Типичные конечно-параметрические семейства векторных полей на двумерной сфере тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Дуков Андрей Валерьевич

• Дуков Андрей Валерьевич
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Дуков Андрей Валерьевич

Полициклы

Бифуркационная диаграмма полицикла «сердце»

Числовые инварианты полулокальных бифуркаций

Кратные предельные циклы

1 Бифуркация полицикла «сердце»

1.1 Полицикл «сердце» и его отображение Пуанкаре

1.2 Поля с полициклом «сердце» как банахово подмногообразие

1.3 Переход к первому квадранту

1.4 Петли сепаратрис

1.5 Случай диссипативного и недиссипативного сёдел. Бифуркационная диаграмма

1.5.1 Предельные циклы

1.5.2 Возникновение мелькающих сепаратрисных связок

1.6 Случай двух недиссипативных сёдел. Бифуркационная диаграмма

1.6.1 Предельные циклы

1.6.2 Возникновение мелькающих сепаратрисных связок

1.7 Бифуркационная диаграмма

2 Числовые инварианты полулокальных бифуркаций

2.1 Числовые инварианты глокальных семейств: класс Т

2.1.1 Специальный полицикл коразмерности

2.1.2 Векторные поля класса ТБ

2.1.3 Числовые инварианты

2.2 План доказательства теоремы

2.3 Существование подсемейств ^ и Т

2.3.1 Зависимость от параметра отображения Дюлака вершин полицикла

2.3.2 Два вспомогательных семейства

2.3.3 Наматывание сепаратрис

2.4 Центральная теорема об инвариантных функциях

2.5 Числовые модули

2.5.1 Трансверсальность

2.5.2 Почему теорема об инвариантных функциях применима?

3 Кратные предельные циклы

3.1 Исторический обзор

3.2 От векторных полей к многочленам

3.2.1 Отображения соответствия сёдел

3.2.2 Уравнения на кратные предельные циклы

3.2.3 Общий вид производных большого порядка отображения Пуанкаре

3.2.4 Предельный переход при 8, х ^ 0. О-символика

3.2.5 Предельный переход при 8, х ^ 0. Производные отображения Пуанкаре

3.2.6 Предельный переход при 8, х ^ 0. Кратные предельные циклы

3.2.7 План доказательства теоремы

3.3 Нетривиальность результанта

3.4 Доказательство теоремы

3.5 Кратные неподвижные точки на действительной прямой

Заключение

Итоги и дальнейшее развитие

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Типичные конечно-параметрические семейства векторных полей на двумерной сфере»

Введение

Эта работа относится к теории бифуркаций динамических систем на двумерных многообразиях. В ней изучаются свойства полициклов векторных полей и их типичных возмущений. В первой части строится бифуркационная диаграмма типичного конечно-параметрического семейства, возмущающего полицикл «сердце». Во второй — доказывается существование числовых инвариантов в полулокальных бифуркациях. В третьей — оценивается кратность предельных циклов, рождающихся из гиперболических полициклов.

Полициклы

Пусть М — С-гладкое двумерное ориентированное многообразие. В большинстве утверждений работы многообразие М — либо сфера §2, либо её открытое подмножество. Рассматриваемое пространство Сг-гладких векторных полей УееЬт (М), г € N и снабжено стандартной гладкой топологией (подробнее см. параграф 1.2).

Определение 1. Полициклом векторного поля называется любой конечный ориентируемый граф Г, вложенный в многообразие М, который удовлетворяет следующим требованиям:

• вершинами графа 7 являются особые точки поля;

• рёбрами графа 7 являются фазовые кривые поля, не являющиеся особыми точками; ориентация задаётся временем;

• граф 7 — эйлеров (существует цикл, обходящий каждое ребро по одному разу).

Пусть поле у0 возмущается внутри типичного конечно-параметрического семейства У с базой параметров В = (Ек, 0). Поскольку семейство по определению есть непрерывное отображение У : В ^ УееЬг (М), то на пространстве таких семейств рассматривается компактно-открытая топология. Свойство точек некоторого топологического пространства (в нашем случае, пространства конечно-параметрических семейств) называется типичным, если множество точек (семейств) с этим свойством содержит не более чем счётное пересечение открытых всюду плотных множеств.

Пример 1. Рассмотрим полицикл, образованный двумя гиперболическими сёдлами и двумя соединяющими их сепаратрисными связками. Полагаем, что сёдла расположены таким образом, что их незадейство-ванные в образовании связок сепаратрисы находятся по разные стороны от полицикла. Этот полицикл носит название «сердце» (рис. 1). Поскольку он имеет лишь два вырождения (две сепаратрисные связки), то его можно типичным образом возмутить внутри двупараметрического семейства.

м

Рис. 1: Полицикл «сердце».

Главная задача теории бифуркаций — описать возмущение векторного поля с заданным вырождением (например, с полициклом) внутри типичного конечно-параметрического семейства. Полное исследование полицикла подразумевает построение бифуркационной диаграммы возмущающего его семейства. Напомним определение структурной устойчивости векторных полей и бифуркационной диаграммы.

Определение 2. Два векторных поля V и V являются орбитально топологически эквивалентными, если существует гомеоморфизм фазовых пространств Н, переводящий фазовый портрет одного поля в фазовый портрет другого поля с сохранением ориентации кривых. Поле V назы-ватеся структурно устойчивым, если в пространстве векторных полей существует такая окрестность и поля V, что любое поле V Е и орбитально топологически эквивалентно полю V.

Определение 3. Бифуркационной диаграммой семейства V с базой параметров В называется подмножество базы В, состоящее из всех таких значений параметров, при которых соответствующие поля семейства структурно неустойчивы.

Мы говорим, что бифуркация имеет коразмерность к, если поля с данным вырождением (например, полициклом) в пространстве Vectr(M) образуют банахово подмногообразие коразмерности к (подробнее см. параграф 1.2).

На сегодняшний день бифуркации коразмерности 1 исследованы полностью благодаря усилиям целого ряда математиков: Андронов, Леон-тович (сепаратрисная петля седла) [ALGM]; Сотомайор (все простейшие вырождения коразмерности 1) [So]; Мальта, Палис (параболический предельный цикл с двумя сёдлами внутри и снаружи) [MP]; Ильяшенко, Солодовников (сепаратрисная петля с множеством сёдел внутри) [IS]; Гон-чарук, Ильяшенко, Солодовников (параболический предельный цикл с множеством сёдел внутри и снаружи) [GIS]; Старичкова (структурная устойчивость простейших бифуркаций коразмерности 1).

Если все вырождения коразмерности 1 сводились к шести различным случаям, то вырождения коразмерности 2 насчитывают несколько десятков случаев. Их исследованиями занимались, например, Рейн (полицикл «лунка») [Re]; Грозовский (полициклы «яблоко» и «пол-яблока») [Gr]; Ройтенберг (сепаратрисная петля с единичных характеристическим числом, полициклы «лунка», «сердце», «яблоко», «пол-яблока» и др. на ориентированных и неориентированных многообразиях, мелькающие се-паратрисные связки) [R];

В случае полициклов коразмерности 3 и выше возникает неожиданное препятствие для изучения их бифуркаций, а именно числовые инварианты — величины, принимающие произвольные действительные значения и сохраняющиеся при переходе к эквивалентным семействам. Они были открыты недавно в работе Ильяшенко, Кудряшова и Щурова [IKS].

Построение бифуркационных диаграмм для семейств, возмущающих полициклы сколь угодно большой коразмерности, не представляется возможным. Поэтому для таких полициклов ставится вопрос, встречается ли в них то или иное вырождение. Наибольший интерес представляют предельные циклы, то есть периодические траектории, изолированные от других периодических траекторий. Существуют оценки на количество предельных циклов, рождающихся при возмущении полицикла коразмерности n в типичном k-параметрическом семействе [IY] [K][KS].

Как видно из приведённого обзора, теория бифуркаций является активно развивающейся областью математики. В ней до сих пор много нерешённых проблем, а некоторые результаты последних лет меняют наше представление о поведении полициклов.

Бифуркационная диаграмма полицикла «сердце»

В первой главе диссертации исследуется бифуркация полицикла «сердце» (рис. 1). Этот полицикл имеет коразмерность два, а значит, его можно типичным образом разрушить внутри двупараметрического семейства.

Определение 4. Характеристическим числом гиперболического седла называется модуль отношения собственных чисел седла, где отрицательное стоит в числителе. Седло называется (не-)диссипативным, если его характеристическое число больше (меньше) единицы.

Определение 5. Рассмотрим выходящую сепаратрису одного седла и входящую сепарастрису другого седла и отметим в базе параметров множество точек, при которых эти сепаратрисы образуют сепаратрисную связку, пересекающую некоторую трансверсаль к полициклу хотя бы два раза. Будем говорить, что в семействе наблюдается серия мелькающих сепаратрисных связок, если росток в нуле этого множества распадается на счётное число компонент связности.

Существуют два качественно различных сценария бифуркации полицикла «сердце», зависящие от диссипативности сёдел. Ключевые результаты первой части представлены следующими двумя теоремами.

Теорема 1. Бифуркационная диаграмма типичного двупараметриче-ского семейства, возмущающего поле с полициклом «сердце», в случае диссипативного и недиссипативного сёдел представляет собой (при естественном выборе параметров) объединение С1-гладких кривых, стремящихся к началу координат,: двух координатных осей, соответствующих исходным связкам; двух кривых, соответствующих полям с пет-лей сепаратрисы; одной кривой, соответствующей полю с параболическим предельным циклом и двух счётных серий кривых, соответствующих мелькающим сепаратрисным связкам.

Бифуркационная диаграмма в этом случае представлена на рис. 2а.

Теорема 2. Бифуркационная диаграмма типичного двупараметриче-ского семейства, возмущающего поле с полициклом «сердце», в случае двух недиссипативных сёдел представляет собой (при естественном выборе параметров) объединение С1-гладких кривых, стремящихся к началу координат: двух координатных осей, соответствующих исходным

связкам; двух кривых, соответствующих полям с петлёй сепаратрисы и двух счётных серий кривых, соответствующих мелькающим сепара-трисным связкам.

Бифуркационная диаграмма в этом случае представлена на рис. 2Ь.

Рис. 2: Две возможные бифуркационные диаграммы. Кривая РС соответствует полям с параболическим предельным циклом, кривые БЬ\ и БЬ2 — полям с сепаратрисными петлями сёдел, остальное счётное число кривых соответствует полям с мелькающими сепаратрисными связками.

В работе доказано, что в любом из двух указанных выше случаев при разрушении полицикла «сердце» возникают две серии мелькающих сепаратрисных связок (одна серия соответствует одной паре сепаратрис, другой — другой). Таким образом, бифуркация полицикла «сердце» является простейшей полулокальной бифуркацией (то есть происходящей в сколь угодно малой окрестности полицикла), в которой встречаются мелькающие сепаратрисные связки.

Стоит отметить, что эта работа не единственная, в которой исследуется полицикл «сердце». В 2000 году В.Ш.Ройтенберг защитил кандидатскую диссертацию [И,], в которой тоже построил бифуркационную диаграмму полицикла «сердце». Оба исследования проведены независимо. На момент публикации статьи [Ви1] автору текущей диссертации не было известно о работах Ройтенберга, так как статьи Ройтенберга публиковались в малоизвестных журналах.

Помимо этого, в 2021 году Ю.Кузнецов и Дж.Хойман в работе [Ки] численно подвердили, что полученная бифуркационная диаграмма имеет указанный вид.

Числовые инварианты полулокальных бифуркаций

Вторая глава диссертации посвящена числовым инвариантам sing-классификации глокальных семейств векторных полей на сфере. Поясним все термины.

Определение 6. Глокальное семейство векторных полей на многообразии M — это росток отображения базы (Rk, 0) семейства в пространство Vectr (M).

Термин глокальный образован контаминацией двух терминов: глобальный и локальный. Глокальное семейство локально по параметру, но глобально на фазовом пространстве.

Определение 7. Два представителя глокальных семейств V = {va|a Е (Rk, 0)} и W = {w¡3|в Е (Rk, 0)'} топологически эквивалентны, если существует отображение

H : B х M ^ B' х M', (a, x) ^ (h(a), Ha(x)),

где h : B ^ B' — гомеоморфизм представителей баз, Ha — гомеоморфизм фазовых пространств, переводящий фазовый портрет поля va в фазовый портрет поля Wh(a) с сохранением ориентации фазовых кривых.

Если ничего больше не требуется, то эквивалентность называется слабой.

Если H является гомеоморфизмом, тогда эквивалентность называют сильной.

Если H (как и H-1) непрерывно по a, x на объединении особых точек, периодических орбит и сепаратрис векторного поля vo (соответственно, Wo) слоя {0} х M ({0} х M'), тогда H называется sing-эквивалентностью глокальных семейств V и W.

Основной результат второй части диссертации представлен следующей теоремой:

Теорема 3. Существует такое открытое множество в пространстве всех C3-гладких 5-параметрических семейств, что любое семейство V из этого множества содержит векторное поле v0 со следующими свойствами. Поле v0 имеет гиперболический полицикл 75 с четыремя вершинами и пятью рёбрами, полулокальная бифуркация которого имеет, числовые инварианты sing-эквивалентности (см. рис. 3).

Числовой инвариант в1^-классификации — это непрерывная функция от семейства, принимающая недискретное множество значений (в нашем случае, это некоторое открытое подмножество действительной прямой). Как следует из названия, значения этой функции не меняются при переходе к в1^-эквивалентному семейству.

Кратные предельные циклы

В третьей части диссертации исследуются кратные предельные циклы, рождающиеся при разрушении гиперболических полициклов.

Определение 8. Пусть к предельному циклу проведена гладкая трансверсаль Г. Отображение монодромии вдоль векторного поля с трансвер-сали Г на себя называется отображением Пуанкаре. Предельный цикл имеет кратность т, если его отображение Пуанкаре имеет неподвижную точку кратности т.

Пусть поле у0 € Уее£х(М) имеет некоторый полицикл 7. Рассмотрим к-параметрическое семейство V = (ад}, 8 € В = , 0), возмущающее поле у0.

Определение 9. Будем говорить, что при разрушении полицикла 7 поля у0 в семействе V рождается предельный цикл (кратности т), если существует такая стремящаяся к нулю (которому соответствует поле у0) последовательность значений параметров |8а}ае^, что для любого а поле у$а имеет предельный цикл ЬС(8а) (кратности т), причём последова-

тельность предельных циклов ЬС(8а) при 8а ^ 0 стремится в метрике Хаусдорфа к полициклу 7.

Пусть поле у0 содержит полицикл 7, образованный п сепаратрисными связками гиперболических сёдел З1,... , 3п (некоторые из сёдел могут совпадать). Обозначим характеристические числа сёдел 31,..., 3п через Л1,..., Лп соответственно.

Основной результат третьей части диссертации представлен следующими двумя теоремами.

Теорема 4. Для любого натурального п существует такой нетривиальный многочлен Сп(Л1,..., Лп), что для любого поля у0 с гиперболическим полициклом 7, характеристические числа Л1,..., Лп сёдел которого удовлетворяют неравенству

Сп(Л1,...,Лп) = 0, (1)

верно следующее: при возмущении поля у0 внутри С^-гладкого конечно-параметрического семейства кратность любого рождающегося из полицикла 7 предельного цикла не превосходит п.

В работе доказано, что из наличия кратного предельного цикла следует, что некоторая полиномиальная система однородных уравнений, коэффициенты которой зависят от характеристических чисел Л1,...,Лп, имеет нетривиальное решение. Искомый многочлен Сп выражается через результант этой полиномиальной системы.

В случае полицикла малой коразмерности многочлен Сп можно выписать явно. Для этого нам потребуется определить несколько многочленов.

Для любого натурального п обозначим через Лп следующий многочлен от характеристических чисел Л1,... , Лп:

Лп(Л1,...,Лп)= П (Л1 -1), 1=( 0.....0)

где I = (¿1,...,гп) — мультииндекс. Через Л1 мы обозначили произведение Л11 ... Лгп. Для любого ] = 1,... ,п компонента мультииндекса € {0,1} определяет, входит ли число Л^ в произведение Л1 или нет. Например, Л2(ЛЬ Л2) = (Л1 - 1)(Л2 - 1ХЛ1Л2 - 1).

Помимо этого, через М(Л1, Л2, Л3) обозначим следующий многочлен:

М(Л1, Л2, Лз) = 4(Л1Л2Лз - 1) - (Л1 - 1)(Л2 - 1)(Лз - 1).

Теорема 5. При п = 1, 2, 3, 4 в качестве многочлена Сп, фигурирующего в теореме 4, можно взять следующие многочлены:

1. £1(Л1) = А1(Л1);

2. ¿2(ЛЬЛ2) = Л2(Л1,Л2);

3. £э(Л1,Л2,Лэ) = Лз(Л1,Л2,Лз);

4. (Л1, Л2, Лз, Л4) = Л4(Л1, Л2, Лз, Л4)•

•М(Л1, Л2, Лз)М(Л1, Л2, Л4)М(Л1, Лз, Л4)М(Л2, Лз, Л4).

Теорема 5 доказывается прямым вычислением результанта упомянутой выше полиномиальной системы.

Пример 2. В случае полицикла «сердце» (рис. 1) с такими характеристическими числами сёдел Л и что Л2(Л, = (Л — 1)(^ — 1)(Л^ — 1) = 0, из теорем 4 и 5 следует, что при его возмущении в типичном двупара-метрическом семействе не рождается предельный цикл кратности 3 или более. Это согласуется с результатом главы 1.

1 Бифуркация полицикла «сердце»

В этом разделе мы изучим полицикл «сердце» (рис. 1). В частности, мы построим бифуркационную диаграмму типичного двупараметрического семейства, которое его возмущает. Доказательство теорем 1 и 2 занимает весь раздел.

В параграфе 1.1 вводятся основные понятия и обозначения, используемые далее. Основным объектом изучения является типичное двухпара-метрическое семейство векторных полей на сфере. Каждый из его параметров определяется как величина размыкания соответствующей связки. При нулевых значениях параметров поле имеет полицикл «сердце». В том же параграфе даётся определение отображения Пуанкаре, необходимого для нахождения предельных циклов.

Параграф 1.2 посвящён геометрии полей с полициклом «сердце» в пространстве всех векторных полей. Они образуют гладкое банахово многообразие коразмерности 2.

Предназначение параграфов 1.3, 1.4, 1.5 и 1.6 — описать бифуркационную диаграмму семейства. Будет показано, что на диаграмме имеется счётное число кривых, исходящих из начала координат базы параметров. Эти кривые соответствуют полям с сепаратрисными связками или полуустойчивым предельным циклам. В частности, доказывается наличие мелькающих сепаратрисных связок.

1.1 Полицикл «сердце» и его отображение Пуанкаре

Рассмотрим С3-гладкое 2-параметрическое семейство V векторных полей на сфере с параметрами е и 8. При каждом значении параметров поля семейства имеют два седла М(е, 8) и Ь(е, 8). Как именно определены параметры, описано ниже.

Пусть ^ и Л — характеристические числа сёдел М и Ь соответственно (см. определение 4), зависящие от параметров семейства. Наложим на векторное поле условие общности положения при нулевых значениях параметров:

=1. (2)

Также пусть при нулевых значениях параметров между сёдлами имеются две сепаратрисные связки, которые образуют полицикл «сердце»,

то есть двуугольник, вершинами которого являются сёдла М и Ь, а рёбрами — их сепаратрисы. Причём свободные сепаратрисы (не участвующие в его образовании) располагаются по разные стороны от полицикла. В дальнейшем под словом сепаратрисы будем понимать только сепаратрисы, участвующие в образовании полицикла, то есть те, что при нулевых значениях параметров образуют сепаратрисную связку (рис.1).

Проведём трансверсали к полициклу Г+, Г-, Г+, Г- следующим образом. Полагаем, что Г+, Г- располагаются в окрестности Им седла М, которая будет задана ниже, причём сепаратриса, входящая в седло М, пересекает Г+, а выходящая — Г-. Трансверсали Г+, Г- располагаются аналогично вблизи седла Ь.

Пусть на этих трансверсалях выбраны координаты с началом в точке пересечения сепаратрисы ближайшего седла с трансверсалью, причём ориентация трансверсалей Г+, Г- противоположна ориентации трансвер-салей Г+, Г- относительно полицикла (рис. 4).

Рис. 4: Возмущённый полицикл «сердце».

Полагаем, что на сфере §2 задана некоторая риманова метрика. Рассмотрим на близлежащих к сёдлам трансверсалях такие координаты, называемые естественными, в которых модуль разности координат двух точек есть длина отрезка кривой между этими точками. Считаем, что координата 0 соответствует точке пересечения трансверсали и сепаратрисы соответствующего седла, а располагающийся между этими трансверса-лями сектор седла примыкает к полутрансверсалям, состоящим из точек с положительными координатами. На этих полутрансверсалях определе-

ны отображения соответствия седла М:

Дм :Г+ ^ Г", Дм(х) = Дм(е,8,х)

и седла Ь:

Дл :Г+ ^ Г", Дл(х) = Дл(е,8,х).

Следующая лемма описывает асимптотику отображений соответствия сёдел. Будем обозначать через * любую положительную отделённую от нуля и бесконечности функцию: существуют такие константы 0 < с < С, что для любого х и любого значения параметров верно 0 <с< * <С .В частности, 1п * = 0(1).

Лемма 1 (1КБ, лемма 6). Пусть С3-гладкое семейство V = [у в} с базой параметров В = (Ек, 0) возмущает векторное поле зд € Vecí3(R2) с гиперболическим седлом Б. Тогда отображение соответствия Д^(в,х) седла 5(в) о характеристическим числом V(в) в естественных картах на полутрансверсалях обладает свойствами:

Дs (в, х) = х^(в)*, (3)

^ (в,х) = х^)"1* (4)

(в, х) = 0(х^(в) 1п х), г = 1,...к, (5)

при достаточно малом х.

Введём зависящее от параметров отображение Пуанкаре Д обхода всего полицикла:

Д : Г" ^ Г", Д(х) = Д(х,е, 8) = Дм о д о Да о /(х). (6)

Оно определено вблизи точки х = 0 при подходящих ненулевых значениях параметров и представляет собой композицию функций Да и Дм и двух регулярных отображений соответствия / : Г" ^ Г+ и д : Г" ^ Г+, С1-гладких в окрестности нуля.

Рассмотрим кольцо и С §2, которое при нулевых значениях параметров является окрестностью полицикла, и замыкание и которого не содержит предельных циклов и других особых точек. Пусть граница и состоит из дуг фазовых кривых поля при нулевых значениях параметров и трансверсалей, проведённых к сепаратрисам, не образующим полицикл.

При этом полагаем, что кольцо и достаточно узкое, чтобы отображение Пуанкаре было определено в каждой точке и П Г-. Наша задача — изучить поведение поля в этом кольце (рис. 5). Заметим, что сепаратрисы, не участвующие в образовании полицикла, покидают окрестность и (рис. 5).

Рис. 5: Окрестность U.

Наложим условие типичности на семейство:

df (0)

dpf de д5 I zwnl dg(0)

~Э5~

= 0,

e=0,5=0

где e и 5 — параметры семейства. Это неравенство инвариантно относительно замены параметров. После того, как в параграфе 1.2 будет доказано, что H является банаховым многообразием, из этого условия будет следовать, что семейство трансверсально пересекает H (напомним, что H — множество полей с полициклом «сердце»). Тогда без ограничения общности можно считать, что отображения f и д имеют вид:

f : Г- ^ Г+, f (x) = e - fe5 (x); (7)

д: Г- ^ Г+ g(x) = ge5(5 - (8)

где fe5(0) = ge5(0) = 0. Таким образом, нулевое значение параметров соответствует полю с неразомкнутыми сепаратрисными связками (рис. 4). Поскольку f и д являются диффеоморфизмами по x и гладко зависят от e и 5, то существуют такие положительные гладкие функции a(e, 5) и b(e, 5), что

fe5 (x) = a(e, 5)x(1 + o(1)),

ge5 (x) = b(e, 5)x(1 + o(1)) (9)

при х ^ 0, причём их производные удовлетворяют следующим соотношениям:

(х) = а + о(1); &(х) = Ь + о(1) ; (10)

У* (х) = % х(1 + о(1)); дГ (х) = Ц х(1 + о(1)); (11)

(х) = Ц х(1 + о(1)); (х) = § х(1 + о(1)); (12)

при х,е,$ ^ 0. Здесь через а,Ь, , , ||, Ц обозначены значения при е = $ = 0 функций а(е, $) и Ь(е, $) и их соответствующих частных производных.

Более того, в силу гладкой зависимости отображений f и д от параметров выполнены соотношения:

а(е,$) = а + 0(е) + 0($); Ь(е,$) = Ь + 0(е) + 0($);

АМ) = А + 0(е) + 0($); (13)

ММ) = ^ + 0(е) + 0($).

В зависимости от значений характеристических чисел сёдел можно выделить шесть случаев:

1. > , А < 1, А^ < 1

2. > , А < 1, А^ > 1

. < , А > 1, А^ > 1

4. < , А > 1, А^ < 1

5. > , А > 1

6. < , А < 1

Чем отличаются эти случаи: 1) диссипативность (см. определение 4) сёдел определяет поведение траекторий, проходящих вблизи седла, в частности, влияет на возникновение предельных циклов при разрушении петель сепаратрис; 2) Произведение А^ определяет поведение траекторий вблизи обоих сёдел, в частности, влияет на порядок возникновения петель сепаратрис сёдел.

Ниже рассматриваются лишь случаи 1 (случай диссипативного и недис-сипативного сёдел) и 6 (случай двух недиссипативных сёдел), поскольку остальные сводятся к этим двум. Действительно, если заменить время на противоположное, то случай 1 перейдёт в случай 3, а случай 6 в случай 5. Случаи 1 и 4 получаются друг из друга переименованием Л в ^ и наоборот. Случаи 2 и 3 получаются друг из друга аналогичным образом. Случаю 1 будет соответствовать бифуркационная диаграмма на рис. (2а), а случаю 6 — на рис. (2Ь).

1.2 Поля с полициклом «сердце» как банахово подмногообразие

Пространство Сг-гладких, г = 0,... , то, векторных полей УееЬг(М) на Сг+1-гладком многообразии N является полным локально-выпуклым пространством. Если г конечно или фазовое пространство N компактно, то пространство УеаЬг (М) является пространством Фреше. Если же выполнены оба условия (как в нашем случае, когда г = 3, N = §2), то — банаховым пространством. Подробнее см. [Н] и [Бш].

Рассмотрим Сг-гладкое поле V € Уес^ (§2), имеющее сепаратрисную связку 7 двух сёдел. Обозначим через БС С Уес^(§2) множество векторных полей с сепаратрисной связкой. Обозначим через БС^ множество векторных полей т € БС, сепаратриса ^ которых близка к 7.

Теорема 6 (Бо1ошауог). [Бв] В пространстве Уес^(§2) БС.7 является Сг-1-гладким банаховым подмногообразием коразмерности 1, то есть для любой точки т € БС.7 существует такая окрестность Ш С Уес^(§2) и такая Сг-1-гладкая функция Е : Ш ^ Е, что

• Е-1(0) = БС1 П Ш,

• ВЕ (р) является сюръекцией для любой точки т € Б С.

Полицикл «сердце» получается в результате образования двух сепа-ратрисных связок. Обозначим через Н пересечение двух поверхностей БС11 и БС12, соответствующих полям с одной из сепаратрисных связок (рис. 6).

Предложение 1. Н — банахово подмногообразие класса гладкости Сг-1 и коразмерности 2.

Доказательство. По теореме Сотомайора для любого поля т € Н существуют окрестность Ш и такие Сг-1 -гладкие функции Е1, Е2 : Ш ^ Е, что Е-1 (0) = БС1г П Ш и Е-1 (0) = БС72 П Ш. Имеем, Н П Ш = БС71 П БС12 П Ш = Е1-1(0) П Е2-1(0). Следовательно, Н — есть множество нулей функции Е = (Е1,Е2) : Ш ^ Е2. В доказательстве своей теоремы Сотомайор в качестве Е1 и Е2 брал функции, сопоставляющие каждому полю величину размыкания сепаратрисных связок на некой трансверса-ли. В описаном в предыдущих параграфах семействе У с полициклом «сердце» в качестве Е1 и Е2 подойдут функции f и д.

Рис. 6: Множество полей с полициклом «сердце» есть пересечение двух банаховых подмногообразий.

Докажем, что ¿Е — сюръекция. Нам потребуется следующая лемма.

Лемма 2. Пусть Сг-гладкое, г > 2, векторное поле т содержит седло-вую связку 7. Тогда для любой точки х0 € 7 существует сколь угодно малая окрестность Ох0 и С^ -гладкое векторное поле Л с носителем в окрестности Ох0, что ¿Е(Л) = 0, где отображение Е задаёт банахово подмногообразие, соответствующее связке 7.

Доказательство. При необходимости уменьшая окрестность Ох0, выпрямим поле Vo в этой окрестности. Рассмотрим бесконечно гладкое поле Л = (0, р(х,у)), где р(х,у) > 0, которое тождественно равно нулю на всей сфере кроме Ох0. В этой окрестности поле перпендикулярно полю т. Рассмотрим однопараметрическое семейство векторных полей т + £Л, где £ € (Е, 0) (рис. 8). В выпрямляющей карте это семейство задаётся в

виде:

y

:i4)

Рис. 7: Поле w + Ch, задаваемое системой (14) в выпрямляющей карте

пРи С = 0

Фазовые кривые yg (x) этой системы зависят от параметра С (рис. 7). При С = 0 все фазовые кривые системы (14) задаются равенством y0(x) = const. Следовательно,

F(w + Ch) = yg(x) - Уо(x) = С / P(x,yg)dx - Уо(х).

:i5)

Таким образом, d

(w+ch)

d

p(x,yg)dx + С J dcP(x,yg)dx

По теореме о непрерывной зависимости решения от параметра второе слагаемое после знака равенства стремится к нулю при £ ^ 0. Поскольку р неотрицательно и не равно тождественно нулю на всей окрестности Ож0, то получаем, что ^^(Л) = 0. Это неравенство сохраняется при переходе в исходную, не выпрямленную карту. □

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Дуков Андрей Валерьевич, 2023 год

Список литературы

[AAIS]

[ALGM]

[AP] [DI]

[DRR]

[Du1]

[Du2]

[Eis]

Arnold, V. I.; Afrajmovich, V. S.; Ilyashenko, Yu. S.; Shilnikov, L. P. Bifurcation theory and catastrophe theory. Translated from the 1986 Russian original by N. D. Kazarinoff, Reprint of the 1994 English edition from the series Encyclopaedia of Mathematical Sciences [Dynamical systems. V, Encyclopaedia Math. Sci., 5, Springer, Berlin, 1994; Springer-Verlag, Berlin, 1999. viii+271 pp.

А.А.Андронов, Е.А.Леонтович, И.И.Гордон, А.Г.Майер, Теория бифуркаций динамических систем на плоскости, Издательство «Наука», 1967

Андронов А.А., Понтрягин Л.С. Грубые системы // ДАН СССР. - 1937. - Т.14, №5. - С.247-250.

A.Dukov, Yu.Ilyashenko, Numeric invariants in semilocal bifurcations. J. Fixed Point Theory Appl. 23, 3 (2021). https://doi.org/10.1007/s11784-020-00837-x.

F.Dumortier, R.Roussarie, C.Rousseau, Elementary graphics of cyclicity 1 and 2, Nonlinearity 7, 1994, P.1001-1043.

А.В.Дуков, Бифуркации полицикла «сердце» в типичных двупараметрических семействах, Тр. ММО, 79, № 2, МЦНМО, М., 2018, 247-269; Trans. Moscow Math. Soc., 2018, 209-229.

А.В.Дуков, Кратности предельных циклов, рождающихся при разрушении гиперболических полициклов, принята в печать в журнал «Математический сборник», публикация планируется в 2023 году.

Eisenbud, David; Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Sringer-Verlag,

New York, 1995, ISBN-13:978-3-540-78122-6, DOI: 10.1007/978-1-4612-5350-1.

[GI] N. B. Goncharuk and Yu. S. Ilyashenko. Large

bifurcation supports. Apr. 2018. arXiv: 1804.04596.

[GIS] N. Goncharuk, Yu. Ilyashenko, N. Solodovnikov,

"Global bifurcations in generic one-parameter families with a parabolic cycle on S2", Mosc. Math. J., 19:4 (2019), 709-737

[GK] N. Goncharuk, Yu. Kudruashov, Bifurcations of the

polycycle "tears of the heart": multiple numerical invariants, to appear in Moscow Math. J. arXiv: 1808.07459 [math.DS].

[Gr] Т. М. Грозовский, Бифуркации полициклов «яб-

локо» и «половина яблока» в типичных двухпара-метрических семействах, Дифференц. уравнения, 32:4 (1996), 458-469.

[H] М.Хирш, Дифференциальная топология / Пер. с

англ. Д.Б. Фукса. - Москва : Мир, 1979. - 280 с.

[IKS] Yu. Ilyashenko, Yu. Kudryashov and I. Schurov,

Global bifurcations in the two-sphere: a new perspective, Invent. math., 2018, Volume 213, Issue 2, pp 461-506

[IS] Yu. Ilyashenko, N. Solodovnikov, Global bifurcations

in generic one-parameter families with a separatrix loop on S2 , Moscow Math. J., 2018, pp. 93-115

[IY] Ilyashenko Yu., Yakovenko S., Finite cyclicity of

elementary polycycles in generic families, Concerning the Hilbert 16th Problem, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, vol. 165, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995, 21-65.

[K] V.Kaloshin, The Existential Hilbert 16-th problem

and an estimate for cyclicity of elementary

polycycles, Invent. math. 151, 451-512 (2003), DOI: 10.1007/s00222-002-0244-9

[Ko] Kotova A . , Stanzo V. On few-parameter generic

families of vector fields on the two-dimensional sphere //Adv. Math. Sei. 1995. V. 23. P. 155-201. (AMS Transi. Ser. 2; V. 165).

[KS] П. И. Каледа, И. В. Щуров, Цикличность эле-

ментарных полициклов с фик-сированным числом особых точек в типичных k-параметрических семействах, Алгебра и анализ, 2010, том 22, выпуск 4, 57-75

[Ku] Yu.Kuznetsov, J.Hooyman, Bifurcations of

Heteroclinic Contours in Two-Parameter Planar Systems: Overview and Explicit Examples, International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol. 31, No. 12, 2021

[MP] Malta I. P., Palis J., Families of vector fields with

finite modulus of stability // Lect. Notes Math., 1981, Vol. 898, pp. 212-229. MR 654891 | Zbl 0482.58023

[Pr] В.В. Прасолов, Многочлены, МЦНМО, 2001. -

ISBN 5-900916-73-1.

[R] В.Ш.Ройтенберг, Нелокальные двухпараметриче-

ские бифуркации на поверхностях, Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук, Ярославский государственный технический университет, Ярославль, 2000г.

[Re] Reyn, J. W. [1980] "Generation of limit cycles from

separatrix polygons in the phase plane," Geometrical Approaches to Differential Equations, ed. Martini, R. (Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg), pp. 264-289.

[Sm] О.Г.Смолянов, Анализ на топологических линей-

ных пространствах и его приложения, Москва, Издательство Московского Университета, 1979, 86 с.

[So] J. Sotomayor, Generic one-parametre families of

vector fields on two-dimensional manifolds // Publications Mathematiques de l'IHES, Volume 43 (1974) , p. 5-46, Zbl 0279.58008 | MR 49 4039.

[St] V. Starichkova, Global Bifurcations in Generic One-

parameter Families on S2, Regul. Chaotic Dyn., 23:6 (2018), 767-784

[Trif] С.И.Трифонов, Цикличность элементарных поли-

циклов типичных гладких векторных полей, Тр. МИАН, 1997, том 213, 152-212.