Развитие численных методов расчета электромагнитных полей, основанных на применении пространственных интегральных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.09.05, кандидат наук Калимов, Александр Гелиевич

• Калимов, Александр Гелиевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Калимов, Александр Гелиевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. Интегро-дифференциальное уравнение магнитостатики и его применение для расчета 3-хмерных магнитных полей

1.1. Интегро-дифференциальное уравнение относительно скалярного магнитного потенциала

1.2. Численное решение интегро-дифференциального уравнения магнитостатики

1.2.1. Общая схема численного решения интегро-дифференциального уравнения

1.2.2. Дискретизация расчетной области и выбор аппроксимирующих функций

1.2.3. Формирование системы алгебраических уравнений для модели первого порядка

1.2.4. Формирование системы алгебраических уравнений для модели второго порядка

1.3. Расчет скалярного магнитного потенциала сторонних источников

1.3.1. Общий случай

1.3.2. Моделирование потенциалов сторонних источников при некорректном моделировании индуцируемого ими магнитного поля

1.4. Решение системы алгебраических уравнений, аппроксимирующей интегро-дифференциальное уравнение магнитостатики

1.5. Разработка программы расчета магнитного поля на основе решения интегро-дифференциального уравнения магнитостатики

1.6. Исследование точности расчета характеристик магнитного поля

1.7. Расчет магнитного поля С-образного магнита

ВЫВОДЫ

2. Расчет стационарного магнитного поля, создаваемого тонкими магнитными оболочками

2.1. Введение

2.2 Формулировка расчетного метода

2.3. Аппроксимация интегро-дифференциального уравнения применительно к тонким ферромагнитным оболочкам

2.4. Расчет характеристик магнитного поля на основе решения интегро-дифференциального уравнения

2.5. Анализ численных результатов

2.6. Применение метода Бубнова - Галеркина для повышения точности решения интегро-дифференциального уравнения магнитостатики

ВЫВОДЫ

3. Моделирование электромагнитных полей и магнитогидродинамических процессов в промышленных установках по производству алюминия

3.1. Введение

3.2. Основные электрофизические процессы в электролизере и их влияние на затраты энергии при производстве алюминия

3.2.1. Энергетические затраты на производство алюминия

3.2.2. Основные источники магнитного поля в слоях жидкого металла и электролита алюминиевого электролизера

3.2.3. Магнитогидродинамические явления в активной зоне алюминиевого электролизера

3.3. Обзор существующих систем моделирования электрофизических процессов в электролизерах

3.3.1.Основные требования к математическому моделированию

электрофизических процессов в электролизерах

3.3.2. Комплекс программ Латвийского Государственного Университета

3.3.3 Комплекс программ фирмы УА\Л/-АТС (Германия)

3.3.4 Комплекс программ моделирования электрофизических процессов в алюминиевых электролизерах компании Сет^т

3.4. Особенности моделирования первичных источников магнитного поля в электролизерах

3.4.1 Основные принципы построения математической модели

3.4.2 Схема замещения анодного узла

3.4.3 Схема замещения катодного узла

3.4.4 Схемы замещения электролизера и расчет токов в элементах конструкции электролизера

3.4.5. Расчет температурного состояния элементов ошиновки

3.4.6. Расчет распределения плотности тока в слое жидкого алюминия

3.5. Применение интегро-дифференциального метода для расчета

характеристик магнитного поля в активной зоне алюминиевого электролизера

3.5.1. Выбор математической модели для определения характеристик магнитного поля в активной зоне электролизера

3.5.2. Особенности применения метода пространственных интегральных уравнений для расчета магнитного поля в электролизерах

3.5.3. Особенности применения интегро-дифференциального метода для

расчета магнитного поля в электролизере

3.5.4 Аппроксимация магнитных характеристик ферромагнитных материалов

конструкции электролизера

3.5.5. Сравнение результатов моделирования магнитного поля в электролизной ванне с экспериментальными данными

3.6. Моделирование магнитогидродинамических процессов в алюминиевом электролизере

3.6.1. Математическая модель расчета циркуляции расплавленного алюминия и электролита

3.6.2. Математическая модель расчета статической деформации поверхности раздела металл - электролит

3.7. Математическая модель волновых процессов в двухфазной жидкости

3.7.1. Основные теоретические положения

Катод

3.7.2. Особенности численной реализации процедуры расчета устойчивости

3.7.3. Анализ устойчивости промышленных установок по производству

алюминия

3.7.3.1 МГД - устойчивость электролизера С160 Красноярского алюминиевого завода

3.7.3.3. Исследование устойчивости в электролизере с током 85 кА

(Слатина, Румыния)

ВЫВОДЫ

4. Применение интегральных методов для расчета вихревых токов в тонкостенных проводящих оболочках

4.1. Особенности расчета вихревых токов в тонких оболочках

4.1.1. Общие замечания

4.1.2. Интегро-дифференциальное уравнение для векторного потенциала плотности электрического тока

4.1.3. Аппроксимация интегро-дифференциального уравнения для векторного потенциала плотности электрического тока системой алгебраических уравнений

4.1.4. Применение интегро-дифференциальных уравнений для расчета вихревых токов в многосвязных незамкнутых тонкостенных проводящих оболочках

4.1.5. Вихревые токи в тонком диске

4.2. Расчет магнитного поля, создаваемого тонкостенными экранирующими системами

4.2.1. Общие замечания

4.2.2. Аналитический расчет напряженности магнитного поля проводящей сферической оболочки, расположенной в поле с осевой симметрией

4.2.3. Анализ результатов численного моделирования электромагнитного поля сферического экрана

4.2.4. Учет распределения плотности тока по толщине оболочки при высоких значениях коэффициента экранирования

4.3. Расчет магнитного поля внутри экранированного пространства

ВЫВОДЫ

5. Развитие интегральных формулировок методов расчета вихревых токов в проводящих немагнитных телах

5.1. Применение пространственных интегральных уравнений для расчета электромагнитных полей и вихревых токов в условиях резкого поверхностного эффекта

5.1.1. Общая характеристика задачи

5.1.2. Исследование влияния проводящего объекта на взаимную индуктивность двух катушек

5.2. Комбинированный метод расчета вихревых токов в проводящих телах

5.2.1. Общая характеристика дифференциальных методов применительно к расчету вихревых токов

5.2.2. Формулировка комбинированного метода расчета вихревых токов

5.2.3. Альтернативная формулировка комбинированного метода расчета вихревых токов

5.2.4. Алгоритм численной реализации комбинированного метода расчета электромагнитных полей

5.2.5. Тестирование комбинированного метода расчета электромагнитных полей

5.2.6. Некоторые свойства разработанного комбинированного метода расчета вихревых токов

5.3. Применение интегральных методов для расчета вихревых токов в трехмерной постановке

5.3. Применение интегральных методов для расчета вихревых токов в трехмерной постановке

5.3.1. Общие замечания

5.3.2. Векторные конечные элементы

5.4. Постановка задачи расчета вихревых токов

5.5. Использование нормальных векторных элементов для постановки и численного решения задачи расчета вихревых токов в проводящих телах

5.5.1. Выбор независимых переменных

5.5.2. Формирование уравнений для независимых контуров

5.5.3. Выбор центральной точки элемента

5.5.4. Расположение узлов в центре тяжести элемента

5.5.5. Алгоритм построения матрицы системы уравнений

5.5.6. Расчет правых частей системы уравнений для определения вихревых токов

5.5.7. Система алгебраических уравнений для расчета вихревых токов для произвольных частот изменения внешнего электромагнитного поля

5.6. Полый цилиндр в продольном однородном магнитном поле

ВЫВОДЫ

6. Применение интегро-дифференциальных уравнений электромагнитного поля для расчета переходных процессов в ферромагнитных шихтованных структурах

6.1. Введение

6.2. Формулировка интегро-дифференциального метода моделирования электромагнитных полей в шихтованных объектах

6.2.1. Расчет магнитного поля, индуцированного намагниченными объектами

6.2.2. Интегральное уравнение для намагниченности материала применительно к шихтованной среде

6.3. Расчет вихревых токов в шихтованных немагнитных объектах на основе решения интегро-дифференциального уравнения

6.4. Постановка задачи расчета вихревых токов в шихтованных ферромагнитных объектах

6.5 Численное решение системы интегро-дифференциальных уравнений

6.5.1. Дискретизация расчетной области

6.5.2. Аппроксимация переменных, входящих в интегро-дифференциальное уравнение и их производных по времени

пластине

6.6.4. Сравнение результатов численного моделирования с аналитическими расчетами

6.7. Переходные процессы в шихтованных дипольных магнитах

6.7.1. Некоторые свойства ускорительных дипольных магнитов

6.7.2. Экспериментальное исследование динамических свойств ускорительного магнита

6.8. Применение разработанного метода для анализа динамических режимов работы дипольных магнитов

6.8.1. Расчетная модель ускорительного магнита SIS-18

6.8.2. Результаты численного моделирования переходных процессов в магните SIS-18 при линейном изменении тока в обмотках

6.8.3. Исследование динамических процессов в поворотном магните медицинского ускорительного комплекса HICAT

6.8.4. Применение разработанного интегро-дифференциального метода для расчета потерь в ярме шихтованного магнита ускорителя SIS-100

ВЫВОДЫ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Литература

Приложения

П1. Напряженность магнитного поля, наведенного тетраэдром с постоянной

намагниченностью

П1.1. Выражение для потенциала в точке, совпадающей с вершиной

треугольника

П1.2. Выражение для потенциала в произвольной точке

П2. Напряженность магнитного поля, наведенного элементом с постоянной

намагниченностью, имеющим форму призмы

ПЗ. Напряженность магнитного поля, наведенного тетраэдральным элементом

с линейно меняющейся намагниченностью

П4. Напряженность магнитного поля, наведенного элементом имеющим форму

призмы, с линейно меняющейся намагниченностью

П5. Напряженность магнитного поля, наведенного элементом, имеющим форму тетраэдра или призмы, при линейном законе изменения плотности тока в

нем

П6. Векторный магнитный потенциал, создаваемый тетраэдральным

элементом с постоянной плотностью тока

П7. Векторный магнитный потенциал, создаваемый элементом, имеющим

форму призмы, с постоянной плотностью тока

П.8. Документы о внедрении результатов диссертационного исследования

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие численных методов расчета электромагнитных полей, основанных на применении пространственных интегральных уравнений»

ВВЕДЕНИЕ

Расчет характеристик электромагнитного поля является необходимым условием разработки и проектирования различных устройств, применяемых в электротехнике, электроэнергетике, радиотехнике, транспортном машиностроении, во множестве других самых разнообразных отраслях человеческой деятельности. В некоторых случаях для получения необходимых результатов оказывается достаточным применение простейших аналитических или полуаналитических методов расчета, направленных на решение основных уравнений теории электромагнитного поля. Однако в большинстве случаев для определения свойств и характеристик подобных устройств с приемлемой точностью необходимо применение численных методов решения этой задачи. Особенно актуальной разработка этих методов стало в период появления и развития цифровой вычислительной техники. В настоящее время возможности применения вычислительных систем для решения сложных задач постоянно расширяются как за счет увеличения производительности современных компьютеров, так и также за счет упрощения доступа к наиболее эффективным вычислительным комплексам. В связи с этим развитие численных методов расчета электромагнитных полей по-прежнему остается актуальной задачей современной теоретической электротехники.

Условно принято разделять различные численные методы расчета электромагнитных полей на две группы - дифференциальные и интегральные. К первой группе относят методы конечных разностей [1-5], конечных элементов [2,6-13], конечных объемов [2]. Общим свойством всех этих формулировок является расчет характеристик электромагнитного поля на основе явной аппроксимация уравнений Максвелла [1] или дифференциальных уравнений, непосредственно из них вытекающих. Ко

второй группе численных методов относят различные алгоритмы, основанные на применении теоремы Грина [14], которая позволяет непосредственно связать характеристики электромагнитного поля в произвольной точке пространства с распределением известных внешних источников поля и неизвестных - наведенных зарядов, токов, поляризации, и т. д. На основе этой теоремы создан целый ряд численных методов расчета электромагнитных полей, которые условно можно объединить в группу "интегральных методов" [2,15-19].

Особо необходимо отметить ряд разработок, в которых дифференциальные и интегральные методы расчета электромагнитных полей объединяются в рамках единой комбинированной формулировки [20-26].

Каждая группа методов обладает своими достоинствами и недостатками, совокупность которых обуславливает выбор способа решения каждой конкретной задачи. Наиболее существенными достоинствами интегральных методов расчета электромагнитных полей являются:

■ Необходимость дискретизации только той области пространства, в пределах которой расположены вторичные (наведенные) источники электромагнитного поля;

■ Естественный учет бесконечно удаленных границ расчетной области в тех случаях, когда явные границы отсутствуют.

■ Важное в некоторых задачах точное соответствие получаемых характеристик электромагнитного поля уравнениям Максвелла, в отличие от результатов применения дифференциальных методов, где это соответствие носит характер приближенных равенств.

К общим недостаткам интегральных методов можно отнести:

■ Как правило, практически полная заполненность матрицы алгебраических уравнений, используемой для аппроксимации интегрального оператора;

■ Сингулярность ядра интегрального оператора, что может привести к существенной потере точности результатов моделирования характеристик электромагнитного поля;

■ Более сложная и трудоемкая аппроксимация базовых уравнений в сравнении с практической реализацией дифференциальных методов.

В целом дифференциальные методы расчета электромагнитных полей получили на практике большее применение, что, в частности, выразилось в разработке и широком распространении целого ряда коммерческих пакетов программ для ЭВМ, в первую очередь таких как ANSYS, MAXWELL, COMSOL, OPERA [27-30].

Интегральные методы расчета электромагнитных полей можно условно разделить на две основные группы [17]. Первая из них включает группу формулировок, объединенных общим названием "методы граничных интегральных уравнений (ГИУ)", в рамках которых вторичные источники поля выносятся на границу расчетной области, а также на границы областей с различными электромагнитными свойствами материалов [31, 32]. Математическим базисом этих формулировок служит теория потенциала [14], а по своей форме основные законы электромагнитного поля приводятся к интегральным уравнениям Фредгольма 1-го или 2-го рода. Наиболее предпочтительным является применение методов ГИУ для расчета электромагнитных полей в средах с линейными материальными характеристиками - при постоянных значениях магнитной проницаемости, диэлектрической проницаемости, постоянной электропроводности. Различные формулировки методов ГИУ успешно применяются как при решении стационарных задач [31-34], так и задач с неизвестными распределениями вихревых токов [35-38], задач по распространению электромагнитных волн в пространстве. Преимущества ГИУ в значительной мере теряются при анализе электромагнитных систем, в состав которых входят объекты с нелинейными зависимостями

характеристик материалов от интенсивности электрического или магнитного поля. В подобной ситуации вторичные источники электромагнитного поля располагаются не только на поверхностях расчетной области, но и в ее объеме, что значительно увеличивает затраты вычислительных ресурсов на решение задачи. В качестве важной особенности всей группу методов ГИУ необходимо отметить высокую степень сингулярности ядер соответствующих интегральных уравнений.

Ко второй группе интегральных методов расчета электромагнитных полей относятся формулировки, в рамках которых вторичные источники поля распределены по объему расчетной области. Методы, входящие в эту группу, получили название методов пространственных интегральных уравнений (17,39-45). Эта группа методов находит свое применение при необходимости расчета электромагнитных полей в нелинейных средах, а также при анализе систем, в которых применение методов ГИУ неэффективно. К таким системам можно отнести, в частности, тонкостенные конструкции, проводящие объекты в переменном электромагнитном поле при отсутствии резко выраженного поверхностного эффекта.

Несмотря на то, что традиционные формулировки методов ПрИУ, получили широкое распространение при решении задач магнитостатики и легли в основу первой универсальной программы расчета трехмерных полей ОПЛЧЗВ [40], при их реализации приходится сталкиваться с существенными проблемами. В частности, при больших значениях магнитной проницаемости среды интегральные уравнения вырождаются, что на практике приводит к значительным, достигающим сотни процентов, ошибкам в расчете характеристик магнитного поля внутри намагниченного объекта [41-42]. В начале 90-х годов в практике расчета электромагнитных полей начал применяться новый принцип аппроксимации векторных характеристик поля, основанный на применении функций Уитни [47]. Результатом стал пересмотр многих базовых принципов, лежащих в основе

построения численных схем решения пространственных интегральных уравнений электромагнитного поля за счет предварительной калибровки получаемых решений.

В предлагаемой к защите работе развиваются методы ПрИУ для решения трехмерных задач магнитостатики, для расчета вихревых токов в проводящих объектах на основе новых, получивших развитие в последнее время, технологий численного решения интегральных уравнений.

Актуальность темы исследований. Электротехнические и электроэнергетические устройства находят широкое применение в промышленности, транспорте, в медицине, в научных исследованиях, в быту, и во многих других отраслях человеческой деятельности. В современных условиях разработка и проектирование подобных устройств требует всестороннего исследования их предполагаемых технико-экономических характеристик и свойств еще до момента начала изготовления. Такие исследования предполагают, в первую очередь, математическое моделирование основных характеристик разрабатываемых устройств. Для создания современной конкурентоспособной продукции необходимо использовать наиболее надежные методы и средства моделирования, позволяющие получать достоверную информацию о свойствах разрабатываемых систем и устройств. Одним из основных и наиболее ответственных этапов процедуры математического моделирования параметров электротехнических устройств является расчет характеристик создаваемого ими электромагнитного поля. Для достижения этой цели в современных условиях наиболее широко применяются различные численные методы расчета электромагнитных полей с применением вычислительной техники. Во многих случаях, особенно при наличии конструктивных элементов со сложной конфигурацией, этап разработки и проектирования вообще невозможен без подобных исследований.

Наиболее широкое распространение в настоящее время получил целый ряд численных методов моделирования электромагнитных полей, которые условно можно разбить на две группы: интегральные и дифференциальные. К первой группе относятся методы пространственных интегральных уравнений и различные формулировки метода граничных элементов. Ко второй группе, в первую очередь, можно отнести методы конечных разностей и конечных элементов. Особо стоит отметить методы сведений полевых задач к цепным, которые получили значительное развитие в последние годы [48-53]. Каждый из перечисленных выше подходов к расчету электромагнитных полей имеет свою область применения. В частности, преимущества интегральных методов наиболее ярко проявляются при анализе "открытых" систем, в которых отсутствуют естественные границы с априори известными значениями характеристик электромагнитного поля. Именно такие особенности конструкции характерны для многих электротехнических устройств. В связи с этим разработка и развитие интегральных методов расчета электромагнитных полей является одной из актуальных задач современной теоретической электротехники. Именно это обстоятельство нашло отражение в координационных планах НИР отделения «Электрофизика и электроэнергетика» РАН под названиями: «Развитие теории и методов расчета электромагнитных полей, электрических цепей, переходных процессов в электроэнергетических и электрофизических устройствах» и «Развитие методов физического, математического и численного моделирования процессов в электрофизических и электроэнергетических устройствах».

Состояние и развитие современных численных методов расчета электромагнитных полей постоянно обсуждается мировым научным сообществом, в первую очередь, на представительных международных конференциях COMPUMAG и CEFC (Conference on Electromagnetic Field

Computation), каждая из которых проходит один раз в два года и собирает ведущих мировых специалистов в этой области.

Большой вклад в разработку численных методов расчета электромагнитных полей внесли ученые нашей страны, в числе которых необходимо отметить О.В. Тозони, И.Д. Майергоза, В Курбатова, Э.В. Колесникова, В.И. Астахова, С.М. Аполлонского и др. Значительное участие в развитии этого направления теоретической электротехники приняли сотрудники Санкт-Петербургского государственного политехнического университета, в частности, акад. АН СССР JI.P. Нейман, акад. РАН К.С. Демирчян, В.Н. Воронин, А.Б. Новгородцев, B.JI. Чечурин, М.А. Шакиров, В.М. Юринов, Р.П. Кияткин, Г.А. Шнеерсон и др.

Таким образом, актуальность диссертационной работы обуславливается ее направленностью на развитие одного из основных направлений в практике численного моделирования характеристик электротехнических устройств, основанных на решении пространственных интегральных уравнений электромагнитного поля.

Цели диссертационной работы. Цели диссертационной работы состоят в разработке новых эффективных интегральных методов расчета стационарных и меняющихся во времени электромагнитных полей, а также в развитии существующих подходов с целью улучшения их основных характеристик - точности, требований к вычислительным ресурсам, универсальности, надежности, достоверности. Для достижения поставленных целей в диссертационной работе решены следующие задачи:

1. Исследование принципов моделирования стационарных магнитных полей на основе применения интегро-дифференциального уравнения магнитостатики, сформированного относительно скалярного магнитного потенциала.

2. Применение интегро-дифференциального метода расчета стационарных магнитных полей для магнитных систем, состоящих из тонкостенных ферромагнитных оболочек.

3. Исследование точности моделирования магнитных полей в рамках интегро-дифференциального метода при использовании различных схем аппроксимации неизвестной величины и самого интегро-дифференциального уравнения.

4. Разработка комбинированной схемы постановки задачи магнитостатики, основанной на совместном использовании интегро-дифференциального метода и метода конечных элементов. Исследование эффективности такой формулировки для задач магнитного экранирования.

5. Создание математической модель комплексных магнитогидродинамических процессов в двухслойной электропроводной жидкости на базе решения интегро-дифференциального уравнения магнитостатики. Применение модели к анализу электрофизических процессов, происходящих в активной зоне промышленных установок по производству алюминия.

6. Исследование точности и эффективности применения интегро-дифференциальной постановки задачи расчета переменных электромагнитных полей для моделирования вихревых токов в тонких проводящих оболочках.

7. Разработка и практическая реализация математической модели, основанной на комбинированной постановке задачи расчета вихревых токов в проводящих телах, включающей решение дифференциального уравнения Гельмгольца с граничными условиями, определяемыми за счет выполнения пространственного интегрирования по объему проводящего объекта.

8. Разработка трехмерного метода расчета вихревых токов, основанного на аппроксимации векторных характеристик электромагнитного поля на базисе конечных элементов Уитни.

9. Разработка методики расчета вихревых токов в шихтованных ферромагнитных объектах, основанной на совместном решении

пространственных интегральных уравнений для различных

характеристик электромагнитного поля.

Методы исследования основаны на использовании теории электромагнитных полей; теории электрофизических процессов в жидких средах; элементов теории интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода; на применения надежной и детально изученной теории конечных элементов для решения дифференциальных и интегральных уравнений, включая теорию векторных элементов Уитни; на методах вычислительной математики.

Научная новизна диссертационной работы заключается в то, что:

1. Предложен и исследован новый численный метод расчета трехмерных стационарных магнитных полей, основанный на решении интегро-дифференциального уравнения, сформулированного относительно скалярного магнитного потенциала.

2. Разработанный интегро-дифференциальный метод расчета стационарных магнитных полей адаптирован к магнитным системам, включающим тонкостенные ферромагнитные объекты.

3. Решена комплексная задача по моделированию электрофизических процессов в промышленных установках по производству алюминия. Математическая модель построена на основе использования распределений магнитного поля, рассчитанных на основе разработанного интегро-дифференциального метода для тонкостенных ферромагнитных систем.

4. Предложена новая формулировка комбинированного метода расчета вихревых токов в немагнитных объектах на основе совместного решения уравнения Гельмгольца в проводящей среде и интегрального уравнения, связывающего характеристики электромагнитного поля внутри расчетной области и не ее границах.

5. Разработан и исследован новый интегральный метод расчета вихревых токов в немагнитных средах, основанный на прямой аппроксимации

вектора плотности тока в расчетной области функциями Уитни первого порядка.

6. Выполнен комплекс работ по исследованию переходных процессов в шихтованных ферромагнитных системах путем совместного решения пространственного интегрального уравнения относительно вектора намагниченности и интегро-дифференциального уравнения, сформированного относительно векторного потенциала плотности электрического тока.

Практическая ценность работы состоит в разработке эффективных методов расчета электромагнитных полей, которые позволяют решать многочисленные практические задачи на высоком уровне точности и достоверности. При непосредственном участии автора разработанные им математические модели, реализующие их алгоритмы и компьютерные программы применялись и применяются в настоящее время:

- при разработке и проектировании новых, а также модернизации существующих промышленных установок по производству алюминия;

- при разработке и создании магнитов, входящих в состав различных масс-спектрометрических систем;

- при создании крупных магнитных систем, входящих в состав ускорителей и систем управления пучками заряженных частиц.

Разработанные автором технологии расчета электромагнитных полей, силовых взаимодействий в электромагнитных полях нашли отражение в курсах лекций, читаемых в Санкт-Петербургском Государственном Политехническом Университете для магистров Института энергетики и транспортных систем.

Достоверность и обоснованность научных результатов обеспечивается:

■ за счет применения фундаментальных законов физики и теории электромагнитного поля; законов векторной алгебры и теории

потенциала; строгими математическими преобразованиями и доказательствами;

совпадением результатов математического моделирования, проведенного на основе разработанных алгоритмов и компьютерных программ с известными и полученными в процессе выполнения научных исследований аналитическими решениями модельных задач; согласованием результатов математического моделирования, проведенного на основе разработанных алгоритмов и компьютерных программ с экспериментальными данными, полученными автором, а также известным из открытых публикаций.

На защиту выносятся: интегро-дифференциальный метод расчета стационарных магнитных полей и алгоритм его реализации;

формулировка интегро-дифференциального метода расчета стационарных магнитных полей для систем, включающих тонкостенные ферромагнитные оболочки;

математическая модель электрофизических процессов в промышленных установках по производству алюминия, принципы и алгоритмы ее решения;

новый трехмерный интегральный метод расчета вихревых токов в проводящих немагнитных объектах, основанный на разложении неизвестных распределений векторных характеристик электромагнитного поля в ряд по функциям Уитни первого порядка. Методика расчета переходных процессов и вихревых токов в шихтованных ферромагнитных объектах, основанная на совместном решении интегральных уравнений относительности вектора намагниченности и векторного потенциала плотности электрического тока.

1. Интегро-дифференциальное уравнение магнитостатики и его применение для расчета 3-хмерных магнитных полей.

1.1. Интегро-дифференциальное уравнение относительно скалярного магнитного потенциала.

Одной из наиболее распространенных интегральных методов для решения трехмерной магнитостатической задачи является метод, основанный на использовании вектора намагниченности ферромагнитных элементов в качестве основной неизвестной (искомой) величины. В такой формулировке полное магнитное поле представляется в виде суммы двух компонент: поля первичных (токовых) источников Нс и поля намагниченных объектов Нт:

н = нс + нт (1.1)

Рис. 1.1. Источники магнитного поля.

Первая компонента напряженности магнитного поля Нс может быть вычислена с помощью закона Био-Савара, если известно распределение плотности тока по объему Ос [1]:

ЯДО^^^, (1-2)

4;Го \г-г'\

а вторая компонента Нт удовлетворяет интегральному соотношению [17]:

4л-

г — г

Введем некоторые ограничения на свойства области С2т, в которой расположен намагничивающийся материал:

■ в этой области отсутствуют электрические токи;

■ область является односвязной.

При сделанных допущениях для описания напряженности магнитного поля можно ввести скалярный магнитный потенциал, определяемый соотношением:

Н(г) = -УЩг). (1.4)

Поскольку напряженность магнитного поля может быть условно разбита на сумму двух компонент (1.1), то и для полного магнитного потенциала и(г) может быть использовано аналогичное представление:

Щг) = ие(г) + ия(г). (1.5)

где ис(г) - скалярный магнитный потенциал, наведенный сторонними токовыми источниками внутри области С1т потенциала, ит{г) -потенциал, индуцированный намагниченными объектами.

Второе слагаемое в правой части последнего равенства выражается известным из теории потенциала интегральным соотношением:

1 г М(г') (г-г') ,

=—I у:,|3 }<£1Я, (1.6)

**т I I

Радиус-вектор г' в этом выражении характеризует положение точки внутри области , а радиус-вектор г - положение произвольной точке в пространстве. Учитывая известную связь между напряженностью

магнитного поля, скалярным потенциалом и намагниченностью [1] получаем равенство:

М = = (1.7)

Комбинируя соотношения (1.5), (1.6) и (1.7), получаем интегро-дифференциальное уравнение для скалярного магнитного потенциала [5458]:

г - г'

Это уравнение, вообще говоря, является нелинейным, поскольку магнитная проницаемость /иг для многих применяемых на практике материалов зависит от величины и направления вектора напряженности магнитного поля.

Решение интегро-дифференциального уравнения (1.8) позволяет определить характеристики магнитного поля в любой точке пространства:

= (1.9)

О V -Г\

"I I I

Интегро-дифференциальное уравнение (1.8) обладает существенными особенностями в сравнении с пространственным интегральным уравнением, сформированным относительно вектора

намагниченности М, нашедшем широкое применение для расчета магнитных полей. Во-первых, при аналогичной дискретизации пространства, заполненного намагниченным материалом, интегро-дифференциальное уравнение (1.8) характеризуется значительно меньшим количеством неизвестных величин, поскольку оно сформировано относительно скалярной величины. Во-вторых, напряженность магнитного поля, найденная в результате решения уравнения (1.8) автоматически удовлетворяет одному из уравнений Максвелла для области, свободной от электрических токов:

rotH = О,

в то время, как интегральное уравнение для намагниченности М не позволяет получать численные решения, обладающие этим свойством [4142]. Благодаря этим преимуществам интегро-дифференциальное уравнение (1.8) представляет собой перспективную теоретическую платформу для развития численных интегральных методов расчета магнитного поля, особенно применительно к 3-мерным задачам.

Важной особенностью интегро-дифференциального уравнения (1.8) является то, что при любой непрерывной и дифференцируемой зависимости скалярного магнитного потенциала от координат интегральное слагаемое имеет конечное, абсолютно сходящееся значение в любой точке пространства. Действительно, рассмотрим свойства интегрального слагаемого в (1.8). Если расчетная точка расположена внутри намагниченной среды, то магнитный потенциал, наводимый материалом, расположенным в ее окрестности, можно оценить интегралом:

Учитывая тождество [14]:

и применяя к (1.10) теорему Гаусса для градиента произвольного вектора [14], получим

Последнее выражение удобно рассматривать в сферической системе координат. Рассмотрим потенциал, создаваемый намагниченным материалом, расположенным внутри сферической области с радиусом г.

(1.10)

4л: Js г

1 rM-ds

Устремляя размеры рассматриваемого элемента к нулю, получим верхнюю оценку для интеграла (1.10):

Очевидно, что / —> 0 при г —>0, а следовательно, окрестности сингулярной точки вносят бесконечно малый вклад в полное значение потенциала.

В этом отношении предлагаемый в настоящей работе метод расчета магнитного поля радикально отличается от большинства альтернативных формулировок, в том числе метод пространственных интегральных уравнений, группа методов вторичных источников, включая методы граничных интегральных уравнений, а также различные комбинированные постановки. Все они характеризуются отсутствием абсолютной сходимости в интегральном операторе.

1.2. Численное решение интегро-дифференциального уравнения магнитостатики.

1.2.1. Общая схема численного решения интегро-дифференциального уравнения

Под численным решением интегро-дифференциального уравнения (1.8) будем понимать поиск некоторой функции и (г), аппроксимирующей распределение скалярного магнитного потенциала в области, занятой намагниченным материалом.

В качестве критерия выбора аппроксимирующей функции будем считать минимизацию невязки в дискретизованном аналоге исходного уравнения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Калимов, Александр Гелиевич, 2013 год

Литература

1. Теоретические основы электротехники: В 3-х т. Учебник для вузов. Том 3. / К.С. Демирчян, JI.P. Нейман, Н.В. Коровкин, B.JI. Чечурин. - СПб.: Питер, 2003, - 377 с.

2. Демирчян К.С. Машинные расчеты электромагнитных полей. / Демирчян К.С., Чечурин B.JI. - М.: Высш. шк., 1986. - 240 с.

3. Бинс. К. Анализ и расчет электрических и магнитных полей. / Бинс К., Лауренсон П. - М.: Энергия, 1970. - 376 с.

4. Самарский A.A. Методы решения сеточных уравнений. / Самарский A.A., Николаев Е.С. - М.: Наука, 1978. - 592 с.

5. Ануфриев И. Е. Математические методы моделирования физических процессов / И. Е. Ануфриев, П. А. Осипов; Санкт-Петербургский государственный политехнический университет .— Санкт-Петербург : Изд-во Политехи, ун-та, Ч. 1: Метод конечных разностей .— 2013 .— 59 с.

6. Карпенко, JI. Н. Расчет электромагнитного поля : учебное пособие. Ч. 2 / JI. Н. Карпенко, М.К. Ярмаркин; Санкт-Петербургский государственный технический университет .— Санкт-Петербург : Изд-во СПбГТУ, 1998 .— 64 с

7. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике: Пер. с англ./ Зенкевич О. -М.: Мир, 1975.-544 с.

8. Сабонадьер Ж.-К. Метод конечных элементов и САПР. / Сабонадьер Ж.-К., Кулон Ж.-Л. - М.: Мир, 1989. - 190 с.

9. Галлагер, Р. Метод конечных элементов. Основы / Р. Галлагер.— Москва : Мир, 1984 .— 428 с.

Ю.Сильвестер, П. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков / Перевод с англ. С. Н. Хотяинцева; Под ред. Ф. Ф. Дубровки.— М. : Мир, 1986 .— 229 с.

11. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. / Сегерлинд Л. - М.: Мир, 1979.-392 с.

12. Соловейчик Ю.Г. Метод конечных элементов для скалярных и векторных задач. / Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Персова М.Г. - Новосибирск: НГТУ, 2007. - 896 с.

13. Демирчян К.С. Расчет трехмерных магнитных полей методом конечных элементов. / Демирчян К.С., Солнышкин Н.И. // Изв. АН СССР Энергетика и транспорт. - 1975. - № 5. С. 39-49.

14.Корн, Г. Справочник по математике / Пер. с англ. Корн Г. ,Корн Т. - М.: Наука, 1970.-720 с.

15.Тозони, О. В. Метод вторичных источников в электротехнике / О.В. Тозони .— Москва : Энергия, 1975 .— 295 с.

16.Тозони, О.В. Расчет трехмерных электромагнитных полей / Тозони О.В., Майергойз И.Д. — Киев : Техника, 1974.— 352 с.

17. Курбатов, П.А. Численный расчет электромагнитных полей / Курбатов П.А., Аринчин С.А. - М.: Энергоатомиздат, 1984. - 254 с.

18. Акишин П.Г. Применение метода объемных и граничных интегральных уравнений для моделирования магнитных систем, содержащих сверхпроводящие экраны. / Акишин П.Г. Дубна: Издательский отдел ОИЯИ, Препринт Р5-99-312. - 1999. - 13 с.

19. Canova A. Integral Solution of Nonlinear Magnetostatic Field Problems. / Canova A., Repetto M. // IEEE Trans, on Magnetics - 2001. V. 37. P. 1070 - 1077.

20.Ткачев A.H. Комбинированные методы моделирования квазистационарного магнитного поля в нелинейных анизотропных ферромагнитных средах. / Дис. докт. техн. наук. - Новочеркасск, 1998. - 489 с.

21. Тихонов, Д.Ю. Комбинированный метод расчета нестационарных плоскопараллельных электромагнитных полей / Д. Ю. Тихонов, А. Н. Ткачев, Й. Центнер // Известия вузов. Электромеханика. - 2002. - № 4. - С. 39-48.

22.Тихонов Д.Ю. Эффективные комбинированные методы электромагнитного расчета электромеханических устройств. / Дисс. На соискание ученой степени канд. тех. наук : Новочеркасск, 2005. - 181 с.

23.0nuki Т. Hybrid finite element and boundary element method applied to electromagnetic problems. / Onuki T. // IEEE Trans, on Magnetics - 1990. V. 26. P. 582-587.

24. Matsuoka F. Calculation of three dimensional eddy current by FEM-BEM coupling method. / Matsuoka F., A. Kameari A. // IEEE Trans, on Magnetics - 1988. - V. 24. -P. 182-185.

25. Weth. A. A hybrid method using BEM and FDM for the calculation of 2-D magnetic fields including materials with field-dependent permeability. / Weth. A., Becker R. // Nucl. Instr. And Methods in Physics Research. - 1999. - V. A 427. - P. 399-403.

26. Salon S.J. Applications of the Hybrid Finite Element - Boundary Element Method in Electromagnetics. / Salon S.J., D'Angelo J. // IEEE Trans, on Magnetics - 1988. -V. 24. - P. 80-85.

27. Буль О.Б. Методы расчета магнитных систем электрических аппаратов. Программа ANSYS. / Буль О.Б. - М.: Издательский центр «Академия», 2006. -288 с.

28. Титков, В. В. Компьютерные технологии. Comsol Multiphysics в задачах энергетики: учебное пособие для вузов по направлению подготовки магистров "Техническая физика" / В. В. Титков, Э. И. Янчус ; Санкт-Петербургский государственный политехнический университет.— СПб. : Изд-во Политехи, ун-та, 2012 .— 183 с.

29. Simkin J. On the use of the total scalar potential in the numerical solution of field problems in electromagnetics. / Simkin J., Trowbridge C.W. // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1979. - V. 14. - P. 423-440.

30. Emson C.R.I. The Solution of General Three Dimensional Eddy Current Problems Using the Package Carmen. / Emson C.R.I., Simkin J. // IEEE Trans, on Magnetics -1990.-V. 26.-P. 486-489.

31. Бреббия, К. Методы граничных элементов: Пер. с англ. / Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - М.: Мир, 1987. - 524 с.

32. Бенерджи, П. Метод граничных элементов в прикладных науках: Пер. с англ./ Бенерджи П., Баттерфилд Р. - М.: Мир, 1984. - 494 с.

33. Vishnevsky A. Conservative methods in boundary-element calculations of static fields. / Vishnevsky A., Lapovok A. // IEE Proc.-Ski. Meas. Technol. - 1995. - V. 142.-P. 151-156.

34.Zheng D. A Boundary Element Formulation for Thin Shell Problems / Zheng D., Salon S.J., Davey K.R. // IEEE Trans, on Magnetics - 1996. - V. 32, - P. 675-677.

35. Le-Duc T. A New Integral Formulation for Eddy Current Computation in Thin Conductive Shells / Le-Duc Т., Meunier G., Chadebec O., Guichon J.-M. // IEEE Trans, on Magnetics - 2012. - V. 48, - P. 427-430.

36. Krahenb L. Thin layers in electrial engineering. Example of shell models in analysing eddy-currents by boundary and finite element methods. / Krahenb L., Muller D. // IEEE Trans, on Magnetics - 1993. - V. 29. - P. 1450-1455.

37. Han L. Integral Equation Method Using Total Scalar Potential for the Simulation of Linear or Nonlinear 3D Magnetostatic Field with Open Boundary. / Han L., Tong L.S., Yang J. // IEEE Trans, on Magnetics. - 1994. - V. 30. - P. 2891-2900.

38. Pawluk K. Boundary-Integral Models of the Quasi-Stationary Field Computation In Electromagnetic Screens. / Pawluk K., Kucharska M. // IEEE Trans, on Magnetics. -1996.-V. 32,-P. 840-843.

39. Kettunen L. Volume Integral Equations in Nonlinear 3-D Magnetostatics. / Kettunen L., Forsman K., Levine D., Gropp W. // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1995. -V. 38.-P. 2655-2675.

40. M.J. Newman, C.W. Trowbridge, L.R. Turner. GFUN: An interactive program as an aid to magnetic design, in Proc. 4t Int. Conf. Magn. Tech., Brookhaven, New York, 1972.

41. Friedman M.J. Mathematical study of the nonlinear singular integral magnetic field equation. / Friedman M.J. // SIAM J Appl. Math. - 1980. - V. 39. - P. 14-20.

42. V. Ardon. Formal Sensitivity Computation of Magnetic Moment Method/ H. L. Rakotoarison, V. Ardon, O. Chadebec, B. Delinchant, S. Guerin, J.L. Coulomb // IEEE Trans, on Magnetics. - 2008. - V. 44. № 6. - P. 1014-1017.

43. Pasciak J.E. An Iterative Algorithm for the Volume Integral Method for Magnetostatic Problems. / Pasciak J.E. // Computation and Mathematics with Applications. - 1981. - V. 8. № 4. P. 283-290.

44. Gyimesi M. Generalized Potential Formulation for 3-D Magnetostatic Problems. / Gyimesi M., Lavers J.D. // IEEE Trans, on Magnetics - 1989. - V. 25. - P. 31453159.

45. Berlec M. An integral approach for 3D magnetostatic field calculation. / Berlec M. // COMPEL. - 1998. - V. 17. - P. 55 - 58.

46. Cendes Z.J. Convergence of Iterative Methods for Nonlinear Magnetic Field Problems. / Cendes Z.J., Shyamkumar B.B. // IEEE Trans, on Magnetics - 1988. - V. 24. - P. 2585-2587.

47. Whitney H. Geometric Integration Theory / Whitney - 1957. - Princton University Press. - 340 p.

48. Шакиров, M.A. Расщепленная магнитоэлектрическая схема замещения катушки с массивным цилиндрическим сердечником / М.А. Шакиров // Материалы XII Международной научно-методической конференции "Высокие интеллектуальные технологии и генерация знаний в образовании и науке". -2005 .—Т.1 .—С.288-289 .

49. Кияткин Р.П. Построение схемных моделей для электромагнитных расчетов токоведущих систем, экранов и волноводов : дис. ... д-ра техн. наук: 05.09.05 / Р. П. Кияткин ; Санкт-Петербургский государственный политехнический университет. СПб, 2005 .— 350 с.

50. Булавин В. Ф. Диакоптические методы анализа электромагнитных полей : дис. ... канд. техн. наук. / Булавин В. Ф. // Ленинградский политехнический институт им. М. И. Калинина,— Л., 1982 .— 255 с.

51. Кияткин Р.П. Расчет мощности потерь в трубопроводах многофазных кабелей с использованием схемных моделей / Кияткин Р.П. // Научно-технические ведомости СПбГТУ (Энергетика). — Санкт-Петербург. - 2004. — №4. — С. 1518.

52. Шакиров М.А. Схемное моделирование конечных элементов и суперэлементов в декомпозиционных алгоритмах анализа электромагнитных полей. / Шакиров М.А., Кияткин Р.П., Ладанюк Л.Я., Яковлев В.И. // Математическое моделирование в электротехнике: Тез. докл. Всесоюзн. Научн.-техн. конф., Киев, 23-25 октября 1990 г. - Киев: ИПМЭ АН УССР, 1990. -Ч. 4.- С. 188-189.

53.Спивакова Г.В. Расчет вихревых токов в проводящих телах с использованием методов теории электрических цепей. / Спивакова Г.В., Чечурин В.Л. // Техническая электродинамика. - 1988. - № 5. - С. 3 - 7.

54. Калимов А.Г. Комбинированная постановка задачи магнитостатики с граничными условиями интегрального типа./ Калимов А.Г., Сведенцов М.Л.// Изв. ВУЗов «Электромеханика». - №8. - 1991. - С. 12-13.

55. Калимов А.Г. Применение граничных условий интегрального типа для решения трехмерных задач магнитостатики./ Калимов А.Г., Сведенцов М.Л. // Научное приборостроение. Формирование пучков заряженных частиц. -Ленинград: НТО АН СССР. - 1990. - С. 49-53.

56. Калимов А.Г. Применение комбинированного метода расчета С-образного магнита статического масс-анализатора. / Калимов А.Г., Сведенцов М.Л. // Тез. Док. XI семинара «Методы расчета ЭОС». - Алма-Ата, 1992. - С. 82-83.

57. Kalimov, A. Three-dimensional magnetostatic field calculation using integro-differential equation for scalar potential / Kalimov A., Svedentsov M. // IEEE Trans, on Magnetics. - 1996. - V. 32. - P. 670-673.

58. Калимов А.Г. Применение пространственных интегральных уравнений для расчета магнитного поля и потоков рассеяния трансформатора с шихтованным ферромагнитным сердечником. / Калимов А.Г. Важнов С.А. // Изв. РАН «Энергетика». - №2. - 2009. - С. 27-36.

59. A.A. Самарский. Численные методы. / A.A. Самарский, A.B. Гулин. - М.: Наука, 1989. - 432 с.

60. Деммель, Дж. Вычислительная линейная алгебра: Пер. с англ./ Деммель Дж. -М.: Мир, 2001.-430 с.

61. Ронинсон А.Д. Общее решение магнитостатических и электрических задач для поляризованных оболочек. / Ронинсон А.Д. // Электричество. - 1990. - № 1. -С.

62. Ронинсон А.Д. О решении магнитостатических задач для поляризованных оболочек. / Ронинсон А.Д. // Электричество. - 1994. - № 4. - С.

63. W. Renhart. Thin Layer Transition Matrix Description Applied to the Finite-Element Method./ W. Renhart, C. Magele, C. Tuerk // IEEE Trans, on Magnetics -2009.-V.45.-No3.-P. 1638- 1641.

64. Guerin C. Three dimensional magnetostatic finite elements for gaps and iron shells using magnetic scalar potentials. / Guerin C., Tanneau G., Meunier G., Brunotte X., Albertini J.B. // IEEE Trans, on Magnetics. - 1994. - V. 30. - № 5. - P. 2885-2888.

65. Vuong Q. Dang. Subproblem Approach for Thin Shell Dual Finite Element Formulations. / Vuong Q. Dang, P. Dular, R. Sabariego, L. Krahenbuhl, C. Geuzaine // IEEE Trans, on Magnetics. - 2012. - V. 48. - № 2. - P. 407-410.

66. Kalimov A. Application of a Hybrid Integrodifferential Method for Analysis of Thin Magnetic Shields / Kalimov A., Svedentsov M // IEEE Trans, on Magnetics - 1998. - V. 34. - P. 2453-2456.

67. Kalimov A.G. Calculation of non-linear 3D magnetic fields using integrodifferential equation of magnetostatics. / Kalimov A.G., Svedentsov M.L. // Abstracts of 4-th International Conference on Charge Particle Optics, Tsukuba, Japan. - 1994.

68. Kalimov A. Application of Hybrid Integro-Differential Method for Analysis of Thin Magnetic Shields / Kalimov A., Svedentsov M. // Proceedings of the 11th Conference on the Computation of Electromagnetic Fields. - 1997. - P. 231-232.

69. Калимов А.Г. Анализ эффективности тонкостенных ферромагнитных экранов на основе решения интегро-дифференциального уравнения для скалярного потенциала. / Калимов А.Г., Важнов С.А. // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Наука и образование. - №1(95). - 2010. - С. 265 - 270.

70. A. Kalimov, М. Svedentsov. Application of Hybrid Integro-Differential Method for Analysis of Thin Magnetic Shields / Proceedings of the 11th Conference on the Computation of Electromagnetic Fields. - 1997. - P. 231-232.

71. Калимов, А.Г. Применение интегро-дифференциального уравнения магнитостатики для расчета тонкостенных ферромагнитных экранов. / Калимов А.Г. // Электричество. - 1999. - № 11. - С. 54-59.

72. Нейман, JI.P. Руководство к лаборатории электромагнитного поля / Нейман JI.P., Демирчян К.С., Юринов В.М. - М.: Высшая школа, 1966. - 268 с.

73.Brunotte X. Line element for efficient computation of the magnetic field created by the thin iron plates. / Brunotte X., Meunier G. // IEEE Trans, on Magnetics. - 1990. -V. 26.-№5.-P. 2196-2198.

74. Igarashi H. An analysis of thin magnetic materials using hypersingular integral equations. / Igarashi H., and Honma T. // IEEE Trans, on Magnetics. - 1996. - V. 32. - № 3. - P. 682-685.

75. D. Zheng. A boundary element formulation for thin shell problems./ D. Zheng, K.R. Davey. // IEEE Trans, on Magnetics. - 1996. - V. 32. - № 3. - P. 675-677.

76. A. Vishnevsky On the use of a double layer method for thin ferromagnetic shells. / A. Vishnevsky, A. Lapovok // IEEE Trans, on Magnetics. - 1998. - V. 34. - № 4. -P. 2396-2398.

77.Справочник по магнитным и электрическим свойствам горячекатаной стали. -М., Издательство Государственного комитета стандартов, 1971. - 128 с.

78.Левин А.И. Электрохимия цветных металлов / А. И. Левин. - М. : Металлургия, 1982 . - 254 с.

79. Ланкин В.П. Состояние и проблемы развития алюминиевой промышленности в России / Ланкин В.П., Сысоев А.В. // Научные и теоретические исследования в металлургии легких металлов. - Санкт-Петербург. - 2000. - С. 8-14.

80. Вольфсон Г.Е. Производство алюминия в электролизерах с обожженными анодами / Вольфсон Г.Е., Ланкин В.П. // М. Металлургия 1974, 176 с.

81. Ахмедов С.Н. Эмиссия загрязняющих веществ при электролитическом получении алюминия / Ахмедов С.Н., Друкарев В.А., Громов Б.С., Пак Р.В., Козлов В.А. // Цветные металлы - 2006. - №1. - С. 21 - 28.

82. Сизяков В. М. 80 лет алюминиевой промышленности России / Сизяков В. М. // Цветные металлы. - 2012. №5. - С. 28-35.

83. Moreau R. An analysis of the hydrodynamics of aluminum reduction cells / Moreau R., Ewans J.W. // Journ. Electrochem. Soc. - 1984. - V. 131. - №10. - P. 2251-2259.

84. Romerio M.V. Magnetohydrodynamics equilibrium in aluminum cells / Romerio M.V., Secretan M.A. // Computer Physics Reports. - 1986. - №3. - P. 327-360.

85. Бояревич В. Математическая модель МГД-процессов в алюминиевом электролизере / Бояревич В. // Магнитная гидродинамика. - 1987. - №1. - С. 107-115.

86. Крюковский В.А. Применение математического моделирования в оптимизации полей электролизеров // Крюковский В.А. , Миневич Л.И. Цветные металлы. - 1996. - №6. - С. 40-42.

87. Богданов Ю.В. Моделирование энергетических и магнито-гидродинамических характеристик электролизера с обожженными анодами на силу тока 300 кА при ее повышении до 330 КА / Богданов Ю.В., Григорьев В.Г., Книжник A.B., Кондратьев В.В., Чалых В.И. // Цветные металлы. - 2009. - №2. - С. 42-46.

88. Ахмедов С. Н. Выбор анодной плотности тока для электролизеров с обожженными анодами / Ахмедов С. Н., Козлов В. А., Громов Б. С., Пак Р. В., Ахмедов А. С. // Цветные металлы. - 2004. - №5. - С. 45-48.

89. Сысоев А. В. Оптимизация теплового баланса электролизеров при интенсификации процесса с улучшением технико-экономических и экологических показателей / Сысоев А. В. // Цветные металлы. - 2003. - №6. -С. 55-59.

90. Овчинников В.В. Математическая модель магнитогидродинамических явлений в электролизере Содерберга / Овчинников В.В., Пингин О.Г., Проворова О.Г., Пискажова Т.В. // Цветные металлы. - 1997. - №1. - С. 61-63.

91. Zikanov О. Shellow Water Model of Flows in Hall-Heroult Cells / Zikanov O., Sun. H., Ziegler D.P. // Light Metals. - 2004. P. 445-451.

92. Panaitescu I. Magneto-Hydro-Dynamic Analysis of an Electrolysis Cell for Aluminum Production / Panaitescu I., Repetto M., Leboucher L., Pericleous К // IEEE Trans, on Magnetics - 2000. - V. 36. - №4. - P. 1305-1308.

93. Gusev A. Busbar optimization of high-current reduction cells / Gusev A., Kriuokovsky V., Krylov L., Platonov V., Vabishchevich P. // Light Metals. - 2004. -P. 467-472.

94. Разработка математической модели и программы расчета на ЭВМ процессов МГД алюминиевых электролизеров; заключительный отчет Латвийского Государственного Университета им. П. Стучки / Научный руководитель темы Калис Х.Э. // № ГР 01.88.0035337. - Рига, 1989. - 82 с.

95. Vogelsang. D. Simulation Tools for the Development of High-Amperage Reduction Cells / Vogelsang D., Segatz M. // Light Metals. - 1991. - P. 375-380.

96. Segatz M. Effect of Steel Parts on Magnetic Fields in Aluminium Reduction Cells. / Vogelsang D., Segatz M. // Light Metals. - 1991. - P. 393-398.

97. Segatz M. Analysis of Magneto-hydrodynamic Instabilities in Aluminium Reduction Cells / Segatz M. and Droste С. // Light Metals. - 1994. - P. 313-318.

98. Ландау Л.Д. Теоретическая физика. Гидродинамика / Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - М.: Физматлит, 2003. - 736 с.

99.С.В. Валландер. Лекции по гидроаэродинамике. / С.В. Валландер. -СПб.: Изд-во С.Петербургского университета, 2005. - 304 с.

100. Dupuis М. Demonstration thermo-electric and MHD mathematical models of a 500 kA aluminum electrolysis cell / Dupuis M., Bojarevics V., Freibergs J. // Light Metals. - 2004. P. 453-459.

101. Готтер Г. Нагревание и охлаждение электрических машин / Готтер Г. -М.-Л.: Госэнергоиздат., 1961 -480 с.

102. Григорьев В.А. Теоретические основы теплотехники / Григорьев В.А., Зорина В.М. - М: Энергоатомиздат, 1988. - 557 с.

103. Kalimov A. Calculation of three dimensional current density distribution in aluminium electrolyzer / Kalimov A., Vaznov S. // Abstracts of the 14-th International Conference on Magnetohydrodynamics. - Riga. - 1995. - P 125.

104. Sun. Y. Magnetic field measurement and calculation for 160 kA prebake cells in the Guizhou aluminum smelter. / Sun Y., Feng N., Liang F., Leng Z., Feng S., Shi C., Zhang Y., Yao S. // Light Metals. - 2001. - P. 433-437.

105. Kalimov A. Application of the spatial integral equation method for analyzing three dimensional magnetic fields of pots. / Kalimov A., Krukovsky V., Minevich L., Svedentsov M.L. // Abstracts of the 14-th International Conference on Magnetohydrodynamics. - Riga. - 1995. - P 124.

106. Kalimov A. Magnetic modeling and magneto-hydro-dynamic simulation of an aluminium production electrolytic cell / Chiampi M., Kalimov A., Repetto M., Chechurin V. // COMPEL. - 1999. - V. 18, № 3. - P. 528-538.

107. Kalimov A. Application of Integral Methods for Computation of 3D Magnetic

th

Fields in Aluminum Electrolyzers / Kalimov A. // Proceedings of the 11 Conference on the Computation of Electromagnetic Fields. - 1997. - P 85-86.

108. Калимов А. Трехмерная модель расчета МГД-параметров алюминиевого электролизера. / Калимов А., Деркач А., Скворцов А., Цыбуков И., Шрамко В., Сведенцов М. // Цветные металлы. - 2000. - №1. - С. 31-34.

109. Kalimov A.G. Calculation of nonlinear 3D magnetic fields using hybrid integro-differential methods / Kalimov A.G., Svedentsov M.L. // Abstracts of the 14-th International Conference on Magnetohydrodynamics. - Riga. - 1995. - P. 123.

110. Калимов А.Г. Международное сотрудничество СПбГТУ в области исследования процессов в промышленных электролизерах по производству алюминия / Воронин В.Н., Калимов А.Г., Чечурин В.Н. // Материалы международной конференции «Интернационализация высшего образования и научных исследований в XXI веке». - 1999. - С. 241-243.

111. Калимов А.Г. Определение магнитной проницаемости ферромагнитных материалов алюминиевого электролизера. / Калимов А.Г., Важнов С.А.,

Павлов А.В., Скворцов А.П. // Сб. научных трудов «Научные и теоретические исследования в металлургии легких металлов». - СПб. - 2000. - С. 129-137.

112. Вабищевич П.Н. Экспериментальное и расчетное исследование запаса МГД-устойчивости электролизеров / Вабищевич П.Н. , А.О.Гусев, В.В. Платонов. // Технико-экономический вестник РусАл. - 2003. - №4. С. 1-4.

113. Davidson P.A. A New Model of Interfacial Waves in Aluminium Reduction Cells / Davidson P.A., Lindsay R.I. // Light Metals. - 1977. - P. 437-442.

114. Davidson P.A. Application of New Stability Criteria to Industrial Cell Design / Davidson P.A., Lindsay R.I. // Light Metals. - 1977. - P. 423-428.

115. Arkhipov G.V. Mathematical Modeling of Aluminum Reduction Cells in 'Russian Aluminum' Company / Arkhipov G.V. // Light Metals. - 2004. - P 473-482.

116. Chechurin V. A Simulation of Magneto-Hydrostatic Phenomena in Thin Liquid Layers of an Aluminum Electrolytic Cell / Chechurin V., Kalimov A., Minevich L., Svedentsov M., Repetto M. // IEEE Trans, on Magnetics - 2000. V. 36. - P. 13091312.

117. Kalimov A.G. Software complex to model magnetic fields and MHD effects in aluminum reduction cells / Arkhipov G.V., Kalimov A.G. // Workshop in numerical simulations for aluminum industry. - 2004. - Lausanne, Switzerland - P. 9-11.

118. Kalimov A. Modeling of the Magnetic Fields and MHD Stability in Aluminum Reduction Cells / Kalimov A., Potienko A., Vazhnov S. // Proc. of the international symposium «Aluminium 2006». - Montreal - 2006. - P. 467-478.

119. Panaitescu A. Recording the oscillations of the molten aluminum in the electrolysis cells. / Panaitescu A. // Revue Roumaine des Sciences Techniques. Electrotechnique et energetique. - 1995 - V.40 - P. 201-205.

120. Ногай А. К. Повышение магнитогидродинамической устойчивости алюминиевых электролизеров / Ногай А. К., Крюков В. В., Ефимов В. В., Испаров В. Н., Ларин В. В. // Цветные металлы. - 2005. - №11. - С. 65-67.

121. Panaitescu A. Research on the instabilities in the aluminum electrolysis cell / Panaitescu A., Moraru A, Panaitescu I. // Light Metals. - 2003. - P. 359-366.

122. Panaitescu A. Vertical magnetic field symmetry in aluminum electrolysis cells. / Panaitescu A. // Revue Roumaine des Sciences Techniques. Electrotechnique et energetique. - 1995 - V.40 - P. 43-48.

123. I.D. Mayergoyz. On calculation of 3-D eddy currents in conducting and magnetic shells. / I.D. Mayergoyz and G. Bedrosian, // IEEE Trans, on Magnetics. - 1995. -V.31. - № 3. P. 1319-1324.

124. K. Schmidt. Estimating the eddy-current modeling error. / K. Schmidt, O. Sterz, R. Hiptmair. // IEEE Trans, on Magnetics. - 2008. - V.44, № 6. - P. 686-689.

125. K. Schmidt. Asymptotic modeling of conductive thin sheets. / K. Schmidt, S. Tordeux. // Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Physik. - 2010. - V.61. - № 4. - P. 603-626.

126. K. Schmidt. High order transmission conditions for thin conductive sheets in magneto-quasistatics. / K. Schmidt, S. Tordeux. // ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis. - 2011. - V.45. - № 6. - P. 1115-1140.

127. K. Schmidt. A unified analysis of transmission conditions for thin conducting sheets in the time-harmonic eddy current model. / K. Schmidt, A. Chernov. // Preprint 2012-36, Institut fur Mathematik. TU Berlin, 2012.

128. Астахов В.И. Электромагнитный расчет проводящего диска. / Астахов В.И. // Электричество. - 1985. - № 7. - С. 32-38.

129. Астахов В.И. Интегральные параметры электромагнитного процесса в проводящих оболочках. / Астахов В.И. // Изв. ВУЗов. Электромеханика. 1985. -№5.-С. 5-17.

130. Астахов В.И. Задача расчета квазистационарного электромагнитного поля в проводящих оболочках. / Астахов В.И. // Изв. ВУЗов. Электромеханика. - 1985. - № 1.-С. 15-29.

131. Спивакова Г.В. Особенности расчета вихревых токов в проводящих тонкостенных немагнитных пластинах. / Спивакова Г.В., Чечурин B.JI. // Расчет и оптимизация параметров электромагнитных устройств и систем правления электроприводом. Омск: 1987, С. 126 - 130.

132. Воронин В.Н. Расчет вихревых токов в тонкостенных экранах методом скалярного потенциала. / Воронин В.Н., Спивакова Г.В., Чечурин B.JI. // Научные труды Московского энергетического института. - 1984. - № 44. - С. 35-38.

133. Астахов В.И. Электромагнитный расчет проводящих оболочек. / Астахов В.И. // 1 Всесоюзная конференция по теоретической электротехнике. Тезисы докладов и сообщений. - Ташкент. - 1987. - С. 111-112.

134. Salon S.J. An Integro-Differential Approach to Eddy Currents in Thin Plates / Salon S.J., Mathewson В., Uda S. // IEEE Trans, on Magnetics. - 1983. - V. Mag-19,-P. 2405-2408.

135. Mayergoyz I.D. On Calculation of 3D Eddy Currents in Conducting and Magnetic Shells. / Mayergoyz I.D., Bedrosian G. // IEEE Trans, on Magnetics. -V.31. - № 3. - 1995. - P. 1319 - 1324.

136. Sabariego R. Nonlinear Time-Domain Finite Element Modeling of Thin Conducting Shells. / Sabariego R., Guezaine C., Dular P., Gyselink J. // IEEE Trans, on Magnetics - 2009. - V. 45. - № 3. - P. 976 - 979.

137. Ren Z. T-£2 Formulation for Eddy-Current Problems in Multiply Connected Regions. / Ren Z. // IEEE Trans, on Magnetics. - 2002. - V. 38. №.2. P. 557-560.

138. Hantila F. Modelling Eddy Currents in Thin Shells. / Hantila F., Ciric I.R., Moraru A., Maricaru M.. // COMPEL. - 2009. - V. 28. - № 4. - P. 964-973.

139. Cameari N. Transient Eddy Current Analysis on Thin Conductors with Arbitrary Connections and Shapes. / Cameari N. // Journal on Computational Physics. - 1981. -V. 42.-№ l.P. 124-140.

140. Ciric I.R. Performance Analysis of Multiply Connected Thin Shields. / Ciric I.R., Hantila F., Moraru A., Maricaru M. // International Journal of Applied Electromagnetics and Mechanics. - 2010. - V. 33. - № 1-2. - P. 271-278.

141. Калимов А.Г. Применение интегро-дифференциальных уравнений для расчета вихревых токов в многосвязных тонкостенных проводящих оболочках // Калимов А.Г. / Электричество. - 2010. - № 5. - С. 63-69.

142. Guarnieri M. An Integral Method for Extremely Low Frequency Magnetic Shielding. / Guarnieri M., Moro F., Turn R. // IEEE Trans, on Magnetics, 2005. - V. 41. - № 5. - P. 1376-1379.

143. Feliziani M.. Field Analysis of Penetrable Conductive Shields by the Finite Difference Time Domain Method with Impedance Network Boundary Conditions (INBC's). / Feliziani M., Maradei F. // IEEE Trans, on Electromagnetic Compatibility. - 1999. - V. 41. - № 4. -P. 307-319.

144. Калимов А.Г. Оценка коэффициента экранирования низкочастотного магнитного поля корабельными конструкциями. / Калимов А.Г. Лаповок А .Я., Судов Н.Л. // Труды ЦНИИ им. Крылова. - 2008. - № 36. - С. 45-51.

145. Igarashi Н. A boundary element analysis of magnetic shielding for electron microscopes. / Igarashi H., Kost A., Honma T. // COMPEL. - 1998. - V. 17. - P. 585 - 594.

146. Kalimov A. Modeling of the Electromagnetic Fields in the Space Shielded by Thin Conducting Shells. / Kalimov A., Shimansky S., Vazhnov S. // Proceedings of the International Symposium "EMC EUROPE 2013". - Gent, Belgium. - 2013. -P.583-586.

147. Калимов А.Г. Совместное использование методов интегральных уравнений и конечных элементов для повышения точности расчета магнитного поля внутри замкнутых экранирующих систем. / Калимов А.Г., Важнов С.А. // Электричество. - 2011. - № 9. С. 67-73.

148. A.G. Kalimov. Calculation of High-Frequency Electromagnetic Fields in the Presence of Conducting Objects. / A.G. Kalimov, S.A. Vaznov, M.L. Svedentsov. // The 7-th Biannual IEEE Conference on Electromagnetic Field Computation. Advance Program. - Okayama, Japan. - 1996. - P. 71.

149. С.А. Важнов. Применение интегральных уравнений для расчета магнитных полей вихревых токов в условиях резкого поверхностного эффекта. / С.А. Важнов, А.Г. Калимов, М.Л. Сведенцов. // Изв. РАН «Энергетика». - 2010. - № 1. - С. 128-134.

150. Renhart W. Calculation of 3D eddy current problems by finite element method using either an electric or magnetic vector potential. / Renhart W., Stoengar H., Pries K. // IEEE Trans, on Magnetics - 1988. - V. 24. - P. 122 - 125.

151. I. Tsukerman. Finite-Element Simulation of Time-Dependent Electromagnetic Fields in the End Zone of Superconducting Motors. /1. Tsukerman, V. Dombrovski. // IEEE Trans, on Magnetics - 2002. - V. 38. - № 2. - P. 1265-1268.

152. K. Demirchian. Scalar potential concept for calculating the steady magnetic fields and eddy currents. / K. Demirchian, V. Chechurin, S. Sarma. // IEEE Trans, on Magnetics - 1976. - V. 12. - P. 1045-1046.

153. Ю.П. Кизимович. Математическое моделирование квазистационарных электромагнитных полей. / Ю.П. Кизимович, И.А. Цукерман. // Изв. АН СССР «Энергетика и транспорт». 1987. - Т. 25, №. 2. - С. 55-66.

154. Chari M.V.K. Three-dimensional vector potential analysis for machine field problems. / Chari M.V.K., Konrad A., Palmo M.A., D'Angelo J. // IEEE Trans, on Magnetics - 1982. - V. Mag-18. - P. 436 - 446.

155. Biddlecombe C.S. Methods for eddy current computation in three dimensions. / Biddlecombe C.S., Heighway E.A., Simkin J., Trowbridge C.W. // IEEE Trans, on Magnetics - 1982. - V. Mag-18. - P. 492 - 497.

156. Morisue T. Magnetic vector potential and electric scalar potential in three-dimensional eddy current problem. / Morisue T. // IEEE Trans, on Magnetics - 1982. -V. Mag-18.-P. 531 -535.

157. Ren Z. Solving 3D eddy current problems using second order nodal and edge elements / Ren Z., Ida N. // IEEE Trans, on Magnetics - 2000. - V. 36. P. 746-750.

158. I.D. Mayergoyz. Iterative Solution of 3D Eddy Currents Problems. / I.D. Mayergoyz, G. Bedrosian. // IEEE Trans, on Magnetics - 1993. - V. 29. - № 6. - P. 2335-2340.

159. Emson C.R.I. An optimal method for 3-D eddy currents. / Emson C.R.I., Simkin J. // IEEE Trans, on Magnetics. - 1983. - V. Mag.-19. - P. 2450 - 2452.

160. Salon S.J. Application of the hybrid finite element-boundary element method in electromagnetic. / Salon S.J., D'Angelo J. // IEEE Trans, on Magnetics - 1988. - V. 24-№ l.-P. 80- 85.

161. Aiello G. Finite element solution of eddy current problems in unbounded domains by means of the hybrid FEM-DBCI method. / Aiello G., Alfonzetti S., Dilettoso E. // IEEE Trans, on Magnetics - 2003. - V. 39 - № 3. - P. 1409-1412.

162. Kalimov A. Eddy current calculation using finite element method with boundary conditions of integral type. / Kalimov A., Vaznov S., Voronina T. // IEEE Trans, on Magnetics - 1997. - V. 33. - P. 1326-1329.

163. Калимов А.Г. Комбинированный метод расчета вихревых токов в немагнитных проводящих объектах. / Калимов А.Г., Воронина Т.Ю., Кожухова Н.В. // Математическое моделирование в энергетике. Тезисы докладов научно-технической конференции. - Киев. - 1990. - С. 144-145.

164. Титко А.И. Метод расчета вихревых токов в проводящих телах. / Титко А.И., Чечурин B.J1. // Изв. АН СССР «Энергетика и транспорт». - 1989. - № 6. -С. 69 - 74.

165. М. Gimignani. Integral Formulation for Nonlinear Magnetostatic and Eddy Currents Analysis. / M. Gimignani, A. Musolino, M. Raugi. // IEEE Trans, on Magnetics - 1994. - V. 30. - №. 5. - P. 3024-3027.

166. Mayergoys I.D. Boundary Galerkin's method for three-dimensional finite element electromagnetic field computation / Mayergoys I.D., Chari M.V.K., Konrad A. // IEEE Trans, on Magnetics - 1983. - V. MAG-19. - P. 2333-2336.

167. Menana H. An Integro-Differential Model for 3-D Eddy Current Computation in Carbon Fiber Reinforced Polymer Composites / Menana H., Feliachi M. // IEEE Trans, on Magnetics. - 2011. - V. 47. - P. 756-763.

168. Albert A. Comparison of a Direct and a Vector Potential Integral Equation Method / Albert A., Banucu R., Reinauer V., Scheiblich C., Rucker W.M. // IEEE Trans, on Magnetics. - 2012. - V. 48. - P. 599-602.

169. Demenko A. Calculation of inducted currents using edge elements and T-TO formulation / Demenko A., Sykulski J.K., Wojciechowski R. // IET Sci. Meas. Technol. - 2008. - V. 2. - №. 6. - P. 434-439.

170. Kwon O.-M., Development of integral equation solution for 3-D eddy current distribution in a conducting body / Kwon O.-M., K. Chari M. V., Salon S. J., Sivasubramaniam K. // IEEE Trans, on Magnetics - 2003. - V. 39. - P. 2612-2614.

171. Chen Q. A Finite Element - Green's function Method for the solution of unbounded Three-dimensional eddy current problems. / Chen Q. Konrad A., Biringer P.P. // IEEE Trans, on Magnetics - 1994. - V. 30. - P. 3048-3051.

172. Kettunen L. Discrete space for div and curl-free fields Kettunen L., Forsman K., Bossavit A. // IEEE Trans, on Magnetics - 1998. - V. 34. - P. 2551-2554.

173. А.Г. Калимов. Применение векторных конечных элементов для повышения точности расчета магнитного поля трансформаторов. / А.Г. Калимов, С.А. Шиманский. // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Наука и образование. -2011.- №4(135).-С. 205-210.

174. Manges J.B. A generalized tree-cotree gauge for magnetic field computation. / Manges J.B. Cendes Z.J. // IEEE Trans, on Magnetics. - 1995. - V. 31. - P. 13421347.

175. Albanese R. Integral formulation for 3D eddy-current computation using edge elements / Albanese R., Rubinacci G. // IEE Proceedings. - 1988. - V. 135. - № 7. -P. 457-462.

176. Miano G. A surface integral formulation of Maxwell equations for topologically complex conducting domains / Miano G., Villone F. // IEEE Trans, on Antennas and Propagation. - 2005. - V. 53. - P. 4001-4014.

177. Lu J.H. Transient Eddy Current Calculation Using Magnetic Vector Potential Method Combined with Incomplete Tree Gauge. / Lu J.H., Shao K.R. // IEEE Trans, on Magnetics - 1995. - V. 31. - P. 3515-3517.

178. Biro O. Edge element formulations of eddy current problems. / Biro O. // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1999. - V. 169. - P. 391-405.

179. Li Lin Cui Xiang. Analysis of 3D Nonlinear Eddy Current Problem Using the Field Variables H and E Directly. / Li Lin Cui Xiang. // IEEE Trans, on Magnetics -1997. - V. 33. - № 2. - P. 1179-1184.

180. Nedelic J.C. Mixed finite elements in R3 / Nedelic J.C. // Numerical Mathematics. - 1980. - V. 35. - P. 315-341.

181. Nedelic J.C. A new family of mixed finite elements in R3 / Nedelic J.C. // Numerical Mathematics. - 1986. - V. 50. - P. 57-81.

182. Cendes Z. Vector Finite Elements for Electromagnetic Field Computation. / Cendes Z. // IEEE Trans, on Magnetics - 1991. - V. 27. - P. 3958-3966.

183. Bossavit A. Whitney forms: a class of finite elements for three dimensional computations in electromagnetism / Bossavit A. // IEE Processing - 1998. - V. 135A. - № 8. - P. 493-500.

184. Баландин М.Ю. Векторный метод конечных элементов. / Баландин М.Ю., Шурина Э.П. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2001. - 69 с.

185. Yioultsis T.V. The mystery and magic of Whitney Elements - an insight in their properties and construction / Yioultsis T.V., Tsiboukis T.D. // International Compumag Society Newsletters. - 1996. - V. 3. - № 3. - P. 6-13.

186. Нечаев O.B. Использование векторного метода конечных элементов для численного решения квазистационарных уравнений Максвелла / Нечаев О.В., Шурина Э.П., Федорук М.П. // Вычислительные технологии. - 2004. Т. 9. - № 5.-С. 73-81.

187. Wong M.-F. A finite element method based on Whitney forms to solve Maxwell equations in the time domain / Wong M.-F., Picon O., Hanna V.F. // IEEE Trans, on Magnetics - 1995. -V. 31. - P. 1618-1621.

188. Lee J.F. Tangential vector elements for electromagnetic field computation. / Lee J.F., Sun D.K., Cendes Z.J. // IEEE Trans, on Magnetics - 1991. - V. 27. - P. 40324035.

189. Webb J. Edge Elements and What They can do for You / Webb J. // IEEE Trans, on Magnetics - 1993. - V. 29. - P. 1460-1465.

190. Mur G. Edge elements, their advantages and their disadvantages / Mur G. // IEEE Trans, on Magnetics - 1994. - V. 30. - P. 3552-3557.

191. Manges J. Generation of tangential Vector finite elements / Manges J., Cendes Z. // International Compumag Society Newsletters. - 1996. - V. 3. - № 1. - P. 4-10.

192. O Biro. An Edge Finite Element Eddy Current Formulation Using a Reduced Magnetic and a Current Vector Potential. / O. Biro, K. Preis. // IEEE Trans, on Magnetics - 2000. - V. 36. - № 5. - P. 3128-3130.

193. Kalimov A.G. Modeling Magnetization Using Whitney Facet Elements. / Kalimov A.G., Vishnevsky A.M., Lapovok A.A. // IEEE Trans, on Magnetics. -2002. - V.38. - № 2. - P. 489 - 492.

194. Lee J-F. Loop Star Basis Functions and a Robust Preconditioner for EFIE Scattering Problems / Lee J-F., Lee R., Burkholder J. // IEEE Trans, on Antennas and Propagation. - 2003. - V. 11. - P. 1855-1863.

195. Ruehli A. Equivalent circuit models for three-dimensional multiconductor systems / Ruehli A. // IEEE Trans, on Microwave Theory Tech. - 1974. - V. MTT-22.-P. 216-221.

196. Alotto P. A General Framework for Mixed StructuredAJnstructured PEEC Modeling / Alotto P., Freschi. F., Repetto M. // ACES Jornal. - 2008. - V. 23. - P. 200-206.

197. Alotto P. Dual-PEEC modeling of a two-port TEM cell for VHF applications. / Alotto P., Desideri F., Freschi F., Maschio A., Repetto M. // IEEE Trans, on Magnetics.-2011. -V. 47. - P. 1486-1489.

198. Tsuboi H. Eddy Current Analysis on Thin Conducting Plate by an Integral Equation Method Using Edge Elements / Tsuboi H., Asahara T., Kobayashi F., Misaki T. // IEEE Trans, on Magnetics. - 1998. - V. 33. - P. 1346-1349.

199. Graglia R.D. The Numerical Integration of the Linear Shape Functions Times the 3-D Green's Function or its Gradient on a Plane Triangle / Graglia R.D. // IEEE Trans. Antennas and Propagation. - 1993. - V. 41. - P. 1448-1455.

200. Fujita H. Nonlinear Eddy Current Analysis of Thin Steel Plate by Boundary Integral Equations / Fujita H., Ishibashi K. // IEEE Trans, on Magnetics - 2008. - V. 44.-P. 758-761.

201. Kalimov A. Eddy Currents Computation by an Integral Equation Method Using Facet Elements. / Kalimov A., Lysenko D. // Proceedings of the COMPUMAG 2013 International Conference, Budapest, Hungary. - 2013.

202. H. De Gersem. Three-Dimensional-Two-Dimensional Coupled Model for Eddy Currents in Laminated Iron Cores. / H. De Gersem, S. Vanaverbeke, G. Samaey. // IEEE Trans, on Magnetics. - 2012. - V. 48. - № 2 - P.815-818.

203. E. Dlala. Interdependence of hysteresis and eddy-current losses in laminated magnetic cores of electrical machines. / E. Dlala, A. Belahcen, J. Pippuri, A. Arkkio. // IEEE Trans, on Magnetics - 2010. -V. 46. - № 2. - P. 306-309.

204. K. Preis. FEM analysis of eddy current losses in nonlinear laminated iron cores," K. Preis, O. Biro, and I. Ticar. // IEEE Trans, on Magnetics - 2005. - V. 41. - № 5. P. 1412-1415.

205. E. Schmidt. Calculation of eddy current losses in metal parts of power transformers. / E. Schmidt, P. Hamberger, and W. Seitlinger // COMPEL. - 2003. -V. 22.-№4.-P. 1102-1114.

206. J. Pippuri. Time-harmonic induction-machine model including hysteresis and eddy currents in steel laminations. / J. Pippuri, A. Arkkio, // IEEE Trans, on Magnetics - 2009. - V. 45. - № 7. P. 2981-2989.

207. H. Kaimori. FEM computation of magnetic field and iron loss in laminated iron core using homogenization method. / H. Kaimori, A. Kameari, K. Fujiwara. // IEEE Trans, on Magnetics - 2007. - V. 43. - № 4. - P. 1405-1408.

208. V. Silva. A 3-D finite element computation of eddy currents and losses in laminated iron cores allowing for electric and magnetic anisotropy. / V. Silva, G. Meunier, A. Foggia. // IEEE Trans, on Magnetics - 1995. - V. 31. - №. 3. - P. 21392141.

209. P. Dular. A time-domain homogenization technique for lamination stacks in dual finite element formulations. / P. Dular. // J. Comput. Appl. Math. - 2008. - V. 215. -P. 390-399.

210. J. Gyselinck. Calculation of eddy currents and associated losses in electrical steel laminations. / J. Gyselinck, L. Vandevelde, J. Melkebeek, P. Dular, F. Henrotte, W. Legros. // IEEE Trans, on Magnetics - 1999. - V. 35. - №. 3. -,P. 1191-1194.

211. P. Dular. A 3-D magnetic vector potential formulation taking eddy currents in lamination stacks into account. / P. Dular, J. Gyselinck, C. Geuzaine, N. Sadowski, and J. Bastos. // IEEE Trans, on Magnetics - 2003. - V. 39. - № 3. - P. 1424-1427.

212. Калимов А. Применение интегро-дифференциальных уравнений электромагнитного поля для расчета переходных процессов в ферромагнитных шихтованных структурах. / Калимов А. // Электричество. - 2008. - № 12. - С. 48-55.

213. Вольник Г. Оптика заряженных частиц./ Вольник Г. - СПб.: Энергоатомиздат , 1992.- 280 с.

214. Tanabe J. Т. Iron Dominated Electromagnets. Design, Fabrication, Assembly and Measurements. / J. T. Tanabe - UK, London.: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2005. - 335 p.

215. Kalimov A. Design of an Iron Dominated Quadrupole Magnet with a High PoleTip Flux Density. / Chernosvitov A., Kalimov A., Wollnik H. // IEEE Trans, on Applied Superconductivity. - 2002. - V.12. - № 1. - P. 1430-1433.

216. Kalimov A. Optimization of the Pole Shape of Quadrupole Magnet by MULTIMAG. / Kalimov A., Potienko A., Wollnik H. // IEEE Trans, on Applied Superconductivity. - 2006. - V. 16. - № 2. - P. 1282-1286.

217. Oganessian Yu.Ts. The project of the mass separator of atomic nuclei produced in heavy ion induced reactions. / Oganessian Yu.Ts., Kalimov A., et. al. // Nuclear Instruments and Methods in Physical Research. - 2003. - V. В 204. - P. 606-613.

218. Akishin P. The Dipole Magnet Design for the ALICE DiMuon Arm Spectrometer. / Akishin P., Kalimov A., et. al. // IEEE Trans, on Applied Superconductivity. - 2002. - V.12. - № 1. P. 399 - 402.

219. Kalimov A. Design of a Superferric Quadrupole Magnet with a High Field Gradient. / Fischer E., Kalimov A. Kornyshov R., Moritz G., Muehle C., Shcherbakov P. // IEEE Trans, on Applied Superconductivity. - 2006. - V.16. - №.2. - P. 403-406.

220. Moritz. G. Static and Dynamic Behavior of the SIS Dipole Magnet. / Moritz G., Klos F., Langenbeck B., Zweig K. // IEEE Trans, on Magnetics. - 1996. - V. 32. - P. 3065-3068.

221. Kalimov A. Dynamic Processes in Laminated Magnets: Simulation and Comparison with Experimental Results. / Kalimov A., Langenbeck B., Moritz G.. // IEEE Trans, on Applied Superconductivity. - 2002. - V. 12. - № 1. - P. 98-101.

222. Kalimov A.G. Concept of a compact achromatic proton gantry with a wide scanning field. / Kalimov A.G., Vorobiev L.G., Wollnik H., Winkler M.. // Nuclear Instruments and Methods in Physical Research. - 1998. — V. A 406. - P. 307-310.

223. Kalimov A. Magnets for the Heavy-Ion Therapy Accelerator Facility (HICAT) for the Clinic in Hidelberg. / Kalimov A., Muehle C., Langenbeck B., Kloss F., Moritz G., Schlitt B. // IEEE Trans, on Applied Superconductivity. - 2004. - V. 14. -№2.-P. 461-464.

224. Kalimov A. Wide-aperture magnets for an isocentric gantry for light-ion cancer therapy. / Kalimov A., Wollnik H. // Nuclear Instruments and Methods in Physical Research. - 1999. - V. A 428. - P. 508-512.

225. Kalimov A. A design for a wide-aperture 90° bending magnet for heavy-ion cancer therapy. / Kalimov A., Langenbeck B., Mühle C. // IEEE Trans, on Applied Superconductivity. - 2002. - V. 12. - № 1. - P. 94 - 97.

226. Kalimov A. Design of a Superferric Dipole Magnet with High Field Quality in the Aperture / Kalimov A., Moritz G., Zeller A. // IEEE Trans, on Applied Superconductivity. - 2004. - V. 14. - № 2. - P. 271-274.

227. Fischer E. Investigation of the Power Losses in a Laminated Dipole Magnet with Superconducting Coils / Fischer E., Hess G., Kalimov A., Moritz G., Muehle C. // IEEE Trans, on Applied Superconductivity. - 2004. - V. 14. - № 2. - P. 267-270.

228. Kalimov A. Optimization of a Superferric Nuclotron Type Dipole for the GSI Fast Pulsed Synchrotron / Kalimov A., Kovalenko A.D., Khodzhibagyan H.G., Moritz G., Mühle C. // IEEE Trans, on Applied Superconductivity. - 2002. - V. 12. -№ l.-P. 161 - 165.

229. Fischer E. Status of the Design of a Full Length Superferric Dipole and Quadrupole Magnets for the FAIR SIS 100 Synchrotron. / Fischer E., Alfeev A., Kalimov A., Khodzhibagiyan H., Kovalenko A., Kuznetsov G., Moritz G., Muehle C., Seleznev V. // IEEE Trans, on Applied Superconductivity. - 2007. - V. 17. - № 2. -P. 1078-1082.