О гомоклинической динамике шестимерных гамильтоновых систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Маркова, Анна Петровна

• Маркова, Анна Петровна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Маркова, Анна Петровна

Содержание

Введение

Глава 1. Гамильтонова бифуркация Хопфа: поведение траекторий и

устойчивость в критическом случае

1.1 Постановка задачи

1.2 Структура интегрируемой системы

1.3 Переменные действие-угол

1.4 Невырожденность Щ

1.5 Изоэнергетическая невырожденность Но

1.6 Устойчивость

1.7 Случай В,С 0: изменение масштаба переменных

Глава 2. Существование симметричных гомоклинических траекторий при периодической обратимой гамильтоновой бифуркации Хопфа

2.1 Постановка задачи и основные результаты

2.2 Структура интегрируемого диффеоморфизма

2.3 Существование гомоклинических траекторий

в полной системе

Глава 3. О структуре 4-мерного симплектического диффеоморфизма в окрестности гомоклинической траектории к 1-эллиптической точке

3.1 Постановка задачи и основные результаты

3.2 Следствия из условия трансверсальности

3.3 Линеаризация и отображение рассеяния

3.4 Устойчивые и неустойчивые многообразия

КАМ-кривых

3.5 Выпрямление инвариантных многообразий

3.6 Гомоклинические траектории к КАМ-кривым

Список литературы

/ си-

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О гомоклинической динамике шестимерных гамильтоновых систем»

Введение

Диссертация посвящена некоторым аспектам динамики шестимерных автономных гамильтоновых систем, то есть систем с тремя степенями свободы. Системы дифференциальных уравнений, которые можно записать в гамильтоновой форме, являются классическим объектом исследования в теории дифференциальных уравнений. Они описывают математические модели явлений, возникающих в различных разделах современной физики, механики, гидродинамики, нелинейной оптики, химии (задачи молекулярной динамики). В некотором смысле можно сказать, что большинство физических задач на базисном уровне, без учета диссипации, описываются гамиль-тоновыми системами, и поэтому их изучение представляет первостепенный интерес. Небесная механика была и остается до настоящего времени одним из основных «поставщиков» новых задач в теории гамильтоновых систем.

Наиболее изученным классом гамильтоновых систем является класс систем, близких к интегрируемым. Здесь основные успехи связаны с теорией Колмогорова-Арнольда-Мозера (KAM). Эта теория существенно продвинула всю теорию гамильтоновых систем и позволила решить ряд давно стоявших задач об устойчивости и сохранении квазипериодических траекторий. Современные исследования Ю. Мозера, Ю.Н. Бибикова, М.Б. Севрюка, X. Брура, М.В. Матвеева, В.Н. Тхая, Дж. Лэмба и других позволили распространить результаты этой теории на классы обратимых систем, сохраняющих объем и даже диссипативных систем. Однако и при изучении систем, близких к интегрируемым, возникают задачи, когда изучение ведется в окрестности множества вырождения интегралов и где возможны явления типа гомоклинических и связанной с ними диффузией Арнольда.

Известно, что изучение гомоклинических траекторий и поведения гамильтоновой (а позднее и диссипативной) системы в окрестности таких траекторий началось с работ А.Пуанкаре, обнаружившим сложное поведение устойчивого и неустойчивого многообразий седловой неподвижной точки при наличии трансверсальной гомоклинической траектории. Затем это изучение продолжил Дж. Биркгоф: для случая двумерных симплекти-ческих диффеоморфизмов им было доказано существование счетного мно-

жества седловых периодических траекторий в окрестности трансверсаль-ной гомоклинической траектории к седловой неподвижной точке. Биркгоф также высказал идею о возможности полного описания всех траекторий в окрестности гомоклинической орбиты на языке символической динамики. Следующий шаг был сделан С. Смейлом, доказавшим, при условии линеаризации диффеоморфизма в окрестности неподвижной точки, теорему о сложной структуре поведения траекторий в малой окрестности трансвер-сальной гомоклинической траектории. Однако задача об описании структуры множества всех траекторий, целиком лежащих в малой окрестности гомоклинической орбиты, им не была решена. Эта задача без каких-либо дополнительных предположений была затем решена Л.П. Шильниковым. Все это касалось изучения гомоклинических траекторий к седловым периодическим траекториям гладких потоков или, соответственно, гомоклинических траекторий седловых неподвижных (или периодических) точек гладких диффеоморфизмов.

Шильников был первым, кто обнаружил сложную динамику траекторий гладкого трехмерного потока в окрестности гомоклинической траектории к состоянию равновесия типа седло-фокус. Эта ситуация имеет место в предположении положительности седловой величины седло-фокуса. При переходе к гамильтоновому случаю, ввиду симметрии спектра линеаризации потока в состоянии равновесия, это условие не выполняется. Пытаясь перенести результат Шильникова на гамильтонов случай, Девани обнаружил, что в окрестности трансверсальной гомоклинической траектории седло-фокуса гамильтоновой системы имеется инвариантная подсистема, описываемая на некоторой секущей как топологическая схема Бернулли из двух символов. Затем Лерманом было получено полное описание системы в окрестности трансверсальной гомоклинической траектории к седло-фокусу на критическом уровне гамильтониана (то есть содержащем седло-фокус и гомоклини-ческую траекторию) и показано, что при переходе к близким уровням гамильтониана в системе происходит большое число различных бифуркаций, в результате которых система усложняется и, в частности, число состояний схемы Бернулли, которая описывает поведение некоторой инвариантной ги-

перболической подсистемы, имеющейся на всех близких уровнях гамильтониана, растет и стремится к бесконечности при подходе к критическому уровню.

Задача об описании траекторий гамильтоновой системы в окрестности гомоклинической траектории к седлу существенно зависит от числа таких траекторий. Дело в том, что согласно результату Фидлера и Вандербауведе в изолированной окрестности трансверсальной гомоклинической траектории к седлу гамильтоновой системы имеется только однопараметрическое семейство периодических траекторий, накапливающихся к гомоклинической, а других инвариантных целиком лежащих в окрестности множеств нет. Кроме того, Девани показал, что трансверсальные гомоклинические траектории к седлу возможны в интегрируемой системе, а Лерман и Уманский показали, что это общий случай в классе интегрируемых систем. Тураев и Шильни-ков указали достаточные условия, когда сложная динамика в гамильтоновой системе имеется в окрестности букета трансверсальных гомоклинических траекторий.

В диссертации рассматриваются некоторые задачи, связанные с существованием гомоклинических траекторий к периодическим движениям различного типа при наличии эллиптических направлений и структурой гамильтоновой системы в окрестности таких гомоклинических траекторий. Важность исследования гомоклинических явлений состоит, в частности, в том, что наличие гомоклинических траекторий к седловым периодическим траекториям приводит к сложной динамике соответствующей гамильтоновой системы и может служить обоснованием неинтегрируемости гамильтоновой системы. Вопросы же интегрируемости или неинтегрируемости системы очень важны в прикладных задачах, поскольку позволяют различать системы с простой и сложной структурой. Для гомоклинических траекторий к периодическим траекториям, не являющимся чисто седловыми, вопросы о структуре системы в их окрестности являются гораздо более сложными и исследованы недостаточно. Кроме того, изучение структуры системы в окрестности гомоклинической траектории является важным с точки зрения понимания структуры неинтегрируемой гамильтоновой системы и позволя-

й\

ет существенно продвинуться в исследовании особенностей такого поведения.

Наиболее изученными гамильтоновыми системами являются системы с двумя степенями свободы. После выбора соответствующего уровня гамильтониана и перехода к отображению Пуанкаре изучение их динамики сводится к изучению итераций двумерных симплектических отображений, которые представляются наиболее понятными геометрически, хотя и здесь некоторые принципиальные задачи динамики не решены даже для отображений, близких к интегрируемым. Например, совершенно неясно, какова динамика двумерного симплектического закручивающего отображения, близкого к интегрируемому, в так называемом стохастическом слое. Следует также отметить, что при изучении окрестности гомоклинической траектории к состоянию равновесия автомномной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы, симплектические отображения, возникающие на секущей к гомоклинической траектории в особом уровне гамильтониана, являются разрывными вдоль следов сепаратрисных многообразий. Это дополнительно усложняет задачу исследования и приводит к необходимости изучения бифуркаций в системе при переходе на близкие неособые уровни гамильтониана.

Гамильтоновы системы являются моделями во многих разделах физики. Так, при изучении уравнений с частными производными солитонного типа возникли задачи об описании локализованных решений, которые обычно описывают решения уравнений с конечной энергией или конечным значением функционала в случае уравнений градиентного типа. В пространственно одномерном случае такие задачи часто сводятся к вопросам существования, рождения или исчезновения гомоклинических траекторий к состояниям равновесия соответствующих гамильтоновых систем. Также задачи подобного типа возникают при изучении бифуркаций гамильтоновых систем, в частности, при изучении вопросов о генезисе сложного поведения при возмущении систем с простой структурой (интегрируемых).

В теории гамильтоновых систем, особенно в задачах механики, основным вопросом при локальном изучении системы в окрестности состоя-

ний равновесия и периодических траекторий были вопросы их устойчивости и неустойчивости. Решение этих вопросов опиралось на технику нормальной формы для получения простейшей формы системы в окрестности рассматриваемой траектории и на результаты теории KAM, которые позволяли в некоторых случаях доказать устойчивость. Большой вклад в это изучение был сделан в работах В.И.Арнольда, А.Д.Брюно, А.П.Маркеева, А.Г. Сокольского и многих других. Так, В.И. Арнольдом была доказана устойчивость точки общего эллиптического типа для аналитической системы с двумя степенями свободы, используя нормальную форму Биркгофа. Большой вклад в теорию нормальной формы был сделан в работах А.Д. Брюно.

При исследовании бифуркационных задач для гамильтоновых систем встречаются системы со сложными вырождениями уже в случае однопа-раметрических семейств. Например, при наличии параметра гамильтоно-ва система с двумя степенями свободы может изменяться таким образом, что ее эллиптическое состояние равновесие может при некотором критическом значении параметра иметь пару двукратных собственных значений линеаризованной системы. При этом в общем случае жорданова нормальная форма матрицы линеаризации системы в состоянии равновесия будет иметь два двумерных жордановых блока. В этом случае в линейном приближении, в отличие от случая эллиптической точки общего типа, система будет неустойчивой. Поэтому интересен вопрос об устойчивости состояния равновесия в полной системе. Этот вопрос впервые изучался в работе А.Г. Сокольского, где была получена нормальная форма системы в окрестности такого состояния равновесия при всех значениях параметра, близких к критическому, и был указан нелинейный инвариант, от которого должна зависеть устойчивость. Случай неустойчивости был изучен Сокольским и была сделана попытка получить устойчивость при противоположном знаке нелинейного инварианта. Однако в опубликованной им работе оказалась существенная ошибка. Вторая попытка доказать устойчивость в этом случае была сделана в работе A.M. Ковалева, А.Н. Чудненко, однако и там доказательство оказалось неверным. Еще одной работой, в которой рассматривалась эта задача, была работа Д.В. Трещева, где изучался многомерный слу-

чай и был дан набросок доказательства в случае двух степеней свободы, для которого только и можно доказать устойчивость. Тем не менее, полного доказательства в ней не было дано. Устойчивость такого состояния равновесия также обсуждалась А.П. Маркеевым, но была показана только формальная устойчивость.

Кроме самостоятельного интереса, задача о полном исследовании бифуркации перехода через такой резонанс частот, которая сейчас носит название гамильтоновой бифуркации Хопфа, представляет большой интерес для различных физических моделей, в частности, как один из возможных вариантов появления стационарных локализованных и периодических структур в уравнениях с частными производными. Например, эта бифуркация происходит в широко известной модели образования структур - стационарном уравнении Свифта-Хоенберга на прямой. Стоит отметить, что для некоторых задач с двумя степенями свободы именно доказательство устойчивости по Ляпунову является ключевым. Например, в такой системе траектории не могут уходить из достаточно малой окрестности состояния равновесия, что позволяет сделать вывод об отсутствии гетероклинических траекторий в системе.

Исследование (интегрируемой) нормальной формы системы при гамильтоновой бифуркации Хопфа было проведено в книге Ч. ван дер Меера, также в обзоре В.И.Арнольда, В.В.Козлова и А.И.Нейштадта в известной серии ВИНИТИ. Недавно в работе Гельфрейха-Гайвайо и диссертации Гай-вайо были получены асимптотические формулы, из которых, в частности, следует наличие трансверсальных гомоклинических траекторий к образующемуся из эллиптической точки седло-фокусу при соответствующем направлении изменения параметра бифуркации, а поэтому соответствующая система является неинтегрируемой, и преобразование к нормальной форме расходится. Следует отметить, что для аналитической системы расщепление сепаратрисных многообразий седло-фокуса в этой задаче экспоненциально мало (это следствие одной теоремы Нейштадта), поэтому получение оценки, показывающей положительность угла расщепления вдоль гомокли-нической траектории - весьма нетривиальная задача, требующая выхода в

комплексную область и тонкой работы с различными асимптотическими разложениями. Имеется также параллельная аналогичная задача о бифуркации для случая четырехмерной обратимой системы, имеющей симметричное состояние равновесие с парой двукратных чисто мнимых собственных значений. Для этой задачи в работе Иосса и Пероэме была получена нормальная форма обратимой системы в окрестности симметричного состояния равновесия, и, кроме того, было исследовано рождение симметричных гомоклинических траекторий к рождающимся при изменении параметра из состояния равновесия седловым симметричным периодическим траекториям, а также сохранение двух симметричных гомоклинических траекторий к рождающемуся в другую сторону по параметру седло-фокусу.

Естественным обобщением гамильтоновой бифуркации Хопфа на случай гамильтоновых систем с тремя степенями свободы является изучение соответствующей бифуркации в семействе периодических траекторий. Впервые подобная задача для случая обратимого диффеоморфизма (соответствующего отображения Пуанкаре) в окрестности симметричной неподвижной точки была поставлена в работе Севрюка и Лахири. В ней изучался вопрос о существовании инвариантных кривых в окрестности неподвижной точки в предположении нерезонансности мультипликаторов. Для симплектического диффеоморфизма в окрестности неподвижной точки соответствующая бифуркационная задача была рассмотрена для интегрируемого приближения. Бифуркационная задача для гамильтоновой системы в полном объеме без дополнительных предположений отсутствия резонансов была поставлена и некоторые основные результаты были сформулированы в краткой заметке Глебского и Лермана. В заметке рассматривалась нормальная форма системы, полученная для периодического случая в работе Иванова и Сокольского. Затем исследование динамики системы было продолжено в нескольких работах группы из Барселоны (Виллануэва, Жорба, Олле, Пача). В этих работах основное внимание было уделено получению результатов КАМов-ского типа о сохранении инвариантных торов. Поэтому они изучали только безрезонансный случай при критическом значении параметра, что в данной задаче не совсем естественно.

Следующим шагом в изучении гомоклинической динамики были работы Лермана, а потом Лермана-Кольцовой, Гротта Рагаззо, Мильке-Холмса-О'Рейли, в которых началось изучение динамики гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в окрестности гомоклинической траектории к состояниям равновесия с эллиптическими направлениями, в частности, типа седло-центр. Такие задачи естественно появляются, например, при изучении классической задачи трех тел в окрестности коллинеарных точек либрации (Хенрард, Лидов-Вашковьяк, Либре-Симо-Мартинес), позже они возникли при описании так называемых «темных» солитонов в уравнениях с частными производными. Эти задачи также возникают при изучении быстро-медленных гамильтоновых систем, когда одна из подсистем (быстрая или медленная) имеет седло с петлями сепаратрис, а другая подсистема - эллиптическое поведение. Следует отметить, что эта задача по самой своей постановке является бифуркационной, так как наличие петли сепаратрисы к седло-центру - это вырождение коразмерности два в классе гамильтоновых систем. Однако при условии обратимости этой системы, эта коразмерность равна единице, поэтому данная бифуркация встречается неустранимо в общих однопараметрических семействах обратимых гамильтоновых систем. Первая задача, которая здесь возникает - это задача об описании гомоклинических траекторий к седловым ляпуновским периодическим траекториям, лежащим в окрестности состояния равновесия на его центральном многообразии. Эта задача была решена Лерманом. При ее изучении естественно появляется задача рассеяния, связанная с линеаризованной гамильтоновой системой на гомоклиническом решении. На ее основе удается сформулировать необходимое здесь условие общего положения, гарантирующее существование четырех трансверсальных гомоклинических траекторий для каждой периодической траектории ляпуновского семейства. Это сразу влечет неинтегрируемость системы и существование в ней сложной динамики. В первой работе Лермана изучение задачи рассеяния было обойдено, используя нормальную форму Мозера для системы в окрестности седло-центра, при этом пришлось наложить условие аналитичности системы. В дальнейших работах с Кольцовой задача рассеяния была введена и

использована, при этом удалось обобщить результаты о существовании го-моклинических траекторий на случай систем с п степенями свободы.

Естественно получить обобщение этой задачи на случай гомоклиниче-ских траекторий к периодической траектории седло-центрового типа (1-эллиптической в другой терминологии) в системе с тремя степенями свободы. Эта задача также является бифуркационной, поскольку в 5-мерном уровне, где лежит периодическая траектория, двумерные устойчивое и неустойчивое многообразия такой траектории могут иметь пересечение вдоль гомоклинической траектории только при наличии в общем случае двух параметров, одним из параметров может быть значение гамильтониана. Однако для обратимой системы достаточно уже иметь один параметр и им может служить значение гамильтониана, если тип периодической траектории вдоль семейства периодических траекторий не меняется. По сравнению со случаем состояния равновесия типа седло-центр в системе с двумя степенями свободы, здесь рассматриваемая задача существенно сложнее, так как соответствующее четырехмерное симплектическое отображение Пуанкаре на трансверсали к периодической траектории в уровне гамильтониана имеет двумерное центральное многообразие, которое не целиком заполнено инвариантными кривыми отображения, а только имеет канторовское семейство таких кривых. Существуют и другие трудности при изучении этой задачи. В частности, нужно получить и изучить соответствующую дискретную задачу рассеяния.

Все вышесказанное говорит об актуальности вопросов, связанных с изучением гомоклинических траекторий в динамических системах.

Перейдем к основным определениям, постановке задач и формулировке результатов диссертации.

В диссертации изучаются гамильтоновы системы на гладком симплек-тическом многообразии М с симплектической 2-формой Г!!. В силу теоремы Дарбу [4] в окрестности любой точки на М можно так ввести симплектиче-ские координаты, что в них £1 будет иметь стандартный вид, а гамильтонова система, порожденная гладкой функцией Н, будет иметь привычный вид:

х = /УЯ(ж),

где координаты х = (р1?..., рп, ..., qn), I - кососимметрическая 2п х 2п матрица вида

О -яЛ

Еп 0 у '

а Еп - единичная п х п матрица. Поэтому при локальном изучении гамиль-тоновой системы всегда можно использовать стандартный вид системы.

Основная тема диссертации связана с изучением гомоклинических траекторий к периодическим траекториям системы. Напомним типы периодических траекторий, возможные в случае систем с тремя степенями свободы. Мы ограничимся ситуациями общего положения, когда отсутствуют мультипликаторы равные 1. При этом под мультипликатором мы будем понимать собственное значение линейного оператора, полученного для отображения Пуанкаре на секущей в уровне гамильтониана, где лежит данная периодическая траектория, при его линеаризации в неподвижной точке, соответствующей этой траектории.

В случае трех степеней свободы периодические траектории в общем случае могут быть следующих типов, которые определяются на основе линейной классификации неподвижных точек симплектических диффеоморфизмов. Последние, в силу свойств симметрии спектра симплектических матриц, могут быть четырех типов: 2-эллиптическая точка (две различные пары комплексно сопряженных собственных значений на единичной окружности), 1-эллиптическая точка (комплексно сопряженная пара собственных значений на единичной окружности и пара действительных ¡1, /I"1), седло (две пары различных действительных собственных значений ¿¿х,/^1, /хг,/^1) и седло-фокус (четверка комплексных собственных значений вида

ре±га^р- 1е±гау

Все эти типы периодических траекторий сохраняются при переходе на соседние уровни гамильтониана. Из четырех типов для двух (седла и седло-фокуса) существуют гладкие трехмерные устойчивые и неустойчивые многообразия периодической траектории, лежащие в том же уровне гамильтониана, поэтому они могут трансверсально пересекаться в 5-мерном уровне по гомоклинической траектории, образуя стандартное инвариантное под-

множество в окрестности такой гомоклинической траектории. Динамика отображения Пуанкаре на перечесении этого множества с секущей описывается соответствующей топологической марковской цепью.

Другая, более сложная, ситуация возникает, когда мы пытаемся изучать существование и поведение траекторий в окрестности гомоклиниче-ских траекторий к 1-эллиптической периодической траектории. Во-первых, эта задача бифуркационная, поскольку устойчивое и неустойчивое многообразия такой периодической траектории двумерны, и в общем положении они не пересекаются в 5-мерном уровне гамильтониана. Однако в гамиль-тоновой системе есть естественный бифуркационный параметр - значение гамильтониана, поэтому при его изменении, если тип самой периодической траектории не меняется, в соседних уровнях многообразия периодической траектории меняются при изменении параметра. Если же еще и сама система зависит от параметра, то многообразия соответствующей 1-эллиптической периодической траектории зависят уже от двух параметров и могут пересекаться вдоль гомоклинической траектории при некотором значении параметра на каком-то уровне гамильтониана. Причем эта ситуация сохранится при переходе к близкому однопараметрическому семейству.

Основным результатом первой главы диссертации является доказательство устойчивости состояния равновесия О гамильтоновой системы с двумя степенями свободы с гамильтонианом Н в критическом случае при гамильтоновой бифуркации Хопфа. В этом случае линеаризованная система в состоянии равновесия является неустойчивой из-за наличия резонанса. Доказательство устойчивости в критическом случае является одним из ключевых моментов при изучении данной бифуркации. Однако ранее опубликованные доказательства этого утверждения, как было отмечено выше, являются либо неверными, либо неполными.

Мы рассматриваем нормальную форму для этого случая до членов четвертого порядка:

5 £

+ + <$) + ВЫ2 -Р2чг) + С{Р\ + р22)].

Основной результат первой главы заключается в следующей теореме:

Теорема 1.1 Если е = 0 и А > 0, то состояние равновесия О системы с гамильтонианом Н устойчиво по Ляпунову.

Во второй главе изучается обобщение гамильтоновой бифуркации Хопфа на случай окрестности периодической траектории гамильтоновой системы. В этой главе рассматривается аналог случая А > 0, е < 0 при стандартной гамильтоновой бифуркации Хопфа. Ему соответствует появление седло-фокусной периодической траектории, у которой в приближении нормальной формы четвертого порядка для гамильтониана устойчивое и неустойчивое многообразия сливаются, образуя «гомоклиническую юбку», которая в полной системе, вообще говоря, расщепляется.

Основным результатом второй главы является теорема:

Теорема 2.1 Пусть Хц - гладкое однопараметрическое семейство 2-тг-перио-дических гамильтоновых векторных полей, обратимых относительно инволюции Ь, имеющей двумерное многообразие неподвижных точек. Пусть также Хн имеет однопараметрическое семейство симметричных периодических решений, для которого при е = 0 осуществляется периодическая гамильтонова бифуркация Хопфа. Тогда, если А > 0 и е < 0, то устойчивое и неустойчивое многообразия рождающейся седло-фокусной периодической траектории пересекаются по крайней мере по двум симметричным гомо-клиническим траекториям.

В третьей главе изучается симплектический диффеоморфизм /, имеющий 1 -эллиптическую неподвижную точку и гомоклиническую траекторию к этой точке. К такой постановке стандартным образом сводится задача об изучении траекторий гамильтоновой системы с тремя степенями свободы, имеющей периодическую траекторию типа седло-центр и гомоклиническую траекторию к ней.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Маркова, Анна Петровна, 2013 год

Список литературы

[1] Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике. УМН, т. 18, вып. 6, 1963, стр. 91-192.

[2] Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1972.

[3] Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989, 472 стр.

[4] Арнольд В.И., Гивенталь А.Г. Симплектическая геометрия. Современные проблемы математики: фундаментальные направления, т. 4, ВИНИТИ, М., 1985, стр. 7-140.

[5] Арнольд В.И., Козлов В.В., НейштадтА.И. Математические аспекты классической и небесной механики. Современные проблемы математики: фундаментальные направления, т. 3, ВИНИТИ, М., 1986.

[6] АхиезерН.И. Элементы теории эллиптических функций. М., Наука, 1970.

[7] БейтменГ., ЭрдейиА. Высшие трансцендентные функции: эллиптические и автоморфные функции, функции Ламе и Матье. М., Наука, 1967, т. 3.

[8] Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М: Изд-во физ.-мат. лит-ры, 1958.

[9] Брюно А.Д. Нормализация системы Гамильтона вблизи инвариантного цикла или тора. УМН, т. 44, 1989, вып. 2, стр. 49-78.

[10] Брюно А.Д., Петров А.Г. О вычислении нормальной формы. ДАН, т. 410, вып. 4, 2006, стр. 439-442.

[11] Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.

[12] ГонченкоС.В., ТураевД.В., Шильников Л.П. Существование счетного множества эллиптических периодических траекторий у четырехмерных симплектических отображений с гомоклиническим касанием. Тр. МИАН. М.: Наука, т. 244, 2004, стр. 115-142.

[13] Захаров В.Е., МанаковС.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория со-литонов: Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980, 320 стр.

[14] Иванов А.П., Сокольский А.Г. Об устойчивости неавтономной гамиль-тоновой системы в случае резонанса 2-го порядка. ПММ, т. 44, №5, 1980, стр. 811-822.

[15] Ковалев А.М., ЧудненкоА.Н. Об устойчивости положения равновесия двумерной гамильтоновой системы в случае равных частот. ДАН УССР, Серия А, №11, 1977, стр. 1011-1014.

[16] Кулагин Н.Е., ЛерманЛ.М., Шмакова Т.Г. Фронты, бегущие фронты и их устойчивость в обобщенном уравнении Свифта-Хоенберга. Вычислительная математика и математическая физика, т. 48, вып. 4, 2008, стр.693-712.

[17] ЛерманЛ.М. О гамильтоновых системах с петлей сепаратрисы седло-центра. Методы качеств, теории диф. ур., межвуз. сб. науч. трудов под ред. Леонтович-Андроновой Е.А. Горьковский ун-т, Горький, 1987, стр.89-103.

[18] ЛидовМ.Л., Вашковьяк М.А. Двояко-асимптотические симметричные траектории в плоской круговой задаче трех тел. Препринт № 115, ИПМ АН СССР, 1975.

[19] МаркеевА.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М., Наука, 1978.

[20] МилнорДж. Теория Морса. М., Мир, 1965.

[21] МозерЮ. Лекции о гамильтоновых системах. М., Мир, 1973.

[22] НейштадтА.И. О разделении движений в системах с быстро вращающейся фазой. ПММ, т. 48, 1984, стр. 197-204.

[23] Нехорошев H.H. Экспоненциальная оценка времени устойчивости га-мильтоновых систем, близких к интегрируемым. УМН, т. 32, 1977, стр. 5-66.

[24] Сокольский А.Г. Об устойчивости автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в случае равных частот. ПММ, т. 38, вып. 5, 1974, стр. 791-799.

[25] Сокольский А.Г. Доказательство устойчивости лагранжевых решений при критическом соотношении масс. Письма в Астрономический журнал, т. 4, №3, 1978, стр. 148-152.

[26] ТрещевД.В. Потеря устойчивости в гамильтоновых системах, зависящих от параметра. ПММ, т. 56, вып. 4, 1992, стр. 587-596.

[27] Шильников Л.П. Об одной задаче Пуанкаре-Биркгофа. Матем. сб., т. 74(116), №3, 1967, стр. 378-397.

[28] Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2003, 428 стр.

[29] ЯнкеЕ., ЭмдеФ., ЛешФ. Специальные функции: формулы, графики, таблицы. М., Наука, 1968.

[30] DepritA., HenrardJ. Symmetric doubly asymptotic orbits in the restricted three-body problem. Astronom. J. 70, no. 4, 1965, pp. 271-275.

[31] DevaneyR. Reversible diffeomorphisms and flows. Trans. AMS, v. 218, 1976, pp. 89-113.

[32] FenichelN. Asymptotic stability with rate conditions. Indiana Univ. Math. J., v. 23, №12, 1974, pp. 1109-1137.

[33] FenichelN. Asymptotic stability with rate conditions, II. Indiana Univer. Math. J., v.26, № 1, 1977, pp. 81-93.

[34] Gaivao J.P., GelfreichV. Splitting of séparatrices for the Hamiltonian-Hopf bifurcation with the Swift-Hohenberg equation as an example. Nonlinearity, v. 24, no. 3, 2011, pp. 677-698.

[35] GlebskyL., LermanL. On the small stationary localized solutions for generalized ID Swift-Hohenberg equation. Chaos: Interdise. J. Nonlin. Sci., v. 5, no. 3, 1995, pp. 424-431.

[36] Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., TuraevD.V. Elliptic periodic orbits near a homoclinic tangency in four-dimensional symplectic maps and Hamiltonian systems with three degrees of freedom. Reg. Chaot. Dyn., v. 3, no. 4, 1998, pp. 2-26.

[37] Gonchenko S., TuraevD. ShilnikovL. Homoclinic tangencies of arbitrarily high orders in conservative and dissipative two-dimensional maps. Nonlinearity, v. 20, 2007, pp. 241-275.

[38] Grotta RagazzoC. Nonintegrability of Some Hamiltonian systems, Scattering and Analytic Continuation. Commun, in Math. Physics, v. 166, 1994, pp. 155-177.

[39] Grotta RagazzoC. Irregular Dynamics and Homoclinic Orbits to Hamiltonian Saddle-Centers. Commun, on Pure and Applied Math., v. 50, 1997, pp. 105-147.

[40] HaragusM., IoossG. Local Bifurcations, Center Manifolds, and Normal Forms in Infinite-Dimensional Dynamical Systems. EDP Sciences, 2011.

[41] HirshM., PughC., ShubM. Invariant manifolds. Lect. Notes in Math, Berlin-New York: Springer-Verlag, v. 583, 1977.

[42] IoossG., PeroueméM.C. Perturbed Homoclinic Solutions in Reversible 1:1 Resonance Vector Fields. J. Differ. Equat., v. 102, no. 1, 1993, pp. 62-88.

[43] KoltsovaO.Yu., LermanL.M. Periodic and homoclinic orbits in a two-parameter unfolding of a Hamiltonian system with a homoclinic orbit to a saddle-center. Inter. J. of Bifur. and Chaos, v. 5, №2, 1995, pp. 397-408.

[44] KoltsovaO., LermanL. Families of transverse Poincare homoclinic orbits in 2N-dimensional Hamiltonian systems close to the system with a Loop to a saddle-center. Inter. J. of Bifur. and Chaos, v. 6, №6, 1996, pp. 991-1006.

[45] van der Meer J.-C. Hamiltonian Hopf Bifurcation. Lect. Notes in Math., Springer-Verlag, v. 1211, 1980.

[46] MielkeA., Holmes P., O'Reilly O. Cascades of homoclinic orbits to, and chaos near, a Hamiltonian saddle-center. J. of Dyn. and Diff. Eq., v. 4, 1992, pp. 95-126.

[47] Moser J. New aspects in the theory of stability of Hamiltonian system. Comm. Pure Appl. Math., v. 11, no. 1, 1958, pp. 81-114.

[48] Vanderbauwhede A., Fiedler B. Homoclinic period blow-up in reversible and conservative systems. ZAMP, v. 43, 1992, pp. 292-318.

[49] RüssmannH. Kleine Nenner. I. Über invariante Kurven differenzierbarer Abbildungen eines Kreisrings. Nachr. Akad. Wiss., Göttingen II, Math. Phys. Kl II, 1970, 67-105.

[50] SmaleS. Diffeomorphisms with infinitely many periodic points. Diff. and Combinatorial Topology, ed. Cairns S., Princeton Univ. Press, 1965, pp. 6380.

[51] http://functions.wolfram.com/EllipticFunctions