Решение трехмерных задач магнитостатики при проектировании магнитных систем ускорителей заряженных частиц тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Игнатьев, Александр Николаевич

• Игнатьев, Александр Николаевич
• кандидат технических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат технических наук Игнатьев, Александр Николаевич

Содержание.

Введение.

Глава 1. Решение трехмерных нелинейных задач магнитостатики с использованием двух скалярных потенциалов.

1.1. Основная схема решения трехмерных задач магнитостатики с использованием двух скалярных потеницалов.

1.1.1. Математическая модель.

1.1.2. Вариационная постановка.

1.1.3. Вычисление скачка потенциалов.

1.1.4. Вычисление значений полного и неполного потенциалов.

1.2. Модификация метода скалярных потенциалов, основанная на выделении главной части поля.

1.2.1. Основной принцип математических моделей с выделением главной части поля.

1.2.2. Математическая модель для метода скалярных потенциалов.

1.2.3. Вариационная постановка и конечноэлементная дискретизация.

1.3. Решение задач магнитостатики в анизотропных средах.

1.3.1. Пересчет коэффициента магнитной проницаемости для шихтованных материалов.

1.3.2. Модификация метода скалярных потенциалов для моделирования полей в анизотропных средах.

Глава 2. Решение нелинейных систем уравнений, получаемых при моделировании трехмерных магнитостатических полей.

2.1. Основные итерационные методы решения нелинейных систем уравнений.

2.1.1. Метод простой итерации.

2.1.2. Метод Ньютона.

2.1.3. Линеаризация конечноэлементных нелинейных систем уравнений для метода Ньютона.

2.2. Учет нелинейности в коэффициенте магнитной проницаемости при решении задачи с использованием двух скалярных потенциалов.

2.3. Учет нелинейности в коэффициенте магнитной проницаемости при решении задачи с выделением главной части поля.

2.4. Учет нелинейности в коэффициенте магнитной проницаемости при решении задачи в шихтованных средах.

2.4.1. Линеаризация конечноэлементной системы уравнений для решения задачи без выделения главной части поля.

2.4.2. Линеаризация конечноэлементной системы для решения задачи с выделением главной части поля.

2.5. Вычисление значений магнитной проницаемости и ее производных по заданной таблице значений.

Глава 3. Примеры решения задач.

3.1. Моделирование поля в вигглере.

3.1.1. Описание расчетной области.

3.1.2. Математическая модель для решения двумерной задачи магнитостатики в декартовых координатах.

3.1.3. Результаты решения двумерной задачи.

3.1.4. Результаты решения трехмерной задачи.

3.2. Моделирование поля в магнитной системе циклотрона.

3.2.1. Описание конструкции.

3.2.2. Математическая модель для решения двумерной осесимметричной задачи магнитостатики.

3.2.3. Результаты решения двумерной задачи.

3.2.4. Результаты решения трехмерной задачи.

3.3. Моделирование поля в магните с шихтованным железом.

3.3.1. Описание конструкции.

3.3.2. Результаты решения задачи.

3.4. Моделирование поля в С-образном диполе.

3.4.1. Описание конструкции.

3.4.2. Результаты решения задачи.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение трехмерных задач магнитостатики при проектировании магнитных систем ускорителей заряженных частиц»

Основным инструментом современной экспериментальной физики атомного ядра и элементарных частиц более полувека служат ускорители заряженных частиц. Существующие ускорительные установки постоянно модернизируются, сооружаются новые ускорители. В циклическом ускорителе магнитная система является основным узлом, обеспечивающим устойчивость движения пучка.

В связи с тем, что ускорители являются достаточно дорогими установками, одним из основных методов, используемых при проектировании и создании магнитных систем, является математическое моделирование. Расчет магнитных систем ускорителей — достаточно сложная задача математической физики, требующая математических исследований при разработке численных методов, эффективных программных реализаций, а также больших ресурсов вычислительных машин. Математическое моделирование дает возможность резко уменьшить время анализа поля в магните выбранной конфигурации, повысить точность, сократить стоимость и такого анализа, и самого магнита, так как непосредственное измерение самого магнитного поля является трудоемкой и дорогостоящей проблемой. Наряду с этим, математическое моделирование позволяет исследовать и те части конструкции магнита, измерения в которых крайне затруднительны или даже невозможны (например, распределение индукции в магнитопроводе традиционных магнитов), но распределение поля в этих частях сказывается существенным образом на характеристиках и работе магнита [36].

В конечном счете, только математическое моделирование магнитной системы позволяет сделать выбор оптимальной конструкции магнита в каждом конкретном случае. Основной (и очень важной) характеристикой решения, получаемого в результате моделирования, является его точность. Как правило, получение решения с высокой точностью требует очень больших вычислительных ресурсов. Так, например, при конечноэлементном моделировании самым простым и наиболее часто используемым способом повышения точности является дробление сетки, на которой решается задача. Однако, при решении задач, где точность расчета трехмерного магнитного должна достигать сотых долей процента (в частности, в задачах проектирования установок с электронным охлаждением), такой способ неэффективен. Это связано с тем, что использование чрезмерно подробной сетки приводит к существенному увеличению необходимой памяти и, что еще более важно, времени, требуемых для решения задачи и последующей выдачи результатов [34, 51, 69, 80, 86].

Таким образом, несмотря на то, что к настоящему времени разработан достаточно большой объем программно-математического обеспечения, реализованного в таких широко распространенных программных комплексах, как А№У8, РШХЗБ, ОРЕЫАЗО, ИАВТКАИ и т.д. [35, 38, 39, 40, 57, 71, 76, 94], остается множество важных практических задач, для которых получение результатов требуемой точности весьма затруднительно.

Важно отметить, что подавляющее большинство современных магнитных систем выполнено из шихтованных материалов, обладающих анизотропными свойствами. Производство таких систем значительно дешевле, чем производство систем из цельных ферромагнитных деталей. Еще одним достоинством систем из шихтованных материалов является отсутствие вихревых токов при включении магнитов. К тому же, благодаря возможности соединения блоков из шихтованных материалов в единые фрагменть1 непосредственно при сборке конструкции магнита, для этих систем существенно упрощается их транспортировка. Таким образом, моделирование магнитных систем из шихтованных материалов является актуальной задачей, которая, тем не менее, на сегодняшний день не достаточно глубоко исследована, а потому большинство распространенных программных комплексов не позволяют получать результаты необходимого качества при расчетах магнитных полей в таких конструкциях.

В данной работе предложены вычислительные схемы моделирования магнитных полей в сложных магнитных системах, позволяющие получать более точное решение без значительного увеличения затрачиваемых ресурсов компьютера. Эти схемы позволяют проводить высокоточное моделирование магнитных полей в системах со сложной геометрией, в том числе и в системах, выполненных из анизотропных материалов, на персональных компьютерах. В этом и заключается актуальность данной работы.

При отсутствии поверхностных токов и токов, протекающих по ферромагнетику, задача нахождения распределения магнитного поля, созданного стационарными токами в проводниках, сводится к нахождению вектор-функций напрженности магнитного поля и магнитной индукции из системы уравнений Максвелла для стационарного магнитного поля [79, 87, 90]. При нелинейной зависимости магнитной проницаемости от напряженности магнитного поля и сложной геометрии областей решение этой системы возможно только численными методами, базирующимися на различных постановках, включающих интегральные, дифференциальные и комбинированные. Для решения трёхмерных задач магнитостатики наиболее распространенными являются постановки относительно скалярного и векторного потенциалов.

Векторная постановка приводит, как правило, к гораздо более трудоёмким вычислительным схемам, так как в этом случае при решении задачи либо нужно искать три неизвестные функции, удовлетворяющие системе из трёх скалярных уравнений, либо решать задачу как векторную с использованием специальной технологии представления вектор-потенциала. И в том, и в другом случае вычислительные затраты гораздо (на порядок и более) выше, чем при решении одного скалярного уравнения для достижения той же точности вычисления характеристик магнитного поля. Дополнительной (и довольно существенной) трудностью является неоднозначность определения вектор-потенциала. Однако, векторный потенциал широко используется при расчете магнитных полей в двумерной постановке [2, 55, 91, 92]. Если ось Ог декартовой прямоугольной или цилиндрической системы координат совместить с осью симметрии магнитной системы, то вектор плотности тока и векторный потенциал будут иметь только одну ненулевую компоненту. Подробно эти постановки рассмотрены в разделах 3.1.2 и 3.2.2 соответственно.

Гораздо более эффективным для решения трёхмерных задач магнитостатики является использование скалярного магнитного потенциала. В этой постановке вектор напряженности магнитного поля определяется как разность напряженности магнитного поля, создаваемого токами в вакууме, (определить ее можно, например, по закону Био-Савара) и градиента скалярной функции, называемой неполным потенциалом. Такая постановка позволяет получать приемлемые результаты при вычислении магнитного поля вне ферромагнитных материалов, однако внутри этих материалов значение поля вычисляется с очень низкой точностью. Это связано с тем, что в материалах с большой относительной магнитной проницаемостью напряженность магнитного поля может быть много меньше соответствующих значений поля, создаваемого теми же токами в вакууме. Таким образом, напряженность магнитного поля в ферромагнетиках получается как разность двух близких по значению величин, и даже если погрешность расчета этих величин составляет десятые доли процента, то в результате их вычитания она может стать неприемлемой.

В результате, использование только одного (неполного) скалярного потенциала при решении нелинейных задач магнитостатики неэффективно, так как требует очень высокой точности вычисления самого потенциала и его градиента для того, чтобы обеспечить необходимую точность вычисления коэффициента магнитной проницаемости. Эти трудности могут быть преодолены введением так называемого полного потенциала с тем, чтобы в ферромагнетиках напряженность магнитного поля представлялась непосредственно как градиент этой функции [28, 84].

В данной работе подробно рассматривается метод решения трехмерных нелинейных задач магнитостатики с использованием двух скалярных потенциалов в дифференциальной постановке, являющийся одним из наиболее эффективных методов численного решения трехмерных нелинейных задач магнитостатики. В то же время, относительно полного скалярного потенциала возможно получить интегральную постановку [1, 30, 31], а в тех случаях, когда коэффициент магнитной проницаемости не зависит от поля, применима также и граничная постановка [16, 27, 31, 50].

Отметим, что этот метод возможно сочетать с другими методами моделирования магнитных полей (например, с методом граничных элементов [19, 45,46, 62]), используя конечные элементы со скалярным потенциалом лишь в части области, содержащей нелинейные ферромагнитные материалы, что позволяет избежать построения сетки в вакууме и тем самым значительно сократить размерность получаемой системы уравнений. При этом все предложенные в работе схемы для метода скалярных потенциалов остаются корректными.

Еще один метод расчета трехмерных магнитостатических полей, основанный на методе граничных интегралов, используется в программе RADIA [6, 9, 13]. Этот метод заключается в том, что область, содержащая ферромагнитные материалы, разбивается на некоторое количество подобластей, внутри каждой из которых намагниченность и коэффициент магнитной проницаемости считаются постоянными. Для каждой такой подобласти на основе закона Био-Савара вычисляется «матрица взаимодействия» со всеми полученными подобластями, умножение которой на вектор намагниченности рассматриваемой подобласти считается равным напряженности поля, создаваемого этой подобластью внутри другой подобласти. Приравнивая напряженность магнитного поля в каждой подобласти к сумме напряженностей, создаваемых всеми подобластями, и напряженности внешнего поля, создаваемого токами, и учитывая связь напряженности и намагниченности поля для каждой подобласти, мы получаем систему, из которой находим значение поля в каждой подобласти. После этого значение поля в любой точке пространства может быть вычислено на основе закона Био-Савара, если рассматривать каждую подобласть в качестве источника поля.

Несомненным достоинством этого метода является простота реализации, однако, у него есть существенные недостатки. В частности, точность расчета поля внутри ферромагнитных материалов крайне мала, а сам метод очень чувствителен к тому, каким образом происходит разбиение ферромагнитных областей. К тому же при решении нелинейных задач часто возникают проблемы со сходимостью предлагаемой авторами этого метода релаксационной схемы решения получаемой нелинейной системы уравнений.

Цель исследования состоит в разработке эффективных вычислительных схем для решения трехмерных нелинейных задач магнитостатики, учитывающих шихтованность материалов, и их программной реализации.

Научная новизна.

1. Разработаны и реализованы вычислительные схемы решения трехмерных нелинейных задач магнитостатики с учетом анизотропных свойств материалов, в том числе и схема с выделением главной части поля.

2. Предложена методика учета шихтованных материалов при решении трехмерных нелинейных задач магнитостатики.

3. Проведены исследования эффективности предложенных вычислительных схем при моделировании магнитных систем ускорителей заряженных частиц.

4. Проведены исследования влияния шихтовки на характеристики С-образного дипольного магнита при постоянном токе.

Личный вклад автора работы заключается в разработке вычислительных схем моделирования трехмерных нелинейных магнитостатических полей с выделением нормального поля и с учетом анизотропии в коэффициенте магнитной проницаемости среды, программной реализации [3, 10, 18, 42, 58,60,77, 85,100] всех описываемых методов в программном комплексе МАБТАС и проведении исследований относительно эффективности предложенных методов.

На защиту выносятся:

• Вычислительная схема решения трехмерных нелинейных задач магнитостатики с выделением главной части поля, основанная на использовании двух скалярных потенциалов, позволяющая учитывать анизотропные свойства среды;

• Методика учета шихтованных материалов при решении трехмерных нелинейных задач магнитостатики, позволяющая с достаточной точностью моделировать шихтовку материала в произвольном направлении;

• Алгоритмы решения систем нелинейных уравнений, получаемых в результате применения разработанных вычислительных схем, на основе метода Ньютона.

• Результаты исследования влияния шихтовки на характеристики С-образного дипольного магнита.

Практическая ценность работы и реализация результатов

Разработанные автором вычислительные схемы реализованы в программном комплексе МАЭТАС и широко применяются для решения многих сложных практических задач. В диссертационной работе приводятся несколько примеров решения таких задач:

• высокоточное моделирование магнитной системы вигглера с использованием поэтапного выделения поля;

• высокоточное моделирование магнитной системы циклотрона с использованием поэтапного выделения поля;

• моделирование поля в магните из шихтованного железа;

• моделирование поля с С-образном диполе.

Результаты диссертационной работы использовались при выполнении научно-исследовательских хоздоговорных работ НГТУ:

• «Конечноэлементные исследования трёхмерных магнитных полей дипольных магнитов» (2006 г., НИУ ИЯФ СО РАН).

• «Конечноэлементные исследования магнитных полей дипольных магнитов HEBT и МЕВТ с учетом шихтованности и сложной геометрии» (2007 г., НИУ ИЯФ СО РАН);

Достоверность результатов подтверждается как решением модельных задач, так и сравнением результатов численного моделирования с экспериментальными данными.

Апробация работы

Основные результаты работы были представлены и докладывались на: восьмой и десятой международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» АПЭП-2006, 2010 (Новосибирск, 2006г. и 2010 г.); V Всероссийской межвузовской конференции молодых ученых (Санкт-Петербург, 2008 г.); а также на семинарах ИЯФ СО РАН (г. Новосибирск), ОИЯИ (г. Дубна).

Результаты исследований изложены автором в 9 печатных работах, из которых 2 опубликованы в изданиях, включенных в перечень ВАК ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, выпускаемых в Российской Федерации, 3 - в сборниках научных трудов, 4 — в сборниках трудов конференций.

Структура работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников (100 наименований) и приложения. Работа изложена на 120 страницах, включая 29 рисунков и 1 таблицу.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Игнатьев, Александр Николаевич

Основные результаты проведенной работы заключаются в следующем.

• Разработаны и реализованы в рамках программного комплекса МА8ТАС модификации метода скалярных потенциалов для решения трехмерных нелинейных задач магнитостатики на смешанных конечноэлементных сетках, учитывающие анизотропию в коэффициенте магнитной проницаемости среды. В том числе представлена технология выделения главной части поля при решении подобных задач, позволяющая в ряде случаев существенно повысить точность получаемого решения.

• Предложена методика учета шихтованности материала, магнитная проницаемость которого зависит от напряженности магнитного поля, при конечноэлементном моделировании магнитных систем. На нескольких примерах решения модельных и практических задач продемонстрирована ее эффективность.

• Проведены исследования эффективности применения технологии выделения поля при моделировании поля в циклотроне и в вигглере. Показано, что выделение главной части поля позволяет существенно повысить точность результатов моделирования без значительного увеличения вычислительных затрат.

• Проведено исследование влияния шихтовки ферромагнитной части Сообразного диполя на постоянство поля внутри него, в результате которого показано, что изготовление проектируемого магнита из шихтованного или цельного железа не меняет его характеристик на постоянном токе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Игнатьев, Александр Николаевич, 2010 год

1. Armstrong A. G. А. М. The Solution of 3D Magnetostatic Problems using Scalar Potentials / A. G. A. M. Armstrong, C. J. Collie, J. Simkin, C. W. Trowbridge // Proc. COMPUMAG Conf. on the Computation of Magnetic Fields. Grenoble 1978.

2. Assous F. Theoretical tools to solve the axisymmetric Maxwell equations / F. Assous, P. Ciarlet (Jr), S. Labruine // Math. Meth. Appl. Sci.—2002.—Vol. 25.—P.49-78.

3. Bangerth W. Using Modern Features of С++ for Adaptive Finite Element Methods: Dimension-Independent Programming in Deal II / W. Bangerth // Proceedings of the 16th IMACS World Congress 2000, Lausanne, Switzerland, 2000.

4. Bathe K.-J. Finite Element Procedures. / K.-J. Bathe Prentice Hall, New Jersey, 1996.- 1050 p.

5. Bottauscioa O. A mathematical approach to loss estimation in non-homogeneous magnetic materials / O. Bottauscioa, V. Chiado'Piatb, M. Chiampic, M. Codegoned, A. Manzin // Journal of Magnetism and Magnetic Materials 290291 (2005) P.1450-1453.

6. Chubar О. A 3D Magnetostatics Computer Code for Insertion devices / O. Chubar, P. Elleaume, J. Chavanne // SRI97 Conference, August 1997, J. Synchrotron Rad. (1998). 5 P.481-484.

7. Donescu P. A generalized object-oriented approach to solving ordinary and partial differential equations using finite elements. / P. Donescu, T. A. Larsen // Finite Elements in Analysis and Design, Vol. 22 (1996) P.93-107.

8. ELCUT. Комплекс программ моделирования двумерных физических полей с помощью метода конечных элементов. НПКК «ТОР», Санкт-Петербург, 1994.

9. Elleaume P. Computing 3D Magnetic Field from Insertion Devices / P. Elleaume, O. Chubar, J. Chavanne // Proc. of the PAC97 Conference, May1997 P.3509-3511.

10. Eyheramendy D. An object-oriented hybrid symbolic/numerical approach for the development of finite element codes / D. Eyheramendy // Finite Elements in Analysis and Design, Vol.36 (2000) P.315-334.

11. Flaherty J. E. Finite Element Analysis. / J. E. Flaherty // Lecture Notes, 2000.

12. Grudiev A. Mathematical Simulation of 3-D Magnetostatic Fields Using the Complex of Programs MASTAC. / A. Grudiev,M. Rojak, E. Shurina, Yu. Soloveichik, M. Tiunov, P. Vobly // Abstracts of AMCA 95. - Novosibirsk: NCC Publisher, 1995. - P. 131-132.

13. Kettunen L. Volume integral equations in nonlinear 3-d magnetostatics. / L. Kettunen, K. Forsman, D. Levine, W. Gropp // Internat. Journal of Numerical Methods in Engineering, 1995. Vol.38 - P.2655.

14. Langer U. Coupled Finite and Boundary Element Domain Decomposition Methods. / U. Langer, O. Steinbach // Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics, n.29, 2006. P.61-96.

15. LeanM. H. Nonlinear Boundary Element Method for Two-dimensional Magnetostatics. / M. H. Lean, D.S. Bloomsbers // J. Appl. Phys., Vol. 55. No. 6. 1984.

16. Lindholm D.A. Notes on Boundary Equations for Three-Dimensional Magnetostatics. / D. A. Lindholm // IEEE Transactions on Magnetics, Vol. MAG-16, No.6, November 1980. P.1409-1413.

17. Lobry J. A new BEM technique for nonlinear 2D magnetostatics. / J. Lobry // Engineering Analysis with Boundary Elements, Vol. 26, Issue 9, October 2002. P.795-801.

18. McKenna F.T. Object-Oriented Finite Element Programming: Frameworks for Analysis, Algorithms and Parallel Computing / F. T. McKenna // Ph.D. dissertation, University of California, Berkeley, 1997.

19. Mefire S.M. Mixed finite element and boundary element approximation in 3D magnetostatics for computation of the magnetic induction. / S. M. Mefire // Applied Mathematics and Computation, Volume 125, Issue 2-3, January 2002. -P.399-421.

20. Polak S. J. An account for the use of the FEM for magnetostatic problems / S. J. Polak, A. Watchers, A. de Beer // Proc. Compumag conf. on the Comp. of Mag. Fields / Ed. by C. W. Trowbridge. — Oxford: Ruth. Lab., Sci. Res. Counc., 1976. —P. 19-27.

21. Preis K. Numerical analysis of 3D magnetostatic fields / K. Preis, I. Bardi, O. Biro // IEEE Trans, on MAG. Vol. 27. (1991) - P.3798-3803.

22. Schatz A.H. Mathematical theory of finite and boundary elements methods, methods / A.H. Schatz, V. Thomee, W.L. Wendland // Basel, Boston, Berlin: Birkhaeuser, 1990.-P.276.

23. Simkin J. A Comparison of Integral and Differential Equation Solutions For Field Problems / J. Simkin // IEEE Trans, on Magnetics, Vol. MAG-18, N2, 1982. -P.401-405.

24. Simkin J. Three-dimensional Nonlinear Electromagnetic Field Computations,

25. Using Scalar Potentials / J. Simkin, C. W. Trowbridge // IEEE PROC., Vol.127, pt. B, No.6, 1980. P.368-374.

26. Trowbridge C.W. Integral Equations Revisited. / C. W. Trowbridge // ICS Newsletter, February, 1996

27. Trowbridge C.W. Three-Dimensional Field Computation / C. W. Trowbridge // IEEE Trans, on Magnetics, Vol. MAG-18, N1, 1982. P.293-297.

28. Yudin I. P. 3D-Field Calculations of Magnets by the Two Scalar Potential Method / I. P. Yudin, E. E. Perepelkin // Report N P-084 on ICAP-2004, S-Peterburg, 2004.

29. Zienkiewicz О.С. The Finite Element Method. Volume 1: The Basis. / О. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor Butterworth-Heinemann, 5th edition, 2000. -707 p.

30. Айрян Э.А. Численные алгоритмы расчета магнитных систем ускорителей заряженных частиц / Э.А. Айрян, Е.П. Жидков, А.В. Федоров и др. // Физика элементарных частиц и атомного ядра -1990 Т. 21, вып.1. — С.251-307.

31. Акишин П.Г. Численное моделирование магнитостатических полей на

32. ЭВМ. Дисс. . доктора ф.-м. наук / П.Г. Акишин Дубна, 1993.

33. Алямовский A.A. SolidWorks/COSMOSWorks. Инженерный анализ методом конечных элементов элементов / A.A. Алямовский — М.: ДМК Пресс, 2004. 432 с.

34. Андреева Е.Г. Конечно-элементный анализ стационарных магнитных полей с помощью программного пакета ANSYS: Учеб. Пособие. / Е.Г. Андреева, С.П. Шамец, Д.В. Колмогоров // Омск: Изд-во ОмГТУ, 2002. -92 с.

35. Андрианов С.Н. Компьютерное моделирование 3D-магнитного поля изохронного циклотрона в ПИЯФ. / С.Н. Андрианов, С.А. Артамонов,

36. A.Н.Дубровин, В.А. Елисеев // Вестник СПБГУ, сер.10, вып.З, 2008. -С. 12-23.

37. Бакулин В.Н. Объектно-ориентированная реализация метода конечных элементов / В.Н. Бакулин, В.О. Каледин, Вл.О. Каледин, Е.В. Кузнецова,

38. B.В. Репинский // Математическое моделирование, т. 15, №2, 2003. —1. C.77-82.

39. Бахвалов Н. С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков М.: Физматлит, 2002. - 630 с.

40. Бенерджи П. Методы граничных элементов в прикладных науках / П. Бенерджи, Р. Баттерфилд // Пер. с англ. М.: Мир, 1984. 494 с.

41. Бреббия К. Методы граничных элементов. Пер. с англ. / К. Бреббия, Ж. Теллес, Л. Вроубел // М.: Мир, 1987. 524 с.

42. Вержбицкий В.М. Основы численных методов / В.М. Вержбицкий -Москва: Высшая школа 2002. — 840 с.• 48. Волков Е.А. Численные методы. // М.: Наука, 1987. 248 с.

43. Жидков Е.П. Алгоритмы численного моделирование в методе двух скалярных потенциалов для описания трехмерного распределения поля магнита. / Е.П. Жидков, Е.Е. Перепелкин, И.П. Юдин // Вестник РУДН, серия Физика, 2001. №9, вып.1. - С.27-32.

44. Зенкевич О. Конечные элементы и аппроксимация. / О. Зенкевич, К. Морган; Пер. с англ., М.: Мир, 1986. 318 с.

45. Игнатьев А.Н. Решение задач магнитостатики с помощью скалярных потеницалов в конструкциях, содержащих шихтованные материалы / А.Н. Игнатьев // Сб. науч. тр. НГТУ Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2007 № 4(50). С.13-20

46. Игнатьев А.Н. Модификация метода скалярных потенциалов для решения задач магнитостатики с шихтованными материалами / А.Н. Игнатьев, М.Э. Рояк // Научный вестник НГТУ. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2010. -№2(39) — С.91-100.

47. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики. / В.П. Ильин М.: Наука, 1985. - 336 с.

48. Иродов И.Е. Основные законы электромагнетизма. / И.Е. Иродов // М.:

49. Высшая школа, 1983. — 288 с.

50. Каплун А.Б. ANSYS в руках инженера / А.Б. Каплун, Е.М. Морозов, М.А. Олферьева издательство "Эдиториал УРСС" , 2004 - 272 с.

51. Керниган Б. Язык программирования Си. / Б. Керниган, Д. Ритчи СПб: Невский диалект, 2003. — 352 с.

52. Коломенский A.A. Теория циклических ускорителей / A.A. Коломенский, А.Н. Лебедев М.:Физматгиз, 1962. - 352 с.

53. Константайн Л. Разработка программного обеспечения: Пер. с англ. / Л. Константайн, Л. Локвуд СПб: Питер, 2004. — 592 с.

54. Кремер И.А. Расчет осесимметричных магнитных полей методом конечных элементов / И.А. Кремер, М.В. Урев // Труды Международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004. Ч.Н. — Новосибирск, 2004.- С.524-529.

55. Кулон Ж.-Л. САПР в электротехнике: Пер. с франц. / Ж.-Л. Кулон, Ж.-К. Сабоннадьер М.: Мир, 1988.-208 с.

56. Курбатов П.А. Численный расчет электромагнитных полей. / П.А. Курбатов, С.А. Аринчин М.: Энергоатомиздат, 1984. - 168 с.

57. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. / Г.И. Марчук М.: Наука, 1989.-608 с.

58. Марчук Г.И. Введение в проекционно-сеточные методы. / Г.И. Марчук,

59. B.И. Агошков М.: Наука, 1981.-416 с.

60. Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм. / А.Н. Матвеев М.: Высшая школа, 1983.-463 с.

61. Норри Д. Введение в метод конечных элементов / Д. Норри, Ж. де Фриз — М.: Мир, 1981.-304 с.

62. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач: Пер. с англ. / Ж.-П. Обэн М.: Мир, 1977. - 383 с.

63. Огородникова О.М. Конструкционный анализ в среде ANSYS: Учебное пособие / О.М. Огородникова Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2004. - 68 с.

64. Розенцвейг Р. Феррогидродинамика: Пер. с англ. / Р. Розенцвейг М.: Мир, 1989.-356 с.

65. Рояк М.Э. Сеточные методы решения краевых задач математической физики. / М.Э. Рояк, Ю.Г. Соловейчик, Э.П. Шурина Новосибирск: НГТУ, 1998.- 120 с.

66. Рычков С.П. MSC.visual NASTRAN для Windows / С.П. Рычков -издательство "НТ Пресс" 2004 552 с.

67. Рычков В.Н. Объектно-ориентированная параллельная распределённая система для конечно-элементного анализа / В.Н. Рычков, И.В. Красноперов, С.П. Копысов // Математическое моделирование, т. 14, №9, 2002г.-С.81-86.

68. Сабоннадьер Ж.-К. Метод конечных элементов и САПР: Пер. с франц. / Ж.-К. Сабоннадьер, Ж.-Л. Кулон М.: Мир, 1989. - 190 с.

69. Самарский A.A. Численные методы. / A.A. Самарский, A.B. Гулин М.: Наука, 1989.-432 с.

70. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов: Пер. с англ. / Л. Сегерлинд -М.: Мир, 1979. 392с.

71. Сильвестер П. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков / П. Сильвестер, Р. Феррари — М.: Мир, 1986. — 229 с.

72. Соловейчик Ю.Г. Вычислительные схемы МКЭ-моделирования трехмерных электромагнитных и тепловых полей в сложных областях: Автореферат дис. . докт. техн. наук / Ю.Г. Соловейчик — Новосибирск, НГТУ, 1997.

73. Соловейчик Ю.Г. Метод конечных элементов для решения скалярных и векторных задач: Учеб. пособие / Ю.Г. Соловейчик, М.Э. Рояк, М.Г. Персова Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2007. - 869 с.

74. Страуструп Б. Язык программирования С++: Пер. с англ. / Б. Страуструп -СПб: Бином, 1999. 991 с.

75. Стренг Г. Теория конечных элементов / Г. Стренг, Дж. Фикс — М.: Мир, 1977.-350 с

76. Стреттон Дж.А. Теория электромагнетизма: Пер. с англ. / Дж.А. Стреттон -М.: Гостехиздат, 1948. 541 с.

77. Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики. Санкт-Петербург. — 2010. Электронный ресурс.

78. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач / Ф. Сьярле М.: Мир, 1980. - 512 с.

79. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, A.A. Самарский: Учеб. пособие. 6-е изд., испр. и доп. М.: Изд-во МГУ, 1999.-799 с.

80. Урванцев A.JI. Численное решение нелинейных магнитостатических задач методом конечных элементов: Автореф. дис. на соиск. учен, степени канд. физ.-мат. наук. Новосибирск, 1981 (ВЦ СО РАН СССР)

81. Урев М.В. Сходимость метода конечных элементов для осесимметричной задачи магнитостатики / М.В. Урев //Сиб.журн. вычисл. математики /РАН. Сиб. отд-ние—Новосибирск, 2006.—Т. 9, №1—С.63-79

82. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина: Пер. с англ. / К. Флетчер М.: Мир, 1988. - 353 с.

83. Шимкович Д.Г. Расчет конструкций в MSC/NASTRAN for Windows. / Д.Г. Шимкович М.:ДМК Пресс, 2001. - 448 с.

84. Шурина Э.П. Моделирование электромагнитных полей в трехмерных областях / Э.П. Шурина, Ю.Г. Соловейчик, М.Э. Рояк // Вычислительные технологии. — Новосибирск, Институт вычислительных технологий СО

85. РАН, 1993, Т.2, №6 С.48-53.

86. Шурина Э.П. Решение трехмерных нелинейных магнитостатических задач с использованием двух потенциалов / Э.П. Шурина, Ю.Г. Соловейчик, М.Э. Рояк. Новосибирск. 1996. - 28 с. (Препринт / РАН, Сиб. отд-ние. ВЦ; № 1070).

87. Эккель Б. Философия С++. Практическое программирование: Пер. с англ. / Б. Эккель, Ч. Эллисон СПб: Питер - 2004. - 608 с.