Поведение многомерных гамильтоновых систем в окрестностях гомоклинических траекторий к особым точкам тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Лерман, Лев Михайлович

• Лерман, Лев Михайлович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Лерман, Лев Михайлович

Введение

1. Структура интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы в расширенных окрестностях особых точек типа седло-центр и седло-фокус

1.1. Некоторые понятия, определения, примеры.

1.2. Особая точка типа седло - центр

1.2.1. Расширенная окрестность седло-центра и ее топология

1.2.2. Изоэнергетическая эквивалентность ИГВП

1.3. Особая точка типа седло-фокус.

1.3.1. Структура гирлянды и ее сепаратрисного множества

1.3.2. Структура вспомогательной градиентной системы

1.3.3. Построение сопрягающего гомеоморфизма в

1.3.4. Доказательство теоремы об изоэнергетической эквивалентности.

1.3.5. Эквивалентность действий.

1.3.6. Топология множества V

1.4. Модельные многообразия.

1.5. Пример бифуркации лиувиллева слоения при переходе через непростую особую точку: пара двойных действительных собственных значений

2. Строение ЗЮ ИГПВ в расширенной окрестности эллиптико-гиперболической, центро-седловой и седло-фокусной точек

2.1. Бифуркационные диаграммы

2.2. Изоэнергетическая структура орбит в расширенной окрестности eh-точки.

2.3. Структура орбит в расширенной окрестности csf-точки.

2.4. Структура орбит в расширенной окрестности cs-точки.

2.5. О структуре орбит в расширенной окрестности sfs-точки

2.6. Пример ИГВП, имеющего sfs-точку и неориентируемые седловые торы.

3. Структура многомерной гамильтоновой системы в окрестности гомоклинической траектории к седло-центру

3.1. Предварительные понятия.

3.2. Две степени свободы

3.2.1. Предварительные результаты и формулировка задачи.

3.2.2. Свойство скручивания на уровне, содержащем петлю, семейства периодических траекторий.

3.2.3. Гомоклинические траектории Пуанкаре на уровнях ф 0.

3.3. п степеней свободы.

3.3.1. Постановка задачи

3.3.2. Структура линеаризованной системы и линейная неинтегрируемость.

3.3.3. Гомоклинические траектории к ляпуновским периодическим траекториям.

3.4. Неинтегрируемость.

3.4.1. О неинтегрируемости гамильтоновых систем.

4. Структура и бифуркации 2D гамильтоновой системы в окрестности гомоклинической траектории к седло-фокусу и контура из двух седло-фокусов и двух гете-роклинических траекторий

4.1. Окрестность гомоклинической траектории к особой точке типа седло-фокус.

4.1.1. Предварительные сведения.

4.1.2. Локальное поведение и локальное отображение

4.1.3. Формулировки основных теорем

4.1.4. Доказательства

4.2. Контур из двух трансверсальных гетероклинических траекторий и двух седло-фокусов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Поведение многомерных гамильтоновых систем в окрестностях гомоклинических траекторий к особым точкам»

5.1.2. Общие свойства системы, топология уровней Т4 , типы особых точек.237

5.1.3. Множество Е и поведение траекторий на нем, бифуркационные диаграммы.240

5.1.4. Возмущение и расщепление сепаратрис.251

5.2. О стационарных решениях обобщенного уравнения Свифта-Хоенберга.253

5.2.1. Введение.253

5.2.2. Стационарное уравнение.255

5.2.3. Гамильтонова бифуркация Хопфа.258

5.2.4. Вырожденная бифуркация Хопфа и нормальная форма шестого порядка.262

5.2.5. Симметричные гомоклинические траектории . . 265

5.2.6. Замечания о глобальной структуре уравнения Свифта-Хоенберга.268

5.2.7. О гетероклинических траекториях обобщенного уравнения

Свифта-Хоенберга.269

5.3. Локализованные бегущие волны нелокального уравнения синус Гордон.271

5.3.1. Уравнение'(5.22) с ядром = Е^/^е"7^. . . 273

5.3.2. Обсуждение.278

Список литературы 280

Введение

Гамильтоновы системы являются классическим объектом исследования в теории динамических систем. Появившись впервые в механике, как дополнение к лагранжевому описанию динамики, они, в результате развития, стали самостоятельным, и в некотором смысле, более удобным объектом изучения в механике, физике (где гамильто-ново описание является основным, например, в теории полей), и других областях науки.

Теория гамильтоновых систем находится на пересечении различных разделов математики, здесь, кроме чисто динамических вопросов, как органическая часть, входят геометрические, часто малораз-работанные, вопросы симплектической геометрии и топологии [87, 132], весь комплекс вопросов эргодической теории [40, 127] (эргодичность, и более сильные условия стохастичности — перемешивание, К-свойство, экспоненциальное спадание корреляций). Следует отметить, что основные успехи в изучении эргодических свойств гамильтоновых систем достигнуты при изучении различных модельных систем (впрочем, имеющих часто глубокий самостоятельный интерес, например, геодезические потоки на многообразиях отрицательной кривизны [3] и их обобщения [59], движение системы твердых шаров [63], биллиарды различного типа [18]), стохастические же свойства гамильтоновых систем "общего типа" изучены и поняты гораздо хуже.

Исторически изучение гамильтоновых систем началось с попыток проинтегрировать различные уравнения, появившиеся в механике и геометрии. Понятие интегрируемости, возникшее почти в самом начале появления дифференциальных уравнений, претерпело значительную эволюцию от попыток получить решение дифференциального уравнения в виде элементарных функций, интегралов от них или обратных функций от интегралов (интегрирование в квадратурах) в работах Иоганна, обоих Николаев и Даниила Бернулли, Риккати, Эйлера, Кле-ро и других классиков, через нахождение важных частных случаев интегрируемых систем в работах Эйлера, Лагранжа, Якоби, Лиувилля, Неймана, Клебша, Ковалевской, и многих других, — к современному пониманию интегрируемости гамильтоновой системы с п степенями свободы, как существование п независимых почти всюду интегралов в инволюции. Повидимому, первым общим геометрическим результатом в теории интегрируемых систем служит теорема Лиувилля, поскольку эта теорема не опирается на конкретный вид системы, а только на существование п независимых интегралов в инволюции, и дает описание поведения всех траекторий системы в рассматриваемой окрестности. В [5] Арнольд придал этой теореме современную формулировку и гло-бализовал ее результат.

Пуанкаре был первым, кто осознал необходимость развития качественных методов в теории дифференциальных уравнений в связи с обнаружением сложного поведения в знаменитой задаче трех тел в небесной механике, связанного с наличием гомоклинических траекторий к периодическим траекториям седлового типа (гомоклинические траектории Пуанкаре) [151]. Фактически, вся хаотическая динамика, или теория сложного поведения динамических систем имеет своим происхождением это открытие. После этого открытия и осознания аналитической неинтегрируемости большинства задач динамики интерес сместился в сторону изучения неинтегрируемых систем, таких, как скручивающие отображения (Биркгоф [93]), геодезические потоки на поверхностях отрицательной кривизны (Адамар, Хедлунд, Морс, Хопф и др. [82, 143, 120, 76]), и развития локальных методов для изучения общих гамильтоновых систем (Биркгоф [93]).

Новый этап развития теории гамильтоновых систем начался в конце 50-х - начале 60-х годов с работы Колмогорова, показавшего, что метод Ньютона позволяет решить ряд задач теории возмущений интегрируемых систем, и Арнольда и Мозера, доказавших, что системы, близкие к интегрируемым, являются почти интегрируемыми в смысле меры множества тех точек фазового пространства, через которые проходят инвариантные лагранжевы торы (КАМ-теория, см. например, [7]). Важную роль сыграл пример Арнольда [6], показавший возможность экспоненциально медленной диффузии в аналитических многомерных гамильтоновых системах. Этот пример вызвал большое число работ, начиная со статьи Нехорошева [52], о "диффузии Арнольда" (медленная неустойчивость систем, близких к интегрируемым, с числом степеней свободы > 3, в направлении, трансверсальном тагранжевым торам), различных оценок ее скорости [131]), а также топологических причин, лежащих в ее основе [137, 68, 94, 95]. Многочисленные современные работы по теории систем, близких к интегрируемым, посвящены вопросам экспоненциально малого расщепления сепаратрисных поверхностей, что тесно связано с проблематикой диффузии Арнольда (Лазуткин, Гельфрейх, Трещев и др.). Следует заметить, что все эти вопросы, как и сама небесная механика, получили новое развитие в связи с задачам теории спутников (резонансные явления, расчеты орбит, их оптимизация и т.д., см. [17, 11]).

Примерно в то же время (начало 60-х) произошел новый взрыв интереса к интегрируемым системам, связанный с открытием бесконечномерных интегрируемых гамильтоновых систем типа уравнений Кортевега-де Вриза, нелинейного уравнения Шредингера,. уравнения синус-Гордон, уравнения Ландау-Лившица, и развитием метода обратной задачи рассеяния и алгебраических методов интегрирования (Гарднер, Грин, Крускал, Миура, Лаке, Хирота, Мозер, Захаров, Фаддеев, Новиков, Шабат, Мищенко, Фоменко, Богоявленский, Степин, и многие другие), которые привели к открытию новых и переоткрытию найденных ранее конечномерных интегрируемых гамильтоновых систем. Однако все эти мощные аналитические методы, позволяющие обнаруживать интегрируемость (скорее, не обнаруживать интегрируемость конкретных систем, а строить классы интегрируемых уравнений) и получать конкретные решения, плохо приспособлены к задачам глобального описания данной системы, т.е. того, что в теории динамических систем понимается под ее фазовым портретом, структурой и т.д. Первый шаг на пути построения такой теории был сделан С.Смейлом [160], который сформулировал подход к изучению га-мильтоновой системы, инвариантной относительно действия некоторой группы Ли, и Марсденом и Вейнстейном [134], развившие понятие редукции для гамильтоновой системы с симметриями.

В те же 60-е годы новое развитие получило то направление в теории гамильтоновых систем, которое имеет своим истоком идею о гиперболическом поведении в системе, идущую с работ Адамара и Перрона. Эта идея неявно использовалась в теории геодезических потоков на многообразиях отрицательной кривизны, однако современное развитие началось с работы Смейла, построившего знаменитую "подкову Смейла" [158], и затем, с выделением систем с гиперболическим поведением (равномерным и неравномерным) в работах Аносова [3], Смейла [157], Песина [55] и др., это превратилось в мощное направление исследований, продолжающееся до настоящего времени. С другой стороны, сложная динамика в системе с гомоклинической траекторией к особой точке типа седло-фокус в общей динамической системе, и, в частности, гиперболические инвариантные подмножества, была обнаружена Л.П.Шильниковым [7$], в задаче, идущей из теории бифуркаций, именно, при исследовании петель сепаратрис к состоянию равновесия типа седло-фокус. Поскольку такая структура легко обнаруживается, даже в конкретных задачах, этот результат привлек большой интерес, т.к. он давал простой критерий сложного поведения динамической системы, с тех пор эта структура стала одной из основных при идентификации хаотического поведения как в теории динамических систем, так и в приложениях. В настоящее время основные исследования в области диссипативных систем сосредоточены на изучении различных типичных свойств динамических систем [119], связи эргодических и топологических свойств динамических систем [168], структуры притягивающих транзитивных инвариантных множеств (аттракторов) различной природы, путей их появления, бифуркаций, приводящих к изменению их структуры [156], а также явлений типа Ньюхауса. приводящих к всюду плотной негрубости при малом изменении системы [114].

В тоже самое время (с начала 60-х годов) идеи гиперболичности стали использоваться и в теории гамильтоновых систем. Первые результаты Аносова о гиперболичности и особенно грубости (структурной устойчивости) геодезических потоков на многообразия отрицательной кривизны и У-диффеоморфизмов [3] казались тогда удивительными, поскольку считалось, что грубость и гамильтоновы системы — антиподы. Позже, из работ Ньюхауса, стало ясно, что эти системы образуют специальный класс во множестве всех гамильтоновых систем [146]. Идея гиперболичности нашла применение и в задачах небесной механики (Алексеев [1]). Поскольку гамильтонова система — это система с инвариантной мерой, то гиперболичность была применена для изучения эргодических свойств: сначала — для чисто гиперболических систем (Аносов [3], Синай [62]), а затем — для неравномерно гиперболических (Песин [55]), систем с разрывами ([63, б4] и др.). Сейчас это одно из наиболее активно развивающихся направлений исследований, см. например, [127].

Важным направлением исследований в динамической теории гамиль-тоновых систем и параллельной ей теории симплектических диффеоморфизмов было изучение вопросов типичного поведения. Здесь, наряду с более очевидными результатами о типичности систем с гиперболическими и общими эллиптическими и квазиэллиптическими точками [152], были получены совершенно неожиданные и глубокие результаты о типичности систем с плотным в фазовом пространстве множеством 1-эллиптических точек (для диффеоморфизмов) и множеством нетрансверсальных гомоклинических точек [146, 163, 150]. Например, из этих результатов следует, что в С1—общей системе эллиптическая точка неустойчива, что находится в кажущемся противоречии с теорией КАМ, которая утверждает, что точка общего эллиптического типа для двумерного симплектического диффеоморфизма устойчива! Конечно, никакого противоречия здесь нет. Все дело в том, что теоремы типичности доказаны в классе С1 -гладких диффеоморфизмов, а теория КАМ требует, по крайней мере, С5 -гладкости, а в С3" -случае уже есть контрпримеры к теории КАМ [122]. Поэтому в настоящее время вопрос о типичном поведении гладких гамильтоновых систем эстается открытым.

Другим таким активно развивающимся направлением является теория скручивающих отображений, один из наиболее глубоко понятых типов систем, получаемых естественным образом из гамильтоновых, начало изучению которых положил Пуанкаре, затем глубокие результаты были получены Биркгофом [93], современный этап в развитии этой теории начался с работ [88, 135]. Сейчас результаты этой теории переносятся на многомерный случай для систем, которые могут быть записаны в лагранжевой форме [136] (своеобразный возврат "к истокам" на новом уровне). Тем не менее, в том, что касается "общих" гамильтоновых систем, прогресс не столь очевиден. Поэтому необходимо развивать методы и подходы к исследованию таких систем.

Основная тема настоящей диссертации — изучение структуры га-мильтоновой системы, как интегрируемой, так и неинтегрируемой, с п > 2 степенями свободы в окрестности гомоклинической траектории к особой точке, или семейства таких траекторий, или множества траекторий, образующих гетероклинический контур из гетероклини-ческих траекторий и особых точек, а также применение этих результатов к задачам поиска стационарных решений и решений типа бегущей волны в различных уравнениях математической физики. Интерес к таким задачам весьма велик и объясняется он несколькими причинами. Во-первых, задачи данного типа представляют собой хорошие математические модели для изучения сложного поведения неинтегрируемой гамильтоновой системы. Они, с одной стороны, более просты и позволяют получить довольно полное описание соответствующих инвариантных подмножеств, а с другой стороны - дают хорошее представление о том, как ведет себя общая гамильтонова система в целом. Во-вторых, эти задачи часто возникают в приложениях, к ним сводятся многие вопросы существования, рождения и исчезновения, продолжения по параметрам, бифуркаций стационарных решений, стационарных волн, решений типа бегущей волны в уравнениях с частными производными различного происхождения. В-третьих, во многих задачах из приложений важным является вопрос об интегрируемости или неинтегрируемости данной системы. Известно, что этот вопрос, в некотором смысле, эквивалентен вопросу о простом или сложном поведении системы. Для ответа на него нужны математически строгие, проверяемые критерии сложного поведения. Такие критерии даются рассматриваемыми в диссертации задачами о поведении системы в жрестности гомоклинических траекторий к особым точкам. Следует этметить, что критерии, основанные на гомоклинических траекториях к особым точкам, удобны в приложениях, поскольку сами такие траектории легче обнаружить, в частности, численными методами. Кроме того, в отличие от методов типа методов Пуанкаре-Мельникова 151, 138, 35, 36, 189, 192], эти критерии приложимы не только к системам, близким,к интегрируемым, но и к общим гамильтоновым си-:темам. Наконец, данные задачи интересны и сложны математически, ши сформулировались в процессе развития теории гамильтоновых дияамических систем.

Первым приближением к задаче о структуре неинтегрируемой системы является изучение интегрируемой системы в окрестности гомо-клинической траектории к особой точке того или иного типа в случае двух степеней свободы. Отметим, что такая окрестность содержит эсобую точку и здесь не работает теорема Лиувилля, поэтому задача гребует специального исследования. При этом естественно изучать не окрестность отдельной гомоклинической траектории, а всего семейства таких траекторий, поскольку наличие семейства характерно для интегрируемой гамильтоновой системы. Для интегрируемых систем это изучение ведется на основе теории, развитой, начиная с 1981 г. в работах [171, 172] и [70].

Прежде, чем переходить к описанию этого подхода, естественно поставить вопрос: известно, что интегрируемые системы в пространстве всех гладких гамильтоновых систем на симплектическом многообразии М (в пространстве их гамильтонианов) образуют весьма "тощее" множество, стоит ли изучать их структуру? На наш взгляд, ответ на этот вопрос "да, стоит" и мотивируется он следующими соображениями. Во-первых, соображения "общего положения", хотя они и весьма плодотворны, не являются абсолютными, они не объясняют, например, такой феномен, что многие "стандартные" уравнения, используемые в различных физических теориях, оказались интегрируемыми [30, 67, 108]. По-видимому, соображения симметрии всегда неявно присутствуют при выводе таких моделей, что часто приводит к их интегрируемости, или, в многомерном случае, - к наличию достаточно богатой группы симметрий. Во-вторых, интегрируемые системы часто появляются в локальных задачах при изучениии динамики не-интегрируемых систем в окрестности особых точек и периодических траекторий, причем, в случае, когда особая точка является вырожденной, необходимо изучать семейства гамильтоновых систем в окрестности такой точки, что часто приводит к интегрируемым нормальным формам, зависящим от параметров [7], т.е. к своеобразной теории бифуркаций в классе интегрируемых систем! Следует отметить, что, хотя преобразование к нормальной форме обычно расходится, она, тем не менее, несет большую информацию о поведении траекторий в окрестности изучаемой особой точки или периодической орбиты. Причина этого состоит в том, что при локальном изучении деформаций аналитической гамильтоновой системы с вырожденной особой точкой при условии интегрируемости ее нормальной формы, эффекты неинтегрируемости (например, расщепление сепаратрисных поверхностей особых точек и периодических траекторий) обычно экспоненциально малы, что приводит к хорошему асимптотическому приближению решений, полученных из нормальной формы, к истинным решениям (Нейштадт [5^]).

Кроме вышесказанного, можно привести еще одно немаловажное соображение в пользу изучения интегрируемых систем: это один из немногих классов гамильтоновых систем, где, в принципе, можно до конца изучить структуру потока. Вторым таким известным примером является противоположный случай полной неинтегрируемости -случай геодезических потоков на многообразиях отрицательной кривизны (см. [3] и литературу в ней). На таких классах оттачивается интуиция.

Интерес автора к интегрируемым задачам был стимулирован, в большой степени, желанием понять структуру некоторых модельных систем, появившихся в теории распространения доменных стенок в магнитных средах [28, 29]. Как известно, основным феноменологическим уравнением этой теории является уравнение Ландау-Лифшица (см. раздел 5.1). Эта система зависит от параметров и интегриру-зтся в ^-функциях Прима [19]. Однако, "увидеть" динамику всех решений из этого факта довольно трудно, и это привело авторов [171] к задаче построения некоторого варианта "качественной теории интегрируемых гамильтоновых систем". В основу ее положено изучение :труктуры орбит индуцированного действия группы И,2, порожденной зарой коммутирующих гамильтоновых векторных полей Х'н, Хк, где Н - гамильтониан изучаемого гамильтонова векторного поля , а К ■ его дополнительный интеграл. Такой подход был вполне естествен, тоскольку характерен для "школы теории колебаний Андронова". С этой точки зрения первой задачей было изучение действия в окрестности множества вырождения действия, т.е. объединения орбит, размерность которых меньше двух. Отметим, что при изучении структуры орбит в насыщенной относительно действия окрестности особой точки мы приходим к необходимости глобального изучения их поведения, поскольку обычно существуют орбиты, которые содержат особую точку в своем замыкании, но они уходят далеко от особой точки, и чтобы изучить инвариантную относительно действия окрестность особой точки, мы приходим к понятию расширенной окрестности особой точки и изучению поведения орбит действия и траекторий гамильтоновой системы в этой окрестности. Чтобы изучить систему в целом, необходимо знать поведение системы на уровнях гамильтониана, не содержащих особые точки. Это было сделано в работах Фоменко, Фоменко-Цишанга и др. [74 72, 93, #].

Предполагая простоту особой точки (см. ниже), в случае двух степеней свободы имеем четыре типа особых точек. Три из них обладают асимптотическими к точке траекториями: седло-центр, седло-фокус и седло. В интегрируемой системе, в предположении о единственности особой точки в связной компоненте на уровне гамильтониана (естественное предположение для систем без дополнительных симметрий), замыкание множества таких траекторий образует либо "восьмерку" (в случае седло-центра), либо двумерное множество, насыщенная относительно орбит действия окрестность которого должна быть изучена. Топологически эта окрестность и ее слоение на орбиты действия нетривиальны, и нужно развить общие методы исследования пуассонов-ских действий, орбиты которых образуют слоение Лиувилля, и теорию бифуркаций этих слоений. Еще более интересной является аналогичная задача в случае большего числа степеней свободы.

Характерной особенностью неинтегрируемой системы является наличие гомо- и гетероклинических траекторий (к особым точкам, периодическим траекториям, инвариантным торам), вдоль которых соответствующие устойчивые и неустойчивые многообразия пересекаются, а не сливаются, как в интегрируемой системе. Типичной ситуацией является трансверсальность этих пересечений в случае седловых периодических траекторий (гомоклинические траектории Пуанкаре) и седловых особых точек. В связи с бодыпой сложностью изучения глобального поведения типичных гамильтоновых систем, динамическая теория таких систем исследует различные модельные ситуации, и одной из весьма плодотворных здесь и является изучение гомокли-нического поведения, т.е., поведения системы в окрестности гомокли-нических траекторий к множествам различного типа.

Первой здесь являлась гомоклиническая структура Пуанкаре [151, 93, 161, 79], трансверсальная гомоклиническая траектория к седловой периодической траектории. В этом случае нет никакого различия в поведении гамильтоновой и негамильтоновой систем в окрестности такой траектории, за исключением того факта, что в общей негамильтоновой системе седловая периодическая траектория изолирована, а в гамильтоновом системе основная периодическая траектория включена в однопараметрическое семейство таких траекторий (параметр - значение гамильтониана), а на каждом уровне гамильтониана поведение в окрестности гомоклинической структуры одинаково.

Следующим по сложности является изучение гомоклинических траекторий к особым точкам. Для гамильтоновых систем существование гомоклинической траектории к особой точке седлового типа (когда собственные значения матрицы линеаризации имеют отличные от нуля действительные части) является общим явлением, поскольку устойчивое и неустойчивое многообразия этой точки лежат в одном уровне гамильтониана, и поэтому могут трансверсально пересекаться вдоль гомоклинической траектории в этом уровне. Эта структура напоминает гомоклиническую структуру Пуанкаре, однако это не совсем так. Оказывается поведение траекторий в окрестности гомоклинической траектории к особой точке сильно зависит от типа самой точки. Например, Девани [107] показал на примере конкретной системы, что грансверсальная гомоклиническая траектория к особой точке типа седло может существовать в интегрируемой системе, где никакого сложного поведения быть не может. В [172] показано, что в случае простого седла интегрируемой системы это всегда так, т.е., если существует гомоклиническая траектория к такому седлу, то она всегда трансверсальна. В общей гамильтоновой системе было показано 69], что если имеется трансверсальная гомоклиническая траектория с особой точке типа седло (это означает, что ближайшие к мнимой эси собственные значения матрицы линеаризации являются простыми а действительными), то в окрестности одной такой траектории целиком лежит только однопараметрическое семейство седловых периодических траекторий, накапливающихся к петле, остальные траектории принадлежат этой окрестности кусками.

В первом нетривиальном случае двух степеней свободы, имеются три типа особых точек, для которых могут существовать гомоклини-ческие траектории (те же седло, седло-фокус и седло-центр), причем для двух первых такие траектории существуют на открытом множестве гамильтонианов. Первый результат в исследовании поведения системы в окрестности гомоклинической траектории к седло-фокусу принадлежит Девани [10Щ, который, перенося результаты Шильни-кова о петле седло-фокуса на гамильтонов случай, изучал аналитическую гамильтонову систему с двумя степенями свободы в окрестности трансверсальной гомоклинической траектории к седло-фокусу. Следует отметить, что непосредственно этот результат на гамильтонов случай не переносится, т.к. при исследовании этой структуры в общей системе использовалось некоторое условие (неравенство нулю седловой величины), которое в гамильтоновом случае всегда нарушается из-за симметрии спектра линеаризованной системы.

Напомним, что для системы с п степенями свободы седло-фокусом (седлом) называется особая точка р гамильтонова векторного поля Хн с гладким гамильтонианом Н, у которой ближайшими к мнимой оси собственными значениями матрицы линеаризации системы в точке р является четверка простых комплексных чисел ±а ± г/3 (пара простых действительных ненулевых чисел ±А). Понятно, что наименьшая размерность фазового многообразия, где может существовать седло-фокус — это 4. В определенном смысле, случай двух степеней свободы в этой задаче является основным. Это означает следующее. Можно показать, действуя аналогично [77, 154, 165], что в окрестности трансверсальной петли существует С1 -гладкое инвариантное глобальное центральное 4-мерное симплектическое подмногообразие, содержащее все траектории, целиком лежащие в достаточно малой окрестности петли. Существование такого подмногообразия означает, что зся существенная динамика ограничена на четырехмерное подмногообразие, т.е., как в системе с двумя степенями свободы. И хотя су-цествуют, как упоминалось выше [122], существенные различия в поведении достаточно гладкой и системы малой гладкости, их грубые свойства, такие как поведение трансверсальных гомо- и гетероклини-ческих траекторий, гиперболических подсистем, должны быть одинаковы (хотя, конечно, это требует доказательства).

Основной результат [10$ состоит в том, что на уровне гамильтониана, содержащем седло-фокус (и гомоклиническую траекторию к нему), была выделена инвариантная подсистема, сопряженная надстройке над схемой Бернулли из двух символов. На счетность множества гомоклинических траекторий к седло-фокусу при наличии одной трансверсальной траектории было указано в [12]. Однако исследование системы в уровне особой точки в этой задаче недостаточно, т.к. задача о структуре окрестности гомоклинической траектории к особой точке является бифуркационной, естественным параметром которой служит значение гамильтониана, поэтому нужно было исследовать структуру инвариантных множеств и их бифуркации при переходе к близким уровням гамильтониана. Это было сделано в [175, 177, 184].

Гамильтонова система в окрестности гомоклинической траектории к седлу изучалась Тураевым и Шильниковым ¡^0], были указаны условия, когда возможно сложное поведение траекторий, это требует наличия, по меньшей мере, двух гомоклинических траекторий. Там же описана структура возможных гиперболические подмножеств. Часть этих результатов доказана вариационными методами в [9$.

В задачах, содержащих внешний параметр, появляется возможность (типичная для семейств) существования при некоторых значениях параметра контуров из гетероклинических траекторий и особых точек. Переход через такую структуру влечет усложнение структуры множества гомоклинических траекторий, появление нетрансверсальных гомоклинических траекторий, гиперболических подмножеств и т.д. Эти результаты были получены [184].

Задача о структуре гамильтоновой системы в окрестности гомоклинической траектории к точке типа седло-центр (здесь имеется пара простых чисто мнимых собственных значений, а остальные имеют ненулевые реальные части) также является бифуркационной. Такая точка является общей в классе гамильтоновых систем, но ее сильно устойчивое и сильно неустойчивое многообразия одномерны ((п — стве общих гамильтонианов (в классе гамильтонианов с симметрией или обратимых эта коразмерность может быть 1). Тем не менее, системы с гомоклиническими траекториями к седло-центру встречаются довольно часто. Например, они были обнаружены в ограниченной круговой задаче трех тел (где коллинеарные точки либрации являются седло-центрами) [43, 106], в задаче о притяжении малого тела сплюснутой планетой [100], задачах вихревой гидродинамики [117], нелокальном обобщении уравнения синус-Гордон [85, 187]. Их изучение представляет большой интерес. Такая задача была поставлена и изучена в [174], затем эти результаты были дополнены и развиты в [180] и обобщены на случай п степеней свободы в [181, 182]. Различные обобщения этих результатов на случай систем с дискретными симметриями или обратимых были получены в [140, 116, 118, 119].

Следует отметить, что доказательство существования гомоклиниче-ских траекторий в различных прикладных задачах - это всегда трудный вопрос, особенно, если система не близка к интегрируемой, и методы типа Мельникова [36, 189, 192] не применимы. Тогда очень полезны вариационные методы (см., например, [155, 97, 127]) для доказательства существования, хотя они и применимы только к системам специального вида.

Перейдем к содержанию диссертацию. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка списка литературы из 209 наименований. Во введении дан краткий обзор исследований по динамике гамильтоновых систем, постановка задачи и сформулированы основные результаты диссертации. Первая глава диссертации посвящена изучению интегрируемой гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в расширенных окрестностях особых точек типа седло-центр и седло-фокус. Основной результат этого изучения - получение полного инварианта изоэнергетической сопряженности двух таких систем в расширенных (т.е., насыщенных относительно орбит действия) окрестностях простых особых точек типа седло-центр и седло-фокус. Кроме того, здесь дана топологическая характеризация самих расширенных окрестностей.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Лерман, Лев Михайлович, 1998 год

1. Алексеев В.М. Квазислучайные динамические системы. 1. II, III // Матем. сб. 1968. Т.76. 1. С.72-134; Т.77. 4. С.545-601; 1969. Т.78. 1. С. 3-50.

2. Алексеев В.М. Символическая динамика. XI летняя матем. школа. Инст. матем. АН УССР. Киев: 1976.

3. Аносов Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны. Тр. Матем. ин-та АН СССР, 1967. Т.90. 210 с.

4. Динамические системы с гиперболическим поведением // Современные проблемы математики. Фунд. направления / под ред. Аносова Д.В. Т. 66 М.: ВИНИТИ. 1991.

5. Арнольд В.И. Об одной теореме Лиувилля, касающейся интегрируемых проблем механики, Сиб.мат.ж-л., Т.4 (1963), N2, С.471-474.

6. Арнольд В.И. О неустойчивости динамических систем со многими степенями свободы // ДАН СССР. 1964. Т.156. 1. С.9-12.

7. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления М. ВИНИТИ. Т.З. 1985.

8. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М. Наука. 1974. 432 с.

9. Арнольд В.И., Гивенталь А.Б. Симплектическая геометрия. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления М. ВИНИТИ. 1985. Т.4. С.5-178.

10. B.C. Афраймович, Л.П. Шильников. Об особых множествах систем Морса-Смейла //Труды ММО. 1972. Т. С.

11. В.В. Белецкий, A.A. Хентов. Резонансные вращения небесных тел. НИРФИ. Нижний Новгород: 1995. 432 с.

12. Бобенко А.И. Точное интегрирование нелинейных уравнений методом обратной задачи с параметром на эллиптической кривой: Диссертация на соискание ученой степени канд. физ.- мат. наук. Л. 1985

13. Болсинов A.B., Матвеев C.B., Фоменко А.Т. Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Список систем малой сложности. // УМН. 1990. Т.45. N.2. С.49-77

14. Брюно А.Д. Локальные методы в нелинейном анализе. Наука, Москва, 1979

15. Брюно А.Д. Нормльная форма системы Гамильтона // УМН. 1988. Т.43. Вып.1. С.23-56.

16. Брюно А.Д. Ограниченная задача трех тел. М.: Наука. 1990. 296 с.

17. Бунимович Л.А. Системы гиперболического типа с особенностями. // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления М. ВИНИТИ. Т.2. 1985, сс. 173-203.

18. Веселов А.П. Уравнение Ландау-Лифшица и интегрируемые системы классической механики. ДАН СССР 1983 Т.270. N5. С. 1094-1097.

19. Гаврилов Н.К., Шильников Л.П. О трехмерных динамических системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой. I. // Матем. сб. 1972. Т.88. No. 8. С.475-492. II. ibid. 1973. Т.90. No.l, С. 139-156.

20. Галин Д.М. Версальные деформации линейных гамильтоновых систем. Труды семинара Петровского, т. 1 (1975), С. 63-74.

21. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука. 1988. 575 с.

22. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М. Наука. 1966.

23. Гонченко C.B., Шильников Л.П. О двумерных аналитических сохраняющих площадь диффеоморфизмах со счетным множеством эллиптических устойчивых периодических точек, Регулярная и хаотическая динамика, Т.2, 3/4, сс. 106-123

24. Дубровин Б.А., Кричевер И.М., Новиков С.П. Интегрируемые системы.I. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления М. ВИНИТИ. 1985. Т.4. С. 2179-284.

25. КонтороваТ.А., Френкель Я.И. К теории пластической деформации и двойникования 1,11,III // ЖЭТФ. 1938. Т.8. вып.1. С.89-95; 1938. Т.8. вып. 12. С.1340-1348; 1938. Т.8. вып. 12. С.1349-1358.

26. Корнфельд, Синай Я.Г., Фомин C.B. Эргодическая теория. Наука, Физматгиз, 1980.

27. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика простых сред. М.: Наука, 1982.

28. Лидов М.Л., Вашковьяк М.А. Двоякоасимптотические симметричные орбиты в плоской ограниченной круговой задаче трех тел. Препринт N 115, Ин-т прикл. матем. АН СССР, 1975

29. Лошак П. Каноническая теория возмущений: подход, основанный на совместных приближениях // УМН. 1992. Т. 47. Вып.6.

30. Лычагин В.В. О достаточных орбитах группы контактных диффеоморфизмов. Матем. Сб., т.104:146 (1977), No.2, 248-270.

31. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: Гостехиздат. 1950. 471 С.

32. Матвеев C.B. Интегрируемые гамильтоновы системы с двумя степенями свободы. Топологическая структура насыщенных окрестностей особых точек типа фокус-фокус и седло-седло. Матем. сб., т. 187 (1996), сс. 29-58

33. Медведев B.C., Уманский Я.Л. О разложении n-мерных многообразий на простые многообразия. Изв. ВУЗов. Математика. 1979. N.1. С. 46-50.

34. Мельников В.К. Об устойчивости центра при периодических по времени возмущениях // Труды ММО. 1963. Т. 12. С. 3-52.

35. Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. М.: Мир. 1971.

36. Нейштадт А.И. О разделении движений в системах с быстро вращающейся фазой // Прикл. мат. мех. 1984. Т. 48. В. 2. С. 197-204.

37. Нехорошев H.H. Переменные действие-угол и их обобщения. // Труды ММО. 1972. Т.26. С. 181-198.

38. Нехорошев H.H. Экспоненциальная оценка времени устойчивости гамильтоновых систем, близких к интегрируемым II. // Труды семинара им. И.Г. Петровского. 1979. Вып.5. С. 5-50.

39. Ошемков A.A. Боттовские интегралы некоторых интегрируемых гамильтоновых систем //Геометрия, дифференциальные уравнения и механика. М.: Изд-во МГУ. 1986. С.115-117.

40. Песин Я.Б. Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодическая теория // УМН. 1977. Т. 32. С. 55-111.

41. Погосян Т.И., Харламов М.П. Бифуркационное множество и интегральные многообразия задачи о движении твердого тела в линейном поле сил // ПММ. 1979. Т.43. Вып.З. С.419-423.

42. Погосян Т.Н. Критические интегральные поверхности задачи Клебша // Механика твердого тела: Республ. межведомств, сб.науч.тр. / Под ред. П.В.Харламова, Ин-т прикл. матем. и механики АН УССР. 1984. Донецк. С. 19-24.

43. Рохлин В.А., Фукс Д.Б. Введение в топологию. Геометрические главы. Наука, Москва, 1977

44. Севрюк М.Б. О стационарной и нестационарной устойчивости периодических решений обратимых систем // Функ. анализ и прил. 1989. Т. 23. С. 116-123.

45. Синай Я.Г. Марковские разбиения и У-диффеоморфизмы // Функ. анал. прил. 1968. Т.2. 1. С.64-89.

46. Синай Я.Г. Динамические системы с упругими отражениями. Эргодические свойства рассеивающих биллиардов //УМН. 1970. Т.25. 2. С. 141-192.

47. Синай Я.Г., Чернов Н.И. Эргодические свойства некоторых систем 2-мерных дисков и 3-мерных сфер // УМН. 1987. Т. С.

48. Сокольский А.Г. Об устойчивости автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в случае равных частот // ПММ. 1974. Т.38. N.5. С. 791-799.

49. Сокольский А.Г. Об устойчивости автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при резонансе первого порядка // ПММ. 1977. Т.41. N.1. С. 24-33.

50. JI.A. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев. Гамильтонов подход в теории солитонов. М.: Наука. 1986.

51. Трещев Д.В. Механизм разрушения резонансных торов гамильтоновых систем //Матем. сб. 1989ю Т. 180. 10. С. 1325-1346.

52. Тураев Д.В., Шильников Л.П. О гамильтоновых системах с гомо-клиническими кривыми седла // ДАН СССР. 1989. Т.304 С.811-814.

53. Фоменко А.Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. Т.50. N.6 С. 1276-1307.

54. Фоменко А.Т. Топологические инварианты гамильтоновых систем, интегрируемых по Лиувиллю // Функ. анализ и его приложения. 1988. Т. 22 N4. С. 38-51.

55. Фоменко А.Т., Цишанг X. Критерий топологической эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. Т.54. N.3 С. 546575.

56. Фоменко А.Т. Теория бордизмов для интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Новый инвариант многомерных гамильтоновых систем // Известия АН СССР, сер. матем., т.55 (1991), сс. 747-779

57. Харламов М.П. Топологический анализ интегрируемых задач в динамике твердого тела. J1.: Изд ЛГУ, 1988.

58. Хилтон П.Дж., Уайли С. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. Москва. Мир. 1966. С.452 ( Hilton P.J., Wylie S. Homology Theory. An Introduction to Algebraic Topology. Cambridge University Press. 1960)

59. Хопф Э. Статистика геодезических линий на многообразиях отрицательной кривизны // УМН. 1949. Т.4. 2. С. 129-170.

60. Шашков М.В. О существовании гладкого инвариантного притягивающего многообразия для систем с сепаратрисными контурами //Методы качеств, теории и теории бифуркаций / под ред. Л.П. Шильникова. Нижегородский госуниверситет. 1991. Нижний Новгород: С. 61-73.

61. Шильников Л.П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус // Матем. сб. 1970. Т. 81. 1. С.92-103.

62. Шильников Л.П. Об одной задаче Пуанкаре-Биркгофа // Матем. сб. 1967. Т. 74. 3. С. 378-397.

63. Шошитайшвили А.Н. Бифуркации топологического типа векторного поля вблизи особой точки // Труды семинара им. И.Г.Петровского. 1975. Т.1. С. 279-309.

64. Abraham R., Marsden J. Foundation of Mechanics. New York: Benjamin-Cummings. 1978. 641 p.

65. Hadamard Les surfaces a courbure opposées et leur lignes géodesiques // Jour, de Math., Ser. 5. 1898. V.4.

66. Adler R., Weiss В. Similarity of automorphisms of the torus // Mem. Amer. Math. Soc. 1970. N. 98.

67. Alfimov, G.L., Eleonsky, V.M., Kulagin, N.E. Dynamical systems in the theory of solitons in the presence of nonlocal interactions // Chaos: Interdise. J. Nonlin. Sci. 1992. V.2. P. 565.

68. G.L.Alfimov, V.M.Eleonsky, N.E.Kulagin and N.V.Mitzkevich Dynamics of topological solitons in models with nonlocal interactions // Chaos: Interdise. J. Nonlin. Sci. 1993. V.3. P.405-414.

69. G.L.Alfimov and A.F.Popkov. //Phys. Rev. B. 1995. V.52. P.4503.

70. I.S.Aranson, K.A.Gorshkov, A.S.Lomov, M.I.Rabinovich. Stable particle-like solutions of multidimensional nonlinear fields // Phys. D43. 1990. P.435-453.

71. Aubry,S. & Le Daeron, P.Y. The discrete Frenkel-Kontorova model and its extensions. 1. Exact results for ground states //Physica D 8. 1983. P. 381-422.

72. M.Audin. Torus actions on symplectic manifolds, Birkhàuser, 1994.

73. Banyaga A., de la Llave R., Wayne C.E. Cohomology equations near hyperbolic points and geometric version of Sternberg linearization theorem //Preprint. 1995. PennState.

74. A.Barone and G.Paterno. Physics and applications of the Josephson effect. New York: Wiley. 1982.

75. L.Bates, R.Cushman. Global aspects of classical integrable systems. Birkhàuser, 1997.

76. Birkhoff G.D. Dynamical systems. Amer. Math. Soc. Colloq. Publ. 1927. V.9. 296 P. (Рус. пер.: Биркгоф Дж.Д. Динамические системы. М.Л.: Гостехиздат. 1941. 320 С.)

77. Bolotin S.V. Homoclinic Orbits to Invariant Tori of Hamiltonian Systems // Amer. Math. Soc. Transi. (2). 1995. V. 168. P. 21-90.

78. Bolotin S., Treschev D. Unbounded growth of energy in nonau-tonomous Hamiltonian systems// Math. Preprint Ser. No. 252 / Universtat de Barcelona. June 1998.

79. Bolotin S.V., Rabinowitz P.H. A Variational Construction of Chaotic Trajectories for a Reversible Hamiltonian System //J. Diff. Equat. 1998. V.147. P.

80. A.V.Bolsinov. Methods of calculation of Fomenko-Zieschang invariant. Adv. in Sov. Math., v. 6 (1991), pp. 147-183.

81. Bronshtein I.U., Kopanskii A.Ya. Normal forms of vector fields satisfying certain geometric conditions, in "Progress in Nonlin. Diff. Equat. and their Applic.", v.19, Birkhauser, 1996, 79-101.

82. Celletti, A., Negrini., P. Non-integrability of the problem of motion around an oblate planet // Celest. Mech. and Dynam. Astron. 1995. V.61. P.253-260.

83. P.Collet, J.-P.Eckmann. Instabilities and Fronts in Extended Systems, Priceton Univ. Press, Princeton: N.J. 1990.

84. P.Collet, J.-P.Eckmann. Space-time behavior in problems of hydrody-namic type: a case of study // Nonlinearity, 1992. V.5. P. 1265-1302.

85. Conley J.C. On the ultimate behavior of orbits with respect to an unstable critical point. 1. Oscillating, asymptotic, and capture orbits // J. Diff. Eq. 1969. V.5. P. 136-158.

86. Grotta Ragazzo C. Irregular dynamics and homoclinic orbits to Hamiltonian saddle-centers // Comm. Pure Appl. Math. 1997. V.50. P.105-147.

87. Grotta Ragazzo C. On the Stability of Double Homoclinic Loops //Commun. Math. Phys. 1997. V.184. P. 251-272

88. S.Hayashi. Hyperbolicity, stability, and the creation of homoclinic points // Proc. Inter. Congress of Mathematicians. Berlin, 1998. V. 2. P. 789-796.

89. Hedlund G.A. Dynamics of geodesic flows // Bull. AMS. 1939. V. 45. 4. P. 241-260.

90. D.Henry. Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations, Lect. Notes in Math. N 840. Berlin Heidelberg - New York: SpringerVerlag. 1981.

91. Herman M. Sur les courbes invariantes par les difféomorphies de l'anneau // Astérisque. 1983. V. 103-104.

92. M'F/ Hilali, S.Métens, P. Borckmans, G. Dewel. Pattern selection in the generalised Swift-Hohenberg model // Phys. Rev. E. 1995. V. 51. No. 3. P. 2046-2052.

93. Hirsch M., Pugh C., Shub M. Invariant manifolds. Lect. Notes Math. 1977. V. 583. Springer. 149 p.

94. G.Iooss,M.C.Peroueme. Perturbed Homoclinic Solutions in Reversible 1:1 Resonance Vector Fields // J.Differ.Equat. 1993. V.102. N 1. 62-88.

95. W.D.Kalies, R.C.A.M. VanderVorst, Multitransition Homoclinic and Heteroclinic Solutions of the Extended Fisher-Kolmogorov Equation // J.Diff. Equat. 1996. V. 131. No.2.

96. A.Katok, B.Hasselblatt, Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems, Cambridge: Cambridge Univ. Press. 1995.

97. Liverani C., Woitkowski M.P. Ergodicity in Hamiltonian Systems // Dynamics Reported (New Series). V.4. New York: Springer. 1995. P. 130-202.

98. Mora L., Romero N. Moser's invariant curves and homoclinic bifurcations // Dynamic systems and applications. 1997. V. 6. P. 29-42

99. Morse H.M. Recurrent geodesies on a surface of negative curvature // Trans. AMS. 1921. V.22. 1. P. 84-100.

100. Moser, J. On the generalization of a theorem of A.Liapunoff // Comm. Pure Appl. Math. 1958. V.ll. P. 257-271.

101. Neumann C. De problemate quodam mechanico, quod ad primam integralium ultraellipticorum classem revocatur //J. Reine. Angev. Math. 1858. V.56, P. 46-63

102. Newhouse S. Quasi-elliptic periodic points in conservative dynamical systems // Amer. J. Math. 1977. V.99. No.5. P.1061-187.

103. Nguyen Tien Zung. Symplectic topology of integrable Hamiltonian systems, I: Arnold-Liouville with singularities // Compositio Math. 1996. V.101. P. 179-215.

104. Nguyen Tien Zung. A note on focus-focus singularities // Diff. Geom. Appl.

105. Palis J. On Morse Smale dynamical systems // Topology. 1969. V. 8. P. 385-405.

106. Pixton D. Planar homoclinic points //J. Diff. Equat. 1982. V.44. P.365-382.

107. Poincáre A. Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, v.III, Gauthier-Villars, 1899.

108. Robinson C. Generic properties of conservative systems // Amer. J. Math. 1970. V.92. P.562-603.

109. Rüssmann H. Uber das Verhalfen analytischer Hamiltonsher Differentialgleichungen in der Nahe einer Gleichgewichts-lösung // Math. An. 1964. V.154. P. 285-300.

110. B. Sandstede. Center manifolds for homoclinic solutions // Preprint. Free University of Berlin. Berlin: 1994.

111. Séré E. Existence of infinitely many homoclinic orbits in Hamiltonian systems //Math. Z. 1992. V. 209. P. 27-42.

112. Shilnikov L.P. Mathematical Problems of Nonlinear Dynamics: A Tutorial //J/ Franklin Inst. V. 334B. No. 5/6. P. 793-864.

113. Smale S. Differentiable dynamical systems // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. V.73. N.6 P. 747-817.

114. Smale S. On the structure of manifolds // Amer. J. Math. 1962. V.84. 1. P. 387-399.

115. Smale S. Topology and Mechanics //Invent.math. 1970. V.10. 4. P. 305-331; V. 11. 1. P. 45-64.

116. Smale S. Diffeomorphisms with infinitely many periodic points // Differential and Combinatorial Topology / ed. S Cairns. Princeton Math. Ser., Princeton. NJ: Princeton Univ. Press, P. 63-80.

117. J.Swift, P.S.Hohenberg. Hydrodynamic Fluctuation at the Convec-tive Instability // Phys.Rev. A. 1977. V.15. P.319-328.

118. Takens F. Homoclinic points in conservative systems // Invent. Math. 1972. V.18. P. 267-292.

119. M.Tlidi, P.Mandel, R. Lefever. Localized Structures and localized Patterns in Optical Bistability // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 73. No.5. P. 640-643.

120. Turaev D.V. On dimension of non-local bifurcational problems // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1996. V. 6. P. 911-948.

121. Vanderbauwhede, A., Fiedler, B. Homoclinic period blow-up in reversible and conservative system // ZAMP. 1992. V. 43. P. 291-318.

122. Vey J. Sur certains systèmes dynamiques separables // Amer. J. Math. 1978. V.100. P. 591-614.

123. Viana M. Dynamics: A probabilistic and geometric perspective // Proc. Inter. Congress of Mathematicians. Berlin, 1998. V.l. P. 553578.

124. Williamson J. On an algebraic problem, concerning the normal forms of linear dynamical systems // Amer. J. of Math. 1936 V.58. N.l. P. 141-163.

125. Yorke J., Alligood K. Period doubling cascades of attractors: a prerequisite for horseshoes // Commun. Math. Phys. 1985. V.104. P. 305

126. Л.М. Лерман. Динамика гамильтоновых систем. Учебное пособие. Горьковский госуниверситет. Горький: 1986. 61 с.

127. Лерман Л.М. Поведение гамильтоновой системы около трансвер-сальной гомоклинической траектории к седло-фокусу // УМН, 1989. Т. 44. 2. С. 285-286.

128. Лерман Л.М. Неинтегрируемость и стационарные волны сложного профиля для уравнения Ландау-Лифшица // Письма в ЖЭТФ. 1990. Т. 51. Вып. 56. С. 336-339.

129. L.M.Lerman. Complex dynamics and bifurcations in Hamiltonian systems having the transversal homoclinic orbit to a saddle-focus // Chaos: Interdisc. J. Nonlin. Sci. 1991. V.l. No.2. P. 174-180.

130. Лерман Л.М., Уманский Я.Л. Классификация четырехмерных интегрируемых гамильтоновых систем и пуассоновских действий R2 в расширенных окрестностях простых особых точек.I // Ма-тем.сб. 1992 Т. 183. N 12. С. 141-176.

131. Koltsova, O.Yu., Lerman, L.M. Periodic and homoclinic orbits in a two-parameter unfolding of a Hamiltonian system with a homoclinic orbit to a saddle-center // Int. J. Bifurcation & Chaos. 1995. V.5. N 2. P. 397-408.

132. Koltsova, O.Yu., Lerman, L.M. Transverse Poincare homoclinic orbits in 2N-dimensional Hamiltonian Systems Close to the System with a Loop to a Saddle-Center // Int.J. Bifurcation& Chaos. 1996. V.6. No.6. P.991-1006.

133. Кольцова О.Ю., Лерман Л.М. Трансверсальные гомоклинические траектории Пуанкаре вблизи петли седло-центра в 2№-мерной га-мильтоновой системе // ДАН РАН. 1998. Т. 359. .4. С. 448-451.

134. Lerman, L.M. Homo- and heteroclinic orbits, hyperbolic subsets in a one-parameter unfolding of a Hamiltonian system with two saddle-foci // Regular and Chaotic Dynamics. 1997. V.2. N 3-4. P. 139-155.

135. L.Yu.Glebsky, L.M.Lerman, On Small Stationary Localized Solutions for the Generalized ID Swift-Hohenberg Equation // Chaos. Inter-disc. J. Nonlin. Sci. 1995. V.5. P.424-430.

136. L. M. Lerman, Ya. L. Umanskii. Four-Dimensional Integrable Hamiltonian Systems (Topological Aspects). Translations of Mathem. Monographs, AMS, v. 176, 1998

137. Alfimov G.L., Eleonsky V.M., Lerman L.M. Solitary wave solutions of nonlocal sine-Gordon equation // Chaos: Int. J. Nonlin. Sci. 1998. V.8. No.l. P. 257-271.

138. JI.M. Лерман. О структуре интегрируемых гамильтоновых систем с тремя степенями свободы в расширенных окрестностях простых особых точек // Препринт. НИИ прикл. матем. и ки-берн. 1999.

139. Лерман Л.М., Уманский Я.Л. О существовании петель сепаратрис в четырехмерных системах, близких к интегрируемым гамильто-новым // Прикл. матем. мех. 1983. Т.47. Вып.З. С.395-401.

140. Лерман Л.М., Уманский Я.Л. Изоэнергетическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем в окрестности простой эллиптической точки // Матем. заметки. 1994. Т.55. С. 88-97.

141. Lerman L. M., Umanskii Ya. L. On the topological structure of integrable Hamiltonian systems with two degrees of freedom // Proceedings IX Intern. Conf. in Nonlin. Oscil. / Kiev: Naukova Dumka P.H. V.2. P. 222-224.

142. Lerman L. M., Umanskii Ya. L. Melnikov function method for finding chaos // Nonlinear World. Proc. IV Int. Workshop on Nonlin. Turb. Proc. in Phys. /Kiev: Naukova Dumka Publ. H. 1989. V.2. P.387-390.

143. Лерман Л.М., Уманский Я.Л. Классификация четырехмерных интегрируемых гамильтоновых систем и пуассоновских действий R2 в расширенных окрестностях простых особых точек.III. Реализация. Матем. сб., Т. 186 (1995), N 10, С. 89-102.

144. Лерман Л.М., Уманский Я.Л. Классификация четырехмерных интегрируемых гамильтоновых систем и пуассоновских действий R2 в расширенных окрестностях простых особых точек.II // Матем. сб. 1993. Т. 184. 4. С. 105-138.

145. L.A.Belyakov, L.Yu.Glebsky, L.M.Lerman, Abundance of Stable Stationary Localized Solutions to the Generalized ID Swift-Hohenberg Equation // Int. J. Computers and Math, with Applic. 1997. V.34, No. 2-4, P. 253-266.

146. Glebsky L.Yu., Lerman L.M. Instability of small stationary localized solutions to a class of reversible 1+1 PDEs // Nonlinearity, 1997. V.10. No.2. P.389-408.

147. Лерман JI.M., Уманский Я.Л. Необходимые условия существования гетероклинических траекторий в интегрируемой гамильто-новой системе. // УМН. 1983. Т.38. Вып. 5. С.195-196.

148. Лерман Л.М., Уманский Я.Л. О топологической структуре интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы // Тезисы IX Международной конф. по нелин. колеб. Киев: 1981

149. Лерман Л.М., Уманский Я.Л. О качественной теории вполне интегрируемых гамильтоновых систем // Тезисы VI Всесоюзной конф. по качеств, теории дифф. уравн. Иркутск: 1986

150. Лерман Л.М. Топологическая структура интегрируемых гамильтоновых систем и динамика стационарных волн уравнения Ландау-Лифшица // Тезисы Междунар. тополог, конф. Баку: 1987. С. 164.

151. Лерман Л.М. Сложные стационарные волны в уравнении Ландау-Лифшица // Тезисы VII Всес. конф. по качеств, теории дифф. уравн. Рига: 1989. С. 147.

152. Лерман Л.М., Уманский Я.Л. A structure of Poisson action and topology of isoenergetic submanifolds of integrable Hamiltonian systems // Тезисы Междунар. конф. по топологии и ее прил. Инст-т математики АН Украины. Киев: 1992. С.93.

153. Lerman L.M. Dynamics and Bifurcations in Two-Parameter Families of Hamiltonian Systems with a Loop to a Saddle-Center // Abstracts of Advanced Research Workshop " Integrability and Chaotic Behavior". Poland, Torun: 1993.