных источников // Геология и геофизика. 1982, № 10. С. 118-126.

4 Березкин В.М. Применение гравиразведки для поисков месторождений нефти и газа. «Недра», 1973, 264с.

5 Булах Е.Г. Автоматизированная система интерпретации гравитационных аномалий. Киев: Наук, думка, 1973. 202 с.

6 Варламов A.C. Определение плотности промежуточного слоя по гравиметрическим данным. - Разведочная геофизика, вып. 61. М., Недра, 1974, С. 90-98.

7 Гейликман М.Б., Писаренко В.Ф., О самоподобии в геофизических явлениях //Дискретные свойства геофизической среды, сб. науч. Тр., М.: Наука, 1989, С. 109-131.

8 Геофизические методы исследования скважин: Справочник геофизика / Под ред. В.М.Запорожца. М.: Недра, 1982, 120 с.

9 Гольдшмидт В.И. Оптимизация процесса количественной интерпретации данных гравиразведки. М.: Недра, 1984, 185с.

10 Горяинов П.М., Иванюк Г.Ю., Шаров Н.В. Фрактально-геометрические мотивы в организации сейсмогеологических разрезов земной коры (на примере Балтийского щита) // Физика Земли. 1997, № 7. С. 69-80.

11 Горяинов П.М., Иванюк Г.Ю., Яковенчук В.Н. Тектонические перколяционные зоны в Хибинском массиве // Физика Земли. 1998, № ю. С. 40-45.

12 Гравиразведка. Справочник геофизика, 1981, / под ред.

Е.А.Мудрецовой, - М.: Недра, 1981, 397с.

13 Дещеревский A.B., Лукк A.A., Сидорин А.Я. Признаки фликкер-шумовой структуры во временных реализациях геофизических полей // Физика Земли. 1997, № 7. С. 3-19.

14 Дж. Касти. Большие системы. Связность, сложность и катастрофы. М: Мир, 1982, 216 с.

15 Егоров Д.Г., Иванюк Г.Ю. Складкообразование в железорудных системах как детерминированно-хаотический процесс // Физика Земли. 1994.

16 Жиглявский A.A., Жилинскас А.Г. Методы поиска глобального экстремума, М.: Наука, 1991, 248 с.

17 Иванюк Г.Ю. Фрактальные геологические среды: размерность, основные типы, генетические следствия // Физика Земли. 1997, № 3. С. 21-31.

18 Исаев Г.А., Нигматуллин Р.Р., Полетаева Н.Г., Сугутин H.H. Фрактальный подход к изучению электропроводности горных пород //Геология и геофизика, 1995, т.36 №3, с. 126-132.

19 Кобрунов А.И. Заметки к истории развития методов решения обратной задачи гравиразведки в XX веке // Развитие гравиметрии и мангитометрии в XX веке: Труды конференции. Москва, 23-25 сентября 1996 г.-М.:ОИФЗ РАН, 1997, С. 188-200.

20 Кобрунов А.И. К теории методов подбора // Геофиз. журн. 1983. Т. 5, № 4, С.34-43.

21 Кобрунов А.И. Некоторые особенности методов подбора в геофизических задачах // Докл. АН УССР. Сер. Б. 1984. № 4. С.10-13.

22 Кобрунов А.И. Теория интерпретации данных гравиметрии для сложнопостроенных сред// Геофиз. журн. 1995. Т. 17, № 1. С.3-12.

23 Кобрунов А.И. Теория интерпретации данных гравиметрии для сложнопостроенных сред: Учеб. Пособие. - К.: УМК ВО, 1989,100 с.

24 Копвиллем У.Х., Холодкевич Е.Д. Нелинейный сейсмический отклик системы геоблоков. Проблемы нелинейной сейсмики. М.: Наука, 1987, С. 64-74.

25 Кулик Д.А., Черновский М.И. Фрактальная модель многопорядковой складчатости желизистых кварцитов (Криворожский бассейн) // Шв.

Вузов. Геология и разведка. 1990, № 5, С. 77-85.

26 Лаврентьев М.М. О постановке некоторых некорректных задач математической физики. Новосибирск, Изд-во АН СССР, 1962, 92с.

27 Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980, 285 с.

28 Леонов A.C. Об устойчивом решении обратной задачи гравиметрии на классе выпуклых тел // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1976, № 7, С.55-65.

29 Ломтадзе В.В. Интерпретация гравитационных аномалий с помощью цифровых вычислительных машин // Вопр. развед. Геофизики. 1967, Вып. 6. С.61-65.

30 Любимов A.A. Гравиметрические и магнитометрические поисково-картировочные исследования. М.: «Недра», 1979, 188 с.

31 Мудрецова Е.А., Варламов A.C., Филатов В.Г., Комарова Г.М. Интерпретация данных высокоточной гравиразведки на неструктурных месторождениях нефти и газа. М., 1979. 196 с.

32 Нигматуллин P.P., Сугутин H.H. Структура неоднородных сред в модели случайных фракталов // Инж. физ. журн., 1989, т.57, №2 С.291-298.

33 Николис Дж. Динамика иерархических систем: Эволюционное представление: Пер. с англ./Предисл. Б.Б.Кадомцева. -М.: Мир, 1989, 488 с.

34 Пугачев B.C. Введение в теорию вероятностей. М.: Наука, 1968, 368 с.

35 Речицкая H.H., Писаренко В.Ф., Сидоров В.А. Зависимость градиентов скоростей современных движений земной коры от пространственно-временного масштаба // Современные геофизические исследования: материалы III Всерос. конф. Молодых ученых в г.Суздале 2-5 апреля 1986 г. М.: ИФЗ СССР, 1987. 4.2. С. 168-177.

36 Садовский М.А. Естественная кусковатость горной породы // Докл. АН СССР. 1979. Т. 247Б №4. С.829-831.

37 Садовский М.А. О значении и смысле дискретности в геофизике // Дискретные свойства геофизической среды, сб. науч. тр., М.: Наука, 1989, С. 5-14.

7 «

38 Садовский М.А., Писаренко В.Ф. Случайность и неустойчивость в геофизических процессах // Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1989. №2. С. 3-12.

39 Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы, производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987, 688с.

40 Слепак З.М. Методика определения плотности поверхностных пород по наблюдениям с гравиметрами. - Татарская нефть. Альметьевск, 1961, №12, с.20-22.

41 Слепак З.М. Отчет по теме «разработка усовершенствованной методики проведения и геологической интерпретации материалов высокоточной гравиразведки при поисках локальных структур в Татарии». Казань, КГУ, 1972.

42 Слепак З.М., Гайфутдинов А.Г. Отчет по теме «Изучение физических свойств (плотности, скорости) осадочных отложений Татарии». Казань, КГУ, 1973.

43 Слепак 3. М. Применение гравиразведки при поисках нефтеперспективных структур, М.: Недра, 1989, 200 с.

44 Слепак З.М. Гравиразведка при поисках нефти и газа // Геофизика, 1995, №4, С. 31-36.

45 Слепак З.М., Князев Е.А., Крейнин М.И. Алгоритм решения обратной задачи при гравитационном моделировании гетерогенных структур // Вопросы методики и интерпретации геофизических исследований, сб. науч. Тр., Изд-во Казанского ун-та, 1990, С.82-88.

46 Соколов И.М. Размерности и другие геометрические критические показатели в теории протекания // Успехи физических наук. 1986, Т. 150. Вып. 2. С. 221-255.

47 Старостенко В.И. Устойчивые численные методы в задачах гравиметрии. Киев: Наукова думка, 1978, 228 с.

48 Старостенко В.И., Заворотько А.Н. Методика и комплекс программ решения обратной линейной задачи гравиметрии на ЭВМ «Минск-22». Киев: Наук, думка, 1976. 64 с.

49 Стаховский И.Р. Глобальный и локальный скейлинг двумерных структур, генерируемых в модели разрушения горных пород //

Физика Земли. 1998. № 11. С. 11-19.

50 Страхов В.Н. О задачах, решаемых в рамках второй парадигмы в теории интерпретации гравитационных и магнитных аномалий // Докл. АН ССР. Физика Земли. 1987. № 3. С.56-68.

51 Страхов В.Н. О проблеме параметризации в обратной задаче гравиметрии // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1978. № 6. С.39-50.

52 Страхов В.Н. Об общих решениях обратной задачи гравиметрии и магнитометрии // Изв. вузов. Геология и разведка. 1978. № 4. С. 104117.

53 Страхов В.Н. Основные положения теории конфигурационных и сеточных приближенных решений плоской обратной задачи гравиметрии // Геология и геофизика. 1980. № 2. С.88-93.

54 Страхов В.Н., Лапина М.И. О монтажном принципе построения решения обратной задачи гравиметрии // Геофиз. сб. АН УССР. 1976. Вып. 74. С.3-19.

55 Страхов В.Н., Лапина М.И. Прямая и обратная задачи гравиметрии и магнитометрии для произвольных однородных многогранников // Теория и практика интерпретации гравитационных и магнитных полей в СССР. Киев: Наук, думка, 1983. С.3-87.

56 Страхов В.Н. Основные направления развития теории и методологии интерпретации геофизических данных на рубеже XXI столетия. 4.1 // Геофизика, 1995, №3, С. 9-18.

57 Страхов В.Н. Основные направления развития теории и методологии интерпретации геофизических данных на рубеже XXI столетия. Ч.И // Геофизика, 1995, №4, С. 10-20.

58 Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., 1986, Методы решения некорректных задач. М.: Наука, - 288 с.

59 Уломов В.И. Моделирование зон возникновения очагов землетрясений на основе решеточной регуляризации // Физика Земли. 1998. № 9. С. 20-38.

60 Федер Е., 1991, Фракталы. М.: Мир, 260 с.

61 Фракталы в физике: Труды VI международного симпозиума по фракталам в физике. / Пер. с англ. / Под ред. Л. Пьетронеро, Э. Тоззати. - М.: Мир, 1998,- 672 с.

62 Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975.

63 Шустер Г., Детерминированный хаос: Введение: Пер. с англ. - М.: Мир, 1988. -240 с.

64 Arneodo A., Agroul F., Bacry Е., Elezgaray J., Freysz Е., Grasseau G., Muzy J.F, Pouligny B. Wavelet Transform of Fractals // Wavelets and Applications. Ed. by Y.Meyer. Springer Verlag. 1992. P. 286-351.

65 Bak P., Tang C., Wiesenfeld K. Self-Organized Cnticality // Phys. Rev. Lett. 1987. V.59. P.381-384.

66 Beifield William C. Multifractal characteristics of natural fracture apertures //Geophys. Res. Lett. 1994. 21. №24 P. 2641-2644.

67 Berry M., Hannay J. Topography of random surfaces. Nature, 1978, 273, 573.

68 Boschetti F. A fractal-based algorithm for detecting first arrivals on seismic traces // Geophysics. V. 61, №4, 1996.

69 Burning S., Yuanchao S., Фрактальная характеристика распределения золота на одном рудном месторождении, Синузян, Китай // Sci. in China. Ser. В. 1995, 38, № 1, С. 124-128.

70 D.E.Bar, Y.Agnon A fractal model for the sea state bias in radar altimetry // Nonlinear Prosseses in Geophysics. 1997, V 4. №4 P.213-222.

71 Fowler A.D. Self-organized mineral textures of igneous rocks: the fractal approach. Earth-Science Reviews. 1990. V. 29. P. 47-55.

72 Freyr Thorarinsson, Stefan G. Magnusson, 1990, Bouguer density determination by fractal analysis // Geophysics, Vol.55 No 7, P. 932-935.

73 Gefen Y., Mandelbrot B.B., Aharony A. Critical phenomena on fractal lattices // Phys. Rev. Lett. 1980. V. 45. P. 855-858.

74 Gordon J.M., Goldman A.M., Maps J. et al. Superconductingnormal phase boundary of a fractal network in a magnetic field // Phys. Rev. Lett. 1986. V. 56. P. 2280-2283.

75 International Symposium on fractals and Dynamic Systems in Geoscience. Bool of Abstracts. Frankfurt am Main. Germany. 1993. 53 p.

76 Ito K., Matsuzaki M. Earthquakes as Self-Organized Critical Phenomenon

//J. Geophys. Res., 1990. V.95. P. 6853-6860.

77 Ivanov S.S. Scaling properties of palaeomagnetic reversal secuence // Nonlinear Processes in Geophysics. 1996, V. 3, №1, P. 13-22.

78 Le Mahaute A., Nigmatullin R.R., Ryabov Ya.E., Notes to correct interpretation between procedure of averaging a smooth function over Cantor set and temporal fractional integral, Proc. Int. Conf. "Geometrization of Physics", Kazan State University, 1995, P.l 19-124.

79 Mandelbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature. San Francisco, 1982, 460 p.

80 Matsushita M., Sano M., Hayakawa Y., Honjo H., Sawada Y. Fractal structures of zinc metal leaves grown by electrodeposition // Phys. Rev. Lett. 1984. V. 53. P. 286-289.

81 Ouillon G., Somette D. Unbiased inultifractal analysis: Application to fault patterns// Geophys. Res. Lett., V. 23, № 23, P.3409-3412.

82 Turcotte D. L. Fractals and chaos in geology and geophysics. Cambridge University Press, New York, 1992, 221 p.

83 Turcotte D.L. Fractals and fragmentation // J. Geoph. Res. V.91. P. 19211926.

84 Turcotte D.L. Fractals in geology and geophysics // Pure and Appl. Geophys. V. 131. № 1 /2. P. 171-196.

85 Voss R. F. Random fractal forgeries. - In: Fundamental Algorithms in Computer Grafics (ed. R.A. Earnshaw, Springer-Verlag, Berlin, 1985, P. 805-835.

86 Wiener N. Differential-space. J. Math. Phys. Mass. Inst. Technol., 1923, 2, P. 131-174.

1 14

АВТОРСКАЯ ЛИТЕРАТУРА

А Слепак З.М., Утёмов Э.В. К вопросу решения обратной линейной задачи гравиметрии для горизонтально-слоистых сред // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей: Сб. трудов междун. конференции-семинара им. Д.Г. Успенского, Воронеж, 1998, С. 126-132.

В Утёмов Э.В., Слепак З.М. Применение фрактального анализа при геологической интерпретации гравитационных полей // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей: Тезисы докладов междун. конференции-семинара им. Д.Г. Успенского 2-7 февр. 1998 г. Ухта: УИИ С.98-103.

С Утёмов Э.В. Некоторые аспекты использования анализа фрактальных свойств геофизических данных при их геологической интерпретации. Казан, ун-т. - Казань, 1998 - 11с. Деп. в ВИНИТИ 18.09.98, №2822-В98.

D Утёмов Э.В. Нестационарные фрактальные свойства физических

полей Земли и параметров геологических сред. // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей: Тезисы докладов междун. конференции-семинара им. Д.Г. Успенского 25-30 янв. 1999 г. Екатеринбург: УГГА. (в печати)

Е Слепак З.М., Гилязов И.И., Утёмов Э.В. Применение метода

электромагнитного зондирования становлением поля при выявлении каменных строений на территории Казанского кремля. // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей: Тезисы докладов междун. конференции-семинара им. Д.Г. Успенского 25-30 янв. 1999 г. Екатеринбург: УГГА. (в печати)

F Utemov Ed., Slepak Z., Gilyazov I. The technique estimation density of intermediate layer by means selection a "good" signal from fractal "noise": XXIV General Assembly EGS the Hague 19-23 April, 1999. (в печати)