Разработка алгоритмов решения задач магнитостатики с использованием метода граничных элементов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Ступаков Илья Михайлович

• Ступаков Илья Михайлович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Ступаков Илья Михайлович

Введение

Глава 1. Методы решения задач магнитостатики с использованием МКЭ

и МГЭ

1.1. Математические модели магнитостатики

1.1.1. Модель с полным скалярным потенциалом

1.1.2. Модель с неполным скалярным потенциалом

1.1.3. Модель с двумя потенциалами

1.1.4. Обобщенная модель

1.2. Метод граничных элементов

1.2.1. Вариационные постановки для краевых задач

1.2.2. Дискретизация вариационных уравнений

1.2.3. Учет симметрии в МГЭ

1.2.4. Вычисление решения в МГЭ

1.3. Метод конечных элементов

1.3.1. Вариационная постановка и дискретизация

1.3.2. Вариационная постановка для нескольких подобластей

1.4. Вычисление производных решения по параметрам геометрии

1.5. Метод декомпозиции на подобласти

1.5.1. Описание FETI

1.5.2. Предобусловливание

Глава 2. Вычисление потенциалов

2.1. Методы вычисления несобственных интегралов

2.2. Аналитическое вычисление потенциалов

2.2.1. Вычисление потенциала простого слоя

2.2.2. Вычисление потенциала двойного слоя

2.2.3. Вычисление потенциала простого слоя от вектора

2.2.4. Вычисление потенциала двойного слоя от вектора

2.3. Учет токовых обмоток

2.3.1. Вычисление напряженности поля токовых обмоток

2.3.2. Вычисление вектор-потенциала поля токовых обмоток

2.4. Использование мультипольного разложения

2.5. Выводы

Глава 3. Описание программного комплекса Quasar

3.1. Структура программного комплекса Quasar

3.2. Автоматизация построения согласованных базисов высокого порядка в методе конечных элементов

3.3. Вычисление локальных матриц в комплексе Quasar

3.4. Выводы

Глава 4. Верификация

4.1. Сравнение результатов моделирования с измерениями

4.2. Сравнение с комплексом TELMA при моделировании H-образной балки

4.3. Сравнение реализованных методов между собой, на примере T-образной балки

4.4. Оценка эффективности FMM на задаче с большим количеством объектов

4.5. Проверка процесса подбора геометрии на тесте с известным ответом

4.6. Выводы

Глава 5. Решение практических задач

5.1. Моделирование возмущений магнитного поля внутри помещений

5.2. Оптимизация геометрии ускорительных магнитов

5.3. Выводы

Заключение

Список литературы

Приложение А. Некоторые формулы векторного анализа

Приложение Б. Документы о внедрении результатов диссертационной

работы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка алгоритмов решения задач магнитостатики с использованием метода граничных элементов»

Введение

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности. Актуальность темы следует из необходимости высокоэффективных методов численного моделирования при проектировании технических устройств. С ростом сложности технических устройств растут и требования к точности требуемых для их проектирования расчетов. Так, при проектировании современных ускорительных магнитов[76; 85] зачастую требуется вычисление магнитного поля с точностью до долей процента. Для получения требуемой точности с использованием метода конечных элементов требуются подробные сетки очень высокого качества. Особенно остро эта проблема проявляется в задаче автоматической оптимизации формы ускорительных магнитов, когда требуется постоянно перестраивать сетку и вычислять производные минимизируемого функционала в зависимости от оптимизируемых параметров геометрии магнита. Сохранять в этих условиях качество ко-нечноэлементной сетки, с учетом того, что сильные изменения сетки будут крайне негативно отражаться на процессе минимизации, становится весьма нетривиальной задачей. Поэтому в основном рассматривают решение либо двухмерных задач оптимизации[63; 70], либо ограничиваются линейной задачей магнитостати-ки[59; 64], пологая коэффициент магнитной проницаемости независящим от поля.

Применение подхода с совместным использованием методов конечных и граничных элементов позволяет избавиться от необходимости построения сетки в большой части расчетной области, что дает возможность значительно упростить построение сетки. Еще одним преимуществом такого подхода является возможность учета неограниченной внешней области естественным образом, без необходимости задания удаленной границы. Помимо этого, применение метода граничных элементов позволяет получить значительно более гладкое решение, менее чувствительное к особенностям сетки, что улучшает сходимость методов оптимизации.

Используемые в настоящее время для расчетов ускорительных магнитов программные комплексы, такие как MERMAID, Opera3D, MASTAC и ANSYS, не используют метод граничных элементов. В разработанном CERN программном комплексе ROXIE применяется совместный метод конечных и граничных элементов, однако используется менее эффективная постановка с векторным магнитным потенциалом.

Цель работы состоит в разработке и реализации методов численного моделирования для эффективного решения задач магнитостатики, возникающих при проектировании технических устройств. В соответствии с поставленной целью предусмотрено решение следующих задач.

1. Разработать вычислительную схему с возможностью декомпозиции расчетной области на подобласти, позволяющую выбирать способ аппроксимации в каждой подобласти, с возможностью использования коэффициента магнитной проницаемости, зависящего от магнитного поля.

2. Разработать эффективные методы вычисления магнитного поля токовых обмоток в однородном пространстве.

3. Исследовать возможность моделирования возмущений магнитного поля внутри помещений.

4. Исследовать эффективность различных вариантов решения задачи оптимизации геометрии ускорительных магнитов.

Научная новизна работы:

1. Разработана вычислительная схема для совместного использования конечных и граничных элементов при численном решении задач магнитостатики на основе модели с полным и неполным скалярными потенциалами.

2. Разработаны и реализованы эффективные вычислительные схемы метода граничных элементов на основе мультипольного разложения.

3. Разработан исследовательский программный комплекс Quasar, в котором реализована технология автоматического согласования базисных функций и расчета локальных матриц, для которой необходимо задать только выражения для локальных базисных функций.

Методы исследования основаны на использовании метода конечных и граничных элементов для решения трехмерных нелинейных задач магнитостатики, быстрого мультипольного метода для ускорения метода граничных элементов, методов многомерного нелинейного программирования для оптимизации геометрии ускорительных магнитов.

На защиту выносятся:

1. Вычислительная схема для решения трехмерных нелинейных задач магнитостатики, допускающая совместное использование конечных элементов в подобластях с полным скалярным магнитным потенциалом и граничных элементов в подобластях с неполным скалярным магнитным потенциалом, позволяющая учитывать нелинейные свойства ферромагнетиков и условия симметрии моделируемого процесса.

2. Результаты исследований эффективности мультипольной реализации метода граничных элементов, на примере решения задачи с большим количеством ферромагнитных объектов.

3. Эффективные алгоритмы вычисления векторного магнитного потенциала и индукции магнитного поля токовых обмоток в однородном пространстве.

4. Объектно-ориентированный программный комплекс Quasar, реализующий все описанные в работе вычислительные схемы и алгоритмы.

Достоверность результатов обеспечивается корректным применением доказанных теоретических положений, апробированных методов, тестированием разработанных программ, верификацией результатов на модельных задачах, путем независимого решения их различными методами, сравнением решений задач с решениями других авторов, сравнением результатов моделирования с результатами экспериментальных электромагнитных измерений.

Практическая значимость и реализация результатов

Практическая значимость работы состоит в возможности использования разработанных математических моделей, численных методов и реализующего их комплекса программ Quasar при решении задач проектирования и автоматической оптимизации геометрии магнитов в ускорителях заряженных частиц.

Результаты проведенных исследований и разработанное программное обеспечение нашли практическое применение в учебном процессе на факультете прикладной математики и информатики ФГБОУ ВО «Новосибирский государственный технический университет», при создании и оптимизации геометрии магнитных систем ускорителей заряженных частиц в ФГБУН Институт ядерной физики им. Г.И. Будкеpа Сибирского отделения Российской академии наук, что подтвер-

ждается соответствующими документами о внедрении (приложение Б) и были использованы при выполнении следующих работ:

• Хоздоговорной работы «Конечноэлементные исследования магнитных полей косинусных магнитов» (2009 г, ИЯФ СО РАН).

• Государственного контракта № 14.740.11.0709 (разработка комплекса программ для автоматизации 3D проектирования дипольных магнитов) от 12 октября 2010 г

• Договора с компанией Samsung по теме «Sophisticated Modeling of Indoor Magnetic Field Disturbance» (Сложное моделирование распределения геомагнитного поля в здании) за 2011-2012 гг.

Теоретическая значимость работы состоит в том, что исследована эффективность различных вычислительных схем с совместным использованием конечных и граничных элементов.

Личный вклад автора заключается в формулировке математической модели, разработке и реализации вычислительных схем, получении аналитических выражений для используемых потенциалов, проведении вычислительных экспериментов, разработке комплекса программ Quasar для решения трехмерных нелинейных задач магнитостатики.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались на Всероссийской научной конференции молодых ученых «Наука Технологии Инновации» (Новосибирск, 2006, 2010, 2012 и 2013), Всероссийской конференции по вычислительной математике (Новосибирск, 2009), XVII международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Дубна, 2010), VII Всероссийской межвузовской конференции молодых ученых (Санкт-Петербург, 2010), Российской научно-технической конференции «Обработка информационных сигналов и математическое моделирование» (Новосибирск, 2012), I Всероссийском конгрессе молодых ученых (Санкт-Петербург, 2012), международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (Новосибирск, 2012 и 2014), международной конференции «Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики» (Новосибирск, 2014).

Публикации: основные положения диссертационной работы опубликованы в 12 работах, в том числе 3 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК, 8 статей

в сборниках трудов, 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы и двух приложений. Общий объем основной части составляет 101 страницу и включает 42 рисунка, 3 таблицы и список использованных источников из 88 наименований.

Первая глава содержит изложение моделей и методов решения трехмерных задач магнитостатики. Рассматриваются модели с использованием полного, неполного и двух скалярных магнитных потенциалов, с возможностью учета постоянных магнитов и зависящем от поля коэффициентом магнитной проницаемости.

Приводится изложение метода граничных элементов с вариационной постановкой в форме Галеркина, для внешних и внутренних задач Дирихле и Неймана. Изложена постановка с оператором Стеклова-Пуанкаре, удобная для использования совместно с методом конечных элементов. Кратко изложен метод конечных элементов.

Изложен метод вычисления производных решения по параметрам геометрии, позволяющий значительно ускорить их вычисление в некоторых случаях.

Приводится изложение метода декомпозиции FETI, который позволяет получить более эффективную схему совместного применения методов конечных и граничных элементов. Изложен подход к предобусловливанию метода FETI применительно к нелинейной задаче магнитостатики.

Вторая глава посвящена вычислению потенциалов. Приводится метод вычисления граничноэлементных сингулярных и близких к сингулярным интегралов путем выделения особенности в отдельный, независящий от плотности потенциала, интеграл. Изложено получение аналитических выражений для требуемых интегралов.

Далее приводится метод вычисления поля от токовых обмоток. Вводится система координат, позволяющая свести вычисление интеграла из закона Био-Савара-Лапласа, к вычислению интеграла по контуру Приводится вывод аналитических выражений для интегралов по сечению обмотки, с учетом якобиана преобразования, необходимых в предложенном методе. Изложен быстрый мульти-польный метод применительно к вычислению требующихся интегралов.

В третьей главе приводится описание архитектуры программного комплекса Quasar, перечисляются его основные функциональные особенности. Предложен универсальный подход к быстрому вычислению конечноэлементных матриц для случая элементов аффинно-изоморфных мастер-элементу. Изложен метод построения согласованных базисов высокого порядка через анализ локальных базисных функций на мастер-элементе.

Четвертая глава посвящена верификации математических моделей и тестированию разработанного комплекса. В ней приводится сравнение расчетов с измерениями при моделировании искажений магнитного поля вокруг ферромагнитного объекта, сравнения результатов с программным комплексом TELMA, сравнение точности моделирования метода граничных и конечных элементов с использованием различных базисных функций и оценка эффективности быстрого мультипольного метода при моделировании задачи с большим количеством ферромагнитных объектов. Приводится тестирование подбора геометрии с помощью различных методов минимизации на тесте с известным ответом.

В пятой главе приводятся примеры решения практических задач с использованием разработанного комплекса. Изложены результаты моделирования возмущений магнитного поля Земли ферромагнитными элементами конструкции здания. Приводятся результаты автоматизированной оптимизации геометрии C-образного дипольного магнита, полученные при использовании совместного метода конечных и граничных элементов.

В заключении приведены выводы и основные результаты работы.

Глава 1. Методы решения задач магнитостатики с использованием МКЭ и МГЭ

1.1. Математические модели магнитостатики

Задачей магнитостатики будем называть задачу нахождения стационарного магнитного поля по известному распределению токов. Эта задача может быть описана системой из двух уравнений

гО H = J,

div Б = 0,

(1.1)

где Н - вектор напряженности магнитного поля, 3 - вектор сторонних токов, Б = ¡Н + ¡0М - вектор индукции магнитного поля, ¡1 - магнитная проницаемость, ¡0 - магнитная проницаемость в вакууме, а М - собственная намагниченность.

Вместо решения системы (1.1) напрямую, как правило, удобнее перейти к уравнениям относительно потенциала. Применяются различные модели [18; 76] с использованием скалярного или векторного магнитного потенциала. Поскольку модели со скалярным потенциалом приводят к задаче меньшей размерности и являются более эффективными, будем далее рассматривать только их.

Для того чтобы можно было использовать одновременно различные модели, удобно разбить пространство на отдельные области. Тогда в каждой области должны выполнятся уравнения (1.1), а на границах между областями должны выполнятся условия непрерывности нормальной компоненты Б и касательной компоненты Н:

Б п

Н х п

= 0,

(1.2)

= 0.

г

При использовании моделей со скалярным потенциалом, вместо учета токов напрямую, вводят понятие «внешнего» поля Н5, удовлетворяющего системе (1.1)

в однородном пространстве, т.е.

rot Hs = J,

div n0Hs = 0.

(1.3)

Решение этой системы может быть найдено аналитически, исходя из закона Био-Савара-Лапласа [12]

- / л 1 f J(x) , Hs (y) = T- rot / —Цdx.

4n J |x - y|

(1.4)

Q

1.1.1. Модель с полным скалярным потенциалом

В случае, когда в односвязной области отсутствуют токи, т.е. rot H = 0, можно

записать

H = — grad uT,

(1.5)

где ит называют полным скалярным потенциалом. Обозначим область, где решение ищется в виде полного потенциала, через , границу между областями с полным потенциалом через Гтт, внешнюю границу через Гт.

Подставляя (1.5) во второе уравнение системы (1.1), с учетом связи между Й и В, получаем

(1.6)

— div (д grad uT) = — div •

На границе между областями с полным потенциалом должны выполнятся условия (1.2). С учетом (1.5) первое условие принимает следующий вид:

д

duT д n

ц0 M • П

TT

Г

(1.7)

TT

Второе условие [grad ит х п] Гтт = 0 сводится к требованию константности скачка потенциала при переходе через границу Действительно, исходя из определения (1.5), потенциал определен лишь с точностью до константы, и в каждой области эта константа, в принципе, может быть различной. Однако, для определенности, удобнее наложить на полный потенциал требование непрерывности.

На внешней границе поле Й должно совпадать с полем Й. Для этого можно использовать краевое условие на поток

д

дит д n

д^ • П

Гт

Гт

(1.8)

при этом предполагается, что намагниченность на внешней границе отсутствует. В чистом виде модель с полным потенциалом применима достаточно редко, например, когда источником в задаче служит магнитное поле Земли.

1.1.2. Модель с неполным скалярным потенциалом

Использование неполного скалярного потенциала при численном решении задач магнитостатики было предложено в работах [33; 87]. Вычитая первое уравнение системы (1.3) из первого уравнения системы (1.1), получаем rot (н — Hs) = 0, а значит H можно искать в виде

H = Hs — grad ur,

(1.9)

где ид называют неполным скалярным потенциалом. Обозначим область, где решение ищется в виде неполного потенциала, через , границу между областями с неполным потенциалом через Гдд, внешнюю границу через Гд.

Подставляя (1.9) во второе уравнение системы (1.1), с учетом связи между Й и В, получаем

— div (дgradид) = — div (дЙ5 + д0М^ . (1.10)

На границе между областями с неполным потенциалом должны выполняться условия (1.2). Условие непрерывности нормальной компоненты В, с учетом (1.9), можно записать в виде

duR

Д л-д n trr

д^ + д0М • П

(1.11)

Г

RR

а для выполнения условия непрерывности касательной компоненты Й, также как и в случае с полным потенциалом, достаточно потребовать непрерывности потенциала.

Поле Й на внешней границе должно совпадать с полем Й5. Учитывая (1.9), это условие можно записать в виде краевого условия Дирихле (краевого условия первого типа)

ид =0. (1.12)

Гд

К недостаткам этой модели относится высокая погрешность [18; 65; 66] при решении задачи с коэффициентом д, зависящим от поля.

1.1.3. Модель с двумя потенциалами

Поскольку модель с неполным потенциалом обладает рядом серьезных недостатков, а использование полного возможно только в достаточно редко встречающихся задачах, была предложена комбинированная модель [18; 28; 30; 31; 80; 81], в которой используются сразу два потенциала. Полный потенциал обычно используется внутри металлов, а неполный в воздушной среде. Отметим, что для выполнения закона Ампера требуется, чтобы нельзя было обойти ненулевой ток по подобласти полного потенциала.

Таким образом, в областях с полным потенциалом должно выполняться уравнение (1.6), в областях с неполным потенциалом уравнение (1.10), на границах между областями с полным потенциалом условия (1.7), а на границах между областями с неполным потенциалом условия (1.11).

Осталось определить условия на границе между полным и неполным потенциалами. Обозначив эту границу через Гтд, условия связи можно записать в виде

(— grad ит х и)

= gradид х и + Й х п|

Гтд

= ( —д + Д0М • и + дЙ

Гтд

(—д ^^ + доМ • и ) = (—д ^^ + доМ • и + дЙ • и )

V ди ) гтд V ди )

(1.13)

(1.14)

Гтд

Из условия (1.13) видно, что при вычислении Й5 через закон Био-Савара-Лапласа (1.4) определить потенциал всюду непрерывным нельзя1. Введем функцию разрыва в так, чтобы на границе Гтд выполнялось равенство ит — ид = в. Тогда для выполнения условия (1.13) требуется, чтобы функция в удовлетворяла

1 Отметим, что в принципе возможно использовать модель с полностью непрерывным потенциалом [66], но для этого требуется выделить внешнее поле Йя таким образом, чтобы на границе Гтд оно было равно нулю.

следующему уравнению:

[— grad в х n] = Й х n

• (1.15)

Гтд

1.1.4. Обобщенная модель

Пусть расчетная область Q разбита на непересекающиеся подобласти Qi. Обозначим через Г границу üi, через Г^ границу между Qi и Qj, а через ui, ßi и M^ - соответственно потенциал, магнитную проницаемость и намагниченность в

Q,

Для записи условий на границах областей введем операторы следа Дирихле 7о и следа Неймана y1 :

Y0u (x) = о lim г u (r) , yo : H1 (Qi) ^ H1/2 (ri),

Y\u (x) = lim ni (x) • gradu (r), y\ : H1 (Qi) ^ H—1/2 (ri),

rGOj,r^xGrj

где ni - внешняя нормаль к области Qi, а H1 (üi), H1/2 (ri) и H—1/2 (ri) - пространства Соболева [1; 82] с соответствующим нормами: 2 2 grad 2

\\u\\h 1 (о) = \\u\\l2(o) + llgradu\\l2(o) ,

II l|2 || ||2 , i f\u (x) — u (y)|2 d d

\\u\\h 1/2(Г) = \u|L2(r) + Г J |x — y|d-dxdy

|u\H-1/2(Г) = sup (u,v)— , (u,v) = f u (x) v (x) dx^ 0=«GH 1/2(Г)\\v\\h 1/2(Г) ./

Будем полагать, что все М являются постоянными и не равны нулю только во внутренних подобластях (этого достаточно для учета постоянных магнитов, встречающихся в задачах магнитостатики). Также будем полагать, что в подобластях с неполным потенциалом 1 являются константами. С учетом этих предположений, уравнения (1.6) и (1.10) принимают вид

— div 1 щ (х) = 0, х е 0^ с От, (1.16)

—Дщ (х) = 0, х е 0г с 0Д, (1.17)

где функции щ е Н1 (0г).

Будем считать, что на внешнюю границу О выходят только области с неполным потенциалом. Тогда условия на границах можно записать в виде

70щ (х) = 0, 70Щ (х) — 7оЩ (х) = 70Щ (х) — 70щ (х) = 70 0 (х), щ(х) +13Цщ(х) = /г (х) + (х)

х е Гг п до, х е Гг,- п (Гтт и Гдд), х е Г г- п Гтд, х е Гг- ,

(1.18а) (1.18Ь) (1.18с) (1.Ш)

где

¡0Мг • пг, если 0г с 0т,

(¡0^ + • Пг, если 0г С 0д.

(119)

1.2. Метод граничных элементов

Рассмотрим решение методом граничных элементов краевой задачи для уравнения Лапласа

—Ап (х) = 0, А 70п1щ (х)+ В 7^ (х) = д (х)

х е 0 с

х е Г = д0,

(1.20) (1.21)

1т

где щ е Н (0) - искомая функция, А и В - некоторые линейные операторы, а 70 и 71п1 - след Дирихле и след Неймана соответственно.

Если 0 представляет собой ограниченную область, задача называется внутренней, в противном случае - внешней. Для внешней задачи дополнительно требуется задать условие регулярности на бесконечности. Будем использовать условие

(и)

щ (х) = О — при |х| ^ о.

(1.22)

Фундаментальным решением уравнения (1.20) называется функция, удовлетворяющая уравнению

—Аи* (х, у) = 6 (х — у).

(1.23)

В явном виде эта функция выглядит следующим образом:

и* (х, у) =

- Ч

2п |х - у| 1 1 4п|х - у|

при d = 2, при d = 3,

(1.24)

где d - размерность пространства.

Для получения интегрального представления решения уравнения (1.20) подставим во вторую формулу Грина

/ (V (х) Аи (х) - и (х) Ау (х))бх =

п

= ! (т^ (х) 7}пП (х) - 70пП (х) (х)) dx г

вместо V функцию (1.24). С учетом (1.20) и (1.23) получим2

* (У) и (у) = / и * (х, у) 71пП (х) dx - I 7Гх и * (х, у) (х) бх, (1.25)

Ш т т*

дпс

где

* (у) =

1 у е п ,

1 у е Г3,

2 ^ '

о у еп.

(1.26)

Первый интеграл в формуле (1.25) называется потенциалом простого слоя, а второй - потенциалом двойного слоя. Отметим, что с учетом (1.22) формула (1.25) остается верной и для случая неограниченной области.

При помощи формулы (1.25) можно вычислить решение в любой точке внутри области, если известны значения функции и потока на границе. Также из нее можно получить граничные интегральные уравнения, на которых основывается метод граничных элементов.

2Подробный вывод приводится в [25; 82].

3Граница в точке у должна быть гладкой. В противном случае значение а (у) связанно с углом в точке у.

1.2.1. Вариационные постановки для краевых задач Задача Дирихле

Задачей Дирихле для уравнения Лапласа называют краевую задачу, в которой известен след Дирихле функции и:

70*и (х) = д (х), ж е Г.

Поскольку след Дирихле в такой задаче известен изначально, для того, чтобы по формуле (1.25) получить решение, остается вычислить след Неймана. Для этого применим оператор 70п1 к уравнению (1.25) и запишем результат в операторной форме

Т0пи = V и + (1 - а) 70пи - К 70пи, (1.27)

где V - оператор простого слоя, который является ограниченным самосопряженным и эллиптичным в пространстве Н—1/2 (Г). Оператор двойного слоя К является ограниченным, а а — определяется в (1.26). Слагаемое (1 — а) 7(п1и появляется из-за того, что потенциал двойного слоя имеет разрыв на границе.

Преобразуем уравнение (1.27) к виду, удобному для определения следа Неймана:

V 71п1и = К 70п1и, (1.28)

где К = а I + К, а I — тождественный оператор.

Для получения слабой формы уравнения (1.28) воспользуемся методом Га-леркина. Поскольку 71п1и е

Н—1/2 (Г), для получения симметричной постановки потребуем, чтобы невязка уравнения была ортогональна пространству Н—1/2 (Г)

(V ^и^) = (К7(0пУ^ , ^ е Н—1/2 (Г). (1.29)

По теореме Лакса-Мильграма [10; 13; 82], уравнение (1.29) имеет единственное решение, а оператор V обратим. Отметим, что уравнение (1.29) остается справедливым и для неограниченной области в случае выполнения условия (1.22).

4Вывод уравнения (1.28) и свойств операторов V и К приводятся в книге [82]. Для эллиптичности оператора V в двухмерном случае требуется дополнительное условие — Шат И < 1.

Задача Неймана

Задачей Неймана называют краевую задачу, в которой известен след Неймана функции и:

71пП (х)= д (х) , х е Г.

Для решения этой задачи применим оператор 71й к уравнению (1.25) и запишем результат в операторной форме

7}п!и = а^Т'и + К' 71пП + D 70п1и, (1.30)

где К' - сопряженный оператор двойного слоя, а D - гиперсингулярный граничный интегральный оператор, который является ограниченным самосопряженным и полу-эллиптичным в пространстве Н1/2 (Г). Слагаемое *7|п1и появляется из-за того, что производная потенциала простого слоя имеет разрыв на границе.5

Преобразуем уравнение (1.30) к виду, удобному для нахождения следа Дирихле

D 70"и = (I -к) 71п1и. (1.31)

Рассмотрим вопрос существования решений уравнения (1.31). Для этого, подставив функцию ио = 1 в уравнения (1.28) и (1.31), получим следующие соотношения

Кио = 0 D и0 = 0.

Можно показать, что ядро оператора D состоит только из постоянных функций. Следовательно, решение определено с точностью до произвольной константы, а для разрешимости уравнения (1.31) необходимо и достаточно, чтобы правая часть была ортогональна функции и0. С учетом сопряженности операторов К и К, получаем

^ (I -К ) 71пУ ио) = ^71пЧ (I -К) ио) = (71пУ 1) .

5 Как и в случае уравнения (1.28) доказательства приводятся в книге [82].

Таким образом, условие существования решений уравнения (1.31) можно записать в виде

7ГЧ Л=0. (1.32)

Заметим, что в случае внешней задачи оператор К меняет знак, следовательно, правая часть уравнения (1.31) всегда ортогональна функции и0. Соответственно, внешняя задача разрешима всегда. Причем, несмотря на то, что функция ио является решением уравнения (1.31) и в случае неограниченной области, она не удовлетворяет условию (1.22). Следовательно, решение внешней задачи единственно.

Для получения слабой формы уравнения (1.31) воспользуемся методом Га-леркина. Чтобы обеспечить единственность решения, можно искать его в подпространстве Н1/2 (Г), ортогональном и0. Однако, как показано в [82], вместо этого можно модифицировать билинейную форму оператора D так, чтобы она стала эллиптичной, и сделать вариационную постановку для пространства Н1/2 (Г)

(О70пУ^ = ^ (I —К) т1пЧ^ , Чу е Н1/2 (Г), (1.33)

где

(о¡,д) = (О ¡,д) + (¡, 1)(д, 1). (1.34)

Решение задачи (1.33) существует и единственно по теореме Лакса-Мильграма. В случае неограниченной области, несмотря на то, что при подстановке найденного следа Дирихле в формулу (1.25) получается правильное решение, сам след может отличаться от правильного на некоторую константу.

Оператор Стеклова-Пуанкаре

Поскольку оператор V обратим, можно выразить след Неймана из уравнения (1.28) и подставить его в уравнение (1.30)

71п1и =

О +К V—1К

т0Ч

где выражение в скобках называют оператором Стеклова-Пуанкаре. Если ввести обозначение

S = D +К V"1 К, (1.35)

то можно записать уравнение, связывающее след Дирихле и Неймана

S 7у*и = т1п1и. (1.36)

Оператор S является ограниченным, самосопряженным и полу-эллиптичным (эллиптичным) в пространстве Н1/2 (Г) для ограниченной (неограниченной) области. В случае ограниченной области ядро оператора S совпадает с ядром оператора D и, следовательно, для существования решений уравнения (1.36) необходимо и достаточно выполнения условия (1.32). В случае неограниченной области оператор S становится эллиптичным и уравнение (1.36) разрешимо всегда.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ступаков Илья Михайлович, 2016 год

Список литературы

1. Агранович М. C. Соболевские пространства, их обобщения и эллиптические задачи в областях с гладкой и липшицевой границей. — М. : МЦНМО, 2013. —379 с.

2. Алгоритмы оптимизации геометрии дипольных магнитов / М. Э. Рояк, И. М. Ступаков [и др.] // Труды XII международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (АПЭП-2014): в 7 т. Т. 6. — Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2014. — С. 215—219.

3. Аттетков А. В., Галкин С. В., Зарубин В. С. Методы оптимизации: Учеб. для вузов / под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. — 2-е изд., стереотип. — М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. — 440 с.

4. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. — М. : Издательство «Факториал Пресс», 2002. — 824 с. — ISBN 5886880569.

5. Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. — М. : Мир, 1974. — 120 с.

6. Корсун М. М., Ступаков И. М. Разработка алгоритмов вычисления напряженности поля токовых обмоток в программном комплексе MASTAC // Материалы Всероссийской научной конференции молодых ученых «Наука Технологии Инновации». Ч. 1. — Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2006. — С. 100— 102.

7. Корсун М. М., Ступаков И. М., Рояк М. Э. Об использовании граничных элементов при моделировании электромагнитных процессов с существенным влиянием вихревых токов // Научный вестник Новосибирского государственного технического университета. — Новосибирск, 2010. — № 2. — С. 101—110.

8. Косьминова Н. С., Ступаков И. М. Оценка возможности ускорения метода граничных элементов с использованием OpenMP и AVX инструкций // Наука. Технологии. Инновации.: материалы всерос. науч. конференции молодых ученых, Новосибирск, 21-24 ноября, 2013 : в 10 ч. Ч. 3. —Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2013. — С. 99—102.

9. Лагалли М. Векторное исчисление в применении к математической физике. — М. : Книжный дом «Либроком», 2010. — 344 с.

10. Лебедев В. И. Функциональный анализ и вычислительная математика. — 4-е изд. — М. : Физматлит, 2005. — 296 с.

11. Макдональд М. WPF: Windows Presentation Foundation в .NET 4.5 с примерами на C# 5.0 для профессионалов. — Вильямс, 2013. — 1024 с. — ISBN 9785845918543.

12. Матвеев А. Н. Электричество и магнетизм: Учеб. пособие для вузов. — М. : Оникс 21 в., 2005. — 464 с.

13. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. — М. : Мир, 1985. — 590 с.

14. Рояк М. Э. Анализ возможностей объектно-ориентированного подхода при разработке программных комплексов конечно-элементного моделирования электромагнитных полей // Научный вестник Новосибирского государственного технического университета. — Новосибирск, 2005. — № 1. — С. 63— 72.

15. Рояк М. Э. Реализация и анализ вычислительных схем МКЭ при моделировании электромагнитных полей в сложных областях [Текст] : дис. ... док. техн. наук : 05.13.18 / Рояк Михаил Эммануилович. — Н. : Новосибирский государственный технический университет, 2006. — 319 с.

16. Рояк С. Х., Игнатьев А. Н. Повышение эффективности вычисления напряженности магнитного поля токовых обмоток при решении задач магнитостатики // Сборник научных трудов НГТУ. — Новосибирск, 2004. — № 1. — С. 41—48.

17. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012611280. Программное обеспечение для автоматизированного подбора геометрии дипольных магнитов (ПГДА-1) / М. Э. Рояк, И. М. Ступаков, М. М. Корсун. — Заявл. 02.12.2011; опубл. 31.01.2012, приоритет 02.12.2011.

18. Соловейчик Ю. Г., Рояк М. Э., Персова М. Г. Метод конечных элементов для решения скалярных и векторных задач. — Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2007. — 896 с.

19. Ступаков И. М. Вычисление несобственных интегралов в методе граничных элементов для трехмерного уравнения Лапласа // Материалы Российской научно-технической конференции «Обработка информационных сигналов и математическое моделирование». — Новосибирск, 2012. — С. 70— 73.

20. Ступаков И. М., Корсун М. М., Рояк М. Э. Об учете источников электромагнитного поля в совместном методе конечных и граничных элементов // Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. — СПб., 2010. — № 5. — С. 67—71.

21. Ступаков И. М., Косьминова Н. С. Автоматизация построения согласованных базисов высокого порядка в методе конечных элементов // Труды XII международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (АПЭП-2014) : в 7 т. Т. 6. — Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2014.— С. 220—222.

22. Ступаков И. М., Косьминова Н. С. Исследование возможности сокращения числа измерений магнитного поля при изучении его распределения в помещении // Международный конкурс научных работ по приоритетным направлениям развития науки, технологий и техники в Российской Федерации. Сборник трудов. — М., 2012. — С. 83—90.

23. Ступаков И. М., Косьминова Н. С. Исследование возможности эффективного применения численного интегрирования для конечных элементов, аф-финно изоморфных шаблонному элементу // Наука. Технологии. Инновации.: материалы всерос. науч. конференции молодых ученых, Новосибирск, 29 ноября-2 декабря, 2012. Ч. 1. — Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2012. — С. 255—258.

24. Ступаков И. М., Рояк М. Э. Использование быстрого метода граничных элементов для решения задач магнитостатики // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. — СПб., 2012. — № 5. — С. 70—74.

25. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — 6-е изд. — М. : Изд-во МГУ, 1999.

26. Тыртышников Е. Е. Методы численного анализа. — М. : ИЦ Академия, 2006.— 281 с.

27. Чернов А. К., Ступаков И. М. Разработка алгоритмов численного интегрирования для системы моделирования на основе МГЭ // Материалы XI международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» АПЭП-2012. Т. 6. — Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2012. — С. 124— 127.

28. Шурина Э. П., Соловейчик Ю. Г., РоякМ. Э. Решение трехмерных нелинейных магнитостатических задач с использованием двух потенциалов // Препринт/Рос. акад. наук, Сиб. отд-ние, Вычисл. центр. — 1996.

29. Babic I. S., Akyel C. An improvement in the calculation of the magnetic field for an arbitrary geometry coil with rectangular cross section // International Journal of Numerical Modelling: Electronic Networks, Devices and Fields. — 2005. — Vol. 18. — Pp. 493-504.

30. Bermudez A., Rodriguez R., Salgado P. A finite element method for the mag-netostatic problem in terms of scalar potentials // SIAM Journal on Numerical Analysis. —2008. — Vol. 46, no. 3. — Pp. 1338-1363.

31. Binns K., Trowbridge C., Lawrenson P. The analytical and numerical solution of electric and magnetic fields. — New York : John Wiley & Sons, 1992.

32. Botha M.M. A Family of Augmented Duffy Transformations for Near-Singularity Cancellation Quadrature // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. — 2013. — June. — Vol. 61, no. 6. — Pp. 3123-3134. — ISSN 0018-926X. — DOI: 10.1109/TAP.2013.2252137.

33. Carpenter C. Comparison of alternative formulations of 3-dimensional magnetic-field and eddy-current problems at power frequencies // Proceedings of the Institution of Electrical Engineers. Vol. 124. — IET. 1977. — Pp. 1026-1034.

34. Cheng H., Greengard L., Rokhlin V. A Fast Adaptive Multipole Algorithm in Three Dimensions // Journal of Computational Physics. — 1999. —Nov. — Vol. 155, no. 2. — Pp. 468-498. — ISSN 0021-9991. — DOI: 10.1006/jcph. 1999.6355.

35. Ciric I. R. Simple analytical expressions for the magnetic field of current coils // IEEE Transactions on Magnetics. — 1991. —Vol. 27, no. 1. —Pp. 669-673.

36. Computing with hp-Adaptive Finite Elements: Volume II Frontiers: Three Dimensional Elliptic and Maxwell Problems with Applications / L. Demkowicz, J. Kurtz, [et al.]. — CRC Press, 2007. — (Chapman & Hall/CRC Applied Mathematics & Nonlinear Science).

37. Cowper G. R. G. Gaussian quadrature formulas for triangles // International Journal for Numerical Methods in Engineering. — 1973. — Jan. — Vol. 7, no. 3. — Pp. 405-408. —ISSN 1097-0207. —DOI: 10.1002/nme.1620070316.

38. Demkowicz L. Computing with hp-Adaptive Finite Elements: Volume 1 One and Two Dimensional Elliptic and Maxwell Problems. — CRC Press, 2006. — (Chapman & Hall/CRC Applied Mathematics & Nonlinear Science).

39. Duffy M. G. Quadrature over a pyramid or cube of integrands with a singularity at a vertex // SIAM journal on Numerical Analysis. — 1982. — Vol. 19, no. 6. — Pp. 1260-1262.

40. Dunavant D. High degree efficient symmetrical Gaussian quadrature rules for the triangle // International journal for numerical methods in engineering. — 1985. — Vol. 21, no. 6. — Pp. 1129-1148.

41. Fink P. P. W, Khayat M. a. M. A Simple Transformation for the Numerical Evaluation of Near Strongly Singular Integrals // IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters. — 2013. — Vol. 12. — Pp. 225-228. — ISSN 1536-1225. — DOI: 10.1109/LAWP.2013.2242839.

42. Geuzaine C., Remacle J. Gmsh: A 3-D finite element mesh generator with built-in pre-and post-processing facilities // International Journal for Numerical Methods in Engineering. —2009. — Vol. 79, no. 11. — Pp. 1309-1331.

43. Greengard L., Rokhlin V. A fast algorithm for particle simulations // Journal of computational physics. — 1987. — Vol. 73, no. 2. — Pp. 325-348.

44. Greengard L., Rokhlin V. A new version of the fast multipole method for the Laplace equation in three dimensions // Acta numerica. — 1997. — Vol. 6. — Pp. 229-269.

45. Grengard L., Rokhlin V. The rapid evaluation of potential fields in three dimensions // / ed. by C. Anderson, C. Greengard. — Springer Berlin Heidelberg, Jan. 1988. — Pp. 121-141. — (Lecture Notes in Mathematics). — ISBN 9783540505266.

46. Inexact Data-Sparse Boundary Element Tearing and Interconnecting Methods / U. Langer, G. Of, O. Steinbach, W. Zulehner // SIAM Journal on Scientific Computing. — 2007. — Jan. —Vol. 29, no. 1. — Pp. 290-314. — ISSN 1064-8275. — DOI: 10.1137/050636243.

47. Jarvenpaa S., Taskinen M, Yla-Oijala P. Singularity extraction technique for integral equation methods with higher order basis functions on plane triangles and tetrahedra // International journal for numerical methods in engineering. — 2003. — Vol. 58, no. 8. — Pp. 1149-1165.

48. Keast P. Moderate-degree tetrahedral quadrature formulas // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 1986. —May. —Vol. 55, no. 3. — Pp. 339-348. — ISSN 0045-7825. — DOI: 10.1016 / 0045- 7825(86) 90059-9.

49. Khayat M. M., Wilton D. D., Fink P. P. An improved transformation and optimized sampling scheme for the numerical evaluation of singular and near-singular potentials // Antennas and Propagation Society International Symposium, 2007 IEEE. Vol.7. — June 2007. — Pp. 4845-4848. — DOI: 10.1109/APS.2007. 4396629.

50. Khayat M., Wilton D. Numerical evaluation of singular and near-singular potential Integrals // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. — 2005. — Oct. — Vol. 53, no. 10. — Pp. 3180-3190. — ISSN 0018-926X. — DOI: 10.1109/

TAP.2005.856342.

51. Klawonn A., Widlund O. B. FETI and Neumann-Neumann iterative substructuring methods: connections and new results // Communications on pure and applied Mathematics. —2001. — Vol. 54, no. 1. — Pp. 57-90.

52. Kurz S., Rain O., Rjasanow S. The adaptive cross-approximation technique for the 3D boundary-element method // Magnetics, IEEE Transactions on. — 2002. — Vol. 38, no. 2. — Pp. 421-424.

53. Langer U., Pechstein C. Coupled Finite and Boundary Element Tearing and Interconnecting solvers for nonlinear potential problems // ZAMM - Journal of Applied Mathematics and Mechanics / Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik. — 2006. — Dec. — Vol. 86, no. 12. — Pp. 915-931. — ISSN 15214001. — DOI: 10.1002/zamm.2 00 6102 94.

54. Langer U., Steinbach O. Boundary Element Tearing and Interconnecting Methods // Computing. — 2003. — Nov. — Vol. 71, no. 3. — Pp. 205-228. — ISSN 0010-485X, 1436-5057. —DOI: 10.1007/s00607-003-0018-2.

55. Langer U., Pechstein C. All-floating coupled data-sparse boundary and interface-concentrated finite element tearing and interconnecting methods // Computing and Visualization in Science. — 2008. — Sept. — Vol. 11, 4-6. — Pp. 307-317. — ISSN 1432-9360, 1433-0369. —DOI: 10.1007/s00791-008-0100-6.

56. Langer U., Pechstein C. Coupled FETI/BETI Solvers for Nonlinear Potential Problems in (Un)Bounded Domains // Scientific Computing in Electrical Engineering/ ed. by G. Ciuprina, D. Ioan. — Springer Berlin Heidelberg, Jan. 2007. — Pp. 371-377. — (Mathematics in Industry). — ISBN 9783540719793.

57. Langer U., Steinbach O. Coupled boundary and finite element tearing and interconnecting methods // Domain decomposition methods in science and ... / ed. by T. J. Barth, M. Griebel, [et al.]. — 2005. — Jan. — No. Dd. — Pp. 83-97. — (Lecture Notes in Computational Science and Engineering).

58. LAPACK Users' guide. Vol. 9 / E. Anderson, Z. Bai, [et al.]. — Siam, 1999.

59. Le Bec G., Chavanne J., N'gotta P. Shape optimization for the ESRF II magnets // TUPRO082, these proceedings, IPAC2014. — 2014.

60. Lei H., Wang L.-Z., Wu Z.-N. Integral analysis of a magnetic field for an arbitrary geometry coil with rectangular cross section // Magnetics, IEEE Transactions on. —2002. — Vol. 38, no. 6. — Pp. 3589-3593.

61. Liu Y. Fast multipole boundary element method: theory and applications in engineering. — Cambridge, 2009.

62. Luenberger D. G., Ye Y. Linear and nonlinear programming. — Springer, 2008.

63. Lukas D., Postava K., Zivotsky O. A shape optimization method for nonlinear axisymmetric magnetostatics using a coupling of finite and boundary elements // Mathematics and Computers in Simulation. — 2012. — June. — Vol. 82, no. 10. — Pp. 1721-1731. — ("The Fourth IMACS Conference : Mathematical Modelling and Computational Methods in Applied Sciences and Engineering" Devoted to Owe Axelsson in ocassion of his 75th birthday). — ISSN 0378-4754. — DOI: 10.1016/j.matcom.2 011.01.015.

64. Lukâs D. On solution to an optimal shape design problem in 3-dimensional linear magnetostatics // Applications of Mathematics. — 2004. — Vol. 49, no. 5. — Pp. 441-464.

65. Magele C., Stogner H., Preis K. Comparison of different finite element formulations for 3D magnetostatic problems // IEEE Transactions on Magnetics. — 1988. — Jan. — Vol. 24, no. 1. — Pp. 31-34. — ISSN 0018-9464. — DOI:

10.1109/20.43846.

66. Mayergoyz I., Chari M. V. K., D'Angelo J. A new scalar potential formulation for three-dimensional magnetostatic problems // IEEE Transactions on Magnetics. — 1987. —Nov. —Vol. 23, no. 6. —Pp. 3889-3894. —ISSN0018-9464. —DOI:

10.1109/TMAG.1987.1065774.

67. Numerical recipes 3rd edition: The art of scientific computing / W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery. — Cambridge university press, 2007.

68. Of G. An efficient algebraic multigrid preconditioner for a fast multipole boundary element method // Computing. — 2008. — July. — Vol. 82, 2-3. — Pp. 139155. — ISSN 0010-485X, 1436-5057. — DOI: 10.1007/s00607-008-

0002-y.

69. Of G., Steinbach O., Wendland W L. The fast multipole method for the symmetric boundary integral formulation // IMA Journal of Numerical Analysis. — 2006. — Apr. — Vol. 26, no. 2. — Pp. 272-296. — ISSN 0272-4979, 1464-3642. — DOI:

10.1093/imanum/dri033.

70. Optimization of electromagnet for high-field polar magneto-optical microscopy /

V

D. Lukas, K. Postava, O. Zivotsky, J. Pistora // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 2010. —May. — Vol. 322,9-12. — Pp. 1471-1474. — (Proceedings of the Joint European Magnetic Symposia). — ISSN 0304-8853. — DOI: 10.1016/j.jmmm.2009.07.040.

71. Pechstein C. Boundary element tearing and interconnecting methods in unbounded domains // Applied Numerical Mathematics. — 2009. — Nov. — Vol. 59, no. 11. — Pp. 2824-2842. — (Special Issue: Boundary Elements - Theory and Applications, BETA 2007 Dedicated to Professor Ernst P. Stephan on the Occasion of his 60th Birthday). — ISSN 0168-9274. —DOI: 10.1016/j. apnum.2008.12.031.

72. Pechstein C. Finite and Boundary Element Tearing and Interconnecting Solvers for Multiscale Problems. Vol. 90. — Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 2013. — (Lecture Notes in Computational Science and Engineering). — ISBN 9783642235870. —DOI: 10.1007/978-3-642-23588-7.

73. Pechstein C. One-Level FETI/BETI Methods // Finite and Boundary Element Tearing and Interconnecting Solvers for Multiscale Problems. — Springer Berlin Heidelberg, Jan. 2013. — Pp. 63-155. — (Lecture Notes in Computational Science and Engineering). — ISBN 9783642235870. — DOI: 10.1007/978-3642-23588-7.

74. Rjasanow S., Steinbach O. The fast solution of boundary integral equations. — Springer, 2007.

75. Rjasanow S. Adaptive cross approximation of dense matrices // Proc. Int. Association for Boundary Element Methods. — 2002. — Pp. 1-12.

76. Russenschuck S. Field computation for accelerator magnets: analytical and numerical methods for electromagnetic design and optimization. — John Wiley & Sons, 2011.

77. Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems. — Siam, 2003.

78. Sauter S., Schwab C. Boundary element methods. — Berlin Heidelberg : Springer, 2011. — 561 pp.

79. Schwab C., Wendland W. L. On numerical cubatures of singular surface integrals in boundary element methods // Numerische Mathematik. — 1992. — Dec. — Vol. 62, no. 1. — Pp. 343-369. — ISSN 0029-599X, 0945-3245. — DOI: 10.

1007/BF013 96234.

80. Simkin J., Trowbridge C. Three-dimensional nonlinear electromagnetic field computations, using scalar potentials // IEE Proceedings B (Electric Power Applications). Vol. 127. — IET. 1980. — Pp. 368-374.

81. Simkin J., Trowbridge C. W. On the use of the total scalar potential on the numerical solution of fields problems in electromagnetics // International Journal for Numerical Methods in Engineering. — 1979. — Jan. — Vol. 14, no. 3. — Pp. 423-440. —ISSN 1097-0207. —DOI: 10.1002/nme.1620140308.

82. Steinbach O. Numerical approximation methods for elliptic boundary value problems. — New York : Springer, 2008.

83. Toselli A., Widlund O. Domain Decomposition Methods: Algorithms and Theory. — Springer, 2005. — 450 pp.

84. Wandzurat S., Xiao H. Symmetric quadrature rules on a triangle // Computers & Mathematics with Applications. —2003. — Vol. 45, no. 12. — Pp. 1829-1840.

85. Wang Q. Practical design of magnetostatic structure using numerical simulation. — John Wiley & Sons, 2013.

86. Yu J. Symmetric gaussian quadrature formulae for tetrahedronal regions // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 1984. —May. —Vol. 43, no. 3. — Pp. 349-353. — ISSN 0045-7825. — DOI: 10.1016/0045-

7825(84)90072-0.

87. Zienkiewicz O. C., Lyness J., Owen D. Three-Dimensional Magnetic Field Determination Using a Scalar Potential-A Finite Element Solution // IEEE Transactions on Magnetics. — 1977. — Sept. — Vol. 13, no. 5. — Pp. 1649-1656. — ISSN 0018-9464. —DOI: 10.1109/TMAG.1977.1059650.

88. Zienkiewicz O., Taylor R., Zhu J. The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals. — Butterworth-Heinemann, 2005.

Приложение А. Некоторые формулы векторного анализа

Рассмотрим вычисление градиента в произвольной криволинейной системе координат [9]. Система координат (гьг2,г3) определяется преобразованием (х1; х2, х3) = г (д\, д2, д3). При этом касательные вектора к осями системы координат принято называть ковариантным базисом, а нормальные вектора к координатным поверхностям - контравариантным базисом.

Ковариантные базисные векторы будем обозначать е,. Их можно вычислить по формуле

д г

е, = дГ, (А.1)

дГг

при этом векторы е, в общем случае не являются ортогональными.

Контравариантные базисные векторы обозначим е\ Они определяются по формуле

ег = Чдг.

С учетом того что векторы е, являются столбцами матрицы Якоби, а вектора ег являются строками матрицы Якоби обратного преобразования, очевидно выполнение следующего соотношения

е, • е = 5{у. (А.2)

Поскольку обратное преобразование системы координат зачастую неизвестно в явном виде, вычисление контравариантных векторов удобнее делать через обращение матрицы Якоби. Можно также записать их через векторное произведение ковариантных векторов

е1 = , е2 = е-!, е3 = , (А.3)

где за J обозначен якобиан, который можно вычислить по формуле J = е1 х е2 • е3.

Оператор V можно определить в произвольной системе координат через выражение (знак суммы опускается в соответствии с нотацией Эйнштейна)

■ д

V = в* — . (А.4)

дЯг

Таким образом градиент функции I можно записать в виде

VI = г* (А.5) Произведение градиентов двух функций можно записать в виде

VI V = д" (А.6)

где д■ = е* • е7' называются контравариантными компонентами фундаментального метрического тензора.

Приложение Б. Документы о внедрении результатов диссертационной работы

УТВЕРЖДАЮ

Ректор НГТУ,

ессор А.А.Батаев 2015 г.

СПРАВКА

о внедрении результатов диссертационной работы И.М. Ступакова «Разработка алгоритмов решения задач магнитостатики с использованием

метода граничных элементов»

Результаты диссертационной работы Ступакова Ильи Михайловича «Разработка алгоритмов решения задач магнитостатики с использованием метода граничных элементов» внедрены в учебный процесс на факультете прикладной математики и информатики ФГБОУ ВО «Новосибирский государственный технический университет» и используется при изучении дисциплины «Математическое моделирование тепловых и электромагнитных полей» по направлению «01.04.02 - Прикладная математика и информатика» в рамках учебного плана магистерской подготовки. Освоение магистрантами соответствующих разделов дисциплины способствует приобретению необходимых знаний и умений при применении на практике современных вычислительных методов моделирования электромагнитных процессов.

Декан ФПМИ, ^ В.СЛимофеев

д.т.н., доцент

Заведующий кафедрой прикладной математики д т.н., профессор

Ю.Г. Соловейчик

_ФАНО России_

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ им. Г.И. Будкера Сибирского отделения • Российской академии наук (ИЯФ СО РАН)

^УТВЕРЖДАЮ" зам. директора по научной работе Института Ядерной Физики

Проспект ак. Лаврентьева, д. 11, г. Новошвирск, 630090

от-

/Л /415311- 4 Г/*//*

АКТ

об использовании результатов научных исследований, выполненных соискателем Ступаковым И.М. в диссертационной работе «Разработка алгоритмов решения задач магнитостатики с использованием метода граничных элементов»

Программный комплекс МАБТАС, одним из авторов которого является Ступаков И.М., успешно применяется много лет в ИЯФ СО РАН для решения задач магнитостатики. Полученные с использованием этого программного комплекса результаты численного моделирования магнитных полей используются при создании и оптимизации геометрии магнитной системы ускорителей заряженных частиц. Разработанные Ступаковым ИМ. вычислительные схемы с использованием метода граничных элементов позволили существенно повысить эффективность численного моделирования.

Заведующий лабораторией,

д.ф.-м.н., чл.-корр. РАН