Границы устойчивости в некоторых классах монодромных ростков тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Воронин, Алексей Сергеевич

• Воронин, Алексей Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Воронин, Алексей Сергеевич

Содержание

Введение

1 ГЛАВА. СЛУЧАЙ ОДНОГО РЕБРА

1.1 Асимптотика преобразования монодромии

1.2 Граница устойчивости

2 ГЛАВА. СЛУЧАЙ ДВУХ РЕБЕР ПРИ ОТСУТСТВИИ РЕЗОНАНСА

2.1 Раздутие особенности

2.2 Отображение соответствия в окрестности седла

2.3 Отображение соответствия в прямоугольниках, соответствующих рёбрам

2.4 Отображение соответствия в первом квадранте

2.5 Асимптотика преобразования монодромии

2.6 Случай га нечётно

2.7 Асимптотика преобразования монодромии в случае га нечетно

2.8 Доказательство предложения 2.1

2.9 О различении устойчивого и неустойчивого фокуса

3 ГЛАВА. СЛУЧАЙ ДВУХ РЕБЕР ПРИ НАЛИЧИИ РЕЗОНАНСА

3.1 Раздутие особенности

3.2 Отображение соответствия в прямоугольниках, соответствующих рёбрам

3.3 Отображение соответствия в прямоугольнике, соответствующем вершине

3.4 Отображение соответствия в первом квадранте

3.5 Случай (1 > 1

3.6 Преобразование монодромии в случае с! > 1

3.7 Преобразование монодромии в случае с! = 1

3.8 Доказательство предложения 3.2

3.9 О различении устойчивого и неустойчивого фокуса

4 ГЛАВА. ВЫРОЖДЕННЫЙ СЛУЧАЙ

4.1 Раздутие особенности в случае двух ребер

4.2 Отображение соответствия в окрестности вырожденного седла

4.3 Отображение соответствия в прямоугольнике, соответствующем ребру

4.4 Отображение соответствия для правой полуплоскости

5 Добавление: интеграл Адамара. 109 Библиография

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Границы устойчивости в некоторых классах монодромных ростков»

ВВЕДЕНИЕ

1. Результаты. В работе построены два члена асимптотики преобразования монодромии монодромной особой точки аналитического векторного поля на плоскости в случаях, когда диаграмма Ньютона векторного поля состоит из одного или двух рёбер. Исследуется граница устойчивости в некотором классе векторных полей, имеющих монодромную особую точку. Доказано, что замыкание границы устойчивости может иметь пересечение с границей монодромного класса. Этот результат является некоторым продвижением в задаче аналитической разрешимости проблемы устойчивости особых точек векторных полей на плоскости. В работе используется метод многократного раздутия особенностей, метод нормальных форм, а также метод Дюлака изучения асимптотики преобразования монодромии сложного цикла.

2. Топология фазового портрета. Рассмотрим задачу построения фазового портрета вещественно-аналитического векторного поля в окрестности особой точки на плоскости с точностью до орбитальной топологической эквивалентности. Другими словами нас будет интересовать поведение фазовых кривых в окрестности особой точки, а также направление движения по ним, но не скорость движения.

Если матрица линейной части поля в особой точке невырождена, то особая точка называется невырожденной и может быть, как известно, одного из следующих типов: седло, узел, фокус, центр.

Если матрица линейной части векторного поля в особой точке имеет по крайней мере одно ненулевое собственное значение, то особая точка называется элементарной. Векторное поле в окрестности элементарной особой точки может быть приведено к полиномиальной нормальной форме с помощью гладкой замены переменных. Список нормальных форм приведен в ([8], с.88). С точки зрения топологии локального фазового портрета элементарная особая точка кроме вышеперечисленных четырех типов может быть еще только седло-узлом. Топологический тип невырожденной особой точки, кроме случая центра по линейным

членам, определяется набором собственных значений матрицы линейной части поля в этой точке. О различении центра и фокуса в последнем случае подробнее будет сказано ниже. Для построения фазового портрета в окрестности вырожденной элементарной особой точки достаточно произвести конечное число арифметических действий над коэффициентами разложения Тейлора векторного поля в особой точке.

Если особая точка неэлементарна, то исследование ее окрестности производится с помощью того или иного варианта метода разрешения особенностей (раздутия). Суть этого метода состоит в следующем. Проколотая окрестность особой точки с помощью замен переменных специального вида превращается в окрестность или полуокрестность вклеенной инвариантной кривой, содержащей особые точки. Векторные поля, полученные после этих замен переменных, имеют только элементарные особые точки. Поскольку фазовые портреты в окрестностях элементарных особых точек всегда могут быть построены, то проектируя картинки, полученные после раздутия, в окрестность исходной особой точки, получаем фазовый портрет в этой окрестности. В статье Ф.Дюмортье [58] этот метод подробно описан для случая полярного раздутия, а также дается орбитальная топологическая классификация особых точек нескольких младших коразмерностей, имеющих характеристическую траекторию, то есть траекторию, входящую в особую точку с определенной касательной. Согласно [58] топология фазового портрета в окрестности особой точки с характеристической траекторией исследуется по конечному отрезку ряда Тейлора этого поля в особой точке с помощью конечного числа арифметических действий над тейлоровскими коэффициентами и решений алгебраических уравнений. Различные варианты метода разрешения особенностей рассматриваются например в [55], [52], [31], [30], [17], [53], [54], [И], [5], [14], [15], [13],[58], [50], [48], [61], [32], [16].

В случае, когда у особой точки нет ни одной характеристической траектории, описанная выше схема построения фазового портрета с помощью разрешения особенностей не работает, поскольку по результатам

раздутия можно только констатировать факт отсутствия характеристических траекторий и совсем невозможно понять, замыкаются траектории или нет, а также отличить устойчивый фокус от неустойчивого.

3. Основная альтернатива.

Определение. Фазовая кривая векторного поля на плоскости называется характеристической траекторией особой точки, если она входит в эту точку при t —> +00 или t —> — оо, касаясь некоторой прямой.

Особая точка векторного поля на вещественной плоскости монодром-на, если для нее определена функция последования Пуанкаре, называемая также преобразованием монодромии.

Приведем строгое определение монодромной особой точки.

Определение. Особая точка векторного поля называется монодромной, если существуют окрестность этой точки и дуга с началом в этой точке, гладкая и трансверсальная полю всюду вне начала, такие, что векторное поле в окрестности с выброшенной дугой топологически ор-битально эквивалентно стандартному (рис.1). Точнее, существует непрерывное отображение замкнутого прямоугольника на замыкание окрестности особой точки, гомеоморфно переводящее внутренность прямоугольника на дополнение окрестности до упомянутой трансверсальной дуги и преобразующее горизонтальные прямые - в фазовые кривые исходного векторного поля; вертикальные стороны оно отображает на трансверсаль, а нижнюю горизонтальную сторону переводит в особую точку. Каждая фазовая кривая исходного поля с началом на трансвер-сали, достаточно близким к особой точке, сделав один виток вблизи этой точки, возвращается на ту же трансверсаль. Отображение, переводящее начальную точку каждой такой фазовой кривой в ее конец (точку первого возвращения на трансверсаль), называется преобразованием, монодромии особой точки (рис.1).

Каждая траектория в окрестности монодромной особой точки является топологически или спиралью, или окружностью.

Во внутренних точках трансверсали преобразование монодромии имеет тот же класс гладкости, что и векторное поле, и аналитично вместе

Рис. 1:

с ним. Однако оно может не продолжаться гладко в начальную точку трансверсали даже в случае аналитического векторного поля.

Теорема. [8] Вещественно-изолированная особая точка аналитического векторного поля на плоскости либо имеет характеристическую траекторию либо монодромна.

Легко привести пример гладкого векторного поля, особая точка которого не имеет характеристической траектории и не является моно-дромной [8].

Из теоремы конечности числа предельных циклов [60] следует, что монодромная особая точка аналитического векторного поля на плоскости является либо центром, либо фокусом.

Ростком векторного поля в особой точке называется класс эквивалентности векторных полей, совпадающих в некоторой окрестности особой точки.

Росток векторного поля в монодромной особой точке будем называть монодромным ростком.

4. Проблема различения центра и фокуса. Проблема различения центра и фокуса является классической задачей качественной тео-

рии дифференциальных уравнений. Перечислим основные классы мо-нодромных ростков, в которых эту проблему можно считать решенной.

Наиболее популярный и широко исследованный класс - это ростки, имеющие в особой точке центр по линейным членам. Необходимым и достаточным условием центра ([47],[31], [8]) в этом случае является существование формального первого интеграла. Условием же существования последнего является обращение в ноль бесконечного числа Ля-пуновских фокусных величин, которые являются полиномами от Тейлоровских коэффициентов ростка. Существует большое количество работ, посвященных нахождению условий центра для различных классов векторных полей в случае центра по линейным членам. Обзор литературы по проблеме различения центра и фокуса в невырожденном случае имеется в монографиях [3], [49].

Следующий класс - монодромные ростки, имеющие в особой точке линейную часть в виде ненулевой нильпотентной жордановой клетки. Этот класс впервые был исследован A.M. Ляпуновым [31] с помощью раздутия, использующего специальные функции. Условием центра здесь как и в случае центра по линейным членам является обращение в ноль бесконечного числа полиномов от Тейлоровских коэффициентов ростка.

Еще один класс монодромных ростков исследован в [46]. Пусть разложение Тейлора векторного поля в особой точке ноль начинается с г-ых степеней : (Хг + ...)^ + (Уг + .. г - нечетно, Xr, Yr - однородные многочлены степени г. Говорят, что росток векторного поля не имеет в особой точке ноль исключительных направлений, если однородный многочлен —yXr + хУг не имеет вещественных линейных множителей. Ростки без исключительных направлений всегда монодромны. Переход к полярным координатам и последовательное решение уравнений в вариациях позволяют выразить условия центра в виде равенства нулю бесконечного числа интегралов, которые являются аналитическими функциями от коэффициентов ростка.

Общим для всех трех перечисленных случаев является следующее. С

помощью специальной замены переменных векторное поле, имеющее в нуле монодромную особую точку одного из перечисленных типов, может быть превращено в векторное поле, определенное в полуокрестности инвариантной окружности, на которой нет особых точек. Другими словами, исследование векторного поля в окрестности особой точки может быть сведено к исследованию векторного поля в окрестности замкнутой траектории. Преобразование монодромии в этих случаях является

00 ,

аналитическим ростком А[х) = сх -НЕ , тейлоровские коэффици-

к 2

енты которого могут быть вычислены путем последовательного решения уравнений в вариациях. Поскольку в случае центра А (ж) = ж, то различение центра и фокуса состоит в сравнении преобразования монодромии с тождественным отображением. Если хотя бы одна из величин 1п с, сь отлична от нуля, то особая точка является фокусом.

Основной целью настоящей работы является исследование монодром-ных особых точек, которые не относятся к перечисленным классам. Как уже отмечалось, для исследования таких сложных особых точек применяется метод раздутия особенностей. Поскольку большинство результатов диссертации сформулированы в терминах диаграмм Ньютона и раздутия особенностей, связанного с диаграммами Ньютона, начнем с соответствующих определений.

5. Диаграмма Ньютона. Рассмотрим аналитическое векторное поле V в окрестности точки ноль на плоскости. Оно определяет динамическую систему, которую нам будет удобно записывать в виде

х = Х(х,у), у = У(х,у). (0.1)

Рассмотрим разложения Тейлора

уХ(х, ?/) = £ о»яУ, жУ(ж, у) = £ Ьцх у. (0.2)

Определения. 1. Векторным коэффициентом точки (г,называется вектор Носителем системы (0.1), а также векторного поля V

называется множество таких пар [г,]), что (а-у,Ь^) -ф (0,0). Показате-

лем точки носителя называется величина

Ъг]/аг], если аг] ф О оо, если <2у = 0. 2. Рассмотрим множество

и{(м) + ьф, (о-з)

(г,Л

где - положительный квадрант, объединение берется по всем точкам (г,^), принадлежащим носителю. Граница выпуклой оболочки этого множества состоит из двух открытых лучей и ломаной, которая может состоять и из одной точки. Эта ломаная называется диаграммой Ньютона векторного поля V (см.рис.2). Звенья ломаной называются ребрами диаграммы Ньютона, а их концы - ее вершинами.

Рис. 2:

3. Если вершина диаграммы Ньютона не лежит ни на одной координатной оси, то она называется внутренней, в противном случае граничной.

4. Показателем ребра диаграммы Ньютона называется положительное рациональное число, равное тангенсу угла между ребром и осью ординат.

Заметим, что все представители одного ростка аналитического векторного поля в особой точке имеют один и тот же носитель, диаграмму Ньютона, а также векторные коэффициенты всех точек носителя.

6. Метод раздутия, связанный с диаграммой Ньютона. Подход к исследованию особых точек векторных полей на плоскости с точки зрения диаграммы Ньютона традиционен. Например, в случае, когда у особой точки имеется характеристическая траектория, по диаграмме Ньютона можно построить фазовый портрет в окрестности этой особой точки ([14],[11]), для „большинства" ростков векторных полей с данной диаграммой Ньютона можно построить асимптотики траекторий, входящих в особую точку, а также вычислить ее индекс [14], [11], [9],[10]. Кроме того имеются результаты, касающиеся различения центра и фокуса и сформулированные на языке раздутия особенностей, связанного с диаграммами Ньютона ([13], [56], [40], [12], [34], [45]).

В статьях [13],[40], [56], [41] ,[45] описан один шаг процесса разрешения особенности векторного поля, связанного с диаграммой Ньютона. Близкие схемы даны в [14], [11], [9], [52], [5], [30]. Этот шаг состоит в следующем. Окрестность нуля в первом квадранте разбивается на криволинейные секторы, соответствующие ребрам и вершинам диаграммы Ньютона, каждый сектор с помощью степенной замены переменных превращается в прямоугольник. Границы прямоугольников склеиваются с помощью функций перехода.

Векторное поле, полученное после степенной замены переменных и определенное в прямоугольнике, соответствующем ребру диаграммы Ньютона, имеет, вообще говоря, более простые особые точки, а векторное поле, определенное в прямоугольнике, соответствующем внутренней вершине, всегда имеет единственную особую точку, притом элементарную.

Описанный метод разрешения особенностей является наиболее быстрым среди всех известных в настоящее время. Для сравнения объема вычислений при использовании различных методов раздутия особенностей можно привести следующее высказывание: для любого натурального п существует векторное поле с особой точкой, процесс раздутия которого по диаграмме Ньютона осуществляется с помощью двух замен переменных, а кратный а-процесс (а также полярное раздутие) состоит более, чем из п шагов [37].

7. Обобщенная первая фокусная величина. Монодромную особую точку будем называть сложной, если ее окрестность никаким методом раздутия особенностей не возможно превратить в окрестность замкнутой фазовой кривой, а лишь в окрестность сложного цикла -инвариантной кривой, содержащей особые точки. Преобразование моно-дромии сложной монодромной особой точки не является аналитическим ростком, а представляет из себя полурегулярное отображение ([24],[25]).

Преобразование монодромии монодромного сложного цикла, частным случаем которого является монодромная особая точка, впервые было исследовано А.Дюлаком [24]. Суть метода Дюлака состоит в следующем. Преобразование монодромии сложного цикла разбивается в композицию аналитических отображений и отображений соответствия для гиперболических секторов элементарных особых точек. Последние отображения как правило не являются аналитическими, а имеют более сложную структуру. В результате асимптотический ряд композиции этих отображений имеет вид

оо

А{х) = сх"0 + Рк{\пх)хи\ к=2

где {рк} - строго монотонно возрастающая последовательность положительных чисел, стремящаяся к бесконечности, - многочлены ([24],[25]).

В [25],[8] Ю.С. Ильяшенко предложил применить метод А.Дюлака для решения проблемы различения центра и фокуса в случае сложной монодромной особой точки. Имеет место следующая

Теорема.[8],[38] При подходящем выборе трансверсали главный член асимптотики преобразования монодромии монодромной особой точки аналитического векторного поля на плоскости линеен.

Определение. [8] Пусть главный член асимптотики преобразования монодромии есть х —» сх, с > 0. Величина 1п с называется обобщенной первой фокусной величиной сложной монодромной особой точки.

Если обобщенная первая фокусная величина отлична от нуля, то монодромная особая точка является фокусом. Уравнение {1п с = 0} задаёт первую границу устойчивости в рассматриваемом классе ростков, если

величина 1п с как функция тейлоровских коэффициентов ростка не тождественно равна нулю.

Аналогами Ляпуновских фокусных величин в случае сложной моно-дромой особой точки являются величина 1п с и коэффициенты полиномов Рк. Алгоритм их вычисления в самом общем виде изложен в [8].

Для вычисления обобщенной первой фокусной величины использовались по крайней мере три варианта метода раздутия особенностей: полярное раздутие, сг-процесс и метод диаграмм Ньютона.

В [35], [36], [39], [33] для вычисления величины 1п с используется сопроцесс, в [12], [13], [56], [40], [45]- метод диаграмм Ньютона. Случай, когда диаграмма Ньютона состоит из одного ребра, исследуется в книге [14], а также в статьях [32],[16],[4]. Проблема различения центра и фокуса в различных частных случаях векторных полей со сложной мо-нодромной особой точкой исследуется например в [17], [23], [48], [51], [59], [63].

8. Второй член асимптотики преобразования монодромии.

Рассмотрим аналитическое векторное поле (росток векторного поля) в окрестности точки ноль на плоскости, которое определяет динамическую систему

х = Х{х,у), у = У{х,у). (0.4)

Пусть I - ребро диаграммы Ньютона системы (0.4) с показателем а — где ^ - несократимая дробь. Члены ряда Тейлора системы (0.4) сгруппируем таким образом, что

00 оо

уХ(х,у) = £ Хк{х,у), хУ(х,у) = £ ук(х,у), (0.5) к=0 к=0

где

Хк(х,у)= £ а^хгу3, Ук(х,у) = £ Ьу-жУ

т+тз=к+ко ni+mj=k+ko

~ квазиоднородные полиномы степени к + ко с весами пит переменных х и у соответственно, ко > 0.

Обозначим

Fk(x,y) = nYk(x,y) - mXk(x,y).

Кроме того, положим

Ф г(х,у)

F0(x,y)X1(x,y) - XQ(x,y)Fi(x,y) fq{x, у)

Vl(x,y) =

Fi(x,y)Yo(x,y) - FQ(x,y)Yi{x,y) Fg&y)

-аФг (x,y).

Предложение 0.1 ([13],с.159) Пусть m/n - несократимая дробь. Для любого квазиоднородного полинома R(x, у) с весами пит переменных х и у справедливо разложение

где Ь{ - различные ненулевые комплексные числа, к{ > 0.

Определение. Множитель вида уп — Ь{хт, Ь{ ф 0, называется простым делит,елем полинома число кг называется кратностью этого делителя.

Определение. Векторное поле (росток) с диаграммой Ньютона Г называется Г-невырожденным, если: 1) для любого ребра диаграммы Ньютона Г полином ^(ж, у) не имеет простых делителей кратности больше единицы; 2) показатель любой не лежащей на координатной оси вершины отличен от показателей примыкающих к ней ребер.

Множество Г-невырожденных векторных полей с монодромной особой точкой ноль обозначим Му.

Определение. Диаграмма Ньютона Г называется монодромной, если множество Мг непусто.

В ([13],с. 160) доказано, что диаграмма Ньютона является монодромной тогда и только тогда, когда она имеет по одной вершине на каждой координатной оси и длины проекций каждого ребра на координатные оси являются четными числами.

R(x,y) = Axs^U(yn~biXm)

,m\ki

Теорема М.[13]Г-невырожденное векторное поле имеет в нуле мо-нодромную особую точку, если и только если: а) диаграмма Ньютона Г имеет по одной вершине на каждой координатной оси; б) для вершин, не лежащих на координатных осях, справедливо неравенство ß ^ [а, ¿к], где ß - показатель вершины, а и а - показатели примыкающих к ней ребер; в) для любого ребра полином F0(x,y) не имеет вещественных простых делителей.

Определение. Пусть i - ребро диаграммы Ньютона, имеющее показатель т/п, где т/п - несократимая дробь. Ребро t называется нечетным, если тип- нечетные числа и четным, если одно из га и п -четно.

В [13] доказана

Теорема Пусть Г - монодромная диаграмма Ньютона, V — Г-невырожденное векторное поле. Все ребра диаграммы Ньютона Г четны, если и только если для векторного поля V In с = 0 на М-р.

Таким образом, если все ребра диаграммы Ньютона Г четные, то In с = 0 на всем пространстве Г-невырожденных и монодромных ростков с диаграммой Ньютона Г, то есть преобразование монодромии в этом случае имеет асимптотику

А(р) = р + о(р),

а значит невозможно получить достаточное условия фокуса с помощью главного члена асимптотики преобразования монодромии, а также построить первую границу устойчивости в классе ростков с данной диаграммой Ньютона. Тем самым возникает необходимость вычисления второго члена асимптотики преобразования монодромии.

В главе 1 доказана следующая

Теорема 1 Пусть диаграмма Ньютона Г векторного поля V состоит из одного четного ребра с показателем т/п (несократимая дробь), V - Г-невырожденное векторное поле с монодромной особой точкой (О, 0). Тогда если га четно, то преобразование монодромии особой точки (0, 0) векторного поля V, определенное вблизи нуля на положительной полуоси у с параметром р — у1/т, имеет, при р —> 0 асимптот,ику

вида

А(р)=р(1 + С2р + о(р))., где уравнение С^ — 0 эквивалентно уравнению

TiiMexp/i£(M)^w = o. (0.6)

w с

-оо w 0 ^

Случай нечетного т получается из рассмотренного в теореме заменой переменных х на у и обратно. Уравнение C<i — 0 задает границу устойчивости в рассматриваемом классе.

Доказано, что функция, стоящая в левой части (0.6), не является тождественно нулевой в классе Мр.

Пусть теперь диаграмма Ньютона Г состоит из двух ребер t и I. Пусть а = т/п - показатель ребра £, т/п - несократимая дробь, а — т/п - показатель ребра т/п - несократимая дробь, а > а. Для каждого из ребер можем рассмотреть разложение вида (0.5). Функции,

аналогичные Уь Fk для ребра t обозначим Хь, Y&, Fk.

1

Через / обозначается интеграл Адамара от функции f(x) (ко-

нечная часть несобственного интеграла) [1], —оо < а < Ь < +оо. Подробнее об интегралах Адамара сказано в добавлении.

В главе 2 рассмотрен случай Г-невырожденного векторного поля с монодромной особой точкой и с двумя четными ребрами диаграммы Ньютона, причем предполагается, что седловая особая точка, получаемая в результате раздутия особенностей по диаграмме Ньютона, является невырожденной и не претерпевает резонанса 1:1. Величина Л, участвующая в формулировке теоремы равна минус отношению собственных значений этой седловой особой точки.

Теорема 3 Пусть диаграмма Ньютона Г векторного поля V состоит из двух четных ребер £ ui с показателями а — ^ и öl = ^ (ä > су), где ^ и jr — несократимые дроби, V — Г-невырожденное векторное поле с монодромной особой точкой (0, 0); (а, Ъ) — векторный коэффициент вершины диаграммы Ньютона, соединяющей ребра i и £, причём

nb — та

О < Л = —-— < 1.

по — та

Тогда преобразование монодромии особой точки (0, 0) векторного поля V, определенное вблизи нуля на положительной полуоси у с параметром р = у1/т, имеет асимптотику вида

&{р) = р(1 + С2рх + о(рх)), р^О,

при этом в случае четного т уравнение С2 — 0 эквивалентно уравнению _

-ехр /---

w П с

|-оо 0 ^

d^dw — 0.

В случае нечётного т и чётного т уравнение С2 = 0 эквивалентно уравнению

w

1 «

В случае нечётных mum уравнение С2 = 0 эквивалентно уравнению

+ 00

Л v.p.

Фо(гу, 1)

dw

—ос

w

+ 00

-- ехр / —--d£dw +

w { £

ехр

м " 1 £

-00 1 ъ

Кроме того если д = тп — тп > 1, то интегралы Адамара сходящиеся.

Случай А > 1 сводится к случаю Л < 1 заменой переменных х у.

Ранее второй член асимптотики преобразования монодромии был вычислен в [65] для того же класса векторных полей, но со многими дополнительными ограничениями.

Доказано также, что левые части уравнений из формулировки теоремы 3 являются не тождественно нулевыми функциями на множестве МГ.

Технически сложной частью доказательства теоремы 3 является исследование отображения соответстви в окрестности седловой особой точки при А < 1, при этом отдельно приходится рассматривать случай

о

Л = 1/2. Для вычисления асимптотики отображения соответствия строится нормальная форма и первый интеграл в окрестности седла.

В главе 3 рассмотрен случай Г-невырожденного векторного поля с двумя четными ребрами диаграммы Ньютона, причем предполагается, что седловая особая точка, получаемая в результате раздутия особенностей по диаграмме Ньютона, является невырожденной и резонансной 1:1.

Пусть диаграмма Ньютона векторного поля V состоит из двух ребер £ и £ с показателями а = а = ^ соответственно, причем а > а. Целочисленные точки (г, j), лежащие на ребре £ (^соответственно), удовлетворяют уравнению пх 4- ту — ко (пх + ту = ко соответственно), где ко > 0, ко > 0 - натуральные числа. Рассмотрим на плоскости показателей прямые £\ и £i, задаваемые соответственно уравнениями пх + ту — ко + 1 и пх + ту = ко + 1. Пусть А - точка пересечения этих прямых.

Предложение 0.2 Если d = тп — тп — 1, то точка А имеет целочисленные координаты.

Рис. 3:

Через С обозначим вершину диаграммы Ньютона, соединящую ребра I и I. В случае д = 1 кроме точек А ж С рассмотрим целочисленную точку В, ближайшую к С на ребре £ и точку И, ближайшую к С на ребре £. Обозначим векторные коэффициенты точки А через (а^аг), точки В через (61,62)) точки С через (01,02), точки Б через ((¿1,^2) (см. рис. 3).

В главе 3 доказана следующая

Теорема 4. Пусть диаграмма Ньютона Г векторного поля V состоит из двух чётных рёбер с показателями а == а = ^ (а > а), ^ и jr - несократимые дроби, У - Г-невырожденное векторное поле с монодромной особой точкой (0, 0), и пусть

_ пс2 - mci _ hc2 — тс\

Тогда

1) если d = тп — mh = 1, то преобразование монодромии особой точки (0, 0) векторного поля V, определённое вблизи нуля на положительной полуоси у с параметром р = у1^т, имеет асимптотику вида

А(р) = р(1 + С2р1пр + 0(р))

при р —> 0, где уравнение С2 = 0 эквивалентно уравнению

(m2—m2)bidi+(mn—mh)(b\c^+^i) + (h2—n2)b2d2+(mn-\-hm)(aiC2-\-Ü2C\) — 2mfhaiCi — 2nhü2C2 = 0.

2) если d = ihn — mh > l, то преобразование монодромии имеет асимптотику вида

k(p) = p(l + C2p + o{p)),

где в случае т нечётно, т чётно, уравнение С2 — 0 эквивалентно

уравнению /

1 + exp v.p. I -dw I J -exp

V

+00

w

-00

w

-HOC

<e

d£dw —

\ 70

= 114- exp v.p. J —--dw J

l>i(l ,w)

exp

+00

w

+00

£

d^dw

w J w

/ —00

В случае, когда mum нечётны, уравнение С2 ~ 0 эквивалентно уравнению

2/

—оо

w

exp

w

+00

1)

£

d£dw —

/

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Воронин, Алексей Сергеевич, 2012 год

Библиография

[1] Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. - М.: Наука, 1978 - 352 с,

[2] Алексеев Б.В. Проблема различения центра и фокуса с точки зрения алгебраической разрешимости // Рукопись депонирована в ЦНИИТЭИ приборостроения. Пермь. 09.04.87, № 3728-87. - 26с. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. - Москва: Наука, 1978. - 351 с.

[3] Амелькин В.В., Лукашевич H.A., Садовский А.П. Нелинейные колебания в системах второго порядка. - Минск.: Изд-во Белор.гос. ун-та, 1982. - 208с.

[4] Андреев А.Ф., Ходы-Заде П.Д. Исследование проблемы центра и фокуса в одном случае // Дифф. уравнения. - 1984. - Т. 20. № 2. -С. 187-197.

[5] Андреев А.Ф. Особые точки дифференциальных уравнений. -Минск.: Вышэйшая школа, 1979. - 136с.

[6] Арнольд В.И. О локальных задачах анализа // Вестник Московского университета. Серия математика, механика. - 1970. № 2. -С. 52-56.

[7] Арнольд В.И.. Аналитическая неразрешимость проблемы устойчивости по Ляпунову и проблемы топологической классификации особых точек аналитической системы дифференциальных уравнений // Функц. анализ. - 1970. - Т.4. Вып.З. - С.1-9.

[8] Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. I // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Итоги науки и техники. T.l. М.: ВИНИТИ 1985. - С. 7-149.

[9] Березовская Ф.С. Степенные асимптотики системы дифференциальных уравнений второго порядка. Препринт. Пущино: ЦНТИ НЦ-БИ, 1976. - 16с.

[10] Березовская Ф.С., Крейцер Г.П. Степенные асимптотики системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности особой точки. Препринт. Пущино: ЦНТИ НЦБИ, 1976. - 16с.

[11] Березовская Ф. С., Сложная стационарная точка системы на плоскости: структура окрестности и индекс. Препринт. Пущино: ЦНТИ НЦБИ, 1978. - 15с.

[12] Березовская Ф.С., Медведева Н.Б. О различении центра и фокуса для векторных полей с фиксированной диаграммой Ньютона // Успехи мат.наук. -1986. - Т.41. Вып.4. - С.198-199.

[13] Березовская Ф.С., Медведева Н.Б. Асимптотика преобразования монодромии особой точки с фиксированной диаграммой Ньютона // Тр. сем. им. И. Г. Петровского. - 1991. - Вып. 15. - С. 156-177.

[14] Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений - М.: Наука, 1979. - 254с.

[15] Брюно А. Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях - М.: Наука, 1998. - 288с.

[16] Варин В.П. Отображения последования для некоторых полиномиальных систем ОДУ. //Мат. сборник,- 2004 - Т. 125. № 7. С. 3-20.

[17] Воробьев А.П. Поведение интегральных кривых в окрестности бесконечно удаленной точки // Известия АН БССР. Сер. физ-техн. наук. - 1961. - № 2. - С. 221-229.

[18] Воронин A.C. Вычисление второго члена асимптотики преобразования монодромии. // Сборник тезисов XXXI студенческой научной конференции „Студент и научно-технический прогресс". Челябинск,- 2007 - С. 88 - 89.

119] Воронин A.C., Медведева Н.Б. Устойчивость монодромных особых точек с фиксированной диаграммой Ньютона //Вестник Удмуртского университета. Сер. Математика. Вып.З - 2009 - С.34-49.

[20] Воронин A.C. , Медведева Н.Б. Устойчивость монодромных особых точек плоских динамических систем с фиксированной диаграммой Ньютона // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т.16, Вып. 6 - 2009 - С. 1043-1044

[21] Воронин A.C., Медведева Н.Б. Граница устойчивости по Ляпунову в некоторых классах монодромных ростков. // International conference "Differential Equations and Related Topics", dedicated to Ivan G/ Petrovskii, сборник тезисов, Москва, 30 мая - 4 июня 2011 г.- С. 172.

[22] Воронин A.C., Медведева Н.Б. Асимптотика преобразования моно-дромии в случае двух четных ребер диаграммы Ньютона // Вестник ЧелГУ, сер.З. Математика, Механика, Информатика. Вып. 14 -2011 - №27(242)- С.12-26.

[23] Грудо Э.И. О сложных центрах и фокусах дифференциального уравнения первого порядка // Дифф. уравнения. - 1978. - Т.14. № 3. - С. 425-434.

[24] Дюлак А. О предельных циклах - М.: Наука, 1980. - 157с.

[25] Ильяшенко Ю.С., Мемуар Дюлака "О предельных циклах"и смежные вопросы локальной теории дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. - 1985. - Т.40. Вып.6(246). - С. 41-78.

[26] Ильяшенко Ю.С. Аналитическая неразрешимость проблемы устойчивости и проблемы топологической классификации особых точек аналитических систем дифференциальных уравнений // Мат. сборник. - 1976. Т.99. Вып.2. - С. 162-175.

[27] Ильяшенко Ю.С. Алгебраически и аналитически разрешимые локальные задачи теории обыкновенных дифференциальных уравнений // Тр. сем. им. И.П.Петровского. - 1987. - Вып.12. - С. 118-136.

[28] Ильяшенко Ю.С. Алгебраическая неразрешимость и почти алгебраическая разрешимость проблемы центр-фокус // Функц. анализ и его прилож.. 1972. - Т. 6. № 3. - С. 30-37.

[29] Крушина Н.П., Медведева Н.Б. Об аналитической разрешимости проблемы устойчивости в некоторых классах монодромных ростков // Дифф. уравнения. - 2001. Т.37. Вып.9. - С. 1168-1176.

[30] Куклес И.С. О методе Фроммера исследования особой точки // ДАН СССР. - 1957. Т. 117. № 3. - С. 247-250.

[31] Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения - М.-Л.: ГТТИ, 1950. - 471с.

[32] Макеев Н.Г. Об исследовании сложной особой точки типа „фокус" // Дифференциальные и интегральные уравнения. Межвузовский сборник. Горький. - 1981. - С. 24-27.

[33] Медведева Н.Б. Первая фокусная величина сложной монодром-ной особой точки // Прикладные задачи математического анализа. Внутривузовский сборник. Челябинск. Изд-во ЧПИ. - 1986. -

С. 61-65.

[34] Медведева Н.Б. Первая фокусная величина для Г-невырожденных векторных полей // Дифференциальные уравнения, гармонический анализ и их приложения. Внутривузовский сборник. Изд-во МГУ. - 1987. - С. 36-37.

[35] Медведева Н. Б. Первая фокусная величина сложной монодромной особой точки // Тр. сем. им. И. Г. Петровского. - 1988. - Вып. 13. -С. 106-122.

[36] Медведева Н. Б. Первая фокусная величина сложной монодромной особой точки: общий невырожденный случай // Вестник МГУ. Сер. Математика.Механика. - 1989. - № 3. - С. 25-29.

[37] Медведева Н.Б. Дерево раздутия для векторных полей с фиксированной диаграммой Ньютона // Вестник МГУ. Сер. Математика. Механика. - 1989. - № 1. - С. 13-17.

[38] Медведева Н. Б. Главный член преобразования монодромии монодромной особой точки линеен // Сиб. мат. журн.. - 1992. - Т.ЗЗ. № 2.-С. 116-124.

[39] Медведева Н. Б. Главный член асимптотики преобразования монодромии: вычисление по геометрии раздутия // Сиб. мат. журн.. -1997. - Т.38. № 1. - С. 135-150.

[40] Медведева Н. Б. Главный член асимптотики преобразования монодромии: вычисление по диаграмме Ньютона // Тр. МИАН им. Стеклова. - 1997. - Т. 213. - С. 226-238.

[41] Медведева Н.Б. Критерий монодромности особой точки векторного поля на плоскости // Алгебра и анализ. - 2001. - Т.13. К2 2. -

С. 130-150.

[42] Медведева Н.Б. Проблема различения центра и фокуса в классе ростков с двумя ребрами диаграммы Ньютона // Вестник ЧелГУ. Серия 3. - 2003. - № 3(9). - С. 86-110.

[43] Медведева Н.Б. Об аналитической разрешимости проблемы различения центра и фокуса // Труды МИРАН им. В.А.Стеклова. Т.254(2006). С.11 - 100.

[44] Медведева Н.Б., Крушина Н.П. Аналитическая разрешимость проблемы устойчивости в некоторых классах монодромных ростков // Тезисы докладов международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения- 22-26 июня 1999. Челябинск. - С. 79.

[45] Медведева H.Б., Мазаева Е.В. Достаточное условие фокуса для мо-нодромной особой точки // Труды ММО. - 2002. - Т. 63. - С. 87-114.

[46] Немыцкий В.В., Степанов В.В., Качественная теория дифференциальных уравнений, M.-JL: ГИТТЛ, 1949. - 550с.

[47] Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями - М.-Л.: ГИТТЛ, 1947. - 392с.

[48] Садовский А.П. О проблеме различения центра и фокуса для одного случая сложной особой точки // Дифф. уравнения. - 1986. -Т.22. № 5. - С. 789-794.

[49] Сибирский К.С. Метод инвариантов в качественной теории дифференциальных уравнений. - Кишинев:Штиинца, 1976. - 268с.

[50] Скитович А.В. Условия возникновения проблемы центра и фокуса // Дифф. уравнения. - 1977. - Т.13. № 6. - С. 1061-1069.

[51] Скитович А.В. Проблема центра в случае сложной точки покоя, разложимой на простые седла // Дифф. уравнения. - 1978. - Т. 14. № 10. - С. 1814-1823.

[52] Фроммер М. Интегральные кривые обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка в окрестности особой точки, имеющей рациональный характер // Успехи мат. наук. - 1941. -

№ 9. - С. 212-253.

[53] Argemi J. Points singuliers nonélémentaires de quebques classes de systèmes dynamiques plans // Ann. di Mat. pura ed. appl. Ser.IV. 89. - 1971. - P. 321 - 351.

[54] Argemi J. Sur les points singuliers multiples de systèmes dynamiques dans R2 // Ann. di Mat. pura ed. appl. Ser.IV. 79. - 1968. -

P. 35 - 69.

[55] Bendixon I. Sur les courbes defînes par des équations différentielles // Acta Math. V. 24. - 1901.- P. 1-88.

[56] Berezovskaja F.S. and Medvedeva N.B. A complicated Singular point of "Center-focus"type and the Newton diagram // Selecta Mathematica Vol.13. No.l. - 1994. - P. 1-15.

[57] Chen K.T. Equivalence and decomposition of vector fields about an elementary critical point // Amer.J. Math. V. 85. No.4. - 1963. -

P. 693-722.

[58| Dumortier F. Singularities of vectorfields on the plane // Jour. Diff. Equa. 23. - 1977. - P. 53-106.

[59] Gasull A., Llibre J., Mañosa V., Mañosas F. The focus-centre problem for a type of degenerate system // Nonlinearity. 13. - London, 2000, -P. 699-729.

[60] Il'yashenko Yu.S. Finiteness Theorems for Limit Cycles. Translations of Mathematical Monograph. Vol. 94. - AMS, 1991. - I89p.

[611 Lefschetz S. On a theorem of Bendixon // Jour. Diff. Equa. 4. No.l. -1977 - P. 53-106.

[62] Lojasiewicz S. Ensembles semianalytiques. IHES. Bures-sur-Yvette. 1965.

[631 Mañosa V. Monodrorny, stability and bifurcation of a limit cycle from degenerate singular points of certain planar vector fields. Preprint. -num.444, Centre de Recerca Mathematica, Octubre 2000. - 23p.

[64] Mattei J.F., Moussu R. Holonomie et integrales premiers // Ann. Scient, Ec. Norm. Sup..4s. T.13. - 1980. - P. 469-523.

[65] Medvedeva N., Batcheva E. The second term of the asymptotics of monodrorny map in case of two even edges of the Newton diagram // EJQTDE. Conference Proceedings of the 6-th Colloquium on the Qualitative Theory of Differential Equations. No. 19. - Szeged, 2000. P. 1-15. (www.math.u-szeged.hu/ejqtde/ )

[66] Medvedeva N.B. Analytic Solvability of the Center-Focus Problem in Some Classes of Vector Fields with a Complex Monodromic Singular Point // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. Suppl.2. - 2002. - P. S120-S140.

[67] Moussu R. Symmetrie et forme normale des centres et foyers dégénérés // Ergod. Th. & Dynam. Syst. 2. - 1982. - P. 241-251.