Рождение предельных циклов из петли сепаратрисы сложного седла тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, Макеев, Н.Г.

• Макеев, Н.Г.
• 1984

Оглавление диссертации Макеев, Н.Г.

Введение

Глава 1. СТРУКТУРА ПЕРВОГО ИНТЕГРАЛА В ОКРЕСТНОСТИ СЛОЖНОГО СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ

§ 1. Каноническая форма системы дифференциальных уравнений. $ 2. Новые специальные функции.

I 3. Первый интеграл системы (\)) при

§ 4. фокус и центр в случае сложного седка.

Глаза 2, ШУНКЩЙ ДОСЛЕДОВАНИЙ В ОКРЕСТНОСТИ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЛОЖНОГО СВДА

§5. Шункция соответствия в секторе отталкивания особой точки (0;о)

§ б. Характеристическая функция и ее свойства.

§7. Вычисление сепаратрисных величин особого предельного цикла.

Глава 3, БШУРКАЦИИ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОГО ПРЩЩШОГО ЦИКЛА, ОБРАЗОВАННОГО ПЕТЛШ СЕПАРАТРИСЫ СЛОЖНОГО СЕДЛА

§ 8. Рождение предельных циклов при

§ 9. Рождение предельных циклов при л. > и нечетном ^

§10. Рождение цредельных циклов цри и четном

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Рождение предельных циклов из петли сепаратрисы сложного седла»

1 Вопросам, связанным с изучением предельных циклов, в настоящее время уделяется много внимания. Это объясняется конечно, в первую очередь широким практическим црименени-ем получаемых результатов. Дело в том, что предельные циклы представляют И8 себя стационарные состояния системы в которых она может работать достаточно долго в автономном режиме.

Общая эадача исследования замкнутых траекторий той или иной системы дифференциальных уравнений в современном понимании распадается на следующие две:

1, Собственно исследование замкнутых траекторий системы на устойчивость, кратность, определение периода и т.д. Сюда же можно отнести задачи, связанные с определением числа или доказательством отсутствия предельных циклов. Существенным моментом исследования здесь является тот факт, что сама система дифференциальных уравнений не подвержена никаким изменениям.

2. Задача рождения цредельных циклов цри возмущении системы дифференциальных уравнений. Очень широкий круг вопросов охватывает задача о возникновении замкнутых траекторий при изменении одного иди нескольких параметров. Именно эдесь часто получаются практические результаты.

Само собой разумеется, что подобное деление носит условный характер, поскольку в конкретных задачах часто црихо-дится иметь дело как с непосредственным изучением циклов, так и с теорией бифуркаций.

Если теория предельных циклов уходит своими корнями к Цуанкаре и Бендиксону, то теория бифуркаций возникла менее полувека назад. Ее" основоположниками в нашей стране явились A.A. Андронов, А.Г. Майер, С.Э. Хайкин, A.A. Витт и ряд других ученых. Если ограничиться случаем двумерных автономных систем и расположить задачи, относящиеся к рождению замкнутых траекторий в порядке усложнения, то по лучится следующая картина:

1. Рождение замкнутых траекторий ив сложного фокуса.

2. Рождение замкнутых траекторий из кратного предельного цикла.

3. Рождение предельных циклов из петли сепаратрисы простого седла, а также из петли сепаратрисы седло-увла.

4. Рождение предельных циклов из сложных состояний равновесия, а также иэ петель сепаратрис сложных особых точек и многоугольников траекторий.

Первые три вадачи в настоящее время являются классическими. Еще в 30х- 40х годах были указаны критерии, позволяющие получить точные оценки числа рождающихся предельных циклов. Подробное изложение результатов имеется в[б, гл.?~ю]. Однако по сей день эти вопросы не утратили своей актуальности. Дело в том, что указанные результаты относятся к гладким системам и возмущающие добавки также предполагаются гладкими. Естественно, что такой класс добавок очень широк. Между тем в различных теоретические и прикладных исследованиях необходимо использование специальных добавок, скажем, только аналитических, или полиномов, или дробно-рациональных функций. Все это породило обширную литературу, находящуюся цреимущественно в журнальных статьях/см. напр. Следует особо отметить задачу о совместном роздении предельных циклов. Для случая двух или нескольких кратных предельных циклов эта задача в классе рациональных функций решена Н.Ф. Сороковым £4сГ].

Случай роздения предельных циклов из петли сепаратрисы простого седла существенным образом отличается от двух предыдущих. Это отличие заключается в том, что вдесь структура траекторий в окрестности особого предельного цикла определяется наличием уже двух объектов: особой точки с одной стороны и самого цикла - с другой. Поэтому необходимо сначала выявить критерии роадения предельных циклов, относящиеся к особой точке. Этот путь приводит к задаче построения первого интеграла, а также функции соответствия в окрестности особой точки, которая сама по себе является классической. Наиболее значительные результаты в этом направлении цринадлежат Цуанкаре [1 гл. и Дюлаку [Ь гл.2] . Критерии рождения предельных циклов, относящиеся непосредственно к самой петле, во многом напоминают случай кратного предельного цикла. Точные оценки числа замкнутых траекторий, рождающихся из петли сепаратрисы цростого седла, в классе добавок достаточно высокого по«» рядка гладкости получены Е.А. Леонтович Г^З].

Случаи роадения предельных циклов из петель сепаратрис сложных состояний равновесия, а также из многоугольников траекторий в настоящее время изучены слабо, хотя принципиальные возможности такого исследования безусловно имеются. Подобная ситуация объясняется следующими причинами. Во-первых, огромным разнообразием возможных случаев и отсутствием какой-либо классификации. В частности, невозможна полная топологическая классификация сложных особых точек, Во-вторых, резким возрастанием трудностей калькуля-тивного характера. В-третьих, некоторым снижением практической ценности результатов, поскольку подобные случаи встречаются, конечно же, гораздо реже, чем три рассмотрен ных выше. Тем не менее изучение их представляет определенный интерес, поскольку сложные особые точки и петли их сепаратрис могут встретиться при рассмотрении различных электромагнитных и электростатических полей, а также в небесной механике.

В настоящей работе ставится вопрос о рождении предельных циклов из петель сепаратрис некоторых сложных особых точек. Перейдем к точной постановке задачи.

Рассматривается двумерная автономная система дифференциальных уравнений удовлетворяющая следующим условиям.

1. и - функции х и $ , однозначные и аналитические в некоторой области , содержащей начало координат причем разложения их в степенные ряды в окрестности точки

Со, о) начинаются с членов не ниже второго порядка.

2. Сложная особая точка (о,о) имеет по крайней мере две сепаратрисы.

Одна ив сепаратрис, выходящая иэ точки (о,о> , при своем цродолжении вновь попадает в ату точку, образуя петлю, 4. Петля Ь целиком лежит в области <2) и ограничивает область отталкивания особой точки (о, о) .

Последнее означает, что случай, представленный на правом

Рис. 1

В отношении системы (в) ставится задача: изучить структуру траекторий в окрестности петли сепаратрисы и дать точную оценку числа предельных циклов, рождающихся из этой петли цри возмущении системы добавками, имеющими достаточно большой порядок гладкости. Поясним подробнее. Естественно речь идет не о топологической структуре траекторий в окрестности петли Ь : они просто спирали или все замкнутые. Имеется ввиду выяснить характер скручивания этих спиралей и изучить структуру функции последования в окрестности петли. Такое исследование создает аппарат, позволяющий затем дать оценку числа цредельных циклов, рождающихся иэ петли Ь при возмущениях системы СЬ> . В плане рождения предельных циклов указанная задача аналогична той, которая решена Е.А. Леонто-вич в случае петли сепаратрисы цростого седла.

Скажем несколько слов по поводу выбора системы (Ь) для исследования. Начало координат для этой системы является сложной особой точкой с двумя нулевыми корнями характеристического уравнения. Однако наличие линейного члена в выражении для X позволяет провести топологическую классификацию сложного состояния равновесия. Исчерпывающие исследования в этом направлении цроведены Бендиксоном £<93 , который показал что возможны семь различных топологических структур особой точки (0,0") : седло, увел, седло-узел, фокус, центр, вырожденное седло и состояние равновесия с эллиптической областью

Т.о., указанный класс сложных особых точек /два нулевых корня и наличие линейных членов в правых частях/ представляется цростейшим среди всех типов сложных состояний равновесия. Конечно, есть еще сложные особые точки с одним нулевым корнем характеристического уравнения, но с точки зрения теории бифуркаций они не представляют большого интереса, поскольку ив петли сепаратрисы в этом случае может родиться не более одного цикла /см. нацр.[С гл. ¿о]/. Всем этим и объясняется предмет настоящего исследования.

Перейдем теперь к краткому изложению полученных результатов •

Первая глава посвящена исследованию структуры первого интеграла системы (Ь) , рассматриваемого в окрестности особой точки (о,о") « Как уже отмечалось, эта вадача представляет самостоятельный интерес. Однако строить первый интеграл в первоначальных координатах (х) обычно бывает затруднительно иэ-за большого числа членов в разложениях правых частей системы по степеням х и ^ ♦ Поэтому первый этап состоит в цри-ведении системы (й) путем взаимно однозначного аналитического преобразования к наиболее простой форме, обычно называемой канонической или нормальной /см. Ш/У/.

Прежде всего отметим, что преобразованием координат х

Вырожденное седло

Состояние равновесия с эллиптической областью

Рис. 2

А+ система (Ь) в окрестности начала координат приводится к виду

X)

Ах С Ьсо] + Лх + у* у,) , где -Д, Л9 ил.,*. - постоянные, а К^Ь (г~ аналитические в окрестности (о,о1) функции, причем 1ц ь^ я £ со)» о* Отметим при атом, что ^ * о , а -Л может быть и нулем. Натуральные числа ^ и п являются инвариантами системы (О) и играют большую роль в дальнейшем исследовании.

Далее система/I/ в окрестности Со, о) приводится к виду

К.

11

Л т <Г—" ¿-I

1= ^ где Жр- многочлен степени не выше а точками обозначены члены, степень которых выше I/ . Важно отметить, что число I/ может быть выбрано наперед сколь угодно большим При доказательстве используется аппарат обобщенно-однородных функций. В рассматриваемом случае эти функции удовлетворяют соотношению

С? , й- т+1 I т.е. является обобщенно-однородной порядка С

Легко видеть, что в системе /1/ в правых частях отсутствует большинство членов, степень которых не превышает К Это обстоятельство позволяет использовать разложение /\/ в качестве исходного при построении первого интеграла системы (0) . Следует также отметить, что остальные члены в /\/ уничтожить в общем случае нельзя. При этом число ъ , как будет показано ниже, характеризует порядок вхождения системы (t>) .

При построении первого интеграла системы /1/ используется специальный прием, основу которого составляет введение новых специальных функций СЛа S^v, С-Ъч^у. Суть дела состоит в том, что вместо системы /1/ рассматривается "укороченная система

• л W1 . , х > t = я г /2/ и ищется ее общее решение. Оказывается, что оно может быть представлено в виде j = } при ** нечетном, 2>c+i и | = сг СМ , ^ с'C~li четном,

В обоих случаях с представляет из себя произвольную постоянную. Идея заимствована у A.M. Ляпунова Q. доп. £] , где он также интегрировал систему /2/ при ^о и w-. Шунк-ции Ляпунова можно рассматривать как обобщение тригенометри-ческих, т.к. последние получаются иэ них при 1.

Аналогично в рассматриваемом случае полученные функции можно рассматривать как обобщение гиперболических. Последние получаются из них при ^ =-i.

Свойства нововведенных функций позволяют использовать при построении первого интеграла системы /1/ классический прием, получивший широкое применение в случае сложного фокуса. Для этого в системе /\/ делается замена переменных s j> СЪч $ - у* СЛч у ? ВЦ у ? St* х^Не следует смешивать эти обозначения с гиперболическими функциями, т.к. буквы С и 3 здесь заглавные.

Ниже будет показано, что случай Ляпунова не представляет интереса для настоящего исследования и поэтому не рассматривается.

В результате этого система /1/ преобразуется к виду гч . . 1Н1 п

9-9 с™«I Ом^/З/

V »Р где ^ и Яа, есть степенные ряды по р с коэффициентами в виде полиномов от СЦч и ¿V ч / СЪ ч и у /. Цри этом со, <0 Ф о.

Интеграл системы /3/ ищется в виде I

Ср, « о + /4/ е*1 где £. принимает значение 2 к * г при и Я при

Функции последовательно находятся квадратурами и указанный процесс вполне аналогичен отысканию фокусных величин сложного фокуса»1 Переходя в /4/ обратно к координатам } и 1 , получим первый интеграл системы /1/. Доказывается сходимость этого интеграла в замкнутой области, ограниченной соседними сепаратрисами особой точки (о,о") и кругом достаточно малого радиуса.

Интеграл системы /\/ в общем случае не является аналитической функцией и имеет в точке (о,оу конечный порядок гладкости. Этот порядок зависит от числа Ъ в /1/. Представим его в виде у , Ь ["БЫ. /5/

Тогда, как показывается, интеграл имеет вблизи (о,о) непрерывные частные цроизводные до порядка р включительно^ В предельном случае, когда в системе /1/ все для любого К , интеграл оказывается голоморфной функцией.

В связи с этим вводится понятие седло-фокуса и седло-центра сложного седла, подобно тому как это сделано Дюлаком для простого • Особая точка (о,о) системы (Ь) называется седло-фокусом порядка р , если имеет место /5/ и седлоцентром в противном случае.

Во второй главе изучается структура функции по следования вблизи петли сепаратрисы, проходящей через особую точку (о,о) . Исследование цроводится в два этапа: сначала строится функция соответствия в секторе отталкивания особой точки (о,о) , а затем - вблиэи остальной части петли. Суперпозиция этих функций и даст функцию по следования.

В работе (з гл.2,3] Дюлаком построена функция соответствия в окрестности простого седла и особой точки с одним нулевым корнем характеристического уравнения. Кроме того, им же показано, что подобная задача в отношении сколь угодно сложных особых точек в принципе сводится к указанным двум. Однако на этом пути возникают большие технические трудности. Позтому в настоящей работе предложен другой метод, непосредственно использующий первый интеграл системы /1/. Для зтого выбираются две аналитические дуги беэ контакта ветствует точка на , а с,* о -на Ц . Тогда зависимость между с. и с, неявно вьфажается через интеграл Сс^ следующим обравом

С! = С| ату зависимость в дальнейшем удается найти явно и получить

- 13 функцию соответствия c^stoco в виде ряда по дробным степеням с и логарифмам.

Что касается функции соответствия Осс^, взятой в окрестности остальной части петли, то она является голоморфной функцией параметра. Окончательно для функции последования

Но имеет место следующее разложение ©в . во К.' ko * £L+ 1Е1 < C^l/c.

Ui ¿=t+R+2. J = ö J ' /6/

OO P° Afr I

Как показал Дюлак СЗ] поведение траекторий в окрестности особого предельного цикла определяется двумя рядами величин. Первые величины относятся только к особой точке <о,о> и получили название "седловых". Второй ряд величин относится к самому циклу. Эти величины носят название "сепаратрисных". В рассматриваемом случае роль "седловых" величин выполняют постоянные в системе /1/. Коэффициенты в /б/ - суть полиномы от них. Роль "сепаратрисных" величин выполняют коэффициенты ае£

Седловыё" величины вычисляются по мере цриведения системы (Ь) к каноническому виду, их можно найти также по методике, изложенной Дюлаком в СЗ] . Однако аналитических выражений для "сепаратрисных" величин, по крайней мере для рассматриваемого случая, получено не было.

В настоящей работе такие выражения получены путем использования аппарата т.н. характеристической функции, представляющей ив себя интеграл от дивергенции векторного поля системы (Ь) , взятый по дуге траектории между двумя ее последовательными пересечениями с дугой бее контакта /см. рис. 3/.

- 14

Т.о.» характеристическая функция есть

ТЧо

Veo = \ <e(t,c>,* cf|fi))#

Здесь с параметр на /значению с -о соответствует точка на петле Ь /, д: = ^ ^ c¿,c) - уравнения траектории, а -Тф и Тсс.) - моменты времени, соответствующие точкам и В , /рис. 3/.

Показывается, что в случае, когда начало координат является для системы (D) седло-фокусом порядка р , функция Цсо имеет в точке с^о Лишь р-iнепрерывных, производных. В случае седло-центра эта функция является аналитической.

Производные от функции К се,} находятся методом контурного дифференцирования, впервые введенным Н.Ф. Отроковым в [dO гл.13 • £УТЬ его состоит в том, что находятся непрерывно-дифференцируемые функции Jí¿ и B¿ Гх, у) , удовлетворяющие в окрестности петли соотношениям - Вс С 3 -н Х2 J«V ( Х>, ^

Здесь - интегрирующий множитель, соответствующий нормированному интегралу Ссх,^") системы (Ь) , построенному в главе 1 и аналитически цродолженному на всю окрестность петли. В силу многозначности функций и Сек,под этими обозначениями понимаются определенным образом выбранные однозначные их ветви. Тогда

Tic.) ¿ tK-,

J mj^.BJ^ + где +to - функция последования, a R^co некоторые непрерывно-дифференцируемые в окрестности с*0 функции, зависящие в

- 15 свою очередь от при о} ¿-t и уравнений дуги

Сепаратрисные" величины при ¿« IJP как раэ представля Ct") --ют из себя производные К со> , ¿г о, p-i ,

Третья глава диссертации непосредственно посвящена вопросам бифуркации петли сепаратрисы L . При этом существенно различными с точки зрения числа рождающихся циклов оказываются случаи

1. VI* . 2. и> , з. ,

Инварианты ид и и. оцределены в системе /1/.

Первый случай является наиболее простым и соответствует, если так можно выразиться, наимее врожденной системе (Ъ) • И8 петли сепаратрисы L здесь может родиться не более одного цикла. Построена измененная система специального вида в которой эта возможность осуществляется. При этом петля Ь исчезает. Бифуркации в атом случае обусловлены аналитическими в окрестности петли L' добавками. Аналогом указанного случая является ровдение предельного цикла из петли сепаратрисы седло-узла и цростого седла цри условии не обращения в нем в нуль дивергенции векторного поля.

В случаях 2 и 3 особая точка (о,о) является для системы (D) седло-фокусом некоторого порядка р или седло-центром. Количество рождающихся циклов зависит от чисел р , w» и кратности S корня с = о функции к с со При этом при прочих равных условиях в случае четного vw роадается циклов больше, чем при vn нечетном. Если S не превосходит p-i , то точные оценки числа цредельных циклов равны + i цри и 2ck+±)S + 1 при w\=:2tc+i / в других случаях получаются более сложные оценки/. Такое положение вещей обуславливается тем обстоятельством, что в случае четного воэвращаемость областей имеет место по обе стороны от петли, а не только

- 16 внутри, как цри - нечетном /см. рис 3/.<

Малые добавки, возмущающие систему (Ь) представляют иэ себя однозначные функции, аналитические в окрестности начала координат и гладкие до порядка ^ в окрестности остальной части петли. При этом число IV может быть выбрано наперед сколь угодно большим. Такая структура добавок обуславливается вхождением в них функции Рсх,^), обращающейся в нуль на петле и » Именно она может быть построена сколь угодно большого порядка гладкости. Вопрос о существовании аналитической функции Рсх,^) } а, следовательно, и добавок остается открытым.

Скажем теперь несколько слов о некоторых дополнительных условиях, налагаемых на систему (Ь) и малые добавки, и Петля сепаратрисы имеет в начале координат точку возврата

Случай, указанный на правом рисунке, не рассматривается. Это объясняется тем, что в этом случае несобственные интегралы, и) входящие в вьфажения для производных могут сходиться и в смысле главного значения. Это требует дополнитель< ного исследования, хотя принципиальных трудностей на этом пути нет.

2. Имеются некоторые ограничения на младшие члены разложений добавок в окрестности (о,о> . Они сводятся к тому, что при возмущениях системы (Ь) негрубая особая точка Со,о) не разрушается, а может лишь немного сместиться. Это ограничение связано со спецификой излагаемого метода* В противном случае радиусы сходимости всех получаемых рядов резко зависят от добавок и полного исследования цровести не удается.

Подведем краткие итоги. В настоящей работе получены следующие новые результаты,

1. Найдена простейшая /каноническая/ форма системы которой она может быть приведена в окрестности (о,о) взаимно однозначным аналитическим преобразованием,

2, Введены новые специальные функции, что позволило построить и исследовать вблизи начала координат первый интеграл системы (£0

3. Построена и изучена функция последования вблизи петли сепаратрисы особой точки Го,о) . Методом характеристической функции получены выражения для "седловых" и "сепаратрисных" величин,

4, В классе малых добавок специального вида получены точные оценки числа предельных циклов, рождающихся из петли сепа- , ратрисы при возмущениях системы (Ь) ,

- 18

Список литературы диссертационного исследования Макеев, Н.Г., 1984 год

1. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М~Л 1950.

2. Пуанкаре А.' 0 кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М-Л 1947.

3. Дюдак Г. 0 предельных циклах. М. Наука 1980.4. t)\a ¿а.с н. s4\ poi4Vs оUsju*4io<»A . У. <£c. ро^Ь PavCs . S. Hi. 9 , ISO*.

4. Андронов A.A.; Леонтович E.A., 1Ърдон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М. Наука 1966.

5. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости.М. Наука 1967.

6. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М. Наука 1965.

7. Бендиксон И. 0 кривых, оцределяемых дифференциальными уравнениями. УМН 1941, Ш IX.

8. B^iot ßo~Г. ßse.ke.fccAee, sva. &-S piopiiefest8S"G , i. 24,

9. Отроков Н.Ф. Аналитические интегралы и предельные циклы, Волго-вятское изд~во 1972.

10. Брюно А.Д,. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М. Наука 1979.

11. Баутин H.H. Пэведение динамических систем вблизи границобласти устойчивости. М.-Л 1949.

12. Баутин H.H., Леонтович E.A. Методы и приемы качественного- исследования динамических систем на плоскости.М. Наука 1976.

13. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М-Л 1947.

14. Голубев В.В. Лекции ш аналитической теории дифференциальных уравнений. М-Л 1950.

15. Рейзинь Л.Э. Локальная эквивалентность дифференциальных уравнений. Изд-во "Зинатне" Рига 1971.

16. Петровский И.Т. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М. Наука 1970.

17. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Вышейшая школа 1974.

18. Шихтенгольц Г.М.' Дифференциальное и интегральное исчисление. М. Наука 1970, изд. 7, т. 1.

19. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. М. 1963, т. 2.

20. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М. Наука 1969.

21. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М. Наука 1971.

22. Леонтович Е.А. Рождение предельных циклов от сепаратрисы. ДАН СССР 1951, т. 78, Ш 3.

23. Леонтович S.A., Тареев В.П. К вопросу о рождении интегральных кривых из сепаратрисного конуса двумерной динамической системы. ДАН СССР 1972, т. 207, № 6.

24. Отроков Н.Ш., Пущина В.А. Один способ построения функциипоследования. Ученые записки ГГУ 1973 вып. 188.

25. Отроков Н.Ф., Кутукова Ji.T. О возбуждении периодических орбит в системах, близких к гамильтоновым. Дифференциальные и интегральные уравнения. Межвуз. сб. Горький 1979 ШЗ

26. Отроков Н.Ф. Об условиях существования* петли сепаратрисы^Дифференциальные уравнения, т. б, 1 10 1970.

27. Отроков Н.Щ. 0 структуре коэффициентов функции наследования. Дифференциальные уравнения. т.З, 12, 1967.

28. Отроков Н.Ф. 0 существовании сепаратрис, идущих из седла в седло. ДАН БССР т.6, 110 1962.

29. Отроков Н.Ш. Об одном случае рождения предельных циклов. Вестник ЛГУ 1961 Ш9. Серия математика, механика и астрономия вып. 4.

30. Отроков Н.Ф. Рождение предельных циклов в алгебраических дифференциальных системах. ДАН СССР т. 105 11 1955.

31. Отроков Н.Ш,'. О числе предельных циклов в окрестности фокуса. ДАН СССР т.43 ШЗ, 1944.

32. Долов М.В., Лисин Б.В. Алгебраический интегрирующий множитель и предельные циклы. Дифференциальные и интегральные уравнения. Межвуз. сб. Горькш 1983 вып. 7.

33. Долов М.В., Косарев В.В. Интегралы Дарбу и бифуркации особых предельных циклов. Дифференциальные и интегральные уравнения. Межвуз. сб. Горький 1982 16.

34. Долов М.В. Структура однозначного интегрирующего множителя вблизи цикла. Дифференциальные уравнения. 1981,т.17 18.

35. Долов М.В. Канонические интегралы и предельные циклы. Дифференциальные уравнения. 1981, т. 17 14.

36. Долов М.В. Квазиканонические интегралы. Дифференциальные уравнения. .1981, т.17 13.

37. Долов М.В., Лисин В.В. Алгебраические интегралы в окрестности седла. Актуальные проблемы геометрии и ее приложений. Чебоксары 1976 вып. 2.

38. Долов М.В.1 К вопросу о бифуркации предельных циклов. Ученые записки ГГУ 1973 вып. 188.

39. Долов М.В. Канонические интегралы и особые циклы. Дифференциальные уравнения. 1970, т.б 18.

40. Долов М.В. Квазиканонические интегралы и особые циклы.Дифференциальные и интегральные уравнения. Межвуз. сб.ГЬрький 1979 ЕЗ.

41. Долов М.В., Лисин Б.В. К вопросу о структуре функциисоответствия в окрестности седла. Ди^ференциальеые и интегральные уравнения. Межвуз. сб. Горький 1981 1*5.

42. Авдонин H .И. Метод обобщенной симметрии и существованиезамкнутых интегральных кривых. Дифференциальные и интегральные уравнения. Межвуз. сб. Горький 1982 Шб.

43. Авдонин Н.И.' Некоторые условия на сепаратрисы, идущие из одного седла в другое. Ученые записки ГГУ 1972, вып. 113

44. Авдонин Н.И." 0 взаимном расположении сепаратрис. Дифференциальные уравнения. 1968, т.4 Щ2.

45. Авдрник Н.И. 0 сепаратрисах одного класса систем дифференциальных уравнений. Известия вузов. Математика. 1969 El.

46. Авдонин Н.И. Примеры рождения предельных циклов из петли сепаратрисы и особого цикла. Дифференциальные уравнения 1969, т.5, 17.

47. Куклес И.О. 0 методе Щроммера исследования особой точки. ДАН СССР 1957 т. 117 Ш.

48. Куклес И.С. 0 необходимых и достаточных условиях наличия центра. ДАН СССР 1944 т. 42 Ш4.

49. Куклес И.С. 0 некоторш: случаях отличия фокуса и центра. ДАН СССР 1944 т. 42 15.

50. Бутенина Н.Н. Оценка возможного числа слияния двух сепаратрис при повороте поля. Дифференциальные и интегральные уравнения. Межвуз. сб. Горький 1978 Ш 2.

51. Быков В.В. О бифуркациях динамических систем, близких к системам с еепаратрисным контуром, содержащим седло-фокус. Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький 1980.

52. Ноэдрачева В.П. Бифуркации негрубой петли сепаратрисы. Дифференциальные уравнения. 1982, т. 18, Щ?.

53. Лукьянов В.й. О бифуркациях динамических систем с петлей сепаратрисы седло-узла. Дифференциальные уравнения. 1982 т.18, № 9.

54. Л^барь н.А. Характеристика сложных особых точек системы двух дифференциальных уравнений при помощи грубых особых точек близких систем. Матем.сб. т. 40 /82/ 1956.

55. Черкас л.А. О структуре функции последования в окрестнос--ти сепаратрисного цикла, при возмущениях аналитической системы на плоскости. Дифференциальные уравнения. 1981, т. 17, £ 3.

56. Зигель К.Л. О нормальной форме аналитических дифференциальных уравнений в окрестности .положения равновесия. Математика 1961 т. 5, Ш 2.

57. Тереньев А.М. Об условиях существования голомор<|ного интеграла в окрестности сложной особой точки. Дифференциальные и интегральные уравнения. Межвуз. сб. 1978, № 2.

58. Макеев Н.Г. Об условиях существования голоморфного интеграла в окрестности сложной особой точки системы дифференциальных уравнений. Известия вузов. Математика 1984, $ 4.

59. Макеев Н.Г. Об исследовании сложной осабой точки типа "фокус". Дифференциальные и интегральные уравнения. Межвуз. сб. 1981, I? 5.

60. Макеев Н.Г. О некоторых свойствах характеристической функции вблизи петли сепаратрисы. Рукстпись деп. в ВИНИТИ Ш 147-82.

61. Макеев Н.Г. Об интегралах одного класса систем дифференциальных уравнений. Рукопись деп. в ВИНИТИ, №2663-83.